Проективные представления симметрической группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

7й

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

НАЗАРОВ Максим Леонидович

УДК 517.986.4

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1990

' Работе выполнена на кафедре хворая функций в функционал] ного анализа механико-математического факультета Московского государственного университета иы.II.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических надi

профессор A.A.Кириллов Официальные оппоненты: доктор фнаико-матоматичооких Hayi

Ведущая организация - Ленинградское отделение Математического института ии.В.А.Стеклов( АН СССР.

16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике № I (Д 053.05.04) при Уосковском государственной университете имени .М.В.Ломоносова по адресу: II9899, ГСП, Иосква, Ленинские Горы, ИГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией ыохно ознакомиться в библиотеке механико-матеиатичеокого факультета МГУ (Главное здание, 14 этах).

профеосор Р.С.Иомагилов, кандидат физико-математических наук

доцент С.В.Керов.

Автореферат рааоолан

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.04 при ГО, д.ф.ы.н.

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Симметрическая группа является

традиционный объектом теории представлений групп. Теория комплексных линейных представлений группы $(п) развита в классических работах Г.Фробениуса, И.Шура и А.Юнга начала века. В I9II году И.Щур обнаружил, что при п>Ъ группа ¿(и.) обладает также и проективными представлениям», не сводящимися к линейным; в фундаментальной работе им дано описание характеров таких представлений.

Интерес к проективным представлениям группы в пос-

леднее время значительно воэроо. Именно проективные представления групп естественно возникают во многих задачах квантовой механики. Однако конструкции неприводимых проективных представлений группы

до сих пор найдено не было. Такая конструкция, параллельная предложенной в 1932 году А.Юнгом конструкции неприводимых линейных представлений группы $(>г) , предъявлена в настоящей работе.

Естественно рассмотреть индуктивный предел последовательности групп $(1)<= $(2)с... - группу $(оо) финитных перестановок натурального ряда. Изучение характеров линейных представлений этой группы было начато Э.Тома и оказалось тесно связанным

l) Sclutx I. Шея, die. 1)а.гйЬМши^ скя. s^m/rmixcsctan, uuuL скл, alieKnivvLnJsjb Qzuppe. duxchy ^ЬхосКеле, Ссгишях-

// J", -fan, Modk. -19Н. 6.139. $.155-250. ¿) Thxtrvxc Е. ЭСе- илтшь&с^&СУШъ, ¡loM-iC^-ckjini-Len. К&Шаь-

■fuAciicnm, dojz. ¿^глШлзл- unenAltck&tb j -i^mtntt-xcscMiuv Qiuppz // McMi.Zechdni}t. 6.8S-. S. 40-61.

с рядом вопросов анализа, берущих начало от классических работ И.Шенберга. С другой стороны, описание характеров группы $С°°) дает информацию ^ о структуре представлений групп ¿С"'") при больших гь . Таких образом, теория представлений группы является частью нового направления, инициированного А.М.Вершиком - асимптотической теории представлений, класоичеоких групп. В настоящей работе изучаются характеры проективных представлений группы $(оо).

Цель работы. Дать явную реализацию неприводимых проективных представлений группы ¿»(п.) над полем <С . Найти описание характеров проективных представлений группы ¿(«О-

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. В пространстве каждого неприводимого проективного представления группы $(">) над полем (С указан канонический базис. Описано действие стандартных образующих группы перестановок чисел k и fc+i ; i,---, - на вектора этого базиса.

2. Дано описание характеров проективных представлений груп- ' пы $(«>).

3. Для каждой последовательности Хч характеров неприводимых проективных представлений групп р(2)с... найден критерий существования поточечного предела ton ^п/^п.(О•

гь ->оо

Вычислен этот предел, являющийся характером проективного представления группы $(oô).

Вершик A.M., Керов C.B. Асимптотическая теория характеров симметрической группы// Функцион. анализ и его прилож. 1981. Т.15, 1й С.15-27.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в задачах теории представлений классических супералгебр Ли, а также в теории комбинаторных тождеотв. Полученные результаты могут быть использованы в Московской государственном университете им. М.В.Ломоносова, Ленинградском государственном университете, Ленинградском отделении Математического института им. В.А.Стеклова и других математических центрах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательской семинаре по теории представлений групп на механико-математическом факультете МГУ, Школе-семинарэ по теоретико-групповым методам в физика (Тамбов, 1989), на Мевдународ-ной конференции памяти акад. А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-4]» список которых представлен в конце автореферата. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, содержащего 26 наименований. Имеется три рисунка. Общий объем диссертации -61 страница.

Во введении перечислены основные результаты работы, дан краткий обзор литературы по изучаемой теме, описано содержание диссертации по главам и параграфам.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Содержание главы I. Симметрическая группа образующими и соотношениями

- 3 -

задается

; (4%(f=i i (skst,f=i , k!-k>±.

Проективные представления группы линеаризуются ^ при

помощи ее нетривиального (при И»>3 ) центрального - расширения Т(|ъ) с образующими С) ttL_i и соотношениями

Сг-±- CW; 1;

Проекция Т7'- определяется на образующих: Tr(c)=d,

Tr(tfc)=Sfe . Если V - неприводимое представление группы Т(п,) над С » то t(c)=±id ; верхний энак соответствует линейному представлению группы $(п<), нижний знак - проективному представлению. Только второй случай и будем рассматривать.

Для каждого разбиения Л числа ft на попарно неравные части обозначим ¿(Л) число атих частей. Положим oL(A)=0, если П, и -t(^) одной четности, в противном случае положим d(A")= 1 . Представления группы Т(гь) параметризуют-

ся х> парами (А,ё) , где t = C±i)^A?

В главе I диосертации предъявлена конструкция неприводимых представлений V группы Т(гь) ; n=A,Zj.-. • Эта конструкция основана на следующем факте ограничение представления Z на подгруппу Т(а-1) содержит каждое из неприводимых представлений T(n,-i) с кратностью, не большей I. Поэтому в пространстве представления "С существует канонический базис,

Luxxn, Эекихи>} W^feowuie, 6.Q. (угмлр:

fetancJu-ocj. ти&иь^ products and. рС^ЛиртА, "jot- -лучл. bLpitMniaiior^ И J- PJvya,. А. Ш±. V АЧ. P. S2T-M&.

Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. Конечномерные представления группы унимодулярных матриц // ДАН СССР. 1950. Т. 71. С. 825-828.

— Ч —

связанный с цепочкой подгрупп Т(|)сТ(1)с...Т(п,') , Матрицы операторов V по отношению к этому базису и приведены в

главе I.

Глава I состоит из 6 параграфов.

В § 1.1 введены комбинаторные объекты, используемые для описания базиса в пространстве представления "С группы Т(п,) , -сдвинутые стандартные таблицы. Фиксируем разбиение Л числа п на попарно неравные части ^ > "К^...

Определение. Сдвинутой стандартной таблицей формы А называется массив чисел А= (Лц такой, что каждое из чисел 1,2у..,1ъ входит в Л ровно один раз и ,

Обозначим Уд множество сдвинутых стандартных таблиц формы Л . Для каждых А е. Уд и обозначим

количество чисел £^.+1} таких, что при всех 6 . Если к^А^ , то положим = .

В § 1.2 для каждой пары , где £=-±1 , пост-

роено линейное пространство ^ над С и операторы •С^ в этом пространстве. Основный результатом главы I является

Теорема 1.2.2. Операторы "^льС^/О заДают представление группы Т(ц") в пространстве Уд ^ с

Доказательство этой теоремы состоит из прямой, хотя и весьма трудоемкой, проверки того, что операторы Удовлетворяют определяющим соотношениям группы Т(п;) . Проверка проведе-,на в § 1.3; конструкция же пространства Уд^ н операторов

С^ь") такова.

Обозначим алгебру Клиффорда порядка , то

есть алгебру над С с образующими С1и соотношениями сф= 1 , С^с^/О при ^^^ • Введем в пространстве матриц второго порядка над (С базио Паули

Положим пь(Х)»(п.-Щ-сС(Х))/2> Щг=(с2-)9т(Х) . Введем следующие операторы в пространстве :

М2т = Е«Мвк,® 1 ®(т.(А)-пО .е-Е^Лг«

где. т,= 1,..., . Наделим пространство структурой

-модуля, задав действие образующих С^ матрицами

М

*

соответственно.

Пусть есть линейное пространство над С с множе-

ством базисных векторов { ^л:} • Положим ^гГ^^АС

Фиксируем и . Пусть таблица ' /{

получается из А перестановкой чисел к, и &+1 . Если А' е » го обозначим подпространство в Цд с ба-

зисом (Цл»1^') ' в ПР°1ИВН0М случае . Тогда

*** каждого ^ 5 0ПбРаг0Р бУД01

сохранять каждое из подпространств в £ вида ь .

Положим , <\-= И/СДД+О и определим матрицы

А, В, С в если "Цд^ двумерно, то

А »

Шч) *Чг.р)

б =

. С =

ГДй

г(р,<0= /СГр-я-ХР4*4),

в противной случае в качестве А , 6 и С вместо указанных матриц оледует взять их (1,1)-элементн.

Оператор £ в подпространотвв 1/д ^ в"^ е задается матрицей

I А + в ®МКЛЛ)"1 ' если

1 с ®м?(л,*0 > шач0'

Следующие § 1.4 и § 1.5 носят вспомогательный характер. В первом из них описано ограничение представления ' группы

Т(гъ) на подгруппу Т(п,-1) . Обозначим Г'д £ множество всех пар {^,5) , где ¿ь есть разбиение числа К.-1 на попарно неравные части, которое получается уменьшением какой-либо части А , а <$"=£.(+!)С

Предложение 1.4.1.а. Имеет место разложение в прямую оум-му Т(гь-1) -инвариантных подпространств

V, - ® V ~

В § 1.5 проведено сравнение представлений 1 и ^-"Х-1 •

> >

В этом параграфе доказано

Предложение 1.5.3. Коли о6(А)=О , то представления ГХ1 и эквивалентны.

Результаты главы I суммирует

Следствие 1.6.2. Представления ь , где составляют полный набор неприводимых попарно неэквивалентных представлений группы Т(л) , нетривиальных на центре 2£2 этой группы.

Результаты главы Г опубликованы в [I; .

Содержание главы 2. Обозначим Т(<Ц) индуктивный предел последовательности групп Т(4)с:Т,(2)с-..; группа Т'Соо) является нетривиальным центральным Т.^- расширением $(<*>) .

Определение. Функция V: Т(оо)-»- <С называется характером группы Т(~) , если она:

- нормирование : ;

-центральна: ^ОМ,) при Т(оо> ;

- положительно определена : :

- неразложима: еоли V' , V" иормированны, центральны, положительно определены, 0<а<1 и У-аУ'+^-а) V* , то

V.

Характеры V находятся во взаимно-однозначном соответствии о фактор-представлениями группы Т(оо) типа П^ по фон Нейману. В главе 2 диссертации описаны характеры V такие, что

Глава 2 состоит из б параграфов.

В §2.1 введена группа Т^") и описаны классы ее сопряженных элементов.

Предложение 2 .1.1. Проективные представления группы $(«>) . линеаризуются группой Т(оо).

Далее предполагается, что . Значение характера V

на элементе ■£е.Т(<х>) отлично от нуля, только если t и с£ не сопряжены.

Предложение 2.1.2.а. Элементы Ь и с£ не сопряжены в Т(оо), если и только если все циклы перестановки имеют нечетную длину.

Следующие два параграфа являются вспомогательными. В § 2.2 приведено описание характера неприводимого представле-

ния -СЛ £ группы T(k) . В § 2.3 собраны необходимые сведения о характерах и фактор-представлениях бесконечных диокретных групп.

Ооновные результаты главы 2 сформулированы в § 2Л.

Пусть ¥ есть характер группы Т(<») и Y(c)=± . Для каждого t е Т(°о) обозначим ^feCt) число циклов длины k в перестановке ir(t) . Следующий результат принадлежит Э.Тома

Предложение 2.4.1. Характеры У> оуть в точности вое функции вида

где ot<>t*2>...>0 f и + ^ i .

Среди всех фактор-представлений "С группы т£о)о "С = -cd, выделяетоя представление ; его конструкция такова.

Введем алгебру Л> , являющуюся линей! ой оболочкой элементов вида А - J®^ ^tn. , где Л^е Mat^ С и АЕ для всех пъ , кроме конечного числа. Снабдим Л> скалярным произведением = ta А*В , где ta, "ГГ-Ц^А^ и htm еоть след на Natz<L , нормированный условием 'bttn;(E)=i.. Обозначим О) левое регулярное представление гильбертовой алгебры Л Пусть Я0=Е®°° , для каждого £V=9>''/2,j"" полежим

Определим гомоморфизм 6: Т^оо)-* J?, следующим образом: ¿(с)=-Я0 и для каждого .

С(€к) - /(fe+i)/(2К)'- Ч + /Ö^Ö^^k-i .

Тогда —Со°6

Характер группы Т^С0©) , отвечающий представлению Ъ± , есть 6 ; значения ^ описываются следующий образок.

Каждый элемент ¿в^С«») оопряжен элементу вида Ь' или ей' ,

Предложение 2.4.2. Если нечетны, то

в противном случае = У(сЬ')=0.

Пусть У есть характер группы Т(оо) и **'(£)'--I . Основный результатом главы 2 являетоя

Теорема 2.4.3. Характеры У суть в точности все функции вида ^ = ; и .

Замечание 2.4.5: % ■ Ч^р = % ■ , «Р^ ,уа .

Глава 2 содержит два доказательства теоремы 2.4.3. Первое из них изложено в § 2.5 ; оно, как и доказательство предложения 2.4.1 , основано на следующем глубоком факте теории функций комплексного переменного.

Определение. Последовательность вещественных чисел называется вполне положительной, если все конечные миноры матрицы ( $¿.-^¿¿=-00 неотрицательны.

Рассмотрим производящую функцию ■

Лемма 2.5.2 . Пусть = 0 . Тогда последо-

вательность вполне положительная, если и только ес-

б) Ее(тес А. Огъ -Ыгг, с^шлаЬпх^ {ипсЬоп, of а. ¿оиЬЬ^

О^Слси, -ЫсхЩ Уе ьеуилпее, // Тгооз. АМ5. -<955. р. 361--Ь&Ь.

ли

ГТ

для некоторых , ррЯг^—и <5э>0 таких,

ЧТО ряд + сходится.

Второе доказательство теоремы 2.4.3 оледует подходу ^ к доказательству предложения 2.4.1 и основано на следующем чаотном случае общего утверждения ^ о характерах индуктивных пределов конечных групп.

Предложение 2.4.6. Всякий характер группы Т|0*>) является поточечным пределом неприводимых нормированных характеров групп Т(гъ) при п со.

Рассмотрим последовательность ( ^(п,-) £(п,))п,-ч неприводимых характеров групп гГ,(п>) . Вторым основным результатом главы 2 является

Теорема 2.4.7. Предел ^АЦе^**^^)^ поточеч-

н.о существует, если и только если существуют пределы Ъмъ \(п<)/гс= г. . ...........Тогда этот предел равен .

® С- ) * / в

В силу предложения 2.4.6 отсюда следует теорема 2.4.3. Доказательство теоремы 2.4.7 изложено в § 2.6.

Основные результаты главы 2 опубликованы в [2; 3] .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.А.Кириллову за постоянное внимание к работе.

Взршик A.M., Керов C.B. Локально полупростые алгебры, комбинаторная теория и К0-функтор// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.26. С.3-56.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нагаров Ы.Л. Ортогональный базис в неприводимых проективных представлениях оимыегрической группы// Функцион. анализ и его прилож. 1988. Т.22, В.1. С.77-78.

2. Наваров М.Л. Фактор-представления бесконечной спин-ошшетри-ческой группы// Успехи ыатем.наук. 1988. ТЛЪ, В.4. С.221--222. |

3. Назаров Ы.Л. Фактор-предотавления беоконечной спин-сишетриче-ской группы// 8ап. научн.оеи. ЛОМИ. 1990. Т.181. С.132-145.

Нззмгоу М.Ь. Уоид^Ч ОгЖкоуопаО, Fcru^n,

РгоуыАйк, -Вы, Ърлгг&Ьик. С^-хоир /

X ¿опЛоп, $ос. 1930. У.ЬЪ. Р. 1- <5.

Подл, в печ. 31.10.90г. Тираж 100 экз. Заказ й 3951

Централивованная типография ГА "Совзстройматериалов" - 12 -