Пространства подскоков чисел Бетти для абелевых представлений групп зацеплений и структура поверхностей уровня морсовских I-форм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

0 3 9 ?

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. «.В Л ОМОН ОС ОБА

Механико-математический факультет

На правах рукописи ЯК 516.16

Алания Леван Анчорович ПРОСТРАНСТВА ПОДСКОКОВ ЧИСЕЛ БЕТТИ ДЛЯ АБЕЛЕВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП ЗАЦЕПЛЕНИЙ И СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ МОРС ОБСКИХ 1-ФОРМ

01.01.04-геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фитико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-мауематического факультета Московского государственного университета им. И.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук профессор С.П.Новиков.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стеклова

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике №1 /Д. 053. 05. 05 / при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 199899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, ЦГУ," механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаж/.

Автореферат разослан "Ю " £ ' 1992 г.

профессор А.В.Чернавский

кандидат физико-математических наук В.П.Лексин

АН России

Защита диссертации состоится

Ученый секретарь

специализированного совета

Д.053.05.05. при МГУ. д.ф.-м.н.

В.Н.Чубариков

""' 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

* '-'"^Актуальность темы. Вопросы, обсрспаеыые в диссертации, -.г 'ост.едй-И систематически изучаться после обзорной статья С.П.Новикова [i], в которой вгтеррае била поставлена я частично решена задача о построении аналога теории Морса для -замкнутых 1-форм с целью оценки количества, критических точек I-фор.ч данного индекса.

С.П.Новиков с помощью замкнутой I-формы ввел комплекс над кольцом лорановских рядов. Образующими этого комплекса, как и в случае однозначной функции являхзтся критические точки формц. Его гомологии гомотопически инвариантны. Были определены "числа Бетти" и "числа кручения" комплекса: доказаны аналоги неравенств Морса /неравенства Морса-Новикова/ для количества критических точек данного индекса.

Вопрос точности этих неравенств для многообразий со свободной циклической фундаментальной группой был положительно решен Фарбером [2J.

Существенно усложняется ситуация уже для многообразия со свободной абелевоя фундаментальной группой. Для этого случая не-равезства МорсатНовикова и обобщение.результатов.Фарбера иссле-

1. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог тео-

рии Морса // Успехи математических наук, 1982, т.37. с.З-'(9.

2. Фермер U.S. Точность неравенств Новикова // Функциональный

анализ и его приложения, 1985. т.19. И.с.49-59.

цовал А. Пажитнов [з]. Само существование инвариантов типа Бетти V, чисел кручения для комплекса, порожденного иррациональной I-формой, является следствием интересного алгебраического наблюдения Ж. Сикорат.

Заметим, что важные примеры, в которых появляются замкнутые I-формы или многозначные функционалы как гамильтонианы некоторых физических систем, яглявтся бесконечномерными, но в большинстве случаев в критических точках формы отрицательно определенная часть гессиана является конечномерной, что дает возможность корректного определения индекса. Такая ситуация возникает для аналога так называемого функционала "Мопертьви-Ферма", который определяет движение заряженной частицы в потенциальном поле сил в присутствии магнитного поля на римановом многообразии при фиксированной энергии. Как было замечено в [ij, функционалы этого вида появляются в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимкетричном гравитационном поле и задаче Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, движение которой потенциально.

К другому типу функционалам относится, так называемый, функционал "Черна-Санмона". У этого функционала в критических точках отрицательные и положительные пространства гессиана бесконечномерны, но как заметил §лоер 4 , можно определить "относи-

3. Пажитнов A.B. О точности неравенств типа Новикова для многооб-

разий с свободной абелевой группой // Мат. сборник. 1989л. 180. Ш. 0.1486-1523.

4. Fioar Д. Си t^WrlO'n - iWa-UcwÄ. {ох

> р. l is -ац0

телькый индекс" пары критических точек,что и дает возможность построения комплекса.

Любая замкнутая 1-форма определяет представление фундаментальной группы многобрачия и мы модем рассмотреть гомология с коэффициентами в этом представлении. Как было показано в работе [5] . почти на всем многобрачии пространства представлений ранг группы гомология, который совпадает о числом Бэтти комплекса Новикова является постоянным и монет принимать большее значение на алгебраическом подмногообразии ненулевой коразмерности. Это подмногообразие и называется подмногообразием "подскоков" чисел Бетти. В этой работе было показано, что число Бетти обцего положения можно вычислить через произведения Масси.

Подмногообразие подскоков для двумерных представления групп "двумостных" / 4.\д/о / зацепления изучались в работе Ле [б] ,

ко полученные формулы весьма громоздки и пока не интерпретированы в терминах известных инвариантов зацепления.

Геометрическая сторона теории замкнутых 1-форм з литературе представлена очень широко, как часть теории динамических систем, однако до 80-их годов не было теорем относящихся в общем виде к топологической структуре поверхностей уровня замкнутых 1-форм.

5. Новиков С.П. Елоховские гомологии. Критические точки замкну-

тых 1-форм. //ДАН СССР. 1987. т.287. с.1321-1324.

6. Ле Т.К.Т. Многообразия представлений и их подмногообразия

подскоков для некоторых групп узлов. //УМН. 1991, т.46. 42. с.223-224.

Одным ил первых результатов была теорема Новикова [i] о-том, чтоповерхность уровня морсовской I-формы степени иррациональности К без критических точек диффеоморфна бесконечному циклическому накрь»тис ранга к-i над компактным многообразием.

А. Зорич в работе [7], ввел понятие специальной квазипериодичности /с.к./ и доказал, что поверхность уровня малых возмущений рациональных форм является специально кваэипериодическим многообразием. Позднее Лэ [б] показал, что этот результат является верным длялпбых морсовских 1-форм.

Цель работы. Цельп работы является изучение подмногообразия подскоков для чисел Бетти абелеввх представлений групп зацеплений в трехмерной сфере, а также топологической структуры поверхностей уровня иррациональных морсовских замкнутых 1-форм.

Методы работы. В работе используются методы алгебраической топологии, теории гомотопий, теории узлов и зацеплений, дифференциальной топологии.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Эти результаты таковы:

I. Доказано совпадение нулей полинома Александера узлов и зацеплений с подмногообразием подскоков чисел Бетти гомологий с локальными коэффициентами для дополнительных к узлах и зацеп-

7. Зорич A.B. //Изв. АН СССР. Сер. мат. I987-T.5I, №6.с.1322-

I3H.

8. Jle Г.К.Г. //Структура поверхностей уровня морсовской формы.

мат. заметки. 1988. т., с.124-133.

лениям пространств.

2. Доказано, что для многообразия с замкнутая 1-форма /морсовская/ опрепгляет на неособой поверхности лсбой другой /не коллинеарней с ней/ мороовской 1-формы квазипериодическую структуру.

3. Доказано, что при ^сЫ; Н'(и)>Д, . на неособой поверхности уровня мороовской 1-формы определенный набор целочисленных 1-форм задает квазипериодическув структуру.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены в изучении инвариантов узлов и зацеплений, а также структуры поверхностей уровня замкнутых 1-форм.

Апробация работы. Основные результаты доовдывались на Международной конференции, посвященной 90-летип со дня рождения акад. И.Г.Петровского /МГУ.1991 г./, на научно исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ. на годичных сессиах МИН Грузии.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 55 страницах и состоит из введения, двух глав, заклочения и списка литературы из 29 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор основных работ и фактов, имеющих отногаение к диссертации.формулируется цель работы и кратко излагаются основные теоремы.

В первом параграфе первой главы приведены основные понятия, конструкции и теоремы из теория зацеплений, а также определения и факты из теории гомология с локальными коэффициентами.

Во втором параграфе излагается построение полинома Александра и доказывается основная лемма этой главы, которая на нага взгляд имеет скорее методологическое значение, хотя в литературе она в общем виде отсутствует.

В третьем параграфе доказывается основная теорема первой главы. ^

Пусть -зацепление в Б4 ; С^ обозначает груп-

пу одномерных гомологии о коэффициентами в абелевом представлении

р , который определяется точкой из / х -количество

компонент зацепления/.

Тзоремай.Пусть , полином Александера за-

цепления ¿( не является тождественно нулевым, /что всегда верно для узлов/. Тогда ранг С) равняется нули на дополнении

к множеству ^ = {(х,,...,^) <- (£ ")"( ^ . ) ,

а на он строго больше нуля.

Дня случая Д О вводится обобщение множеств % ,

Й о

которое, как и Д^ определяется через миноры матрицы Александера, и на котором происходит подскок ранга .

Во второй главе излагаятся результаты относительно структуры неособых поверхностей уровня морсовских 1-форм. Первый параграф и в этой главе носит обзорный характер. В нем приводятся основные определения и факты из классической теории Морса и многомерного анализа, а также рассматривается поверхности уровня форм ..

отепени иррациональности 0,1. Зо втором параграфе докатывается основная теорема второй главы для случая £ /степень иррациональности/^.

Пусть Ц) иррациональная морсовская замкнутая 1-форма на гладком компактном многообразии о к со' -лю-

баядругая морсовская 1-форма. такая, что [из] и неколлинеар-

ны в ^'(и*^) • Вводятся определение периодической /к; -с.к./ структуры и показывается

Теоремай^ограничение со' на неособой поверхности уровня формы Ю залает на Н^ специальную квазугпериодическу» /1-е.к./ структуру.

В третьем параграфе доказывается обобщение этой теоремы для форм, степень иррациональности которых превосходит два.

Пусть И" (м* "[¿) = (к >1) ) у и) к - целочис-

ленные I-формы. представляющие базис в , а Ю -любая

морсовская 1-фориа степени иррациональности к . Справедлива следующая теорема:

ТеоремаЗ.Для лябого ч , л <'(. 4 к , ограничение набора сЬорм и),, с). д на неособой поверхности , формы и

определяет на Н (к,-*) -с.к. структуру.

Ы 4 '

Во второй главе так же приводятся некоторые следствия этих теорем, касающиеся квазипериодической структуры на .

В заключении изчагаются самые интересные /на наш взгляд/ вопросы, евя'анные с этой работой, которые в литературе пока не обсуждались.

Автор выражает глубокую признательность научному руководи-

телв-професоору С.П.Новикову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алания Л.А. О многообразиях типа Александера // УМНД991,

т.46. вып. I /277/, с.203-204.

2. Алания Л.А. О топологической структуре поверхностей уровня

морсовских 1-форм // УМНД991, т.46, вып.З /279/ с. 179-180.

3. Алания 5.А. Полином Александера и подмногообразие подскоков

чисел Бетти. //Труда МИАН Грузии, 1991. т.-Геометрия и топология-2.13ст. /в печати/