Применение метода начальных параметров к определению динамических состояний центрально-сжатых прямых неоднородных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧАДАЕВ ЮРИЙ АНДРЕЕВИЧ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ ПРЯМЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ.

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

005566542

Тула 2015

005566542

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тульский государственный университет».

Научный руководитель Желтков Владимир Иванович, доктор

физико-математических наук, доцент.

Официальные оппоненты: Шардаков Игорь Николаевич, доктор

физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт механики сплошных сред» Уральское Отделение Академии Наук, заведующий лабораторией.

Кеглин Борис Григорьевич, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Брянский государственный технический университет, профессор кафедры «Динамика и прочность машин».

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс», г. Орел

Защита состоится 13 мая 2015 г. в 10:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФБГОУ ВПО Тульский государственный университет по адресу: 300012, г. Тула, просп. им. Ленина, 92, 12-105)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, просп. им. Ленина, 92 и на сайте http://tsu.tula.ru/science/dissertation/diss-212-271-02/chadaev-ua/

Автореферат разослан «24» марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Толоконников Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Постоянное развитие отраслей промышленного, гражданского и энергетического строительства подразумевает наличие стержней в качестве основных несущих элементов строительных конструкций. Основной нагрузкой на вертикальные элементы каркаса строительного сооружения является вес элементов конструкции и пространственная система сил, обусловленная присоединением горизонтальных элементов каркаса, плит перекрытия, весом установленного оборудования и т. д. Таким образом, моделью каркасного здания является система упругих стержней, часть из которых нагружена продольными сжимающими и поперечными нагрузками. Несущая способность таких элементов зависит не только от площади их поперечного сечения, длины, условий закрепления, формы поперечного сечения, материала, но и от взаимного влияния простейших состояний: поперечного изгиба и продольного растяжения/сжатия. Общеизвестно, что при сжимающей продольной нагрузке при достижении ею определенной критической величины может произойти потеря устойчивости начального прямолинейного состояния и переход к криволинейной форме, в которой присутствуют силовые и кинематические факторы, характерные для состояния изгиба. Массовость применения модели требует учитывать как статический, так и динамический характер нагрузок.

Решение проблем прикладных задач устойчивости стержней встречается еще в работах Л. Эйлера, Д. Бернулли, Ж. Лагранжа, Ж. Даламбера. Более поздние научные исследования в этом направлении приведены в работах Кармана Т., Николаи E.JL, Тимошенко С.П., Шенли Ф., Рокара Н, Хоффа Н., Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Н., Феодосьева В.И, Толоконникова JI.A., Вольмира A.C., Болотина В.В., Зубчанинова В.Г., Ржаницына А.Р. В этих работах рассмотрены методы решения задач устойчивости стержней при разных условиях закрепления и действия продольной силы. В справочниках по механике деформируемого твердого тела и в учебной литературе приведен ряд результатов решения частных задач. В то же время в связи с развитием средств вычислительной техники становится возможной разработка универсальных алгоритмов, которые ранее не применялись из-за большого объема вычислительной работы и сложности определения собственных чисел, что характерно для задач динамики и устойчивости стержней. К таким алгоритмам относится метод начальных параметров (МНП), подробно изложенный в работе И.М. Бабакова «Теория колебаний» Удобство метода заключается в универсальности алгоритма по отношению к условиям закрепления и возможностью аналитического определения статических и динамических состояний прямого стержня. Метод практически идеально подходит к моделированию стержней со ступенчатым изменением жесткости по длине. В то же время для задач динамической устойчивости стержней переменной жесткости, которая изменяется непрерывно вдоль оси, МНП практически не применялся.

Исходя из вышеизложенного, целью работы является разработка эффективного алгоритма определения критической силы для стержней пере-

менного поперечного сечения в динамической постановке. Предметом исследования является прямой тонкий стержень, поперечное сечение которого является непрерывной функцией продольной координаты.

Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следу, ющие задачи исследований:

1. На основании метода начальных параметров (МНП) разработать и верифицировать аналитические модели статики и динамики центрально-сжатого прямого стержня постоянного сечения.

2. Разработать и верифицировать модификацию МНП для моделирования стержней со ступенчатым изменением жесткости по длине.

3. Разработать методику оценки критической силы для стержня, образованного вращением плоской непрерывной кривой вокруг оси.

Методы исследования. В работе используется методология построения численной модели стержня переменного сечения на основании аналитических моделей. Для построения аналитических моделей использовались методы механики деформируемого твердого тела (МДТТ), теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований, аналитические вычисления на основе современных информационных технологий.

Достоверность результатов обусловлена корректным применением методов МДТТ, математических методов и сравнением результатов с известными из литературы решениями других авторов.

Автор защищает:

1. Аналитические модели статики и динамики центрально-сжатого прямого стержня, в том числе и с распределенной продольной нагрузкой.

2. МНП - модели стержней с кусочно-постоянным сечением.

3. МНП - модель стержня с непрерывным изменением сечения по длине.

4. Методику интервальной оценки критической силы для стержня переменного сечения.

Научная новизна.

1. Разработан новый метод интервальной оценки критической силы для стержня переменного поперечного сечения.

2. Получены универсальные аналитические решения, применимые для консервативных и неконсервативных постановок.

3. Решены задачи динамической устойчивости для конического стержня и стержня выпуклого и вогнутого профилей.

Практическая значимость: Практическую ценность работы представляет разработанная методика интервальной оценки критической силы в динамической постановке и результаты решения конкретных задач.

Реализация работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе по направлению 010800 «Механика и математическое моделирование», при подготовке магистров по дисциплине «Механика

деформируемого твёрдого тела», а также в научно-исследовательской работе студентов.

Апробация работы. Результаты исследований доложены на всероссийских и международных научных конференциях: «Современные проблемы математики, механики, информатики» (2010, ТулГУ), Инновационные наукоёмкие технологии: Теория, эксперимент и практические результаты (2010, 2011, 2012, 2013, ТулГУ), Современное общество, образование и наука (2014, Тамбов), XVII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2013).

Публикации:

Материалы проведённых исследований отражены: в 4 статьях изданий, рекомендованных ВАК для опубликования на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, в 2 докладах научно-технических конференций Общий объем 2,3 печ. л., авторский вклад 1,8 п. л.

Структура и объем диссертации: Диссертационная работа состоит из введения трёх разделов, заключения, списка использованных источников из 94 наименований, содержит 83 страницы машинописного текста, включая 33 рисунка и 2 таблицы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой в работе научно-технической задачи, сформулированы цель работы, положения, выносимые на защиту, научная новизна, методы исследования, практическая ценность, приводятся данные о реализации работы, публикациях, структуре и объеме диссертационной работы, дано краткое содержание разделов диссертации.

В первом разделе работы приводится геометрически нелинейная формулировка задачи о динамических состояниях прямого стержня. Нелинейность заключается в том, что при варьировании деформированного состояния в уравнении Лагранжа-д'Аламбера учитываются слагаемые, пропорциональные квадратам углов поворота. При вычислении напряжений по закону Гука нелинейными составляющими пренебрегаем. В рамках этих гипотез вариационное уравнение имеет вид:

Ь ь

\^е0ЕАе0 +ЗкхуКГ,кху + ЗкХ2К1укХ1 }&+¡&гЕАе0вг +ввуЕАе0ву\1х+

о о

1 1

+ ^(ЗирАй + &рА\>+дл'рАм'Ук -1(<5щх + + + ёО,т2 + 60уту рх -о о

-&(0)Щ0)-&(0)ду(0)-&у(0Ш0)-д92(0)М2(0)-бву(0)Му(0)-

- ди(Ь)ЩЬ) - &(Ь)0У (Ь) - (Ц-ёВ, (Ь)Мг (1)-ёОу (Ь)Му (Ь) = о

Пусть продольная сила известна и не зависит от времени; тогда определяются характеристики состояния изгиба:

/ \8*£Зк-дчрА\+8в-Ы-в-^ -86-т\с1х -

О1 (2)

-&>(0)£)(0)- 86(0 )М( О) - &>(Ь )£)(Ь ) - 8в(Ь )М(Ь) = О Дифференциальное уравнение динамического изгиба с учетом влияния продольной силы:

+ рАЪ - [^(х)в + ЛГ(х)0'] = ЯУ; ( 3)

Следует отметить, что собственные функции должны удовлетворять однородным граничным условиям, которые зависят от закрепления стержня: — силовые граничные условия: равенство нулю множителя при 8и(0) или 8и(Ь), если перемещение на одном из торцев не задано (8и(0)ф0 или 8и(ЬУФЩ'.

Шу"(Ь)-М(Ь) = 0; Е1У"(0) + М(0) = 0

- Ыут(Ь) + ЩЬ)в(Ь) - <2(Ь) = О (4)

е1у''(0) - що)в(о)- ее о;=о

кинематические граничные условия:

у(0) = V,,; 0(0) = в0; у(Ь) = V*; в(Ь) = 0к

(5)

Отметим, что слагаемые N(1 )0(Ь) и N(0)0(0) в силовых граничных условиях, представляющие собой проекцию продольной силы, действующие на торцах, на нормаль к деформированной оси, должны учитываться только при «мертвой» осевой нагрузке; при следящей нагрузке эти проекции отсутствуют. Это и составляет отличие консервативной от неконсервативной постановок.

Систему уравнений изгиба при известной продольной силе можно записать в матричной форме:

у'в =А(х,1)вув~Мвув +Чв; ув={у в М О);

А(*Ов =

"0 1 0 1 ш 0 0" " 0 0 0 0"

0 0 0 0 0 1 ■•Мг = 0 0 0 0 0 0 0 0

0 Ы'(х) N00 и 0 рЛ 0 0 0

(6)

Чв = \0 0 0 Чу(х.1)}

где ув - вектор состояния при изгибе, Ад-матрица модели, Мй - матрица инерции, Цв~ вектор распределенных нагрузок.

Перепишем систему уравнений состояния в безразмерном виде, используя относительную координату безразмерные переменные: ггт=у/Х, в, &=<2Ь21Е^ п2=Ж2Ш, у^Ь/ЕА, уу=Цу[}1К1, &=а}Т*=рА1?1ЕУ, Тх=р1?1ЕТу=рА1?1ЕУ, ?=(ТУТу)2 =3/А1}~ безразмерный радиус инерции сечения и безразмерное время т=МТ.

Тогда уравнения состояния упрощаются:

= А чг(?.т)~ в

"0 1 0 0 "0 0 0 0"

0 0 1 0 0 0 0 0

А = 0 я 0 ■ 0 I 1 ; М = 0 0 0 0

0 о ё? [ и2Г60 0 1 0 0 0_

У = {о о 0 Гу(1 г)} (7)

Основная проблема — определение системы собственных функций уравнения ( 7). Отметим, что собственные функции должны удовлетворять однородным граничным условиям (2),(3) и (4),(5). Так как уравнение (7) -обыкновенное, то для него легко найти решение задачи Коши (задачи с начальными условиями):

Г(х,а>) = У(х,®)Г(0,ю) = У(х,а>)Г0(а>). ( 8)

Здесь \(х,а>) есть нормированная матрица фундаментальных решений уравнения ( 7) обладающая очевидным свойством: У(0,<а) = I, где I — единичная матрица. Матрицу фундаментальных решений удобно назвать матрицей влияния начальных параметров или матрицей влияния, векторУоС®). который имеет смысл амплитуд состояния в начале стержня, при х=0, назовем вектором начальных параметров.

Отметим, что на самом деле мы решаем краевую задачу и из начальных параметров известна только половина их общего количества, определенная из граничных условий на краю х=0. Неизвестные начальные параметры определим из условий на конце стержня при х=Ь. Для этого запишем решение (8) в указанной точке:

= (9)

Неизвестных в этой системе уравнений всего половина от общего количества; чтобы составить надлежащее количество уравнений, из ( выберем строки, отвечающие заданным на конце стержня компонентам состояния из (4),(5). Так как количество таких уравнений равно количеству неизвестных, то система уравнений имеет квадратную матрицу, которая зависит от параметра со. Эта система однородная в силу однородности граничных условий. Условие существования ее нетривиального решения есть равенство нулю главного определителя.

с!е1{у(4й>)}=0. (10)

Здесь У(Ь,со) -матрица граничных условий на конце стержня. Так как фундаментальные решения даже линейной задачи о колебаниях стержня есть трансцендентные функции, то уравнение (10) имеет счетное множество корней и, соответственно, счетное множество нетривиальных решений — форм свободных колебаний. Признаком устойчивого начального состояния будем считать наличие у уравнения (10) только вещественных корней; в этом слу-

чае собственные поперечные движения стержня — гармонические незатухающие осцилляторы и любое малое кинематическое поперечное возмущение приводит к отклонению от начального состояния, по порядку, не превосходящему величины возмущения, то есть к устойчивому по Ляпунову начальному состоянию. Появление хотя бы одной пары мнимых корней приводит к появлению одной апериодической неограниченно возрастающей составляющей, т. е. к неустойчивости начального состояния.

Для реализации этой процедуры необходимо построение матрицы фундаментальных решений. Отметим, что при постоянной продольной силе уравнение (7) имеет аналитическое решение для статики:

1 1 Г и \ 11 яЬ(ах)-ах

1 * -^ИМ-И -^з-

0 1 — ^(¿а) —!—[с/!(ох)-1] 17Юа

О 0 сИ(са) — $й(аяг)

=

О О

Ша сИ(са) а 5й(ахг)

сй(свг)

и динамики:

К„=Д|1

" . I «»(^х) + 1 [ 1--, " |сЬ(р2ДГ>

I +а ] Ч 74л4 + а4)

2 л/4 Л4 + аА

74 Л4 + с

8т(р,х);

У,.з =

£/74 Л4 + а"

= [сЬ(р2*)-со5(р,*)}

У, 4 =

£/74Я4 + а4

8Ь(р2х)_£т[р1х) Р2 Р\

;У2,1=(Е/)2Л4У1,4;У2,2=Уи

' Ег4а Л4 + а4

У,г=-

1 +

„ ^4Л4 +а4 ,

сЪ(р,х

^4 Л4+а4

-1

2Л

4,3 =

Л

2Я

74?

ТаЧ^4

^4.4 = ^3.3.'

Р\

(П)

4 рА(0 2 ЛГ

= —-• а =—-

Г =

В случае зависимости продольной силы от координаты уравнение состояния (7) имеет переменные коэффициенты; для его решения сформулирована процедура последовательных приближений, аналогичная формулам Пе-ано для матрицанта (см. Б.П Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. - М.:Наука, 1967.- 472с.), отличающаяся начальным приближением, за которое принято решение линейной задачи динамического изгиба.

Во втором разделе проводится верификация полученных аналитических решений на различных задачах, имеющих известные аналитические решения.

В статических задачах метод начальных параметров для прямого однородного стержня даёт известные значения критической силы для различных условий закрепления, совпадающие с приведёнными в учебниках по сопротивлению материалов.

В разделе приводятся результаты вычисления зависимостей безразмерных собственных частот от безразмерной продольной силы для различных видов закрепления стержня. Здесь приводятся результаты для консольного стержня в консервативной и неконсервативной постановках.

Рис. 1. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при защемленном начале и свободном конце («мертвая» сила).

О 2 А б

Рис. 2. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при защемленном начале и свободном конце (следящая

нагрузка).

На последних рисунках вертикальные линии соответствуют значениям критической силы Эйлера для разных форм потери устойчивости. Проведенные расчеты (рис.1, 2) и приведенные в тексте диссертации показывают, что эйлерова критическая сила, определяемая в статической постановке, определяет точку потери устойчивости и в динамике: вертикальные линии, отвечающие ее значению, являются касательными как к вершинам парабол зависимостей £1(п) в консервативной постановке (рис.1), так и к петлям тех же зависимостей в неконсервативной постановке (рис.2). При этом характер бифуркации различен: в консервативной постановке одна форма переходит в апериодический режим движения, а в неконсервативной — две. Данное утверждение согласуется и количественно, и качественно с результатами В.В. Болотина и A.C. Вольмира.

Далее рассмотрены задачи при наличии распределенной продольной нагрузки, не зависящей от времени. Реально могут быть реализована только линейная зависимость

N(x) = gpAx + N0. (13)

Безразмерное однородное уравнение, соответствующее этому случаю, имеет вид:

"0 1 0 0" "0 0 0 0"

0 0 1 0 0 0 0 0

; S =

0 0 0 1 0 0 0 0

0 Ух 4 0_ 0 0 1 0

Для определения фундаментальных решений (14) используем упомянутый в разд. 1 метод последовательных приближений. В начальном приближении опустим матрицу Б, представляющую переменную часть коэффициентов (14); так как начальное приближение есть уравнение с постоянными коэффициентами, то можно найти его аналитическое решение (аналогично (12)), или воспользоваться леммой Жордана. Тогда последовательные приближения можно определить так:

(

(15)

Эта процедура сходится для реальных значений ух за три приближения.

Таким образом, построена математическая модель прямого стержня при разнообразных условиях закрепления, в том числе и при распределенных продольных нагрузках.

В третьем разделе представлены динамические постановки задач для центрально-сжатых прямых неоднородных стержней.

Прямым неоднородным стержнем принято считать такой, у которого жесткость и погонная масса являются ступенчатыми (кусочно-постоянными)

функциями координат. Принимая, что упомянутые характеристики являются непрерывными и гладкими функциями продольной координаты, неоднородный стержень следует рассматривать как систему прямых стержней постоянной жесткости, имеющих общую прямую ось, то есть центры тяжести поперечных сечений составляющих стержней считаются лежащими на одной прямой. Для таких неразветвленных стержневых систем простейшая математическая модель может быть построена на основе метода начальных параметров (МНП). Фактически это означает решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, для которых в точках разрывов первого рода в коэффициентах ставятся условия непрерывности решения: состояние в конце предыдущего участка является начальным для следующего. В терминах МНП это может быть записано следующим образом:

=у<п){1Ж

(16)

где ^ - вектор состояния стержня, то есть матрица-столбец, составленная из ненулевых компонент состояния стержня (перемещений, углов поворота сечения, крутящего и изгибающих моментов, продольной и поперечных сил) верхний индекс обозначает номер стержня, нижний индекс 0 относится к начальному состоянию. Матрица У(х) есть нормированная матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений состояния, вычисленная в точке 0<х<Ь, Ь — длина стержня. Считается, что уравнения состояния допускают представление решения для одного стержня в виде:

у(х) = У(х)у0. (17)

Представление (17) допустимо в статике и динамике при вычислении собственных состояний; тогда в число аргументов следует добавить неизвестную частоту свободных колебаний со.

Для составного стержня с использованием (16), (17) очевидна формула, связывающая начальные параметры с состоянием конца стержня:

" N 1

ук= Уо=^Уо- (1В)

Здесь произведение матриц фундаментальных решений следует рассматривать как матрицу влияния начального узла системы стержней, имеющего номер 0, на конечный узел, имеющий номер N. Термин «система стержней» следует понимать в вышеприведенном смысле; нумерация узлов 0...Л', нумерация стержней - 1...ЛГ. Таким образом, для одного стержня присутствуют узлы 0...1 и стержень 1, а матрица Уш представляет собой нормированную матрицу фундаментальных решений У(£).

Теперь для системы прямых стержней матрицу влияния можно записать следующим образом:

1,0)

2

Ем^М

N-1

оиУ„

/7—1

1,0)

4

2 РпАп1п ЕЛп

(19)

Структура произведения матриц показывает, что сначала происходит переход от безразмерных переменных предыдущего участка стержня к размерным, а затем - от размерных переменных к безразмерным переменным следующего участка. Следовательно, воздействием на систему являются безразмерные переменные начального участка, а выходом - безразмерные переменные последнего участка:

VN=V0N(a}yP0 (20)

и граничные условия следует принимать в форме (4) или (5).

В качестве примера применения метода рассмотрим задачу о поперечных свободных колебаниях стержня, состоящего из трех участков, рассмотренную в работе A.C. Вольмира.

/

/1 2h-0 Ii

У\ И

Рис. 3. Конфигурация стержня На рис. 4 приведены результаты определения критической силы для разных соотношений размеров стержня.

Рис.4. Зависимость относительной критической силы К от соотношения диаметров a=d{/d2. Линии - МНП-расчет, маркеры — результаты A.C. Вольмира.

Сплошная линия - ß=0.8, пунктир - ß=0.6, штрих - ß=0.4, штрих-пунктир -

ß=0.2.

Из рис.4 видно, что результаты совпадают, но метод начальных параметров более универсален по отношению к количеству участков стержня: формула (19) пригодна для любого количества участков и всегда приводится

к системе уравнений второго порядка, так как условия совместности при переходе от участка к участку выполняются автоматически.

Последнее заключение позволяет сформулировать методику оценки критической силы для стержня произвольного профиля, полученного вращением гладкой кривой вокруг оси. Нетрудно для любой кривой построить систему вписанных и описанных цилиндров, например, как на рис. 5.

г(х)

/ Го

Рис.5. Вписанные (штрих) и описанные (штрих-пунктир) цилиндры для выпуклого тела вращения Тогда очевидная верхняя оценка критической силы - критическая сила системы описанных цилиндров, нижняя оценка - критическая сила системы вписанных цилиндров. На рис. 6,7 показаны оценки критической силы для конического стержня, защемленного по большему диаметру при следящей и «мертвой» силе, разбитому на пять участков.

V

\ \ \

•

Рис. 6. Оценка критической силы (5 Рис. 7. Оценка критической силы (5

участков, «мертвая» сила)

Результаты оценки приведены в табл. 1.

участков, следящая сила)

Табл.1

Разбиение (к-во участков) Неконсервативная задача Консервативная задача

Ыоуег, МН И^г, МН 5 Ыочег, МН МН 5

2 0.1105 0.2761 0.428 0.0491 0.0215 0.391

5 0.2025 0.2577 0.120 0.0400 0.0322 0.108

10 0.2391 0.2240 0.033 0.0397 0.0347 0.067

20 0.2301 0.2393 0.020 0.0384 0.0358 0.035

Относительная ошибка 5 оценивалась как отношение разности верхней

N +N-

1 over ' inner

Результаты расчетов для стержня рис. 5, полученного вращением вокруг оси синусоиды

r(x) = r0 +/Sm(f

приведены в табл.2.

Табл.2

Оценка критической силы для стержня рис. 5 при различных условиях за-

крепления при разбиении на 198 частей

Закрепление Относительная стрела превышения //г,) Ninneri КН N0^, КН 8

ZF* -0.75 8.269 8.437 0.0250

-0.5 13.50 14.18 0.0100

О(цилиндр) 62.02 62.02 0

0.5 155.5 158.8 0.0110

0.75 208.9 215.9 0.0160

1.0 263.5 275.7 0.0231

SS* -0.75 1.973 2.041 0.0170

-0.50 22.57 22.96 0.00841

О(цилиндр) 248.1 248.1 0

0.50 958.3 970.2 0.00618

0.75 1581 1610 0.00914

1.0 2421 2480 0.012

ZS* -0.75 12.47 13.15 0.023

-0.50 81.02 83.13 0.013

О(цилиндр) 507.5 507.5 0

0.5 1535 1559 0.00777

0.75 2362 2417 0.011

1.0 3442 3542 0.014

ZZ* -0.75 33.99 35.60 0.023

-0.50 963.5 987.0 0.012

О(цилиндр) 992.1 992.1 0

0.5 2668 2711 0.00795

0.75 3964 4054 0.011

1.0 5629 5793 0.014

"Примечание. В таблице принята следующая кодировка условий закрепления: X - жесткая заделка, Б - шарнирное опирание, Б - свободный край; первая буква соответствует началу, а вторая - концу стержня.

Из табл. 2 видно, что сходимость процедуры оценивания зависит от абсолютной величины относительного превышения среднего радиуса над минимальным. При увеличении этого параметра вдвое относительный интервал определения критической силы 5 по всем схемам закрепления также практически удваивается.

Нижняя и верхняя оценки критической силы при увеличении параметра / монотонно возрастают, что согласуется с интуитивным представлением о потере устойчивости составного стержня, в соответствии с которой критическая сила определяется наименее жестким стержнем в системе.

Достигнутая величина погрешности (порядка 0.01..0.03) вполне удовлетворительна для практических целей. Методика определения критической силы универсальна по отношению к условиям закрепления, и характеру задачи («мертвая» или следящая нагрузка). Алгоритм ее элементарно реализуется на универсальных математических пакетах прикладных программ; в частности, в данной работе использовался МаШСас! 14. Для каждой конкретной кривой достаточно разработать алгоритм построения системы вписанных/описанных цилиндров; остальная часть алгоритма универсальна.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Применение метода начальных параметров позволяет находить аналитические решения задач об упругих стержнях при учете влияния продольных сил на состояние изгиба и при наличии градиента продольной силы. Алгоритм метода позволяет получать аналитические решения разнообразных задач статики и динамики центрально-сжатых стержней, в консервативных и неконсервативных постановках при разнообразных граничных условиях. В качестве расширения возможностей метода следует отметить возможность интервальной оценки критических сил для стержней переменного сечения. Методика оценки основана на замене стержня с непрерывным изменением жесткости двумя системами кусочно-гладких стержней, что сближает ее с известным методом геометрического погружения, разработанным И.Н. Шар-даковым. Хотя предложенный вариант метода не использует аналитических решений уравнений состояния стержня с переменной площадью, полученные оценки критической силы вполне пригодны для практического использования, так как величина интервала по отношению к его среднему значению при достаточном количестве разбиений (около 200) составляет 0.01...0.03. Так как методика оценки опирается на использование теории прямого ступенчатого стержня, то она практически универсальна по отношению к форме стержня: построение системы вписанных/описанных прямоугольников для плоской кривой — тривиальная задача.

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

1. Метод начальных параметров представляет основу для решения разнообразных задач о статических и динамических состояниях центрально-сжатых стержней, в том числе и стержней переменной жесткости. Простота и наглядность его алгоритма позволяет рекомендовать его внедрение в учебный процесс высших учебных заведений в рамках курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика» и аналогичных им.

2. Применение метода к стержням со ступенчатым изменением поперечного сечения позволяет получить строгие решения для случая конечного количества ступеней и интервальные оценки критической силы для непрерывного изменения жесткости по длине стержня.

3. Действие на стержень распределенной продольной нагрузки, например,

собственного веса, также не представляет существенных затруднений

для применения метода в силу простой методики последовательных

приближений для получения фундаментальных решений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. В.И. Желтков, O.A. Ковальчук, Ю.А. Чадаев. Устойчивость стержней, сжатых продольной распределённой нагрузкой // Международная научная конференция «Современные проблемы математики механики, информатики», посвященная 80-летию Тульского государственного университета. Россия, Тула 22-26 ноября 2010 г. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 145-147

2. Чадаев Ю.А., Желтков В.И. Устойчивость прямого стержня, нагруженного распределённой продольной нагрузкой // Международная научно-практическая конференция «Современное общество, образование и наука. Россия, Тамбов 30 июня 2014 г. - Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014.-С 133-137

3. Чадаев Ю.А. Определения спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Изд-во ТулГУ, 2014. - Вып. 1 ч.1. - С. 225-231

4. Чадаев Ю.А. Поперечные колебания составных стержней, сжатых продольной нагрузкой // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Изд-во ТулГУ, 2014. - Вып. 1 ч.5. - С. 310

5. Желтков В.И., Чадаев Ю.А. Динамические состояния продольно-сжатых неоднородных стержней // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. Издательство: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс" (Орел), 2014 - Вып. 4 - с. 3-7

6. Чадаев Ю.А. Изгиб стержня при продольной силе, линейно зависящей от координаты. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Изд-во ТулГУ, 2015. - Вып. 1 ч.1. - С. 71-82

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 11.03.2015.

Формат бумаги 60x84 Vie- Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 019.

Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95