Проблема Эстермана с почти равными слагаемыми тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

"1 р

На правах рукописи

ШОКАМОЛОВА ДЖИЛВА АБДУЛНАЗАРОВНА

ПРОБЛЕМА ЭСТЕРМАНА С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 ш г он

Душанбе - 2010

4842947

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусснович

Официальные оппоненты: доктор финико-математических наук,

профессор Гриценко Сергей Александрович

Защита состоится 19 января 2011 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (7.'Ш()И, г.Душанбе, ул. Айни 299/']).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 19 декабря '2010 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Чариев Умидилла

Ведущая организация: Таджикский национальной университет

Ученый секретарь дисссртациоцного совета

Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация являстся исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, являстся изучение поведения коротких тригонометрических сумм, в том числе сумм с простыми числами, переменное суммирование, которых, принимает значение и;ч коротких интервалов и вывод асимптотической формулы для числа решений одного диофантового уравнений с простыми числами.

М. Виноградов1,2 в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые, получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

Полученная оценка для S(а, х) в соединение с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде JV = pi + р2 + рз, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

Ю.В. Линник'4 с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда, применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L - рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической суммы S(a, х). Тем самым Ю.В. Лннником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков4 также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(a,x) с помощью оценки средних значений функций Чсбышсва, получение которой в свою очередь основывается на распределении пулей L-рядов Дирихле в критической полосе.

И.М.Виноградов1 впервые оценил линейную тригонометрическую сумму с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает

'Виноградов U.M. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.

"'Виноградов U.M. Особые варианты методов тригонометрических сумм. — И.: Наука, 1976.

3Лннпик Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат. сборник, 1946, т, 19, вып. 1, стр. 3-8.

4Чудаков Н Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem /',/ Ann of Math.,1947, 4S, p.515-545.

значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

S(am,x,y)= ^^ Л(п)е(ап), а = - + А, |А| < —, 1 < q < т.

Х—у<П<Х У ^

Применяя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетривиальную оценку при

exp(c(ln In а:)2) « q < х1/3, у > х2/3+Е.

И.М. Виноградов подчеркнул, что для малых q, (q < exp(lntf)'5, S - правильная дробь, немногим превосходящая 0,5) весьма точные оценки суммы S(a]x,y) являются непосредственным следствием известных теорем, относящихся к распределению простых чисел в арифметических прогрессиях, но только при условии, если у есть величина порядка близкого к х и а - рациональное число вида a/q, где (a, q) = 1. Для величин у, порядок которых меньше порядка х и произвольных а, вопрос оставался открытым.

В 1951 г. С.В. Haselgrove5 получил нетривиальную оценку суммы S(a\x,y) при произвольном а и

у > х63'6Ш.

Затем В. Статулявычус6 и Jia Chaohua7'8 получили нетривиальную оценку суммы S(a,x,y), у > хв, q — произвольное, соответственно при

в = 63/64 + е, 279/308 + е, 2/3 + е.

Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо9 доказали, что если с > 0 — произвольная постоянная, то существует с* = с,(с), i = 1,2 такие, что для

x^3(lnx)Cl < у < х, (In a-)C2<q<x1/6, |А| < q/xl/6,

справедлива оценка

S(a,x,y) <у(\пх)~с. Наилучший результат принадлежит Zhan Тао10. Он получил нетривиальную оценку суммы S(a; х, у) при произвольном а и

у >

5IIaselgrove С. П. Some theorems in the analitic theory of number // J.Lon. Math.Soc., 26(1951), 273-277.

"Статуляшпус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вилыпос, Ученые труды университета, сер. мат., фиэ. н хим. п., 3 (1955), 5-23.

7Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

8.1ia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

sPan Cheng-dong, Pan Chcng-biao, On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

l0Zhan Tao, On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes // Acta Math Sinica, new ser., 1991, v.7, No 3, 135-170.

Г. Вейль11 построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т{ат, Qm_ь..., Qi) = е (/(n)), f(t) = amtm + а^Г'1 + ... + ait,

п<х

которые в его честь И.М.Виноградов1 назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T(af¡, otk-ь ■ ••■> û'i) степени к к оценке суммы степени к — 1 ив конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г. Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) в отрезке [о, 6] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов1 занимаясь проблемой Варинга в 1934 г. создает новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. Этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана — Н. Г. Чудаковым12, в проблеме Гильберта - Камке — К. К. Марджанишвили13 и в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа |Т(ап,... , ai, JV)j2A. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней | Т(ап,... ,a¡, N)¡2k более простой оценкой интеграла

i i

J(N; п,к) = J... JI Т(ап,ahN)fdai... dan, о о

то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем ai,... ап и поэтому теорема об оценке J(N-,n,k) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N;n,k) вида

J(N-,n,k)^N2k

"Weyl H. Über dio Glrichverteihmg von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 101G, 77, s.313-352.

"Чудаков Н.Г. О функциях ((а) и ir(i) // Докл. АН СССР, 1938, т. 21, с. 425-426.

"Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении п чисел суммами полных первых, вторых,..., п - X степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т. 1, с. 609- 631.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген14. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником15 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Каранубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода16. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины п, к) при малых значениях к (см. рабо-

ты17,18,19,20,21,22^

И.М.Виноградов23 поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым24 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков25,26 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976 г. В.Н.Чубариков27'28 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригоно-

14Хуа Ло-гсн, Метод тригонометрических сумм. — М.: Мир, 1964.

15Лгатик Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.

"Карацуба A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

17Стсчюш С.Б. О средних значениях модуля тригонометрический суммы // Труды МИАН им. В.А.Стсклова АН СССР, 1973, Т.134, с.283-309.

18Архиггов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.

lü Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

20Архипов Г.И., Карацуба A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.

''Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубарикоп В.Н., Теория кратных тригонометрических сумм. —М.: Наука, 1987, 368 с.

"ТырипаО. П. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.

"Виноградов И.М. Новый метод в аполитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, Т. 10, с.5-122.

24Архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

25Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

26Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сср.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

27Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, C.01-G8

28Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.

метрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубарнков29,30 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии21 "Теория кратных тригонометрических сумм". В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте31,32.

Суммы Вейля при маленьких степенях m < 12 в множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону33. Суммы вида

]Г е(апт), у = х9, в <1

х—у<п<х

называются короткими тригонометрическими суммами Вейля. Короткие тригонометрические суммы Вейля при ш = 2иш = 3в множестве первого класса рассматривались в работах34'35'36 при исследовании асимптотических формул с почти равными слагаемыми в тернарной проблеме Эстермана и в проблеме Варинга для девяти кубов.

Estermann37 доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

pi+p2 + m2 = N, (1)

где pi, р2 —■ простые числа, m — натуральное число. В работе34 эта задача исследована с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений

2"Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

30Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы п нх пршга-жешы // Изв.АН СССР.Сср.мат., 1980, T.44, с.723-781.

31Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, T.278, №2, с.302-304.

32Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, T.49, №5. с. 1031-1067.

33Vaughan R.C. Some remarks in Wcyl sums // Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

34Рахмонов 3.X. Тсриарпая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.замстки, 2003, T.74, Вып. 4, с.564-572.

35Рахмоиов З.Х.,Шозиёсва С.II. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.

3<"Рахмопов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Всйля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.

3TEstcrrnann Т. Proof that every largo integer is the sum of two primes and square // Proc, London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

(1) с условиями N

Д- з

<Я; ¿ = 1,2,

2 # т2--

< Я; Я > ЛГ3/4£3, £ = 1пУ.

Цель работы. Целью работы является изучение поведения линейных тригонометрических сумм с простыми числами и квадратичных тригонометрических сумм Вейля, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, а также нахождение асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе

• методы Ь - рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей Ь - рядов Дирихле в критической полосе;

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• изучено поведение линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов в множестве первого класса и установлена их связь с плотностными теоремами для нулей Ь - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы;

• исследовано поведение коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля в множестве первого класса;

• получена асимптотическая формула в тернарной проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми для более "равных" слагаемых;

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел

под руководством члЙ1-корреспонди1та АН РТ З.Х.Рахмонова в Института математики АН РТ. на международных научных конференциях ''Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и ннформатики"( 2007 г.), "Современные проблемы математического анализа и их приложений" (2010 г.). в Институте математики АН РТ; на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2006-2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 73 наименования, Объём диссертации составляет 63 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул ВД^Х.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит ин трех глав, Каждая глава состоит из двух параграфов, первые параграфы которых носят вспомогательный характер.

Определение. Пусть с >2, 0 < 1 и В > 1 абсолютные постоянные, Т > Т0> О, Н >Т°, тогда оценка вида

Т + Я, Х) - Ща,Т, Х) « {чТ)<х-а\ЫЧТ)в (2)

х

называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для пулей Ь -рядов Дирихле по модулю

Во втором параграфе первой главы доказывается теорема 1.1 о поведении линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов в множестве первого класса и их связь с плотностнымн теоремами для нулей Ь - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.

ТсОрсма 1.1. Иус/п.ь х > хо > 2, Л < ехр(-(1пх)0,7и), у > Нх^ ехр(1и я)0,76, т > у^/хН, Ь > (щ + 1)(2В + 8) — произвольное фиксированное положите.%ъное число,

, . _ Г ехр(-1п41па;) если q<

Х) ~ } (1п я)в+3 если д > (1ц х)К

Тогда справедливо равенство:

Zhan Тао38 доказал, что соотношение (2) имеет место при с < 8/3, 0 < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1.1 получим следующий безусловный результат:

Следствие 1.1.1. Пусть х > хи, Н < аГгаехрИМ0'70), У > Нх% ехр(1паг)0'7с, г > у2/хН, Ь > (т + 1)(В + 6) - произвольное фиксированное. положительно?. число. Тогда справкдливо равенство:

Следствие 1.1.1 является уточнением соответствующего результата китайского математика ЪЪт Тао.

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работ Ю.В.Линннка3 и Н.Г.Чудакова4, в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы. Основные этапы доказательство теоремы 1.1 таковы.

Вводим вспомогательные параметры

х хд12(1 + Ху) п=- + лу, 1 о =--г.-г—,

V уР{Ч-. х)

между которыми имеет место неравенство Н > Т01/'3. Пользуясь свойством ортогональности характеров и формулой, которая устанавливает связь менаду значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса, получим

8(щх;у) = ~~ £ х(а)т(х) £ А(п)х(п)е(Лп) + 0(12). (3)

Хто1Ч х-у<п<х

Пользуясь преобразованием Абеля в интегральной форме, формулой о представлении ф(и,х) в виде суммы по нулям ¿(5. х) с последующим применением формулы интегрирования по частим, последовательно найдем:

^ Л(п)х(п)е(Ап) =,

Х~у<Т1<Х X

= - J ,\')2тгг'Ле(иА)йи + е(хХ)ф{х, ~ е((ж - у)Х)Ф{х - у, *)) =

x~V

внхтгА у

(а(х-|))- £ f ~e(u\)du + 0(( 1+ Г0)

hls^-y 9

"Zhan Тао. On the mead square of Dirichlet L - functions // Acta Math Sin., 1992, v.8, .V2, pp.204-224.

Подставляя найденную формулу в (3) находим :

х, у) = ^^е (л (* - ¡)) - ^ - ^ + Л2(а; *, у), (4)

X

ЦГ = Ш Е х(ат £ / и^еМА,,

4>{я) У у/Я

3.-1/

Д2(а;г,у) « (1 + |А|у) шах |Дх(г; Г0, дК\)| « "т^М-

где -Е*1 = 1, если по модулю (] существует действительный характер \1 такой, что ¿(а. д^) имеет действительный нуль /З1, рг > 1 — с/ 1пд и ^1 = 0 в противном случае.

Переходя в суммс IV к оценкам, и пользуясь оценкой суммы Гаусса получим

^ '(р> = / («А + ¿7*1

и 1 йи, (5)

Оценивая интеграл 1(Ь) по величине первой производной с учетом тривиальной оценки, находим:

\.т тт |7 4-

+ 2тгАи| / '

При Л > 0 все нули р — /З+гу с условием ¡-у] < Го разобьем на множества £>1, 0-2 и Из следующим образом:

= : -Г0 + 2тгЛи < 7 + 2тгЛи < -2тгАх + 2тгЛи - -1,

£>2 = \р : -27гАж + 2тгЛы - - < 7 + 2тгЛг^ < 27гЛы - 2ту\{х -у) + -1. I У У) '

£>з = : 27гАи - 2тгЛ(г - у) + ^ < 7 + 2тт\и < Г0 + 2тгЛи|.

Соответственно этому разбиению через б'г, 52 и 53 обозначим суммы модулей интеграла 1(р) по нулям принадлежащим множествам £>1. 0-2 и Из. Для монотонной возрастающей функции 7 + 2пХи в отрезке х - у <

и < х справедливы следующие соотношения

min I7 + 27гАи| — -7 — 2тгА:г > -, если р G Di, х-у<и<х у

X X

— < 7 + 27гАу < если р € Di, У У

X

min I7 + 27гАй| = 7 + 27гА(аг - у) >если />€Д}. т.-ц<и<х' 1 У

Отсюда с учетом полученной оценки для интеграла 1{р), находим

Все нули в множестве

Dx = : ~ < -7 - 2л-Хх < Т0 - 2тгАа; j ,

разобьем на классы Ао,А\....,Аг, г <С In Го следующим образом: в класс Ап отнесем те нули р, для которых выполняется условие

пН < -7 - 2тгАае < (n + 1 )Н,

ссли 1 < п < г и х/у < -7 - 27гАх < //, если п = 0. Поэтому

Si < У" У-Xln л « - шах V ^

Такую же оценку получим и для суммы S3. Полагая Т = —2тт\х - х/у, имеем;

D-2 — I р Т < 'г < Т + 2тг\у + —} , 2тгАу + — = 2Н, I У ) У

т.е. промежуток суммирования в S2 имеет длину порядка Я, следовательно и для нее получим такую же оценку , что и для суммы Si. Подставляя эти оценки в (5), найдем:

W < max W2, W2 = -^nT V xß. (б)

Для оценки И72 воспользуемся плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L - рядов Дирихле по модулю q и теоремой о границе этих нулей. Имеем

W2<JL| j xu-lY/{N(u,T + H..x)-N(u,Tix)}du + x-kH\nlfT0,

0,5

Cl

%io) =

max{lnry, (In T0 In In 7b) 3/1}'

Применяя к оценке последней суммы по х = И\ соотношение (2) и неравенство цН хк/у, имеем

Отсюда имея в виду, что у > кхV ехр(1п0'76х), с > 2, с5(д,То) <0,5, далее с учетом (4), получим

IV « (ехр(-с6(д,Т0) 1п°'76х)), у/Я

Теперь оценивая два первых слагаемых в Я(а, х) в зависимости от порядка величины д, получим утверждение теоремы.

Основным результатом второй главы является теорема о поведении коротких квадратичных сумм Вейля вида

х—у<п<х

Теорема 2.1. Пусть т > Ау, д < т, а = | + А; (а,д) = 1, |А| < Тогда при {2Хх} < А > 0 или {2Ах} > 1 — щ, А < 0 имеет место соотношение

Т(а,х,у) = £Мт(А;х,у) + 0{д1'2\пд),

а при выполнении условия {2А:с} > щ, А > 0 или {2А:г} < 1 — щ, А < 0, имеет место соотношение

Т(а,х,у) = ^■Т(\;х,у) + 0(д^1пд + х1/2).

Следствие 2.1.1. Пусть т > 4у, д < т, а = | + А; (а,д) — 1, |А| < Тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = ^(а, д)7(А; х, у) + 0(д1/21п д).

4 qx

Следствие 2.1.2. Пусть т > 4у, q < т, а < £ ¡pj:- Тогда умеет место оценка

| + Л; (a,g) = 1,

Т(а,х,у) Cq^lnq + x1'2.

Следствие 2.1.1 является обобщением теоремы Р. Бона33 для коротких сумм и уточнением леммы 5 в работе34.

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

Следствие 1.1.1 теоремы 1.1 о поведении тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов и следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о поведении коротких квадратичных сумм Вейля прилагаем к новой теореме об асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми, которая является основным результатом третьей главы.

Теорема 3.1. Пусть N— достаточно большое натуральное число, I(N, Н) — число представлений N суммою двух простых чисел рь Р2 и квадрата натурального тп с условиями

Vi ~

N

<Н, г = 1,2,

тп

N 3

<Я.

Тогда при Н > N* С2 справедлива асимптотическая формула:

I(N,H) =

е»2 . + 0!ЛЛ

у/Щс2 ' " \sfÑC3)

Доказательство теоремы 3.1 проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствие 1.1.1 теоремы 1.1, следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о поведении коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Рахмонов З.Х., ШОКАМОЛОВА Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т.135, №2(135), с. 7-18.

2. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами// Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2010, т. 138, №1, с. 27-40.

3. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстерма-на с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332.

4. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асинтотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми, — Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика К. X. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 114 -115.

5. ШОКАМОЛОВА ДЖ.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами — Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика К. X. Бойматова, Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 115 -116.

6. ШОКАМОЛОВА ДЖ.А. Оценка коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля — Материалы научно-практической конференции "Проблемы математических и естественных наук", Таджикский государственный коммерческий университет, Душанбе, 13-14 марта 2010 г., с. 216 -218.

Подписано в печать 12.12.10. Формат 6x84.

Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии ООО «Ховарон»

Обозначения.

Введение

1 Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами

1.1 Известные леммы.

1.2 Теорема о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами.

2 Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Оценка коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля

3 Асимтотическая формула в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми

3.1 Вспомогательные утверждения.

3.2 Основная теорема

Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм, в том числе сумм с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов и вывод асимптотической формулы для числа решений одного диофантового уравнения с простыми числами.

И.М. Виноградов [1]-[12] в 1937 году создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы

Полученная оценка для 3(а, х) в соединение с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N — р\ + Р2 + Рз, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.

Ю.В. Линник [13]-[18] с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда [19]—[20], применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностных теоремах для нулей Ь -рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки тригонометрической р<х а = - + А, |А| < —, 1 < а < т. д дт суммы S(a,x). Тем самым Ю.В. Линником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).

Н.Г. Чудаков [21]-[22] также предложил подобный метод исследования тригонометрических сумм S(a, х) с помощью оценки средних значений функции Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L-рядов Дирихле в критической полосе.

Основным результатом первой главы является теорема устанавливающая связь плотностных теорем для нулей L - рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы, с оценками линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из коротких интервалов, т.е. с суммами вида:

2 X

S(a- х, у) = ¿2 А(п)е(ап), а = - + Л, |Л| < —, 1 < q < т, х—у<п<х ^ ^

Такую сумму впервые оценил И.М.Виноградов [1]. Применяя свой метод оценок сумм с простыми числами он доказал нетривиальную оценку при exp(c(ln lna;)2) < q < ж1/3, у > х2/3^£.

И.М. Виноградов подчеркнул, что для малых q, (q < exp^nx)*5, 5 - правильная дробь, немногим превосходящая 0,5) весьма точные оценки суммы S(œ,x,y) являются непосредственным следствием известных теорем, относящихся к распределению простых чисел в арифметических прогрессиях, но только при условии, если у есть величина порядка близкого к х и а - рациональное число вида ajq, где (о,q) = 1. Для величин у, порядок которых меньше порядка х и произвольных а, вопрос оставался открытым.

В 1951 г. Haselgrove C.B. [23] получил нетривиальную оценку суммы S(a;x,y) при произвольном а и у > Ж63/64+£.

Затем В. Статулявичус [24] и Jia Chaohua [25]—[28] получили нетривиальную оценку суммы S(a,x,y), у > хв, q — произвольное, соответственно при

279/308 + е, 2/3 + е.

Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [29] доказали, что если с > 0 — произвольная постоянная, то существует q = с*(с), г — 1, 2 такие, что для па:)01 <у<х, (1п х)С2 <q< х1/6, |А| < q/xl/6, справедлива оценка

S(a,x,y) < ?/(lnх)~с.

Наилучший результат принадлежить Zhan Тао [30]. Он получил нетривиальную оценку суммы S{a\ х, у) при произвольном а и у > х5/8+£.

Определение. Пусть с>2,9<1иВ>1 абсолютные постоянные, Т > То > 0, Н >Т9, тогда оценка вида ~ N(a,TiX) « (?Г)с(1-а)(1пqT)B (1) х называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей L - рядов Дирихле по модулю q.

Теорема 1.1 Пусть х > xq > 2, h < х^ ехр(—(1пж)°'76); 1 < q < h, у > hx^ ехр(1пж)0'76; т > y2/xh, b > 2В + 8 — произвольное фиксированное положительное число,

I ехр(— In4Ina;) если q < (\nx)b, F(q,x) = <

I (lnx)ß+3 если q > (\nx)b.

Тогда справедливо равенство:

Zhan Тао [31]доказал, что соотношение (1) имеет место при с < 8/3, в < 1/3 и В < 216. Поэтому из теоремы 1 получим следующий безусловный результат:

Следствие 1.1.1 Пусть х > хо, Н < х^, ехр(—(1пгс)0'76); 1 < <7 < /г, у > Нх* ехр(1пж)°'76? т > у2/хН, Ъ > 224 — произвольное фиксированное положительное число. Тогда справедливо равенство:

Следствие 1.1 является уточнением соответствующего результата китайского математика Zhan Тао.

Доказательство теоремы 1.1 основывается на дальнейшем развитии методов работ Ю.В.Линника [13]—[14] и Н.Г.Чудакова [21]-[22], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы. Основные этапы доказательство теоремы 1.1 таковы.

Вводим вспомогательные параметры и х Л- \„ т хд12(1 + Ху) Н = - + Ху, Т0 =--г—,

У уР^х) между которыми имеет место неравенство Н > Т^3 .Пользуясь свойством ортогональности характеров и формулой, которая устанавливает связь между значениями примитивных характеров и значениями сумм Гаусса, получим

А(п)х{п)е(Хп) + 0(12). (2) modq х-у<п<х

Пользуясь преобразованием Абеля в интегральной форме, формулой о представлении ф(и,х) в виде суммы по нулям Ь(з,х) с последующим применением 7 формулы интегрирования по частям, последовательно найдем: Л(п)х(п)е(Лп) х—у<п<х

J ф(и, х)2т\е{и\)(1и + е(х\)ф{х, х) ~ е((х - у)\)-ф(х - у, х)) х-у

О/ Е / -е(«А)(/М + О((1 + |А|3/)|Д1(а:;Г0>х)|).

Ы<Тоху

Подставляя найденную формулу в (1.2.3) находим : у) - (Л - ¡)) - В,^ - IV + Я2(а; *,»), (3) X

Х1ОМХ X

4>\я) 3 у/я. х-у

Я2(а]Х:у) < (1 + |А|з/) тах ^(ж; Г0, х)т(х)| <

Xmodq ^/С/ где £^1 = 1, если по модулю д существует действительный характер XI такой, что Ь(в,х 1) имеет действительный нуль , /?1 > 1 — с/ 1п д и ^ = 0 в противном случае.

Переходя в сумме \¥ к оценкам, и пользуясь оценкой суммы Гаусса получим х ш\> чр) = /^+1п«)(4)

Хт^Хг х—у

Оценивая интеграл /(/?) по величине первой производной с учетом тривиальной оценки, находим: р)| «1"шт (У., 1

1 4 /1 тт|7 4 27гАи|/ '

При А > О все нули р = (3 + ¿7 с условием ¡7] < Т0 разобьем на множества , и следующим образом:

1>1 = |р : -Т0 + 27х\и < 7 + 27гЛгг < -27гЛж + 2-кХи - ^ | ,

2 = < р : —2тгХх + 27гЛи - - < 7 + 27гАи < 2тгАи - 2ттХ(х -?/) + ->, I У У)

3 = : 2жХи - 2тгХ(х - у) + ^ < 7 + 27гЛ^ < Г0 + 27гЛи| .

Соответственно этому разбиению через 5*1, ^ и 5з обозначим суммы модулей интеграла /(р) по нулям принадлежащим множествам Б у, В2 и Г>3. Для монотонной возрастающей функции 7 + 27гАг£ в отрезке х — у < и < х справедливы следующие соотношения X шт Ь + 2жХи\ — —7 — 2ттХх > —, если р € х—у<и<х у

X X < 7 + 27гА-и < —, если р 6 У У х тт ¡7 + 2-кХи\ = 7 4- 2-кХ{х — у) > —, если р € Дз.

Х—у<и<:Т у

Отсюда с учетом полученной оценки для интеграла 1{р), находим

4-г- ^«Е—— -2?гЛ;с ^ „^7+27гА,г,;

Все нули в множестве

Вх = : ^ < -7 - 2тгАж < Т0 - 2тгАж| , разобьем на классы Ао,А\,., Аг, г 1пТо следующим образом: в класс Ап отнесем те нули р, для которых выполняется условие пН <-7 - 2тгАж < (п + 1 )Я, если 1<п<г и ж/у < —7 — 27гАж < Н, если п = 0. Поэтому V V -Л <С — тах V ж" —7 — 27гАж X ¡Т|<Т0, п=0 реАп ' ' — Т<7<Т+Я

Такую же оценку получим и для суммы ¿з. Полагая Т = —27гХх — х/у, имеем:

Г 2х1 2х

2=^л:Т<7<Т + 2тт\у + — } , 2тгА у + — = 2 Я, I У ) У т.е. промежуток суммирования в имеет длину порядка Н, следовательно и для нее получим такую же оценку , что и для суммы 5*1. Подставляя эти оценки в (1.2.7), найдем:

У1 ТТЛ тт,

7)

Т<-у<Т+Н

Для оценки И^ воспользуемся плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей Ь - рядов Дирихле по модулю д и теоремой о границе этих нулей. Имеем щ ^ щ1 / ^Т + Я'~ Т'+х~"яН 1п

С1

IV« ^ тах = У х». (5)

0,5 X™1 тах{1п<7, (1пТ01п1пТ0)3/4}'

Применяя к оценке последней суммы по х XI соотношение (1.2.1) и неравенство дН «С х1г/у, имеем щ<яЛ^( (ь**)с6{яЛ) + (0*1) °'5С + 2 ~ <р(ч) I \ 2/ / V у / у

Отсюда имея в виду, что у > Нх^ ехр(1п0,76 х), с > 2, с^(д,Т0) <0,5, далее учетом (1.2.4), получим и1В+з

У/ « (ехр(—с<5(д, То) 1п0'76 х)) , (а^1"1/ + ехр(~сд(д,Т0) 1п°'76 х)1в+3 + Г(д,х)) . у/Я.

Теперь оценивая два первых слагаемых в Я(а,.г) в зависимости от порядка величины б/, получим утверждение теоремы.

Г. Вейль [32] построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т(ат, ат1, = (Д'0) > /№ = ат¿т + + ■■■ + п<х которые в его честь И.М.Виноградов1 назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы Т(а:&, агд-х,., «х) степени к к оценке суммы степени к — 1 и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена /(£) в отрезке [а. Ь] С [0,1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов [1] занимаясь проблемой Варинга в 1934 г. создает новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым [33]), в проблеме Гильберта - Камке (К. К. Марджанишвили [34]), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа \Т(ап,., ах, М)\2к. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |Т(ап,., ах, А^)|2/с более простой оценкой интеграла

1 х о о то есть оценкой этой суммы "в среднем" по всем щ,. . . а„ и поэтому теорема об оценке J(N^,n,k) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. Он получил асимптотически точную оценку величины J(N^, п, к) вида г); п(п+1)

J(N■, п, к) < М2к--~

Отметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген[35]-[36]. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником [15] было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р-адическое доказательство, т.е. использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода [37]. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; п, к) при малых значениях к (см. работы [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм[10]. Данная задача была решена Г.И.Архиповым[46] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [41], [47] дали обобщение рсультатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков[48]-[50] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течении 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков[51]-[52] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения. и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [43]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте[53]-[54].

Суммы Вейля при маленьких степенях т <12 ъ множестве первого класса рассматривались отдельными математиками и наилучший результат принадлежит английскому математику Р.Вону [57]- [59]. Суммы вида е(апт), у = хв, 0<1 х—у<п<х называются "короткими тригонометрическими суммами Вейля. Короткие тригонометрические суммы Вейля при т = 2ит = 3в множестве первого класса рассматривались в работах [60] -[62] при исследовании асимптотических формул с почти равными слагаемыми в тернарной проблеме Эстермапа, и в проблеме Варинга для девяти кубов.

Основным результатом второй главы является теорема о поведении коротких квадратичных сумм Вейля вида

Т(а-,х,у)= е(ап2), х—у<тг<х

Теорема 2.1. Пусть т > 4у, д < т, а = ^ + А; (а, д) = 1, |А| < Тогда при {2Аа;} < щ, А > 0 или {2Аж} > 1 — А < 0 имеет место соотношение

Т{а, х, у) = я, у) + 0{д1'21п д), а при выполнении условия {2Ла;} > щ, А > О или {2Хх} < 1 — щ, А < О, имеет место соотношение

Т(а, х, у) = у) + 0(дУ21п д + х1'2).

Следствие 2.1.1. Пусть г > 4у, <? < т. а = ^ + Л; (а, д) = 1; |Л| < ^. Тогда имеет место соотношение

Т(а, х, у) = ^(а, дЫХ- х, у) + 0(Я1'21п <?).

Следствие 2.1.2. Пусть т > 4г/, д < г; а = ^ + Л; (а, д) = 1, ^ < |А| < —. Тогда имеет место оценка дт ~

Т(а,х,у) < д1/21пд + ж1/2.

Следствие 2.1.1 является обобщением теоремы Р. Бона [57] для коротких сумм и уточнением леммы 5 в работе [60].

Доказательство этой теоремы проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических сумм по величине модуля производных первого и второго порядка, оценки тригонометрических интегралов.

Ез1:егтапп [63] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

VI + р2 + т2 = ТУ, (6) где р1, р2 —- простые числа, т — натуральное число. В работе [60] эта задача исследована с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (6) с условиями N

Й--3 Я; г = 1,2,

2 ^ т "7

Следствие 1.1.1 теоремы 1.1 о поведении тригонометрических сумм с простыми числами, переменное суммирование которых принимает значения из коротких интервалов и следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о поведении коротких квадратичных сумм Вейля прилагаем к новой теореме об асимптотической формулы в проблеме Эстермана с почти равными слагаемыми, которая является основным результатом третьей главы.

Теорема 3.1. Пусть N — достаточно большое натуральное число, /(А/", Н) -число представлений N суммою двух простых чисел р\. Р2 и квадрата натурального т с условиями

VI

N ¥

Н, / = 1,2, т~ У я.

Тогда при Н > ЛТ*С2 справедлива асилттотическая формула:

Н) ен2 „ ( н2 4-о у/ЩС2 ' \VNCy е-вЮ-ПИ?)^;

Доказательство теоремы 3.1 проводится круговым методом Харди, Литтлву-да, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова его основу, как уже отмечали, составляют следствие 1.1.1 теоремы 1.1, следствия 2.1.1 и 2.1.2 теоремы 2.1 о поведении коротких квадратичных тригонометрических сумм Вейля.

В заключение автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

1. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, №9, с.5-16.

2. ВИНОГРАДОВ И.М. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН, 1937, т. 10, с.5-122.

3. И. М. виноградов Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, т.15, №2, с.109-130.

4. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G{n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, т.23, No 5, с.637-642.

5. Hardy G.H. Littlwood J.E. Some problems of "Partitio Numerorum". I: A new solution of Waring's problem // Gott. Nachr.(1920) p.33-54.

6. Hardy G.H., Littlwood I.E. Some problems of partitio numerorum III: On the expression of a number as a sum of primes // Acta Math., 1922, 44, p. 1-70.

7. ЧУДАКОВ Н.Г. On Goldbach-Vinogradof's theorem // Ann of Math.,1947, 48, p. 515-545.22. чудаков Н.Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — м.-л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947.

8. HASELGROVE C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,26 (1951),273-277.

9. Zhan Tao, On the mean square of Dirichlet L functions // Act,a Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204-224.

10. JIO-KEH ХУА, Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР, 1947, т.22, с.1-179.36. хуа Ло-ГЕН, Метод тригонометрических сумм. — М.: Мир, 1964, 190 с.

11. Архипов Г.И., карацуба A.A. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, т.42, №4, с.751-762.

12. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987.44. соколинский В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных // Изв. ВГПИ, 1979, т.201, с.45-55.

13. ТЫРИНА О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.

14. ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.50. чубариков В.Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.799-816.

15. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

16. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.53. чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, Т.278, №2, с.302-304.

17. ЧУБАРИКОВ В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

18. ВОН P. Метод Харди-Литтлвуда. — M.: Мир, 1985.

19. РахмоНОВ З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.61. рахмонов З.Х.,ШозиЁБВА С.П. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2002, Т. 44, №3-4, стр. 7-17.

20. РАХМОНОВ З.Х., МИРЗОАВДУГАФУРОВ К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г. В ей л я // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.

21. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.64. дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. — M.: Наука, 1971.

22. ПРАХАР К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.

23. КАРАЦУБА A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983, 2-ое изд.67. уиттекер Э.Т., ВатсоН Дж.н., Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. — М.: Фнзматгиз, 1963, 342 с.

24. РАХМОНОВ З.Х., ШОКАМОЛОВА Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т. 135, №2(135), с. 7-18.

25. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами// Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2010, т. 138, №1, с. 27-40.

26. ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана, с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53, .№5, с. 325-332.