Прочность и разрушение многослойных тонкостенных структур при высокоградиентных воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

«і

)

На правах рукописи

ФАМ ТЬЮНГ

ПРОЧНОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТРУКТУР ПРИ ВЫСОКОГРАДИЕНТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 9 НОЯ 2012

Москва-2012

005055906

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Лурье Сергей Альбертович

Официальные оппоненты: Дудченко Александр Александрович,

доктор технических наук, профессор, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), профессор.

Лычев Сергей Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлин-ского РАН, доцент.

Ведущая организация: Институт машиноведения им. A.A. Благонра-

вова РАН.

Защита состоится «14» декабря 2012 г. в «15—» часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан «■/-£.» ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ( —- Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время, различные покрытия используются практически во всех отраслях промышленности для защиты конструкций от температурных и химических воздействий, для придания необходимых защитных свойств поверхностям, а также для обеспечения нужных эксплуатационных качеств конструкции в целом. Активно развиваются технологии создания тонкослойных композитных покрытий (слоистых покрытий, функциональных покрытий, армированных включениями и пр.). Такие технологии позволяют получать конструктивные элементы с повышенными эксплуатационными характеристиками и могут применяться в различных отраслях промышленности от авиации до микроэлектроники. Решение проблемы проектирования и получения покрытий специального назначения требует не только экспериментального, но и тщательного теоретического исследования на основе предварительного моделирования. При этом с точки зрения механики деформирования твердых тел, следует проводить дополнительные исследования по анализу напряженно- деформированного состояния (НДС) в покрытиях, изучать зависимость напряжений от геометрических характеристик (толщины) и физико-механических свойств отдельных слоев слоистой системы. Следует также исследовать влияние на НДС скоростей изменения температур, особенно в области межслойных границ, оценивать степень влияния дефектов на деформацию, прочность и разрушение покрытий. Указанные проблемы непосредственно связаны и с микроструктурой покрытий, что необходимо учитывать при разработке специальных защитных покрытий из неоднородных материалов с развитой микроструктурой. Решение этих проблем путем предварительного моделирования и оптимизации может позволить ускорить и упростить разработку новых типов высокоэффективных покрытий, адаптированных для различных эксплуатационных режимов работы. При описании физико-механических свойств тонких, многослойных и функциональных покрытий в условиях воздействия различных физических полей имеется существенный теоретический пробел, заключающийся как в отсутствии адекватных моделей, так и в недостатке соот-

ветствующих методик прочностного расчета. Поэтому тема диссертации, посвященной разработке моделей деформирования и методов расчета тонкослойных покрытий, является актуальной.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертации является разработка моделей деформирования тонкослойных композитных структур с использованием градиентных моделей термоупругости и теплопроводности, а также формулировка соответствующих математических моделей (краевых задач), методов определения термоупругих и теплофи-зических характеристик структур с покрытиями микро/нано- размерной толщины. Разрабатываемые модели должны учитывать неоднородность слоистых композитных покрытий, масштабные эффекты, влияние скорости изменения температурных полей, особенности распределения температурного поля с учетом термобарьерных граничных эффектов. Определение напряженно-деформированного состояния тонкостенных слоистых структур с учетом масштабных эффектов, оценка прочности многослойных покрытий также является целью диссертации.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Предложен вариант градиентной теории термоупругости, построенный, как обобщение прикладной модели межфазного слоя на термоупругие процессы путем использования гипотезы Дюамеля-Неймана.

2. Исследованы особенности деформирования многослойных покрытий с учетом градиентных эффектов в зависимости от скоростей изменения температур по координатам. Показано, что учет градиентных эффектов позволяет установить существенное влияние характера и скорости изменения температуры на распределение перемещений, деформаций и напряжений (неклассические эффекты).

3. Предложен деформационный критерий прочности для прогноза разрушения многослойного покрытия при увеличении его толщины. Получено теоретическое подтверждение экспериментальных данных по разрушению покрытий при наращивании их толщины.

4. Предложена модель градиентной теплопроводности, показано, что эта модель позволяет описывать эффекты термосопротивления в неоднородных структурах (эффект Капицы) с непрерывным распределением температур.

5. Показано, что решения, полученные с использованием градиентной термоупругости, позволяют прогнозировать эффект локализации НДС в окрестности межслойных зон в покрытии, который качественно объясняет имеющиеся экспериментальные данные.

6. Дана математическая постановка краевой задачи для плоской деформации в рамках градиентной модели термоупругости; получено решение плоской задачи, позволяющее оценивать напряженное состояние в сверхтонких структурах.

Практическое значение работы.

1. Прикладные градиентные модели термоупругости, построенные на их основе уточненные решения, имеют прикладное значение, так как являются основой для построения прикладных методик расчета напряженно-деформированного состояния, оценки прочности и разрушения многослойных композитных покрытий с учетом масштабных факторов, позволяющих уточнить и учесть локализацию деформаций и напряжений, возникающих за счет градиентных эффектов. Таким образом, повышается достоверность оценки прочности конструкций с тонкослойными покрытиями, работающими в условиях высокоградиентного температурного воздействия.

2. Прикладное значение имеет и модель градиентной теплопроводности, учитывающая термобарьеные эффекты в составных неоднородных структурах, ибо она позволяет в значительной степени приблизиться к моделированию реального непрерывного распределения температурного поля в тонкослойных композитных покрытиях.

3. Решения, полученные с привлечением градиентных теорий термоупругости и теплопроводности, методики оценки напряженно-деформированного состояния, прочности, разрушения, а также алгоритм оптимизации структуры с целью снижения уровня температурных напряжений и деформаций покрытий, ис-

пользуемые в работе, представляют практический интерес и могут привлекаться для проведения инженерных расчетов.

Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов определяется строгостью используемых математических методов, моделей теории упругости, термоупругости и теплопроводности, а также обеспечивается последовательным анализом физической адекватности полученных результатов и сравнением полученных решений с известными экспериментальными данными, результатами, приведенными в публикациях других авторов.

Апробация работы и публикации. Основные результаты обсуждались на заседании кафедры «Прочность авиационных и ракетно-космических конструкций» Московского авиационного института (национального исследовательского университета), докладывались на объединенном научном семинаре ВЦ РАН, ИПРИМ РАН, МГУ «Междисциплинарный семинар по моделированию масштабных эффектов в проблемах механики и физики» под рук. Академика РАН Е.И. Моисеева, проф. С.Я. Степанова, проф. С.А. Лурье, на научном семинаре лаборатории «Неклассические модели механики композиционных материалов и конструкций» ИПРИМ РАН, на Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17-20 апреля 2012 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит 117 страниц. Список используемой литературы включает 80 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.

В первой главе приведены краткий обзор научной литературы, посвященной развитию градиентных теорий упругости, обзор экспериментальных данных об особенностях деформирования и разрушения многослойных тонкостенных покрытий. Отмечено, что фундаментальные результаты в области построения градиентных моделей сред (микроструктурные модели сред Р.Д. Миндлина, P.A. Тупи-на, В.Т. Койтера, микрополярные теории сред и другие варианты градиентных теорий упругости) были получены уже в 60-х годах прошлого века в работах Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского (1960г.), Р.Д. Миндлина (1964г.), P.A. Тупина (1964г.), В.Т. Костера, В.А. Пальмова, Хадчинсона, Флэка, Е.С. Айфантиса. Прикладные исследования в этом направлении активно развивались и России и за рубежом параллельно в рамках континуальных градиентных моделей, физических моделей теории дислокаций, а также методами молекулярного и квантово-молекулярного моделирования в работах Аскеса, Гольдштейна, Гуткина и Овидько, Лурье, Ма-уджина, Индейцева, Нормана, Морозова, Матвеенко, Кривцова, Шардакова и др.

Во второй главе дается постановка моделей градиентной теории упругости и термоупругости. Основной особенностью градиентных теорий является определение напряжений с учетом повышенных порядков производных от перемещений.

Модель градиентной термоупругости построена на основе, частного, наиболее простного варианта градиентных моделей - прикладной модели межфазного слоя. Лагранжиан прикладной модели межфазного слоя может быть представлен в следующем виде:

где, А - работа внешних сил на векторе перемещений Д.; /и, Л- коэффициенты Ламе; • в ; , ' ащ , I ¿4 1 э'я,

=----Э.л> в = в = — = ~ , е ""О .. 1 Р Д. » 1 й Д

2dXj "" axt' ' дх, дх,дх/ f'~2 8Xj 2дх, 4 &,&„"* 4&,ах.

^ i ад, | 1эл, 1 dRt

у" 2 Эху + 2 OJC, 2 дх, *

Зд-компоненты тензора Леви-Чивиты; в - объемная деформация; уц-

компоненты тензора девиатора деформаций; С - дополнительная физическая постоянная модели (неклассический модуль), которая определяет когезионные взаимодействия.

Для учёта температурных воздействий введём классическую гипотезу Дюа-меля-Неймана.

6у=в-вт=в-а-AT где ву - упругие деформации изменения объёма, в - полные деформации изменения объёма, 0T=a-AT- температурные деформации, а - коэффициент термического расширения, AT - изменение температуры, дт' = SAT AT" = ° т" = ° АТ ■

дх ' ох2 ' дх3

Тогда лагранжиан градиентной модели термоупругости имеет вид:

dV

U J U J с (2)

t (2ц + Xf дв дв _ 2(2ti + Xf двд(а-АТ) С дх, дх, С дх, дх,

Для проведения тестовых исследований применялась одномерная постановка модели градиентной термоупругости для слоистой композитной среды. Лагранжиан такой модели имеет вид:

l-AM

Е(г'У+^(г"У -2а\КАТг' + ^АГг" | |dc

здесь г(х) - компонента перемещений в направлении оси х, Е - модуль упругоСТИ, = = Г-W = ff + xW

Математическая постановка одномерной задачи дается вариационной фор-

мой:

6Ь = 0:

р! р2 ЗА - }(Ег'8г' + г"5г" - а(КАТ5г' + =^-АТ'бг"))сіх

= 8А-]

Ег'8г"-^-г'у - а|лГД7" - -

рг р2 ^ /г2

Ег' - —г" - КаАТ + а— АТ" \8г - —(г" - а ■ АТ')8г' С С ) С '

Уравнения равновесия с учетом температурного воздействия имеют соответственно вид:

& ~ тН" + - ВД') = 0, («= 1...«)

С( с,

а граничные и контактные условия записываются следующим образом: 'Ф)^=0, г'(х)х_д = О

—(г'-аДТ')хх =0, Ег' -—г" + а(—АТ" - КАТ) =0. С ' С с °

г, (х, ) = »",+ 1 (*,). ) = ГІ, (х,),

(4)

(5)

7Н1 ~амАТ^ ),._„

= !...(«-1)

(6)

г? 2

г, ' _ Дц-1 » ^м'ї+І г 1+1 + а|Ч1

4+1

//г-*,

Ґ^АТМ"-КМАТІ+;

Во третьей главе изложены результаты моделирования деформаций в слоистых композитных структурах на основе градиентной модели термоупругости. Проведено исследование решения задачи о деформации полупространства и двухслойной структуры в рамках градиентной термоупругости. Показано, что предложенная модель термоупругости позволяет учесть влияние высокой изменяемости температурного поля на напряженно-деформированное состояние среды. Для частного случая слоистой среды продемонстрированы основные особенности распределения полей деформаций и напряжений в окрестности зон контакта. На ри-

сунках 1,2 представлена зависимость распределения деформаций и напряжений, возникающих в направлении нормали к плоскости слоёв покрытия, в случае различных физико-механических параметров материалов структуры. В тестовых задачах, в качестве модулей упругости взяты безразмерные модули упругости, масштабный параметр к = С/Е имеет размерность * \/(длина)2. В случае учета масштабных эффектов, модель прогнозирует возникновение локальной концентрации напряжений в области границ разнородных слоёв. Существенные поправки дает градиентное решение в отношении учета изменяемости температур по сравнению с классическим решением.

ег(х)

£, = 10,а, = 10 = 1,а2 = Ю-'[К"']; £, =10, а, =10-\Е, = 1,я, =10"'[К"'], о«* £, =1 ,а, =10"*,£, =10,0, =10-'[К.-1];

покрытие

Рис. 1. Характер распределения деформаций и напряжений в двухслойной структуре при п = 2; Я = 10 в случае различных значений термомеханических характеристик слоёв. Масштабный параметр к = С!Е принят равным /с = 1. Расовії ^

деление температуры задавалось по градиентному закону: Г(х) = 1000 е " , здесь н - протяженность рассматриваемого фрагмента среды [мкм]; п> 0 - параметр, характеризующий градиент температурного поля; аг,, а2[К~'] - коэффициенты термического расширения.

Исследовано влияние различных значений масштабных параметров модели на уровень температурных напряжений и деформаций. Показано, что в зависимости от масштабных параметров микроструктуры в покрытии могут возникать напряжения различного знака (рис. 2).

£Г(х)

АГ = 10 к = І АГ = 0.1

покрытие

■ ..........1-

подложка

0-2 ал

Рис. 2. Распределение напряжений в слоях структуры. Влияние масштабных параметров модели к на распределение напряжений, возникающих в слое-покрытии. Параметры модели: Е1 = 10, а, = 10 5[К1 ]., Е2 = 1 ,а2= 10 6[К-1 ].

На рисунке 3 приведена модель структуры для описания многослойных структур при температурном нагружении. Рассматривалось многослойное метал-локерамическое покрытие (рис. 3).

2200°с

н,

1 ч

н—Ь

100°с

60'С

н2

КІрОХШІ | КСТШИ 2

П. ; ь, і

сталь 2000 ига

Рис. 3. Одномерная модель многослойного композитного покрытия на подложке.

В результате решения краевой задачи (4)-(6) сначала определялся характер распределения деформаций и напряжений в случае учета термосопротивления на границе слоев за счет введения "ступенчатого" распределения температуры для структур, состоящих из различного числа слоёв. На рисунке 4. приведено найденное распределение деформаций и напряжений в структуре металлокерамического покрытия, состоящего из слоёв керамики и металла.

п

0ЛГЛ 0.0)5 ОЛЮ Й.003

сг.ГПа

п

п

и

50 »05 1*1 21»

^¡х.мкм

рр-

Ш Ш

■ х.мхм

Рис. 4. Распределение деформаций и напряжений в 5-слойном покрытии в направлении нормали к плоскости слоев.

Отметим, что в решении этой задачи по классической термоупругости напряжения отсутствуют - то есть классическое решения для рассматриваемой незакрепленной структуры предсказывает только наличие температурных деформаций, без возникновения напряжений. Представленные на рис 4. напряжения определяются лишь градиентной («моментной») составляющей найденного решения.

Предложен деформационный критерий прочности. Введено предположение, что разрушение в покрытии наступает в случае, если максимальные средние деформации в каком-либо керамическом слое покрытия достигают предельного значения, найденного из эксперимента. Предполагается, что для оценки прочности покрытий высокой твердости (керамических, твердосплавных и металлокера-мических) можно использовать постановку задачи термоупругости в рамках линейной теории упругости и предполагать, что разрушение покрытия начинается в хрупких и твердых слоях керамики, которые деформируются по упругому закону вплоть до разрушения. Показано, что путём подбора толщин слоёв покрытия возможно получать структуры, в которых при заданном градиенте температурного поля уровень критических деформаций не возникает.

Предложенная методика позволяет рассчитывать структуры и с переменными толщинами слоев. Например, было проведено моделирование варианта покрытия с переменными толщинами металлических и керамических слоев в металло-керамическом слоистом покрытии (см. рис. 5). На рисунке 5 представлено распределение деформаций в структуре из 8 пар слоёв с толщиной слоёв керамики и металла:

Н = {ЗО, 20, 10, 10, 10, 10, 10, 10}, Ь = {1, 1, 4, 4, 4,4, 4, 4}.

е

Рис. 5. Распределение деформаций и напряжений в структуре из 8 пар слоёв с переменной толщиной слоёв керамики и металла.

В четвертой главе исследуется влияние характера распределения температурного поля на напряженно-деформированное состояние слоистых структур. Рассмотрены различные варианты задания функций температурного поля в тонких композитных покрытиях: 1). классическое (линейное) распределение температуры в каждом слое, 2). распределение с учетом скачков температурного поля на межслойных границах (учет термосопротивления), 3). распределение температурного поля, найденное по градиентной модели теплопроводности.

Впервые предложена модель градиентной теплопроводности для описания процессов стационарной теплопроводности в слоистых структурах с учетом термобарьерных граничных эффектов. Уравнение теплопроводности в одномерной постановке имеет вид:

Я(Т"-Є2-Т,1Г) = 0 (7)

Граничные условия следуют из вариационной постановки модели:

¡т = т0, я(т'-г2т') = а

Здесь Т0, г0, <2а, <70 - заданные значение температуры, производной от температуры, потока и неклассического потока на границе среды, Я - коэффициент теплопроводности, і - масштабный параметр модели, определяющий протяжённость

13

локальных градиентных эффектов, которые реализуются в данной среде в области

границ раздела, 7" = —, Т" = —-, Т" = —-. На контактных границах ставятся

дх дх дх

четыре условия:

7;=:Г2, Т;=Т;,

'^(т1'-е>2-тГ)^я7(т;-г22-т2я), (9)

Здесь индексами обозначены параметры, относящиеся к различным фазам. Последнее контактное граничное условие в (9), с учетом равенства производных от функций температуры на границе среды, может быть записано следующим образом:

где Яу = RSÍ - ЯХ2 - термосопротивление контактной границы, определяемое разностью соответствующих параметров контактирующих фаз.

В работе показано, что предложенная модель позволяет описывать эффекты изменения температуры в окрестности границ с непрерывным распределением температурного поля. Эффект термосопротивления учитывается за счет параметра термосопротивления Л, в градиентной модели. Примеры распределения температур по длине пятислойного покрытия при различных значениях параметра Л, приведены на рисунке 6.

Т(х), °С

2000 L4 \ Ч 1 v—

1500

1000

500 1

S0 100 150 200 250 300 '

Рис. 6. Распределение температуры в покрытии и в подложке в случае различных значений параметров Rs [Вт.К'2]. 1: Rs = 0.7289, 2: Rs = 0.725, 3: Rs = О Вертикальная линия соответствует границе раздела покрытия с подложкой.

14

Установлено, что характер распределения температур в структуре оказывает значительное влияние на распределение напряжений. Поэтому здесь при расчете напряжений были рассмотрены различные варианты распределения температуры (по разным моделям учета эффекта термосопротивления на контактных границах). Показана существенная зависимость НДС покрытий от выбранной модели теплопроводности. Заметим, что использование градиентной теплопроводности дает более адекватную физическую картину в распределении температур (непрерывное поле температур). Установлено, что использование градиентной модели теплопроводности приводит, в результате, к изменению знака напряжений в структуре по сравнению со случаем, когда термосопротивление приближенно

моделируется скачком температуры (рис. 7).

£Г(Х)

гл

1

{ 150

X, мкм

Рис. 7. Характер распределения напряжений в металлокерамической структуре в направлении нормали к плоскости слоёв. Сплошная линия - задано градиентное непрерывное распределение температуры, пунктирная линия - задано распределение температуры со скачками на границе слоёв.

В пятой главе получена плоская постановка модели градиентной теории термоупругости и проводится решение задачи о равновесии бесконечного слоя и двухслойной структуры на жестком основании при действии силовых и температурных нагрузок.

На основе вариационного принципа получены уравнения равновесия и граничные условия.

Уравнения равновесия плоской задачи термоупругости имеют вид:

е- а4д, с2 а'я, д'+с2 а4д, а'д, а2д, е2-с2 а% | д2-о2 а4д, а'/г, ( с а*4 + с а/ + с а*2а><2 дх2 ~ ду2 с дх'ду с асе/ 'дхду

((£ )2 ,а'г з'г . гт

+ -——а(—г +-г) —

( с а*3 ахэ/ ах

г'а'д, g'8% E2+G2 д% д% а'д, д'-g'а'д, E2-G2 д% а2д,

^ з..« + ^ л.< + ^„i а-" с arV> с аха^

с а/ с а»4

с ах2а/ а/

а»ау

^ с дх2ду В/ ду)

Граничные условия на границе слоя (X = Const):

■» г^ п л. г- л Л r Av^A- v ' I Л-2 Л-2

(11)

с аг5 с &3у2 ~ дх ' С ду* С дх'ду " ' 8у С ду1 дх2

С2д>я, д'+о'а-'я, ед, г;2 а1 л; | е2-о2 5-4 сад, Г (д1)2 ^ а2г ^

с + с &эу2 С ду1 С дх2ду ду С дхду)

с2а2д, с2э2д, дад,_0 с с асф» аг

с &2 + с ах^ а« [ с " а« ] Решение задачи проводилось с использованием интегрального преобразования Фурье.

^(х,и) = -у=}/?,(*, у)«""^, Л,= {х,со)е-*Чсо

Ф(д^) = ]т(х,у)еш>Лу, Т(х,у) =

Исходная система уравнений в частных производных была сведена к единственному уравнению восьмого порядка относительно скалярной функции-потенциала.

Вводятся следующие обозначения для дифференциальных операторов при записи уравнений равновесия:

"Е2-в2д' ,Е2~в2

41 Сдх* { С )дх2 ( С )

с at5 v с дх

с ах" G2 а4 (Е2 +G2 ,

-o? + E-G)— С дх

(13)

с а«4

с Jar2 I с

Для записи граничных условий вводятся следующие дифференциальные операторы:

щ

¿А.

Е1 Э1 (Е2+02 г .ЛЭ

---—г + -со + Е —

С дх1 { С ) дх

Ег-в2 . д2 („. О2 . ,

--ш—Оно--/а)

С дх' [ С

Е2-С2. д2

--¡со—=-

С дх2

^-/а>3 + (Б - 2G)iшj

' С дх1

е2 + о2 г .Л а

-со + С —

С ¡дх

щ .1 -Я11т±)#1+в-1 3 1 С дх) 1 I С дх2 дх} 2

а2 . а V (е2 . д

—А— #.+ —/со—

дх2 дх I I С дх 2

После введения потенциала перемещений в пространстве изображений Фурье: Уравнения равновесия и граничные условия в операторском виде имеют вид:

V с

,4, , ^ ] = -Каф + (о®)1 ф +

В качестве иллюстрации, был исследован ряд прикладных задач о деформировании однослойных и двухслойных покрытий в условиях силового нагруже-ния. При этом получено следующее дифференциальное уравнение восьмого порядка

С2 Е2 д<р' ' С С дх'

'£0(С(£ + 0) + 4Е0й>2)'

д<р" дх6

Ев (С2 + ЗС(Е + 0)ш2 +6ИС]со<) С2

д<р' дх'

ЕСа)г(2С2 + ЗС(£ + й)са2 + АЕОО>а\\()Л? (Е2 , „ ,¥С2 4

-^-^-- ——-со + Есо —со

С2 дх [с А С

' + ва)2 \<р = О

Общее решение записанного уравнения имеет вид:

!с+а а? 1с+са2 ¡С+Ою1 ¡С^Ога1

<р(х) = С,е' 0 '° " + * " + ' Е " + С5е~" + С6хе'°" + С7е"" + С%хе"" Обратное преобразование Фурье было построено численно. Затем деформации

рассчитывались по формулам Коши^ =—, е =—, е =е =-(— + —). Напря-

* дх у ду " ** 2 ду дх

жения определялись по формулам закона Гука.

На рис. 8 представлен характер распределения перемещений в структуре покрытия под действием нормальной силы.

Рис. 8. Распределение перемещений по толщине слоя под действием нормальной распределённой силы на участке у={-1,1}.

Исследована зависимость изменения перемещений покрытия от его толщины и градиентного параметра модели С (см. рис. 9). Показано, что максимальные нормальные перемещения уменьшаются для покрытий меньшей толщины. При этом учет масштабного эффекта (параметр С) приводит к эффекту ужесточения основания. Отметим, что малое значение масштабного параметра С соответствует большей протяженности градиентных эффектов в окрестности границ (С = оо соответствует классической теории упругости).

Ь = 1 мкм Ь = 5 мкм

Рис. 9. Характер изменения нормальных перемещений на верхней границе покрытии при увеличении толщины слоя и в зависимости от градиентного параметр модели С. 18

Построенное решение позволяет определять напряженное состояние и для сверхтонких однородных покрытий в случае силового и температурного нагру-жения, даже если толщина покрытия соизмерима с длинной взаимодействий пограничных градиентных - «моментных» эффектов (масштабные эффекты), когда классические модели упругости неприменимы. Такие ситуации могут возникать, например, при моделировании специальных покрытий в микроэлектронике. Очевидно, что приведенная в работе процедура построения решения для плоской задачи градиентной упругости может использоваться и для моделирования слоистых покрытий.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Построена градиентная модель термоупругости в одномерной и двумерной постановке в приложении к определению напряженно-деформированного состояния тонкослойных структур.

2. Построена градиентная модель теплопроводности слоистых покрытий, учитывающая термобарьерные граничные эффекты.

3. Получена оценка влияния характера распределения температурного поля с учетом граничных термобарьерных эффектов (в рамках классической и градиентной моделей теплопроводности) на уровень напряжений и деформаций в композитном покрытии.

4. На основе предложенного деформационного критерия прочности для тонкослойных покрытий, подверженных нагреву с быстрой изменяемостью температуры, разработан алгоритм выбора оптимальных толщин слоев композитного покрытия с целью повышения его термопрочности.

5. Дана постановка плоской задачи для градиентной турмоупругости. Получено решение задачи градиентной теории упругости для бесконечного слоя с целью учета масштабных эффектов в распределении напряжений для сверхтонких структур.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых научных изданиях и журналах:

1. Лурье С. А., Фам Тьюнг, Соляев Ю. О. Градиентная модель термоупругости и её приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Механика композиционных материалов и конструкций / Изд. ИПРИМ РАН, 2012. Т. 18. №3. С. 440 - 449.

2. Лурье С. А., Соляев Ю. О., Тарасов С.С., Фам Т. Сопоставление модели градиентной теории упругости и классической модели сред с переменными свойствами // Электромагнитные волны и электронные системы / Изд. Радиотехника, 2012. № 3. С. 25-30.

В других научных изданиях и журналах:

1. Лурье С. А., Фам Тьюнг, Соляев Ю. О. Метод расчёта на прочность тонкослойных композитных структур при высокоградиентных воздействиях // Сборник докладов Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике-2012». Москва, МАИ, 17-20 апреля 2012г.

2. Фам Тьюнг. Градиентные эффекты в тонкостенных структурах .при градиентной термоупругости // Сборник докладов 11-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика 2012» . Москва, МАИ, 13 - 15 ноября 2012г. (принято к печати).

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от/2, { / 201£ г. Тираж 80 э-

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ИМЕЮЩИХ ОТНОШЕНИЕ К ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1.1. Краткий обзор работ, посвященных градиентным моделям.

1.2. Анализ градиентных теорий.

1.3. Градиентная теория деформаций.

1.4. Обзор экспериментальных данных по тонкослойным покрытиям.

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЕЙ ГРАДИЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ.

2.1. Модель градиентной теории упругости типа Тупина.

2.2. Прикладная модель межфазного слоя.

2.3. Градиентная модель термоупругости.

2.4. Одномерная постановка модели градиентной термоупругости для слоистой композитной среды.

2.5. Трактовка градиентной теории упругости: сопоставление с классической моделью сред с переменными свойствами.

2.6. Результаты численных вычислений.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАДИЕНТНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОСТИ.

3.1. Тестовое моделирование термоупругих процессов в модели полубесконечной среды и в модели двухслойной среды.

3.2. Моделирование термоупругих процессов в многослойных структурах.

3.3. Прочность многослойных композитных структур.

3.4. О выборе рациональной структуры покрытий.

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР.

4.1. Модель теплопроводности с учетом скачков температуры на межслойных границах композитного покрытия.

4.2. Модель градиентной теплопроводности с учетом термосопротивления границ.

4.2.1. Математическая постановка градиентной модели теплопроводности с учетом термосопротивления границ.

4.2.2. Постановка краевой задачи градиентной модели теплопроводности для слоистого покрытия.

4.2.3. Численное моделирование и обсуждение результатов.

4.3. Влияние различных вариантов распределения температурного поля на характер напряженно-деформированного состояния композитного покрытия.

ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ПОСТАНОВКА МОДЕЛИ ГРАДИЕНТНОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СТУКТУР.

5.1. Постановка градиентной теории упругости для задачи о плоской деформации слоя.

5.2. Постановка градиентной теории термоупругости для задачи о плоской деформации слоя.

5.3. Решение задачи о равновесии бесконечного слоя.

5.4. Сведение силовой задачи к уравнению восьмого порядка и алгоритм построения численного решения.

5.5. Результаты численных вычислений.

5.5.1. Зависимость НДС от толщины слоя и градиентного параметра.

5.5.2. Исследование сходимости численного решения.

5.5.3. Моделирование двухслойного покрытия.

Актуальность работы.В настоящее время, различные покрытия используются практически во всех отраслях промышленности для защиты конструкций от температурных и химических воздействий, для придания необходимых защитных свойств поверхностям, а также для обеспечения нужных эксплуатационных качеств конструкции в целом. Активно развиваются технологии создания тонкослойных композитных покрытий (слоистых покрытий, функциональных покрытий, армированных включениями и пр.). Такие технологии позволяют получать конструктивные элементы с повышенными эксплуатационными характеристиками и могут применяться в различных отраслях промышленности от авиации до микроэлектроники. Решение проблемы проектирования и получения покрытий специального назначения требует не только экспериментального, но и тщательного теоретического исследования на основе предварительного моделирования. При этом с точки зрения механики деформирования твердых тел, следует проводить дополнительные исследования по анализу напряженно-деформированного состояния (НДС) в покрытиях, изучать зависимость напряжений от геометрических характеристик (толщины) и физико-механических свойств отдельных слоев слоистой системы. Следует также исследовать влияние на НДС скоростей изменения температур, особенно в области межслойных границ, оценивать степень влияния дефектов на деформацию, прочность и разрушение покрытий. Указанные проблемы непосредственно связаны и с микроструктурой покрытий, что необходимо учитывать при разработке специальных защитных покрытий из неоднородных материалов с развитой микроструктурой. Решение этих проблем путем предварительного моделирования и оптимизации может позволить ускорить и упростить разработку новых типов высокоэффективных покрытий, адаптированных для различных эксплуатационных режимов работы. При описании физико-механических свойств тонких, многослойных и функциональных покрытий в условиях воздействия различных физических полей имеется существенный теоретический пробел, заключающийся как в отсутствии адекватных моделей, так и в недостатке соответствующих методик прочностного расчета. Поэтому тема диссертации, посвященной разработке моделей деформирования и методов расчета тонкослойных покрытий, является актуальной.

Цель работы: Задачей диссертации является разработка математических моделей для адекватного прогноза термоупругих и теплофизических характеристик структур с покрытиями микро/нано- размерной толщины. Данные модели должны учитывать наличие слоистой композитной структуры покрытия, различные свойства слоев покрытия, масштабные эффекты (влияние длины взаимодействия локальных градиентных полей напряжений и их сравнительная оценка по сравнению с толщиной слоев покрытия), влияние градиентов температурных полей, различные варианты распределения температурного поля с учетом термобарьерных граничных эффектов. Для разработки моделей и для описания перечисленных эффектов должна быть построена линейная теория градиентной термоупругости и градиентная модель теплопроводности, учитывающая термобарьерные свойства границ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Предложен вариант градиентной теории термоупругости, построенный, как обобщение прикладной модели межфазного слоя на термоупругие процессы путем использования гипотезы Дюамеля-Неймана.

- Исследованы особенности деформирования многослойных покрытий с учетом градиентных эффектов в зависимости от скоростей изменения температур по координатам. Показано, что учет градиентных эффектов позволяет установить существенное влияние характера и скорости изменения температуры на распределение перемещений, деформаций и напряжений (неклассические эффекты).

- Предложен деформационный критерий прочности для прогноза разрушения многослойного покрытия при увеличении его толщины.

Получено теоретическое подтверждение экспериментальных данных по разрушению покрытий при наращивании их толщины.

- Предложена модель градиентной теплопроводности, показано, что эта модель позволяет описывать эффекты термосопротивления в неоднородных структурах (эффект Капицы) с непрерывным распределением температур.

- Показано, что решения, полученные с использованием градиентной термоупругости, позволяют прогнозировать эффект локализации НДС в окрестности межслойных зон в покрытии, который качественно объясняет имеющиеся экспериментальные данные.

- Дана математическая постановка краевой задачи для плоской деформации в рамках градиентной модели термоупругости; получено решение плоской задачи, позволяющее оценивать напряженное состояние в сверхтонких структурах.

Практическое значение работы.

- Прикладные градиентные модели термоупругости, построенные на их основе уточненные решения, имеют прикладное значение, так как являются основой для построения прикладных методик расчета напряженно-деформированного состояния, оценки прочности и разрушения многослойных композитных покрытий с учетом масштабных факторов, позволяющих уточнить и учесть локализацию деформаций и напряжений, возникающих за счет градиентных эффектов. Таким образом, повышается достоверность оценки прочности конструкций с тонкослойными покрытиями, работающими в условиях высокоградиентного температурного воздействия.

- Прикладное значение имеет и модель градиентной теплопроводности, учитывающая термобарьеные эффекты в составных неоднородных структурах, ибо она позволяет в значительной степени приблизиться к моделированию реального непрерывного распределения температурного поля в тонкослойных композитных покрытиях.

- Решения, полученные с привлечением градиентных теорий термоупругости и теплопроводности, методики оценки напряженно-деформированного состояния, прочности, разрушения, а также алгоритм оптимизации структуры с целью снижения уровня температурных напряжений и деформаций покрытий, используемые в работе, представляют практический интерес и могут привлекаться для проведения инженерных расчетов.

Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов определяется строгостью используемых математических методов, моделей теории упругости, термоупругости и теплопроводности, а также обеспечивается последовательным анализом физической адекватности полученных результатов и сравнением полученных решений с известными экспериментальными данными, результатами, приведенными в публикациях других авторов.

Апробация работы. Основные результаты обсуждались на заседании кафедры «Прочность авиационных и ракетно-космических конструкций» Московского авиационного института (национального исследовательского университета), докладывались на объединенном научном семинаре ВЦ РАН, ИПРИМ РАН, МГУ «Междисциплинарный семинар по моделированию масштабных эффектов в проблемах механики и физики» под руководством Академика РАН Е.И. Моисеева, проф. С.Я. Степанова, проф. С.А. Лурье, на научном семинаре лаборатории «Неклассические модели механики композиционных материалов и конструкций» ИПРИМ РАН, на Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17-20 апреля 2012 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 статьи.

На защиту выносятся следующие положения:

- Построение и анализ градиентной модели термоупругости в одномерной и двумерной постановке в приложении к определению напряженно-деформированного состояния тонкослойных структур.

- Градиентная модель теплопроводности слоистых покрытий, учитывающая термобарьерные граничные эффекты.

- Построение решений с использованием градиентных теорий и анализ влияния характера распределения температурного поля с учетом граничных термобарьерных эффектов (в рамках классической и градиентной моделей теплопроводности) на уровень напряжений и деформаций в композитном покрытии.

- Деформационный критерий прочности для тонкослойных покрытий, подверженных нагреву с быстрой изменяемостью температуры, и алгоритм выбора рациональных толщин слоев композитного покрытия с целью повышения его термопрочности.

- Формулировка плоской задачи для градиентной турмоупругости. Получение решения задачи градиентной теории упругости для слоя с целью учета масштабных эффектов в распределении напряжений для сверхтонких структур.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы. Она содержит 129 страниц, из них 9 занимает список использованных источников. Список используемой литературы включает 80 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проведённой диссертационной работе получены новые, практически значимые результаты, которые являются теоретической основой для моделирования термомеханических процессов, протекающих в многослойных композитных покрытиях.

В работе был предложен вариант градиентной теории термоупругости, построенный, как обобщение прикладной модели межфазного слоя на термоупругие процессы путем использования гипотезы Дюамеля-Неймана. Были исследованы особенности деформирования многослойных покрытий при высокоградиентных температурных воздействиях. Показано, что возможно оптимизировать структуру покрытий и управлять уровнем напряжений и деформаций путём подбора толщины слоёв композитной структуры. Был предложен деформационный критерий для оценки прочности композитных структур. На основе данного критерия разработан подход к оптимизации микроструктуры покрытия с целью получения структур с наиболее высокими показателями температурной прочности.

В работе предложена модель градиентной теплопроводности, показано, что эта модель позволяет описывать эффекты термосопротивления с непрерывным распределением температур.Показано, что характер и скорость изменения температуры может существенно влиять на распределение перемещений и деформаций по отношению к классической теории термоупругости. Показано, что распределение напряжений существенно зависит от характера распределения температуры.

В последней главе диссертации получена и исследована постановка задачи плоской деформации в рамках градиентной модели термоупругости. Численно решена плоская задача градиентной теории упругости для бесконечного слоя с целью учета распределения напряжений в плоскости покрытий для сверхтонких структур, подверженных силовому воздействию.

1. Voyiadjis G.Z., Abu Al-Rub R.K. Gradient plasticity theory with a variable length scale parameter // International Journal of Solids and Structures 2005, V. 42, P. 3998-4029.

2. Aifantis, E.C. On the role of gradient in the localization of deformation and fracture, Int. J. Engng. Sci. 1992. V.30. P. 1279-1299.

3. E.C. Aifantis, "Gradient effects at the macro, micro and nano scales" J. Mech. Behav. Mater. 1994. V. 5. P. 335-353.

4. N.A. Fleck, J.W. Hutchinson, "A reformulation of strain gradient plasticity" J. Mech. Phys. 2001. V. 9. P. 2245-2271.

5. K.E. Aifantis, J.R. Willis, "The role of interfaces in enhancing the yield strength of composites andpolycrystals" J. Mech. Phys. Solids. 2005. V. 53.P. 1047-1070.

6. Gusev A.A., Lurie S.A. "Strain-GradientElasticityforBridgingContinuumandAtomisticEstimatesofStiffnessof BinaryLennard-JonesCrystals" // Adv. Eng.Mat. 2010. V.12,1.6, P. 529 533.

7. Волков-Богородский Д.Б., Лурье C.A. Интегральные формулы Эшелби в градиентной теории упругости. МТТ, Изв. РАН. 2010. №4. С. 182-192.

8. S.Lurie, D.Volkov-Bogorodsky, A.Leontiev, Е.Aifantis. Eshelby'sinclusionprobleminthegradienttheoryofelasticity. Applicationstocompositematerials. // InternationalJournalofEngineeringScience. 2011. V.49. P. 1517-1525.

9. Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses//Arch. Ration. Mech. And Analysis, 1962. V. 11.

10. P.А. Тупин. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения. Перевод В.А. Пальмова // Механика. 1965. Т.91. №3. 113-140 С.

11. П.Образцов И.Ф., Лурье С.А., Белов П.А., Волков-Богородский Д.Б., Яновский Ю.Г., Кочемасова Е.И., Дудченко А.А., Потупчик Е.М.,

12. Шумова Н.П. Основы теории межфазного слоя// Механика композиционных материалов и конструкций, 2004, вып.4, 596-612.

13. Lurie S, Belov Р, Volkov-Bogorodsky D, Tuchkova N. Nanomechanical Modeling of the Nanostructures and Dispersed Composites // Int. J. Comp Mater Scs. 2003. 28(3-4):529-539.

14. Aifantis E.C. 1999a. Strain gradient interpretation on size effects // Int. J. Fract. 95. P. 299-314.

15. Aifantis E.C. 1999b. Gradient deformation models of nano, micro and macro scales // J. Eng. Mat. Techno. 121. P. 189-202.

16. Aifantis E.C. Update on a class of gradient theories // Mech. Mat. 35, P. 269280. 2003.

17. Aifantis K.E., Askes H. Gradient elasticity with interfaces as surface of discontinuity for the strain gradient // J. Mech. Behav. Mater. 18, 283-306. 2007.

18. Aifantis E.C. Exploring the application of gradient elasticity to certain micro / nano reliability problems, Microsystems Technol. 15, 109-115. 2009.

19. Gutkin M. Yu. Nanoscopics of dislocation and disclinations in grandient elasticity. Reviews on Advanced Materials Science, 1(1), 27-60. 2000.

20. Седов JI. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. // Успехи математических наук. 1965.-Т.ХХ.- Вып.5 (125).-С. 121-180.

21. Лурье С.А., Белов П.А., Орлов А.П. Модели сплошных сред с обобщенной кинематикой. Свойства и некоторые обобщения. // Механика композиционных материалов и конструкций. -1996. -Т.2. -№ 2. -С.84-104.

22. Образцов И.Ф., Лурье С.А. Белов П.А. Об обобщенных разложениях в прикладной теории упругости и их приложения к конструкциям из композитов. // Механика композиционных материалов и конструкций. -1997. -Т.З. -№ 3. С. 62-79.

23. Лурье С.А., Белов П.А., Математические модели механики сплошной среды и физических полей. М.: Из-во ВЦ РАН.- 2000. 151с.

24. Lurie S, Belov Р, Volkov-Bogorodsky D, Multiscale Modeling in the Mechanics of Materials: Cohesion, Interfacial Interactions, Inclusions and Defects.//In book Analysis and Simulation of Multifield Problems, Springer. -2003.-V.12.-P. 101-110.

25. Lurie S, Belov P, Volkov-Bogorodsky D, Tuchkova N, Nanomechanical Modeling of the Nanostructures and Dispersed Composites, Int. J. Comp Mater Scs. 2003. -28(3-4). -P.529-539.

26. Cosserat E., Cosserat F., Theore des corps deformables, Paris. Hermann. 1909.

27. Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of the couple-stress in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. And Analysis.-1962.-V. 11. -P. 415-448.

28. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. And Analysis. -1964. -V. 1. -P. 51-78.

29. Toupin R.A., Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. Mech. AndAnalysis. 1964. - V. 2. -P. 85-112.

30. Аэро Э.Л. Кувшинский E.B., Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960.-Т. 2.-С. 1399-1409.

31. Лурье С.А., Белов П.А. Вариационная формулировка математических моделей сред с микроструктурами //Сб. Математическое моделирование систем и процессов, 2006, №14, стр. 114-132.

32. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites// Int. Journal "Computational Materials Science" A. 2005. V. 36(2). -P145-152.

33. Lurie S., Belov P., D.Volkov-Bogorodsky, N. Tuchkova(2006)Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials. Journal of Materials Science. Springer, October 2006, 41:20, p. 6693-6707. ISSN 0022-2461.

34. Лурье C.A., Белов П.А., Соляев Ю.О. Адгезионные взаимодействия в механике сплошных сред.//Математическое моделирование систем и процессов// Сб. научных трудов. Пермь, 2008, № 16 . С. 75-85.

35. Белов П.А., Лурье С.А., Континуальная теория адгезионных взаимодействий поврежденных сред //. Механика композиционных материалов и конструкций (2009), 15 (4), С.311-330.

36. Белов П., ЛурьеС. Теория идеальных адгезионных взаимодействий // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. 13 (4). С. 545-561.

37. WD Nix, Н Gao, Indentation size effects in crystalline materials: a law for strain gradient plasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1998. P. 411-425.

38. Y. Huang, H. Gao, W.D. Nix and J.W. Hutchinson, "Mechanism-Based Strain Gradient Plasticity II. Analysis," 2000, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 48, pp. 99-128.

39. Trinidad Jaramillo Jaramillo. A Generalization of the Energy Function of Elasticity Theory. Chicago. 1929.

40. Aifantis, E.C., 1984. On the microstructural origin of certain inelastic models,Trans ASME. J. Engng. Mat. Tech. 106; 326-330.

41. Aifantis, E.C., 1987. The physics of plastic deformation. Int. J. Plastisity, 3, 211-247.

42. Lurie, S.A., Belov, P.A., 2008. Cohesion field: Barenblatt's hypothesis as formal corollary of theory of continuous media with conserved dislocations. Int. J. Fract. 50(1-2), 181-194.

43. Белов П.А., Лурье C.A. «Континуальная модель микрогетерогенных сред»// ПММ, 2009. Т. 73, вып. 5., С.833-848.

44. Guosong Wu, Xiaoqin Zeng, Geyang Li, Shoushan Yao, Xuemin Wang. Preparation and characterization of ceramic/metal duplex coatings deposited on AZ31 magnesium alloy by multi-magnetron sputtering // Materials Letters. 2006. V. 60. P. 674 678.

45. Dejiu Shen, Ming Li, Weichao Gu, Yulin Wang, Guangzhong Xing, Bo Yu, Genji Cao, Philip Nash. A novel method of preparation of metal ceramic coatings // Journal of materials processing technology. 2009. V. 209. P. 26762680.

46. W.B. Gong, C.K. Sha, D.Q. Sun, W.Q. Wang. Microstructures and thermal insulation capability of plasma-sprayed nanostructured ceria stabilized zirconia coatings // Surface & Coatings Technology. 2006. V. 201. P. 31093115.

47. Chunxia Zhang, Chungen Zhou, Hui Peng, Shengkai Gong, Huibin Xu. Influence of thermal shock on insulation effect of nano-multilayer thermal barrier coatings // Surface & Coatings Technology. 2007. V. 201. P. 63406344.

48. M. Floristän , R. Fontarnau , A. Killinger , R. Gadow. Development of electrically conductive plasma sprayed coatings on glass ceramic substrates // Surface & Coatings Technology. 2010. V. 205. P. 1021-1028.

49. A. Schütz, M. Günthner, G. Motz, O. Greißl, U. Glatzel. Characterisation of novel precursor-derived ceramic coatings with glass filler particles on steel substrates // Surface & Coatings Technology. 2012. 9 p.

50. V.l. Gorokhovsky. Characterization of thick ceramic and cermet coatings deposited by an industrial-scale LAFAD process. 2010. V. 204. P. 1216-1221.

51. Atul Tiwari, L.H. Hihara. High performance reaction-induced quasi-ceramic silicone conversion coating for corrosion protection of aluminium alloys // Progress in Organic Coatings. 2010. V. 69. P. 16-25.

52. Lianyong Xu, Hongyang Jing, Lixing Huo. Young's modulus and stress intensity factor determination of high velocity electric arc sprayed metalbased ceramic coatings // Surface & Coatings Technology. 2006. V. 201. P. 2399-2406.

53. G. Bolelli, V. Cannillo, C. Lugli, L. Lusvarghi, T. Manfredini. Plasma-sprayed graded ceramic coatings on refractory materials for improvedchemical resistance // Journal of the European Ceramic Society. 2006. V. 26. 2561-2579.

54. Optimizing substrate and intermediate layers geometry to reduce internal thermal stresses and prevent surface crack formation in 2-D multilayered ceramic coatings.

55. Gao, H., Huang, Y., Nix,W.D., Hutchinson, J.W. Mechanism-based strain gradient plasticity I. Theoiy. J. Mech. Phys. Solids. 1999. V.47. P. 12391263.

56. Волков-Богородский Д. Б., Евтушенко Ю. Г., Зубов В. И., Лурье С. А. Численно-аналитический учет масштабных эффектов при расчете деформаций нанокомпозитов с использованием блочного метода мультиполей. ЖВМ и МФ, т. 46, № 7, с. 1302-1321.

57. Лурье С.А., Фам Т., Соляев Ю. О. Градиентная модель термоупругости и её приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Механика композиционных материалов и конструкций / Изд. ИПРИМ РАН, 2012. Т. 18. № 3. С. 440-449.

58. Лурье С.А., Соляев Ю.О., Тарасов С.С., Фам Т. Сопоставление модели градиентной теории упругости и классической модели сред с переменными свойствами // Электромагнитные волны и электронные системы. Изд-во Радиотехника. 2012. №3. С. 25-30.

59. Лурье С. А., Белов П.А., Жаворонок С.И. Масштабные эффекты в механике сплошных сред. Материалы с микроструктурами. Москва, Изд. МАИ. 2011. 156 с.

60. Э. М. Карташов, В. А. Кудинов. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. Москва, Изд-во URSS. 2012.

61. Капица П.Л. Исследование механизма теплопередачи в гелии П.-ЖЭТФ. 1941. Т. 2. № 1. С.1-31.

62. A.J.H. МС Gaughey, М. Kaviany. Phonon Transport in Molecular Dynamics Simulations: Formulation and Thermal Conductivity Prediction // Advances in heat transfer. 2006. V. 39. P. 169-254.

63. Ya Zhou, Benjamin Anglin, and Alejandro Strachan. Phonon thermal conductivity in nanolaminated composite metals via molecular dynamics // The Journal of Chemical Physics. 2007. V. 127.1. 18. P. 184702-11.

64. A Majumdar, P. Reddy. Role of electron-phonon coupling in thermal conductance of metal-nonmetal interfaces // Applied Physics Letters. 2004. V.84.1.23. P.4768-4770.

65. J. Ordonez-Miranda, J.J. Alvarado-Gil, Ronggui Yang. The effect of the electron-phonon coupling on the effective thermal conductivity of metal-nonmetal multilayers // Journal Of Applied Physics. 2011. V.109. 1.9. P. 1014.

66. А.Ю. Клоков, Д.Ф. Аминев, А.И. Шарков, В.Г. Ральченко, Т.И. Галкина. Тепловые параметры слоев и границ раздела в структурах кремний на алмазе // Физика твердого тела. 2008, Т. 50. №3. 12. С. 2167-2173.

67. R. J. Stoner and Н. J. Maris. Kapitza conductance and heat flow between solids at temperatures from 50 to 300 К // Phys. Rev. B. 1993. V. 48.1. 22. P. 16373-16387.

68. Bryan C. Gundrum, David G. Cahill, and Robert S. Averback. Thermal conductance of metal-metal interfaces // Phys. Rev. B. 2005. V. 72.1. 24.

69. E. T. Swartz and R. O. Pohl. Thermal resistance at interfaces // Applied Physics Letters. 1987. V. 51.1. 26. 2200.

70. Ruxandra M. Costescu, Marcel A. Wall, and David G. Cahill. Thermal conductance of epitaxial interfaces // Phys. Rev. B. 2003. V. 67.1. 5. 054302.

71. Patrick К. Schelling, Simon R. Phillpot, and Pawel Keblinski. Comparison of atomic-level simulation methods for computing thermal conductivity // Physical Review B. 2002. V. 65.1. 14. 144306.

72. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев. 1970. Изд-во «Наукова думка». 308 с.

73. Лурье А.И. Теория упругости. Москва. 1970. Изд-во «Наука». 940 с.