Принцип ограниченности для мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Классическая теорема Никодима о равномерной ограниченности мер СН.Данфорд, Дж.Т.Шварц Е5]гл.1У

§9, теорема 8) утверждает, что, если Ж - семейство конечных счётно аддитивных скалярных мер, определённых на «г-кольце множеств , поточечно ограниченное, то семейство JM, равномерно ограниченное. То есть из того, что для любого эс. € Я

6 LLQ I /и. ( ОС) I < Чju. е JH J следует

Sup IJUCOC)l <fDO jua JU , DZ, e

В литературе имеется немало работ, в которых она подвергается усилению в различных направлениях.

В самостоятельное направление выделились теоремы, в которых меры определены на борелевских &-алгебрах топологических пространств, причём, поточечная ограниченность семейства мер требуется не на всей С-алгебре, а лишь на части - на открытых множествах. Отправной точкой этого направления явилась

ТЕОРЕМА Дьедонне [III] . Пусть X - компактное хаусдор-фовое топологическое пространство, - борелевская (Г'-алге-бра подмножеств X , Л1 - семейство регулярных счётно аддитивных скалярных борелевских мер. Тогда, если для любого открытого множества Ы

6 Up I (И (U)\ < + , JU 6 'JU V

Su,p I M ( 6)1 <+ <=><=>

J4& JU , В e £0 u

В диссертации эти теоремы изучаются для конечно аддитивных исчерпывающих мер со значениями в топологических абелевых группах. Исчерпываемость - это сходимость к нулю значений меры на любой дизъюнктивной последовательности множеств.В диссертации рассматриваются только а б е л е в ы группы.

При рассмотрении групповых мер возникает вопрос об определении самого понятия ограниченности. Для нормированных групп этот вопрос решается естественно: ограниченные множества -это множества ограниченные по норме. В работах , исследующих принцип равномерной ограниченности для мер со значениями в произвольной топологической группе, наиболее часто употребляется следующее определение ограниченности

ОПРВДЕЛЕНЙЕ I. Подмножество А топологической группы G называется ограниченным,если для любой окрестности V нуля в Gr существует натуральное число п, такое, что

А С V+ . . .+ V.

--------'

Будем называть такие множества I-ограниченными. В дальнейшем для обозначений множеств У * . . . V будем использовать символ ■+■ V , введённый Н.Бурбаки £4 Л

Для мер со значениями в нормированной группе теорема Ни-кодима доказана Л.Древновским [ 12J :

ТЕОРМА. Пусть (ff,//•//)- нормированная группа, -(Г-кольцо множеств, JU - семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер на 01 . Тогда, если для любого ос & Я

8>ир II JU Сэс)Ц < + j4 е JU.

Sup Ц м (ос.)!! < -ь сх=>

Для произвольных топологических групп аналогичная теорема доказана Р.Дарстом [9] :

ТЕОРЕМА. Пусть Gr - топологическая группа, 0{ - б*-кольцо множеств, JU - семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер ju : 0i^>G. Тогда ,если для любого сс & &L множество £ ju foe); ju е JU} - I-ограниченное, то множество {ju(x.): jueJU у осе Я,}- I-ограниченное. То есть поточечная I-ограниченность влечёт равномерную I-ограниченность

Для произвольных колец множеств, то есть, когда не является ^-кольцом, приведённые выше теоремы, вообще говоря, не выполняются.

Взаимосвязь теоремы Никодима с классическими теоремами теории меры - Витали-Хана-Сакса, Орлича-Петтиса, Розенталя, Гротендика - изучается в работе [20 J

В ряде работ £13,18,19 J найдены достаточные условия на кольца множеств, при которых теоремы типа теоремы Никодима справедливы для нормированных групп или произвольных топологических групп с определением I-ограниченности.

Определение I-ограниченности обладает существенным недостатком - одноточечные множества могут оказаться неограниченными. Определение ограниченности, предложенное Н.Бурбаки ([3J стр.252) ,указанного недостатка не имеет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подмножество А топологической группы Gr называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в £г существуют натуральное число п> и конечный набор элементов группы д.1, . . . у такие, что

А с U С + (*VO).

L ST i U

В дальнейшем это свойство называем 2-ограниченностью.

Целью диссертации является получение теорем Никодима и

Дьедонне для определения 2-ограниченности, распространение теоремы Никодима на кольца множеств, для которых теорема Никоди-ма справедлива для мер со значениями в нормированных группах и произвольных топологических группах с определением I-ограниченности, а так же ослабление требований на X в теореме Дьедонне.

Доказательства теорем для мер со значениями в произвольной топологической группе проводятся, как правило, от противного, поэтому фиксируется некоторая окрестность V и рассуждения проводятся относительно неё. Так, если в формулировке теоремы Дарста заменить исчерпываемость и I-ограниченность на V-исчерпываемость и V-I-ограниченность, то доказательство полностью сохраняется.

-исчерпываемость означает, что для любой дизъюнктивной последовательности f начинаянекоторого номера' JU (0Сп) £ V.

V- 1-о граниченность множества А означает выполнение включения А ^ \J для некоторого натурального числа П,

Сформулируем этот факт.

ТЕОРЕМА. Пусть Gr - топологическая группа, V - произвольная окрестность нуля в Gr , А - (Г-кольцо множеств , JU - семейство конечно аддитивных ^-исчерпывающих мер . Тогда, если для любого ос е Л множество {J^C^O : ju е. X/} V-I-ограничено, то множество [j^^30^ - J1* & JU> ос }

V-I-ограничено.

Справедливость этой теоремы, следует из работы В.Н.Алек-сюка ([2 2 гл.

§6, теорема I) , где получена общая теорема типа теоремы Никодима для неаддитивных мер со значениями во множестве не наделённом алгебраическими операциями.

V-2- ограниченность ' определяется аналогично определению V-1-ограниченности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть л- кольцо множеств. Будем говорить, что кольцо ZR, обладает свойством Никодима для V-1-ограниченности ( V-2-ограниченности ) ,если для любой топологической группы G , любой окрестности V нуля в G , любого семейства м аддитивных v -исчерпывающих мер ju : >6гиз V -I-ограниченности (соответственно, V-2-ограниченности) множеств j^W fx) .-yue-^/j при каждом ж следует V-I-ограниченность (соответственно, V-2-ограничен-ность) множества {ju (х) : ju ^ JU t х &

Краткая запись: Л € Jf(V,1) (соответственно, 4leJf(V,2))

Заметим сразу, что ,если 3{. - ^-кольцо,то

Основными результатами диссертации являются

ТЕОРЕМА. Пусть & - топологическая группа, iJL -кольцо тожеств, JU - семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер ju : Q- . Тогда,если для любого ос е-множество <Cj4fx) : ju е JU.} - 2-ограниченное,то множество сf4 ; еЛ1 е М ' °° е ^

2-ограниченное.

ТЕОРЕМА. Свойства Л. bjfc V, 1) и 3{ G К С Ц Z) эквивалентны.

ТЕОРЕМА. Пусть X - хаусдорфовое топологическое пространство, Gr - топологическая группа, - борелевская алгебра подмножеств X > <М - семейство регулярных аддитивных мер ja : % —Gr • Тогда, если для любого открытого множества 11 множество {J* (U)jugJU-] - I-ограниченное

2-ограниченное) , то множество \ J4& JU, В

I-ограниченное ( 2-ограниченное)

Цель работы. Целью работы является изучение принципа равномерной ограниченности мер со значениями в топологической абелевой группе для общего определения ограниченности.

Научная новизна и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Работа может найти применение при изучении мер со значениями в группах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Школе по теории операторов в Институте математики СО АН СССР в августе 1979 г., на Советско-Венгерском симпозиуме по дифференциальным уравнениям, геометрии и топологии в Институте математики СО АН СССР в 1981 г., на Конференции по теории меры в Новосибирском государственном университете в 1981 г., на семинаре кафедры математического анализа Казанского государственного университета в 1982 г., на Международном конгрессе математиков в Варшаве в 1983 г., на семинаре по теории меры в Новосибирском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24] , Г25 J , Г2б], f27] .

Диссертация состоит из трёх глав.

Глава I носит описательный характер, в ней замечается взаимосвязь различных видов ограниченности в топологической группе.

В главе II проводится доказательство основных результатов относящихся к теореме Никодима. В §1 главы II доказывается , что исчерпывающая мера , определённая на кольце , со значениями в дискретной группе, имеет конечное тожество значений. Серия лемм §2 позволяет по наперёд заданной бесконечной последовательности элементов квазициклической группы С^оопостроить норму на С » для которой конечные множества будут

1-ограниченными, а сама последовательность неограниченной .

В §3 доказывается аналог теоремы Никодима для конечно исчерпывающих мер. В §4 проводятся доказательства основных результатов главы: теоремы о эквивалентности, теоремы о равномерной

2-ограниченности.

В главе III исследуется теорема Дьедонне. В §1 исследуется связь счётной аддитивности и исчерпываемости для регулярных мер. Доказано , что регулярная , счётно аддитивная мера на борелевской алгебре является исчерпывающей. В §2 доказано усиление теоремы Дьедонне , а в §3 приведены приложения этой усиленной теоремы.

Нумерация утверждений в каждой главе своя. При ссылке на какое-либо утверждение, если не оговорено противное, подразумевается утверждение той же главы.

1. Александров А.Д. Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах. -Мат.сб., 1941, 9(51),с.563-628.

2. Алексюк В.Н. Функции множеств. -■ Деп. в ВИНИТИ от 18.06.81 Рукопись представлена Коми пединститутом, № 4543-81,165 с.

3. Бурбаки Н. Общая топология.Основные структуры. -М.: Наука, 1968. 272 с.

4. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. -М.: ИЛ, 1959.

5. Данфорд Н.,Шварц Дж.Т. Линейные операторы.Общая теория. -М.: ИЛ, 1962. 895 с.

6. Кац М.П. О продолжении векторных мер. Сиб.матем.ж.,1972, т.5, с.II58-II68.

7. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

8. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. -520 с.9. ftarst Я.вЬ. ТАе, MitaB^- НаАп Sa/<s and bJikodim tpLeotzms £o*t additLire. J-unctions IL.~ ЬиП. imet. JIUU. Soc., 1975, v. ?9,p. 7SS-J60.

9. VAl J. У. MtLctox m-easuzes. —UMe.ma.tLcQ.2 surveys Ux. A.M.S., IS??, v. 1S.

10. Ф иг*сои.п£. £f. Su,t Ha. (ion.u-e.tge.nce des su.ite.s cle.measures cLe. Raolon. — finn. head. BiasiB Sc.i, 1951 , v. <23, p. Z1-58 , -Z8Z.

11. Ядтгио-nours кi L. Un,ij-orm Soundedne.ss ptincLpPe £ог S-initn-tLj. additio-e vbc.~£ot Jneasu tes. BuEE. Acad. Polon Sci, p.2og-2</9.a. On. VLtaii-НаЯ. п- fVikocl^,^ tKeozerns.-Ann. Jns±. Fou*cLe."t, Grie-no&te. , 19? 6 , v. ,t/ b , p. 99-114.

12. Grctina 5. n.otcons de. me.asu.te. compacts. e£ de. hn(Lex.Scctegu iiexsi . Jinn. !fcxe. See HincUsa., Sal-ce. Section. JUatk

13. Hej-cman Cf. Qounole.dnjzss in un.C-j-otm spaces anoLtopo£ogica.£ groups.- C-z-есЯозiovaк Z./9&,v. 9, p. 5-*/b-562>.

14. Kupka J. t/nij-o\m Sounoleclnass pxCncip£es Mfiustici JUatLSoa1980, v. A2.9 , nZ, p.S.06-Zi8.17. Locndet sДо#дг Ь. fiU HaPm-Vctaii-Saks andi-hz. uniJoim Qounde-cLness tke.oteyyi in. icpo£o -g.ica£ groups. — M-an.u.so*ziota map. 351 ъ59 .

15. Motto A. Ои. unJ.J-OX.nx Soundeolne.&s piop&ities in. exAaustcng. additive set function, spac.es. — Ptoc. Roy. Soc. &diHgutgPLt't981,v. A 90^1-2lP.1?5-1M.

16. Seeder Gr. L. Measures on F-spaces.- Trans. Amex. JUatfL. Soc., 196S, v.<f33,

17. S&.ct&.Q.*tmaye.t W. Oh some ctas*,lca£ тга%и*ся.-tke.oxo.tic. tf{.e.ot£.yn s J-ot. поп si^ma. - c.c»np(!eti BooisLo.n Kitsettationes faifi. hydttLm.-), 4982., Wazsza wa , p. 1~3G •

18. Stuh, 3.*$). A untJot*?7 Souytc/ec/ness lpi.eo*ainn fo*c tn&asu t e s. h.

19. Pap £. О d.ij.CLQon.aEnoJ. tko^mi- JUat. веспикv. , /V 4, p. 331-399.

20. V/еЛЛъ B.6. Weak compactness o,J- macules Ptoc.MoM,. Sос,3 1369, X/. 2 0, p. 1Z4-1Z0.

21. Саженков А.Н. Принцип ограниченности для топологических мер.-Новосибирск,1978.-10 с. /Препринт ИМ СОАН СССР/

22. Саженков А.Н. Ограниченность векторных внешних мер.-В журн. Матем.заметки, 1979,т.25, № 6,с.913-917.

23. Саженков А.Н. Принцип равномерной ограниченности для топологических мер.- В журн. Матем.заметки,1982,т.31, № 2,с.263-267.