Пространственная задача Коши-Пуассона в классах функций конечной гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

-1 ^ ¡я

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕШЛ НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.- ЛЕНИНСКОГО-КОМСОМОЛА

На правах рукописи УДК 517.953:532.5.013.2

БИМЕНОВ■ • МИРЗАРАЛИ АЯЗОВИЧ

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА КСШИ - ПУАССОНА В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ ГЛАДКОСТИ

о

01.01,02 - д]2$ференциальные уравнения •

Автореферат диссертации на соискание ученой степени • кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 1992

Еабота выполнена в Новосибирском государственном университете им. Ленинского комсомола.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН П.И.Плотников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Налимов В.И.

кандидат физико-математических наук Кучер H.A.

Ведущая организация: Красноярский Щ СО РАН

Защита состоится " 1993 г. в

часов на заседании специализированного совета-К 063.98.04 по приоувдешш ученой степени кандидата физико-математи-. ческих надк в Новосибирском государственном университете по.адресу: 630030, г. Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. > Автореферат- разослан " 1992 г. '

Ученый секретарь" специализированного совета ^

д.ф.-м.н. — Б.В.Капнтонс£в

рог;<: . ' -—_

, т р I' . ) 1 • 1' "

' ~1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕР! 1С ТИНА РАБОТ!'

Актуальность теми. Теория во/ад на поверхности идеальной кддкости является разделил теория нелинейных уравнений кате-иатическоййфязпки. Наатояит работа посвящена исследовании одной из пройдем этой теории ~ нелинейной задачи Коши-Луас-соиа о неустановившихся волнах на поверхности идеальней жидкости, икицироваинкх возмущением поля скоростей.

Впервые задача о неустановившемся движении идеальной жидкости в точной постановке была рассмотрена в работах Л.В.Овсянникова. В классах аналитических функций пм была доказана разрешимость задачи о двккзшш изолированного кидкого объема. Существование и единственность решения нелинейной задачи Ко-ши-Пуассона в классах аналитических функций была впервые доказана в работах В.И.Нашлова. Позднее эти работы били повторены М.Шшбротом.

С точки зрения приложения класс аналитических функций яв- V ляется слишком узким. Поэтому ванное значение имеет исследование задачи о неустановившихся волнах в классах функций конечной гладкости. Такое исследование в двумерном случае было проведено в работах З.Й.Еалишва, где была доказана однозначная разрешимость задачи К;:;л~Луассона о волнах на поверхности цдезпькой ккдкоотя, им вдую бесконечную тлубкну. Для бассейна конечной глубины этот результат позднее был установлен в работе Х.Косехары. Метода исследования, предложенные в этих работах, не применимы к прострзпственнш задачам. Поэтому вопрос о разрешимости пространственной задачи Коаж-Пуасоока в классах функций конечной..гладкости оставался открытым.

I 3

Цепь исоредовзния - доказательство разрешимости нелинейной пространственной задачи Кош-Пуассона в классах фунздай конечной гладкости.

Метом исследования, В основу исследования полокенк: метод ускоренной сходимости - модификация метода Ньютона и • итерационные методы решения данейных задач математической физики.

Научная новизна. Вое результаты диссертации яздяются но-внш и состоят в сведущем:

- доказана разрешимость линейной задачи о малнх возмущениях движешш идеальной жидкости со свободной границей в классах гладах функций;

- исследована зависимость ресзний задачи о малых возмущениях от коэффициентов уравнений;

~ доказана разрешимость пространственной задачи Коши-Пуас» сока в классах функций кошечкой гладкости.

■ Практическая и теоретическая ценность. Предлокенные в работе метода отыскания решений нелинейной!-!задачи Коши--Пуассона когут сяукить основой для разработка! алгоритмов решения задачи теории волн.

Апробация работы. Результаты диссертация докладывались на Международной студенческой конференции (г. Москва, 1590 г.), Возькой международной Еколе-сешнаре "Качественцая теория дв5> ферекцяальных уравнений гздродина:шким (г. Красной-.пскД992 г.), на семинаре "Матемсл-ическае модели механики сплошных сред" под руководством чл.-корр, РАН'В.Н.Монахова, на селшнаре "Качественная теория дкффепанциайьннх уравнений" Института математики СО РАН иод руководство:.! профессора Т.И.&яеняка, на оема-

наре лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН под руководством чя.-корр. РАН П.И.Плотникова. По теме диссертации опубликованы две работы. Одна статья находится в печати. •

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав основного тега;та, списка цитированной литературы из - - наименований, Объем работы страниц машинописно-

го текста.

Во введении дана постановка задачи, сделан обзор предшествующих работ и сформулированы основные результаты работы.

В диссертации рассматривается нелинейная задача Коши-Пу-ассона о волнах на поверхности бассейна конечной глубины, в следующей постановке. Идеальная несжимаемая кидкость запопая-ет оояаоть С^.'- - 1ъ 6 -Х5 & ^(х, лежащую в пространстве

точек х=(х1)х2.х5) . Требуется-найти функцию ^ , которая определяет форму открыто!? поверхности жидкости и потенциал течения - гармоническую в О.^ функцию Ф^Л) » удовлетворяющих следующим граничным и начальным условиям:

П. КРАТКОЕ СОДЕШШИЕ РАБОТЫ

В- 'Iе?- . + . _

ЪЬ- Г ^^ ЪХ-л 'Ь^.'гъх1, ъх^

- о

(0.1)

при

Ш^о

(0.2)

при а;, {0.3)

<?ФО ВДИ IX,| + (ХгД —- оо Б начальный момент задаются

Ф(х,о^бФдх)) (0.4)

где Ф0 гладкая, гармоническая функция, нормальная производная которой обращается в нуль при х5 = -1г3 £ - малый па>-раметр, фиксированное число.

Соотношение (0.1) представляет собой кинематическое условие на свободной поверхности, соотношение (0.2) - в .силу интеграла Коши-лЛагранжа означает, что давленые на открытой по~ верхности кидкости равно нулю.

В переменных Лагранжа эта задача сводится к отысканию поля перемещений оС^-Ь) и потенциала ^ ^ ^ ^ определенных в фиксированной области , удовлетворяющих следавдм уравнения!»! и граничным условиям:

' /п - (0'5) '

Ьдесьр0 слой в пространстве точек ^Я4, ограниченный плоскостями Го■ и П: ? М -матрица

Як оби.

п ЪЯ

Основным результатом диссертации является следующее утверждение о разрешимости задачи (0.5) в классах функций конечной

гладкости.

ТЕОРИЙ I. Пусть ^ёН^^ ^) , где X - до-

статочно большое число, ' Ь^-Ъ , Тогда для любого Т>0 существует. <5о>о такое, что при £,<.£ задача (0.5) имеет решение

Доказательство этой теоремы составляет содержание настоящей работы. Она разбивается на ряд этапов, некоторые из которых мокно рассматривать как научные задачи, представляющие самостоятельный интерес,

В первой главе обсуздастся постановка еадачи и приводятся необходимые сведения из анализа и теории дифференциальных уравнений, а также исследуется структура линейных операторов,-порожденных линеаризацией нелинейных дифференциальных операторов на произвольных гпадких вектор-функций и функции '-С. В частнсотд, доказывается важное для дальнейшего тождество

-^¿^К^)

в которой остаточные члены обращаются в нуль, если

и оцениваются через производные оператора, , т.е. операторы ^ аппроксимируют производную Га-то оператора С}^ с точностью до невязки.

Операторы Л^ после линейной залтены но комах функций записываются в следующих канонических формах:

(0.6)

, г 120х1о,П)

—с1»у иГ

где иГ^МШ'^, ^«и-а^ , - внешняя нориаяь к границе облаоти

Для доказательства основной теоремы применяется метод ускоренной сходимости модификация метода Ньютона. Поэтому важную роль играет вопрос о возмонности обращения оператора А . Задача об обращении сводится.к реиеншо так называемой задачи о малых возмущениях движения идеальной: жидкости со сво-' бодной границей.

Постановзса задачи о малых возмущениях и первые ее исследования принадлежат Л.В.Овсянникову. Значительный вклад в ' изучение задачи о малых возмущениях был сделан В К.Андреевшл. Вывод уравнения о малых возмущениях был обобщен Андреевым В.К. на класс челотенциальных течений, была доказана корректность задачи о малых возмущениях.

Во второй главе изучается разрешимость задачи о малых возмущениях потенциального движения идеальной тяжелой жидкости в

классах гладких функций и исследует зависимость нормы решения от норм коэффициентов.

Зта задача ставится следующим образом. В полосе О0 , ограниченной плоскостями ^ : % =о

(0.7)

и Г4 '• по данным функциям |} Г требуется опр

делить функцию Ф(?,-Ь.) такую, чтобы выполнялись уравнния:

(Г.хСо.'П)

(АуФ-Р)н:=о (ГлхСО,Т1)

При А-1, а-ахи^ рассматриваемая задача совпа-

дает с классической задачей Кош-Пуассона.

Предполагается, что функции Г) а.) ^ и элементы матрицы А бесконечно дифференцируемы и удовлетворяют неравенствам

а(ЛЛ) > £ для всех Я5

Основной результат главы П сформулирован в § I в виде следующей

Т£0РЕДА. 2. Пусть - любое целое число. Для любого при сделанных выше предположениях существует единственное решение задачи (0.7) такое, что

фед 6 ЦДо.Т; Ней '

и справедлива оценка

1 «Чг. 'с IK,, -

где постоянная С зависит от i А АЛ, о 11л а «

' * 1 > tws,Qe->4U»4t*3p i Здесь li'll^Q - норма в пространстве Соболева .

Во втором.параграфе рассматриваются вспомогательные задачи. Исследуются разрешимость смешанной задачи для эллиптического уравнения и задача Коши для штегро-дифререндиального уравнения. Методом продолжения по паракетру доказана разрешимость этих задач и получены априорные оценки на их решения.

В § 3 рассматривается задача (0.7) с регуляризованныи граничным условиям на

g % ^(A^-nt + S ДСФ - ,

где £>0„ К, - фиксированное целое число Д + —. .

С помощью результатов предыдщего параграфа, доказывается разрешимость регуляризованной задачи и получена априорная оценка, равномерная'по параметру . Предельным переходом по £ завершается доказательство утверждения теореш 2.

Третья тлава посвящена доказательству теоремы I о разрешимости пространственной задачи Кош-Пуассона в классах функций-конечной гладкости. Доказательство дается применением теоремы о неявной функции к нелинейному операторному уравнению, описи- . ващему движение жидкости. '

В § I строятся банаховы пространства {_£ Д -> \ • Реи<3~ ниа задачи. (0.5) ищется в виде = | + * , где К . новая искомая функция. Тогда задача (0.5) сводится к нелинейному опе-

раторншу уравнению

СХм)-о

(0.8)

о оператором, определенным в окрестности нуля пространства Е^

со значениями в пространстве

Все следующие разделы посвящены проверке уоловия теоремы о неявной функции.

Во втором параграфе проведена линеаризация нелинейного one-ратора Q на произвольных гладких вектор-функций з^,4) и функции I доказана дифферент! руемость оператора Q по Га-то»

JEEffiA I. Для любого существует положительное число

R^O 'такое, что в шаре Их u>L ¿R прост панства Е,

■х к 1 Б-е. <-

оператор Ч определен и непрерывно дифференцируем по Гато. Если (хдрДх-^ &RH ■' f то справедливо тождество .

Остаточный член допускает оценку

С ^ ul\ ^ ,

где постоянная С не зависит от выбора элементов x^t^u.

Кавдому элементу х, Ц1 ^ B>R А Е поставлен в соот-

ветствии линейный дифференциальный оператор Afx^^u) : Е^

определенный по формуле (0.6). Доказывается, что ове-ратор Д аппросимирует производную Гато оператора Q и выводится оценка нормы оператора

ДШЛА 2. Существует ft.>0 такое, что оператор Л определен в шаре l¡x,ij>llE ¿ ft и для любого t X.vfé П 6>r справедлива оцэinca

Центральное место в доказательстве разрешимости уравнения (0.8) занимает доказательство обратимости оператора Д , которое приводится в четвертом параграфе. Показано, что задача

для любых , ^Ч^ПВ^ > расщепля-

ется на эквивалентные ей отдельные краевые задачи для нахождения функции -vrOí t) 11 вектор-функции оД^-ь) . Функция ищется как решение задачи о малых возмущениях (0.7) с матрицей

A = ívf*. М*"'

и коэффициентом, равным

О^.Ч IMf1 ЪОв(Х,Ч>)

Вектор-функция t^í^l) легко восстанавливается через функцию квадратурами.

Используя результаты, полученные во второй главе, доказывается следующее утверждение.

ЛЗША. 3» Для 7хабого элемента h&éi,* А^О

V * Л"Л ' 5

уравнение (0.S) имеет решение (уи) , для которого справед-

ЛИЕЫ ПЛ9ДУ'!0П'Ч9 оценки

¿с-ил,

&деаъ постоянная С «с зависит от элементов ^ ц > 9(,х) — - непрерывная функция.

И, наконец» в пятом параграфе строятся асоимптогичеокие ешенпн уравнения (0.8), путем представления решения в вяде формального ряда по степеням £ :

= $ + £хл -+£гк2 +

Подобно тому, как бто сделано в классических работах по теории стоячих волн, подставляя эта ряды в (0.5), сравнивая кс~ эффщиеитц'при одинаковое степенях £ , находятся необходимые азссштотическне решения.

Позштолив Есе ати результаты, заключаем, что оператор 0. удовлетворяет всем требованиям теоремы о неявной:.функции. От-зюда следует разрешимость задачи (0.5) и справедливость утверждения теорема I.

В заключении автор выражает искрекш благодарность члену-сорпззпсндеяту РАН П.И.Плотникову за постановку задач я постошное вникание к работе.

Саиоок работ по теме диосертации: '

1. Бименов М.А. Корректность линейной задачи о малых возыуще-ниях движения идеальной жидкости со свободной гранвдей в классе гладких функций// Динамика сплошной среда. - Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 18-30. • .

2. Бименов М.А. Пространственная -'задача Коши-Пуасоона в клас-

сах функций конечной гладкости// Восьмая мездуаарс^ая школа-семинар "Качественная теория до^ференциашкх уравнений гидродинамики": Тез.докладов, Красноярск,.1992. С. 0-9.

3. Бшенов М.А. Пространственная задача Кош-Пуассона в кваосах функций конечной гладкости//- Динашка сплошной срзды. - Новосибирск, 1992 (принято в печать).