Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами

Шишкина, Екатерина Валерьевна

Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Шишкина, Екатерина Валерьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами»

Автореферат диссертации на тему "Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

Шишкина Екатерина Валерьевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ К СИСТЕМАМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2004

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Блехман Илья Израилевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Беляев Александр Константинович доктор физико-математических наук, профессор

Товстик Петр Евгеньевич

Ведущая организация: Ростовский государственный

университет

Защита состоится МАЯ 2004 года в и часов минут на

заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О.,61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

В.В. Дубаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время значительный интерес вызывает исследование влияния вибрации на свойства механических систем, в том числе систем с распределенными параметрами. Следствием этого влияния являются такие эффекты, как изменение характера устойчивости положений равновесия системы и изменение ее эффективных жесткост-ных свойств. Изучение этих явлений с целью предотвращения их вредного влияния, а также использования данных эффектов в технике и технологии представляется весьма важной задачей.

Эффективным методом, позволяющим аналитически исследовать поведение нелинейных и параметрически возбуждаемых систем, является метод прямого разделения движений. Этот метод, толчком к развитию которого явилась работа П.Л. Капицы о маятнике с вибрирующей точкой подвеса, был существенно обобщен и широко использован в работах И.И. Блехмана, в которые он вошел как составная часть подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией. В последнее время эти концепции получили развитие в трудах как отечественных, так и зарубежных ученых. Вместе с тем, разработка методики использования данных подходов при решении задач о действии вибрации на системы с распределенными параметрами не может считаться завершенной. Это обусловлено, в основном, трудностями, связанными с удовлетворением граничных условий для быстрой компоненты движения. Разработка путей преодоления этих трудностей представляет собой актуальную проблему, поскольку ее решение позволит рассмотреть ряд важных классов прикладных задач механики. Важно также проиллюстрировать разработанные подходы на примере решения конкретных задач.

Цели работы:

• Для систем с распределенными параметрами на основе метода прямого разделения движений разработать и реализовать подход, позволяющий удовлетворить всем необходимым граничным условиям, в том числе для быстрой компоненты

I БИБЛИОТЕКА

• Рассмотреть при помощи указанного подхода ряд модельных задач о поведении параметрически возбуждаемых систем с распределенными параметрами. Исследовать влияние точности удовлетворения и характера граничных условий на свойства полученных решений.

• Произвести сравнение представленного в диссертации подхода с использованными ранее способами применения метода прямого разделения движений для систем с распределенными параметрами.

• Решить задачу об Индийской магической веревке (исследовать возможности стабилизации верхнего вертикального положения равновесия веревки, находящейся под действием собственного веса, при помоши вертикальной вибрации ее нижнего конца).

Общая методика работы. В работе используется общий подход метода прямого разделения движений, методы теории нелинейных колебаний и математической физики (например, метод малого параметра, методы стационарной фазы и Лапласа), а также численные методы. Решения сопоставляются с результатами, представленными в работах других авторов.

Положения, выносимые на защиту.

• На основе метода прямого разделения движений разработан подход, позволяющий исследовать поведение систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Подход базируется на построении (согласно требованиям метода) уравнений быстрого и медленного движений и последующем представлении их решений в виде асимптотических разложений по малому параметру (амплитуде). Данная методика позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям как для медленной, так и для быстрой компонент движения.

• На основе предложенного подхода решены модельные задачи о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, нахо--дящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой

амплитуды, при различных условиях закрепления концов (шарнир-но опертых концах, жестко защемленных концах, консольном закреплении). Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены поправки к первым частотам исследуемого медленного движения.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным на основе приближенного подхода, при котором удовлетворяются только граничные условия для главной (медленной) компоненты движения. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдаются отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями, для быстрой компоненты движения.

• Решена задача об устойчивости верхнего вертикального положения равновесия упругой балки, нагруженной собственным весом, нижний конец которой вертикально вибрирует. Рассматривается случай высокочастотной вибрации с малой амплитудой. Данная задача является модельной для описания эффекта Индийской магической веревки. Для случая больших частот возбуждения получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано.

Научная новизна и теоретическая ценность. Разработан новый

способ реализации метода прямого разделения движений для случая систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с использованными ранее (в том числе и автором диссертации) способами применения метода прямого разделения движений к расчету бесконечномерных систем. На основе указанного подхода решены несколько модельных задач, а также задача об Индийской магической веревке.

Практическая значимость. Метод прямого разделения движений является эффективным инструментом для изучения поведения систем, находящихся под воздействием вибрации. Разработанная в диссертации методика применения метода для случая систем с распределенными параметрами позволит расширить круг изучаемых с его помощью явлений, повысить качественную и количественную точность получаемых результатов. Решения рассмотренных в работе задач имеют явный, удобный для анализа вид и могут быть использованы в практических приложениях, например, при расчете строительных конструкций, в текстильной промышленности, в космических технологиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXIX, XXX, XXXI Международных летних школах "Актуальные проблемы механики" ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 2001, 2002, 2003); IV Международной конференции по нелинейным колебаниям (IV Euromech Nonlinear Oscillations Conference, Москва, 2002); VIII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002); XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (Звенигород, 2003); Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (ИПМаш РАН, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 8 работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы ( ffQ наименований). Текст работы изложен на страницах. Диссертация содержит 5 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава представляет собой аналитический обзор литературы. Отметим, что отправной точкой для всех исследований, посвященных влиянию вибрации на поведение и свойства различных механических систем, явилась задача о поведении маятника с вертикально вибрирующей осью

подвеса. Ее исследованием занимались такие ученые, как А. Стефенсон (Stephenson), П.Л. Капица, Д. Ачесон (Achcson) и многие другие. В исследовании П.Л. Капицы к решению задачи применялся метод, который впоследствии был обобщен в работах И.И. Блехмана, получив название метода прямого разделения движений и став составной частью подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией.

Появление исследований В.Н. Челомея о возможности повышения устойчивости упругих систем посредством вибрации дало толчок к началу изучения влияния вибрации на свойства и поведение систем с распределенными параметрами. Круг работ, посвященных данной тематике весьма широк. Наиболее близки к теме настоящей диссертации работы, посвященные исследованию поперечных колебаний упругих балок, нагруженных продольной вибрационной силой. Здесь следует отметить работы Й. Томсена (Thomsen), Д. Черняка, а также несколько отличную от указанного круга задач работу В. Крылова и СВ. Сорокина о вибрационной модуляции изгибной жесткости шарнирно опертой и бесконечной балок Бернулли-Эйлера. При аналитическом решении указанных задач авторы использовали метод многих масштабов (Д. Черняк, В. Крылов и СВ. Сорокин); метод прямого разделения движений, дополненный процедурой Бубнова-Галеркина (Й. Томсен, В. Крылов и СВ. Сорокин); упрощенную процедуру метода прямого разделения движений, при которой граничными условиями для быстрой компоненты движения пренебрегают (Й. Том-сен).

Ярким примером влияния вибрации на свойства механических систем является так называемый эффект Индийской магической веревки. Одной из возможных моделей для описания данного эффекта является находящаяся под действием собственного веса балка Бернулли-Эйлера с вибрирующим нижним концом. В линейной постановке эта задача рассмотрена А. Чемпнейсом (Champneys) и Б. Фразером (Fraser). Для случая малой вибрации авторы проводят асимптотический анализ на основе метода многих масштабов. Исследуется устойчивость периодического движения балки, в нулевом приближении (при отсутствии вибрации) совпадающего со свободными колебаниями с первой собственной частотой.

Получены соотношения, позволяющие определить зависимость "вибрационной"; поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Для малых вибрационных частот эта зависимость получена в явном виде. Кроме того, при помощи численных расчетов на основе процедуры Бубнова-Галеркина и теории Флоке построена диаграмма устойчивости, отражающая не только потерю устойчивости по первой форме колебаний невозмущенной системы, но и по высшим формам. Впоследствии теми же авторами данная проблема была рассмотрена в трехмерной нелинейной постановке с целью изучения влияния нелинейных членов на устойчивость системы.

Автором диссертации данная задача в аналогичной постановке решена при помощи метода прямого разделения движений. Результаты решения изложены в третье главе диссертации (см. также работы [2, 3, 8] в списке основных публикаций автора). Однако, сравнение полученных ре-зультатоп с результатами, изложенными в работах А. Чемпнейса и Б. Фразера, представляется весьма затруднительным, так как в выполненном ими исследовании явное аналитическое выражение для вибрационной поправки к величине критической жесткости получено только для малых частот возбуждения, в то время как в диссертации напротив, выражение для указанной поправки получено для достаточно больших частот вибрации.

Вторая глава посвящена исследованию поперечных колебаний предварительно поджатой упругой балки, находящейся под воздействием гармонически меняющейся продольной силы.

Метод прямого разделения движений. В начале главы излагаются

основные положения метода прямого разделения движений. В качестве иллюстрации способа применения метода к системам с конечным числом степеней свободы приводится решение классической задачи о перевернутом маятнике с вибрирующей точкой подвеса.

Постановка > задачи. Рассматривается задача о колебаниях упругой балки Бернулли-Эйлера, находящейся под воздействием мертвой сжимающей продольной силы, являющейся суммой постоянной и малой виб-

рационной £ Pi sin íí í компонент. Уравнение движения в безразмерной по пространственной координате форме имеег вид

д2и , д*и , о 2 • гч л

(1)

Здесь т — погонная плотность балки, Е1 — изгибная жесткость, I -- -длина балки, с2 = Ро/(т12), к — Е1/(тп14), а2 — РгЦпй2), е — малый параметр. Задача рассматривается для трех различных способов закрепления концов балки: шарнирное опирание концов балки, жесткое защемление концов балки, консольное закрепление балки.

Решение производится при помощи метода прямого разделения движений. Согласно методу, функция и{х, представлена в виде:

u = U(x,t) + ip(x,t,r), {u) = U, (ф) =0.

(2)

Здесь и — медленная компонента движения, а ф -- быстрая. Уравнения-, быстрого и медленного движения в предположении, что что ф мало по сравнению с V (ф = 0(е), I/ = 0(1)), записываются следующим образом:

(3)

(4)

Основной целью исследования, проводимого в данной главе, является изучение устойчивости медленного движения данной балки. Пусть Ло« — собственная частота с номером ] для балки без вибрации, — соответствующая ей частота медленного периодического движения для возмущенного уравнения (1). Потерю устойчивости будем связывать с обращением первой частоты Л^ = А в ноль. Будем также в дальнейшем обозначать

Балка на шарнирных опорах. Для случая шарнирных условий закрепления концов в диссертации предложено два альтернативных подхода, позволяющих исследовать колебания и устойчивость балки. Первый подход основан на использовании функции Грина при решении уравнения быстрого движения. В результате его реализации получено следующее

выражение для быстрой компоненты движения "ф:

где С?(х, £ ) — функция Грина соответствующего дифференциального уравнения. При отыскании быстрой компоненты движения предполагается, что зависимость от медленного времени.? является чисто параметрической. Далее производится подстановка выражения (5) для функции 'ф в уравнение медленного движения (4). При этом для вошедших в уравнение медленного движения интегралов, содержащих неизвестную функцию и, производится оценка при помощи методов стационарной фазы и Лапласа при частоте вибрации Г2 —► оо. В результате, с учетом соответствующих граничных условий, уравнение движение приводится к следующему виду:

Из уравнения (6) видно, что начальная изгибная жесткость балки к вследствие воздействия вибрации получает некоторую добавочную эффектив-

ную изгибную жесткость к& =■

аУ

2П2'

которая зависит только от ампли-

туды и частоты вибрации.

Решая уравнение (6) с учетом соответствующих граничных условий, нетрудно получить выражение для первой частоты

А2 = А* + £:

,ал

Ап = п4к — тс2(?.

2П2' 0

Приравнивая нулю, получим выражение для критической силы

(7)

(8)

Описанный выше подход к решению данной задачи позволяет в явном; виде получить выражение для эффективной "вибрационной" изгиб-ной жесткости. Однако, он обладает некоторыми существенными недостатками. Во-первых, функция Грина О в задачах с граничными условиями, отличными от шарнирных, имеет весьма громоздкую структуру, и ее определение — отдельная сложная задача. Во-вторых, решение уравнения быстрого движения может содержать в себе быстро меняющуюся

по пространственной координате составляющую; при этом оценка решения при помощи методов стационарной фазы и Лапласа весьма затруднительна. Ниже предлагается другой подход, дополняющий метод прямого разделения движений некоторой асимптотической процедурой, который позволяет избежать упомянутых недостатков.

При наличии вибрации периодические по Г решения уравнений медленного (4) и быстрого (3) движений разыскиваются в виде

II = и(х) сое ф = ф(х, т) сое ЛЬ.

(9)

Будем в качестве исследуемого нсвозмущенного (медленного) движения рассматривать одночастотное колебательное движение балки с первой собственной частотой Ац. Амплитуду медленного движения й, амплитуду быстрого движения и частоту представим в виде следующих асимптотических разложений:

Далее, подставляя разложения (10) в уравнения быстрого (3) и медленного (4) движений, балансируя члены при соответствующих степенях малого параметра е, и решая последовательно полученные дифференциальные уравнения для компонент Оо, ф^тлОхс учетом соответствующих граничных условий, получим следующее выражение для коэффициента разложения квадрата первой частоты исследуемого медленного движения по параметру

А? =

а47г4

(11)

ательно, с точно-

1 2(П*-А2)

При П —» оо к о э ф фипл2-, а471-4 (1 ■ М ^ '

1 2Па V П2/

стью до величин порядка

Из соотношения (12) видно, что при П —» оо отсутствие в данном подходе дополнительной асимптотической процедуры относительно

П приводит к появлению в выражении для А2 дополнительного слагае-,а47г4.,

мого При решение задачи предыдущим способом применение

асимптотической процедуры по Г2 —► оо приводит к потере данного члена вследствие его асимптотической малости относительно 1/Пг.

Полученное в результате применения данного подхода выражение для критической нагрузки совпадает с соотношением (8).

Во второй главе диссертации проводится также сравнение результатов, полученных при помощи описанных выше подходов, с результатами, полученными на основе упрощенной процедуры применения метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами. Согласно данной процедуре в уравнении быстрого движения к д*ф с2 &ф

(3) слагав — -7— + ^гг -г—тг р е г а ю т . При этом предположении Гг дх4 охг

нетрудно получить следующее выражение для быстрой компоненты дви-

д2и

ф = (13)

Подставляя выражение для ф в уравнение (4), получим уравнение для медленной компоненты I/, совпадающее с (6). Очевидно, что найденная таким образом быстрая компонента движения ф в общем случае не удовлетворяет граничным условиям. В то же время, для случая шарнирных граничных условий компонента тождественно удовлетворяет граничным условиям для искомой функции и удовлетворяет граничным условиям для второй производной с точностью до малых высших порядков. Полученные при помощи упрощенного подхода выражения для первой частоты медленного движения и для критической нагрузки в случае шарнирных закреплений концов балки совпадают с точностью до малых высших порядков с результатами, полученными при применении описанных выше более точных подходов.

Балка с защемленными концами. В качестве исследуемого невозмущенного движения также рассматривалось движение балки, соответствующее первой форме свободных колебаний. В результате решения получено весьма громоздкое выражение для первой частоты медленного движения возмущенной системы, зависящее от параметров системы, а также от частоты и амплитуды вибрации. При этом из условия равенства указанной частоты нулю получить в явном виде выражение для критиче-

жения:

ской нагрузки не представляется возможным. Поэтому в работе использован подход, позволяющий явно определить данное выражение. Так как при действии на систему критической нагрузки частота медленного движения, соответствующая первой собственной частоте невозмущенной системы, обращается в ноль: А = 0, предлагается искать не поправку к первой собственной частоте, а поправку к величине критической нагрузки невозмущенной системы. Представляя 0, гр и с2 в следующем, виде:

и осуществляя те же действия, что и при применении описанной ранее асимптотической процедуры, получим следующее выражение для коэффициента с\:

(15)

где величина зависящая от частоты возбуждения, определяется по-

лученным в работе достаточно громоздким выражением.

График зависимости "вибрационной" поправки е2С\ в выражении для критической нагрузки от частоты вибрации при £ = 0.01, о = 10 представлен на Рис. 1 (сплошная линия). Пунктирной линией обозначена та же величина, вычисленная при помощи упомянутой ранее упрощенной процедуры.

0.04: 0 02' Л] 0: -0.02: -0.04

го 40 п ао ' ' к 100

Рис. 1: Зависимость "вибрационной" поправки е2С1 к критической нагрузке от частоты вибрации

Из Рис. 1 видно, что представленная функция обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях Показано, что эти значения совпадают с собственными частотами невозмущенной системы при соответствующими симметричным формам колебаний.

С1 = 2тг У/П2 + /(П)

Данная зависимость также показывает, что для балки с двумя заделанными концами вибрация может не только повышать устойчивость системы (области, где величина е2С). положительна), но и понижать ее (области, где данная величина отрицательна).

Согласно требованиям метода прямого разделения движений, частота вибрации и должна быть существенно больше частоты медленного движения (в данном случае - нулевой). При этом допустимый диапазон частот йрлжен быть таким, чтобы знак сингулярной "вибрационной" поправки в окрестности точки Я = +0 не оказывал определяющего влияния на величину поправки при рассматриваемой частоте вибрации. Отметим также, что при стремлении частоты вибрации к критическим значениям количественная ошибка может быть весьма существенной. Это связано с тем обстоятельством, что при приближении к резонансным частотам предположение о малости быстрой компоненты движения ф нарушается.

Подчеркнутый член в соотношении (15) соответствует величине коэффициента Сх, полученного при помощи упомянутой выше упрощенной процедуры реализации метода прямого разделения движений. Пренебрежение граничными условиями для быстрой компоненты движения при применении упрощенного подхода ведет к потере быстроменяющейся по х компоненты быстрого движения ф. Соответственно, это приводит к потере слагаемого е2/(Г2) в выражении для критической силы, содержащего в себе информацию о поведении системы вблизи критических точек. В то же время в диапазоне частот между характерными точками (при достаточном удалении от них) упрощенная процедура может быть использована.

Отметим, что для всех рассмотренных типов закрепления концов наблюдалось хорошее соответствие результатов, полученных при помощи предложенного в работе подхода, с результатами численных расчетов.

Консольная балка. Для нахождения величины критической нагрузки возмущенной системы применяется та же процедура, что и в случае балки с защемленными концами. Выражение для коэффициента весьма громоздко, поэтому здесь не приводится. График зависимости "виб-

рационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы от частоты вибрации аналогичен представленному на Рис. 1. Все качественные выводы, сделанные при анализе устойчивости балки с защемленными концами и при сравнении с упрощенным подходом, справедливы и для консольной балки. Единственным отличием является тот факт, что критические значения П, при которых поправка С1 обращается в бесконечность, совпадают со всем спектром собственных частот невозмущенной системы (за исключением первой частоты, равной нулю). В то же время для балки с защемленными концами критические значения совпадают со спектром собственных частот невозмущенной системы, которым соответствуют симметричные формы колебаний. Это различие обусловлено отсутствием физической симметрии в задаче о консольной балке.

В ряде случаев (например, в рассматриваемой в следующей главе задаче об Индийской магической веревке) нахождение точного аналитического выражения для главного члена разложения быстрого движения сопряжено со значительными трудностями или даже вообще невозможно. Точное определение первого члена разложения 1}\ для медленного движения также может оказаться весьма сложной задачей. Поэтому для случая высокочастотного возбуждения предложен приближенный способ отыскания компонент фо и путем пренебрежения в соответствующих уравнениях величинами, имеющими низший порядок по частоте П. Отметим, что при таком подходе удовлетворяются все необходимые граничные условия, а быстро меняющаяся по пространственной координате компонента не игнорируется, как в описанном выше упрощенном подходе, а находится приближенно. В случае консольной балки указанный способ приводит к качественно верным результатам. При этом зависимость "вибрационной" поправки от частоты вибрации оказывается несколько смещенной вправо, а сингулярные точки определяются приближенно и совпадают с частотами свободных колебаний консольной балки без продольного на-гружения.

Третья глава диссертации посвящена задаче об Индийской магической веревке. В качестве модели, описывающей поперечные колебания веревки

около верхнего вертикального положения равновесия, рассматривается балка Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Рассматривается случай малой высокочастотной вибрации. Нижний конец балки жестко защемлен. Уравнение колебаний в безразмерном по пространственной координате виде задается соотношением

Здесь с2 = д/1, к = Е1/(т14), £ = А/1 (Л — амплитуда вибрации нижнего конца балки, — частота вибрации, I — длина балки). Параметр £ считается асимптотически малым, таким что

В данной главе исследуется устойчивость периодического движения балки, в нулевом приближении (при отсутствии вибрации) совпадающего со свободными колебаниями с первой собственной частотой. Для решения задачи применяется предложенная во второй главе процедура реализации метода прямого разделения движений. Используется протестированный на примере задачи о консольной балке способ приближенного нахождения (для случая больших частот вибрации) компонент и соответствующих асимптотических разложений. В качестве параметра устойчивости в данном случае рассматривается величина критической жесткости системы — величина критической жесткости

невозмущенной системы. В результате проведенного исследования получено явное выражение для коэффициента к\, зависящее от параметров системы и частоты вибрации. В автореферате данное выражение не приводится ввиду его громоздкости. Зависимость "вибрационной" поправки £2к\/<? в выражении для приведегцюй критической жесткости ка/с? от частоты вибрации при £ = 0.001 представлена на Рис. 2 (сплошная линия). Пунктирной линией обозначена та же величина, вычисленная при помощи упрощенной процедуры.'

0.0003

00002

00001 £ •

-00001

-0.0002

-0.0003 — ¡5 20 30 ¡0 ы «о

Рис. 2: Зависимость добавочного члена е^кх/с2 к выражению для приведенной критической жесткости от частоты вибрации П

Значения частоты вибрации, при которых поправка обращается в бесконечность, совпадают с величинами частот свободных колебаний консольной балки жесткостью ко, свободной от воздействия вибрации и продольного нагружения. Отметим, что при точном решении уравнения быстрого движения данные значения соответствовали бы частотам свободных колебаний невозмущенной системы. Приведенные в предыдущей главе заключения о допустимом диапазоне частот вибрации справедливы и в данной задаче. При практическом применении полученных результатов следует не забывать о том, что сингулярные точки вибрационной поправки смещены вправо по отношению к точным значениям.

Из Рис. 2 видно, что существует диапазон частот, в котором вибрационное воздействие повышает устойчивость системы (области, где величина е*к\!<? отрицательна). Этот факт служит объяснением эффекта Индийской магической веревки. Следует также отметить, что в областях, где величина величина положительна, наблюдается дестабилизи-

рующее влияние приложенной к системе вибрации.

Проведенные численные расчеты показали хорошее соответствие между аналитическими и численными результатами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты и выводы.

• На основе метода прямого разделения движений разработана асимптотическая процедура исследования периодических движений в си-

стемах с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям, как для медленной, так и для быстрой компонент движения.

• При помощи указанной процедуры решена задача о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды. Рассмотрены при типа граничных условий, соответствующих случаю балки с шарнирно опертыми концами, с жестко защемленными концами и консоли. Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены выражения для первых частот исследуемого медленного движения.

• Для случая шарнирного закрепления концов балки показано, что вибрация повышает устойчивость системы при любых значениях частоты возбуждения (в области применимости метода прямого разделения движений). При этом наблюдается явление ужесточения системы за счет добавления эффективной "вибрационной" изгибной жесткости.

• Показано, что при жестко защемленных, концах балки и при консольном закреплении вибрационное воздействие может приводить как к повышению, так и к понижению "степени устойчивости". Кроме того, в этих случаях наблюдается обращение "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки в бесконечность при определенных значениях частоты вибрации, совпадающих со значениями частот свободных колебаний невозмущенной системы. Это явление рбусловлено существованием при данных граничных условиях быстро изменяющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. Заметим, что влияние резонансных эффектов может быть уменьшено при помощи введения в систему диссипации.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, най-

денным при помощи известного ранее упрощенного подхода. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдается отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения и, как следствие, игнорированием быстро меняющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. По сравнению с представленным в литературе способом применения метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами, основанным на использовании процедуры Бубнова-Галеркина, предложенный в диссертации подход также имеет ряд преимуществ. Недостатком процедуры Бубнова-Галеркина являет зависимость точности получаемых результатов от вида выбранных базисных функций. При этом в случае, когда решение содержит заранее неизвестную быстро меняющуюся по пространственной координате составляющую, выбор подходящих базисных функций представляет собой весьма непростую задачу.

• Решена модельная задача, позволяющая объяснить эффект Индийской магической веревки. Веревка моделировалась балкой Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Нижний конец веревки совершает малую вертикальную вибрацию высокой частоты. Получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано. Показано, что выражение для поправки к. величине критической жесткости обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях частот вибрации (совпадающих со значениями частот свободных колебаний невозмущенной - системы).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Блехмап И.И., Васильков В.Б., Якимова К.С, Шишкина Е.В. Генерирование медленных потоков жидкости вибрирующим вблизи стенки диском (к теории вибрационных насосов) // Обогащение руд. 2001. N 1. С. 36 - 38.

[2] Blekhman I., Dresig H., Shishkina E. About the Indian magic rope // Proceedings of the XXIX Summer School "Actual problems in mechanics" (АРМ 2001). St. Petersburg: IPME RAS, 2002. P. 143 - 147.

[3] Блехман И.И., Дресиг X., Шишкина Е.В. Об Индийской магической веревке // Проблемы механики деформируемого твердого тела (к 70-летию акад. Н.Ф. Морозова). СПб: СПбГУ, 2002. С. 58-63.

[4J Блехман И.И., Шишкина Е.В. О вибрационной стабилизации балки Тимошенко // Труды VIII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: "Новая книга", 2003. Т. 1. С. 36-40.

[5] Blekhman I.I., Shishkina E.V. The pulse control of rigidity of elastic elements // Proceedings of XIV symposium 'The dynamics of vibroimpact (strongly nonlinear) systems". Moscow: MERI RAS, 2003. P. 17.

[6] Shishkina E.V. On an efficient flexural stiffness of a string under the action of vibration // Proceedings of the XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ 2002). St. Petersburg: IPME RAS, 2003. С 584 - 588.

[7] Блехман И.И., Гаврилов С.Н., Шишкина Е.В. О применении метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами// Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск "Нелинейные проблемы механики сплошных сред". 2003. С. 113 - 123..

[8] Blekhman I.I., Dresig H., Shishkina E. On the Theory of the Indian Magic Rope // Selected Topics in Vibrational Mechanics. Chapter 8. World Scientific, 2004. P. 139 - 149.

Подписано в печать -Í3.0%2C¡Dfc. Тираж 100 экз. 199178, СПб, Большой пр.В.О.,61, ИПМаш РАН

»-92 0 7

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шишкина, Екатерина Валерьевна

1 Библиографический обзор

2 Поперечные колебания упругой балки под воздействием гармонически меняющейся продольной силы

2.1 О методе прямого разделения движений.

2.1.1 Пример: маятник с вибрирующей осью подвеса

2.2 Уравнение колебаний балки и граничные условия.

2.3 Уравнения быстрого и медленного движений. 2.4 Упрощенный подход.

2.5 Балка на шарнирных опорах.

2.5.1 Подход с использованием функции Грина при решении уравнения быстрого движения.

2.5.2 Определение поправки к первой собственной частоте (альтернативный подход).

2.5.3 Сравнение с упрощенным подходом.

2.6 Балка с защемленными концами.

2.6.1 Определение поправки к первой собственной частоте

2.6.2 Устойчивость.

2.6.3 Анализ решения.

2.6.4 Сравнение с упрощенный подходом и результатами численных расчетов.

2.7 Консольная балка.

2.7.1 Анализ решения.

2.7.2 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов.

2.7.3 Случай высокочастотного возбуждения (Г2 —> оо)

2.7.4 Анализ приближенного решения.

2.8 Основные результаты главы 2.

3 Задача об Индийской магической веревке

3.1 Постановка задачи.

3.2 Определение "вибрационной" поправки к величине критической жесткости.

3.3 Анализ решения.

3.4 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов.

3.5 О решении А. Чемпнейса и В. Фразера.

3.6 Основные результаты главы 3.

Введение диссертация по механике, на тему "Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами"

Актуальность темы. В настоящее время значительный интерес вызывает исследование влияния вибрации на свойства механических систем, в том числе систем с распределенными параметрами. Следствием этого влияния являются такие эффекты, как изменение характера устойчивости положений равновесия системы и изменение ее эффективных жесткостных свойств. Изучение этих явлений с целью предотвращения их вредного влияния, а также использования данных эффектов в технике и технологии представляется весьма важной задачей.

Цели работы:

• Решить задачу об Индийской магической веревке (исследовать возможности стабилизации верхнего вертикального положения равновесия веревки, находящейся под действием собственного веса, при помощи вертикальной вибрации ее нижнего конца).

Положения, выносимые на защиту.

• На основе предложенного подхода решены модельные задачи о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды, при различных условиях закрепления концов (шарнир-но опертых концах, жестко защемленных концах, консольном закреплении). Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены поправки к первым частотам исследуемого медленного движения.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным на основе приближенного подхода, при котором удовлетворяются только граничные условия для главной (медленной) компоненты движения. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдаются отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения.

Научная новизна и теоретическая ценность. Разработан новый способ реализации метода прямого разделения движений для случая систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с использованными ранее (в том числе и автором диссертации) способами применения метода прямого разделения движений к расчету бесконечномерных систем. На основе указанного подхода решены несколько модельных задач, а также задача об Индийской магической веревке.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [4, 5, 6, 8, 29, 30, 31, 44]

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

У 3.6 Основные результаты главы 3

1. Решена модельная задача, позволяющая объяснить эффект Индийской магической веревки. Веревка моделировалась балкой Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Нижний конец веревки совершает малую вертикальную вибрацию высокой частоты. В результате проведенного исследования в явном виде получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от амплитуды и частоты вибрации. Показано, что данная поправка в зависимости от частоты возбуждения может быть как положительной, так и отрицательной. В диапазоне частот, где поправка отрицательна, верхнее вертикальное положение равновесия веревки, жесткость которой до приложения вибрации меньше критического значения (то есть положение равновесия в начальный момент времени неустойчиво), может быть стабилизировано. Показано также, что выражение для поправки к величине критической жесткости обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях частот вибрации.

2. Исследование проводилось при помощи метода прямого разделения движений. При этом некоторые из дифференциальных уравнений, возникающих при использовании данного подхода, были решены приближенно в предположении, что частота вибрации достаточно велика. В то же время, найденные решения удовлетворяют всем необходимым граничным условиям. Приближенное решение указанных уравнений позволяет получать качественно верные результаты. Однако, характерные точки, которые при точном решении уравнений должны совпадать с собственными частотами невозмущенной системы, определяются приближенно и несколько смещены относительно точных значений.

3. В работе приведен сравнительный анализ результатов, полученных при использовании данного подхода, с результатами, полученными при использовании упрощенной процедуры метода прямого разделения движений (в ходе реализации которой граничными условиями для быстрой компоненты движения пренебрегают). Показано, что упрощенная процедура не позволяет учесть быстро меняющуюся по пространственной координате компоненту быстрого движения, что приводит к потере информации о поведении системы вблизи характерных частот. Упрощенная процедура позволяет качественно верно описывать поведение балки между характерными частотами при достаточном удалении от них, однако количественная ошибка при этом может быть значительной.

В заключение работы можно сформулировать следующие основные результаты и выводы

• На основе метода прямого разделения движений разработана асимптотическая процедура исследования периодических движений в системах с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям, как для медленной, так и для быстрой компонент движения.

• При помощи указанной процедуры решена задача о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды. Рассмотрены три типа граничных условий, соответствующих случаю балки с шарнирно опертыми концами, с жестко защемленными концами и консоли. Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены выражения для первых частот исследуемого медленного движения.

• Для случая шарнирного закрепления концов балки показано, что вибрация повышает устойчивость системы при любых значениях частоты возбуждения (в области допустимых значений). При этом наблюдается явление ужесточения системы за счет добавления эффективной "вибрационной" изгибной жесткости.

• Показано, что при жестко защемленных концах балки и при консольном закреплении вибрационное воздействие может приводить как к повышению, так и к понижению "степени" устойчивости. Кроме того, в этих случаях наблюдается обращение "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки в бесконечность при определенных значениях частоты вибрации, совпадающих со значениями частот свободных колебаний невозмущенной системы, находящейся на нижней границе области устойчивости. Это явление обусловлено существованием при данных граничных условиях быстро изменяющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. Заметим, что влияние резонансных эффектов может быть уменьшено при помощи введения в систему диссипации.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным при помощи известного ранее упрощенного подхода. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдается отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения и, как следствие, игнорированием быстро меняющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. По сравнению с представленным в литературе способом применения метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами, основанным на использовании процедуры Бубнова-Галеркина, предложенный в диссертации подход также имеет ряд преимуществ. Недостатком процедуры Бубнова-Галеркина являет зависимость точности получаемых результатов от вида выбранных базисных функций. При этом в случае, когда решение содержит заранее неизвестную быстро меняющуюся по пространственч ной координате составляющую, выбор подходящих базисных функций представляет собой весьма непростую задачу.

• Решена модельная задача, позволяющая объяснить эффект Индийской магической веревки. Веревка моделировалась балкой Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Нижний конец веревки совершает малую вертикальную вибрацию высокой частоты. Получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано. Показано, что выражение для поправки к величине критической жесткости обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях частот вибрации (совпадающих со ^ значениями частот свободных колебаний невозмущенной системы).

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Шишкина, Екатерина Валерьевна, Санкт-Петербург

1. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 352 с.

2. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

3. Блехман И.И. Вибрация изменяет законы мехники // Природа. 2003. N 11. С. 42-53.

4. Блехман И.И., Васильков В.Б., Якимова К.С., Шишкина Е.В. Генерирование медленных потоков жидкости вибрирующим вблизи стенки диском (к теории вибрационных насосов) // Обогащение руд. 2001. N 1. С. 36-38.

5. Блехман И.И., Дресиг X., Шишкина Е.В. Об Индийской магической веревке // Проблемы механики деформируемого твердого тела (к 70-летию академика Н.Ф. Морозова). СПб.: СПбГУ, 2002. С. 58-63.

6. Блехман И.И., Лурье К.А. О динамических материалах // Докл. АН РФ. 2000. Т.371. N 2. С. 182-185.

7. Бурд В.Ш. Об одной задаче теории нелинейных колебаний // Сборник обзорных статей к 20-летию математического факультета. Ярославль: Яросл. гос. ун-т., 1996. С. 43-49.

8. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.

10. Зеньковская С.М. Действие высокочастотной вибрации на фильтрационную конвекцию // Прикл. мех-ка и техн. физ-ка. 1992. Т. 195. N 5. С. 83-88.

11. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой ча-4* стоты на возникновение конвекции // Механика жидкости и газа.1966. N5. С. 51-56.

12. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журнал эксперимантальной и теоретической физики. 1951. Т.21. N 5. С. 588-597.

13. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. 1951. Т. 44, N 1. С. 7-20.

14. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

15. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Tl. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1958. 930 с.

16. Найфе А.Х. Методы возмущений М.: "Мир", 1976. 446 с. Т 20] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: "Наука", 1977. 368 с.

17. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибрации // Докл. АН СССР. 1956. Т.110. N 3.1. С. 345-347.

18. Челомей В.И. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // Докл. АН СССР. 1983. Т. 270. N 1. С. 62.

19. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.

20. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344 с.

21. Aches on D. J. A pendulum theorem // Proc. Roy. Soc. Lond. 1993. A443. P. 239-245.

22. Acheson D.J. Multiple-nodding oscillations of a driven inverted pendulum // Proc. Roy. Soc. Lond. 1995. A448. P. 89-95.

23. Acheson D., Mullin T. Upside-down pendulums // Nature. 1993. V. 366. P. 215-216.

24. Blekhman /./. Vibrational Mechanics. Singapure, New Jersey, London, Hong Kong: "World Scientific", 2000. 509 p.

25. Blekhman /., Dresig H., Shishkina E. About the Indian magic rope // Proc. of the XXIX Summer School "Actual problems in mechanics" (АРМ 2001), Saint-Petersburg, 2001. SPb.: IPME RAS, 2002. P. 143-147.

26. Blekhman /./., Dresig H., Shishkina E. On the Theory of the Indian Magic Rope // Selected Topics in Vibrational Mechanics. Chapter 8. World Scientific, 2004. P. 139-149.

27. Blekhman /./., Shishkina E.V. The pulse control of rigidity of elastic elements // Proceedings of XIV symposium "The dynamics of vibroimpact (strongly nonlinear) systems". Moscow: MERI RAS, 2003. P. 17.

28. Champneys A.R., Fraser W.B. The "Indian rope trick" for a parametrically excited flexible rod: linearized analysis // Proc. Roy. Soc.

29. V Lond. 2000. A456. P. 553-570.

30. Fraser W.B., Champneys A.R. The "Indian rope trick" for aparametrically excited flexible rod: nonlinear and subharmonic analysis // Proc. Roy. Soc. Lond. 2002. A458. P. 1353-1373.

31. Galan J., Fraser W.B., Acheson D.J.) Champneys A.R. The parametrically excited upside-down rod: an elastic jointed pendulum model // Preprint submitted to Phisica D. 2001.

32. Hsu C.S. On a restricted class of coupled Hill's equations and some applications // J. appl. Mech. 1961. N 28. P. 551-556.

33. Jensen J.S. Buckling of an elastic beam with added high-frequency excitation // Int. J. Non-Linear Mech. 2000. N 35. P. 217-227.

34. Kalmus H.P. The inverted pendulum // Am. J. Phys. 1970. N 38. P. 874878.

35. Kevorkian J., Cole J.D. Multiple scale and singular perturbations methods. New York, Berlin, Heidelberg: "Springer", 1996. 633 p.

36. Krylov V., Sorokin S.V. Dynamics of elastic beams with controlled distributed stiffness parameters // Smart Mater. Struct. 1997. N 6. P. 573582.

37. Levi M. Stability of the inverted pendulum a topological explanation // SIAM Review. 1988. V. 30. N4. P. 639-644.

38. Lowenstern E.R. The stibilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamic system //Phil. Mag. 1932. N. 8. P. 458-486.

39. Mullin T. et al. The "Indian wire trick" via parametric excitation: a comparison between theory and experiment //Proc. Roy. Soc. Lond. 2003. A459. P. 539-546.

40. Otterbein S. Stabilisierung des n-Pendels und der Indische Seiltrick // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1982. V.78. N 4. P. 381393.

41. Shishkina E.V. On an efficient flexural stiffness of a string under the action of vibration // Proceedings of the XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM 2002). St. Petersburg: IPME RAS, 2003.1. C. 584-588.

42. Stephenson A. On a new type of dynamic stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908 V.52. N8. P. 1-10.

43. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. 1908. N 15. P. 233-236.

44. Stephenson A. On induced stability // Phil Mag. 1909. N 17. Pp. 765-766. P. 381-393.

45. Tchernyak D. The influence of fast excitation on a continuous system // Journal of Sound and Vibration. 1999. V. 227 N 2. P. 343-360.

46. Thomsen J.J. Theories and experiments on the stiffening effect of high-frequency excitation for continuous elastic systems // Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 260. P. 117-139.

47. Zak M. Elastic continua in high frequency excitation field. // Int. J. NonLinear Mech. 1984. V.19. N 5. P. 479-487.1. S