Применение методов интегральных уравнений и плоских волн для расчета дифракции на диэлектрических стержнях и поиска собственных волн усиливающих микроструктурных волокон тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВ АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПЛОСКИХ ВОЛН ДЛЯ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ И ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ВОЛН УСИЛИВАЮЩИХ МИКРОСТРУКТУРНЫХ ВОЛОКОН

01 04.21 - Лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 0 КТ 2008

Саратов - 2008

003448459

Работа выполнена на кафедре лазерной и компьютерной физики Саратовского государственного университета им Н Г Чернышевского (г Саратов, Россия)

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Леопид Аркадьевич Мельников

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Давидович Михаил Владимирович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИРЭ РАН Морозов Юрий Александрович

Ведущая организация

Научный центр волоконной оптики при институте общей физики РАН, г Москва

Защита состоится «28» октября 2008 г в 17 30 на заседании диссертационного совета Д212 243 05 по специальности 01 04 21 -Лазерная физика при Саратовском государственном университете им НГ Чернышевского по адресу 410012, г Саратов, ул Астраханская, д 83, корп 3, ауд 34

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им В А Артисевич Саратовского государственного университета

Автореферат разослан « м сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

В Л. Дербов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке актуальны для многих областей физики и техники, и являются стандартными задачами электродинамики, решение которых с использованием различных методов можно найти в большом числе публикаций Периодические решетки находят широкое применение в различных областях науки и техники спектроскопии и антенной технике, физике твердого тела, милли- и субмиллиметровой радиотехнике Анализ физических процессов, протекающих в дифракционных решетках, связан с решением важных прикладных задач созданием частотных и поляризационных фильтров, новых источников излучения, дисперсионных открытых резонаторов и т д

Особую роль играют теоретические исследования, значительно сокращающие или полностью исключающие экспериментальную проработку С их помощью можно осуществить модельный синтез и оптимизацию различных устройств Частично эта актуальная проблема решена в рамках математической теории дифракции плоских волн на дифракционной решетке, позволившей эффективно проанализировать ряд практически интересных ситуаций, накопить большой объем данных об аномальных и резонансных режимах рассеяния, решить некоторые малопараметрические обратные задачи Для решеток со сложной структурой решение задачи дифракции возможно лишь численно при этом эффективность алгоритмов и сходимость методов являются крайне важными

Для решения проблемы дифракции на диэлектрических периодических структурах используются различные численные и полуаналитические методы Оптимальным представляется разработка и использование методов, наиболее удобных для решения целого класса задач В данной работе такими задачами являются задачи дифракции лазерного монохроматического поля на периодических диэлектрических структурах со сложной формой поперечного сечения образующих ее элементов (решетки и фотонные кристаллы) или распространения волн в таких структурах (микроструктурные волокна)

Одним из наиболее широко применяемых методов расчета является метод, использующий ряды Фурье и разложения по плоским волнам, который в применении к анализу дифракции на периодических структурах рассмотрен, например, в статье1 В этом слу-

'Ыш^Ы Чье о[ Роиг1ег ьепеып Ше апа1уыь оГ ЛьсоЫтиоиь ртоШс МгшЛиге Ц Л Ор1 Ьос Аш А 1996 V 13, N0 9

чае необходимо разлагать в ряд все периодические функции, в том числе и диэлектрическую проницаемость Полученная система уравнений решается относительно неизвестных амплитуд пространственных гармоник Существуют также варианты матричных методов, так, например, был предложен метод матричной рекурсии для моделирования процесса дифракции на диэлектрических решетках'2 Решетка с неоднородностями произвольной формы представляется в виде множества слоев, лежащих друг на друге, каждый из которых представляет собой периодическую структуру с неоднородностями прямоугольной формы При переходе от одного слоя к другому используют матрицу передачи Эти методы, при всех их достоинствах, имеют и ряд недостатков (проблемы со сходимостью и трудности с реализацией для элементов со сложным профилем поперечного сечения)

В последнее время большое внимание уделяется также новому типу оптических материалов - фотонным кристаллам Главной особенностью фотонно-кристаллических структур является наличие в них запрещенных частотных зон, запрещающих распространение внутри кристалла электромагнитных волн с частотами лежащими в этой зоне Это свойство используется исследователями для проектирования и создания различных оптических устройств, таких как оптические волокна3, одномодовые волноводы4 и лазерыг'

В последнее время наряду со значительным прорывом в области технической реализации процесса создания фотонных кристаллов, был разработан целый ряд различных математических инструментов и методов, позволяющих смоделировать процесс распространения электромагнитной волны в фотонных кристаллах, рассчитать и проанализировать их дисперсионные характеристики Здесь также имеются трудности в реализации известных методов для структур со сложным профилем поперечного сечения

Для преодоления этих трудностей возможно использование метода интегральных уравнений Основными преимуществами этого метода являются хорошая сходимость, возможность исследовать решетки с произвольной формой поперечного сечения брусьев, высокая точность, а также возможность расчета различных сечений дисперси-

2Lifeng Li rormulation and comparison of (wo recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings //J Opt Soc Am A 1996 V 13, No 5

'Knight J С , Broeng J , Birks T A Photonic band gap guidance in optical fibers //Science 1998 V 282, P 1476

4Cregan R F, Mangan В J, Knight J С, Birks T A // Science 1999 V 285, P 1537

"Bullock D L, Shih С, Margulies R S // J Opt Soc Am 1993 В V 10, P 399

онных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма

Микроструктурные волокна - волокна, имеющие очень сложную структуру в поперечном сечении, образованную регулярным или нерегулярным расположением воздушных отверстий, параллельных оси волокна, обладают множеством замечательных свойств, таких как возможность регулировки дисперсии и нелинейности, возможность получения больших значений этих величин и возможность создания одномодового режима для широкого интервала длин волн

Особое внимание со стороны исследователей уделяется активным микроструктурным волокнам с сердцевиной, допированной ионами неодима, эрбия6 или иттербия

С развитием волоконных лазеров и волоконных усилителей, появилась необходимость в точных алгоритмах расчета характеристик активных микроструктурных волокон, процессы в которых могут быть описаны с использованием приближения комплексного показателя преломления7

Таким образом, задача исследования периодических структур, таких как дифракционные решетки и фотонные кристаллы со сложной формой элементов их образующих, а также микроструктурные волокна, является актуальной на данный момент, наряду с задачей разработки эффективных численных методов, использующихся для моделирования процесса распространения электромагнитных волн в подобного рода структурах

Целью настоящей работы являются

- исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки на основе метода интегральных уравнений,

- исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев, расположенных на подожке, и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки, находящейся на подложке, на основе метода интегральных уравнений,

6Cucinotta А , Poli F, Sellen S Design of Erbiumdoped triangular photonic-crystal-fiber-based amplifiers

//IEEEPhoton Tech Lett 2004 V 16,P2027-2029

7Sader J E Method for analysis of complex refractive-index-profile fibers // Opt Lett 1990 V 15, P

105-107

- исследование процесса распространения электромагнитной волны в двумерном фотонном кристалле и расчет различных сечений дисперсионных поверхностей кристалла при помощи алгоритма, разработанного на основе метода интегральных уравнений,

- исследование процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций и расчет их дисперсионных характеристик, а также изучение влияния структуры волокна на его дисперсионные характеристики,

- исследование возможности выборочного усиления основной моды и мод высших порядков, изучение влияния структуры волокна на коэффициент усиления мод с различными порядковыми номерами

Новые научные результаты В диссертации предложены новые выражения для функции Грина, использующиеся в разработанных алгоритмах решения задач на поиск коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке

Необходимость получения новых выражений функции Грина обусловлена наличием в них логарифмических особенностей в неявном виде, что приводит к снижению точности расчетов и ухудшению сходимости алгоритмов

В результате анализа результатов расчетов, выполненных по предложенным алгоритмам, основанных на новых выражениях функции Грина, было показано, что форма поперечного сечения брусьев решетки оказывает существенное влияние на спектральные и угловые зависимости модуля коэффициента пропускания по амплитуде Также было показано, что на эти зависимости оказывает влияние, в том числе, наличие подложки и величина ее диэлектрической проницаемости

Представленный алгоритм позволяет рассчитать коэффициенты пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из брусьев с любой формой поперечного сечения

Новое выражение функции Грина получено также для задачи на поиск собствеЕ1-ных волн фотонного кристалла и нахождения его дисперсионных характеристик Отличительными особенностями алгоритма, основанного на новом выражении для функции

Грина, также являются универсальность, то есть возможность его использования для различных форм поперечного сечения брусьев и хорошая сходимость

Особенностью, предложенного алгоритма, является также возможность его использования для получения результатов необходимых для построения различных видов дисперсионных характеристик фотонного кристалла зависимости частоты волны от направления ее распространения и зависимости х- и ¡/-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны

В диссертации также представлен детальный анализ процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций, основанный на результатах, полученных методом плоских волн

Анализ показал, что структура активного волокна, оказывает существенное влияние на его дисперсионные характеристики и на зависимость коэффициента усиления от длины волны

Появление в микроструктурном волокне поглощения или усиления приводит к изменению значения эффективного показателя преломления, при этом коэффициент усиления моды зависит от структуры волокна и порядкового номера моды На основании расчетов найдены оптимальные значения размеров активной сердцевины для волокон с заданными конфигурациями, позволяющие наиболее эффективно усиливать основную моду по сравнению с модами высших порядков Предложены конфигурации активных волокон, позволяющие выборочно усиливать моды высших порядков

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами, и совпадением результатов, полученных применением разработанных методов в частных случаях, с результатами, полученными методами, оптимизированными для более простых структур

Научно-практическое значение работы. Предложенные в работе новые алгоритмы расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде могут быть использованы для исследования решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, находящихся в пространстве или расположенных на подложке

Результаты этих исследований могут быть использованы для оценки формы поперечного сечения брусьев решетки, определения наличия подложки и определения зна-

чения ее диэлектрической проницаемости по амплитуде отраженной или прошедшей сквозь решетку волны Подобная методика может быть применима, в частности, для расчетов концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку

Алгоритм расчета дисперсионных характеристик фотонных кристаллов, основанный на методе интегральных уравнений, может быть использован для нахождения запрещенных зон и построения изочастот Результаты подобных расчетов важны при проектировании различных оптических устройств и приборов, таких как фильтры, резонаторы, волноводы и т п

Результаты исследования активных микроструктурных волокон, представленного в диссертации, расширяют общее представление о влиянии структуры активного волокна на процесс распространения электромагнитной волны по нему Предложенные в работе конфигурации волокон могут быть использованы для выборочного усиления основной , моды и мод высших порядков Выборочное усиление мод может найти свое применение при проектировании частотных преобразователей, волоконных лазеров и волоконных усилителей

Исследования, проведенные в работе, вносят вклад в развитие метода интегральных уравнений и представление о возможностях его использования для решения задач лазерной физики и оптики Предложенный алгоритм может быть использован, в том числе, и для решения ряда других аналогичных задач после внесения некоторых незначительных изменений

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе исследований, представленных в данной работе, были доложены на следующих конференциях

1 Saratov Fall Meeting 2004, Россия, Саратов, 21-24 сентября, 2004

2 Saratov Fall Meeting 2005, Россия, Саратов, 27-30 сентября, 2005

3 Saratov Fall Meeting 2006, Россия, Саратов, 26-29 сентября, 2006

4 Третья Международная конференция "Стеклопрогресс - XXI", Россия, Саратов, 22-25 мая, 2006

5 III Russian-Finnish Meeting Photonics and Laser Symposium, Russia, Moscow, June 14-17,2007

6 X Международные Чтения по квантовой оптике, Россия, Самара, 18-22 сентября,

2007

7 Saratov Fall Meeting 2007, Россия, Саратов, 25-28 сентября, 2007

8 Российский семинар по волоконным лазерам, Россия, Саратов, 1-4 апреля, 2008

9 Всероссийская конференция по волоконной оптике, Россия, Пермь, 10-12 октября, 2007

10 International Conference "Laser Optics 2008", Russia, St Petersburg, June 23-28,

2008

11 III Научная конференция для молодых ученых, Россия, Саратов, 25-27 июня, 2008

Личный вклад автора состоит в участии в постановках задач, в проведении аналитических выкладок, разработке алгоритмов решения задач и их реализации, в получении численных результатов и их анализе, в поиске и анализе литературных источников

Защищаемые положения и результаты.

1. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для задач на нахождение коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке Использование этого выражения и соответствующей реализации алгоритма решения интегрального уравнения позволяет рассчитывать коэффициенты пропускания и отражения решетки при любой форме поперечного сечения брусьев с хорошей сходимостью и точностью вычислений Угловые и спектральные коэффициенты пропускания существенно зависят от формы поперечного сечения брусьев и значения диэлектрической проницаемости подложки

2. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для расчета дисперсионных характеристик

двумерного фотонного кристалла Алгоритм, основанный на использовании нового выражения для ядра, обладает хорошей сходимостью и позволяет рассчитывать различные сечения дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма

3 Для активных микроструктурных волокон с заданной структурой существует оптимальный размер активной сердцевины, позволяющий получить максимальную разницу между эффективными усилениями основной моды и мод высших порядков Существует возможность создания активного микроструктурного волокна, выборочно усиливающего моды высших порядков

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 118 страниц текста, включая иллюстрации Список литературы на 10 страницах включает 94 наименования

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность, отмечается новизна и раскрывается научно-практическая ценность работы, формулируются цели исследований, представляются защищаемые положения и результаты, а также краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена описанию метода интегральных уравнений в применении к задачам на поиск коэффициентов пропускания или отражения по амплитуде для дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке см Рис 1

В Главе предлагается методика выделения логарифмической особенности ядра интегрального уравнения в явной форме, что позволяет увеличить точность и улучшить сходимость алгоритма Она заключается в нахождении аналитического выражения для суммы ряда, к членам которого стремятся члены суммы ядра интегрального уравнения с ростом их порядкового номера Аналитическое выражение для суммы ряда также имеет

Рис 1 Геометрия структуры

логарифмическую особенность, но уже выделенную в явной форме, что позволяет избежать интегрирования в особенной точке путем перехода от интеграла по площади к интегралу по контуру

Также в Главе представляются спектральные и угловые зависимости модуля коэффициента пропускания дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с формой поперечного сечения в виде правильного многоугольника, для случая отсутствия подожки и для случая наличия подложки

Демонстрируется влияние формы поперечного сечения брусьев и значения диэлектрической проницаемости подложки на зависимости модуля коэффициента пропускания от угла падения и длины волны

Анализируется сходимость алгоритма см Рис 2 при увеличении количества гармоник для задачи дифракции на решетке с квадратной формой поперечного сечения брусьев, диэлектрической проницаемостью подложки г, = 1 1 и следующими параметрами Ео = = 1, = 3 4, ^ = 0 75, £ = 0 5 см Рис 1 и при увеличении количества азимутальных узлов для различных форм поперечного сечения брусьев, проводится сравнение полученных результатов с результатами, полученными другими исследователями8 с использованием других методов, а также полученными на основе более простых приближений см Таблицу 1

Вторая глава посвящена описанию метода интегральных уравнений в применении к задаче на поиск дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла, образованного круглыми воздушными отверстиями в диэлектрическом материале, упорядоченных так, что элементарная ячейка является квадратом

8Ф Г Богданов, ГШ Кеванишвили Дифракция волн на решетках и волноводных неоднородностях "Самшобло", Тбилиси, 1994

Таблица 1 Сравнение результатов Ф Г Богданова (I) с результатами, полученными по алгоритму для случая отсутствия подложки (II), и результатами, полученными по алгоритму для случая решетки, находящейся на подложке с с, — 1 (III), отношение периода к длине волны 4 = 05

£2 в0 2т L I II III

0 0 25 0 996579 0 9965788 0 996579

0 05 0 975028 0 9750275 0 975065

2 1 0 0 75 0 990497 0 9904977 0 990506

60 0 25 0 981983 0 9819877 0 981989

60 05 0 785866 0 7859282 0 786197

60 0 75 0 320571 0 3213180 0 337977

0 0 25 0 928648 0 9286475 0 928681

54 0 05 0 884717 0 8847234 0 884885

0 0 75 0 813697 0 8135704 0 816695

Также как и в первой главе, ядро интегрального уравнения было выражено в новом виде, что в конечном итоге дало возможность избежать вычисления значения функции Грина в особенной точке Алгоритм, основанный на новом выражении для ядра интегрального уравнения, хорошо сходится см Рис 2 и позволяет получить высокую точность результатов

По разработанному алгоритму была рассчитана зависимость квадрата волнового числа от у—составляющей вектора распространения волны внутри фотонного кристалла при заданном значении ж—составляющей Расчеты проводились для следующих параметров диэлектрическая проницаемость вмещающей среды е0 = 2 25, радиус отверстий г = 1 мкм, период структуры по обоим направления ЬХ = ЬУ = Ъ мкм

Достоверность результатов подтверждена их сравнением с аналогичными результатами, полученными при использовании метода плоских волн см Рис 3

Кроме того, представленный метод используется в работе для построения изоча-стоты - зависимости пространственных составляющих вектора распространения волны внутри кристалла для заданной длины волны Тем самым иллюстрируется гибкость метода интегральных уравнений, позволяющего решать задачи разных типов

12 2 0,70(00 0,70595 0,70590 0,70585 0,70580

• N

Рис 2 Кривые сходимости Зависимость модуля амплитуды нулевой гармоники прошедшей волны от числа гармоник, использующихся при разложении ядра интегрального уравнения, для задачи дифракции электромагнитной волны на решетке с квадратной формой поперечного сечения брусьев (слева), зависимость квадрата волнового числа к2 от числа гармоник, использующихся при разложении ядра интегрального уравнения, для задачи на поиск дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла (справа)

Третья глава посвящена исследованию активных микроструктурных волокон и влиянию их структуры см Рис 4 на зависимости эффективного показателя преломления и эффективного усиления от частоты волны

Задача на поиск собственных значений решается методом плоских волн, при этом для формирования симметричной суперячейки см Рис 4 используется косоугольная система координат

В Главе исследуются различные конфигурации волокон, для которых рассчитываются и строятся дисперсионные характеристики Для получения численных результатов используется метод плоских волн и приближение комплексного показателя преломления

Иллюстрируется влияние наличия усиления или поглощения в волокне на вещественную и мнимую части эффективного комплексного показателя преломления

Строятся зависимости мнимой части эффективного показателя преломления от порядкового номера моды (моды нумеруются в порядке убывания значения вещественной части эффективного комплексного показателя преломления) для различных радиусов активной сердцевины Показывается, что для микроструктурных волокон с заданной конфигурацией, существуют оптимальные для выборочного усиления основной мо-

0,35 к, мкм

г

, 0,35 -I к, мкм

Рис. 3: Зависимость к2 от ку при кх = 0, рассчитанная методом интегральных уравнений (слева) и методом плоских волн (справа).

Рис. 4: Структура исследуемого волокна (слева) и суперячейка, использующаяся при анализе структуры (справа).

ъ

х

порядковый номер моды

-0.10 -0.15

то

х^ -0.20 -0.25 -0.30

И. мкм

г

Рис, 5: Зависимость мнимой части эффективного комплексного показателя преломления (усиления) от номера моды для микроструктурных волокон с активными сердцевинами различных диаметров (слева), зависимость разницы усиления между 2-й и 4-й модой от радиуса активной сердцевины (справа).

ды размеры активной сердцевины см. Рис. 5.

Предлагаются конфигурации активных микроструктурных волокон, позволяющие существенно увеличить эффективный коэффициент усиления мод высших порядков и выделить их тем самым по отношению к модам с другими порядковыми номерами

В заключении подводится итог проведенных в работе исследований, формулируются основные заключения и выводы

Основные результаты и выводы

1 Предложен алгоритм решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке из параллельных цилиндрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке

Аналитические преобразования, представленные в работе, позволяют получить функции Грина для этих задач в новом виде, в котором особенность выделена в явной форме, что дает возможность заменить интегралы непосредственно на квадратурные суммы

Представленные алгоритмы решения двух вышеописанных типов задач, позволяют рассчитать коэффициенты пропускания и отражения по амплитуде для дифракционных решеток с высокой точностью, в отличие от алгоритмов, использующих функцию Грина свободного пространства

Этот факт подтверждается совпадением результатов, полученных предложенным методом с результатами, полученными другими методами, и результатами, полученными методами, оптимизированными для более простых структур

Были проведены оценки, показывающие высокую точность и хорошую сходимость алгоритма, в том числе и для случаев сложной формы поперечного сечения брусьев

2 Построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для различных форм поперечного сечения диэлектрических брусьев, образующих решетку Было продемонстрировано существенное влияние формы поперечного сечения брусьев на кривые зависимостей коэффициентов пропускания решеток от угла падения и длины падающей волны Этот факт дает возможность использования подобного алгоритма для теоретических расчетов и оценок форм поперечного сечения микро- и

наноразмерных брусьев по спектрам отражения или пропускания исследуемых дифракционных решеток

3 При решении задачи на нахождение коэффициента пропускания дифракционной решетки, расположенной на подложке, были построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для случая отсутствия подложки и для случая присутствия подложки с диэлектрической проницаемостью £, = 11 Было продемонстрировано существенное влияние наличия подложки на кривые угловых и спектральных зависимостей, что позволяет использовать предложенный алгоритм для теоретического исследования спектров пропускания или отражения решетки, расположенной на подложке, с целью определения наличия подложки или значения ее диэлектрической проницаемости Подобный метод, в частности, может быть использован для определения концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку

4. Предложен алгоритм нахождения дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла, основанный на методе интегральных уравнений

Аналитические преобразования, описанные в работе, позволяют представить функцию Грина в новой форме с явно выделенной логарифмической особенностью, что позволяет найти точное значение интеграла от функции, ее содержащей

Достоверность результатов, подтверждающаяся хорошим согласием значений, рассчитанных двумя разными методами методом интегральных уравнений и методом плоских волн, доказывает правильность формулировки предлагаемого алгоритма и нового выражения для функции Грина

5 Использование высокоточных квадратурных формул позволяет свести интегральное уравнение к системе однородных линейных алгебраических уравнений Условие равенства определителя этой системы нулю представляет собой дисперсионное уравнение, которое позволяет найти различные дисперсионные характеристики фотонного кристалла, такие как зависимость частоты волны от направления ее распространения и зависимость х- и ¡/-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны без каких-либо изменений алгоритма

Этот факт показывает гибкость метода интегральных уравнений, позволяющего рассчитывать различные дисперсионные характеристики без каких-либо изменений программной реализации алгоритма

6 Представлены результаты исследования различных конфигураций активных микроструктурных волокон

Для исследования усиления в микроструктурных волокнах использовалось приближение комплексного показателя преломления В таком приближении коэффициент усиления моды пропорционален мнимой части эффективного показателя преломления соответствующей моды

7 Получены дисперсионные характеристики для волокна с воздушными отверстиями целиком состоящего из активного стекла, то есть с однородным распределением усиления Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления активного волокна отличается от аналогичной зависимость для волокна, изготовленного из обыкновенного стекла Также показано, что мнимая части эффективного показателя усиления активного волокна зависит от длины распространяющейся волны

8. Получены дисперсионные характеристики для волокна с активной сердцевиной Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления волокна с активной сердцевиной отличается от аналогичной зависимости для волокна без активной сердцевины Также показано, что мнимая часть эффективного показателя усиления волокна с активной сердцевиной зависит от длины распространяющейся волны

9 Получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для различных размеров активных сердцевин в волокне с переменным радиусом воздушных включений и волокне с большим радиусом воздушных включений Показано, что существуют оптимальные значения радиусов активных сердцевин для этих двух типов волокон, при которых разница между усилением основной моды и усилением мод высших порядков максимальна

10 Были получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для активных волокон с несколькими активными сердцевинами, которые показывают, что определенное пространственное расположение активных сердцевин может привести к выделению мод высших порядков, за счет наличия у них максимального эф-

фективного показателя распределения, превосходящего в том числе и показатель усиления основной моды

Основные публикации по теме работы

1 A S Soloviev, I S Nefedov Analysis of the wave diffraction on a polygon dielectric grating by integral equation method //Proceedings of SP1E 2004 2005 V 5773 P 59-64

2 А С Соловьев Расчет дисперсии в стеклянном микроструктурном волокне с поглощением или усилением // Сборник докладов 3-й Международной конференции "Стеклопрогресс - XXI" 2007 С 228-233

3 I S Nefedov, A S Soloviev Analysis of the wave diffraction on a polygon dielectric grating, placed on a dielectric substrate, by integral equation method // Proceedings of SPIE 2006 2007 V 6537

4 A S Soloviev, AI Konyukhov, L A Melnikov, S A Akishin Mode gain in microstructure optical fibers //Proceedings of SPIE 2006 2007 V 6537

5 А И Конюхов, А С Соловьев, Л А Мельников, С А Акишин Усиление направляемых мод в микроструктурных оптических волокнах // Известия СГУ 2007 Т 7 № 2 С 30-36

6 И С Нефедов, А С Соловьев Дифракция на решетке диэлектрических брусьев с сечением правильного многоугольника, расположенной на подложке // Оптика и спектроскопия 2008 Т 104 № 3 С 486-493

7 А С Соловьев, И С Нефедов Метод интегральных уравнений в задаче дифракции волны на решетке из параллельных диэлектрических брусьев с сечением правильного многоугольника //Оптический журнал 2008 Т 75 №5 С 12-17

8 А И Конюхов, А С Соловьев, Л А Мельников, С А Акишин Усиление направляемых мод в микроструктурированных оптических волокнах // II Российский семинар по волоконным лазерам 2008 Материалы семинара 2008 С 18-19

9 А С Соловьев, Л А Мельников, А И Конюхов Усиление направляемых мод в микроструктурных оптических волокнах //Фотон-Экспресс 2007 №6(62) С 95-96

СОЛОВЬЕВ Андрей Сергеевич

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПЛОСКИХ ВОЛН ДЛЯ РАСЧЕТА ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ И ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ВОЛН УСИЛИВАЮЩИХ МИКРОСТРУКТУРНЫХ ВОЛОКОН

Автореферат

Подписано к печати 25 09 2008 Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная Гарнитура «Times» Усл. печ. л 1,16(1,25) Тираж 100 экз Заказ 185-Т

Типография Саратовского государственного университета 410012, Саратов, ул Большая Казачья, 112а, корпус 8

1 Расчет коэффициентов пропускания решеток методом интегральных уравнений

1.1 Введение

1.2 Расчет коэффициента пропускания решетки, состоящей из диэлектрических брусьев, помещенных в слой диэлектрика

1.2.1 Получение интегрального уравнения.

1.2.2 Нахождение интеграла от функции Go.

1.2.3 Численное решение.

1.2.4 Результаты.

1.3 Расчет коэффициента пропускания решетки, состоящей из диэлектрических брусьев, расположенных на подложке и помещенных в слой диэлектрика.

1.3.1 Получение интегрального уравнения.

1.3.2 Численное решение.

1.3.3 Результаты.

1.4 Выводы и основные результаты.

2 Расчет дисперсионных характеристик двумерно-периодических структур методом интегральных уравнений

2.1 Введение.

2.2 Расчет дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла, состоящего из диэлектрических брусьев, помещенных в среду с диэлектрической проницаемостью е, для ТЕ-поляризованной волны.

2.2.1 Получение интегрального уравнения.

2.2.2 Преобразование функции Грина.

2.2.3 Преобразование сингулярной части функции Грина

2.2.4 Получение интегрального уравнения с выделенной особенностью.

2.2.5 Переход к системе линейных алгебраических уравнений

2.2.6 Результаты.

2.3 Выводы и основные результаты.

3 Расчет дисперсионных характеристик и коэффициентов усиления мод в активных микроструктурных волокнах методом плоских волн

3.1 Введение

3.2 Описание модели.

3.3 Расчет дисперсионных характеристик мод активных микроструктурпых волокон

3.3.1 Однородное распределение усиления.

3.3.2 Микроструктурное волокно с активной сердцевиной

3.4 Выборочное усиление мод в активных микроструктурпых волокнах.

3.4.1 Выборочное усиление основной моды.

3.4.2 Выборочное возбуждение мод высших порядков

3.5 Выводы и основные результаты.

Диссертация посвящена исследованию процессов дифракции электромагнитной волны на диэлектрических решетках и распространения в фотонных кристаллах и микроструктурных волокнах с использованием метода интегральных уравнений и метода плоских волн.

Задача дифракции волны на решетке, состоящей из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, решается методом интегральных уравнений. Также рассматривается задача для случая аналогичной решетки, расположенной па подложке.

Метод интегральных уравнений используется в данной работе, в том числе, и для решения задачи на распространение собственных волн в двумерном фотонном кристалле. Результаты, полученные данным методом, находятся в хорошем соответствии с результатами, полученными методом плоских волн.

Кроме того, в диссертации исследуется процесс распространения электромагнитной волны в активном микроструктурпом волокне и влияние геометрии структуры поперечного сечения волокна на его дисперсионные свойства. Также исследуется проблема выборочного усиления мод, как основных, так и высших, в микроструктурном волокне с одной или несколькими активными сердцевинами. Эти 'задачи решается методом плоских волн.

Актуальность темы. Задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке актуальны для многих областей физики и техники, и являются стандартными задачами электродинамики, решение которых с использованием различных методов можно найти в большом числе публикаций. Периодические решетки находят широкое применение в различных областях науки и техники: спектроскопии и антенной технике, физике твердого тела, милли- и субмиллиметровой радиотехнике. Анализ физических процессов, протекающих в дифракционных решетках, связан с решением важных прикладных задач: созданием частотных и поляризационных фильтров, новых источников излучения, дисперсионных открытых резонаторов и т.д.

Особую роль играют теоретические исследования, значительно сокращающие или полностью исключающие экспериментальную проработку. С их помощью можно осуществить модельный синтез и оптимизацию различных устройств. Частично эта актуальная проблема решена в рамках математической теории дифракции плоских волн на дифракциоипой решетке, позволившей эффективно проанализировать ряд практически интересных ситуаций, накопить большой объем данных об аномальных и резонансных режимах рассеяния, решить некоторые малопараметрические обратные задачи. Для решеток со сложной структурой решение задачи дифракции возможно лишь численно: при этом эффективность алгоритмов и сходимость методов являются крайне важными.

Для решения проблемы дифракции на диэлектрических периодических структурах используются различные численные и полуаналитические методы.

В статье [1] рассмотрен метод анализа дифракции па периодических структурах с использованием рядов Фурье и разложения по плоским волнам. В этом случае необходимо разлагать в ряд все периодические функции, в том числе и диэлектрическую проницаемость. Полученная система уравнений решается относительно неизвестных амплитуд пространственных гармоник.

В статье [2] предложен метод матричной рекурсии для моделирования процесса дифракции на диэлектрических решетках. Решетка с неодпородностями произвольной формы представляется в виде множества слоев, лежащих друг на друге, каждый из которых представляет собой периодическую структуру с неодиородпостями прямоугольной формы. При переходе от одного слоя к другому используют матрицу передачи.

Эти методы, при всех их достоинствах, имеют и ряд недостатков (проблемы со сходимостью и трудности с реализацией для элементов со сложным профилем поперечного сечения).

В последнее время большое внимание уделяется также новому типу оптических материалов - фотонным кристаллам. Первыми работами в этой области были труды Яблоновнча и Джона [7,8], начиная с которых со стороны научных исследователей всего мира появился огромный интерес к подобного рода структурам. Главной особенностью фотонных кристаллов является наличие в них запрещенных частотных зон, запрещающих распространение внутри кристалла электромагнитных волн с частотами лежащими в этой зоне.

Это свойство используется исследователями для проектирования и создания различных оптических устройств, таких как оптические волокна [9], одномодовые волноводы [10] и лазеры [11].

В последнее время наряду со значительным прорывом в области технической реализации процесса создания фотонных кристаллов, был разработан целый ряд различных математических инструментов и методов, позволяющих смоделировать процесс распространения электромагнитной волны в фотонных кристаллах, рассчитать и проанализировать их дисперсионные характеристики. В работах (12,13] представлен анализ двумерных периодических структур на основе метода плоских волн. В [14| аналогичная задача решена с использованием матриц передачи. В работе [15] моделирование процесса распространения волны основана на использовании метода конечных разностей. Здесь также имеются трудности в реализации известных методов для структур со сложным профилем поперечного сечения.

Для преодоления этих трудностей возможно использование метода интегральных уравнений. Основными преимуществами этого метода являются хорошая сходимость, возможность исследовать решетки с произвольной формой поперечного сечения брусьев, высокая точность, а также возможность расчета различных сечений дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.

Микроструктурные волокна - волокна, имеющие очень сложную структуру в поперечном сечении, образованную регулярным или нерегулярным расположением воздушных отверстий, параллельных оси волокна, обладают множеством замечательных свойств, таких как возможность регулировки дисперсии и нелинейности, возможность получения больших значений этих величин [9, 16, 17] и возможность создания одномодового режима для широкого интервала длин воли [18]. По сравнению с обыкновенными волокнами микроструктуриые волокна обладают более высоким показателем преломления, аномальной дисперсией групповой скорости в видимом диапазоне длин волн [19], сильным двулучепреломлением [19,20], а также имеют большее количество степеней свободы, таких как расположение включений и отношение радиуса включений к периоду структуры [21,22].

Особое внимание со стороны исследователей уделяется активным микроструктурным волокнам с сердцевиной, допировапиой ионами неодима, эрбия или иттербия [23-25].

С развитием волоконных лазеров [26-32] и волоконных усилителей, появилась необходимость в точных алгоритмах расчета характеристик активных микроструктуриых волокон, процессы в которых могут быть описаны с использованием приближения комплексного показателя преломления. Описание некоторых численных методов, использующих это приближение, представлены в литературе [33-36].

В [33] авторы разделяют вещественную и мнимую части комплексного показателя преломления для получения двух вещественных дифференциальных уравнений из одного комплексного. Такое преобразование основано на предположении о том, что мнимая часть поля значительно меньше вещественной части. Таким образом, этот метод может использоваться только для расчета структур, обладающих малым значением мнимой части комплексного показателя преломления.

В статье [34] используется теория возмущений, которая также основана па допущении, что усиление или потери в волокне оказывают несущественное влияние па поле волны, распространяющейся в нем, и, также, может использоваться только в случаях малого значения величины мнимой части показателя преломления.

Для преодоления этого ограничения были разработаны новые численные методы [35-40], основанные на разложении мод поля по простым функциям с комплексными коэффициентами. Подобное разложение сводит задачу к поиску собственных значений комплексной матрицы коэффициентов.

Таким образом, задача исследования периодических структур, таких как дифракционные решетки, фотонные кристаллы и микроструктурные волокна, является актуальной на данный момент, на ряду с задачей разработки эффективных численных методов, использующихся для моделирования процесса распространения электромагнитных волн в подобного рода структурах.

Целью настоящей работы являются

- исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки на основе метода интегральных уравнений;

- исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев, расположенных на подожке, и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки, находящейся на подложке, на основе метода интегральных уравнений;

- исследование процесса распространения электромагнитной волны в двумерном фотонном кристалле и расчет различных сечений дисперсионных поверхностей кристалла при помощи алгоритма, разработанного па основе метода интегральных уравнений;

- исследование процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурпых волокнах различных конфигураций и расчет их дисперсионных характеристик, а также изучение влияния структуры волокна на его дисперсионные характеристики;

- исследование возможности выборочного усиления основной моды и мод высших порядков, изучение влияния структуры волокна на коэффициент усиления мод с различными порядковыми номерами.

Новые научные результаты. В диссертации предложены новые выражения для функции Грина, использующиеся в разработанных алгоритмах решения задач на поиск коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке.

Необходимость получения новых выражений функции Грина обусловлена наличием в них логарифмических особенностей в неявном виде, что приводит к снижению точности расчетов и ухудшению сходимости алгоритмов.

В результате анализа результатов расчетов, выполненных по предложенным алгоритмам, основанных на новых выражениях функции Грина, было показано, что форма поперечного сечения брусьев решетки оказывает существенное влияние на спектры отраженной и прошедшей воли. Также было показано, что на эти спектры оказывает влияние в том числе наличие подложки и величина ее диэлектрической проницаемости.

Представленный алгоритм позволяет рассчитать коэффициенты пропускания и отражения для решеток, состоящих из брусьев с любой формой поперечного сечения.

Новое выражение функции Грина получено также для задачи на поиск собственных воли фотонного кристалла и нахождения его дисперсионных характеристик. Отличительными особенностями алгоритма, основанного на новом выражении для функции Грина, также являются универсальность, то есть возможность его использования для различных форм поперечного сечения брусьев и хорошая сходимость.

Особенностью, предложенного алгоритма, является возможность его использования для получения результатов необходимых для построения различных видов дисперсионных характеристик фотонного кристалла: зависимости частоты волны от направления ее распространения и зависимости х- и у-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны.

В диссертации также представлен детальный анализ процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций, проведенный но результатам, полученным методом плоских волн.

Анализ показал, что структура активного волокна, оказывает существенное влияние на его дисперсионные характеристики и па зависимость коэффициента усиления от длины волны.

Появление в мнкроструктурпом волокне поглощения или усиления приводит к изменению значения эффективного показателя преломления, при этом коэффициент усиления моды зависит от структуры волокна и порядкового номера моды. На основании расчетов найдены оптимальные значения размеров активной сердцевины для волокон с заданными конфигурациями, позволяющие наиболее эффективно усиливать основную моду по сравнению с модами высших порядков. Предложены конфигурации активных волокон, позволяющие выборочно усиливать моды высших порядков.

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами, и совпадением результатов, полученных применением разработанных методов в частных случаях, с результатами, полученными методами, оптимизированными для более простых структур.

Научно-практическое значение работы. Предложенные в работе новые алгоритмы расчета коэффициентов пропускания и отражения решеток могут быть использованы для исследования решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, находящихся в пространстве или расположенных на подложке.

Результаты этих исследований могут быть использованы для оценки формы поперечного сечения брусьев решетки, детекции наличия подложки и определения значения ее диэлектрической проницаемости по характеристикам отраженной или прошедшей сквозь решетку волны. Подобная методика может быть применима, в частности, для расчетов концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку.

Алгоритм расчета дисперсионных характеристик фотонных кристаллов, основанный на методе интегральных уравнений, может быть использован для нахождения запрещенных зон и построения изочастот. Результаты подобных расчетов важны при проектировании различных оптических устройств и приборов, таких как фильтры, резонаторы, волноводы и т.п.

Результаты исследования активных микроструктурных волокон, представленного в диссертации, расширяют общее представление о влиянии структуры активного волокна на процесс распространения электромагнитной волны по нему. Предложенные в работе конфигурации волокон могут быть использованы для выборочного усиления основной моды и мод высших порядков. Выборочное усиление мод может пайти свое применение при проектировании частотных преобразователей, волоконных лазеров и волоконных усилителей.

Исследования, ироведеные в работе, в том числе, вносят значительный вклад в расширение представления о методе интегральных уравнений и возможностях его использовани для решения задач оптики. Предложенный алгоритм может быть использован, в том числе, и для решения ряда других аналогичных задач после внесения некоторых незначительных изменений.

Материалы, представленные в диссертации, использовались при выполнении работ по гранту U.S. Civilian Research and Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union REC-006 и гранту N.06-02-17343-a Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе исследований, представленных в данной работе, были доложены на следующих конференциях:

1. Saratov Fall Meeting 2004, Россия, Саратов, 21-24 сентября, 2004.

2. Saratov Fall Meeting 2005, Россия, Саратов, 27-30 сентября, 2005.

3. Saratov Fall Meeting 2006, Россия, Саратов, 26-29 сентября, 2006.

4. Третья Международная конференция "Стеклопрогресс - XXI", Россия, Саратов, 22-25 мая, 2006.

5. Ill Russian-Finnish Meeting Photonics and Laser Symposium, Russia, Moscow, June 14-17, 2007.

6. X Международные Чтения по квантовой оптике, Россия, Самара, 18-22 сентября, 2007.

7. Saratov Fall Meeting 2007, Россия, Саратов, 25-28 сентября, 2007.

8. Российский семинар по волоконным лазерам, Россия, Саратов, 1-4 апреля, 2008.

9. Всероссийская конференция по волоконной оптике, Россия, Пермь, 10-12 октября, 2007.

10. International Conference "Laser Optics 2008", Russia, St.Petersburg, June 23-28, 2008.

11. Ill Научная конференция для молодых ученых, Россия, Саратов, 2527 июня, 2008.

Личный вклад автора состоит: в участии в постановках задач, в проведении аналитических выкладок, разработке алгоритмов решения задач и их реализации, в получении численных результатов и их анализе, в поиске и анализе литературных источников.

Защищаемые положения и результаты.

1. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для задач на нахождение коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке. Использование этого выражения и соответствующей реализации алгоритма решения интегрального уравнения позволяет рассчитывать коэффициенты пропускания и отражения решетки при любой форме поперечного сечения брусьев с хорошей сходимостью и точностью вычислений. Угловые и спектральные коэффициенты пропускания существенно зависят от формы поперечного сечения брусьев и значения диэлектрической проницаемости подложки.

2. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для расчета дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла. Алгоритм, основанный на использовании нового выражения для ядра, обладает хорошей сходимостью и позволяет рассчитывать различные сечения дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.

3. Для активных микроструктурных волокон с заданной структурой существует оптимальный размер активной сердцевины, позволяющий получить максимальную разницу между эффективными усилениями основной моды и мод высших порядков. Существует возможность создания активного микроструктурпого волокна, выборочно усиливающего моды высших порядков.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 114 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 10 страницах включает 94 наименования.

Заключение

В диссертации представлены решения задач на поиск коэффициентов пропускания для дифракционных решеток, находящихся в свободном пространстве или расположенных па подложке и на построение дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристаллла методом интегральных уравнений, а также на построение дисперсионных характеристик активных микроструктурных волокон методом плоских волн.

1. Предложен алгоритм решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке из параллельных цилиндрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке.

Аналитические преобразования, представленные в работе, позволяют получить функции Грина для этих задач в новом виде, в котором особенность выделена в явной форме, что даст возможность заменить интегралы непосредственно на квадратурные суммы.

Представленные алгоритмы решения двух вышеописанных типов задач, позволяют рассчитать коэффициенты пропускания и отражения дифракционных решеток с высокой точностью, в отличие от алгоритмов, использующих функцию Грина свободного пространства.

Этот факт подтверждается достоверностью полученных результатов, которые совпадают с результатами, полученными другими методами, и результатами расчетов для частных случаев при использовании более простых приближений.

Были проведены оценки, показывающие высокую точность и хорошую сходимость алгоритма, в том числе и для случаев сложной формы поперечного сечения брусьев.

2. Построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для различных форм поперечного сечения диэлектрических брусьев, образующих решетку. Было продемонстрировано существенное влияние формы поперечного сечения брусьев на кривые зависимостей коэффициентов пропускания решеток от угла падения и длины падающей волны. Этот факт дает возможность использования подобного алгоритма для теоретических расчетов и оценок форм поперечного сечения микро-и наноразмерных брусьев по амплитудам отражения или пропускания исследуемых дифракционных решеток.

3. При решении задачи на нахождение коэффициента пропускания дифракционной решетки, расположенной на подложке, были построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для случая отсутствия подложки и для случая присутствия подложки с диэлектрической проницаемостью е„ = 1.1. Было продемонстрировано существенное влияние наличия подложки на кривые угловых и спектральных зависимостей, что позволяет использовать предложенный алгоритм для теоретического исследования характеристик волн пропускания или отражения для решетки, расположенной на подложке, с целью определения наличия подложки или значения ее диэлектрической проницаемости. Подобный метод, в частности, может быть использован для определения концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку.

4. Предложен алгоритм нахождения дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла методом интегральных уравнений.

Аналитические преобразования, описанные в работе, позволяют представить функцию Грина в новой форме с явно выделенной логарифмической особенностью, что позволяет пантп точное значение интеграла от функции ее содержащей.

Кроме того, представлены преобразования Функции Грина, позволяющие избежать двойного суммирования и существенно сэкономить вычислительные ресурсы.

Достоверность результатов, подтверждающаяся хорошим согласием значений, расчитанных двумя разными методами: методом интегральных кравнений и методом плоских волн, доказывает правильность формулировки предлагаемого алгоритма и нового вида функции Грина.

5. Использование высокоточных квадратурных формул позволяет свести интегральное уравнение к системе однородных линейных алгебраических уравнений. Условие равенства определителя этой системы нулю представляет собой дисперсионное уравнение, которое позволяет найти различные дисперсионные характеристики фотонного кристалла, такие как зависимость частоты волны от направления ее распространения и зависимость х- и у-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны.

Этот факт показывает гибкость метода интегральных уравнений, позволяющего рассчитывать зависимости различных типов при минимальных изменениях программной реализации алгоритма.

6. Представлены результаты исследования различных конфигураций активных микроструктурных волокон.

Для исследования усиления в микроструктурных волокнах использовалось приближение комплексного показателя преломления. В таком приближении коэффициент усиления моды пропорционален мнимой части эффективного показателя преломления соответствующей моды.

7. Получены дисперсионные характеристики для волокна с воздушными отверстиями целиком состоящего из активного стекла, то есть с однородным распределением усиления. Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления активного волокна отличается от аналогичной зависимость для волокна, изготовленного из обыкновенного стекла. Также показано, что мнимая части эффективного показателя усиления активного волокна зависит от длины рапрострапяющейся волны.

8. Получены дисперсионные характеристики для волокна с активной сердцевиной. Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления волокна с активной сердцевиной отличается от аналогичной зависимости для волокна без активной сердцевины. Также показано, что мнимая части эффективного показателя усиления волокна с активной сердцевиной зависит от длины рапространяющейся волны.

9. Получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для различных размеров активных сердцевин в волокне с пременным радиусом воздушных включений и волокне с большим радиусом воздушных включений. Показано, что существуют оптимальные значения радиусов активных сердцевин для этих двух типов волокон, при которых разница между усилением основной моды и усилением мод высших порядков максимальна.

10. Были получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для активных волокон с несколькими активными сердцевинами, которые показывают, что определенное пространственное расположение активных сердцевин может привести к выделению мод высших порядков, за счет наличия у них максимального эффективного показателя распределения, превосходящего в том числе и показатель усиления основной моды.

1. Lifeng Li. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structure. J. Opt. Soc. Am. A, V. 13, №. 9, 199G.

2. Lifeng Li. Formulation and comparison of two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings. J. Opt. Soc. Am. A, V. 13, №. 5, 1996.

3. Soloviev A.S., Nefedov I.S., Analysis of the wave diffraction on a polygon dielectric grating by integral equation method, Proceedings of SPIE 2004, 2005, V. 5773, P. 59-64.

4. Nefedov I.S., Soloviev A.S., Analysis of the wave diffraction on a polygon dielectric grating, placed on a dielectric substrate, by integral equation method, Proceedings of SPIE 2006, V. 6537, 2007.

5. Соловьев А.С., Нефедов И.С., Метод интегральных уравнений в задаче дифракции волны на решетке из параллельных диэлектрических брусьев с сечением правильного многоугольника, Оптический журнал, Т. 75, № 5, 2008, С. 12-17.

6. Нефедов И.С., Соловьев А.С., Дифракция на решетке диэлектрических брусьев с сечением правильного многоугольника, расположенной на подложке, Оптика и спектроскопия, Т. 104, № 3, 2008, С. 486-493.

7. Е. Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission in solid state physics and electronics Phys. Rev. Lett., V. 58, P. 2059-2062, 1987.

8. S. John, Strong localisation of photons in certain disordereddielectric lattices, Phys. Rev. Lett., V. 58, P. 2486-2489, 1987.

9. J.C. Knight, J. Broeng, T.A. Birks, P.St.J. Russell, Photonic band gap guidance in optical fibers, Science, V. 282, P. 1476, 1998.

10. R.F. Cregan, B.J. Mangan, J.C. Knight, T.A. Birks, P.S.J. Russell, P.J. Roberts, D.C. Allan, Science, V. 285, P. 1537, 1999.

11. D.L. Bullock, C. Shih, R.S. Margulies, J. Opt. Soc. Am. В, V. 10, P. 399, 1993.

12. К. M. Но, С. T. Chan, and С. M. Soukoulis, Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures, Phys. Rev. Lett., V. 65, P. 3152, 1990.

13. R. D. Meade, A. M. Rappe, K. D. Brommer, J. D. Joannapoulos, and O. L. Alerhand, Accurate theoretical analysis of photonic band-gap materials, Phys. Rev., V. B48, P. 8434, 1993.

14. J. B. Pendry and A. MacKinnon, Calculation of photon dispersion relations, Phys. Rev. Lett., V. 69, P. 2772, 1992.

15. С. T. Chan, Q. L. Yu, and К. M. Ho, Order-N spectral method for electroinagnetic-waves, Phys. Rev., V. B51, P. 16635, 1995.

16. D. Mogilevtsev, T. A. Birks, and P. St. J. Russell, Groupvelocity dispersion in photonic crystal fibers, Opt. Lett., V. 23, P. 1662-1664, 1998.

17. Т. M. Monro, D. J. Richardson, N. G. R. Broderick, and P. J. Bennett, Holey optical fibers: an efficient modal model, J. Lightwave Technol., V. 17, P. 1093-1102, 2000.

18. T. A. Birks, J. C. Knight, and P. St. J. Russell, Endlessly single-mode photonic crystal fiber, Opt. Lett., V. 22, P. 961-963, 1997.

19. J. C. Knight, J. Arriaga, T. A. Birks, A. Ortigosa-Blanch, W. J. Wadsworth, and P. S. Russell, Anomalous dispersion in photonic crystal fiber, IEEE Photon. Technol. Lett., V. 12, P. 807-809, 2000.

20. К. Saitoh and M. Koshiba, Photonic bandgap fibers with high birefringence, IEEE Photon. Tcchnol. Lett., V. 14, P. 1291 1293, 2002.

21. D. Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides, 2nd ed. Academic, San Diego, Calif., 1991, Chap. 2.

22. Snyder A.W., Love J.D., Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, New York, 1983.

23. A. Cucinotta, F. Poli, and S. Selleri, Design of Erbiumdoped triangular photonic-crystal-fiber-based ampli- fiers, IEEE Photon. Tech. Lett. 16, P. 2027-2029, 2004.

24. J. Canning, N. Groothoff, E. Buckley, T. Ryan, K. Lyytikainen, and J. Digweed, All-fibre photonic crystal distributed Bragg reflector (PC-DBR) fibre laser, Opt. Express 11, P. 1995-2000, 2003.

25. A. Argyros, M.A. van Eijkclenborg, S.D. Jackson, and R.P. Mildren, Microstructuied polymer fiber laser, Opt. Lett. 29, P. 1882-1884, 2004.

26. F.C. McNeillie, E. Riis, J. Broeng, J.R. Folkenberg, A. Petersson, H. Simonsen, and C. Jakobsen, Highly polarized photonic crystal fiber laser, Opt. Express 12, P. 3981-3987, 2004.

27. M. Moenster, P. Glas, G. Steinmeyer, and R. Uiew, Mode-locked Nd-doped microstructured fiber laser, Opt. Express 12, P. 4523-4528, 2004.

28. А. Май, J.V. Moloney, D. Kouznetsov, A. Schulzgcn, S. Jiang, T. Luo, and N. Peyghambarian, A Large-core compact high-power single-mode photonic crystal fiber laser, IEEE Photon. Tech. Lett. 16, P. 2595-2597, 2004.

29. K. Furusawa, T. Kogure, J.K. Sahu, J.H. Lee, T.M. Monro, and D.J. Richardson, Efficient low-threshold lasers based on an erbium-doped holey fiber, IEEE Photon. Tech. Lett. 17, P. 25-27, 2005.

30. J. E. Sader, Method for analysis of complex refractive-index-profile fibers, Opt. Lett., V. 15, P. 105-107, 1990.

31. A. Reisinger, Characteristics of optical guided modes in lossy waveguides, Appl. Opt., V. 12, P. 1015-1025, 1973.

32. A. Sunanda and E. K. Sharma, Field variational analysis for modal gain in erbium-doped fiber amplifiers, J. Opt. Soc. Amer. В, V. 16, P. 1344-1347, 1999.

33. R. Singh and E. K. Sharma, Propagation characteristics of single-mode optical fibers with arbitrary complex index profiles: a direct numerical approach, IEEE J. Quantum Electron., V. 37, P. 635-640, 2001.

34. A.C. Соловьев. Расчет дисперсии в стеклянном микроструктурном волокне с поглощением или усилением. Сборник докладов 3-й Международной конференции "Стеклопрогресс XXI", Саратов, ООО Приволжское издательство, С. 228-233, 2007.

35. A.S. Soloviev, A.I. Konyukhov, L.A. Melnikov, S.A. Akishin. Mode gain in microstructure optical fibers. Proceedings of SPIE 2006, V. 6537, 2007.

36. Конюхов А.И., Соловьев А. С., Мельников JI.A., Акишии С.А. Усиление направляемых мод в микроструктурных оптических волокнах. Известия СГУ, Т. 7, Ж 2, 2007, С. 30-36.

37. Соловьев А.С., Мельников Л.А., Конюхов А.И. Усиление направляемых мод в микроструктурных оптических волокнах. Фотон-Экспресс. № 6 (62), 2007, С. 95-96.

38. C.R. Giles. Lightwave Application of Fiber Bragg Gratings. J. Lightwave Technol. 1997. V. 15. № 8. P. 1391-1404.

39. Journal of Lightwave Technology, 1999, V. 17, 11.

40. Ф.Г. Богданов, Г.Ш. Кеваниитвили. Дифракция волн на решетках и волноводньтх неоднородностях. Самшобло. Тбилиси. 1994.

41. Гришина Н.В., Еремин Ю.А. Опт. и спектр. 2000, Т. 89, № 3, С. 426432.

42. Лойко В.А., Рубан Г.И. Опт. и спектр. 2000, Т. 88, № 5, С. 834-839.

43. А.В. Seddon, W.J. Pan, Fine embossing of chalcogenide glasses a new fabrication route for photonic integrated circuits, Journal of Non-Crystalline Solids, V. 352, 2006, P. 2515-2520.

44. W.J. Pan, D. Furniss, Fine embossing of chalcogenide glasses: First time submicron definition of surface embossed features, Journal of Non-Crystalline Solids, V. 353, 2007, P. 1302-1306.

45. Г.А. Калинчснко, A.M. Лерер. Электродинамическое моделирование диэлектрических решеток при помощи объемных интегральных уравнений. Радиотехника и электроника, 2003, Т. 48, №. 8.

46. С.В. Сухов. Метод интегральных уравнений в оптической ближнепольной микроскопии рассеяния. Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 95, № 3, С. 1-7.

47. Г.А. Калинченко, А.Г. Кюркчап, A.M. Лерер. Расчет коэффициентов прохождения и отражения собственных фолн в плоском диэлектрическом волноводе при наличии вблизи него посторонних предметов. Радиотехника и электроника, 2001, Т. 46, N8 9, С. 1087-1095.

48. M.V. Davidovich. Green functions and integral equations for 2D and 3D photonic crystals. Proceedings of SPIE, 2003, V. 5476, P. 30-37.

49. M.B. Давидович. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегральные уравнения, результаты. "Издательство саратовского университета", Саратов, 2005, 40 с.

50. M.V. Davidovich. Integral equations for photonic crystals. Proceedings of 6-th IEEE Saratov-Penza Chapter Workshop, Saratov, 2002, P. 86-89.

51. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Наука. Москва, 1973, 832 с.

52. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II. Москва. Наука. 1984. 640 с.

53. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва. Физматлит. 2004. 336 с.

54. Прудников А.П., Брычков Ю.А. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Москва. Наука. 1981. 800 с.

55. J.C. Knight, Т.A. Birks, P.St.J. Russell, and D.M. Atkin, All-silica single-mode optical fiber with photonic crystal cladding, Opt. Lett. 21, P. 1547-1549, 1996.

56. J.C. Knight, J.Broeng, T.A. Birks, and P.St.J. Russell, Photonic band gap guidance in optical fibers, Science 282, P. 1476-1478, 1998.

57. J.C. Knight, J. Arriaga, T.A. Birks, A. Ortigosa-Blanch, W.J. Wadsworth, and P.St J. Russell, Anomalous Dispersion in Photonic Crystal Fiber, IEEE Photon. Technol. Lett. 12, P. 807-809, 2000.

58. A.B. Fedotov, A.M. Zheltikov, M.V. Alfimov, A.A. Ivanov, M.S. Syrchin, A.P. Tarasevitch, Laser Physics 11, P. 1058-1068, 2001.

59. W.J. Wadsworth, J.C. Knight, W.H. Reeves, P.St.J. Russell, and J. Arriaga y&3+-doped photonic crystal fibre laser Electron. Lett. 36, P. 14521454, 2000.

60. K. Furusawa, T.M. Monro, P. Petropoulos, and D.J. Richardson, Mod-elocked laser based on ytterbium doped holey fibre, Electron. Lett. 37, P. 560-561, 2001.

61. J.K. Sahu, C.C. Renaud, K. Furusawa, R. Selvas, J.A. Alvarez-Chavez, D.J. Richardson, and J. Nilsson, Jacketed air-clad cladding pumped ytterbium-doped fi- bre laser with wide tuning range, Electron. Lett. 37, P. 1116-1117, 2001.

62. K. Furusawa, A. Malinowski, J.H.V. Price, T.M. Monro, J.K. Sahu, J. Nilsson, and D.J. Richardson, Cladding pumped Ytterbium-doped fiber laser with holey inner and outer cladding, Opt. Express 9, P. 714-720, 2001.

63. P. Glas and D. Fischer, Cladding pumped large-modearea Nd-doped holey fiber laser, Opt. Express 10, P. 286- 290, 2002.

64. W.J. Wadsworth, R.M. Percival, G. Bouwmans, J.C. Knight, and P.St. J. Russell, High power air-clad photonic crystal fibre laser, Opt. Express 11, P. 48-53, 2003.

65. J. Limpert, T. Schreiber, S. Nolte, H. Zellmer, T. Tunnermann, R. Iliew, F. Lederer, J. Broeng, G. Vienne, A. Petersson, and C. Jakobsen, High-power airclad large-mode-area photonic crystal fiber laser, Opt. Express 11, P. 818-823, 2003.

66. J.H.V. Price, К. Furusawa, T.M. Monro, L. Lefort, and D.J. Richardson, Tunable, femtosecond pulse source operating in the range 1.06-1.33 (ип based on an У63+ doped holey fiber amplifier, J. Opt. Soc. Лт. В 19, P. 1286-1294, 2002.

67. A. Cucinotta, F. Poli, S. Selleii, L. Vincetti, and M. Zoboli, Amplification properties of £'r3+-doped photonic crystal fibers, J. Lightwave Tech. 21, P. 782-788, 2003.

68. K.G. Hougaard, J. Broeng, and A. Bjarklev, Low pump power photonic crystal fibre amplifiers, Electron. Lett. 39, P. 599-600, 2003.

69. K. Furusawa, T. Kogure, T.M. Monro, and D.J. Richardson, High gain efficiency amplifier based on an erbium doped aluminosilicate holey fiber, Opt. Express 12, P. 3452-3458, 2004.

70. R. Hainberger and S. Watanabe, Impact of the wavelength dependence of the mode field on the nonlinearity coefficient of PGFs, IEEE Photon. Tech. Lett. 17, P. 70-72, 2005.

71. J. Limpert, A. Liem, M. Reich, T. Schreiber, S. Nolte, H. Zellmer, A. Tunnermann, Low-nonlinearity single-transverse-mode ytterbium-doped photonic crystal fiber amplifier, Opt. Express 12, P. 1313-1319, 2004.

72. W.J. Wadsworth, J.C. Knight, W.H. Reeves and P.St.J. Russell, Yb3+ -doped photonic crystal fibre laser, Electron. Lett. 36, P. 1452-1453, 2000.

73. M. Moenster, P. Glas, G. Steinmeyer, and R. Iliew, Mode-locked Nd-doped microstructure fiber laser, Opt. Express 12, P. 4523-4527, 2004.

74. M. Moenster, P. Glas, G. Steinmeyer, Femtosecond Neodymium-doped microstructure fiber laser, Opt. Express, 13, P. 8671-8677, 2004.

75. A. Roy, P. Leproux, P. Roy, J.L. Auguste, V. Couderc, Supercontinuum generation in a nonlinear Yb-doped, double-clad, microstructured fiber, J. Opt. Soc. Am. В 24, P. 788-791, 2007.

76. Ren Guobin, Wang Zhi., Full-vectorial analysis of complex refractive-index photonic crystal fibers, Opt. Express 12(6), P. 1126-1135, 2004.

77. Adams M.J., Introduction to optical waveguide theory, John Wiley and Sons Inc., New York, 1981.

78. Barkou, Bjarklev A., Photonic Crystal Fibers: A New Class of Optical Waveguides, Optical Fiber Technology, 1999, V. 5, P. 305-330.

79. С. M. Bowden, J. P. Dowling, and H. O. Everitt, editors, Development and applications of materials exhibiting photonic band gaps, J. Opt. Soc. Amer. В, V. 10(2), 1993.

80. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, and J. N. Winn, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1995.

81. K. Sakoda, Optical properties of Photonic Crystals, Springer, 2001.

82. S. G. Johnson, J. D. Joannopoulos, (Photonic crystals The Road from Theory to Practice, Kluwer Academic Publishers, 2001.

83. A. Figotin and P. Kuchment, Band-gap structure of spectra of periodic dielectric and acoustic media. I. Scalar model, SIAM J. Appl. Math. 56, P. 68, 1996.

84. A. Figotin and P. Kuchment, Band-gap structure of spectra of periodic dielectric and acoustic media. II. Two-dimensional photonic crystals, SIAM J. Appl. Math. 56, P. 1561, 1996.

85. T.P. Hansen, J. Broeng, E.B. Libori, Highly Birefringent Index-Guiding Photonic Crystal Fibers, IEEE Photonics Technology Letters, V. 13, № 6, 2001.

86. J. Ju, W. Jin, Properties of a Highly BirelVingent Photonic Crystal Fiber, IEEE Photonics Technology Letters, V. 15, № 10, 2003.

87. H. Benisty, Modal analysis of optical guides with two-dimensional photonic band gap boundaries, J. Appl. Phys. 79, P. 7483-7492, 1996.

88. P. R. Villeneuve, S. Fan, J. D. Joannopoulos, Microcavity in photonic crystals: Mode symmetry, tunability and coupling efficiency, Phy. Rev. В 54, P. 7837-7842, 1996.

89. S. Guo, S. Albin, A simple plane wave implementation method for photonic crystal calculations, Opt. Express 11, P. 167, 2003.

90. S.G. Johnson, J.D. Joannopoulos, Block-iterative frequency-domain methods for Maxwell's equations in a planewave basis, Optics Express, 29, V. 8, № 3, 2001.