Применение непертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для расчета угловых спектров диффузного рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Физический факультет

Звягин Андрей Игоревич

РГ6 од

1 з к;:-;;

На правах рукописи УДК 548.732

Применение иепертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для расчета угловых спектров диффузного рассеяния.

Специальность 01.04.07 - физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2000 г.

Работа выполнена на кафедре физики твердого тела физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Андреев доктор физико-математических наук, профессор А.С.Илюшин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических м^ук; профессор А.В.Виноградов кандидат физико-математических наук, с. н. с. С.Н. Поляков

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (МГИЭМ).

Защита состоится 42 - \jLteu.3. 2000 г. в на заседании

Диссертационного Совета К 053.05.19 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу. 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета

ауд. UP А

МГУ.

Автореферат разослан " 2000 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.19 кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.

И.А.Никанорова

WZ.13, 03

1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов конденсированными средами часто используется для исследований не только объемной структуры, но и поверхностей, границ раздела, тонких пленок и многослойных структур. Переход от оптических методов исследования структуры поверхности и границ раздела к рентгеновским [1,2], в принципе, позволяет изучать особенности структуры с масштабами, сравнимыми с длиной волны рентгеновских лучей. В частности, измерения интенсивности отраженных и рассеянных волн позволяют определять толщину и среднюю электронную плотность слоев с межатомным разрешением по глубине; диффузное рассеяние на неидеальных границах служит важным источником получения информации о структуре границ раздела [3].

Морфология границы во многих случаях определяет возможности практического использования соответствующих приборов и устройств. Это, в частности, относится к тонкопленочным многослойным твердотельным приборам на основе полупроводников, магнитных материалов и сверхпроводников и к рентгенооптическим системам. Особенно существенную роль морфология поверхности играет для квантово-размерных структур, в которых искажения поверхности могут существенно изменять электронные свойства структуры.

Один из важных вопросов в связи с этим состоит в определении связи морфологии поверхности с технологией приготовления структур. Установление этой связи требует развития методов определения характеристик поверхностей и границ раздела. Рентгеновские методы играют важную роль, поскольку они принадлежат к числу неразрушающих методов контроля и, кроме того, в принципе позволяют получать информацию непосредственно в процессе приготовления материала (in situ). По этим

причинам развитию рентгеновских методов исследования поверхностной структуры уделяется сейчас большое внимание.

Цель работы. Основная цель работы состоит в применении непертурбативной (без использования теории возмущений) теории отражения для анализа диффузного рассеяния рентгеновских лучей случайно и нерегулярно однородными поверхностями. Расчеты спектров диффузного рассеяния дают возможность исследовать их зависимость от параметров шероховатой поверхности (амплитуды шероховатости и длины корреляции), разработать методы определения характеристик шероховатой поверхности из угловых спектров рассеяния и изучить возможности методов восстановления рельефа регулярно-неоднородной поверхности в рамках непертурбативного подхода. Научная новизна и практическая значимость. Использование численных методов позволило впервые продемонстрировать преимущества непертурбативной теории диффузного рассеяния рентгеновских лучей и рассчитать спектры рассеяния и их зависимость от параметров поверхности в области значений параметров, в которой получение явных аналитических решений оказывается невозможным. В частности, проведенные расчеты позволили обосновать метод угла отсечки и возможность использования в рамках этого метода приближенных асимптотических выражений, которое существенно упрощает процедуру определения статистических характеристик шероховатостей из измерений отношения интенсивности зеркальной компоненты к интенсивности диффузного рассеяния. Решена задача восстановления рельефа регулярно-неоднородной поверхности по результатам фурье-обработки амплитудного спектра диффузного рассеяния.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. На основании проведенных численных расчетов и сравнения с результатами теории возмущений установлено, что методы теории возмущений применимы для описания диффузного рассеяния рентгеновских лучей шероховатыми поверхностями лишь в области, где интегральная интенсивность диффузного рассеяния много меньше интенсивности зеркального отражения.

2. На основе спектров диффузного рассеяния и зеркального отражения с помощью непертурбативной теории установлена зависимость интенсивности зеркального отражения не только от среднеквадратичной высоты шероховатости, как в рамках теории возмущений, но и от длины их корреляции.

3. Установлены зависимости интенсивности зеркального отражения и диффузного рассеяния от амплитуды и длины корреляции шероховатостей в широком диапазоне углов падения.

4. Предложен и обоснован метод угла отсечки, основанный на измерении отношения интенсивностей зеркального отражения и диффузного рассеяния, на основе которого предложена методика экспресс-анализа статистических характеристик шероховатой поверхности.

5. Фурье-обработка амплитудного спектра диффузного рассеяния рентгеновских лучей позволяет восстановить нанорельеф регулярно-неоднородной поверхности с микронным разрешением в плоскости границы раздела.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов РСНЭ-97 (Москва-Дубна, 1997), на Всероссийском совещании "Рентгеновская оптика" (Нижний Новгород, 1998), на Второй Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и

нейтронов для исследования материалов РСНЭ-99 (Москва, 1999), на Всероссийском совещании "Рентгеновская оптика-2000" (Нижний Новгород, 2000) и изложены в работах [А1-А8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов и приложения, 143 страницы, содержит 27 рисунков и список литературы (134 названия).

Первая глава представляет собой обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе изложены основные уравнения непертурбативной теории и обсуждается разработка алгоритма решения задачи.

Третья глава посвящена анализу угловых спектров диффузного рассеяния случайно-неоднородными шероховатыми поверхностями, анализу получаемых зависимостей угловых спектров диффузного рассеяния от параметров шероховатостей и обсуждению возможности применения подходов, основанных на борновском приближении.

В четвертой главе изучено влияние вида корреляционной функции на угловые спектры рассеяния в рамках обобщенной модели шероховатой поверхности.

В пятой главе рассмотрен вопрос об использовании амплитудных угловых спектров отраженного рентгеновского излучения для восстановления рельефа регулярно-неоднородной поверхности.

В заключение сформулированы основные выводы работы.

Приложение содержит использованную в работе программу расчета интенсивности рассеянного излучения, написанную на языке С++, с соответствующими пояснениями.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, научная новизна и практическая значимость работы, сформулирована ее цель и представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава представляет собой обзор литературы по теме диссертации. В ней описаны основные принципы применения диффузного рассеяния рентгеновского излучения для изучения структуры поверхности и обсуждаются особенности экспериментального исследования диффузного рассеяния рентгеновских лучей. Рассмотрены основные методы описания морфологии поверхностей и границ раздела и основные характеристики поверхностей (среднеквадратичная величина шероховатостей и их корреляционная функция). В обзоре обсуждаются особенности угловых спектров рассеяния при малых углах падения рентгеновского пучка, близких к углу полного внешнего отражения, зеркальная и диффузная компоненты угловых спектров рассеяния, их зависимость от шероховатости поверхности (в частности, соответствующая зависимость множителя, аналогичного фактору Дебая-Валлера). Описаны особенности аномального рассеяния рентгеновских лучей (эффект Ионеды). Обсуждаются методы теоретического описания угловых спектров рассеяния, основанные на борновском приближении и борновском приближении искаженных волн, а также общий непертурбативный подход [4,5]. Наконец, описаны методы исследования когерентного рассеяния рентгеновских лучей, развиваемые в последние годы.

Вторая глава развивает теорию и методы решения задачи. В ней записаны основные уравнения непертурбативной теории как для амплитуд падающей, отраженной и преломленной волн, взаимодействующих с нерегулярной поверхностью, так и для интенсивностей; последние получаются для случайно-шероховатой поверхности путем соответствующего усреднения. Здесь показано, что основное уравнение можно разделить на отдельные уравнения для зеркальной и диффузной компонент. Такое

разделение оказывается удобным при численных расчетах; действительно, уравнение для диффузной компоненты не содержит дельтаобразных слагаемых, что существенно сокращает время и повышает точность вычислений. В этой же главе описана методика численного расчета угловых спектров рассеяния, обсуждаются методы численного решения уравнений непертурбативной теории и оценки погрешностей.

Третья глава посвящена изложению результатов численных расчетов угловых спектров рассеяния и анализу непертурбативного метода определения параметров случайно шероховатой поверхности.

Рис. 1. Угловые спектры интенсивности диффузного рассеяния СиК„ -излучения с длиной волны Л.=1.54А на поверхности образца со среднеквадратичной высотой шероховатостей а — 8А при значении длины корреляции / = 1 ОООй. для серии углов падения (в градусах).

На рис.1 представлены расчетные угловые спектры диффузного рассеяния на поверхности образца железа со среднеквадратичной высотой шероховатостей сг = 8А при фиксированном значении длины корреляции для различных углов падения. Из рис.1 видно, что с ростом угла падения интенсивность зеркального пика падает быстрее, чем интенсивность диффузного рассеяния вблизи зеркального пика. С ростом с эта тенденция проявляется более отчетливо, и интенсивность зеркально отраженной волны может стать меньше интенсивности диффузного рассеяния. Так, для о = 8А

при угле падения в0=2.8 град пик зеркального рассеяния практически пропадает.

На рис.2 показана зависимость формы угловых спектров диффузного рассеяния от угла падения при значении длины корреляции I = 5000А и при фиксированном значении а.

Рис. 2. Угловые спектры интенсивности (в отн. ед.) диффузного рассеяния СиК„ - излучения с длиной волны л=1 ,54а на поверхности образца со среднеквадратичной высотой шероховатостей а = 8А при значении длины корреляции I = 5000А для серии углов падения (в градусах).

Видно, что изменение длины корреляции шероховатостей приводит к одновременному изменению как зеркального, так и диффузного рассеяния. Уменьшение длины корреляции приводит к слабому уменьшению зеркально отраженной волны и резкому спаду интенсивности диффузного рассеяния на небольших углах.

На основе проведенных расчетов ниже показано, что борновское приближение искаженных волн неплохо описывает угловую зависимость интенсивности рассеянной волны лишь при достаточно малых значениях величин а и при ограниченных длинах корреляции и, соответственно, имеет )граничения по углам падения излучения.

о 10 1 1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -1Е-05 -1Е-06 -1Е-07 -1Е-08 -1Е-09 -1Е-10 -

Рис. 3. Зависимость интенсивности "(в отн. ед.) зеркально отраженной волны от угла падения (в градусах) для различных значений с= 2А, 4а, 6а и 8А (сплошная линия). Для сравнения приведены также результаты расчетов по приближенной формуле Дебая-Валера для ° = 4А, 6А и 8а (пунктир).

На рис.3 показана зависимость интенсивности зеркально отраженной волны от угла падения для различных значений ст (о= 2А, 4а, 6а и 8а). Для сравнения на графике приведены также результаты расчетов по приближенной формуле. Из рисунков видно, что при <т < 4А согласие между кривыми полученными из численного решения интегрального уравнения и приближенной формулы достаточно хорошее во всей области углов падения (0.6° <90 <4°). Для сг= 6А кривые расходятся при 90 >2°, для сг= 8А при 0О>1.5°. Как видно из рис.3, рост интенсивности зеркально отраженной волны по сравнению со значениями, получающимися из формулы, начинается тогда, когда интенсивность зеркально отраженной волны становится сравнимой с интенсивностью диффузного рассеяния. Интенсивность диффузного рассеяния с ростом угла падения спадает медленнее, чем интенсивность зеркального отражения. Это приводит к более быстрому спаду пунктирных кривых по сравнению с результатами точных расчетов.

Учет особенностей диффузного рассеяния рентгеновских лучей может позволить уменьшить объем требуемой информации и/или повысить точность извлекаемой информации. Одна из таких особенностей состоит в том, что вклад зеркальной компоненты в интегральную интенсивность волн, отраженных шероховатой поверхностью, падает с ростом угла падения и при его значении выше некоторого в'0 зеркальная компонента пропадает на фоне диффузного рассеяния. Значение угла отсечки в'0 существенно зависит от статистических характеристик шероховатостей, что можно использовать при обработке экспериментальных спектров. Следует отметить, что традиционные теории диффузного рассеяния, основанные на использовании различных вариантов теории возмущений, вообще говоря, нельзя использовать для решения указанной задачи, поскольку теория возмущений применима лишь в области, где интенсивность зеркально отраженной волны значительно превышает интенсивность диффузно рассеянных волн.

1Й1 1С? 1С?

10 101 ю2 10э 10" 105 10е ю7 10е 10» 10™

Рис .4. Зависимость отношения интенсивностей зеркально отраженной и диффузно рассеянной волн от угла падения (в градусах) при значении длины корреляции I = 1000А и различных значениях сг (от 1 до 13А). Сплошные кривые соответствуют численному решению общего уравнения, а пунктирные получены на основе асимптотической аппроксимационной формулы.

На рис.4 показана зависимость отношения пиковых интенсивностей зеркально отраженной и диффузно рассеянной волн от угла падения при фиксированном значении длины корреляции и различных значениях сг(от 1 до 13А). Из рисунка видно, что при ст<9А аппроксимационная формула для данной зависимости достаточно точна и может быть использована для обработки экспериментально измеряемых зависимостей.

На рис.5 показана зависимость отношения пиковых интенсивностей зеркально отраженной и диффузно рассеянной волн от угла падения при различных значениях длины корреляции / и при сг= 7А. Из рисунка видно, что асимптотическая аппроксимационная формула описывает зависимость указанного отношения от величины длины корреляции в широкой области углов падения.

Рис. 5. Зависимость отношения пиковых интенсивностей зеркально отраженной и диффузно рассеянной волн от угла падения (в градусах) при различных значениях длины корреляции / и значении сг = 7а. Сплошные кривые соответствуют численному решению общего уравнения, а пунктирные получены на основе асимптотической аппроксимационной формулы.

Таким образом, результаты проведенных численных расчетов показали, что асимптотические формулы хорошо аппроксимируют результаты точных расчетов в широкой области углов падения и значений статистических характеристик шероховатостей. Следовательно в рамках использованной нами

статистики шероховатостей, статистические характеристики шероховатостей легко определить из измерений отношения интенсивности зеркальной компоненты к интенсивности диффузного рассеяния на небольших углах или по методике угла отсечки.

В четвертой главе рассматриваются модели, позволяющие определять зависимость вида корреляционной функции от статистических свойств процессов, приводящих к образованию шероховатостей. Основное внимание уделено обобщенной модели шероховатых поверхностей [6], в которой принимается, что случайная величина определяющая шероховатость

поверхности, представляет собой сумму п скачков, причем число скачков п является случайной величиной, распределенной по пуассоновскому закону. Проведены расчеты корреляционной функции в прямом и обратном пространстве для различных значений параметров распределений - числа скачков, протяженностей отдельных кластеров и интервалов между двумя последовательными скачками. Расчеты позволяют проследить изменение вида корреляционной функции в зависимости от параметров, определяющих статистические свойства неоднородностей границ раздела. Рассчитанные таким образом корреляционные функции использованы при расчетах угловых спектров рассеяния рентгеновского излучения и получена зависимость спектров от вида корреляционной функции.

Пятая глава посвящена численному анализу непертурбативного метода определения параметров регулярно-неоднородной поверхности по угловым спектрам отраженного и рассеянного рентгеновского излучения. В настоящей главе обсуждается алгоритм восстановления рельефа поверхности по угловым спектрам амплитуды отраженных волн. Проведенные компьютерные эксперименты позволили оценить предельные возможности пространственного разрешения предлагаемого метода и оптимальные условия регистрации угловых спектров. В основе подхода лежит уравнение непертурбативной теории, связывающее угловые спектры амплитуд падающей

и отраженной волн. В качестве примера применения метода рассмотрены одномерные нерегулярности поверхности в виде суперпозиции прямоугольных выступов и в виде гладких осцилляций с характерной высотой Л и шириной Ь на плоской границе раздела.

Рис. 6. Серия исходных (пунктирные линии) и восстановленных из амплитудного углового спектра (сплошные линии) профилей неоднородностей границы раздела с характерной высотой 5-10 А и протяженностью 5-10 мкм.

На рис.6 показана серия исходных (пунктирные линии) и восстановленных из амплитудного углового спектра (сплошные линии) профилей неоднородностей границы раздела.

Из представленных графиков видно, что неоднородности с гладким профилем (а,б) восстанавливаются достаточно полно вплоть до осцилляций с периодом в 1 мкм и высотой 1 А (а). Неоднородности с резкими скачками профиля (в,г) также восстанавливаются достаточно детально в случае как симметричного, так и несимметричного профилей. Качество восстановления в значительной степени зависит от выбора угла падения, а также размера и шага сетки, выбранной для регистрации отраженной волны. При оптимальном выборе указанных параметров, регистрация отраженных волн в угловом диапазоне двух градусов позволяет надежно восстанавливать неоднородности

высотой в единицы-десятки ангстрем и продольным размером до одного

микрона.

Выводы.

Сформулируем основные результаты и выводы, полученные в работе.

1. На основе численного решения уравнений непертурбативной теории показано, что с ростом угла падения интенсивность зеркального пика падает быстрее, чем интенсивность диффузного рассеяния вблизи зеркального пика, причем с увеличением высоты шероховатостей эта тенденция усиливается. Установлена зависимость интенсивности зеркального отражения от длины корреляции шероховатостей, отсутствующая в рамках теории возмущений.

2. Показано, что борновское приближение искаженных волн неплохо описывает угловую зависимость интенсивности рассеянной волны лишь при не слишком больших значениях высот шероховатостей и ограниченных длинах корреляции и углах падения излучения. Непертурбативная теория рассеяния лишена этих недостатков, что позволяет рассчитывать спектры рассеяния в широком диапазоне углов и исследовать поведение диффузного рассеяния.

3. Предложен метод угла отсечки, основанный на измерении отношения пиков зеркального отражения и величины диффузного рассеяния. Определена зависимость угла отсечки от статистических характеристик шероховатостей поверхности (высоты шероховатостей и длины корреляции). Показано, что полученные асимптотические формулы хорошо совпадают с результатами точных расчетов.

4. Выполнены численные расчеты вида' корреляционной функции шероховатостей в рамках обобщенной модели шероховатой поверхностей. Рассчитаны угловые спектры интенсивности рассеянной волны при различных корреляционных функциях шероховатостей.

5. Показана возможность восстановления рельефа неоднородной поверхности по данным амплитудного спектра отражения. Показано, что существует однозначная корреляция между линейными размерами неоднородности и расстоянием между минимумами кривых, полученных в результате фурье-обработки спектра интенсивности, что позволяет получить информацию о характерных линейных размерах объекта.

6. Разработаны алгоритмы и программы численного решения уравнений непертурбативной теории для интенсивности рентгеновской волны, рассеянной шероховатыми поверхностями.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

AI. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Численное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на шероховатой поверхности без использования борновского приближения искаженных волн. Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов. РСНЭ-97, Москва-Дубна. Тезисы доклада, с.348.

А2. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Численное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на шероховатой поверхности без использования борновского приближения искаженных волн. В сборнике: Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов. РСНЭ-97, Москва-Дубна, с.51-56.

A3. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Применение непертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для определения статистических характеристик шероховатых поверхностей. Тезисы доклада.

Рентгеновская оптика. Всероссийское совещание, Нижний Новгород, 1998,с.121.

A4. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Применение непертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для определения статистических характеристик шероховатых поверхностей. В сборнике: Рентгеновская оптика. Материалы Всероссийского совещания, Нижний Новгород, 1998. Изд. Института физики микроструктур РАН, 1998, с.21-27.

А5. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Применение непертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для определения статистических характеристик шероховатых поверхностей. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1999, N1, с.37-41.

А6. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Восстановление рельефа поверхности по угловым спектрам отраженного и рассеянного рентгеновского излучения. Вторая нац. конф. по прим. Рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов. РСНЭ-99, Москва. Тез. докл., с. 137.

А7. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Восстановление рельефа поверхности по угловым спектрам отраженного и рассеянного рентгеновского излучения. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2000, N1, с.55-58.

А8. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Корреляционные функции шероховатых поверхностей в теории рассеяния рентгеновского излучения. В сборнике: Рентгеновская оптика-2000. Материалы Всероссийского совещания, Нижний Новгород, 2000. Изд. Института физики микроструктур РАН, 2000, с.88-95.

Цитированная литература

1. А.Мишетт, Оптика мягкого рентгеновского излучения. М.: Мир 1989, 351с.

2. Рентгеновская оптика и микроскопия. (Под ред. Г.Шмаля, Д.Рудольфа). М.: Мир, 1987,463с.

3. А.В.Андреев, Рентгеновская оптика поверхности, УФН, 1985, т.145, с.113-137.

4. A.V.Andreev, Theory of Х-гау scattering by rough surfaces without distorted wave approximation, Phys.Lett. A, 1996, v.219,No.5-6, p.349-354.

5. A.B. Андреев, Симметрийные свойства полей, отраженных шероховатыми поверхностями, ЖЭТФ, 1996, Т. 110, N. 6, С. 2111-2126.

6. A.V.Andreev, Correlation theory of x-ray reflection from rough surfaces, J.Phys. D: Appl.Phys., 1999, v.32, p.A193-A197.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Применение диффузного рассеяния рентгеновских лучей для исследования структуры и свойств поверхностей материалов.

1.2. Шероховатости поверхности и границ раздела. Корреляционная функция высот шероховатостей.

1.3. Особенности экспериментального исследования диффузного рассеяния рентгеновских лучей.

1.4. Угловые спектры отражения. Зеркальная и диффузная компоненты.

1.5. Эффект аномального отражения от поверхности (эффект Ионеды).

1.6. Ограничения, связанные с использованием борновского приближения. Непертурбативный подход.

1.7. Когерентное рентгеновское рассеяние.

1.8. Восстановление профиля рельефарегулярно-негшоскойграницы раздела.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ И ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ.

2.1. Основные уравнения непертурбативной теории диффузного рассеяния рентгеновских лучей.

2.1.1. Общие соотношения.л.

2.1.2. Основные параметры.

2.1.3. Анализ функции С( у).

2.1.4. Фурье-образ корреляционной функции Шк д — у).

2.2. Разделение уравнений для зеркальной и диффузной компонент.

2.3 .Методика численного расчета угловых спектров рассеяния.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕПЕРТУРБАТИВНОГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНО ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

3.1. Введение.,.

3.2. Основные уравнения.

3.3. Результаты непертурбативного расчета спектров рассеяния.

3.4. Сравнение с модифицированным борновским приближением.

3.5. Метод угла отсечки.

3.6. Использование численного моделирования в методе угла отсёчки.

3.7. Обсуждение результатов.

ГЛАВА 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

4.1. Введение.

4.2. Модель рассеяния.

4.3.Вычисление корреляционных функций.

4.4. ВЛИЯНИЕ ВИДА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ НА УГЛОВЫЕ СПЕКТРЫ РАССЕЯНИЯ.

ГЛАВА 5. НЕПЕРТУРБАТИВНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯРНО-НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПО УГЛОВЫМ СПЕКТРАМ ОТРАЖЕННОГО И РАССЕЯННОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

5.1. Основные уравнения и модель поверхности.

5.2. Определение характеристик неоднородности поверхности на основе расчета угловых спектров отражения.

Актуальность темы. Рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов конденсированными средами часто используется для исследований не только объемной структуры, но и поверхностей, границ раздела, тонких пленок и многослойных структур. Переход от оптических методов исследования структуры поверхности и границ раздела (см., например, [1-4]) к рентгеновским [5-10], в принципе, позволяет изучать особенности структуры с масштабами, сравнимыми с длиной волны рентгеновских лучей. В частности, измерения интенсивности отраженных и рассеянных волн позволяют определять толщину и электронную плотность слоев с межатомным разрешением по глубине; диффузного рассеяние от неидеальных границ служит важным источником получения информации о структуре границ раздела.

Морфология границы во многих случаях определяет возможности практического использования соответствующих приборов и устройств. Это в первую очередь относится к тонкопленочным многослойным твердотельным приборам на основе полупроводников, магнитных материалов и сверхпроводников и к рентгенооптическим системам. Особенно существенную роль морфология поверхности играет для квантово-размерных структур, в которых искажения поверхности могут существенно изменять электронные свойства структуры.

Один из важных вопросов в связи с этим состоит в определении связи морфологии поверхности с технологией приготовления структур. Установление этой связи требует развития методов определения характеристик поверхностей и границ раздела. Рентгеновские методы играют важную роль, поскольку они принадлежат к числу неразрушающих методов контроля и, кроме того, в принципе позволяют получать информацию непосредственно в процессе приготовления материала. По этим причинам развитию рентгеновских методов исследования поверхностной структуры уделяется сейчас большое внимание.

Цель работы. Основная цель работы состоит в применении непертурбативной (без использования теории возмущений) теории отражения для анализа диффузного рассеяния рентгеновских лучей случайно и нерегулярно однородными поверхностями. Расчеты спектров диффузного рассеяния дают возможность исследовать их зависимость от параметров шероховатой поверхности (их амплитуды и длины корреляции), разработать методы определения характеристик шероховатой поверхности из угловых спектров рассеяния и изучить возможности методов восстановления рельефа регулярно-неоднородной поверхности в рамках непертурбативного подхода. Научная новизна и практическая значимость. Использование численных методов позволило впервые продемонстрировать преимущества непертурбативной теории диффузного рассеяния рентгеновских лучей и рассчитать спектры рассеяния и их зависимость от параметров поверхности в области значений параметров, в которой получение явных аналитических решений оказывается невозможным. В частности, проведенные расчеты позволили обосновать метод угла отсечки и возможность использования в рамках этого метода приближенных асимптотических выражений, которое существенно упрощает процедуру определения статистических характеристик шероховатостей из измерений отношения интенсивности зеркальной компоненты к интенсивности диффузного рассеяния. Решена задача восстановления рельефа регулярно-неоднородной поверхности по результатам фурье-обработки амплитудного спектра диффузного рассеяния.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. На основании проведенных численных расчетов и сравнения с результатами теории возмущений установлено, что методы теории возмущений применимы для описания диффузного рассеяния рентгеновских лучей шероховатыми поверхностями лишь в области, где интегральная интенсивность диффузного рассеяния много меньше интенсивности зеркального отражения.

2. На основе спектров диффузного рассеяния и зеркального отражения с помощью непертурбативной теории установлена зависимость интенсивности зеркального отражения не только от среднеквадратичной высоты шероховатости, как в рамках теории возмущений, но и от длины их корреляции.

3. Установлены зависимости интенсивности зеркального отражения и диффузного рассеяния от амплитуды и длины корреляции шероховатостей в широком диапазоне углов падения.

4. Предложен и обоснован метод угла отсечки, основанный на измерении отношения интенсивностей зеркального отражения и диффузного рассеяния, на основе которого предложена методика экспресс-анализа статистических характеристик шероховатой поверхности.

5. Фурье-обработка амплитудного спектра диффузного рассеяния рентгеновских лучей позволяет восстановить нанорельеф регулярно-неоднородной поверхности с микронным разрешением в плоскости границы раздела.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов РСНЭ-97 (Москва-Дубна, 1997), на Всероссийском совещании "Рентгеновская оптика" (Нижний Новгород, 1998), на Второй Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов РСНЭ-99 (Москва, 1999), на Всероссийском совещании "Рентгеновская оптика-2000" (Нижний Новгород, 2000) и изложены в работах [А1-А8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и приложения, содержит 27 рисунков и список литературы (134 названия).

Основные результаты и выводы.

Сформулируем основные результаты и выводы, полученные в работе.

1. На основе численного решения уравнений непертурбативной теории показано, что с ростом угла падения интенсивность зеркального пика падает быстрее, чем интенсивность диффузного рассеяния вблизи зеркального пика, причем с увеличением высоты шероховатостей эта тенденция усиливается. Установлена зависимость интенсивности зеркального отражения от длины корреляции шероховатостей, отсутствующая в рамках теории возмущений.

2. Показано, Что борновское приближение искаженных волн неплохо описывает угловую зависимость интенсивности рассеянной волны лишь при не слишком больших значениях высот шероховатостей и ограниченных длинах корреляции и углах падения излучения. Непертурбативная теория рассеяния лишена этих недостатков, что позволяет рассчитывать спектры рассеяния в широком диапазоне углов и исследовать поведение диффузного рассеяния.

3. Предложен метод угла отсечки, основанный на измерении отношения пиков зеркального отражения и величины диффузного рассеяния. Определена зависимость угла отсечки от статистических характеристик шероховатостей поверхности (высоты шероховатостей и длины корреляции). Показано, что полученные асимптотические формулы хорошо совпадают с результатами точных расчетов.

4. Выполнены численные расчеты вида корреляционной функции шероховатостей в рамках обобщенной модели шероховатой поверхностей. Рассчитаны угловые спектры интенсивности рассеянной волны при различных корреляционных функциях шероховатостей.

5. Показана возможность восстановления рельефа неоднородной поверхности по данным амплитудного спектра отражения. Показано, что существует однозначная корреляция между линейными размерами неоднородности и расстоянием между минимумами кривых, полученных в результате фурье-обработки спектра интенсивности, что позволяет получить информацию о характерных линейных размерах объекта.

6. Разработаны алгоритмы и программы численного решения уравнений непертурбативной теории для интенсивности рентгеновской волны, рассеянной шероховатыми поверхностями. А*

В заключение я хотел бы выразить глубокую признательность моим научным руководителям Анатолию Васильевичу Андрееву и Александру Сергеевичу Илюшину за предложение интересной темы, внимание и постоянную помощь в работе.

Я также выражаю искреннюю благодарность Юрию Владимировичу Пономареву, Илье Рудольфовичу Прудникову и Ирине Анатольевне Никаноровой за многочисленные полезные обсуждения и поддержку в ходе выполнения работы.

Я благодарен всем сотрудникам кафедры физики твердого тела и кафедры общей физики и волновых процессов за внимание, доброжелательное отношение и интерес к работе.

1. А5. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Применение непертурбативной теории отражения рентгеновских лучей для определения статистических характеристик шероховатых поверхностей. Поверхность.

2. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1999, N1, с.37-41.

3. А7. А.В.Андреев, А.И.Звягин. Восстановление рельефа поверхности по угловым спектрам отраженного и рассеянного рентгеновского излучения. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2000, N. 1.

4. D.Ronnow, Determination of interface roughness cross correlation of thin films from spectroscopic light scattering measurements, J.Appl.Phys., 1997, 51, No. 8, p.3627-3636

5. R.F.Kopf, E.F.Schubert, T.D.Harris, RS.Becker, Photoluminescence ofGaAs quantum wells grown by molecular beam epitaxy with growth interruption, Appl.Phys.Lett., 1991, v.58,No.6, p.631-633.

6. A.N.Compton, S.K.Ellison, X-Rays in Theory and Experiment. Van Nostrand, New York, 1935.

7. V.E.Cosslett, W.C.Nixon, X-Ray Microscopy, New York: Cambridge Univ. Press, 1960.

8. А.Мишетт, Оптика мягкого рентгеновского излучения. M.: Мир 1989, 351с.

9. Рентгеновская оптика и микроскопия, под ред. Г.Шмаля, Д.Рудольфа, М.: Мир, 1987,463с.

10. G.Schmahl, X-ray microscopy, Nucl.Instr.Meth., 1983, v.208, p.361-365.

11. A.B. Андреев, Рентгеновская оптика поверхности, УФЫ, 1985, т. 145, с.113-137.

12. Small Angle X-Ray Scattering, ed. O.Glatter and O.Kratky, Acad. Press, New York, 1982.

13. В.М.Синайский, В.И.Сиденко, Рентгеновская рефлектометрия, ПТЭ, 1974, в.6, с.5-13.

14. S.Dietrich, A.Haase, Scattering of x-rays and neutrons at interfaces, Phys.Rep., 1995, v.260, p. 1-138.

15. S.K.Sinha, Reflectivity using neutrons or x-rays? A critical comparison, Physica B, 1991, v.173, p.25-34.

16. L.Nevot, P.Croce, Caracterisation des surfaces par reflexion rasantes de rayons X. Application а Г etude du polissage de quelques verres silicates, Rev.Phys.Appl., 1980, v.15, p.761-779.

17. S.Dietrich, H.Wagner, Critical surface scattering of X rays and neutrons at grazing angles, Phys.Rev.Lett., 1983, v.51, No.16, p.1469-1471.

18. L.G.Parratt, Surface studies of solids by total reflection of x-rays, Phys.Rev., 1954, v.95, No.2, p.359-369

19. R.Pynn, Neutron scattering by rough surfaces at grazing incidence, Phys.Rev.B, 1992, v.45, No.2, p.602-612

20. S.A.Stepanov, E.A.Kondrashkina, M.Schmidbauer, RKohler, J.-U.Pfeiffer, T.Jach, A.Yu.Souvorov, Diffuse scattering from interface roughness in grazing incidence X-ray diffraction, Phys.Rev. B, 1996, v.54, No.ll, p.8150-8162.

21. В.М.Синайский, В.И.Сидвнко, З.Г.Соловьева, в сб.: Аппаратура и методы рентгеновского анализа, 1973, в. 12, с.206.

22. A.V.Andreev, A.G.Michette, A.Renwick, Reflectivity and roughness of x-ray multilayer mirrors. Specular reflection and angular spectrum of scattered radiation, J.Mod.Optics, 1988, v. 35,No. 10, p. 1667-1687.

23. S.K.Sinha, M.K.Sanyal, S.K.Satija, C.F.Majkrzak, D.A.Neumann, H.Homma, S.Szpala, A.Gibaud, H.Morkoc, X-ray scattering studies of surface roughness of GaAs/AlAs multilayers, Physica B, 1994, v. 198, p.72-77.

24. G.T.Baumbach, S.Tixier, U.Pietsch, V.Holy, Grazing-incidence diffraction from multilayers, Phys. Rev B, 1995, v.51, p.16848-16859.

25. V.Holy, T.Baumbach, Nonspecular X-ray reflection from rough multilayers, Phys. Rev. B, 1994, v.49, p. 10668-10676.

26. А.М.Баранов, С.А.Терешин, И.Ф.Михайлов, Новый универсальный метод контроля параметров слоев и шероховатости поверхности в процессах вакуумного осаждения и травления, ЖТФ, 1997, т.67, № 8,62-64.

27. В.А.Бушуев, В.В.Козак, Влияние корреляции межслойных шероховатостей на дифракцию рентгеновских лучей в многослойных структурах, Кристаллография, 1997, т.42, в.5, с.809-817.

28. C.Deumie, R.Richier, P.Dumas, C.Amra, Multiscale roughness in optical multilayers: atomic force microscopy and light scattering, Appl.Opt., 1996, 35, N 28, p.5583-5594.

29. W.M.Plotz, K.Lischka, Characterization of thin films and multilayers by specular x-ray reflectivity, J. de Phys. Ill (France), 1994, v.4, No.9, p. 1503-1511.

30. T.Salditt, T.H.Metzger, J.Peisl, Kinetic roughness of amorphous multilayers studied by diffuse x-ray scattering, Phys.Rev.Lett., 1994, v.73, 16, p.2228-2231.

31. V.V.Kozak, V.A.Bushuev, Models of the correlated interfacial roughness multilayers and diffuse X-ray scattering, Proc. 3rd European Symposium X-ray topography and High Resolution Diffraction, Palermo, Italy, 1996, p.27

32. T.Salditt, H.Rhan, T.H.Metzger, X Jiang, Diffuse X-ray scattering of amorphous multilayers, J.Phys.III, 1994, v.4, No.9, p. 1573-1580.

33. P.A.Aleksandrov, N.E.Belova, S.S.Panchenko, I.X.Polandova, Si/Si02 interface-depth determination in glancing-incident X-ray diffraction experiments, Acta Crystallographica A, 1993, v.49, p.893-894.

34. P.Eisenberger, W.C.Marra, X-ray diffraction study of the Ge(01 reconstructed surface, Phys.Rev.Lett., 1981, v.46, No. 16, p. 1081-1084.

35. H.Rhan, U.Pietsch, Investigations of nanometre layer hetero-structures by X-ray grazing incidence diffraction, Phys.Stat.Sol.(a), 1988, v. 107, K93-K98.

36. J.Stettner, L.Schwalowsky, O.H.Seeck, M.Tolan, W.Press, Interface structure of MBE-grown CoSi2/Si/CoSi2 layers on Si (111): Partially correlated roughness and diffuse scattering, Phys.Rev. B, 1996, v.53, No.3, p. 1398-1412.

37. D.Y.Noh, Y.Hwu, H.K.Kirn, M.Hong, X-ray-scattering studies of the interfacial structure of Au/GaAs, Phys.Rev. B, 1995, v.51, No.7, p.4441-4448.

38. T.Salditt, T.H.Metzger, Ch.Brandt, U.Klemradt, J.Peisl., Determination of the static scaling exponent of self-affine interfaces by nonspecular x-ray scattering, Phys.Rev. B, 1995, v.51, No.9, p.5617-5627.

39. G.Palasantzas, J.Krim, Effect of the form of the height-height correlation function on diffuse x-ray scattering from a self-affine surface, Phys.Rev., 1993, v.48, No.5, p.2873-2877.

40. H.-N.Yang, T.-M.Lu., Inconsistency between height-height correlation and power-spectrum functions of scale-invariant surfaces for roughness exponent a~l, Phys.Rev. B, 1995, v.51, No.4, p.2479-2483.

41. J.Krim, G.Palasantzas, Experimental observations of self-affme scaling and kinetic roughening at sub-micron length scales, Int.J.Mod.Phys. B, 1995, v.9, No.6, P 599-632.

42. M.Tolan, G.Vacca, J.Wang, S.K.Sinha, Z.Li, M.H.Rafailovic, J.Sokolov,

43. A.Gibaud, H.Lorenz, J.P.Kotthaus, Thin polymer films on rough surface, Physica1. B, 1996, v.221, p.53-59.

44. M.Tolan, G.Vacca, S.K.Sinha, Z.Li, M.H.Rafailovich, J.Sokolov, H.Lorenz, J.P.Kotthaus, Si/Ge films on laterally structured surfaces: An x-ray study of conformal roughness, Appl.Phys.Lett., 1996, v.68, No.2, p.191-193.

45. W.Plotz, V.Holy, W.V.D.Hoogenhof, K.Lischka, X-ray characterization of semiconductor surfaces and interfaces, J. de Phys. Ill (France)., 1994, v.4, No.9, p. 1565-1571.

46. V.S.Speriosu, M.-A.Nicolet, J.L.Tandom, Y.C.M.Yeh, Interfacial strain in AlxGaixAs layers on GaAs , J.Appl.Phys., 1985, v.57, No.4, p. 1377-1379

47. W.C.Marra, P.Eisenberger, A.Y.Cho, X-ray total-extemal-reflection-Bragg diffraction: a structural study of the GaAs-As interface, J.Appl.Phys., 1979, 50, No.l 1, p.6927-6933.

48. D.Bahr, W.Press, RJebasinski, S.Mantl, X-ray reflectivity and diffuse-scattering study of CoSi2 layers in Si produced by ion-beam synthesis, Phys.Rev. B, 1993, v.47, No.8, p.4385-4393.

49. R.Chiarello, V.Panella, J.Krim, C.Tompson, X-ray reflectivity r adsorption isoterm study of fractal scaling in vapor-deposited films, Phys.Rev.Lett., 1991, v.67, No.24, p.3408-3411.

50. Vineyard, Grazing-incidence diffraction and distorted-wave approximation for the study of surfaces,. Phys.Rev. B, 1982, v.26, No.8, p.4146-4159.

51. M.Rauscher, T.Salditt, H.Spohn, Small-angle x-ray scattering under grazing incidence: The cross section in the distorted-wave approximation, Phys.Rev.B, 1995, v.52, No.23, p. 16855-16863.

52. S.K.Sinha, E.B.Sirota, S.Garoff, H.B.Stanley, X-ray and neutron scattering from rough surfaces, Phys.Rev.B, 1988, v.38, No.4, p.2297-2311.

53. S.K.Sinha, X-ray diffuse scattering as a probe for thin film and interface structure, J. de Phys. Ill (France), 1994, v.4, No.9, p. 1543-1557.

54. S.K.Sinha, Surface roughness by X-ray and neutron scattering methods, Acta phys. Polon,, 1996, v.89, N2, p.219-234.

55. W.W.V.D.Hoogenhof, D.G.K.de Boer, GIXA, a novel technique in near surface analysis, Mater. Sci.Forum, 1994, v.143-147, pt.3, p.1331-1335.

56. D.K.G.de Boer, Influence of the roughness profile on the specular reflectivity of x-rays and neutrons, Phys.Rev. B, 1994, v.49, No.9, p.5817-5820.

57. D.K.G.de Boer, A.J.G.Leenaers, Probing interface roughness by X-ray scattering, Physica B, 1996, v.221, 1-4, p. 18-26.

58. A.V.Andreev, Theory of X-ray scattering by rough surfaces without distorted wave approximation, Phys.Lett. A, 1996, v.219, No.5-6, p.349-354.

59. Андреев, Симметрийные свойства полей, отраженных шероховатыми поверхностями, ЖЭТФ, 1996, Т. 110, N. 6, С. 2111-2126.

60. Андреев, И.Р. Прудников, Диффузное рассеяние рентгеновских лучей на многослойной структуре с шероховатыми границами раздела, Кристаллография, 1996, т.41, № 2, с.220-229.

61. М.Борн, Э.Вольф, Основы оптики, М.: Наука, 1970.71 .Y.Yoneda, Anomalous surface reflection of X-rays, Phys. Rev., 1963, v. 131, p.2010-2013.

62. N.Guentert, Study of the anomalous surface reflection of X-rays, J.Appl.Phys., 1965, v.36, No.4, p.1361-1366.

63. A.N.Nigam, Origin of anomalous surface reflection of X-rays, Phys. Rev. A, 1965, v.138, N0.4, p.l 189-1191.

64. B.F.Warren, J.S.Clarke, Interpretation of the anomalous surface reflection of X-rays. J.Appl.Phys., 1965, v.36, No.4, p.324-325.

65. Б.М.Ровинский, В.М.Синайский, В.М.Сиденко, Аномальное отражение рентгеновских лучей, ФТТ, 1972, т. 14, в.2, с.409-412.

66. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

67. G.W.Stroke, An Introduction to Coherent Optics and Holography, New York: Academic Press, 1966.

68. Laser Speckle and Related Phenomena, ed. J.C.Dainty, Berlin: Springer, 1984.

69. E.Jakeman, P.N.Pusley, J.M.Vaughan, Opt.Commun., 1976, v. 17, p.305-308.

70. M.Sutton, S.G.J.Mochrie, T.Greytak, S.E.Nagler, L.E.Berman, G.A.Held, G.B.Stephenson, Observation of speckle by diffraction with coherent X-rays, Nature (London), 1991, v.352, p.608-610.

71. Z.H.Cai, B.Lai, W.B.Yun, I.McNulty, K.G.Huang, T.P.Russell, Phys. Re v. Lett., Observation of X-ray speckle by coherent scattering at grazing incidence, 1994, v.73, p.82-85.

72. S.Brauer, G.B.Stephenson, M.Sutton, R.Bruning, E.Dufresne, S.G.J.Mochrie, G.Grubel, J.Als-Nielsen, D.L.Abernathy, X-ray intensity fluctuation spectroscopy observations of critical dynamics in Fe3Al, 1995, Phys.Rev.Lett. v.74, p.2010-2013.

73. H.Dosch, B.W.Batterman, D.C.Wack, Depth-controlled grazing incidence diffraction of synchrotron X radiation, Phys.Rev.Lett., 1986, v.56, No.l 1, p. 1144-1147.

74. I.K.Robinson, Synchrotron X-ray scattering studies of semiconductor (111)surface reconstruction, J.Vac.Sci.Technol. A, 1986, v.4, No.3,1309-1314.

75. I.K.Robinson, Crystal truncation rods and surface roughness, Phys.Rev. В, 1986, v.33,No.6, 3830-3836.

76. T.Salditt, H.Rhan, T.H.Metzger, J.Peisl, R.Schuster, J.P.Kotthaus, X-ray coherence and ultra-small angle reflection at grazing incidence and exit angles, Z.Phys. B, 1994, v.96, No.2, p.227-230.

77. S.K.Robinson, R.Pindak, R.M.Fleming, S.B.Dierker, K.Ploog, G.Griibel, D.L.Abernathy, J.Als-Nielsen, Observation and explanation of one-dimensional X-ray speckle patterns from synthetic multilayers, Phys.Rev. B, 1995, v. 52, p.9917-9924.

78. S.B.Dierker, RPindak, RM.Fleming, I.K.Robinson, L.Berman, X-ray photon correlation spectroscopy study of Brownian motion of gold colloids in glycerol, Phys.Rev.Lett., 1995, v.75, p.449-452.

79. A.Vartanyants, J.A.Pitney, J.L.Libbert, I.K.Robinson, Reconstruction of surface morphology from coherent x-ray reflectivity, Phys.Rev. B, 1997, v.55, No. 19,p. 13193-13202.

80. A.Snigirev, I.Snigireva, V.Kohn, SKuznetsov, I.Schelokov, On the possibilities of X-ray phase contrast microimaging by coherent high-energy syrichrotron radiation, Rev.Sci.Instr., 1995, v.66, No. 12, 5486-5492.

81. I.Schelokov, O.Hignette, С.Raven, A.Snigirev, I. Snigireva, A.Souvorov, X-ray interferometry technique for mirror and multilayer characterization, SPIE, 1996, v.2805, p.282-292.

82. C.Raven, A.Snigirev, A.Koch, I. Snigireva, V. Kohn, X-ray tomography with microwave spatial resolution, SPIE, 1997, v.3149, p. 140-148.

83. C.Raven, A.Snigirev, I. Snigireva, P.Spanne, A.Souvorov, V. Kohn, Phase-contrast microtomography with coherent high-energy synchrotron x-rays, Appl.Phys.Lett, 1996, v.69,No,13, 1826-1828.

84. A.S.Krylov, A.V.Vvedenskii, Software package for radial distribution function calculation, J. Non-Cryst. Sol., 1995, v. 192-193, p.683-687.

85. А.А.Самарский. Введение в численные методы. M.: Наука, 1987.

86. Н.Н.Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978.

87. С.Г.Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз,1959.

88. Y.Lepetre, E.Ziegler, I.K.Schuller, Microcleavage transmission electron microscopy applied to the interfacial structure of multilayers and microstructure of small particles on a substrate, Appl.Phys.Lett., 1987, v. 50, No.21, p. 1480-1481.

89. A.V.Andreev, Correlation theory of x-ray reflection from rough surfaces, J.Phys. D: Appl.Phys., 1999, v.32, p.A193-A197.

90. С.М.Рытов, Ю.А.Кравцов, В.И.Татарский, Введение в статистическую радиофизику, часть П, М.: Наука, 1978.

91. D.G.Steams, The scattering of x-rays from nonideal multilayer structures, J. Appl. Phys., 1989, v.65, No.2, p. 491-506.

92. J.Daillant, O.Belogrey, Surface scattering of x-rays in thin films, J. Chem. Phys., 1992, v. 97, No.8, p. 5824-5836.

93. D.E.Savage, J.Kleiner, N.Schimke, Y.-H.Phang, T.Jankowski, J.Jacobs, R.Kariotis, M.G.Lagally, Determination of roughness correlations inmultilayer films for x-ray mirrors, J. Appl. Phys., 1991, v.9, No.3, p. 14111424.

94. L.G.Parratt, Surface studies of solids by total reflection of x-rays, Phys. Rev., 1954, v.95, No.2, p. 359-369.

95. T.Salditt, T.H.Metzger, J.Peisl, Kinetic roughness of amorphous multilayers studied by diffuse x-ray scattering, Phys.Rev.Lett., 1994, v. 73, No. 16, p.2228-2231.

96. E.Spiller, D.Stearns, M.Krumrey, Multilayer x-ray mirrors: Interfacial roughness, scattering, and image quality, J.Appl.Phys., 1993, v.74, No. 1, p.107-118.

97. V.Pietsch, T.Barberka, W.Mahler, T.H.Metzger, X-ray diffuse scattering from lead stearate multilayers, Thin Solid Films, 1994, v.247, No. P.230.

98. D.K.G.de Boer, Glancing-incidence X-ray fluorescence of layered material, Phys. Rev. B, 1991, v.44, No.2, p.498-511.

99. W.Press, M.Tolan, J.Stettner, O.H.Seeck, J.P.Schlomka, V.Nitz, L.Schwalowsky, P Muller-Buschbaum, D.Bahr, Roughness of surfaces and interfaces, Physica В, 1996, v.221, No. 1 -4, p. 1 -9.

100. R.Block, L.Brugemann, W.Press, High-resolution small-angle x-ray diffraction studies of evaporated silicon and germanium layers, J.Phys. D, 1989, v.22, No.6, p.l 136-1142.

101. T.Salditt, H.Rhan, T.H.Metzger, Kinetic roughness of amorphous multilayers studied by diffuse X-ray scattering, Phys.Rev.Lett., 1994, v.73, No. 16, p.2228-2231.

102. А.В.Андреев, И.Р.Прудников, Отражение рентгеновских лучей от двумерных многослойных структур. Вторая нац. конф. по прим. рентгеновского, синхротронного излучений, электронов и нейтронов для исследования материалов. РСНЭ-99, Москва. Тез. докл., с. 175.

103. W.Weber, В. Lengeler, Diffuse scattering of hard x-rays from rough surfaces, Phys.Rev. B, 1992, v.46, No. 12, p.7953-7956.

104. O.N.Guentert, Angular distribution of specularly reflected X-rays from thin films, Phys.Rev. A, 1965, v. 138, No.3, p.732-736.

105. H.-N. Yang, A.Chan, G.-C. Wang, Examination of the multilevel difiractic model for interface roughness characterization by scanning tunneling microscopy, J.Appl.Phys., 1993, v.74, No.l, p. 101-104.

106. E. Spiller, Characterization of multilayer coatings by x-ray reflection, Rev.Phys.Appl., 1988, v.23, No.10, p.1687-1700.

107. D.L.Rosen, D. Brown, J. Gilfrich, P. Burkhalter, Multilayer roughness evaluated by X-ray reflectivity, J.Appl.Cryst., 1988, v.21, No.2, p.136-144.

108. H.Dosch, Critical Phenomena at Surfaces and Interfaces, Springer Tracts in Modern Physics, v. 126, Berlin: Springer, 1992.

109. O.N.Guentert, Angular distribution of specularly reflected X-rays from thin films, Phys.Rev. A, 1965, v. 138, No.3, p.732-736.

110. H.Rhan, U.Pietsch, S.Rugel, H.Metzger, J.Peisl, Investigations of semiconductor superlattices by depth-sensitive x-ray methods, J. Appl. Phys., 1993, v. 74, No.l, p. 146-152.

111. A.P.Payne, B.M.Clemens, Influence of roughness distributions and correlations on X-ray diffraction from superlattices, Phys.Rev.B. 1993. v.47, No.4, p.2289-2300.

112. H.Dosch, Evanescent X-rays probing of surface-dominated phase transitions, Int.J.Mod.Phys., 1992, v.6,No,17, p.2773-2808.