Динамика стержневых ударных систем с внутренними граничными поверхностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Малков Олег Брониславович

ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ УДАРНЫХ СИСТЕМ С ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Омск-2000

Работа выполнена в Омском государственном техническом университете

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

Б.Н. Стахановский

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор В.А. Каргин;

- доктор технических наук, профессор В.К. Окишев;

- доктор технических наук, профессор В.Н. Тарасов.

Ведущая организация - ОАО Моторостроительное конструкторское бюро,

г. Омск.

Защита диссертации состоится « 25~ » декабря 2000 г. в /б часов на заседании совета Д 063.23.02 в Омском государственном техническом университете по адресу: 644050, 0мск-50, пр. Мира, 11.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с заверенными подписями просим направлять в адрес диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного технического университета.

Автореферат разослан «_/£_» 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, /> доктор технических наук, профессор

Е.А. Воронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существует обширная группа машин, стендов и устройств, генерирующих и передающих на некоторую среду или объект импульсы силы определенной частоты и интенсивности. В основе большинства из них лежат ударные системы (УС), в которых импульс формируется в процессе взаимодействия двух элементов стержневой формы-ударника и волновода (инструмента). В общем случае эти элементы имеют сложную конфигурацию и могут моделироваться как стержни с внутренними граничными поверхностями (ВГП). Весьма важной является задача расчета динамики таких УС, заключающаяся в определении сил, напряжений, скоростей и ускорений в сечениях УС в различные моменты времени.

Решение этой задачи сопряжено со значительными трудностями. В области расчета ударных процессов так и не достигнута стадия полной определенности, когда все необходимые нормы могут быть сформулированы аналитически. Общая теория удара до сих пор не создана, и это неизбежно вынуждает принимать упрощающие предположения, которые, не вступая в противоречие с физикой процесса, давали бы удобные инженерные решения. Можно отметить, что практически все методы расчета УС являются приближенными и различаются только степенью принятых упрощений.

Существует ряд подходов к решенйю задачи определения параметров продольного удара в системе «ударник - волновод». Большинство из них приводится к четырем основным методам: классическому, контактно-классическому, волновому и контактно-волновому. Наилучшие результаты для стержневых УС дает применение волновых и контактно-волновых моделей, однако существующие в большинстве своем описывают динамику УС с элементами без ВГП. Поэтому задача разработки универсальных методик, пригодных для расчета УС с элементами произвольной формы является актуальной.

Цель работы. Разработка новых научно обоснованных методов расчета динамики стержневых УС с элементам«, имеющими ВГП.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Проведен общий анализ существующих методов расчета параметров продольного удара в стержневых УС.

2. Проанализированы основные расчетные схемы УС с элементами без ВГП и уравнения динамики ударника и волновода в этих схемах.

3. Исследована динамика стержней-ударников и стержней-волноводов конечной длины с ВГП. Получены общие уравнения динамики ударника и волновода с произвольным числом ВГП.

4. Разработана методика расчета параметров плоского продольного удара в стержневой УС общего вида.

5. Разработана методика расчета параметров неторцевого продольного удара в стержневой УС общего вида.

6. Построена контактно-волновая модель продольного удара в стержневой УС с ВГП, учитывающая закругление контактирующих торцов и упруго пластические деформации контактной зоны; проведено теоретико-экспериментальное исследование адекватности данной модели.

7. Расчетные методики и соответствующее программное обеспечение внедрены в производство и в учебный процесс.

Научная новизна работы. Впервые получены общие уравнения динамики стержней с произвольным числом ВГП, включ?.ощие известные уравнения динамики стержней без ВГП как частные случаи.

Впервые найдены расчетные зависимости для коэффициентов конфигурации, входящих в эти уравнения и позволяющих учитывать количество ВГП в стержне, их характеристики и расположение, а также граничные условия на неударном торце стержня.

Разработана опирающаяся на полученные уравнения новая прикладная методика расчета параметров плоского удара в стержневой УС общего вида. Найден способ определения зависимостей сил и скоростей от времени в различных сечениях стержневой УС.

Разработана опирающаяся на эти же уравнения методика расчета параметров неторцевого удара в стержневой УС общего вида.

Впервые построена контактно-волновая модель продольного удара в стержневой УС с ВГП, учитывающая закругление контактирующих торцов и упругопластические деформации в контактной зоне.

Получена система критериев подобия явлений продольного упругопласти-ческого удара тел стержневой формы с ВГП.

Достоверность результатов обеспечена обоснованным применением аналитических и численных методов расчета, использованием нового программного обеспечения и современных методик экспериментальных исследований.

Положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования динамики УС, содержащих стержневые элементы с ВГП:

- общие уравнения динамики ударника и волновода с произвольным числом ВГП, включающие известные уравнения динамики стержней без ВГП как частные случаи;

- методика расчета входящих в уравнения динамики коэффициентов конфигурации, позволяющих учитывать количество ВГП, их характеристики и расположение, а также граничные условия на неударном торце.

2. Методика расчета параметров плоского удара в различных сечениях стержневой УС, опирающаяся на уравнения динамики стержней с ВГП.

3. Методика расчета параметров неторцевого удара в стержневой УС, опирающаяся на уравнения динамики стержней с ВГП.

4. Контактно-волновая модель продольного удара в стержневой УС с ВГП, учитывающая закругление контактирующих торцов и упруго пластические деформации в контактной зоне.

Практическая ценность и реализация работы. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение, реализующие расчет в среде визуального программирования Delphi параметров плоского удара в стержневой УС с ВГП.

Разработаны алгоритмы и программное обеспечение, реализующие в среде Delphi контактно-волновую модель продольного удара в стержневой УС с ВГП и закругленными контактирующими торцами.

Результаты работы внедрены в ГУДП КБ «Полет» (г. Омск). По предложенным методикам выполнен расчет ударных перегрузок, возникающих на элементах конструкции космического аппарата «Чемп» при срабатывании пиротехнических средств системы отделения космического аппарата от ракеты-носителя.

Расчетные методики и программное обеспечение внедрены в лабораториях механизации и механики взрыва Института горного дела СО РАН (г. Новосибирск) и практически используются при разработке новых образцов машин ударного разрушения и деформирования.

Результаты работы используются в учебном процессе ОмГТУ при изучении отдельных разделов дисциплин «Прикладная механика» и «Детали машин».

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Омской городской научной конференции соискателей и аспирантов (Омск, 1986 г.); XX YI научной конференции Омского политехнического института (Омск, 1987 г.); Всесоюзном межотраслевом научно-практическом семинаре «Повышение эффективности испытаний приборных устройств» (Владимир, 1987 г.); научно-практическом семинаре на базе выставки «Динамические испытания» (Челябинск, 1988 г.); Всесоюзном семинаре по теории машин и механизмов АН СССР «Динамические испытания и контроль механических систем» (Каунас, 1988 г.); межотраслевом научно-практическом семинаре «Новое оборудование для проведения ударных испытаний. Отработка удароустойчивости изделий» (Омск, 1988 г.); II Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1997 г.); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998 г.); Ш Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1999 г.); IY Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии» (Курск, 1999 г.); научных семинарах и заседаниях кафедр Омского государственного технического университета (Омск, 1985-2000 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ, в том числе 1 монография и 3 авторских свидетельства на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести гнав,-заключения, списка используемых'источников и приложетай. -Общий объем работы составляет 315 страниц основного текста и 29 страниц приложений, 107 рисунков и 6 таблиц. Список используемых источников' содержит 210 наименований.

ТЕОРИЯ И РАСЧЕТЫ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

Проблемы, связанные с изучением удара и вопросами его практического использования, не утрачивают актуальность. Механический удар принято определять как процесс взаимодействия двух или более объектов, сопровождающийся достаточно быстрым изменением сил, скоростей, ускорений и других параметров за малый промежуток времени. При этом исследуются вопросы, связанные с преобразованием механической энергии. Не учитываются световые, тепловые и звуковые явления, поскольку их доля в общей энергии процесса незначительна. Общепринятым является разделение ударных процессов на продольные, поперечные и крутильные, в зависимости от вида преобладающих волн, порожденных в телах. Для стержневых УС характерен продольный удар.

Существует множество математических моделей продольного удара в механических системах (рис. 1). Выбор той или иной модели обусловлен границами ее применимости к решению конкретной задачи. Классическая (стереомехани-ческая) модель базируется на ньютоновской дйнамике твердого тела и материальной точки. Основные теоремы в этой области были сформулированы Й.М. Марци и X. Гюйгенсом. Использование квазистатических моделей предполагает объединение положений классической динамики со статическими решениями теории упругости. Наиболее известное решение контактной задачи теории упругости было получено Г. Герцем. Дальнейшее развитие модели этого типа получили в работах А.Н. Динника, И.Я. Штаермана, В.В. Багреева, Г.С. Батуева, А.К. Ефремова, Ю.В. Голубкова, A.A. Федосова и других.

В ряде моделей делаются попытки учесть свойства материалов путем введения различных зависимостей между напряжением и деформацией. Наиболее простыми моделями этого типа являются дискретные. Они представляют собой комбинации абсолютно твердых тел, обладающих массой, и безынерционных деформируемых элементов, определяющих свойства сплошной среды. Многокомпонентные дискретные модели используются в работах A.JT. Данилина, Р.Ф. Нагаева, H.A. Веклича, Б.М. Малышева, Г.В. Бригадирова, В,В. Аверина, JI.A. Толоконникова и других исследователей.

Попытки применить положения теории Ньютона и Герца к описанию соударений тел большой протяженности приводят к возникновению противоречий, объяснимых только с позиций волновой теории удара. Колебания в упругих телах при продольном ударе, были впервые изучены Д. Бернулли, А. Навье и С. Д. Пуассоном. Законченное исследование одномерных продольных колебаний при ударе стержней выполнили Сен-Венан и Ж. Бусинеск. Согласно волновой теории напряжения и деформации в телах распространяются не мгновенно, а с некоторой конечной скоростью. В одномерной постановке волновая модель предполагает взаимодействие абсолютно упругах стержней при условии, что их контактные поверхности идеально плоские. Движение поперечных сечений стержня описывается дифференциальным волновым уравнением

дг и, ,32и.

= а

(О

Ыг " дх1 '

где их - их(х ,1) - перемещение сечения с абсциссойх в момент времени /, а -скорость распространения ударной волны в стержне. Решение уравнения (1), согласно методу Даламбера, имеет форму

ux~f{x-at)+g{x + at), (2)

ще/(х-Ш) и g(x+at) - функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся, соответственно, в положительном и отрицательном направлениях оси х. Последовательным дифференцированием уравнения (2) можно получить деформацию ех, напряжение с^ и скорость частиц у:

дх

сгх = Е{/'(х~-а1)+^(х + а())-,

V =

¿4

5/

(3)

Экспериментальные исследования показывают, что реализовать плоский удар на практике не удается. Поэтому контактирующим торцам стержней придают форму полусфер. Это улучшает условия контакта, однако возникает необходимость учета местных деформаций. Хорошее соответствие эксперименту дает комбинированный метод, объединяющий волновую теорию плоского удара для стержней и статические решения контактной задачи теории упругости. Этот метод был предложен Дж. Е. Сирсом, установившим, что длина приконтактнош участка с неравномерным распределением напряжений

составляет

4 = г

I

« 2,5 г„

(4)

где г. - радиус круга поперечного сечения первого (/ = 1) или второго (/ = 2) тела. Таким образом, предполагается, что в зоне контакта сила изменяется по некоторому определенному закону, а вне этой зоны на расстоянии большем, чем </., распространяются уже сформированные упругие волны с равномерно распределенными по поперечному сечению напряжениями. Параметры волн (значения сил и скоростей во фронте) зависят от силовой характеристики контактной зоны. Это утверждение получило дополнительное теоретическое^ и экспериментальное обоснование в работах С. А. Зегжды, Е.В. Александрова и В.Б. Соколинскош. Расчетная схема контактно-волновой модели соударения стержней конечной длины с закругленными торцами, показана на рис. 2.

Рис. 2

Для любого периода времени разность мгновенных скоростей сечений а-а и b-Ъ определяется выражением

(5)

где иа и иь - пути, пройденные плоскостями а-а и Ь-Ъ с момента начала удара. С другой стороны, (иа - иь) есть сближение а плоскостей а-а и Ъ-Ъ под действием ударной силы. Общее уравнение, связывающее контактное сближение и силу:

"а ~ иь = а = <P(F)- (6)

Задача сводится к совместному решению уравнения (5), полученного с использованием положений теории плоского удара, и уравнения (6), соответствующего выбранному виду силовой характеристики контактной зоны F =f(а).

Наиболее универсальной является силовая характеристика, предложенная Б.Н. Стахановским. Характеристика имеет вид степенной функции с переменным показателем степени при а , зависящим от материалов тел и скорости соударения. При малых скоростях и упругих деформациях функция обеспечивает приближение величины показателя к 3/2, при больших скоростях и пластических деформациях - к 1. Б.Н. Стахановским построена контактно-волновая модель свободного удара стержней с постоянным по длине волновым сопротивлением С = S а р, где S - площадь поперечного сечения; а - скорость распространения продольной волны; р - плотность. Вопросам практического использо-

вания модели посвящены работы П.М. Алабужева, Л.И. Кима, Ю.К. Лауткина, А.И. Родионова, Т.А. Родионовой, A.A. Рыкова и B.C. Крицмана.

Наличие ВГП в стержне чрезвычайно усложняет расчеты. При резком изменении акустической жесткости (а р) или площади поперечного сечения на границе раздела возникают две волны - проходящая и отраженная. Отраженные и преломленные волны интерферируют друг с другом, в результате чего в стержне создается сложная картина подвижных напряжений сжатия и растяжения. Расчету ступенчатых УС посвящены работы Ю.Ф. Рудакова, Р. Саймона, Л.А. Саруева, А.П. Слистина, К.С. Хомякова, E.H. Шера, A.M. Петреева и др.

Большинство авторов использует коэффициенты прохождения и отражения, связывающие параметры исходной волны и порождаемых волн. Однако попытка проследить с их помощью путь даже одной волны уже в двухступенчатом стержне приводит к большим математическим трудностям. Целесообразно рассматривать не отдельно взятые волны, а волновые состояния, как результат взаимодействия всех отраженных и пропущенных волн. Эта концепция реализована О.Д. Алимовым, В.К. Манжосовым иВ.Э. Еремьянцем. Записываются уравнения, связывающие параметры новых и старых волновых состояний в каждом сечении в различные моменты времени. В результате получается система линейных алгебраических уравнений, решение которой дает искомые зависимости. Однако общие уравнения динамики элементов УС отсутствуют, что не позволяет использовать эту методику при построении контактно-волновых моделей. Актуальной является задача вывода уравнений динамики стержней с ВГП, в которые входили бы коэффициенты прохождения и отражения и которые можно было бы применять в волновых и контактно-волновых моделях.

ПЛОСКИЙ УДАР В СИСТЕМАХ СО СТЕРЖНЕВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ БЕЗ ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрен расчет плоского удара в УС, состоящей из двух стержней конечной длины без ВГП (глава 2). При использовании волновой модели для ударника и волновода записываются уравнения (1), а также необходимые начальные и граничные условия. Начальные условия определяются значениями скоростей и напряжений в сечениях стержней до момента соударения. Граничные условия предполагают равенство сил и равенство скоростей в контактном сечении, отсутствие напряжений на свободном торце и равенство нулю скоростей и перемещений на торце, опертом на жесткую преграду. Решением волновых уравнений являются функции ut(x, t) и и/х, t) вида (2), от которых можно перейти к выражениям для деформаций, напряжений и скоростей. Характер изменения во времени скоростей частиц и напряжений в любом сечении УС определяется наложением волновых функций' и gtf2' и g2'.

В прикладных расчетах УС чаще пользуются более наглядным изложением этого решения, которое предполагает применение лишь основных законов динамики совместно с базовым принципом волновой теории удара о конечности и определенности скорости распространения напряжений и деформаций в телах. Основное уравнение в этом случае имеет вид

= (7)

где У;г и Ра Ус- новые и старые значения сил и скоростей в сечении, С-волновое сопротивление стержня. Если расположить элементы УС по направлению большей скорости сверху вниз, то волновое сопротивление тел, лежащих выше контактной плоскости, должно иметь знак плюс, лежащих ниже - минус.

Уравнения (7) составляются каждый раз при изменении волнового состояния в сечении стержня. Такое изменение происходит в случае встречи двух волн, а также при прохождении волной ВГП, разделяющей участки с различными волновыми сопротивлениями. Уравнения (7) широко используются в работах отечественных и зарубежных исследователей, посвященных расчету динамики стержневых УС.

Рассмотрены основные схемы удара в стержневой УС без ВГП. В этих схемах ударником (телом 1) считается стержень, движущийся со скоростью Уг Волноводом (телом 2) считается неподвижный стержень, свободный или опертый на жесткую преграду. Расчетные схемы УС отличаются лишь граничными условиями на неударном торце волновода. Поэтому необходимо располагать общим уравнением динамики стержня-ударника, которое может решаться совместно с различными уравнениями, описывающими динамику волновода в той или иной расчетной схеме. Волновая диаграмма стержня-ударника без ВГП, представлена на рис. 3. Описание динамики такого стержня известно и приводится большинством исследователей продольного удара в стержневых УС.

Записывая уравнения (7), связывающие параметры волновых состояний, возникающих в плоскости контакта, и выполняя преобразования, получаем

Р у ¡-1

где V и Г. - скорость поверхности I и сила, действующая на эту поверхность в течение /-го временного интервала; / - порядковый номер волны, рождающейся у поверхности I через временные интервалы / =21д/а1,41д/аг 61 д/а/, ...; 2 Р\ .= +Р2 + ... + - сумма сил, действовавших в контактной зоне во время предыдущих периодов, С; - волновое сопротивление ударника.

Волновая диаграмма для расчетной схемы УС с полубесконечным стержнем-волноводом без ВГП, представлена на рис. 4. Волны, формирующиеся в волноводе, не отражаются и не возвращаются к поверхности контакта. Для волны, рождающейся у контактной поверхности в ¿-й временной интервал

' С,

(9)

Значения параметров волн К и V. определяются путем совместного решения

уравнений (8) и (9), записанных для временных периодов г = 1, 2, 3,____

Волновая диаграмма, соответствующая расчетной схеме свободного удара двух стержней конечной длины без ВГП, показана на рис.5. Общее уравнение динамики волновода в этой схеме имеет вид

1 ¡В

с,

,н

4=1

кВ

(10)

где У)В и Р]В - скорость поверхности I и сила действия на эту поверхность в течение_/-го периода собственных колебаний волновода Т2 = 2 12 /а2; X) -

сумма сил, действовавших в контактной зоне во время предыдущих периодов; С2 - волновое сопротивление волновода.

При соударении стержней конечной длины уравнения (8) и (10) можно решать совместно только при условии одновременного прибытия в зону контакта волн, отраженных от поверхностей II и III. Это имеет место в случае

Рис. 5

В большинстве реальных УС волновод взаимодействует с опорой. Это требует учета нагрузочных характеристик опоры, что приводит к усложнению математической модели. Практический интерес представляет расчетная схема, моделирующая УС с волноводом конечной длины, опертым на жесткую неде-формируемую преграду. Эта схема позволяет достаточно просто учесть граничные условия на опертом торце и, как и свободный удар, является крайним случаем. Параметры удара реальных УС будут всегда находиться в пределах диапазона, границы которого определяют эти две расчетные схемы. Волновая диаграмма для схемы с опертым волноводом представлена на рис. 6.

Уравнение динамики опертого волновода без ВГП имеет следующий вид:

^ 2 Л

+

С2 С2

Сумма сил ^ в уравнении (12) является знакопеременной, т. е.

р V - ув • м в ~ „ > ^2 Л ~ р 1 2В С2 + Угв С2 ьг|и II 2 + — С2 (^121 Рщ

Ъ в С2. + - 2 Ргв) ;

Рис. 6

Используя массив коэффициентов В = (Ьг Ь2,..., Ь элементы которого равны Ь1 = -1 , Ь2 = 1, Ь3 = -/ , Ь4 = 1 и т.д., получаем общее уравнение

Г/. = 7Г + Ъ* + (13)

Сопоставляя уравнения (13) и (10), отметим, что они практически одинаковы и отличаются лишь коэффициентами В. Таким образом, граничные условия на неударном торце учитываются значениями этих коэффициентов.

ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ВНУТРЕННИМИ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Анализ стержневых УС с элементами, имеющими ВГП (глава 3), проведен •в строгой логической последовательности - от простых схем к сложным. Рассмотрена динамика ударников с одной, двумя и тремя ВГП. Обобщение результатов привело к уравнению динамики ударника с произвольным числом ВГП. По той же схеме проанализирована динамика свободного и опертого волноводов и получено уравнение динамики волновода с произвольным числом ВГП.

Вполне очевидно, что для стержней с ВГП должны существовать уравнения вида(8), (9), (10) и (13). Конкретная конфигурация стержня можетбыть учтена в таких уравнениях некоторыми коэффициентами.

В стержне-ударнике с ВГП волновая картина будет наиболее простой в случае равной акустической длины всех его ступеней. Отраженные и преломленные волны определенным образом накладываются друг на друга, и общее количество волновых состояний и записываемых для них уравнений будет минимальным. Волновая диаграмма для двухступенчатого ударника показана на рис. 7. Ударник имеет две наружные граничные поверхности А и С, а также одну внутреннюю - В, обозначенную сплошной линией.

Анализ волновых диаграмм для ударников с различным количеством ВГП показывает, что динамика ступенчатого стержня-ударника, независимо от количества ступеней, всегда описывается общим уравнением

И,= + +...+^,,6«)-^-' (14)

где V и Р. - скорость контактного сечения ударника и сила, действующая на поверхность контакта в течение /-го временного интервала; Рг Р2, ... , Р. , -силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С0- волновое сопротивление ступени, прилегающей к поверхности контакта. Конфигурация ударника (количество и расположение ВГП, а также их характеристики) учитывается массивом коэффициентов В"' =(¿/4 Ь20>, ... , Ьт(0). Уравнение динамики ударника без ВГП (8) является частным случаем уравнения (14), когда коэффициенты конфигурации Ь{ = Ь2 = ... = Ь. : -1.

В общем случае ВГП может иметь не только ударник, но и волновод. Однако в отличие от ударника должна быть предусмотрена возможность учета различных граничных условий на его неударном торце. Волновая диаграмма двухступенчатого свободного волновода показана на рис. 8.

К с, > р * / 1 = 1 / ]=2 / / = 5 /] = 4

к с,; р А 0 \ 21о/аА 41о/аЛ Ч^Д 1 у,'У, у у у. у у. к •

0 С„ В У' к, у. ^У\ /з. у \ У о, и, у о,и2\/ о,и}

с

Рис.8

Соответственно, волновая диаграмма для двухступенчатого волновода, опертого на жесткую преграду, показана на рис. 9. Использование метода волновых диаграмм позволяет получить уравнение динамики волновода с

конечным числом ступеней, которое независимо от числа ступеней и граничных условий на неударном торце имеет вид

VJ-jr{^b%+F2b%+... + Fhlb^)+^, (15)

с2 с2

где V. и Р. - скорость контактной поверхности волновода и сила, действующая

на эту поверхность в течение/-го временного интервала; Рг ..., - силы,

действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С} - волновое

сопротивление контактирующей ступени волновода. Конфигурация волновода

учитывается массивом коэффициентов Вр> =(Ь[г>, Ь2а>, ..., Ь£2)).

К •< с, > г -1 \ / П = 2 П=3 /

К с,/ < р А 0 \ По/а2 А41о/а: Т\61о/а2 Д угу УД V'Д \ у^ у/,- / /;. ДД ^

1 0 Си В V,. ^ Д/2. ^ Ал. ^ Д/,.^ V ег0 V е2,0 У £^,0

/ / X// С '

Рис. 9

Коэффициенты конфигурации Ьр Ьу ... ,6.; вычисляются с помощью одних и тех же выражений независимо от того, является стержень ударником или волноводом. В общем случае для и-ступенчатого стержня:

6, = К г; Ь2 = к2 г + (1 Ь,'); 1

¿з= кгг + (\ + г)[к2Ь[ + к,Ь'г)\ ... V Ь,= к1г + {1 + г){к,_1Ь[ + к^2Ь'2+к!_3Ь'+...),} (16)

где Ь/, Ь2', ..., Ь./ -такие же коэффициенты для стержня с (п-1) ступенями; г- характеристика ВГП, разделяющей п-ю и (п-1)-ю ступени; к1,к2, ..., к. -вспомогательные коэффициенты, которые, в свою очередь, определяются

с помощью следующих выражений:

■ кг = к2х^к^ + г)(Ь[-Ь'г)\ ... ^ (17)

= К, х+км (1(1+г)^

Входящая в выражения (16) и (17) характеристика г ВГП, разделяющей ступени с волновыми сопротивлениями С и Сп,, а также параметр х определяются следующими формулами:

х = г-(1 + гЙ, г = (18)

+ '"л-!

Процедура расчета параметров идеально плоского удара в УС с ВГП сводится к построению расчетной схемы и записи уравнений (14) и (15) для всех интересующих временных периодов. Оба стержня разбиваются по длине на конечное число равных ступеней, причем должно соблюдаться условие 10/а] = = 10/а2. Некоторые ВГП могут быть фиктивными. Осуществляется нумерация ступеней в направлении от неударного торца к поверхности контакта. После этого для каждого стержня отдельно определяются коэффициентыЬ1,Ъ}, ...,Ъ. Для расчета используется рекурсивная процедура. Так, для определения коэффициентов ЬГЬ2, ..., Ь. стержня с п ~ 4 записываются выражения (16)-(17), в которые входят неизвестные коэффициенты Ь,, Ь2, ... , 6. стержня с п = 3. Отбрасывается ступень 4, прилегающая к ударному торцу, и для получившегося трехступенчатого стержня вновь записываются выражения (16)-( 17), в которые входят неизвестные коэффициенты ЪГЬ2,... ,Ь. стержня сп = 2. Отбрасывается ступень 3, и для получившегося двухступенчатого стержня записываются выражения (16)-( 17), в которые входят коэффициенты Ь,", Ь2 ,..., Ъ? стержня с п = 1. Значениями коэффициентов Ь2°, ... , Ь° учитываются граничные условия на неударном торце. Для свободного стержня ¿;°= Ь2°=...= 1. Для стержня, опертого на жесткую преграду Ь"= -1, Ь3°= 1, Ь3° = -1 и т. д. После чего все отложенные вычисления выполняются в обратном порядке.

Уравнения (14) и (15) позволяют определить зависимости силы и скорости от времени в контактном сечении УС. Для получения соответствующих зависимостей в других сечениях УС требуется преобразования найденного решения по определенной методике. Следующим расчетным сечением является смежное с контактным сечение, разделяющее ступени с волновыми сопротивлениями Сл и С . Независимо от того, является стержень ударником или волноводом, силовые параметры /,,/2, ... , ^ в этом сечении связаны с силовыми параметрами Б],Р2, .... ^ в контактном сечении выражениями

/ = (1 -г) (/• к<+Г2 *н + *,_2 +...), (19)

где к1, к2, ... , к. - вспомогательные коэффициенты (17), необходимые для расчета коэффициентов конфигурации «-ступенчатого стержня; г-характеристика ВГП, разделяющей рассматриваемые ступени.

Скорость этого сечения в течение /-го временного интервала для ударника определяется уравнением, имеющим ту же структуру, что и (14):

К ~тЛ-Г-Л + Л +... + /,-, й,(,)1 -, (20)

где С1п1 - волновое сопротивление (п-1)-й ступени ударника. Массив Ва>' = = (Ь,(,>', Ь20>',..., Ь. /'г) содержит коэффициенты конфигурации ударника без п-й ступени. Скорость в течение г-го временного интервала этого же сечения в волноводе, определяется уравнением, по структуре аналогичным (15):

(21)

где С2п1-волновое сопротивление (п-1)-й ступени волновода. Массив Ет' =

= (Ь{2>', Ь2а>'.....Ь{1(2>') содержит коэффициенты конфигурации волновода

без п-й ступени.

Для сечения, разделяющего ступени с волновыми сопротивлениями С и Сп 2, силовые параметры е1, е2, ..., е. связаны с силовыми параметрами/,, /2, ... ,/п в предыдущем сечении выражениями

= 0 -г') (л к+л +А *;.2 + -). (22)

где к/, к2', ..., к1'- вспомогательные коэффициенты (17), необходимые для расчета коэффициентов конфигурации стержня с отброшенной п-й ступенью, г' - характеристика ВГП, соответствующей данному сечению. Скорость этого сечения в ударнике в течение /-го временного интервала определяется уравнением

+ + (23)

где С; п1~ волновое сопротивление (п-2)-й ступени ударника. Массив В(" " = - (Ь/"", Ь20>", ... , ") содержит коэффициенты конфигурации ударника без л-й и (п-1)-й ступеней. Скорость в течение ¿-го временного интервала этого же сечения в волноводе определяется уравнением

и, = ~С+ е2 А«" + Ъ\г") + , (24)

где С2п2-волновое сопротивление (п-2)-й ступени волновода. Массив Вп>" = = (Ь<2>", Ь2(2>", ..., Ь./2)") содержит коэффициенты конфигурации волновода без л-й и (п-])-й ступеней.

Этим способом осуществляется переход от одного сечения к другому, вплоть до неударного торца стержня. Если стержень свободный, то сила на неударном торце, равна нулю. Скорости частиц С/, на свободной поверхности ударника связаны со скоростями частиц IV. в смежном сечении выражениями: и, = 2Р,-Г„, ^=2(Г2-Г,) + К0,

и, = 2(Щ-1Г2+Щ)-Г0, ...

Зависимости, связывающие скорости частиц на свободной поверхности неподвижного до удара волновода со скоростями частиц в смежном сечении, имеют вид (25), но с учетом Уе = 0.

Скорость частиц на неударном торце опертого стержня равна нулю. Силовые параметры в опертом и смежном с ним сечениях связаны выражениями

е, = 2(/;-/,.,+/„-... ). ■ (26)

Такая связь имеет место независимо от количества ступеней в опертом стержне. Получить значения ударных ускорений в различных сечениях УС с помощью модели плоского удара невозможно. Ступенчатый характер зависимости скоростей от времени предполагает скачкообразное изменение скорости за время, равное нулю, поэтому ускорение оказывается бесконечно большим.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СТУПЕНЧАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Методика, опирающаяся на уравнения динамики стержней с ВГП, является универсальной и позволяет рассчитывать параметры плоского удара в стержневой У С самого общего вида. Рассмотрены примеры практического использования методики (глава 4). Вначале для сравнения рассчитаны те УС, для которых в главе 2 с помощью метода Даламбера были найдены аналитические решения, причем получено точное совпадение результатов. Объем вычислений не зависит от конфигурации УС, в отличие от метода Даламбера, который по мере усложнения конфигурации приводит к более громоздким выкладкам.

На рис. 10 показаны расчетные зависимости силы и скорости от времени в плоскости контакта УС без ВГП с волноводом, опертым на жесткую преграду. Стержни изготовлены из одинаковых материалов, длины стержней связаны соотношением = 2 12, волновые сопротивления - соотношением С, = 2 Сг По оси абсцисс отложены значения безразмерного времени, причем за единицу принято время распространения волны по одной ступени. По оси ординат -значения безразмерной силы и безразмерной скорости, при этом за единицу приняты начальные значения силы и скорости в контактной плоскости и Vг

Результаты применения методики сопоставлены с опубликованными в работах Ф.К. Арндта, Е.В. Александрова и В.Б. Соколинского данными по расчету параметров плоского удара в УС, состоящих из грибообразного ударника и полубесконечного волновода без ВГП. Выявлены отдельные ошибки, допущенные авторами вследствие несовершенства применявшегося ими подхода.

Показаны результаты практического применения методики для расчета стержневых УС с плавно меняющимся по длине волновым сопротивлением (рис. 11 а). Такой стержень может моделироваться ступенчатым стержнем, показанным на рисунке пунктиром. При этом, чем меньше длина ступени, тем лучше получаемое решение аппроксимирует реальную зависимость.

в

Сп

А

К

\

Расчетное сечение

а)

График зависимости ударной силы от времени

Р 2.333 1.750 1.167 0.583 0.000

2.00

4.00 б)

6.00

8.00 {

График зависимости скорости в сечении от времени V 1.074

0.537 0.000 -0.537 -1.074

2.00

4.00

в)

Рис. 10 21

6.00

8.00 I

У

г 3.236 2.427 1.618

0.809 0.000

0 5.50 11.00 16.50 22.00 *

б) Рис. 11

На рис. 11 б показана зависимость силы от времени в контактном сечении при свободном ударе в УС с коническим ударником и волноводом той же дл ины без ВГП. Ударник моделировался 8-ступенчатым стержнем. Зависимость дана в безразмерных координатах, общих с предыдущими случаями. С увеличением количества ступеней амплитудное значение силы удара не меняется. Изменяется лишь передний фронт ударного импульса.

В некоторых стержневых УС реализуется схема неторцевого удара, показанная на рис. 12. Еще чаше такой тип соударения возникает при взаимодействии различного рода поршней и толкателей. Использование полученных уравнений динамики стержней с ВГП позволяет построить методику расчета параметров неторцевого продольного удара. Волновод разделяется на два полустержня -верхний и нижний. Тогда - сила действия полустержня 2 на ударник, Р2) -сила действия ударника на полустержень 2, Р3) - сила действия полустержня 2 наполустерженьЗ, V- скорость контактной плоскости. Для описания динамики ударника 1 может быть использовано уравнение (14), для описания динамики полустержня 2 -уравнение (15). Эти элементы могут иметь ступенчатую конфигурацию, а полустержень 2, кроме того, может быть свободным или опертым на жесткую преграду. Эта информация учитывается массивами коэффициентов

во> = (Ьо>; ь<».....ив<2> = (Ь<2>, ьр>,..., ь,/2>).

М-

г°, с3, с» Р'- \ С в / \ о. и<» /\о, и<3> / \ /ц», \у<» \ /<3),1¥<3)

/ р I р, А 3) V<3>Тг\\ Р а> V (V/Л\ Г <3> V,3> Тл\ А V- /'' V ! V ! \\ 0, му П \о, №<'>// /:'р (!) 1/А\ //р (0 у (Ж\ //&(') V а> 1/1 ' ' V, // 1 ' 2 \\ // 3 ' " 3

( V Р2'\ С: р<з) 0 \ 210/а \ чД ' \ Р(2), У™ \ Р2<2\ У'2> \ Р<2>, V'2'

Рис. 12

Уравнение динамики полустержня 3 представляет собой (14) с начальной скоростью V равной нулю. Для УС, включающей и-ступенчатый ударник 1, т-ступенчатый полустержень 2 и ¿-ступенчатый полустержень 3, можно записать:

ур

Ч» 4«

Ц т т

Г?) = - А(+ +/,(.;) ¿0)) _ £?!. (27)

^Н- /Г.И; ^(2)= ^(3)=

где Сы, С2т , С3к - волновые сопротивления контактирующих ступеней ударника 1, пйлустержня 2 и полустержня 3. Последовательно записывая для каждого временного периода (/ = 1,2,3, ...) систему (27) и решая ее, можно определить Р^, Р<2>, Р<3>, V.. Поскольку Р.® •+ Р'3' = Р<2>, признаком окончания удара является смена знака в правой части этого уравнения, что соответствует размыканию контакта между ударником и волноводом по плоскости А.

На рис. 13 представлены графики импульсов в различных элементах УС схемы рис. 12: импульс в сечении ударника 1, совпадающем с плоскостью А, (рис. 13 а); импульс в сечении полустержня 2, совпадающем с этой же плос-

Г 1.250

0.625 0.000 -0.625 -1.250 Р 1.000 0.750 0.500 0.250 0.000

I

Р 0.451 0.226 0.000 -0.226 -0.451

2.00

2.00

2.00

4.00 а)

4.00 б)

4.00 в) Рис. 13

6.00

6.00

6.00

8.00 1

8.00 t

8.00 1

костью (рис. 13 б); импульс в сечении полустержня 3, совпадающем с плоскостью Л (рис. 13 в). Волновые сопротивления контактирующих ступеней связаны соотношениями: С/ / С2 = 4 / 3, С2 / С} = 4. За единицу силы принята сила Р<2>, возникающая в сечении А полустержня 2 в начальный момент времени.

Эта методика вполне применима для расчета более сложных УС (рис. 14). В этом случае на два полустержня разбивается не только волновод, но и ударник. Уравнение равенства проекций сил на ось стержней для каждого временного периода (г = 1,2, 3, ...) в УС этого типа имеет следующий вид:

+ /,(2)_ 0 . (28)

К полученным выше уравнениям необходимо добавить уравнение динамики нижнего полустержня-ударника 4. Это уравнение по структуре совпадает с общим уравнением волновода, двигавшегося до удара с начальной скоростью Уп в том же направлении, что и ударник:

К« =Г0+ + + (29)

^4/ 4/

где У<4> и Г:4> - скорость и сила в контактной плоскости в течение /-го временного интервала; /г/№, Е2(4>, ..., Ги<4) - силы, действовавшие в течение предыдущих временных интервалов; С4! - волновое сопротивление примыкающей к плоскости контакта ступени; I - количество ступеней. Конфигурация полустержня 4 учитывается массивом коэффициентов Вю =(Ь1<4>, Ь'4>, ..., Ь. :(4>).

Рис. 14

Разработаны алгоритмы и программное обеспечение, реализующие в среде визуального программирования Delphi расчет параметров плоского удара в стержневой УС с ВГП. Вычисляются и выводятся зависимости силы и скорости от времени в любом сечении ударника и волновода. Приложение обеспечивает получение графического изображения зависимостей на экране и на бумажном носителе, а также запоминание изображений в цифровом виде для последующего использования в электронных документах.

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УДАРА В СТУПЕНЧАТЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ С ЗАКРУГЛЕННЫМИ ТОРЦАМИ

Уравнения динамики ударника и волновода с ВГП, позволяют, используя подход Сирса, построить контактно-волновую модель продольного удара в УС общего вида (глава 5). Для построения та1сой модели необходимо располагать уравнением, связывающим разность мгновенных скоростей приконтакт-ных сечений ударника и волновода со скоростью деформации контактной зоны. Выведем это уравнение, подставляя в (5) уравнения (14) и (15):

где а - контактное сближение под действием ударной силы Р\ Уд - начальная скорость ударника; 101 и Я - длина и площадь поперечного сечения примыкающей к контактной зоне ступени ударника; 102 и Б2 - длина и площадь поперечного сечения примыкающей к контактной зоне ступени волновода. Конфигурация ударника (количество, расположение ВГП и их характеристики) учитывается массивом коэффициентов Вп> =(Ь1('> ,Ь2(1), ..., Ьт(1)). Конфигурация волновода учитывается массивом коэффициентов В(2) =(Ь<2), Ь<2>, ..., Ьк<2)).

В рамках метода Сирса возможно совместное решение уравнения (30) с любым уравнением вида/7 =/(<х), определяющим силовую характеристику контактной зоны. Для построения универсальной контактно-волновой модели целесообразно осуществить совместное решение (30) с уравнениями силовой характеристики, полученными Б.Н. Стахановским. Математическая модель в этом случае преобразуется к безразмерному виду с помощью известных соотношений связи размерных и безразмерных параметров удара. Модель включает два обыкновенных дифференциальных уравнения. В первой фазе удара (изменение силы от нуля до максимума) имеет место зависимость

/

(1а_ Л

= К~Гь=Го

(30)

/

Во второй фазе удара (изменение силы от максимума до нуля):

£0Л/Др

Г" (3). (32)

¿г а,

В уравнения (31) и (32) входит общая волновая часть (В):

' 2

1+Л

4-6Й Р(^) + ...). (33)

В уравнениях (31)-(32): безразмерная сила; I - безразмерное время; к— безразмерная приведенная жесткость; Ь - безразмерная постоянная физико-механических свойств; а0 - приведенная абсолютная деформация; q - переменный показатель степени в силовой характеристике контактной зоны; п - постоянная второй фазы удара; Ев- приведенный модуль упругости; приведенный радиус закругления торцов;; I - отношение 102 к 1д1; а- отношение а2 к аг

Задача сводится к последовательному решению уравнений (31) и (32). После этого определяются зависимости силы от времени в нужных сечениях УС. Располагая массивом значений сил, можно получить массив значений скорости, а от скоростей перейти к ускорениям. Расчет ускорения в сечении в каждый момент времени сводится к решению задачи численного дифференцирования таблично заданной функции. Для трех узлов производная в центральном узле

(К*,-К-,) (34)

' 2Д/

где А / - шаг по времени при численном решении дифференциальных уравнений контактно-волновой модели.

Разработано программное обеспечение; реализующее численное решение дифференциальных уравнений контактно-волновой модели на ЭВМ. Приложение написано и отлажено в среде визуального программирования Бе1рЫ, имеет общий интерфейс с приложением, реализующим расчет плоского удара.

Расчетные зависимости ударной силы от времени сопоставлены с экспериментальными осциллограммами, опубликованными в работах Е.В. Александрова, В.Б. Соколинского, О.Д. Алимова, В.К. Манжосова, В.Э. Еремьянца. Модель обеспечивает лучшую аппроксимацию экспериментальных кривых, чем применявшиеся авторами методики. На рис. 15 показана экспериментальная осциллограмма (штрих-пунктир) ударной силы в гладкой полубесконечной штанге при ударе по ней двухступенчатым ударником. Скорость соударения - 5 м с1. Длина контактирующей ступени равна 0,14 м, длина второй

1° о

U.

ступени - 0,07 м. Площадь сечения контактирующей ступени и площадь сечения штанги - 9 10^ м2. Площадь сечения второй ступени - 35 Ю4 м2. Расчетный импульс, полученный с помощью предлагаемой модели, показан сплошной линией. Штриховой линией нанесен импульс, полученный с помощью теории плоского удара.

Поставлен физический эксперимент, в ходе которого определялись значения коэффициента отскока и площади ударного импульса для стержневых УС с ВГП. Тем самым доказана эффективность предлагаемой модели и в случае интегральной оценки силовых факторов при ударе.

Контактно-волновая модель использована при решении ряда практических задач в различных отраслях машиностроения. В частности, с ее помощью выполнен расчет динамики ударного испытательного стенда ОМ 9954.173. По данной методике в рамках договора о научно-техническом сотрудничестве между ОмГТУ и КБ «Полет» (г. Омск) был выполнен расчет ударных перегрузок, возникающих на элементах конструкции космического аппарата «Чемп» при срабатывании пиротехнических средств системы отделения. Система содержит четыре пиротолкателя, обеспечивающих в исходном состоянии механическую связь космического аппарата и ракеты-носителя.

Основными узлами пиротолкателя (рис. 16) являются: корпус 1, поршень 2, шток 3, гильза 4, вкладыши 5. При срабатывании пиропатронов газы через коллектор системы отделения 7 попадают в подпоршневую полость. Поршень приводит в движение шток. Шток срезает чеку, фиксирующую его положение относительно гильзы. Вкладыши сходят в зону меньшего диаметра, вследствие чего нарушается связь между гильзой и корпусом, и космический аппарат 8 отделяется от рамы ракеты-носителя 6. Эксперименты, проведенные специалистами Центра прочности ЦНИИМАШ Российского Космического Агентства, показали, что при отделении имеет место сложный виброударный процесс с амплитудными значениями ускорения порядка 40000 м с-2.

Пиротолкатель можно рассматривать как стержневую УС с ВГП, состоящую из нескольких элементов, разновременно взаимодействующих друг с другом. Наибольшие перегрузки возникают при ударе поршня по гильзе, поскольку к моменту соприкосновения поршень развивает скорость до 12 м с1. При расчете поршень (ударник) моделировался стержнем, состоящим из 19 ступеней с 5 реальными ВГП. Гильза (волновод) моделировалась стержнем, состоящим из 11 ступеней с 3 реальными ВГП. Зависимость ударного ускорения от времени в зоне контакта показана на рис. 17, в расчетном сечении, соответствующем внутренней поверхности рамы космического аппарата, - на рис. 18.

V/ 0.896

0.448

0.000 -0.448

-0.896

1« 0.009

-0.009

65.36 1

18.02

36.04 Рис. 18

54.06

72.08 1

Обе зависимости приведены в безразмерном виде. Размерное ж и безразмерное н> ускорения связаны соотношением

- К

(1 + Л)и'

где Уд - начальная скорость ударника, ¡0 - время распространения волны по одной ступени УС, к - отношение волновых сопротивлений контактирующих ступеней волновода и ударника.

Полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными экспериментальных исследований Центра прочности ЦНИИМАШ. Расчетное значение амплитуды ударного ускорения составляет 55000 м с"2. Это выше' экспериментально зафиксированного на 37 %, что объясняется упрощениями, принятыми при составлении расчетной схемы. Однако для расчетов параметров ударных процессов такое расхождение является допустимым. Подтвердились также выводы о снижении уровня ударных ускорений по мере удаления от оси пиротолкателя в радиальном направлении.

ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ СТЕРЖНЕВОЙ ФОРМЫ

Для эффективного проектирования силовых импульсных систем, необходим анализ зависимости параметров удара от характеристик стержневой УС в широкой области, что позволяют сделать методы теории подобия (глава 6).

Преимущественная сфера применения этой теории - поиск неявных зависимостей, описывающих ударные процессы. Вместе с тем в работах П.М. Алабу-жева отмечается, что при наличии дифференциальных уравнений, описывающих явление, применение методов теории подобия позволяет, не интегрируя этих уравнений, получить из них критерии подобия и установить зависимости, справедливые для всех подобных между собой процессов.

Получив из дифференциальных уравнений контактно-волновой модели критерии подобия ударных процессов в стержневой УС и решая эти уравнения конечное число раз, можно проанализировать влияние различных факторов на параметры удара в весьма широкой области и распространить полученную информацию на целые группы подобных явлений. Данные по параметрам подобных ударных процессов можно объединить системой графиков, таблиц и аналитических выражений. Кроме того, математическая модель, описываемая дифференциальными уравнениями (31)-(32), будучи в целом приведена к безразмерному виду, требует задания на входе размерных значений параметров УС. Связав последние безразмерными выражениями, можно добиться наивысшей степени обобщения (безразмерные данные - безразмерные результаты).

Для описания ударных явлений требуются три основные размерности: длина ¿, время Г и масса М. Система определяющих параметров УС устанавливается из уравнений (31) - (32). Она включает: скорость соударения Уд, длины тел 1д/ и 1д2, диаметры тел ^ и й2, приведенный радиус закругления контактных поверхностей Я0, модули упругости материалов Е1иЕ2, скорости распространения продольной волны в телах а1 и а2, минимальную твердость

в зоне контакта НУ, коэффициенты Пуассона и ц2. Уравнения содержат также безразмерное время г и безразмерную силу Г.

В том случае, если ударник и волновод имеют ВГП, массивы Ви> и Вт этих безразмерных коэффициентов также должны быть включены в систему критериев подобия. При этом параметры 10] и 102 имеют смысл длин ступеней ударника и волновода. Уравнения 1-й и 2-й фаз удара могут быть записаны как

О. ¿1

= / ('о.,¿2, Я», К, Ех,Ег, а1гаг, НУ, 5(1), Я(2))- (36)

Комбинируя параметры, входящие в (36), можно получить большое количество безразмерных отношений. Однако число независимых критериев подобия ограничено и определяется л-теоремой как разность количества всех размерных параметров и основных единиц измерения. В нашем случае, имея три основные единицы измерения, из 15 параметров, входящих в (36), можно составить не более 12 независимых безразмерных комбинаций:

Я =

( Й У

А,

Е,

20 ЯК

I,

0,6

к

Уа - 5000 — а,

А =

а,

Мг\ Б{>\ В(2)-

(37)

V

Система критериев (37) задает полное геометрическое и физико-механическое подобие процессов продольного соударения. При исследовании стержневых УС строгое геометрическое подобие не является обязательным. Более важным является «акустическое» подобие. Так, если две пары гладких стержней имеют одинаковые значения отношения волновых сопротивлений X и отношения времени распространения волн Т, то можно говорить о подобии волновых процессов в этих телах, хотя геометрически подобными эти пары могут и не быть.1

ступеней) X и отношение времени распространения волн в телах (ступенях тел) Г могут быть представлены в виде комбинаций некоторых критериев:

Л =

¡/>1

Г =

02 Ц1 _

¡е., а-,

£*2 ^ 5, а2 Х_ А '

ЕБ А

(38)

С учетом выражений (37) дифференциальное уравнение 1-й фазы удара после соответствующих преобразований принимает вид

>

<П ~ ' "

Ь

к

_ 1+2

(Л),

(39)

В уравнение (39) входит волновая часть

(2>) = 1-/г-(21

и+л

( ^р (?-2)+ + ^ ^И + ■ )-

"(гЬ)(^* (40)

Безразмерные величины & и Ъ также выражаются через критерии (37):

к =56,85

Я К.

6 =96

/>2

\ + Л

1 + Л

£

(1-//?);?+(1-//22) Е

(41)

НгУа\ Л

Уравнение 2-й фазы удара после подстановки выражений (37) примет вид

¿р —211 -С=л2Р" (В), а/

(42)

\[5 (1+Л)

К Л

(1-//12)£ + (1-//22),

Возможность моделирования ударных процессов с помощью предложенной системы критериев подобия и безразмерных параметров удара подтверждена в ходе физического эксперимента со стержневыми парами, построенными по выборочным значениям критериев. Сопоставлялись данные по амплитуде ускорения, времени контакта и коэффициенту восстановления.

Разработаны принципы постановки вычислительного эксперимента, позволяющего получить значения безразмерных параметров удара в зависимости от изменяемых в широком диапазоне значений критериев подобия. Определены границы областей факторных пространств. Выбрана форма представления результатов, удобная для их дальнейшего использования. При этом большая часть информации объединяется системой графиков, таблиц и аналитических выражений, параметры которых определяются методами регрессионного анализа.

>

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненных теоретических и экспериментальных исследований получены следующие новые научные и практические результаты:

1. Выведены общие уравнения динамики стержневых элементов системы «ударник — волновод» с ВГП с помощью положений известной методики, основанной на замене аналитического решения волновых уравнений решением, предполагающим применение лишь основных законов динамики совместно с базовым положением волновой теории о конечности и определенности скорости распространения напряжений и деформаций в телах.

2. Найдены входящие в эти уравнения коэффициенты конфигурации стержня, позволяющие учитывать количество ВГП, их характеристики и расположение, а также граничные условия на неударном торце стержня. Доказано, что известные уравнения динамики стержней без ВГП являются частными случаями, имеющими место при определенных значениях этих коэффициентов.

3. Разработана опирающаяся на уравнения динамики стержней с ВГП прикладная методика расчета параметров плоского удара в стержневой УС

' наиболее общего вида. Расчетная методика, является универсальной и позволяет эффективно определять параметры плоского удара в различных сечениях стержневой УС. Такая УС может содержать ступенчатые, гладкие и полубесконечные стержни. Волновод в расчетной схеме может быть свободным или опертым на жесткую преграду.

4. Доказано, что результаты расчетов по данной методике в точности совпадают с аналитическими решениями, полученными для волнового уравнения с помощью метода Даламбера. Объем расчетов при использовании методики практически не зависит от конфигурации УС, в отличие от метода Даламбера, который по мере усложнения конфигурации приводит к более громоздким вычислениям. Доказано также, что результаты расчетов по данной методике совпадают с решениями, полученными ранее для ряда конкретных ступенчатых УС с помощью элементарного изложения волновой теории плоского удара.

-Доказана возможность использования полученных уравнений для расчета

динамики УС, содержащих элементы с плавно меняющимся по длине волновым сопротивлением, например, конические стержни. Такие элементы могут эффективно моделироваться ступенчатыми стержнями. Чем меньше длина ступени, тем лучше получаемое решение аппроксимирует реальную зависимость.

5. Разработана методика расчета неторцевого продольного удара в стержневой УС с ВГП. Использован известный подход к'расчету таких систем, основанный на разделении взаимодействующих элементов на полустержни. Для каждого из этих полустержней определяются коэффициенты конфигурации, позволяющие адекватно учесть особенности волновых процессов на их внутренних и внешних граничных поверхностях.

6. Разработано программное обеспечение, реализующее расчет на ЭВМ параметров плоского удара в стержневой УС общего вида. Программа написана и отлажена в среде визуального программирования Delphi. По запросу пользователя вычисляются и выводятся параметры импульса в любом сечении УС. Приложение имеет широкие возможности, включая получение наглядного графического изображения расчетных зависимостей на экране и на бумажном носителе, а также запоминание этого изображения в цифровом виде для последующего использования в электронных документах.

7. Построена контактно-волновая модель продольного удара в стержневой УС с закругленными контактирующими торцами. Модель реализует известный подход Сирса, однако отличается большей степенью обобщения, позволяя учитывать конфигурацию стержней, упругопластическое деформирование контактной зоны, и различные граничные условия на неударном торце волновода.

Разработано программное обеспечение, реализующее численное решение дифференциальных уравнений модели в среде Delphi. Приложение имеет общий интерфейс с приложением, реализующим расчет плоского удара. Проведено теоретико-экспериментальное исследование адекватности данной модели, включающее сравнение с данными других исследователей и собственный физический эксперимент.

Разработана система критериев подобия явлений продольного упруго-пластического удара тел стержневой и формы с ВГП. Контактно-волновая модель полностью преобразована к безразмерному виду.

8. Решен ряд практических задач расчета формирователей ударного импульса в системах летательных аппаратов и устройствах для проведения ударных испытаний. По заказу КБ «Полет» (г. Омск) выполнен расчет ударных перегрузок, возникающих на элементах конструкции космического аппарата «Чемп» при срабатывании пиротехнических средств системы отделения. В рамках работ по модернизации ударного испытательного стенда ОМ 9954.173 выполнен расчет параметров стенда, обеспечивающих повышение амплитуды воспроизводимого ударного ускорения до 30000 м с"2. Разработанные расчетные методики и программное обеспечение внедрены в Институте горного дела СО РАН и используются при проектировании машин ударного действия технологического назначения.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Малков О.Б., Стахановский Б.Н. Определение максимального импульсного ускорения на этапе проектирования испытательного динамического оборудования // Динамические испытания: Материалы 'семинаров. - М.: ЦНИИИТЭИ, 1987. - С. 59-60.

2. Бегбаев В.Г., Малков О.Б. Вопросы модернизации ударных стендов для воспроизведения нагрузок повышенной интенсивности II Динамические испытания: Материалы семинаров. - М.: ЦНИИИТЭИ, 1987. - С. 61-62.

3. Вопросы создания универсальных стендов для комплексных динамических испытаний / Б.Н. Стахановский, Р.А. Канушин, В.Е. Коновалов, О.Б. Малков и др. // Новые методы и средства динамических испытаний: Материалы семинара, 6-8 июня 1988 г.-М.: ЦНИИИТЭИ, 1988.-С. 35-37.

4. Стахановский Б.Н., Малков О.Б. Моделирование ударных процессов в испытательных стендах // Прецизионная вибромеханика, 88-2. Динамические испытания и контроль механических систем: Материалы семинара по ТММ АН СССР, 14-16 июня. - Каунас: КПИ, 1988. - С. 84-85.

5. Малков О.Б., Стихановский Б.Н. Учет влияния волновых процессов при расчете параметров продольного удара // Новое оборудование для проведения ударных испытаний. Отработка удароустойчивости изделий: Материалы семинара, 20 - 22 сент. - М.: ЦНИИИТЭИ, 1988. - С. 3-6.

6. Малков О.Б. Зависимость параметров импульса ударного ускорения от характеристик системы «ударник- волновод» / Омский политехи, ин-т. - Омск, 1991. - 19 с. - Библиогр.: 2 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 4369. - В 91.

7. Малков О.Б. Зависимость параметров импульса ударной силы от характеристик системы «ударник - волновод» / Омский политехи, ин-т. - Омск, 1993. -24 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 1000. - В 93.

8. Малков О.Б. Применение теории подобия к исследованию математической модели ударного взаимодействия элементов силовых импульсных систем // Динамика систем, механизмов и машин. II Международная научно-техническая конфе.ренция:-Теа- докл. Кн.-1.—Омск,-! 997.—С.-137.-

9. Малков О.Б. Динамика ступенчатых ударников в силовых импульсных системах / Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -17 с. - Библиогр.: 3 назв.

- Деп. в ВИНИТИ, № 785. - В 98.

10. Стихановский Б.Н., Малков О.Б. Математическое моделирование явлений продольного удара в силовых импульсных системах // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (1908-1989). Тезисы докладов, часть III. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. - С. 42.

11. Малков О.Б. Динамика ударников стержневой формы с внутренними граничными поверхностями / Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -12 с.

- Библиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 3480. - В 98.

12. Мал ко и О.Б. Динамика волноводов стержневой формы с внутренними граничными поверхностями / Омский госуд. техн. ун-т. - Омск, 1998. -14 с.

- Библиогр.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ, № 3479. - В 98.

13. Стахановский Б.Н., Малков О.Б. Расчет параметров удара в системах ■ ■ со ступенчатыми ударниками // Анализ и синтез механических систем: Сб. науч. тр. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. - С. 40-43.

14. Малков О.Б. Формирование ударных импульсов в системах со ступенчатыми элементами // Омский научный вестник. - Вып. 5. - 1998. - С. 60-63.

15. Малков О.Б. Подобие ударных процессов в системах, содержащих элементы с внутренними граничными поверхностями // Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1999. - С. 116-118.

16. Малков О.Б., Стихановский Б.Н. Математическое моделирование продольного удара в ступенчатых системах // Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1999. - С. 118-121.

17. Малков О.Б. Расчет ударного импульса, формируемого в стержневой системе наиболее общего вида // Омский научный вестник. - Вып. 8. - 1999.

- С. 84-86.

18. Малков О.Б. Методика расчета параметров ударной нагрузки при стендовых испытаниях систем бортового оборудования летательных аппаратов // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы III Международной научно-технической конференции. - Омск: ОмГТУ, 1999. - С. 193-194.

19. Малков О.Б. Реализация математической модели продольного удара в стержневой системе общего вида//Омский научный вестник. - Вып. 9.-1999.

- С. 67-70.

20. Малков О.Б. Расчет параметров идеально плоского удара в системах со ступенчатыми элементами // Вибрационные машины и технологии: Сб. научных докладов IV Международной научно-технической конференции.

- Курск: КГТУ, 1999. - С. 165-167.

21. Малков О.Б. Расчет ударных импульсов в ступенчатых стержневых системах: Монография. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000. - 112 с.

22. Малков О.Б. Общий способ расчета параметров плоского удара в ступенчатых ударных системах // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - Новосибирск, 2000. - № 1. - С. 61-66.

23. Малков О.Б., Усенко С.И. Определение скоростей и ускорений в различных сечениях стержневой ударной системы // Омский научный вестник.

- Вып. 11.- 2000. - С. 105 - 108.

24. Малков О.Б., Стихановский Б.Н. О расчете многостержневых ступенчатых ударных систем //Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - Новосибирск, 2000. - № 3. - С. 101-107.

25. A.c. 1369384 СССР, МКИ Е 21 с 3/20. Гидравлическая бурильная машина ударно-вращательного действия / Б.Н. Стихановский, В.И. Еременко, О.Б. Малков. - Зарегистрир. в Гос. реестре 22.09.87.

26. A.c. 1422549 СССР, МКИ В 25 d 13/00. Электрический перфоратор / Б.Н. Стахановский, С.Н. Рыбалко, О.Б. Малков, В.Е. Коновалов, М.Б. Стахановский. - Зарегистрир. в Гос. реестре 8.05.88.

27. A.c. 1462886 СССР, МКИЕ 21 с 3/16. Электродинамический ударный механизм / Б.Н. Стахановский, A.B. Ястребов, P.A. Канушин, О.Б. Малков. - Зарегистрир. в Гос. реестре 1.11.88.