Принцип максимума в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами с поточечными фазовыми ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Математическая теория оптимального управления исследует явления, процессы и системы, на которые можно воздействовать, иными словами, которыми можно управлять. Цель теории — создать методы и правила выбора управляющего воздействия для получения наилучшего в заданном смысле результата.

Классический раздел теории оптимального управления - вариационное исчисление - создавался многими великими математиками прошлого, в частности Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном, Якоби, Вейерштрассом, Гильбертом и другими. Принято считать датой рождения вариационного исчисления 1696 год, когда Иоганн Бернулли привлек внимание математиков того времени к задаче о брахистохроне, задаче, которую Готфрид Лейбниц назвал прекрасной и до сих пор неслыханной. Вариационное исчисление оказало значительное воздействие на современное естествознание: в виде вариационных принципов формулируются основные положения механики и физики. Вариационное исчисление явилось сильным инструментом при решении многих практических задач. Тем не менее в современных технических науках, а также в математической экономике стали возникать задачи оптимизации, не поддающиеся или плохо поддающиеся решению методами вариационного исчисления. Для этих задач типично наличие ограничения u(t) G ft на управляющее воздействие u(t), где ft — заданное подмножество R", которое в отличие от классического случая может быть замкнутым. При этом на некоторых временных интервалах u{t) может принимать граничные значения. Такие ограничения естественны, поскольку в качестве управления u(t) или его компонент выступают угол поворота руля, тяга двигателя, распределение ресурсов и т.п.

Для решения этих новых задач в 60-е годы был разработан специальный математический аппарат — родился знаменитый принцип максимума Понтрягина, созданный Л.С.Понтрягиным и его сотрудниками В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко. Тем самым было положено начало развитию нового современного этапа теории оптимального управления.

Специфику задач оптимального управления в контексте общей теории оптимизации можно понять, рассмотрев аналогичные конечномерные задачи, когда вместо функции u(t) ищется вектор и = (ui,.,ujt) Е Пусть Ф(п) — вещественная функция и отыскивается значение и0 G ft С Rfc, для которого Ф(и) минимально: Ф(и°) < Ф(«) для и £ ft. Если и0 — внутренняя точка множества ft, то

Этот случай аналогичен задачам вариационного исчисления, а указанное необходимое условие — основному необходимому условию вариационного исчисления — уравного управления, включающая принцип максимума Понтрягина, исследует ситуации, аналогичные этому случаю. нению Эйлера.

Если и° лежит на границе множества ft, то это условие может не выполняться и тогда нахождение значения и0 сильно усложняется. Современная теория оптималь

Важно заметить, что из принципа максимума Понтрягина легко следуют основные необходимые условия классического вариационного исчисления.

Появление принципа максимума Понтрягина, который далее называется просто принципом максимума, породило серию работ, развивающих теорию оптимального управления в разных направлениях. Остановимся на одном из них.

Авторы принципа максимума рассматривали объекты управления, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вскоре выяснилось, что для объектов другой природы, которые описываются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, интегральными уравнениями разных типов и уравнениями в частных производных, необходимые условия оптимальности имеют форму аналогичную принципу максимума Понтрягина. Математические модели объектов управления могут содержать разные комбинации уравнений упомянутых и других типов. По-видимому, единственным средством объединения методов исследования различных рассматриваемых математических моделей служит переход на более высокий уровень абстракции с использованием языка и аппарата функционального анализа. Этот путь привел к рождению абстрактных теорий оптимального управления. Для этих теорий характерен выбор в качестве основного объекта изучения некоторой абстрактной модели, описываемой языком функционального анализа. Полученные результаты предлагается затем интерпретировать применительно к тем конкретным моделям, с которыми сталкивается исследователь. Абстрактная теория делает более прозрачными основные идеи и позволяет заменить математически насыщенный полнообъемный вывод результата существенно более легковесной процедурой интерпретации готовой абстрактной теоремы. Она позволяет получить новые и существенно дополнить старые результаты. Ценность абстрактной теории определяется широтой охвата разных конкретных ситуаций и удобством ее применения. Подобные абстрактные теории были построены Болтянским, Гамкрелидзе и Харатишвили, Дубовицким и Милютиным, Матвеевым и Якубовичем, Neistadt, Halkin и др.

Необходимые условия экстремума первого порядка, в том числе принцип максимума , играют важную роль и в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.1 Нахождению таких условий посвящено очень много работ( А.Г.Бутковский, Р.Габасов, В.А. Дыхта, А.И.Егоров, Ю.В.Егоров, Ф.М.Кириллова, К.А.Лурье, В.И.Плотников, Т.К.Сиразетдинов, В.И.Сумин, М.И.Суми] С.Ф.Морозов, JI.В.Петухов, В.А.Троицкий, А.Л.Лихтарников, А.В.Фурсиков, В.Я.Ривк: О.В.Васильев, Ю.С.Осипов, В.А.Срочко, В.А.Якубович, А.С.Матвеев, В.А.Брусин, J.L.Lions, V.Barbu, I.Ekeland, R.Temam, H.O.Fattorini, J.F.Bonnans etc.) Эта область остается сферой интенсивной разработки и в настоящее время. В подтверждение сошлемся на содержание журнала SIAM Journal on Control and Optimization, где за последние три года опубликовано 11 статей по обсуждаемой тематике (из них 5 в 2000 году). Близкая картина наблюдается и в других международных журналах подходящего профиля. К темам, вызывающим сейчас наибольший интерес, относятся, на

1Этим термином обозначают системы, состояние которых в заданный момент времени описывается бесконечным набором чисел, например, функцией, в отличие от систем с сосредоточенными параметрами, состояние которых описывается конечным набором. Типичная система с распределенными параметрами описывается уравнением в частных производных. пример, необходимые условия оптимальности высших порядков, принцип максимума в случае управлений, влияющих на коэффициенты при старших производных дифференциального оператора, либо управлений, входящих в граничные условия типа Дирихле или начальные данные Коши, численные методы решения задач оптимального управления, связанные в частности, с принципом максимума. Значительным и устойчивым интересом пользуются и задачи с так называемыми поточечными фазовыми ограничениями2 , исследованию которых посвящена и данная диссертация.

Прежде чем двигаться дальше, поясним использованный термин и введем ряд сопутствующих понятий. Для этого рассмотрим простейший объект управления, описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением x(t) = f[x(t),u(t)}, u(t) е К, t<E{0,T). (1)

Здесь x(t) £ Rra - состояние (фазовая переменная), u(t) £ Rm - управление, t - время и К - заданное множество допустимых управлений. Процесс - это пара функций, удовлетворяющих соотношениям (1); с неформальной точки зрения процесс - это вариант развития событий для данного объекта управления (вариант управления + отвечающая ему реакция объекта). Задача оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала, например,

Jo'■= / <po[x(t),u(t)]dt Jo на множестве всех процессов, удовлетворяющих определенным требованиям. Их обычно называют ограничениями. Ограничение может, например, состоять в постановке граничных условий ж(0) = а, х(Т) = 6, (2) где векторы а и Ъ заданы. В этом случае объект требуется оптимальным образом перевести из заданного начального в заданное конечное состояние. Требование не превышать назначенного лимита расхода топлива (энергии) часто удается записать в виде т f r[t,x(t),u(t)]dt< 7, (3)

Jo где r(t) и 7 - заданные функции и константа, соответственно. Если в выражениях, задающих ограничение,присутствует только фазовая переменная ж(-), это ограничение называют фазовым. Если присутствует как ж(-), так и «(•), его называют смешанным. Так ограничение (2) - фазовое, а (3) - смешанное. Типичный пример поточечного фазового и смешанного ограничений для объекта (1) - это условия g[x(t)} <0, V* £ [0,Т] и p[x(t),u(t)] < 0,Vf £ [0,Т] (4)

2 Им, например, посвящено 5 из упомянутых 11 статей в SIAM Journal on Control and Optimization. соответственно. Функции д(-) и р(-) заданы. Первое из них требует, чтобы состояние x(t) все время оставалось в заданном подмножестве G := {х : д{х) < 0} фазового пространства. Второе из них, во-первых, означает, что множество допустимых управлений Км de facto переменно и определяется текущим состоянием К* = K*(x(t)) := {u £ К : p[x(t),u] < 0} и, во-вторых, требует, чтобы состояние оставалось в множестве {ж : К*(х) ф 0}. (В принятой общности рассмотрения, смешанное ограничение из (4) обобщает фазовое.) Эпитет поточечное подчеркивает, что ограничение накладывается в любой точке из области изменения независимой переменной t. Поточечные ограничения задаются бесконечной (континуальной) системой соотношений, в то время как ограничения (2) и (3) молено выразить конечной системой скалярных равенств и неравенств. Эти свойства выделяют два общих класса ограничений, которые безусловно осмысленны и применительно к системам с распределенными параметрами.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений задачи с поточечными фазовыми и смешанными ограничениями начали исследоваться уже вскоре после открытия принципа максимума. Например, задача с фазовыми ограничениями рассматривается в одной из глав основополагающей моногафии[31]. В целом этому направлению были посвящены многочисленные исследования. Среди них особо выделим цикл работ А.Я.Дубовицкого и А.А.Милютина(см.[15] и приведенный там список публикаций), в котором была построена наиболее полная и законченная теория принципа максимума для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Поточечные ограничения вида (4) заметно усложняют эту теорию, приводя к эффектам, не имеющим аналога в случае отсутствия таких ограничений. Это отражается уже на самой формулировке результата. Например, в [15] показано, что в общем случае поточечных смешанных ограничений полные необходимые условия оптимальности первого порядка формулиуются в виде бесконечного набора принципов максимума, организованных в сложную иерархическую систему. В качестве другого примера укажем, что в общем случае как фазовых, так и смешанных поточечных ограничений в формулировке принципа максимума появляются меры. Их можно трактовать как множители Лагранжа, связанные с этими ограничениями. Имеются и чисто технологические усложнения, касающиеся процедуры вывода необходимого условия. Например в общем случае поточечных смешанных ограничений этот вывод потребовал тонкого анализа специальных уравнений относительно элементов простанства, сопряженного L00, то есть относительно объектов, об "устройстве" которых в целом известно немного. Заслуга в преодолении соответствующих проблем и разработке аппарата такого анализа принадлежит А.Я. Дубовицкому и А.А. Милютину. Некоторые альтернативные идеи были позднее предложены в [25].

По сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями, для систем с распределенными параметрами задачи с поточечными фазовыми и смешанными ограничениями начали исследоваться существенно позднее (первые результаты появились по-видимому в 70-80х годах); на данный момент теория принципа максимума развита для них существенно менее полно и далека от завершения. Известные решения таких задач существенно опираются на специфику системы уравнений или ограничений и не исчерпывают проблемы в целом. Например, до сих пор мало внимания уделялось задачам с поточечными смешанными ограничениями общего вида. (Автор может указать лишь работу [42], где, однако, установлен не принцип максимума, а более слабое необходимое условие оптимальности - по терминологии [14] - уравнение Эйлера задачи оптимального управления. Регулярная (т.е. не общего вида) задача с поточечными смешанными ограничениями рассматривалась в [36] для полулинейного уравнения эллиптического типа второго порядка в предположениях, гарантирующих однозначную разрешимость изучаемой граничной задачи относительно состояния.) Автору неизвестны работы, в которых задачи с поточечными фазовыми ограничениями рассматривались бы для уравнений в частных производных порядка выше второго. В аналогичных исследованиях, связанных с уравнениями порядка невыше второго, рассматривались, по-видимому, исключительно уравнения параболического([41],[43],[47],[55],[58]), гиперболического и эллиптического ти-пов([49],[56],[37]). В параболическом и эллиптическом случаях системы уравнений по-видимому не исследовались. При этом во всех известных автору работах накладывались условия, гарантирующие, что управляемая система несингулярна в смысле Ж.Л.Лионса. Соответственно, автору неизвестны исследования, где рассматривалась бы сингулярная система и поточечные фазовые или смешанные ограничения.

Поясним, что управляемая система называется сингулярной(тю Ж.Л.Лионсу), если некоторым управлениям не соответствует никакое состояние, либо, напротив, таких состояний много ( в том числе, бесконечно много), либо состояние одно, но не-устойчивое(малое возмущение управления вызывает немалое возмущение состояния). Эффект сингулярности не является надуманным. Как показано, например, в [23] существует много имеющих прикладное значение сингулярных задач оптимального управления. Приведем пример сингулярной системы ([23])

-Az - z3 = и(х), х € ft С ИТ, п< 3; z\dQ = 0. (5)

Здесь А - оператор Лапласа, и(х) £ I - управление, z{x) £ R - состояние и Q -ограниченная область с гладкой границей dil. Известно[45], что для элементов и(-) некоторого плотного в 1/2 (О) множества задача (5) имеет бесконечно много решений z(-). (В [45] выдвинута, но не доказана гипотеза, что это свойство имеет место для всех и(-) £ £2(0). Эта гипотеза доказана в [46] для близкого уравнения

Аг — |z]1 z — и(х), 7 > 0.

Для эволюционных уравнений сингулярность часто состоит в том, что для некоторых управлений решение граничной задачи не существует на всем рассматриваемом временном интервале (решение "разрушается" за конечное время). В случае сингулярной системы применение "классической" теории оптимального управления системами с распределенными параметрами либо затруднительно, либо невозможно [23].3

3Отметим, впрочем, что с точки зрения целого ряда абстрактных теорий оптимального управления, особенно развитых в Советском Союзе, сингулярность сама по себе не является затруднением. Однако для этих теорий проблему составляет уже само их применение к системам с распределенными параметрами. Эти теории создавались в основном на базе опыта, накопленного при исследовании систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В то же время по сравнению с этим случаем вывод принципа максимума для систем с распределенными параметрами имеет существенную специфику .

Разработке специальных методов, применимых к исследованию задач оптимального управления сингулярными распределенными системами, были посвящены работы Ж.Л.Лионса, И.Экланда, П.Марселини, Ж.Моссино, П.Ривера, В.И.Сумина, А.В.Чернова и других авторов. Следует однако отметить, что в подавляющем большинстве упомянутых работ рассматривалась простейшая постановка задачи. Она характеризуется тем, что множество допустимых процессов, то есть процессов, среди которых ищется минимум некоторого функционала, описывается только дифференциальным уравнением и связанными с ним граничными условиями. Случай, когда в описании множества допустимых процессов участвуют еще какие-то дополнительные ограничения практически не исследовался. При этом случай, когда в число этих дополнительных ограничений входят поточечные фазовые или смешанные ограничения, по-видимому, до сих пор вообще не рассматривался.

Диссертация посвящена развитию теории оптимального управления системами с распределенными параметрами применительно к задачам, в постановке которых присутствуют поточечные фазовые и смешанные ограничения. Цель работы заключалась в проведении исследований, не ограниченных требованием несингулярности управляемой системы. Другими словами, предполагалось изучить ряд не рассматривавшихся ранее случаев, в том числе, систем уравнений и уравнения в частных производных порядка выше второго, в предположениях, не исключающих сингулярность системы. Более того, в цели работы входило развитие общих методов исследования подобных задач и отработка схемы применения этих методов. Остановимся подробнее на последнем обстоятельстве. В настоящее время известен целый ряд общих подходов к получению принципа максимума для систем с распределенными параметрами (А.И.Егоров, Ю.В.Егоров, В.И.Плотников, Т.К.Сиразетдинов, М.И.Сумин, В.А.Якубович, А.С.Матвеев, H.O.Fattorini). Данная работа развивает подход Матвеева-Якубовича. Этот подход оформлен в виде абстрактной теории. Эта теория была предложена В.А. Якубовичем и впоследствии развита в различных направлениях в сотрудничестве с учениками. В частности в исследованиях, А.С.Матвеева [25],[27] эта теория была доработана и адаптирована применительно к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами и поточечными фазовыми и смешанными ограничениями. Данная диссертация отталкивается от указанных исследований.

Переходя к подробностям, отметим в начале, что любая абстрактная теория оптимального управления реализует компромисс между двумя требованиями. Одно из них - широта охвата различных ситуаций, другая - удобство и простота применения. Для систем с распределенными параметрами этот компромисс особо сложен. Это неудивительно, так как для них возникает очень много разнообразных ситуаций. В [46] компромисс был достигнут на платформе первого требования - широта охвата -в большей степени, чем второго - простота применения. Точнее платой за большую общность было некоторое усложнение схемы применения теории к определенному классу задач. Остановимся на деталях этого компромисса.

Аксиоматика любой абстрактной теории отражает и фиксирует определенные свойства изучаемых объектов. Чтобы охватить много объектов, эти свойства должны быть достаточно общими, "слабыми" и их должно быть немного. Вместе с тем эти свойства должны быть достаточно "сильными", чтобы на их основе молено было построить содержательную теорию. Мы не будем вдаваться в обсуждение всех свойств задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые были взяты за основу предложенной в [27] абстрактной теории. Остановимся лишь на тех свойствах, которые интересны для характеристики данной работы.

Основой для упомянутой теории послужили, в частности, следующие наблюдения.

1). Для дифференциальных уравнений в частных производных как правило можно корректно определить понятие старших производных.

2). Распространена ситуация, когда в соответствующей задаче оптимального управления старшие производные фигурируют только в самом дифференциальном уравнении; в других ограничениях задачи, в частности, в поточечных фазовых и смешанных ограничениях они не участвуют.4

3). Оператор вложения функционального пространства, норма которого оценивает функции вместе со всеми производными вплоть до упоминавшихся старших, в аналогичное пространство, норма которого старшие производные не оценивает, как правило обладает определенными свойствами компактности.

Отметим, впрочем, что во многих случаях осторожная формулировка последнего свойства излишня и можно говорить просто о компактности оператора вложения. В качестве иллюстративного примера рассмотрим задачу оптимизации для уравнения эллиптического типа

Az(x) = f[x,z(x),Vz{x),u(x)),x € = 0, (6) д[х,г(х)^г(х)] < 0,Vx G П,и(х) G К, а.а. х <Е О. (7)

J z(x), Vz(x), u(x)]dx —» min. (8) a

Здесь u(x) - управление, z(x) - состояние, x - независимая переменная, ft С Rn - заданная ограниченная область с гладкой границей dVL, множество К, а также функции /(•),</(•) и ip(-) заданы, а.а. означает для почти всех. Старшими являются вторые производные функции z(-). Эти производные отсутствуют как в ограничениях (7), так и в функционале (8). В качестве пространства функций, норма которого оценивает производные z(-) вплоть до старших, естественно взять, например, пространство Соболева < р < сю). В качестве пространства, в котором отсутствует аналогичная оценка старших производных, можно взять W^(ft). Хорошо известно, что для ограниченной области ft вложение W^(f2)C,W^(ft) компактно.5

4Строго говоря, это свойство не универсально. В этой связи его молено трактовать как описание класса задач, на который ориентирована обсуждаемая абстрактная теория.

J Легко впрочем привести примеры, демонстрирующие, что компактность зависит не только от порядка производных , учитываемых при определении нормы. Например, для задачи (1)-(4) в качестве пространств, в которых старшие производные оцениваются и, соответственно, не оцениваются, можно взять PF* ([0, Т] —>• R") и С([0,Т] —> IR").Тогда вложение одного в другое W^ (Z,C не компактно. Отметим в этой связи, что при формулировке свойства 3) в целях упрощения текста были

Итак мы привели пример задачи, для которой осторожность в формулировке свойства 3) излишня: можно говорить просто о компактности оператора вложения. Теперь приведем противоположный пример. Много подобных примеров связано с системами гиперболического типа, в частности, системами дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического типа [32]. Такими системами уравнений описывается к примеру динамика плоских электромагнитных волн(уравнения Максвелла) [32]. Все принципиальные эффекты молено увидеть на примере следующей простой задачи dz = f[x,t,z{x,t),u(x,t)\,x G [0,1],* € [0,T],z|f=o = 0, (9) g[x,t,z(x,t)} <0,Vx(E [0,1],* € [0, T], и(ж, *) в К a.a.(x,t) £ QT := [0,1] x [0,T]. (10) i т j J <p[x,t, z{x}t),u(x,t)]dxdt —» min (11) о 0

Здесь u(x,t) £ R - управление, z(x, t) G К. - состояние, x и t - независимые переменные, множество К и функции /(•), д(-), (/>(•) заданы. Старшей естественно считать производную а в качестве соответствующего пространства взять PF1°'1([0,1] х [0,Т]) -пространство функций гг : [0,1] х [0, Т] R, имеющих первую обобщенную производdz ную -Qj и конечную норму

Всюду в данной работе символом | • \р обозначается норма в пространстве Lp.) В качестве пространства, норма которого старшие производные не оценивает, возьмем Li([0,1] х [0, Т]). Оператор вложения W^C^Li не компактен. Это легко увидеть, если обозначить этот оператор через J и ввести еще два непрерывных линейных оператора: N : Zi([0,1]) —1] х [0,Т]) - оператор вложения первого пространства во второе (функция z(-) £ Ia([0,1]) начинает трактоваться как функция не одной х, а двух (x,t) переменных) и М : W-j^QO, 1] х [0, Т]) —>• 1а ([0,1]) - оператор, действующий по формуле Т

МЫ-)} :=£(-Н(*) z(x,t)dt. о

Композиция М о J о N - это тождественный оператор в lq([0,1]). Этот оператор некомпактен и, значит, интересующий нас оператор вложения J также не может опущены некоторые детали. В частности, не учитывалось, что как правило имеется много способов выбрать, более-менее естественным образом, нормы, как оценивающие, так и не оценивающие старшие производные. На самом деле достаточно, чтобы в этом многообразии был хотя бы один способ выбора, приводящий к оператору вложения со свойствами компактности. Для задачи (1)-(4) можно, например, взять Wp с р > 1 и С или Wf и Lq с q < оо: известно, что вложения W^ QC и

W^ (Z,Lq компактны. быть компактным. Ясно также, что дело нельзя поправить, если при выборе двух используемых функциональных пространств за основу взять не Ь\— норму, a Lp — нормы с р ф 1, то есть W^QO, 1] х [0,Т]) и Lq([0,1] х [0,Т]), соответственно, (1 < q < р < оо). Действительно, тогда аналог композиции М о Jo N - это оператор вложения Lp в Lq, который некомпактен, что по-прежнему приводит к выводу о некомпактности J.

В рассматриваемом примере трудно указать пару "естественных" нормированных пространств, норма которых оценивает и, соответственно, не оценивает старшую производную, так, чтобы оператор вложения первого пространства во второе оказался компактным. (Выбор ненормируемых линейных топологических пространств запрещен аксиомами предложенной в [27] теории.) Вместе с тем определенные свойства компактности введенный оператор вложения W^^qLi имеет. Их описание для данной работы несущественно; так она посвящена изучению задач, в которых аналогичный оператор компактен в обычном смысле. Поэтому охарактеризуем упомянутые свойства крайне бегло. Они состоят в том, что компактно сужение оператора вложения на специальные бесконечномерные подпространства L С W]' , а именно t о

Здесь функция /i : [0,1] х [0,Т] —f R фиксирована, непрерывна и max \/j(x,t)\ > а; £[0,1]

0, Vt £ [0,Т]. Вопрос о том, почему именно такие подпространства существенны при выводе принципа максимума, оставим открытым, так как, повторимся, он не имеет отношения к данной работе.

Итак, имеется два класса задач, которые молено условно назвать задачами с обычными и, соответственно, ослабленными свойствами компактности.( Это ослабление молсет быть вызвано не только типом уравнения, но и другими факторами, например, неограниченностью области изменения независимой переменной, вхолсдением или невхолсдением определенных "младших" производных в выражения, описывающие задачу, и другое.) Платой за включение задач с ослабленными свойствами компактности в сферу действия теории [25],[27] было усложнение как самой теории, так и процедуры ее применения. Эти усложнения излишни применительно к задачам с обычными свойствами компактности. В цели настоящей работы входило "проектирование" развитой в [25],[27] абстрактной теории на указанный класс задач. Это подразумевало разработку упрощенной и более узкоспециализированной аксиоматики, доказательство соответствующих вариантов "абстрактного принципа максимума", и отработку схемы применения развитой абстрактной теории в типичных случаях. С технологической стороны упомянутое доказательство свелось к обоснованию исходных предпололсений развитой в [25],[27] теории и применению её результатов.

В диссертации предлагается вариант абстрактной теории необходимых условий экстремума, ориентированный на задачи оптимизации систем с распределенными параметрами с "нормальными" свойствами компактности. Сфера его применимости охватывает ряд ранее неизученных или недостаточно изученных классов задач, в том числе случаи перечисленные выше. При его разработке за основу приняты, в частности, следующие требования: во-первых, применимость к широкому классу задач оптимизации (как в смысле типов уравнений, так и в смысле видов ограничений), причем при постановке этих задач в естественной общности; во-вторых, относительная простота, и краткость процедур применения абстрактной теории к конкретным задачам. Это, в частности, подразумевает, что упомянутые процедуры по возможности не должны включать специфических для теории экстремальных задач рассуждений типа оценок остаточных членов в формуле приращения и т.п.

Собственно абстрактной теории посвящены глава 1 и параграфы §2.1,2.2, 4.1,4.2. Оставшаяся часть диссертации посвящена приложениям развитой общей теории. Подчеркнем, что рассматриваемые здесь задачи оптимального управления представляют самостоятельный интерес, ранее не изучались (по крайней мере, в той общности, в которой они исследованы в данной работе) и касаются управляемых систем, которые являются, вообще говоря, сингулярными (по Лионсу). Эти задачи de facto использованы в качестве полигона для отработки и демонстрации основных приемов применения абстрактной теории к конкретным задачам.

Первоначальное приложение общей теории дано в главе 2 для задачи оптимального управления системой эллиптического типа второго порядка с поточечными фазовыми ограничениями. Результат, установленный в этой главе, существенно усиливает и обобщает ряд аналогичных результатов, полученных в [48],[49], [51]-[54],[56],[59] при значительно более жестких предположениях и существенном упрощении формулировки задачи. В частности, в главе 2 не исключается из рассмотрения и так называемый сингулярный случай.

В последнее время задачи управления системами эллиптического типа с поточечными фазовыми ограничениями привлекли большое внимание ([48],[49] и многие другие работы. Подчеркнем вместе с тем, что в этих работах рассматривался исключительно несингулярный случай и эллиптические системы специального вида порядка не выше двух, и, как правило, накладывались дополнительные жесткие и часто труд-нопроверяемые предположения. Кроме того, во многих из этих работ необходимые условия оптимальности были получены не в форме принципа максимума, а в форме более слабого условия — аналога так называемого уравнения Эйлера [14]. В третьей главе рассматривается система уравнений произвольного порядка эллиптическая в одной из наиболее широких трактовок этого понятия, а именно: эллиптическая в смысле Даглиса-Ниренберга. (Точнее, эллиптична в этом смысле линейная аппроксимация рассматриваемой нелинейной системы.) Системы такого типа охватывают большинство встречающихся в приложениях эллиптических систем, таких как: эллиптические системы второго порядка, полигармонические уравнения, нелинейные стационарные системы уравнений Навье-Стокса и другие. Рассматривается случай фазовых ограничений и, вообще говоря, сингулярной системы уравнений. Основное достижение главы — нахождение и обоснование аналога принципа максимума Понтрягина в рассматриваемом случае.Этот результат может быть полезен как для организации последующей вычислительной процедуры типа метода последовательных приближений,так и для качественного анализа задачи,возможно, не приводящего к окончательному ответу, но устанавливающего важные свойства решения (оптимального управления).

Четвертая глава посвящена рассмотрению задачи оптимального управления системой параболического типа при наличии нескольких поточечных смешанных ограничений. Как и в предыдущих главах доказан аналог принципа максимума Понтрягина в рассматриваемом случае. В такой постановке принцип максимума для задачи оптимального управления параболической системой получен, по-видимому, впервые. Аналогичные результаты были установлены в работах [41],[55] и [58], но для случаев одного уравнения и фазовых ограничений. Подытоживает работу глава 5, в которой решена конкретная задача оптимального управления эллиптической системой. Решение найдено в виде явных формул.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

R"' — п—мерное евклидово пространство; х = {х\., хп) — произвольная точка в нем. ft — область в Rn, то есть открытое связное множество.

Qt — цилиндр ft х (0,Т), то есть совокупность точек (x,t) пространства Rn+1 с a-eft, * € (О, Т). intG - внутренность множества G. coG - коническая оболочка множества G.

В(у,е) - открытый шар радиуса е с центром в точке у.

Lin(X —у Y) — совокупность линейных непрерывных операторов А : X Y.

LP(Q.) — пространство всех суммируемых со степенью р функций у, заданных на множестве ft и имеющих конечную норму 1 /р у(')1р Iy(-)\Pdx^ < оо,р € [1,оо), a j/(-)|oo := ess sup |у(ж)|. п mesft — мера Лебега множества ft.

C'(ft) — совокупность непрерывных в ft функций с нормой |у(-)|с = таху(ж). х£П

C'(ft) — совокупность непрерывных в ft функций, имеющих непрерывные в ft производные до порядка I включительно.

W'(ft) при / целом — банахово пространство, состоящее из всех элементов (р 6 Lq(Q), имеющих обобщенные производные всех видов до порядка I включительно, суммируемые по ft со степенью q. Норма в Wlq{ft), где ft С Rra, определяется равенством laSHf

-|-I . ■ С/Л i . . . X п п/ j\--h + --- + jn<l dxi1 . (мои + Е ^ )

4 \j\~jl+-+jn<l OXl ■■■Xn Co/

Символы Dsx и где 5 и г — неотрицательные целые числа, обозначают следующее

DrM-) : = лН-----1-jn = s dtr

W^1'1(Qt) при I целом (q > 1) — банахово пространство, состоящее из элементов LqiQr), имеющих обобщенные производные вида DfDsx с любыми г и s, удовлетворяющими неравенству 2r + s < 21. Норму в нем определяем равенством

21

U) з=о где и >[з) =

2 r+s=j) и>р= Y, \DtD>\qо / \ ^л

Н (Qt ► R ) — банахово пространство непрерывных функции у(-) : Qt —> обращающихся в нуль на границе <9ft множества ft и имеющих конечную норму у(.)|£ := Щах \у\+ < у(-) >™т + < у(-) Qt где

7) \y{x",t)-y(x',t)\

•— sup ----х' ,x"en,te[o,T] y(-)>?,QT-= . 0 < 7 < 1. y(-)>t,QT-= suPr ,- ff,y- 0 < 7 < 1. (ft —» Кh) — банахово пространство непрерывных функций у(-) : —» КЛ. обращающихся в нуль на границе множества ft и имеющих конечную норму

Г):=тахЫ+<у(.) где у(-)

Ж" - X

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложен вариант абстрактной теории необходимых условий экстремума, ориентированный на задали оптимизации систем с распределенными параметрами. Сфера его применимости охватывает ряд ранее неизученных или недостаточно изученных классов задач. При его разработке за основу приняты, в частности, следующие требования: во-первых, применимость к широкому классу задач оптимизации (как в смысле типов уравнений, так и в смысле видов ограничений), причем при постановке этих задач в естественной общности; во-вторых, относительная простота и краткость процедур применения абстрактной теории к конкретным задачам. Это, в частности, подразумевает, что упомянутые процедуры по возможности не должны включать специфических для теории экстремальных задач рассуждений типа оценок остаточных членов в формуле приращения и т.п.

Собственно абстрактной теории посвящены глава 1 и параграфы §2.1,2.2, 4.1,4.2. Первоначальное приложение общей теории дано в главе 2 для задачи оптимального Зшравления системой эллиптического типа второго порядка с фазовыми ограничениями. В третьей главе рассмотрена задача оптимального управления объектом, описываемым нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных, лршеаризация которой эллиптична по Даглису-Ниренбергу. Системы такого типа охватывают большинство встречающихся в приложениях эллиптических систем, таких как: эллиптические системы второго порядка, полигармонические уравнения, нелинейные стационарные системы уравнений Навье-Стокса и другие. Рассматривается случай фазовых ограничений и, вообще говоря, сингулярной системы уравнений.

Четвертая глава посвящена рассмотрению задачи оптимального управления системой параболического типа при наличии смешанных ограничений. Как и в предыдущих главах доказан аналог принципа максимума Понтрягина в рассматриваемом случае.

В пятой главе решена конкретная задача оптимального управления на основе полученных в диссертации результатов.

1. Аваков Е.Р. Принцип максимума для анормальных задач оптимального управления // Докл. АН СССР. 1988.-T.298,N£6.-C. 1289-1292.

2. Александров А.Д. Исследования о принципе максимума. VI // Известия ВУЗов, Математика. 1961,N-l.-C.3-20.

3. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. // ДАН СССР, 1989,Том 304,№1. С. 11-14.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральное представление функций и теоремы вложения. М.:Наука. Физматлит, 1996. 480 С.

5. Бокмельдер Е.П., Дыхта. В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления.- Новосибирск, 1985 С.41-58.

6. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: 1986. 432 С.

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., Наука, 1977. 624 С.

9. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимума // Проблемы оптимального управления.- Минск, 1981, С. 264-277.

10. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления на основе необходимых условий оптимальности типа принципа максимума JI.C. Понтрягина. // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем.- Иркутск, 1983.- С. 43-64.

11. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.И. Методы оптимизации и их приложения. Часть 2: Оптимальное управление. Новосибирск, Наука. 1990

12. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск I. 1959. 496 С.

13. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Необходимые условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений. // Успехи матем. наук, 1985,N-40, вып. 2(242), С. 175-176.

14. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965, Т. 5. С.395-453.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума. Черноголовка: ОИХФ, 1979. 35 С.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 С.

17. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972, 740 С.

18. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962, Т. 2. С. 1132-1139.

19. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970. 288 С.

20. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967. 736 С.

21. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1964. 540 С.

22. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М., 1972. 414 С.

23. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами М.:Наука, 1987. 414 С.

24. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.- М.: Наука, 1975.

25. Матвеев А.С. Вариационный анализ в задачах оптимизации систем с распределенными параметрами и вектор-функции множества // Сиб. мат. журнал. 1990. Т.32. №6. С. 127-141.

26. Матвеев А.С. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. мат.-1988.-Т.52,№б -С.127-141.

27. Матвеев А.С. К абстрактной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами // Сиб. мат. журнал. 1988. Т.29. N° 1. С. 94-107.

28. Матвеев А.С'., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сиб. мат. журнал. 1978. Т.19. N-5. С.1109-1140.

29. Осмоловский Н.П. Необходимые и достаточные условия высшего порядка для пон-трягинского и ограниченно-сильного минимумов в задаче оптимального управления // Докл. АН СССР. -1988.-Т. 303,N-5.-С. 1052-1056.

30. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида.// Изв. АН СССР. Сер. мат.-1972.-Т.36.-С.652-670.

31. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

32. Срочко В.А. Необходимые условия оптимальности для гиперболических систем с распределенными параметрами при ограничениях на состояние // Управляемые системы. — Новосибирск, 1984. Вып.24. - С.85-93.

33. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем.— Иркутск, 1983. — С. 170 182

34. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Даглиса-Ниренберга. I. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1964. Т. 28. №3. С. 665-706.

35. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Даглиса-Ниренберга. II. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. XCII. Краевые задачи математической физики. 4. С. 233-297.

36. Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ-мат наук. Н.Новгород,2000

37. Сумин М.И. Субоптимальное управление полулинейными эллиптическими уравнениями с фазовыми ограничениями. I. II. Известия ВУЗов, Математика, 2000,N-6, С. 33-44;N-8, С. 52-63

38. Терлецкий В. А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближении, основанного на принципе максимума // Методы оптимизации и их приложения.-Иркутск.СЭИ СОАИ СССР 1983. С. 58-69.

39. Шефер X. Топологические векторные пространства. М., 1971, 359 С.

40. Якз'бович В.А. К абстрактной теории оптимального управления // Сиб. мат. журнал. 1978. Т.19. №2. С. 436-460.

41. Arada. N.,.J.-P. Raymond Minimax control of parabolic systems with state constraints // SIAM J. Control and Optim. 2000. Vol. 38,№1, P. 294-312.

42. Arada N.,J.-P. Raymond Optimal control problems with mixed control-state constraints // SIAM J. Control and Optim. 2000. Vol. 38,N-5, P. 1369-1391.

43. Arada N.,J.-P. Raymond, H.Zidani Pontryagin's principle for local solutions of control problems with mixed control-state constraints // SIAM J. Control and Optim. 2001. Vol. 39,N-5, P. 1391-1407.

44. Arutyunov A.V., Aseev S.M. Investigation of the degeneracy phenomenon of the maximum principle for optimal control problems with state-constraints. // SIAM J. Control and Optim. 1997. Vol. 35. P. 930-952.

45. Bahri A. Topological results on a certain dass of functionals and application // J. Funct. Analysts, 1981,Vol.41,N-3. pp. 397-427.

46. Bahri A.,Beresticky H. A perturbation method in critical point theory and applications. // Trans. AMS.,1981,Vol.267,№1. pp. 1-32.

47. Bei HU and Jiongmin Yong. Pontryagin maximum principle for semilinear and quasi-linear parabolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control and Optim. 1995. Vol. 33. P. 1857-1880.

48. Bonnans J.F., Casas E. A boundary Pontryagin's principle for the optimal control of state-constrained elliptic systems // Internat. Ser. Numer. Math., 107 (1992), P. 241-249.

49. Bonnans J.F., Casas E. An extension of Pontryagin's principle for state-constrained control of semilinear elliptic equations and variational inequalities // SIAM J. Control and Optim. 1995. Vol. 33. P. 274-298.

50. Bonnans J.F., Casas E. Optimal control of semilinear multistate systems with state constraints // SIAM J. Control and Optim. 1989. Vol. 27. P. 446-455.

51. Bonnans J.F., Casas E. Un principe de Pontryagine pour le controle des systemes semilineares elliptiques // J. Differential Equations,90 (1995), P. 288-303.

52. Bonnans J.F., Tiba D., Pontryagin's principle in the control of semilinear elliptic variational equations // J. Appl. Math. Optim. 1991. Vol. 23. P. 299-312.

53. Casas E. Boundary control problems of quasilinear elliptic equations: A Pontryagin's principle // Appl. Math. Optim.,33(1996), P. 265-291.

54. Casas E. Control of an elliptic problem with pointwise state constraints // SIAM J. Control and Optim. 1986. Vol. 24. P. 1309-1318.

55. Casas E. Pontryagin's principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations // SIAM J. Control and Optim. 1997. Vol. 35,N-4, P. 1297-1327.

56. Casas E., J.Yong. Maximum principle for state-constrained optimal control problems governed by quasilinear elliptic equations // Differential Integral Equations,8(1995),P. 1-18

57. Fursikov A.V., Gunzburger M.P., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensoinal case // SIAM J. Control and Optim. 1998. Vol. 36. P. 852-894.

58. Raymond J.P., Zidani H. Pontryagin's principle for state-constrained control problems governed by parabolic equations with unbounded controls. // SIAM J. Control and Optim. 1998. Vol. 36. P. 1853-1879.

59. J.Yong. Pontrvagin maximum principle for semilinear second order elliptic partial differential equations and variational inequalities with state constraints// Differential Integral Equations, 5 (1992). P. 1307-1334.