Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ни мранах рукописи

Po'jaiiuiia Ольга С'ергеенпа

Применение метода моментои для исследования сиопстн решений систем ypaiiiieiniií газодинамического тппа

('пении, п.nocí i, 1)1.(11.1)2 Лиффсрсиииа. ii.iiMc ураншчшы. динамические CIICICMM II ouiима.'и.нос упрап. iciilic

Airгоргфераг диссертации на соискание ученой стеисии лок i opa (|)ir ¡и ко-м ai см a i ir ice к их паук

3

í 20 í 2

Владимир 21H 2

005018812

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" (МГУ им. М.В. Ломоносова).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Данилов Владимир Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Панов Евгений Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Пастухова Светлана Евгеньевна Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 29 мая 2012 года в 1С часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.024.02 во Владимирском государственном университете по адресу: 600024, г. Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного университета.

1МЧ-.

Автореферат разослан ........!... 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.024.02 кандидат физико-математических наук, доцент С. Б. Наумова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию свойств решений задачи Коши для систем уравнений, моделирующих сплошную среду с различными специальными свойствами. Эти системы имеют вид:

д1Р + ¿1Ух(рУ) = 0, (1)

дь{РУ) + сНуж(/зУ О V) + Vхр = Г. (2)

Ф + Ре) + (ф|У|2 + ре + р)у) = (3)

где р,У = (Ух,...., Уп), р. е обозначают плотность, скорость, давление и внутреннюю энергию, соответственно. Мы ограничим себя рассмотрением политропных сред, то есть уравнения состояния зададим как

р = Ирв, е = св. р = А ехр ^ р7.

Здесь А > 0 - константа, Я - универсальная газовая постоянная, в — температура, 5 — энтропия, с = 7 > 1 - показатель адиабаты. Здесь неизвестными являются плотность р, вектор скорости V = (Ц,..., Уп) и внутренняя энергия е; они зависят от времени Ь и точки пространства х — (а^, ...,хп) е М™.

Стоящие в правой части системы функции Г, Т (первая - вектор, вторая -скаляр) могут зависеть от £, х, р., V, е, а также от производных компонент решения р, V, е. На функции Г и ^ накладываются некоторые дополнительные условия, для системы уравнений газовой динамики эти функции нулевые. В частности, Р может описывать силу Кориолиса, силу сухого трения, дивергенцию тензора напряжений.

Системы уравнений вида (1) - (3) описывают баланс массы, импульса и энергии и выглядят как обобщения системы уравнений газовой динамики — по этой причине мы и называем их квазигазодинамичсскими. Они возникают во многих приложениях: собственно в газовой динамике, в метеорологии, океанологии, гла-сиологии, гидравлике, гемодинамике, космологии, лазерной физике, и т.д. Они описывают течение вязкоупругих жидкостей, гранулированные и разреженные среды. Свойства решений таких систем имеют некоторые общие черты, которые в первую очередь и будут нас интересовать.

Системы указанного вида интенсивно изучались и продолжают изучаться. Упомянем, отнюдь не претендуя на полноту, огромное количество работ, посвященных

построению частных решений решений уравнений газовой динамики (Н.Е.Кочин, Л.В.Овсянников, Л.И.Седов, А.Ф.Сидоров, О.И.Богоявленский и их ученики и последователи), работы, посвященные обобщенным в разных смыслах решениям таких систем (О.А.Олейник, С.Н.Кружков, Е.Ю.Панов, Б.Пертам, Л.Тартар, Р.ДиПерна, В.А.Тупчиев, В.А.Галкнн), работы, в которых описывается распространение и взаимодействие особенностей, а также необъятную литературу, посвященную численному интегрированию систем уравнений газовой динамики и их обобщений. В последнее время появился ряд монографий, подытоживающих изучение гиперболических законов сохранения, являющихся частным случаем систем квазигазодипамичсского типа, в частности, монографии К.Дафермоса, Ф.Лефлока, Б.Псртама, Т.-П.Лю, Д.Серра, П.-Л.Лионса.

Следует отметить, что несмотря на то, что для исследования свойств решений многомерных нелинейных систем квазигазодипамичсского типа интенсивно используются численные методы, собственно математические результаты, касающиеся таких систем, очень скудны. Особенно это касается классических решений.

Хорошо известно, что у решений гиперболических уравнений, даже если они первоначально сколь угодно гладкие, в течение конечного времени могут возникать особенности. Собственно, это и послужило поводом для построения теории обобщенных решений. Однако, если речь идет не о модельных, то есть значительно упрощенных, системах, то определить лишь по начальным данным, потеряет ли решение за конечное время гладкость или нет, очень трудно. Тем не менее, такая задача имеет, кроме теоретического, практический интерес. Например, в метеорологии возникающая особенность решения традиционно ассоциируется с атмосферным фронтом, в гидравлике - с гидравлическим скачком, в гемодинамике - с возникновением фибриляции, в лазерной физике - с явлением автофокусировки, в теории гранулированных сред - с явлением кластеризации, и т.д. Задача о том, сохраняется ли со временем гладкость решений уравнений Навье-Стокса в несжимаемом случае для пространства размерности три является одной из самых знаменитых. Ее аналог для сжимаемого случая чуть менее знаменит, по пс менее сложен.

Таким образом, научившись судить по начальным данным о том, потеряет решение гладкость или нет, мы научимся предсказывать "особенные" явления, а также ограничивать применимость разностных схем, сходящихся лишь на гладких решениях.

Задача о нахождении начальных данных, при которых у гладкого решения задачи Коши за конечное время образуется особенность, легко решается для мо-

дельного транспортного уравнения вида dtV + (V, Vx) V = 0. Ответ здесь следующий: решение является глобально гладким тогда и только тогда, когда спектр якобиана матрицы начальных данных отделен от действительной отрицательной полуоси Однако для системы уравнений квазигазодинамичсского типа такая задача, как правило, очень сложна даже в пространстве одной пространственной переменной, когда в принципе действенным оказывается метод характеристик. При F = О и f = 0 в изэнтропическом случае, когда система сводится к двум уравнениям и может быть записана в инвариантах Римана 2, метод характеристик даст полный ответ на вопрос о том, образуется со временем особенность или нет. Образование особенности в данном случае соответствует градиентной катастрофе, то есть обращению первых производных компонент решения в бесконечность. В неизэнтропическом случае также есть некоторые продвижения 3, 4, однако результаты носят или неявный характер, или касаются малых возмущений постоянного состояния. Задача об образовании особенностей для одномерной системы газовой динамики может быть исследована и другими методами 5. Однако эти методы дают только достаточные условия градиентной катастрофы и требуют неких априорных предположении о решении.

Первой работой, в которой найдены достаточные условия образования в течение конечного времени особенности гладкого решения для уравнений газовой динамики в трехмерном случае, является работа Т.Сидериса б. Изучались начальные данные, представляющие собой возмущение внутри компактной области постоянного нетривиального состояния с положительной плотностью. Общий смысл этих условий таков: скорость распространения носителя (то есть скорость звука в невозмущенной области) должна быть малой в сравнении с начальным возмущением. Условия, полученные Сидерисом, являются интегральными, и, вообще говоря, далеки от того, чтобы быть точными.

В настоящей работе этот результат улучшен и перенесен на случай, когда в правой части уравнений движения (2) стоит специальная внешняя сила, которая

'H.A.Levine, M.H.Protter, The breakdown of solutions of quasilinear first order système of partial differvntial équations, Arch.Rat.Mech.Anal. 95(1986), 253-267.

2Б.Л.Рождественсжий, Н.Н.Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложение, к газовой динамике. М.:Наука, 197S.

T.-P.Liu, Development of singularises in the nonlinear waves ¡or quasilinear partial differenrial équations , J.Diff.Equations, 33 (1979), 92-111.

4L.Fagui, Global smooth resolvability for one-dimensional gas dynamies systems. Nonlinear Anal. Ser.A: Theory.Mctbods. 30(1999), 25—3J.

"С.И.Похожаев, О гиперболических системах законов сохранения Дпфф.уравнешш, 30 (2003). 663-673.

"T.C.Sideris.ibiT/iafioH о/ sinyularities in solutions t.o nonlinear hyperbolic équations. ^rch.Rat.Mccli. Anal. 86 (1984), 309-381.

может иметь влияние на скорость распространения носителя.

Кроме того, в диссертации рассмотрены решения, имеющие конечный момент инерции и конечную полную энергию, без ограничения на носитель. Показано, что в случае, когда система (1) - (3) описывает вязкую, в том числе, неньютоновскую жидкость, а также гранулированную среду, возможно указать достаточные условия на начальные данные, при которых в течение конечного времени перестанет существовать классическое решение соответствующей задачи Коши со специальными свойством убывания на бесконечности по пространственным переменным. В случае вязкой жидкости существенную роль играет размерность пространства.

Как уже было отмечено выше, практически для всех систем вида (1) - (3) известные достаточные условия образования особенности первоначально гладкого решения в многомерном случае являются интегральными, то есть они характеризуют некоторые средние свойства решения, так что начальные данные, удовлетворяющие этим условиям, выделяются неоднозначно. По всей видимости, в многомерном случае нельзя надеяться tía получения критерия образования особенности, то есть необходимого и достаточного условия на начальные данные, по которому можно судить, образуется особенность гладкого решения или нет. Некоторым исключением являются уже упомянутое модельное транспортное уравнение, в том числе и содержащее Кориолисову силу, и тесно связанная с ним система газовой динамики "без давления". X.JIio и И.Тэдмор предпринимали попытки перенести технику, успешно работающую в упомянутых случаях, на случай обычной газовой динамики с градиентом давления 7. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. В недавней работе учеников И.Тэдмора Б.Ченя и Ч.Ши 8 получены некоторые достаточные условия на начальные данные, при которых решения уравнений мелкой воды (частный случай уравнений газовой динамики) в присутствии силы Кориолиса остаются гладкими в течение бесконечного времени.

Следует сказать, что существует обширная литература об образовании особенностей решений уравнений различного типа. Упомянем школу С.И.Похожаева, с успехом применяющую метод нелинейной емкости для доказательства несуществования решений краевых, начально-краевых задач и задач Коши для эллиптических и параболических уравнений и систем. Упомянем также многочисленные работы о возникновении особенностей полулинейных волновых уравнений в про-

7H.Liu, Е. Tadmor, Rotation prevents finite-time breakdoum. Phys. D 188 (2004), 262-276.

ЙВ.Cheng, G. Xie, On the classical solutions of two dimensional inmscid rotating shallow water system. J. Differential Equations 250 (2011), G90—709.

странствах многих переменных 9, о поведении решений нелинейного уравнения Шрсдингера и связанных с ним уравнений 10, п, 12, работы о разрушении решений систем уравнений магнитогидродинамики 13, нелинейной упругости 14, уравнений гравитирующего газа уравнений погранслоя 1б, а также симметрических гиперболических систем со специальными условиями на коэффициенты 17. Часто в этих работах (и список их далеко не полон) применяется технический аппарат, который может быть назван "методом интегральных функционалов" или "методом моментов". Применение подобного метода к различным системам уравнений, имеющим физическую природу, является интенсивно развивающимся в последнее время направлением.

С достаточными условиями возникновения особенностей тесно связан круг вопросов о выявлении классов начальных данных таких, что соответствующая задача Коши имеет глобально по времени гладкое решение.

Нет нужды обосновывать важность нахождения точных решений систем уравнений, моделирующих сложные физический процессы. Такие решения, например, традиционно используются как тесты для численных алгоритмов. Поиску точных решений систем уравнений газодинамического типа уделялось много внимания. Значительных результатов удастся достичь с использованием группового подхода. Упомянем в этой связи работы Л.В.Овсянникова и других ученых новосибирской школы 18, 19, 20.

'S.Alinhac, Blowup for nonlinear hyperbolic equations. Birkhauser. Boston-Basel-Berlin. 1995.

10M.I. VVeinstein, On the structure and formation of singularities in solutions to nonlinear dispersive evolution equations. Communications in Partial Differential Equations 11(1986), 545-565.

"F.Merle, Construction of solution with exactly к blow-up points for the Schrodinger equation with critical nonHnearity. Comm. Math. Phys. 123(1990), 223-240.

'-С.Н.Власов, В.И.Таланов Распределенный оптовой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера. в: "Нелинейные вмны. Динамика и эволюция." М.:Науна. 1989, 218-227.

"M.Rammaha, On the. formation of singularities in magnetohydmlynamic wawM.J.Math.Anal.Appl. 188(1994), 940-955.

14T.C.Sideris,Nonrcsonance and global existence of prestressed nonlinear elastic waves. Ann.Math.(2) 151(2000) 849-874.

l3B.Pcrthame, Nonexistence of global solutions to Euler-Poisson equations for repulsive force.s. Japan J. Appl. Math.

7 (1990), 363—3G7.

16\Veinaii E, B.Engquist, Blowup of solutions of the unsteady Prandtl's equation. Comm. Pure Appl. Math. 50

(1997), 1287-1293.

"T.C.Sidcris,Formation of singularities in solutions to nonlinear hyperbolic equations.Arch.Rat.Modi. Anal. 86 (1984), 369-381.

18A.Ф.Сидоров, В.П.Шапеев, Н.Н.Яненко, Метод дифференциальных связей и его применения в газовой ди-нл.«шге.Новосибирск: Наука, 1984.

19N. H.Ibragimov et al., CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation /att's.CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

-"A.P.Chupakliin, Singular vortex in hydm- and gas dynamics.Analytical approadies to multidimensional Ijalancc laws, Nova Sci. Publ., New York, 2006, 89—118.

Пример таких решений предоставляют решения с линейным профилем скорости, у которых компоненты скорости являются линейными функциями координат. Эти точные решения интересуют нас еще и потому, что на них достигается равенство в большинстве полученных оценок роста интегральных функционалов.

Идея рассмотрения решений с линейным профилем скорости далеко не нова. Такие точные решения есть у уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости в эллипсоидальной полости в трехмерном пространстве 21. В этом случае для нахождения зависящих от времени коэффициентов в компонентах скорости получается автономная динамическая система уравнений с квадратичной нелинейностью 22. В пашем случае, когда речь идет о сжимаемой среде, мы также получаем автономную нелинейную систему уравнений, куда помимо коэффициентов в компонентах скорости входят функционалы от плотности.

Мы рассматриваем ситуацию, когда в системе присутствуют сила сухого трения и сила Кориолиса, коэффициенты которых постоянны. В некоторых случаях упомянутую нелинейную систему удастся проинтегрировать полностью или понизить ее порядок. В общем случае можно исследовать ее положения равновесия на устойчивость н найти асимптотику решения при стремлении к устойчивому положению равновесия.

Мы показываем, что если коэффициент сухого трения отличен он нуля, вне зависимости от того, присутствует сила Кориолиса или нет, существует глобально гладкое по времени решение с линейным профилем скорости системы (1)-(3) с соответствующими F и Т такое, что в некоторой окрестности этого решения также существуют глобально гладкие по времени решения этой системы. Если сухое трение отсутствует, что для существования решения с такими свойствами нужно, чтобы отсутствовала и сила Кориолиса, то есть система (1)-(3) соответствует системе уравнений обычной газовой динамики. Для этого случая аналогичный результат был получен Д.Серром23.

Как правило, даже если нам удалось на основании начальных данных сделать вывод о том, что у решения соответствующей задачи Коши появится особенность, тип этой особенности неясен. Например, для уравнений газовой динамики максимум, что мы можем сказать, это то, что в некоторой точке обращается в бсс-

'-'Г.Ламб, Гидродинамика. М.: ГИТТЛ, 1947.

22Е.В.Гледоер, Ф.В.Должанский, А.М.Обухов, Системы гидродинамического типа и их применение. М.:Наука, 1981.

23D.Scrre, Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales do l'Institut Fouricr. 47 (1997), 139-153.

конечность или само решение, или его градиент 24, 23. Тип особенности, конечно, зависит от структуры F и Т. В случае обычной газовой динамики считается, что возникающая особенность представляет собой ударную волну, однако в многомерном случае это убеждение подкрепляется лишь численными расчетами.

Поэтому важным является выделение класса систем, для которых можно явно построить решения с образующимися в течение конечного времени особенностями. В частности, такими системами являются система газовой динамики без давления, а также система, получающаяся из нелинейного уравнения Шредингера в гидро-допамической интерпретации. Первая система используется для моделирования структуры вселенной - , а вторая — для описания явления автофокусировки в лазерной физике 27. Тем не менее оказывается, что структура возникающих при этом особенностей сходная. Более того, как мы показываем, в некоторых случаях оказывается возможным на основании решения одной системы построить решение другой.

Для нелинейного уравнения Шредингера с критической нелинейностью в настоящей работе мы строим новые классы решений, у которых образуется особенность, на основании гидродинамической интерпретации этого уравнения.

Следующим вопросом является вопрос о локализации п пространстве возникающей особенности. Зачастую он оказывается даже более сложным, чем локализация особенности во времени. Тем не менее задачи такого рода с практической точки зрения очень важны — если речь идет, например, о местоположении предсказанной ударной волны или атмосферного фронта. В некоторых случаях область, в которой гарантируется возникновение особенности, удается явно указать.

Методы исследования. При решении практически всех задач данной работы использовался специально разработанный метод интегральных функционалов, а также методы нахождения асимптотик решений сильно нелинейный систем дифференциальных уравнений, различные интегральные неравенства и теоремы вложения.

Цель работы. Разработка метода доказательства несуществования классиче-

"'А.И.Вольпорт, С.И.Худяев, О задаче Кохии для составных сис.тем нелинейных уравнений. Мат. сборник 87(1972). 504-528.

2jA.Majda, Compressible Fluiit Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space VariaWei.Spriiiger Appl Math. Sd., 53, 1984.

2eS.F. Sliandarm, Ya.B.Zeldovich. The large-scale structure of the Universe:Turbulence, iiUerrniUency, structures in a self-gravitating medium. Reviews of Modem Physics 61 (2) (1989), 185-220.

В.И.Таланов,О самофокусировке полковых пучков в нелинейных средах. Письма в "Журнал экспериментальной и теорстнчсско/i физики", 19G5, JV' 2, 218-222.

ского решения задачи Кошн для важных классов систем уравнений, моделирующих сплошные среды с различными свойствами. Получение оценок различных типов энергии и изучение возможности перехода одного типа энергии в другой. Построение классов точных решений некоторых квазигазодинамичсских систем: как глобально гладких, так и тех, у которых за конечное время образуется особенность.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Для различных систем вида (1) - (3) рассмотрен класс решений задачи Ко-ши с сохраняющейся массой, моментом импульса и конечным моментом инерции, мы обозначаем такой класс (КМИ). Для этих решений введен ряд специальных интегральных функционалов и изучены взаимоотношения между ними.

2. Доказано, что все гладкие решения уравнений течений сжимаемой вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса) из класса (КМИ) теряют исходную гладкость в пространстве размерности больше или равной трем даже в случае, если носитель их начальных данных — некомпактен. Тем самым получено опровержение гипотезы Ц.П.Шина 28, состоящей в том, что в случае некомпактного носителя начальных данных существует глобально гладкое решение системы уравнений Навье-Стокса. Этот же результат доказан для уравнений движения баротропной сжимаемой магнитной вязкой жидкости в пространстве п = 3. Кроме того, для решений из класса (КМИ) получены двусторонние оценки всех компонент полной энергии (кинетической, внутренней и магнитной).

3. Рассмотрена система уравнений движений баротропной сжимаемой неньютоновской жидкости, занимающей все пространство. Тензор вязкостей предполагается коэрцивным с показателем q > 1. Показано, что если на решениях полная масса и момент системы сохраняются, то можно найти константу q1 > 1, зависящую от размерности пространства п и показателя адиабаты 7 такую, что при q € [q-y-, п) ne существует глобально гладкого по времени решения задачи Коши. Аналогичный результат доказан для решений уравнений иеньютоновской магнитогидродинамики в трехмерном пространстве.

4. Рассмотрена гиперболическая система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики во всем пространстве. Доказано, что при показателе 7 € (1,1 + для любой пространственной размерности все решения класса (КМИ), соответствующие достаточно малой суммарной массе вещества, за конечное вре-

28 Z.P.Xin,Dlowup of smaoth solutions to the compressible Navier-Stokes équation with compact density. Comm.Pure Appl.Math. 51(1998), 229-240.

мя теряют неходкую гладкость. Построены специальные классы точных решений с особенностями, зависящие только от радиальной компоненты. В случае одной пространственной переменной построено нетривиальное решение, не зависящее от времени. Показано, что при достаточно общих начальных данных всякое гладкое возмущение этого решения также теряет гладкость.

5. Для уравнений газовой динамики в адиабатическом случае оценено время образования особенности решения и указаны способы локализации этой особенности в пространстве. При дополнительных априорных условиях на скорость распространения носителя гладкого компактного возмущения постоянного решения системы (1) - (3) получены условия па начальные данные задачи Коши, достаточные для потери решением исходной гладкости за конечное время.

С. Изучена динамика границы материального объема в гладком течении сжимаемой невязкой жидкости; в частности, решена задача об условиях достижения границей материального объема некоторой окрестности точки, первоначально данному объему не принадлежащей.

7. Построены классы интегральных функционалов типа момента для систем вида (1) - (3), встречающихся в геофизических приложениях, когда необходимо учитывать Кориолисову силу, трение и геопотенциал, и изучены их свойства. Получены двусторонние оценки потенциальной и кинетической составляющих полной энергии таких систем.

8. С помощью техники моментов построены классы глобально гладких по времени решений систем уравнений газовой динамики, в том числе дополненных силой Кориолиса и сухим трением. Для обычной газовой динамики подобные решения ранее были построены Л.В.Овсянниковым. Изучены асимптотические свойства построенных классов решений. Доказана теорема о том, что в присутствии сухого трения свойство решения сохранять гладкость при всех £ > 0 является устойчивым по отношению к начальным данным в соболевской норме.

9. Методы, используемые для изучения систем газодинамического типа, применены к нелинейному уравнению Шреднигера с критическим показателем. А именно, построены новые классы точных решений, среди которых ест г, те, у которых в течение конечного времени образуется особенность, а также в некоторых частных случаях построено продолжение решения за точку образования особенности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по уравнениям в частных производных, в вычислительной математике для тестирования разностных схем, а также в специальных курсах для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, семинарах ВЦ РАН, семинаре в МЭИ под руководством Ю.А.Дубинского, семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в МИАН под руководством С.М.Никольского, О.В.Бесова и С.И.Похожаева, семинарах университетов Бонна, Турина, Брешии, Лаквильг, Милана, Тайпея, а также на более 30 международных и российских конференциях, среди которых выделим следующие: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Пстровс-кому, Москва (1998, 2001, 2003, 2005, 2009, 2011), Международная конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль (2004), Международная конференция "Дни дифракции", С.-Петербург (2009), Международная конференция "Trends in Nonlinear Analysis", Гейдельберг (2000), Международная конференция "Topics in PDE, Harmonic analysis and Mathematical physics", Novi Sad (2004), Международная конференция "Global and Geometric Aspects in Nonlinear PDE", Ереван (2004), серия Международных конференций "Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications", Цюрих (1998). Пасадена (2000), Магдебург (2002), Лион (200G), Вашингтон (2008), Пекин (2010), Международная конференция по законам сохранения в Институте Ньютона, Кембридж (2003), Международная конференция по дифференциальным уравнениям, посвященная юбилею П.Д.Лакса и Л.Ниринберга, Толедо (2006), Международная конференция по физике нелинейных явлений, Тайпей (2005, 2007, 2010), Международный конгресс по промышленной и прикладной математике (ICIAM), Цюрих (2007), Международная конференция по законам сохранения, Триест, SISSA (2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 21 работе автора, список которых приведен в конце автореферата, 17 из них опубликованы в изданиях из списка ВАК, все работы написаны без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Главы включают разделы и подразделы; все главы и большинство разделов содержат отдельные введения. Объем диссертации: 2G4 стр., список литературы включает 184 наименования.

Краткое содержание работы.

Во введении дается общая характеристика работы, краткая история задач и их современное состояние, обосновывается актуальность темы исследования и кратко описывается содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию свойств обобщенных моментов, определенных па решениях квазигазодинамических систем достаточно общего вида и связи между ними, а также разнообразным приложениям этой теории.

В п. 1.1 рассматриваются интегралы

ед= / Ф(\х\)р<1х, Fé(t)= / (V0(|x|), V)pdx,

J R» J R"

интегралы массы m, импульса P, кинетической и внутренней энергии EV-(i) и Ei„t(t), углового момента М, определенные па гладких решениях квазигазодипа-мических систем и находятся взаимоотношение между ними в виде обыкновенных дифференциальных уравнений или неравенств при различном выборе функции 0(|х|). Выбор </>(1х|) = г1х12 оказывается часто самым удобным - в этом случае мы говорим о решениях с конечным моментом инерции, для которых плотность предполагается убывающей по пространственным переменным достаточно быстро. Такие функционалы были рассмотрены, в частности, Ж.-И.Шеменом 29. Если речь идет об указанном выборе 0|(х|), при обозначениях мы будем опускать нижний индекс. Получен условный результат о начальных данных задачи Коши, при которых исходная гладкость решения теряется в течение конечного времени. Идея доказательства состоит в получении противоречия между оценками роста интегральных функционалов по времени, полученными в предположении гладкости решения. Обсуждается специфика интегральных условий, достаточных для того, чтобы решение в течение конечного времени потеряло гладкость - эти условия иногда не могут быть выполненными пи при каких начальных данных.

Во п. 1.2 изучены решения с конечной массой системы уравнений Навье-Стокса, описывающей движение сжимаемой вязкой жидкости. В этом случае F = div^T, J7 = div^TV) -I- kAx0, T - тензор напряжений, заданный законом Ньютона

Т = Тц = ц (.diVj + djVi) + Л div.V 6ih

где //, и Л есть коэффициенты динамической и объемной вязкости, к > ко = const > 0 - коэффициент теплопроводности. Для изэнтропического случая получен следующий результат.

2'JJ.-Y.Chemin. Dynamique des gaz à masse totale finie. Asymptotic Analysis. 3(1990), 215-220.

ТЕОРЕМА 1. Пусть размерность пространства п > 3, показатель адиабаты 7 - пЙ1 коэффициенты вязкости отделены от нуля положительными константами. начальный вектор момента ■импульса не равен нулю. Тогда не существует глобального гладкого по времени решения системы уравнений Навье-Стокса с конечной полной энергией и сохраняющимися массой и моментом ■импульса.

В п. 1.3 аналогичный результат получен для уравнений изэнтропического движения сжимаемой вязкой магнитной жидкости. Эти уравнения отличаются от уравнений Навье-Стокса добавлением пары уравнений, описывающих магнитное поле Н = {Ни Я2, Я3):

- сиг1г(У х Н) = -curlx(í/curlxH), divxH = 0, v > О,

F = (curl^H) х Н + divxT, уравнение для энергии согласно предположению изэп-тропичности является следствием (1) и (2). Получены соотношения между долями кинетической, внутренней и магнитной энергии на гладких решениях системы.

В п. 1.4 рассматриваются уравнения изэнтропической сжимаемой неньютоновской жидкости, для которой F = divIP(/j. В) = /?0(р, divxV)E + |В|)В,

где В = (Д,) = i + — тензор скоростей деформации, Е — единичная матрица, Д, и /? — гладкие функции, ограниченные в нуле, |В|2 = В : В. А : В = АуВу- для всех тензоров второго ранга А и В. Мы предполагаем,

что Р подчиняется интегральному условию коэрцивности, состоящему в том, что неравенство

J Р(<?: В) : В dx > и j \ñ\«dx, q = const >1, i/ = const > 0,

R» R»

выполняется для всех симметрических (nxn) - матриц В и всех неотрицательных функций д. Решения считаются принадлежащими классу К„ определяемому условием сходимости соответствующих интегралов. Доказано следующее:

ТЕОРЕМА 2. Пусть п > 2 и q б (®,n), q0 = „(t?i|+27 - Если начальный момент, импульса не равен нулю, то не существует гладкого по времени глобального решения из класса Kq с сохраняющимися полной массой и моментом импульса.

Аналогичный результат получен для уравнений неньютоновской магнитной жидкости.

В п. 1.5 рассмотрена система уравнений движения гранулированного газа 30.

30N.V. Briliiantov, T.Poschcl, Kinetic theory of granular gases, Oxford: Oxford University Press. 2004.

Кроме уравнений (1) и (2) с F = 0, туда входит уравнение для температуры 0:

dt0 + (V, Vx0) + (7 - l)0divxV = —hpfpl2.

Уравнение для энергии (3) является следствием указанных трех уравнений. Член -Арв3/2, Л = const > 0, отвечает потерям энергии при нсупругом столкновении частиц.

Доказана теорема:

ТЕОРЕМА 3. Пусть вектор момента импульса отличен от нуля и масса т достаточно мала. Тогда не существует глобального по времени классического решения система уравнений движения гранулированного газа с сохраняющейся массой и моментом импульса и конечным моментом инерции.

В одномерном случае построено нетривиальное стационарное решение и рассмотрены его возмущения. Показано, что при некотором условии на начальные данные этого возмущения соответствующее решение не может быть глобально гладким. Далее, для любой размерности построено точное осесимметричпое решение с особенностью в начале координат.

В п. 1.6 рассмотрены возмущения нетривиального постоянного состояния, имеющие компактный носитель. Мы обобщаем известную теорему Сидериса о начальных данных, при которых у решения в течение конечного времени образуется особенность. А именно, мы показываем, как предположение о скорости распространения носителя, обусловленное присутствием правых частей, влияет на результат. В оригинальной работе Сидериса рассматривалась система уравнений газовой динамики, для которой носитель распространяется с постоянной скоростью звука. Мы показываем, в частности, что чем быстрее распространяется возмущение, тем труднее найти начальные данные, при которых выполнено достаточное условие образования особенности. В частности, бесконечная скорость распространения начального возмущения, которая имеет место для уравнений Навье-Стокса с отделенной от нуля плотностью, вообще препятствует получению достаточных условий такого рода.

В п. 1.7 для случая F = О, Т = О (обычная газовая динамика) рассмотрен вопрос о локализации возникающей особенности. Получена теорема о том, каким условиям должны удовлетворять начальные данные, чтобы особенность возникла именно в заданной окрестности некоторой точки.

В п. 1.8 рассмотрена задача о движении границы подвижного объема в гладком течении сжимаемой жидкости. В частности, в предположении некото-

рой априорной оценки на распределение давления по границе подвижного объема, найдены условия на начальные данные, при соблюдении которых граница достигнет некоторой фиксированной точки пространства.

Вторая глава посвящена исследованию гладких решений квазигазодинамических систем в случае, когда в правой части уравнений движения стоят такие важные для геофизических приложений силы, как сухое трение, сила Кориоли-са или градиент потенциала центробежной силы. В основном рассмотрен случай евклидова пространства, хотя мы касаемся и случая двумерного риманова многообразия. В указанном случае в уравнениях движения (2) справа стоит сила

Fi = F — npV + pV + pxuj2,

где fi = ц{х) > 0 есть коэффициент внешнего (Рэлссвского) трения, ш есть проекция вектора угловой скорости вращения Земли ш на вертикальную к поверхности ось, V есть вектор, в случае двух пространственных переменных равный lVj_, / = 2sin феи, ф - географическая широта, V = (Vu V2), Vj_ = (V2, -Vi).

В трехмерном пространстве V = [V х w\, где [.,.] обозначено векторное произведение. Функция F обладает теми же свойствами, что и в главе 1.

В этой новой ситуации мы находим достаточные условия того, что решение за конечное время покинет класс гладких функций, характеризующийся достаточно быстрым убыванием на бесконечности по пространственным переменным. Мы исследуем влияние каждой из упомянутых внешних сил па образование особенности решения, а также исследуем баланс между кинетической и потенциальной составляющими полной энергии на гладких решениях системы. В зависимости от ситуации мы рассматриваем как постоянные, так и переменные значения ц и I.

В п. 2.1 вводятся модели, которые будут анализироваться далее в этой главе. Показано, как можно свести трехмерные физические модели к двумерным, в простейшем случае рассматриваемым на плоскости, касательной к фиксированной точке земной поверхности.

П. 2.2 посвящен изучению свойств используемых в дальнейшем интегральных функционалов: вместе с теми, что рассматривались в главе 1, появляется рад новых, например, F±(t) = JR2(V±,x)pdx. П. 2.3 посвящен исследованию баланса между кинетической и потенциальной составляющими полной энергии системы. В частности, в отличие от случая обычной газовой динамики, когда на гладких решениях с течением времени вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, в случае, когда ц --= О, I / 0, а потенциал центробежной силы не учитывается, установлено существование недоступной доли потенциальной энергии - то есть

доли, которая ни при каких обстоятельствах не может перейти в кинетическую энергию, что соответствует представлениям метеорологов 31. Кроме того, в этой ситуации существует, вообще говоря, и доля недоступной кинетической энергии. В пп. 2.4 и 2.5 изучено влияние трения и вращения на образование особенностей.

В п. 2.6 рассмотрен специальный класс решений уравнений газовой динамики — решения с компактным носителем плотности. При этом в правой части уравнений движения добавляется член, описывающий сухое трение и вращение. Уравнения рассматриваются как в евклидовом пространстве, так и на двумерном гладким римановом многообразии.

В третьей главе в пространство нескольких переменных мы строим некоторые классы гладких решений, в частности тс, на которых достигается равенство в интегральных оценках п.1.1. Это так называемые решения с линейным профилем скорости, когда

V = yl(i)x + b(i),

где A(t) - матрица (n х п) и b(i) - п - вектор, зависящие от времени, х - радиус-вектор точки. Для построения решения также оказывается удобным использовать некоторые интегральные функционалы. С их помощью можно получить замкнутую автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Компоненты матрицы A(t) и вектора b(t) являются составляющими этой системы уравнений наряду с некоторыми вспомогательными функциями.

Несмотря па то, что упомянутая система является нелинейной, в некоторых случаях удается ее полностью проинтегрирововать или понизить ее порядок. В некоторых случаях удается исследовать асимптотику решений в окрестности положений равновесия.

В п. 3.1 решение с линейным профилем скорости построено в случае пространства размерности два в присутствии сухого трения и вращения с постоянными

параметрами, то есть F = LV, с матрицей L = ^ ^ ^ , /х = const > О, I =

const. Отдельно рассмотрен случай, когда

V = a(t)x + 0(t)x± + b(t) = (a(t)K + (3{t) ( Д J ) ) x + ( ^j ) •

Например, если b(i) = 0, то компоненты решения удовлетворяют следующей нелинейной системе:

31 Ж. Ван Мпгем, Энергетика атмосферы, Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

G[(t) = -2a(i)Gi(i), ß'(t) = a(t)(l - 2ß(t)) - pß{t), a'(t) = -a2(t) + ß\t) - lß{t) - m(t) + (7 - 1)/vGj(î), Gi(t) = 1 /G(t). Далее изучен случай матрицы A(t) общего вида.

В п. 3.2 рассмотрена ситуация с сухим трением и Кориолисовой силой в физическом трехмерном пространстве. А именно, F = -/ipV 4- 5p\V х w] где 5 = О или 1, и> — это постоянный вектор, ц > 0 константа, [а х Ь] обозначено векторное произведение. Мы строим здесь решение с линейным профилем скорости следующего вида: V = o(i)x + ß(t)[x х w).

В п.3.3 мы доказываем, что в случаях, рассмотренных в первых двух параграфах, существуют частные глобально гладкие по времени решения со специальным степенным убыванием дивергенции скорости, которые будут использованы в дальнейшем.

В п.3.4 мы расширяем класс глобально гладких решений системы газодинамического типа следующим образом. Мы доказываем теорему о том, что если система обладает глобально гладким решением с линейным профилем скорости с некоторыми специальными свойствами (эталонным решением), то, выбрав начальные данные мало отличающимися в некоторой Соболевской норме он начальных данных эталонного решения, мы получим, что решение соответствующей задачи Коши также глобально гладкое.

В п.3.5 мы доказываем следствие этой теоремы, на основании которого можем сделать заключение о том, что некоторые из решений с линейным профилем скорости, построенные нами в пп.3.1 и 3.2, являются эталонными.

В четвертой главе рассматривается нелинейное уравнение Шрсдипгера с критической нелинейностью а = -•

п

г'0<ф + д1ф + |ф|стф = 0, Ф(£, х) : R(+ х R" —» С. (4)

Нелинейность является критической в том смысле, что при а < - доминирует дисперсия и решение (4) остается гладким при всех t > 0, а при а > - решение может разрушаться. "

Гидродинамическая интерпретация этого уравнения 32 позволяет применить к ному методы построения решений, разработанные нами ранее для систем газодинамического типа. Гидродинамическая интерпретация состоит в сведении уравнения (4), решением которого является комплекснозначная функция, к системе

32E.Madclung, Quantentheorie in hydrodynamischer form,Z.Phys. 40(1026), 322.

dtp + divx(pV) = 0,

0t(pV) + divx(PV ® V) = 2{AVX(AXA + Aa+1) - VXA(AXA + Д^1)), A = p1'2,

где Ф(£, x) = A(t, x) expx)). Функции A(t, x) > 0 и <f>(t, x) здесь действительнозначны, они соответствуют амплитуде и фазе волны, р = |Ф|2, V - удвоенный градиент фазовой функции ф.

Мы строим новые классы точных решений этого уравнения, описывающие вол-повой коллапс или рассеяние волновых пакетов. Эти решения являются обобщениями известных решений, построенных на основе "основного состояния" ,33. В случае образования особенности при t Т они имеют отличающийся от известного порядок роста по времени. При этом также использован аппарат интегральных функционалов, который в случае нелинейного уравнения Шрсдингера аналогичен методу моментов .

В случае одной пространственной переменной мы строим решение, продолжающееся как обобщенное за точку волнового коллапса. Возникающие в нем особенности существуют бесконечное время, они могут двигаться и взаимодействовать между собой, однако такое продолжение единственно с точностью до выбора некоторой монотонной функции.

В п.4.1 анализируются законы сохранения для уравнения (4), интеграл момента M(t) = / |Ф(х, i)|2|x|2dx и знаменитое "вириальное тождество" M"(t) = const,

R»

с помощью которого В.Н.Власовым был предсказан волновой коллапс. Находится соответствие этим интегральным величинам, вытекающее из гидродинамической интерпретации. В частности, оказывается, что интеграл М(£) соответствует интенсивно используемому нами ранее моменту инерции G(t).

Во п.4.2 построены новые классы решений нелинейного уравнения Шрсдингера с критической нелинейностью в случае многих пространственных переменных. Для этого решения градиент фазовой функции имеет вид V = a(t)(x - х0), где х — х0 - радиус-вектор произвольной точки пространства хо, а функция a(t) служит решением уравнения

a'{t) + a2{t) = 4fcexp(—4 / a(r)dr),

J о

33M.I.\V'einste'm, Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates. Comm.Math.Phys. 87(1982/83), 567-576.

34В.Н.Власов, II.А.Петрищев, В.И.Таланов, Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов).Известия ВУЗов. Раднофюнка. 14(1971), 1353-1364.

с некоторой константой к, знак которой играет определяющую роль. Функция амплитуды посредством свойства конформной инвариантности выражается через решение уравнения

ААо(х) + А°0+1(х) = (к\х\2 + ю)А0(х). Полученное решение имеет вид

< Г 1

Щ, X) = ехр(-| J а(т)с1т)Ао (х - х0) ехр(- ^ а(т)с1т)

х ехр ехр (но ^ ехр(-2 ^ а^йт^

ехр(г"0),

где

(5) 0.

Е К1. Ранее известные решения являются частным случаем (5) при к__

При к < 0 существуют начальные данные, при которых у решения образуется ко нсчиовремснной коллапс. Если к > 0, то в течение бесконечного времени волновой пакет рассеивается.

В п.4.3 произведен анализ полученного решения. В частности, показано, что в случае конечности интеграла момента М({), который в этом случае имеет явный вид, решение (5) выражается через него как

(М{ 0)\*

х ехр

гШ-\х ш{ьу

- ехр ^г7оЛ/(0) ^ М~1(т)(1т^ схр(гв).

Кроме того, в терминах интеграла момента и сохраняющейся полной энергии найдены условия на начальные данные, при которых возникает коллапс и найдено точное время наступления этого явления. Далее, в зависимости от размерности пространства при к > 0 найдена скорость убывания амплитуды волновой функции по времени, а при к < 0 — рост этой амплитуды при приближении к критическому времени. Этот рост различен в случае к = 0 и к < 0; при к < 0 получается наименьшая из всех возможных оценка порядка "Ыош-ир," примеры такого рода были ранее неизвестны. Для всех таких решений волновой коллапс происходит в единственной точке.

Также в этом параграфе произведено сравнение полученных результатов с имеющимися ранее.

В п.4.4 сделано обобщение следующего рода: в качестве градиента фазовой функции рассмотрено поле вида V = a(t)x. + b(t)Л, где Л - постоянное векторное поле. Это позволяет еще далее расширить класс точных решений, среди которых есть решения с очень интересными свойствами, например, с особенностью, образующейся в точке, уходящей на бесконечность.

В п.4.5 установлена связь между описанными выше решениями нелинейного уравнения Шредипгсра при А; = 0 и решениями системы уравнений газовой динамики "без давления".

Это позволяет в случае одной пространственной переменной построить решение, продолжающееся как обобщенное за точку волнового коллапса. Такое решение резко отличается от известных ранее, так как возникающие особенности существуют бесконечное время, они могут двигаться и взаимодействовать между собой, однако такое продолжение единственно с точностью до выбора некоторой монотонной функции (до выбора некоторого закона сохранения). Аналогичная задача была решена только для решения с минимальным значением энергии, при котором возможен волновой коллапс 35, когда решение становится гладким сразу же за точкой коллапса, однако решение за точку коллапса продолжается также неединственным образом (оно приобретает произвол в фазовом параметре).

Публикации автора по теме диссертации.

1. Rozanova O.S. Unavailable energy in system of dynamics of 2-D baroclinic atmosphere /7 Proc. World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. — Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag, 1997. — V.3. - P.227-232.

2. Розанова О.С. Баланс энергии в системе динамики двумерной бароклинной атмосферы /7 Известия РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. — 1998. — Т.2. - C.189-19G.

3. Розанова О.С. Об образовании особенностей решений с компактным носителем уравнений Эйлера на вращающейся плоскости //Дифференциальные уравнения. - 1998. - N 8. - С. 114-118.

33F.Merle, On uniqueness and continuation properties after blow-up time of self-similar solutions of nonlinear

Schrodinger equation with critical exponent and critical mass. Comm. Pure Appl. Math. 45(1992), 203-254.

4. Rozanova O.S. Blow-up of solutions in a system of atmosphere dynamics// Hyperbolic problems: theory, numerics, applications. Internat. Ser. Numer. Math. 130(11). — Basel: Birkhauscr,1999. — P.793-801.

5. Rozanova O.S. On a nonexistence of global solutions to compressible.

Euler equations// Hyperbolic problems: theory, numerics, applications. Internat. Ser. Numer. Math. 141. —Basel: Birkhauscr, 2001. — P.811-820.

6. Розанова O.C. Применение интегральных функционалов к изучению свойств решений уравнений Эйлера на римановых многообразиях // Итоги пауки и техники. Серия "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры" Том 99. Дифференциальные уравнения с частными производными. — 2002. — С.172-216. (Перевод в Journal of Mathematical Sciences. — 2003. — V.117. - N5. - P.4551-4584.)

7. Rozanova O.S. Solutions with linear profile of velocity to the Euler equations in several dimensions jj Hyperbolic problems: theory, numerics, applications. — Berlin: Springer, 2003. — P.861-870.

8. Rozanova O.S. Clas ses of smooth solutions to multidimensional balance laws of gas dynamic, type on Rie.manni.an manifolds j j Trends in Mathematical Physics Research. — New York: Nova Science Publishers, 2004. — P. 155-204.

9. Rozanova O.S. Hydrodynamic approach to constructing solutions of nonlinear Schrodinger equation in the critical case ,// Proc. Amer. Math. Soc. — 2005. — V.133. - P.2347-2358.

10. Розанова O.C. О поведении границы подвижного объема в гладком течении сжимаемой жидкости j j Дифференциальные уравнения. —200G. — N 10 — С. 1397-1404.

11. Розанова О.С. Образование. особенностей решений уравнений движения сжимаемой жидкости в присутствии внешней силы в случае, многих пространственных переменных j j Труды Семинара И.Г. Петровского. — 2007. — Т.26.

— С.273-309. (Перевод в Journal of Mathematical Sciences. — 2007. — V. 143.

- N 4. - P.3355-3376.)

12. Rozanova. O.S. Blow up of smooth solutions to the. compressible Navier-Stokes equations with the data highly decreasing at infinity // Journal of Differential Equations. - 2008. - V.245. - N 7. - P.1762-1774.

13. Rozanova O.S. Generalized momenta of mass and their applications to the flow of compressible fluid // Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (Part IV) - Berlin: Springer, 2008. - P.919-927.

14. Rozanova O.S. Blow up of smooth solutions to the barotropic compressible magnetohydrodynamic equations with finite mass and energy // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. American Mathematical Society. — 2009. — V. G7 - P.911-918.

15. Rozanova O.S. Nonexistence results for a compressible non-Newtonian fluid with magnetic effects in the whole space jj Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2010. - V.371. - P.190-194.

16. Rozanova O.S. Formation of singularities in solutions to ideal hydrodynamics of freely cooling inelastic gases // Nonlinearity. — 2012. — В печати.

Публикации автора, примыкающие к теме диссертации.

1. Розанова О.С. Формирование особенностей у решений одной модельной системы уравнений метеорологии // УМН. — 1990. — Т.45. — Вып.6. — Р.143-144.

2. Розанова О.С. Достаточные условия потери гладкости решениями системы уравнений модели тонкой атмосферы jI Вестн. Моск. Ун-та. — 1991. — Сер 1. Матем.Механ. — N 2. — Р.23-27.

3. Розанова О.С. Об оценке времени образования атмосферного фронта j j Известия РАН. Сер. Физика атмосферы и океана. — 1994. — Т.6. — С.738-744.

4. Розанова О.С. Об оценке времени существования гладкого решения уравнений гидравлики для потоков на наклонных криволинейных поверхностях! j Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т.4. — Вып.1. — С.333-344.

5. Rozanova O.S. Critérium for the gradient catastrophe for the non-isentropie gas dynamics equations // PAMM. - 2007.- V. 7.- N1. - P.2040051-2040052.

/А/

Розанова Ольга Сергеевна

Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типа

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Подписано в печать 14.04.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1202 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение.

1 Исследование свойств гладких решений квазигазодинамических уравнений с правыми частями специального вида

1.1 Решения с конечным моментом инерции, определенные на них интегральные функционалы и их свойства

1.1.1 Условный результат о потере гладкости

1.1.2 Интегральные функционалы и их свойства

1.1.3 Изотермический газ и газовая динамика "без давления".

1.1.4 О специфике достаточных условий образования особенностей гладкого решения.

1.2 Применение к системе уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости 45 1.2.1 Решения с конечным моментом инерции.

1.2.1.1 Интегральные функционалы и формулировка основных теорем

1.2.1.2 Доказательство теорем.

1.2.1.3 Асимптотика решения при больших временах и потеря гладкости.

Диссертация посвящена исследованию свойств решений задачи Коши для систем уравнений, моделирующих сплошную среду с различными специальными свойствами. Эти системы имеют вид йр + сЦуж(рУ) = 0, (0.0.1)

94(рУ) + сНух(рУ<8>У) + Ухр = Е, (0.0.2) дь (¿рМ2 + ре) + сНуж (фм2 + ре + р)у) = Г, (0.0.3) где р, V = (У\,., Уп), р, е, обозначают плотность, скорость, давление и внутреннюю энергию, соответственно. Мы ограничим себя рассмотрением политропных сред, то есть уравнение состояния зададим как р = Ярв, е = св, р = А ехр р7. (0.0.4)

Здесь А > 0 - константа, Я - универсальная газовая постоянная, в — температура, 5 — энтропия, с = 7 > 1 - показатель адиабаты. Здесь неизвестными являются плотность р, вектор скорости V = (У1;., Уп) и внутренняя энергия е; они зависят от времени £ и точки пространства х = (х\, .,хп) <Е К™.

Стоящие справа функции Т, Г (первая - скаляр, вторая - вектор) могут зависеть от х, р, V, е а также от производных компонент решения р, V, е. На Т, Г накладываются некоторые дополнительные условия, для самой системы уравнений газовой динамики Т = 0, Е = 0.

Системы уравнений (0.0.1) - (0.0 3) описывают баланс массы, импульса и энергии [13] и выглядят как обобщения системы уравнений газовой динамики, по этой причине мы, следуя терминологии [00], называем их квазигазодинамическими. Они возникают во многих приложениях: собственно в газовой динамике, в метеорологии, океанологии, гласиологии, гидравлике, гемодинамике, космологии, лазерной физике, и т.д. В технике они описывают течения вязкоупругих жидкостей, гранулированные и разреженные среды. Свойства решений таких систем имеют некоторые общие черты, которые в первую очередь и будут нас интересовать, однако в значительной степени зависят от вида правых частей.

Системы указанного вида вследствие важности их приложений интенсивно изучались и продолжают изучаться. Упомянем, отнюдь не претендуя на полноту, огромное количество работ, посвященных построению частных решений решений уравнений газовой динамики (Н.Е.Кочин, Л.В.Овсянников, Л.И.Седов, А.Ф.Сидоров, О.И.Богоявленский и их ученики и последователи), работы, посвященные обобщенным (в разных смыслах) решениям таких систем (О.А.Олейник, С.Н.Кружков, Е.Ю.Панов, Б.Пертам, Л.Тартар, Р.ДиПерна, В.А.Тупчиев, В.А.Галкин), работы, в которых описывается распространение и взаимодействие особенностей (ударных волн в классической газовой динамике, 5 - ударных волн в так называемой "газовой динамике без давления"), а также необъятную литературу, посвященную численному интегрированию систем уравнений газовой динамики и их обобщений. В последнее время появился ряд монографий, подытоживающих изучение гиперболических законов сохранения, являющихся частным случаем систем квазигазодинамического типа, в частности, монографии К.Дафермоса [82], ФЛеФлока [10-3], Б.Пертама [135], Т.-П.Лю [113], Д.Серра [164], П.-ЛЛионса [107].

Хорошо известно, что у решений гиперболических уравнений, даже если они первоначально сколь угодно гладкие, в течение конечного времени могут возникать особенности. Собственно, это и послужило поводом для построения теории обобщенных решений (см., например, [104], [97]). Однако, если речь идет не о модельных, то есть значительно упрощенных, системах, то определение лишь по начальным данным, потеряет решение гладкость или нет, является очень трудной задачей даже в случае одной пространственной переменной. Тем не менее, эта задача имеет, кроме теоретического, практический интерес. Действительно, например, в метеорологии, возникающая особенность решения традиционно ассоциируется с атмосферным фронтом, в гидравлике - с гидравлическим скачком, в гемодинамике - с возникновением фиб-риляции, в лазерной физике - с явлением автофокусировки, в теории гранулированных сред - с явлением кластеризации, и т.д. Задача о том, сохраняется ли со временем гладкость решений уравнений Навье-Стокса для несжимаемого случая в пространстве размерности три является одной из самых знаменитых. Ее аналог для сжимаемого случая чуть менее знаменит, но не менее сложен. Для уравнений гранулированных сред образование особенностей решения связывается с образованием кластеров вещества, а задача о начальных состояниях, приводящих к кластеризации, физически очень важна.

Таким образом, научившись судить по начальным данным о том, потеряет решение гладкость или нет, мы научимся предсказывать "особенные" явления, а также ограничивать применимость разностных схем, сходящихся лишь на гладких решениях, используемых для расчета в многих прикладных задачах.

Задача о нахождении начальных данных, при которых у гладкого решения задачи Коши за конечное время образуется особенность, легко решается для нелинейного транспортного уравнения вида dtV + (V, V^) V = 0, модельного уравнения для системы уравнений квазигазодинамического типа. Ответ здесь следующий: решение является глобально гладким тогда и только тогда, когда спектр Якобиана матрицы начальных данных отделен от действительной отрицательной полуоси [106]. Однако, для самой системы уравнений квазигазодинамического типа такая задача, как правило, очень сложна даже в пространстве одной пространственной переменной, когда в принципе действенным оказывается метод характеристик. При F = Oh^7 = Ob изэнтропическом случае, когда система сводится к двум уравнениям и может быть записана в инвариантах Римана [42], метод характеристик дает полный ответ на вопрос о том, образуется особенность (в данном случае это градиентная катастрофа, то есть обращение первых производных компонент решения в бесконечность) или нет (например, [6]). В неизэнтропическом случае также есть некоторые продвижения [111], [108], однако, результаты носят или неявный характер, или касаются малых возмущений постоянного состояния. Существуют работы, в которых получены результаты об образовании особенностей гладкого решения для случая многих пространственных переменных в предположении центральной симметрии, когда можно использовать технику, подходящую для одномерного случая [63], [183].

Задача об образовании особенности для одномерной системы газовой динамики может быть исследована и другими методами [40]. Однако эти методы дают только достаточные условия градиентной катастрофы (вообще говоря, с большим запасом) и требуют неких априорных предположений о решении.

Первой работой, в которой установлены достаточные условия образования в течение конечного времени особенности гладкого решения для уравнений газовой динамики в трехмерном случае была, по всей видимости, работа Т.Сидериса [171]. Изучались начальные данные, представляющие собой возмущение внутри компактной области постоянного нетривиального состояния с положительной плотностью. Общий смысл этих условий таков: скорость распространения носителя (то есть скорость звука в невозмущенной области) мала в сравнении с начальным возмущением. Условия, полученные Сидерисом, являются интегральными, и, вообще говоря, далеки от того, чтобы быть точными.

В настоящей работе этот результат улучшен (то есть класс начальных данных, при которых гарантировано образование особенности, расширен) и обобщен, а именно, перенесен на случай, когда в правой части уравнений движения (0.0.2) стоит специальная внешняя сила, которая может иметь влияние на скорость распространения носителя.

Кроме того, в диссертации рассмотрены решения, имеющие конечный момент инерции и конечную полную энергию, без ограничения на носитель. Показано, что при некоторых специальных правых частях системы (0.0.1) - (0.0 3) (при которых система будет описывать, в частности, вязкую, в том числе, неньютоновскую жидкость, а также гранулированную среду) возможно указать достаточные условия на гладкие начальные данные, при которых решение соответствующей задачи Коши потеряет классическую гладкость, а также оценить сверху время наступления такого события. В случае вязкой жидкости существенную роль играет размерность пространства.

Как уже было отмечено выше, практически для всех систем вида (0.0.1) - (0.0.3) с нетривиальными правыми частями известные достаточные условия образования особенности первоначально гладкого решения в многомерном случае являются интегральными, то есть они характеризуют некоторые средние свойства решения, так что начальные данные, удовлетворяющие этим условиям, выделяются неоднозначно. По всей видимости, в многомерном случае, вообще говоря, нельзя надеяться на получения критерия образования особенности, то есть необходимого и достаточного условия того, образуется особенность гладкого решения или нет, выписанного только в терминах начальных данных. Немногочисленным исключением служат уже упомянутая система нелинейных уравнений переноса (в том числе, если в правой его части стоит член, отвечающий за Кориолисову силу [110]) тесно связанная с ней система газовой динамики "без давления". Существуют попытки перенести технику, успешно работающую в упомянутых случаях, на случай обычной газовой динамики[110]. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. В недавней работе учеников И.Тэдмора Б.Ченя и Ч.Ши [76] получены некоторые достаточные условия на начальные данные, при которых решения уравнений мелкой воды (частный случай уравнений газовой динамики) в присутствии силы Кориолиса вращением остаются гладкими в течение бесконечного времени.

Следует сказать, что существует обширная литература об образовании особенностей решений уравнений различного типа. Упомянем школу С.И.Похожаева, с успехом применяющую метод нелинейной емкости для доказательства несуществования решений краевых, начально-краевых и задач Коши для эллиптических и параболических уравнений и систем. Упомянем также многочисленные работы о возникновении особенностей полулинейных волновых уравнений в пространствах многих переменных [64], о поведении решений нелинейного уравнения Шредингера и связанных с ним уравнений [181], [122], [11], работы о разрушении решений систем уравнений магнитогидродинамики [136], [109], нелинейной упругости [172], уравнений гравити-рующего газа [134], уравнений погранслоя [85], релятивистских уравнений Эйлера [133], а также симметрических гиперболических систем со специальными условиями на коэффициенты [170]. Часто в этих работах (и список их далеко не полон) применяется технический аппарат, который может быть назван "методом интегральных функционалов" или "методом моментов". Применение подобного метода к различным системам уравнений, имеющим физическую природу, является интенсивно развивающимся в последнее время направлением. Чаще всего этим методом исследуется задача Коши, но есть результаты о приложении к начально-краевай задаче (например, [130]). Отметим, что разнообразные аналоги "метода моментов" могут быть применены для обнаружения особенных явлений, связанных с потерей решениями гладкости, в довольно далеких друг от друга областях. В [45] речь идет об обнаружении атмосферного фронта, в [46] - о появлении гидравлического скачка, в [65] -о явлении фибриляции в сердечной аорте. В различных приложениях применение метода моментов существенно упрощается, если сделать некоторые дополнительные априорные предположения о решении, например, предположив его глобальную ограниченность (см. в этой связи [43] и [44]). Однако математически такие предположения не оправданы, поэтому в настоящей работе мы ими никогда не пользуемся.

С достаточными условиями возникновения особенностей тесно связан круг вопросов о выявлении классов начальных данных, таких, что соответствующая задача Коши имеет глобально по времени гладкое решение.

Нет нужды обосновывать важность нахождения точных решений систем уравнений, моделирующих сложные физический процессы. Такие решения, например, традиционно используются как тесты для численных алгоритмов. Поиску точных решений систем уравнений гидродинамического типа уделялось много усилий. Значительных результатов удается достичь с использованием группового подхода. Упомянем в этой связи работы Л.В.Овсянникова и других ученых новосибирской школы [57], [99], [80].

Примером точных решений служат решения с линейным профилем скорости, для которых компоненты скорости являются линейными функциями координат. Такие решения интересуют нас еще и потому, что на них достигается равенство в большинстве полученных оценок роста интегральных функционалов.

Идея рассмотрения решений с линейным профилем скорости далеко не нова. Такие решения являются точными для уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости в эллипсоидальной полости в трехмерном пространстве [27], [14]. В этом случае для нахождения зависящих от времени коэффициентов при координатах в компонентах скорости получается автономная динамическая система уравнений с квадратичной нелинейностью. В нашем случае, когда речь идет о сжимаемой среде, мы также получаем автономную нелинейную систему. Если в случае систем гидродинамического типа [14] искомые компоненты решения системы, то есть параметры, определяющие состояние системы в рамках выбранной модели, являются линейными функционалами от поля скоростей жидкости, то в нашем случае к этим параметрам добавляются и те, что являются функционалами от величин плотности и давления.

В некоторых простейших случаях систему удается проинтегрировать полностью или понизить ее порядок. В общем случае можно исследовать ее положения равновесия на устойчивость и найти асимптотику решения при стремлении к устойчивому положению равновесия.

Далее мы доказываем теорему о том, что если система системы (0.0.1)- (0.0.3) при специальном выборе Е, Т обладает глобально гладким по времени решением с линейным профилем скорости и дивергенция скорости положительна (обладая при этом определенными дополнительными свойствами), то в некоторой окрестности этого решения существуют также глобально гладкие решения.

Как следствие мы получаем, что в если в системе присутствуют сухое трение и, возможно, сила Кориолиса, то построенные нами решения обладают всеми необходимыми для применения теоремы свойствами. Для случая уравнений газовой динамики аналогичный результат был получен в Д.Серром [165] и М.Грассен [94].

Отметим, что решения с линейным профилем скорости могут быть также использованы при нахождении локальных критериев "градиентной катастрофы" для уравнений газовой динамики, в том числе многомерных ([153]), а также при исследовании вихрей в различных атмосферных моделях ([149], [160], [161] ).

Далее следует заметить, что, как правило, даже если нам удалось на основании начальных данных сделать вывод о том, что у решения соответствующей задачи Ко-ши появится особенность, тип этой особенности неясен. Тип особенности, конечно, зависит от правых частей. Для уравнений газовой динамики, например, известно, что в точке возникновения особенности обращается в бесконечность или само решение, или его градиент [12], [117]. В случае обычной газовой динамики считается, что возникающая особенность представляет собой ударную волну, однако, в многомерном случае убеждение, что это действительно так, подкрепляется лишь численными расчетами.

Поэтому важным является выделение класса систем, для которых можно явно построить решения с образующимися в течение конечного времени особенностями. В частности, такими системами являются система газовой динамики без давления, а также система, получающаяся из нелинейного уравнения Шредингера в гидродо-намической интерпретации. Первая система используется для моделирования структуры вселенной [168], а вторая - для описания явления автофокусировки в лазерной физике [58]. Тем не менее, оказывается, что структура возникающих при этом особенностей сходная. Более того, как мы показываем, в некоторых случаях оказывается возможным на основании решения одной системы построить решение другой.

Для нелинейного уравнения Шредингера с критической нелинейностью в настоящей работе мы строим новые классы решений, у которых образуется особенность, на основании гидродинамической интерпретации этого уравнения.

Следующим вопросом является вопрос о локализации в пространстве возникающей особенности. Зачастую он оказывается даже более сложным, чем локализация особенности во времени. Тем не менее задачи такого рода с практической точки зрения очень важны - если речь идет, например, о местоположении предсказанной ударной волны или атмосферного фронта. В некоторых случаях область, в которой гарантируется возникновение особенности, удается явно указать.

Методы исследования. При решении практически всех задач данной работы использовался специально разработанный метод моментов (специальных интегральных функционалов), а также методы нахождения асимптотик решений сильно нелинейный систем дифференциальных уравнений, различные интегральные неравенства и теоремы вложения.

Цель работы. Разработка метода доказательства несуществования классического решения задачи Коши для важных классов систем уравнений, моделирующих сплошные среды с различными свойствами. Получение оценок различных типов энергии и изучение возможности перехода одного типа энергии в другой. Построение классов точных решений некоторых квазигазодинамических систем: как глобально гладких, так и тех, у которых за конечное время образуется особенность.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Для различных систем вида (0.0.1) - (0.0.3) рассмотрен класс решений задачи Коши с сохраняющейся массой, моментом импульса и конечным моментом инерции. Для этих решений введен ряд специальных интегральных функционалов и изучены взаимоотношения между ними.

2. Доказано, что все гладкие решения уравнений течений сжимаемой вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса) достаточно быстро убывающие на бесконечности по пространственным переменными, теряют исходную гладкость в пространстве размерности больше или равной трем даже в случае, если носитель их начальных данных — некомпактен. Тем самым получено опровержение гипотезы Ц.П.Шина [182], состоящей в том, что в случае некомпактного носителя начальных данных существует глобально гладкое решение системы уравнений Навье-Стокса. Этот же результат доказан для уравнений движения баротропной сжимаемой магнитной вязкой жидкости в пространстве п = 3. Кроме того, получены двусторонние оценки всех компонент полной энергии (кинетической, внутренней и магнитной).

3. Рассмотрена система уравнений движений баротропной сжимаемой неньютоновской жидкости, занимающей все пространство. Тензор вязкостей предполагается коэрцивным [129] с показателем ц > Показано, что если на решениях полная масса и момент инерции системы сохраняются, то можно найти константу > I, зависящую от размерности пространства п и показателя адиабаты 7 такую, что при Я € [д7,п) не существует глобально гладкого по времени решения задачи Коши. Аналогичный результат доказан для решений уравнений неньютоновской магнитогидродинамики в трехмерном пространстве.

4. Рассмотрена гиперболическая система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики во всем пространстве. Доказано, что при показателе адиабаты 7 £

1,1 + |] для любой пространственной размерности все решения с сохраняющимися массой и моментом инерции, соответствующие достаточно малой суммарной массе вещества, за конечное время теряют исходную гладкость. Построены специальные классы точных решений с особенностями, зависящие только от радиальной компоненты. В случае одной пространственной переменной построено нетривиальное решение, не зависящее от времени. Показано, что всякое гладкое возмущение этого решения (при достаточно общих предположениях о его начальных данных) также теряет гладкость.

6. Для уравнений газовой динамики в адиабатическом случае оценено время образования особенности решения и указаны способы локализации этой особенности в пространстве.

7. При дополнительных априорных условиях на скорость распространения носителя гладкого компактного возмущения постоянного решения системы (0.0.1) -(0.0.3) получены условия на начальные данные задачи Коши, достаточные для потери решением исходной гладкости за конечное время.

8. Изучена динамика границы материального объема с гладком течении сжимаемой невязкой жидкости; в частности, решена задача об условиях достижения границей материального объема некоторой окрестности точки, первоначально данному объему не принадлежащей.

9. Построены классы интегральных функционалов типа момента для систем вида (0.0.1) - (0.0.3), встречающихся в геофизических приложениях (с правыми частями, описывающими Кориолисову силу, трение и геопотенциал) и изучены их свойства.

10. Изучен баланс между потенциальной и кинетической составляющими полной энергии систем вида (0.0.1) - (0 0.3), встречающихся в геофизических приложениях.

11. С помощью данных интегральных функционалов построены классы глобально гладких по времени решений систем уравнений газовой динамики в присутствии сил сухого трения и Кориолиса; в случае уравнений обычной газовой динамики построенные решения содержатся в классе так называемых решений с однородной деформацией (Л.В.Овсянников). Изучены асимптотические свойства построенных классов решений. Доказана теорема о том, что в некоторых случаях свойство решения сохранить гладкость при всех t > 0 является устойчивым по отношению к начальным данным в соболевской норме.

12. Методы, используемые для изучения систем газодинамического типа, применены к теории нелинейного уравнения Шредингера с критическим показателем. А именно, построены новые классы точных решений, среди которых есть те, у которых в течение конечного времени образуется особенность, а также в некоторых частных случаях построено продолжение решения за точку образования особенности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по уравнениям в частных производных, в вычислительной математике для тестирования разностных схем, а также в специальных курсах для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, семинарах ВЦ РАН, МЭИ под руководством Ю.А.Дубинского, семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в МИАН под руководством С.М.Никольского, О.В.Бесова и С.И.Похожаева, семинарах университетов Бонна, Турина, Брешии, Лаквилы, Милана, Тайпея, а также на более 30 международных и российских конференциях, среди которых выделим следующие: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Петровскому, Москва (1998, 2001, 2003, 2005, 2009, 2011), Международная конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль (2004), Международная конференция "Дни дифракции", С.-Петербург (2009), Международная конференция "Trends in Nonlinear Analysis", Гейдельберг (2000), Международная конференция "Topics in PDE, Harmonic analysis and Mathematical physics", Novi Sad (2004), Международная конференция "Global and Geometric Aspects in Nonlinear PDE", Ереван (2004), Серия Международных конференций "Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications", Цюрих (1998), Пасадена (2000), Магдебург (2002), Лион (2006), Вашингтон (2008), Пекин (2010), Международная конференция по законам сохранения в Институте Ньютона, Кембридж (2003), Международная конференция по дифференциальным уравнениям, посвященная юбилею П.Д.Лакса и Л.Ниринберга, Толедо (2006), Международная конференция по физике нелинейных явлений, Тайпей (2005, 2007, 2010), Международный конгресс по промышленной и прикладной математике (1С1АМ), Цюрих (2007), Международная конференция по законам сохранения, Триест, ЭШЭА (2011).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Главы включают разделы и подразделы; все главы и большинство разделов содержат отдельные введения. Объем диссертации: 264 стр., список литературы включает 184 наименования.

1. Р.Беллман. Introduction to matrix analysis. Mograw-Hill Book company, inc. New York, 1960. 180

2. JI.M. Беркович. Факторизация и преобразования дифференциальных уравне-ний.Ижевск: Регулярная и хаотческая динамика, 2002. 228

3. О.И. Богоявленский. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 195

4. В.А.Боровиков. Оценка сверху для времени существования гладкого решения квазилинейной гиперболической системы. Доклады АН СССР. 201 (1971). 1215. 7

5. В. Вазов. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: Мир, 1968. 199

6. Ж. Ван Мигем. Энергетика атмосферы. JL: Гидрометеоиздат, 1977. 21, 125

7. В.А.Вейгант, А.В.Кажихов. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемой вязкой жидкости. Сибирский Мат. Журнал. 36 (1995). N 6. 1283-1316. 47

8. В.Н.Власов, И.А.Петрищев, В.И.Таланов. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах (метод моментов). Известия ВУЗов. Радиофизика. 14(1971). N9. 1353-1364. 23, 220

9. С.Н.Власов, В.И.Таланов. Распределенный волновой коллапс в модели нелинейного уравнения Шредингера. "Нелинейные волны. Динамика и эволюция." М.Наука, 1989. 218-227. 9

10. А.И.Вольперт, С.И.Худяев. О задаче Коши для составных систем нелинейных уравнений. Мат. сборник 87(1972). N4. 504-528. 12, 46, 71, 97

11. А.Гилл. Динамика атмосферы и океана, т.1 и 2. М., Наука, 1986. 109, ПО, 112

12. Е.В.Гледзер, Ф.В.Должанский, А.М.Обухов. Системы гидродинамического типа и их применение. М.:Наука, 1981. 11

13. С.К.Годунов, Е.И.Роменский. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск:Научная школа, 1998. 5

14. В.А.Гордин. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды: Аналитические аспекты. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1987. 109

15. В.Г.Данилов, В.М.Шелкович. Распространение и взаимодействие 8 ударных волн гиперболических систем законов сохранения. Доклады Академии Наук, 394(2004). № 1. 10-14. 240, 241

16. Б.Н.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1986. 164

17. Д.А.Искендерова, Ш.С.Смагулов. Задача Коши для уравнений вязкого тепло-проводящего газа с вырожденной плотностью. ЖВММФ. 33(1993). N 8. 1993. 46

18. Д.А.Искендерова, Ш.С.Смагулов. Задача Коши для уравнений магнитной газовой динамики. Дифференциальные уравнения. 29(1993). 337-348. 60

19. Д.А. Искендерова. Начально-краевая задача для уравнений магнитной газовой динамики с вырождающейся плотностью, Дифференц. уравнения. 36(2000). № 6. 765-773. 60

20. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 4-е изд., испр., М.:Наука, 1971. 133, 151

21. Я.И.Канель. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью. Сиб. мат. журн. 20(1979). № 2. 293-306. 47

22. В.В.Козлов, С.Д.Фурта. Асимптотики решений сильно нелинейный систем дифференциальных уравнений. Москва: Издательство Московского университета, 1996. 196, 197

23. В.В.Козлов. Общая теория вихрей. Регулярная и хаотическая динамика. Том IV. Серия: Библиотека "R&C Dynamics". Ижевск: РХД, 1998. 222

24. М.В.Курганский. Введение в крупномасштабную динамику атмосферы (адиабатические инварианты и их применение). Л.:Гидрометеоиздат, 1993. 110

25. Г.Ламб. Гидродинамика ,М.:ГИТТЛ, 1947. 11

26. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.Гидромеханика. Теоретическая физика, т. VI. М.:Наука, 1986. 45

27. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М.:Наука, 1982. 59

28. А. Е. Мамонтов. О глобальной разрешимости многомерных уравнений На-вье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I Сиб. матем. журн. 40:2 (1999), 408-420. 67

29. А. Е. Мамонтов. О глобальной разрешимости многомерных уравнений На-вье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II Сиб. матем. журн. 40:3 (1999), 635-649. 67

30. А. Е. Мамонтов. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой ненъютоновской жидкости. Матем. заметки. 68:3 (2000). 360—376. 67

31. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. 2-е издание. М.: Физматлит, 1949. 200, 202

32. А.М.Обухов. К вопросу о геострофическом ветре. Известия АН СССР. Сер.геогр. и геофиз. 13(1949), №. 58-69. 112

33. Л.В.Овсянников. Новое решение уравнений гидродинамики. ДАН СССР 111 (1956). №1. 47 49. 195

34. Л.В.Овсянников. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 98, 99, 238

35. Дж.Педлоски. Геофизическая гидродинамика, т.1 и 2, М., Мир, 1984. 109, 110, 112

36. А. С. Петросян. Дополнительные главы гидродинамики тяжелож жидкости со свободной границей. М.: ИКИ РАН, Образовательный центр, 2010. 114

37. А.П.Мишина, И.В. Проскуряков. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, обшая алгебра. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 121, 122

38. С.И.Похожаев. О гиперболических системах законов сохранения. Дифф.уравнения. 39(2003), №5, 663-673. 8

39. Р.Рихтмайер. Принципы современной математической физики, т.1. М.:Мир, 1984. 69

40. Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М.:Наука, 1978. 7, 34, 44, 96

41. О.С.Розанова. Формирование особенностей у решений одной модельной системы уравнений метеорологии. Успехи мат.наук. 1990. Т.45. Вып.6. 143-144. 10

42. О.С.Розанова. Достаточные условия потери гладкости решениями системы уравнений модели тонкой атмосферы. Вестн. Моск. Ун-та. 1991. Сер 1. Ма-тем.Механ. N 2. 23-27. 10

43. О.С.Розанова. Об оценке времени образования атмосферного фронта Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 30(1994). N 6. 738-744. L0

44. О.С.Розанова,(Ж оценке времени существования гладкого решения уравнений гидравлики для потоков на наклонных поверхностях. Фундаментальная и прикладная математика. 4(1998). N 1. 333-344. 10

45. О.С.Розанова, Баланс энергии в модели динамики двумерной бароклинной атмосферы. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 34(1998). N 6. 738-744. 20, 125

46. О.С.Розанова. Образование особенностей решения решений с компактным но-сителнм решений уравнений Эйлера на вращающейся плоскости, Дифференциальные уравнения. 34(1998). 1118-1123. 20, 152

47. О.С.Розанова. О классах глобально гладких решений уравнений Эйлера в пространстве нескольких переменных. Международная конференция, посвященная 100 -летию со дня рождения И.Г.Петровского. Москва, май, 2001, Сб.тезисов, 84. 21

48. О.С.Розанова. О поведении границы подвижного объема в гладком течении сжимаемой жидкости Дифференциальные уравнения. 42(2006). N10. 1470 -1478. 20

49. Ш.С. Смагулов, А.А.Дурмагамбетов, Д.А. Искендерова. Задача Коши для уравнений магнитогазодинамики. Дифференциальные уравнения, 29(1993), 337— 348. 71

50. Ш.С. Смагулов, Д.А. Искендерова. Математические вопросы модели магнитной газовой динамики. Алматы:Гылым, 1997. 46

51. Л.И.Седов. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. 83, 195

52. А.Ф.Сидоров. О двух классах решений уравнений газовой джинамики. Прикладная математика и техническая физика. по.5 (1980). 16-24. 195

53. А.Ф.Сидоров, В.П.Шапеев, Н.Н.Яненко. Метод дифференциальных связей и его применения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. 10

54. В.И.Таланов. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах. Письма в "Журнал экспериментальной и теоретической физики". 1965. № 2. 218-222. 12, 220

55. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. Москва:Мир, 1977. 240

56. Б. Н. Четверушкин.Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.:МАКС Пресс, 2004. 5, 29

57. В. М. Шелкович. Сингулярные решения систем законов сохранения типа 5- и 5'-ударных волн и процессы переноса и концентрации. УМН, 63:3(381) (2008). 73-146. 237

58. M.Abramowitz, I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications Inc., 1965. 145

59. S.Alinhac. Temps de vie des solutions régulières des équations d'Euler compressibles axisymétriques en dimension deux. Inventiones Mathematicae. 111 (1993). 627-670. 8

60. S.Alinhac. Blowup for nonlinear hyperbolic equations.Birkhàuser, Boston-BaselBerlin, 1995. 9

61. G.G.Amosov, G.G.Amosov (Jr.), O.S.Rozanova. Towards a mathematical model of the aortic reservoir. Biosystems 71 (2003). Issues 1-2. 3-10. 10

62. H.Berestycki, P.-L.Lions. Nonlinear scalar field equation. I,II. Arch.Rational Mech.Anal. 82(1983). no.4. 313-345 and 347-375. 230

63. R.B.Bird, R.S.Amstrong, O. Hassager. Dynamics of Polymer Liquids. Jon Wiley &; Sons, New York, 2nd edition, 1993. 66

64. B.Birnir, C.Kenig, G.Ponce, N.Svanstedt, L.Vega. On the ill-posedness of the IVP for the generalized Korteveg-de Vris and nonlinear Schrôdinger equations. J.London Math. Soc.(2) 53(1996). 551-559. 219

65. I.A.Bogaevsky, Perestroikas of scocks and singularities of minimum fumctions, Physica D: Nonlinear Phenomena. 173 (2002). no. 1-2. 1-28. 240

66. J.Bourgain, W Wang, Construction of blow-up solutions for the nonlinear Schrôdinger equation with critical nonlinearity. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci (4) XXV (1997). 197-215. 237

67. J.Bourgain, Global solutions of Nonlinear Schrôdinger equations. AMS Colloquium Publications. Vol.46. 1999. 237

68. N.V. Brilliantov, T.Pôschel. Kinetic theory of granular gases. Oxford: Oxford University Press, 2004. 18, 72

69. C.J.Budd. Asymptotics of multibump blow-up self-similar solutions of the nonlinear Schrôdinger equation. SIAM J. Appl. Math. 62 (2001/02). no. 3. 801—830. 235

70. J.-Y.Chemin. Dynamique des gaz à masse totale finie, Asymptotic Analysis. 3(1990). 215-220. L6, 39, 40, 51, 53, 63, 75, 76, 77, 123, 124, 135

71. J.-Y.Chemin. Remarque sur l'apparition de singularités dans des écoulements euleriens compressibles. Comm. Math.Phys. 133(1990). 323-329. 97

72. B.Cheng, C.Xie. On the classical solutions of two dimensional inviscid rotating shallow water system. J.Differential Equations 250 (2011). 690-709. 9

73. Y.I.Cho, K.R.Kensey. Effects of the non-Newtonian viscocity of blood on hemodynamics of diseased arterial flows. Adv.Bioengineering. 15(1989). 147-148. 66

74. Y.Cho, H.Kim. Existence results for viscous polytropic fluids with vacuum. J.Differential Equations. 228 (2006). 377-411. 46

75. Y.Cho, B.J.Jin. Blow-up of viscous heat-conducting compressible flows.J. Math. Anal. Appl. 320 (2006). 819-826. 47, 48, 58

76. A.P.Chupakhin. Singular vortex in hydro- and gas dynamics.Analytical approaches to multidimensional balance laws. Nova Sci. Publ., New York, 2006, 89-118. 10

77. G.R.Cokelet. The rheology of human blood. In: Biomechanics:Its function and Objectives, Editors Y.C.Fung, N.Perrone & M.Aliker, Prentice-Hall, 1972. 63-103. 66

78. C.Dafermos. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics. Third Edition, Springer, Heidelberg, 2010. 6

79. V.G.Danilov, V.M. Shelkovich. Dynamics of propagation and interaction od delta-scock waves in conservation law systems. J. Differential Equations. 211(2005). 333381. 237, 240, 241, 242

80. J.F. Dyson. Dynamics of a spinning gas cloud, J. Math. Mech. 18 (1968). 91—101. 195

81. Weinan E, B.Engquist. Blowup of solutions of the unsteady Prandtl's equation. Comm. Pure Appl. Math. 50 (1997). 1287-1293. 9

82. E. Feireisl. Viscous and/or Heat Conducting Compressible Fluids, The Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Vol.1, Elsevier, 2002. 47

83. I.Fouxon, B.Meerson, M.Assaf, E.Livne. Formation and evolution of density singularities in hydrodynamics of inelastic gases. Phys.Rev. E 75(2007). 050301 (R). 82

84. I.Fouxon, B.Meerson, M.Assaf, E.Livne. Formation and evolution of density singularities in ideal hydrodynamics of freely cooling inelastic gases: A family of exact solutions. Physics of Fluids. 19(2007). 093303. 72, 82

85. I.Fouxon. Finite-time collapse and localized states in the dynamics of dissipative gases. Phys. Rev. E. 80(2010). 010301(R). 72, 82

86. J.Ginibre, G.Velo, The global Cauchy problem for the nonlinear Schrddinger equation revisited. Ann.Inst.H.Poincare. Anal.Non Lineare. 2(1985). 309-327. 219

87. J.Ginibre, G.Velo, On a class of nonlinear Schrddinger equations. J.Funct.Anal.32(1979). 1-32. 219

88. R.T.Glassey, On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrddinger equations. J.Math.Phys. 18(1977). 1794-1797. 220

89. M.Grassin, Global smooth solutions to Euler equations for a perfect gas. Indiana University Math.J. 47(1998). 1397-1432. 11, 203, 209

90. E.Hebey, Sobolev spaces on Riemannian manyfolds. Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin/ Heidelberg. Vol.1635. 1996. 55, 68

91. X. Hu, D. Wang, Global solutions to the three-dimensional full compressible magnetohydrodynamic flows. Comm. Math. Phys. 283(2008). 255—284. 71

92. L.Hermander, The lifespan of classical solutions of nonlinear hyperbolic equations.Report no.5. Mittag-Leffler Institute, 1985. 6

93. K.Hutter, Theoretical Glaciology. Dordrecht: D.Reidel, 1983. 66

94. N. H. Ibragimov, A.V.Aksenov, V.A.Baikov, V.A.Chugunov, R. K.Gazizov, A.G.Meshkov. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. 10

95. S. Kawashima, M. Okada, Smooth global solutions for the one-dimensional equations in magnetohydrodynamics. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58(1982) 384—387. 71

96. P.L.Kelley, Self-focusing of optical beams,Phys.Rev.Lett. 15(1965). 1005-1008. 220

97. T.Kato, The Cauchy problem for quasilinear symmetric hyperbolic systems.Arch.Ration.Math.Anal. 58(1975). 181-205. 35, 73, 206

98. T.Kato, On nonlinear Schrddinger equations. Ann.Inst.H.Poincare. Phys.Theor. 46(1987). 113-129. 219

99. P.D.Lax, Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. SIAM Reg.Conf.Lecture, N11. Philadelphia, 1973. 6

100. P.G.LeFloch, Hyperbolic systems of conservation laws. The theory of classical and nonclassical shock waves. Lectures in Mathematics. ETH Zurich. Basel: Birkhauser, 2002. 6

101. H.A.Levine, M.H.Protter, The breakdown of solutions of quasilinear first order systems of partial differential equations. Arch.Rat.Mech.Anal. 95(1986). 253-267. 7, 148

102. P.-L. Lions, Mathematical topics in fluid mechanics. Vol.2. Clarendon Press, Oxdord, 1996. 6

103. Fa-gui Liu, Global smooth resolvability for one-dimensional gas dynamics systems. Nonlinear Anal. Ser.A: Theory Methods, 36(1999). 25—34. 7

104. Fa-gui Liu, Life-span of classical solutions for one-dimensional hydromagnetic flow. Applied Mathematics and Mechanics. 28(2007). 511-520. 9

105. H.Liu, E.Tadmor,Rotation prevents finite-time breakdown. (J)PhysicaD. 188(2004). no.3-4. 262-276. 9, L17

106. T.-P.Liu, Development of singularities in the nonlinear waves for quasilinear partial differenrial equations. J.Diff.Equations, 33(1979). 92-111. 7

107. T.-P.Liu, T.Yang, Compressible Euler equations with vacuum. J.of Differential Equations. 140(1997). 223-236. 156, 159

108. T.-P.Liu, Hyperbolic and viscous conservation laws. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. 72. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. 6

109. E.N. Lorenz, Available potential energy and the maintenance of the general circulation. Tellus. 7(1955). 157. 125

110. S.Luding, Towards dense, realistic granular media in 2D. Nonlinearity. 22(2009). R101. 72

111. E.Madelung, Quantentheorie in hydrodynamischer form. Z.Phys. 40(1926). 322. 23, 221

112. A.Majda, Compressible fluid flow and systems of conservation laws in several space variables. Appl.Math.Sci. 53(1984). 1-159. 12, 34, 35, 97

113. T.Makino, Blowmgup solutions of the Euler-Poisson equation for the evolution of gaseous stars. Transport Theory Statist. Phys. 21(1992). 615-624. 146, 203

114. T.Makino, S.Ukai, S.Kavashima, Sur la solution à support copaet de l'équation d'Euler compressible. Japan.J.Appl.Math. 3(1986). 249-257. 35

115. J.Malek, J.Necas, M.Rokyta, M.Rùzicka. Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs. Chapman & Hall, London, 1996. 67

116. A Matsumura, T.Nishida, The initial value problem for the equations of motion of compressible and heat conductive fluid. Comm. Math. Phys. 89(1983) 445-464. 46

117. F.Merle, Construction of solution with exactly k blow-up points for the Schrôdmger equation with critical nonhnearity Comm. Math. Phys. 129(1990). 223-240. 9, 231, 236

118. F.Merle, Determination of blow-up solutions with minimal mass for nonlinear Schrôdmger equation with critical power. Duke Math. J. 69(1993), no.2, 427-454. 236

119. F Merle, On uniqueness and continuation properties after blow-up time of self-similar solutions of nonlinear Schrôdmger equation with critical exponent and critical mass. Comm. Pure Appl. Math. 45(1992). 203-254. 25, 236

120. F.Merle, P.Raphael, The blow-up dynamic and upper bound on the blow-up rate for critical nonlinear Schrôdmger equation.Ann. of Math. (2) 161 (2005). 157-222. 230

121. F.Merle, Blow up phenomena for critical nonlinear Schrôdmger and Zakharov equations. Documenta Mathematica, Extra volume ICM 1998, III (1998). 57-66. 220

122. J Nash, Le problème de Cauchy pour les equations differentialles d'un fluide general. Bull Soc.Math.France, 90(1962), 487-497. 46

123. H.Nava, Asymptotic and limiting profiles of blowup solutions of the nonlinear Schrddinger equation with critical power. Comm.Pure Appl. Math. 52(1999). 191270. 230

124. J.Malek, J.Necas, K.P.Rajagopal, Global analysis of the flows of fluids with pressure-dependent viscocities. Arch.Rational Mech. Anal. 165 (2002). 243-269. 13, 66

125. M.Nunes, Some applications of generalized moments of the density in an inviscid compressible flow. European Journal of Mechanics B/Fluids. 29 (2010). 305-308. 10

126. W.-M.Ni, R.D.Nissbaum, Uniqueness and nonuniqueness for positive radial solutions of Au + f(u,r) = 0. Comm. on Pure Appl. Math. 38(1985). 67-108. 232, 239

127. T.Ogawa, Y.Tsutsumi, Blow-up of H1 solutions for the nonlinear Schrddinger equation.3.Differential Equations. 92(1991). 317-330. 221, 236

128. R.Pan, J.A.Smoller, Blowup of smooth solutions for relativistic Euler equations, Communications in Mathematical Physics. 262(2006). 729-755. 9

129. B.Perthame, Nonexistence of global solutions to Euler-Poisson equations for repulsive forces. Japan J. Appl. Math. 7(1990), 363-367. 9

130. B.Perthame, Kinetic formulation of conservation laws. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. 21. Oxford: Oxford University Press, 2002. 6

131. M.Rammaha, On the formation of singularities in magnetohydrodynamic waves. J.Math.Anal.Appl. 188(1994). 940-955. 9

132. M.Rammaha, Formation of singularities in compressible fluids in two-space dimensions Proc. Amer. Math. Soc. 107 (1989). 705-714. 84

133. O.S.Rozanova, Unavailable energy in system of dynamics of 2-D baroclinic atmosphere World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin. Wissenschaft und Technik Verlag. Vol.3. 227-232, 1997. 20

134. O.S.Rozanova, 2-D model of atmospheric dynamics: energy balance and some properties of solutions. International Congress of Mathematicians, Berlin, August 18-27, 1998. Abstracts and Short Communications. 219. 20

135. O.S.Rozanova. Blow-up of solutions in system of atmosphere dynamics. In: Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications, ISNM (Int. Ser.Numer.Math.) 130, Vol. II, Birkhauser/Basel, Switzerland, 1999, 793-801. 20

136. O.S.Rozanova, Singularity appearance in 2-D system of gas dynamics: sufficient conditions, time dependence and localization. Nonlinear PDE: Int. Conference in memory of S.N.Kruzhkov, Besancon, France, June 28 July 2, 1999. Abstracts. 45.156

137. O.S.Rozanova, On a nonexistence of global smooth solutions to compressible Euler equations, Hyperbolic problems:theory, numerics, applications. Vol.I,II (Magdeburg, 2000), Internat.Ser.Numer.Math. 140,141. Birkhouser, Basel,2001, 811-820. 143, 156

138. O.S.Rozanova, On a nonexistence of global smooth solutions to compressible Euler equations with forcing terms, Int.Congress on Mathematical Physics. London, Imperial College, Book of abstracts, p.61. 156

139. O.S.Rozanova. Solutions to Euler equations with a compactly supported density Trends in Nonlinear Analisis. Trends in Nonlinear Analysis (TiNA2000). Heidelberg, Germany, October 8-12, 2000. Book of Abstracts. 31. 156

140. O.S.Rozanova, On classes of globally smooth solutions to the Euler equations in several dimensions. Hyperbolic problems: Theory, Numerics, Applications. Springer, 2003. 861-871. 21, 59

141. O.S.Rozanova, Influence of damping to the singularity formation for Euler equations. Book of a Abstracts "International Conference "Differential Equations and Related Topics" Moscow, May 16 to May 22, 2004. 121. 142

142. O.S.Rozanova, Hydrodynamic approach to the Nonlinear Schrddinger equation, Workshop "Global and Geometric Aspects in Nonlinear PDE", October 6 -12, 2004, Yerevan, Armenia. 17. 23

143. O.S.Rozanova, Note on the typhoon eye trajectory. Regular and chaotic dynamics. 2004. N4. 129-142. 11

144. O.S.Rozanova, Explicit blowing up solutions of Nonlinear Schredinger equation in the critical case and the dynamics of singularities. International conference "Nonlinear Partial Differential Equations", Alushta, September 17-23. 2005. 82. 23

145. O.S.Rozanova, Hydrodynamic approach to constructing solutions of nonlinear Schrddinger equation in the critical case. Proc. Amer. Math. Soc. 133(2005). 23472358. 23

146. Rozanova O.S. Criterium for the gradient catastrophe for the non-isentropic gas dynamics equations. PAMM. v. 7. N1. 2007. p.2040051-2040052. 11

147. O.S.Rozanova. Nonexistence results for a compressible non-Newtonian fluid with magnetic effects m the whole space. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 371(2010). 190-194. 18

148. O.S.Rozanova, J.-L.Yiu, C.-K.Hu. Typhoon eye trajectory based on a mathematical model: comparing with observational data. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 11(2010). 1847-1861. 11

149. O.S.Rozanova, J.-L.Yiu, C.-K.Hu. On the position of vortex in a two-dimensional model of atmosphere. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13 (2012), 19411954. 11

150. O.S.Rozanova. Formation of singularities in solutions to ideal hydrodynamics of freely cooling inelastic gases. Nonlinearity, 25 (2012) 1547-1558. 19

151. Yu.A.Rylov. The equations for isoentropic motion of invisid fluid in terms of wave function. J.Math.Phys. 30(1989). 2516-2520. 221

152. D. Serre. Systèmes de lois de conservation. Vol I, II, Diderot Editeur, Paris, 1996. 6

153. D.Serre. Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales de l'Institut Fourier. 47(1997). 139-153. 11, 123, 203, 205, 206, 209, 215

154. J.Serrin. On the uniquwness of compressible fluid motion. Arch.Rational.Mech. Anal. 3(1959). 271-288. 46

155. J.Serrin. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Handbuch fiir Physik, Bd.VIII, Berlin, 1959. 65

156. S.F. Shandarin, Ya.B.Zeldovich. The large-scale structure of the Universe:Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium. Reviews of Modern Physics 61 (2)(1989). 185-220. 12

157. W.R.Schowalter, Mechanics of non-Newtonian Fluids. Pergamon Press, 1978. 66

158. T.C.Sideris. Formation of singularities in solutions to nonlinear hyperbolic equations.Arch.Rat.Mech.Anal. 86(1984). 369-381. 9

159. T.C.Sideris. Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids. Comm.Math.Phys. 101(1985). 475-485. 8, 82, 84, 85, 86, 88

160. T.C.Sideris.Nonresonance and global existence of prestressed nonlinear elastic waves. Ann.Math.(2) 151(2000). 849-874. 9

161. T.C.Sideris, B.Tomases, D.Wang. Long time behaviour of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping. Comm.Partial Differential Equations, 28(2003). no.3-4. 795-816. 143

162. C. Sulem, P.L. Sulem. The nonlinear Schrodinger equation: self-focusing and wave collapse. Series in Mathematical Sciences. Volume 139, Springer-Verlag, 1999. 220

163. M. E. Taylor. Partial differential equations. III. Nonlinear equations. Volume 117 of Applied Mathematical Sciences. Springer- Verlag, New York, 1997. 209

164. Y.Tsutsumi. Rate of L2 concentration of blow up solutions for the nonlinear Schrddinger equation with critical power. Nonlinear Analysis, Methods &; Application, 15(1990). 719-724. 230

165. D.Wang, X. Hu. Global existence and large-time behavior of solutions to the three-dimensional equations of compressible magnetohydrodynamic flows. Arch. Ration. Mech. Anal. 197 (2010). 203-238. 60

166. D.Wang, X. Hu. Local strong solution to the compressible viscoelastic flow with large data. J. Differential Equations 249 (2010). 1179-1198. 67

167. D.Wang, X. Hu. Global existence for the multi-dimensional compressible viscoelastic flows. J. Differential Equations 250 (2011). 1200-1231. 67

168. M.I.Weinstein. Nonlinear Schrddinger equations and sharp interpolation estimates. Comm.Math.Phys. 87(1982/83). 567-576. 23, 220

169. M.I. Weinstein. On the structure and formation of singularities in solutions to nonlinear dispersive evolution equations, Communications in Partial Differential Equations. 11(1986). no.5. 545-565. 9, 230

170. Z.-P.Xin. Blowup of smooth solutions to the compressible Navier-Stokes equation with compact density. Comm.Pure Appl.Math. 51(1998). 229-240. 13, 47, 50, 84

171. H. Yin, Q. Qiu. The blowup of solutions for 3D axisymmetric compressible Euler equations. Nagoya Math. J. 154(1999). 157-169. 8