Краевые задачи для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГЗ

•¿■¿мл®1*

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ПРИОАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ФЕДОРОВ Валерий Евстафьевич

УДК 517.95

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ХАБАРОВСК - 1993

Работа выполнена в Новосибирском и Якутском государственных университетах

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н.Врагов, кандидат физико-математических наук, доцент И.Е.Егоров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Катрахов, доктор физико-математических наук, профессор Хе Кан Чер

Ведущая организация - Институт математики СО РАН

Защита диссертации состоится __ 1993 г.

в часов на заседании специализированного совета

К 002.06.12 в Институте прикладной математики ДВО РАН по адресу : 680042, г.Хабаровск - 42, ул. Тихоокеанская, 153.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики ДВО РАН.

Автореферат разослан _¡9 ^МЛ^шС._ )ддз ^

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

М.Ш.Б;ыиерман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в классических работах Ф.Трикоми, М.Чибрарио и С.Геллерстедта, где впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Важные результаты для таких уравнений были получены в работах Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.В. Келдыша, К.Моравец и других.

В последующие годы количество работ, посвященных примерам неклассических уравнений, возросло. Однако наиболыаее развитие теория краевых задач для уравнений снеианного типа получила з последние 2$> лот в связи с использованием методов функционального анализа. Б.Н.Враговым и рядом других авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смеианного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Здесь необходимо отметить работы Г.Д.Каратспраклиеяа, Н.А.Ларькина, А.Н.Терехова, Г.Л.Дачева, Б.А.Бубнова, И.Е. Егорова, А.Г.Кузьмина и других. Достаточно полная библиография по этим вопросам содержится в монографии А.Г.Кузьмина.

Краевые задачи для некоторых классов уравнений с частными производными ноклассического типа высокого порядка изучались в работах С.Л.Соболева, В.П.Михайлова, В.П.Глушко, И.А.Киприяно-ва, Ю.А.Дубинскогс, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураава, В.Н.Враго-ва, В.В.Катрахова, В.А. Брюханова, И.Е.Егорова, А.И.Кожанова, Хе Кан Че'ра, А.Г.Подгаева, С.Г.Пяткова и других.

В работе В.Н.Врагова впервые дана постановка корректной краевой задачи для уравнения сыеванного типа порядка 2т. Затем эти результаты были обобщены И.Е.Егоровым на случай, когда уравнение имеет разный порядок по времени и по пространственным переменным.

Большое число работ посвящено сингулярным уравнениям. Краевые задачи для таких уравнений изучались в работах В.В.Ка-трахова, Хе Кан Чера и многих других. Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения рассматривались в работах С.Г. Крейна, В.П.Глушко, И.Е.Егорова и других. В частности, сингулярная задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с частными производными исследовались С.А.Терсеновым, Ф.Т.Барановским, М.А.Киприяновым, Л.А.Ивановым и другими.

Цель работы - изучение разрешимости краевых задач для одного класса уравнений смешанного типа высокого порядка в пространствах С.Л.Соболева, исследование гладкости их решений,

V

а такхе задачи Коши для сингулярных дифференциально-операторных уравнений.

Методика исследования. Основным методом исследования является метод "с - регуляризации " уравнения смешанного типа высокого порядка уравнением эллиптико-параболического типа четного порядка в сочетании с методом Галеркина, а в задаче Коши - метод интегральных представлений.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты :

1. Установлены достаточные условия существования и единственности обобщенных решений первой краевой задачи для уравнений

смешанного типа высокого порядка в анизотропных пространствах Соболева. Указаны условия однозначной регулярной разре-дпмэсти данной краевой задачи.

2. Провалено исследование гладкости решений краевом задачи. Получены теоремы повышения гладкости решений по времени и по пространственным переменным. Рассмотрен также вопрос о существовании сильных решений и распространении особенностей решения в случае s=ra.

3. Доказана однозначная разрешимость задачи Коьи для уравнения Зйлера-Пуассона-Дарбу в банаховом пространстве, а такхе для одного сингулярного уравнения четвертого порядка, не разреаенно-го относительно старшей производной по времени.

Результаты диссертации имеют теоретическое значение. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока ( г.Новосибирск, 1988 г.), на конференции по неклассическим уравнениям математической физики ( г. Новосибирск, 1989 г.), :ia кон*

ференции " Условно-корректные задачи математической физики и анализа " ( г. Новосибирск, 1992 г.), на семинаре в Института математики СО РАН " Неклассические уравнения математической Физики " под руководством д.ф.-м.н., профессора З.Н.Врагова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з работах /1-5/, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, списка литора-ры из 71 наименования и изложена на 58 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литетатуры и сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена изучения разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа- высокого порядка в анизотропных пространствах Соболева.

В § 1 рассматривается постановка задачи и ее обобщенная разрешимость для уравнения

ш * + (-1Г" 2 Dt'a^(x> +

I о( I . Iß | »m

+ aQ(x)u = f(x,t), (1)

где

ам = а ва ' 1 ß * ''ICl3'"/ хеП, Rn, v>0;

fl - ограниченная односвязная область с гладкой границей s, О - й х (0,т), st= s х (0,Т), т>о. Для уравнения (1) изучается краевая задача : найти решение уравнения (1) в области Q такое, что

= о, l-S7S=i; (2)

дп S

т

xr'ul = 0, j=0,s-2; Da~ * U I п* = О/

-— о

т

Здесь

Р*0= ( (х,0): х е Q, (-1)"-1кга(х,0) > 0 }, { (Х^,): х е fi, (-1)"''крэ(х,Т) < о };

л = (п , ___,п ) - вектор внутренней нормали к 5.

1 П

Задача (1) - (3) при а=га=1 была исследована А.Н.Тереховым. В этом параграфе получены достаточные условия единственности и существования обобщенных реяений из пространства Соболева Обобщенное решение понимается, как обычно, в смысле интегрального тождества.

Интегрированием по частям доказывается Теорема 1. Пусть коэффициент ао(х)<о достаточно большой по модулю и

(-1)"-1 [2к2д1 + (1-4в)кгд г] > В > о.

Кроме того I

1) при либо к2(х,Т) < О,

либо к (х,Т) > 0;

2) при б>2 (-1)°'1 кгд(х,0) > о, (-1)а~,к2д(х,Т) ч о.

Тогда краевая задача (1)- (3) может иметь не более одного обобщенного решения из пространства

Для доказательства существования решения исходное уравнение (1) регуляризируется следующим уравнением:

(-1)" г + 1-й = в > о, (4)

с краевыми условиями

а1 и

дп1

= О, 1=0,т-1;

Э

о, =о, 5. (5)

Уравнение (4) является эллиптико-параболическим, и для Чееь (0) задача (4),(5) имеет единственное решение из к Вт'*я'г (О) при определенных условиях на коэффициенты уравнения.

Получены соответствующие априорные оценки, на основании

которых установлена Теорема 2. Пусть коэффициент ао(х) < О достаточно большой по модулю, и выполнены условия :

(~1)-'кР(х,0) > о, (~1)'-1к (х,Т) > о,

2 о г 9

(-1)"-1 ( + (1-2Б)кгл (] > б > О.

Тогда для лыбо'л функции I е Ьг(й) существует обобщенное решение краевой задачи (1) - (3) из пространства Мгт'*(0).

Е 5 2 указаны условия, при которых ревение задачи (1) -- (3) является гладким.

Теорема 5. .Пусть выполнены условия теоремы 2 и

3- 1 _

(-1)' ♦ (21 +1-2э)кга > С > 0 .

о. »

Тогда для любой функции £ ч. (0) существует обобщенное

т . э

решение и(х^) е в г (О), краевой задачи (1) - (3) такое, что

2т , 2 з

" е * у (0Г) >' °Г\ = 0 * (П.Т-Ю, 0<п<т. Как следствие этой теоремы, получаем условия однозначной регулярной разрешимости задачи (1)-(3), которые сформулируем в виде следующего утверждения.

Следствие 1. Пусть коэффициент ао(х) < о достаточно большой по моду то, и выполнены условия :

(-1)"' [2кгз_{ + (21 +1-2г)к_1а_1] > 5 > о, 1-0, в;

(-1)-'кгя(х,0) > о, <-1)°-'кгз(х,Г) > о. Тогда для любой функции / е 1»' ' (д) существует единственное решение задачи (1) - (3) из пространства К

В § 3 рассмотрен частный случай задачи (1) - (3) при (-i)—'kaa(x,t) > о, (x,t) е о. Для этого случая приводится теорема единственности обобщенного решения, а такхе предлохен другой способ регуляризации уравнения (1).

Теорема 4. Пусть выполнены условия

(-l)"'ksa(x,t) > о, (х, tj е Qf <-1)'-'кгя(х,0) > о, (-l)"'1 [2к + (l-2s) к + s*k ] > й > О

1 ' 4 2 а- 2 1 2а-1 . t 2a.ttJ

и коэффициент а0(х) < о достаточно больной по модуля. Тогда краевая задача (I) - (3) мохет иметь не более одного обобцен-ного рзиения из пространства wj"(Q).

В этом случае уравнение (I) мохно регуляризировать следующим уравнением i

Leu = (-1)3'1 с D2*u + Lu = f(x,t), e > о, правда, при более хестких ограничениях на коэффициенты kt(x,t), i=l,2s. Здесь используется несколько другая, чем в 52 главы I, техника получения априорных оценок.

Во второй главе проводится исследование гладкости реяений краевой задачи (I) - (3). В § I результаты параграфа 2 главы 1 используются для повышения гладкости реаений по времени и по пространственным переменным внутри области.

Теорема 5. Пусть коффициент ао(х)< о достаточно велик по модулю, и выполнены условия; •1 - 1

(-1I г ?'< + (l-2s)k ] > Ь > о,

1 . 1 sv- 1 'га t J '

а I

(~1) [ + ' (?Р +1-2SlkSa.,l > й > О, (к31)

е-1 а- 1

(-1) к2д(х,0)>0 ; (-1) кга(х,Т)>0 , р > г .

О, р- О* 1

Тогда для любой функции ^ К2 (О) суиествует обобщен-

о т, в

нов реиение и(х,Ь) из и (О) задачи (I) - (3) таков, что

Вт,0 *р

" 6 "г <° П.т-П 0 П.т-П " Й Х <П'Т~1)) ' 0<П<Г-Теорема 5 доказывается методом " с - регуляризации " в сочетании с методом Галеркина, аналогично теореме 3.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5, но условие

(к ) имеет вид

е- 1

(-1) [ 2к + (1 + 2к) к ] > б > О

1 ' 1 га- 1 1 ' г», с-1

ш к -

и £ 6 * (0) , к > о - целое число.

Тогда реиение краевой задачи (1) - (3) и(х,Ь) принадлежит

. С 2а *Ь)- .2а

пространству иг " (О Г) т_п)-

Доказательство теоремы 6 проводится с помощью срезающих функций на основании теорем гладкости для эллиптико-параболи-ческих уравнений и теорем влйжения.

Из теоремы 6 непосредственно следует Следствие 2. Пусть а=т и (0)"М2Р'т'р'т (0),

р > т. Тогда решение задачи (1) - (3) принадлежит

В 5 2 изучаются сильные решения задачи (1) - (3) в случае а также распространение особенностей решения.

Методом продолжения по параметру доказывается

Теорема 7. Пусть ао(х) < о достаточно велик по модулю, и выполнены условия х

(~1)т-1к2гп(х,0) > о, (-1)т-1кгт(х,Т) > о, (-1)"-'' [2кгп1 + (1-2ш)кгт (] > 0 > о. Тогда для любой функции I е иг~т*'(О) существует единственное сильное решение задачи (1) - (3).

Далее рассмотрен вопрос о распространении оссбечностей решения в области. Обозначим через м некоторую точку в гиперболической части области о с координатами (хи,Ьц), в^ - пар радиуса 5 с центром в точке м, е - малое положительное число. Кроме того, предположим, что выполнены условия

{-1)т-1кгт(х,ьи) < о, х е й, (6)

(-1Г'[2кгт1 > кгп1] > Ъо> о. (7)

Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7, а также условия (6), (7) и / е и 1 (О \ П Ьг(0), V 5 > о. Тогда сильное решение задачи (!) - (3) принадлежит пространству где (?с = о Л { Ь > Ьи + £ }, е > О. Замечание . Теорема 8 показывает, что особенности решения задачи (I) - (3) распространяются в отрицательном направлении оси Ь.

Третья глава отведена изучению задачи Коши для сингулярных дифференциально-операторных уравнений.

В § I рассматривается задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Ларбу и банаховом пространстве г

в'«, 0 < е < г, (8)

ас

iZ

u(О) = uc, t"u'(t) |t.o= ut/ (9)

где в - производящий оператор сильно непрерывной группы линейных операторов T(t) в банаховом пространстве Е , к - некоторая вещественная постоянная.

Задача Коши для уравнения (8) с начальными условиями и(О) = ио, и '(О) - о была исследована в работе R.W.Carroll. Случай, когда к = О , хорово изучен в монографии С.Г.Крейна. Отметим такхе, что изучению решений уравнения Зйлера-Пуассона-Дарбу (8) при В г = А посвящено довольно много работ.

В данной работе устанавливается однозначная разрешимость задачи Коии (8), (9) при о<к<1. Результатом этого параграфа является

Теорема 9. Если в является производящим оператором сильно непрерывной группы и о<к<1, то ири любых uo,ui из D(B^) задача (8), (9) имеет единственное решение u(t), удовлетворяющее условию s функция tbu'(t) принимает значения из D(B), а функции ви ft) и t*Bu(t) непрерывны на [0,Т].

При этом имеет место интегральное представление :

u(t) ал +

/~л~ Г (к/2) -1 °

, -K-LtrUlZLJ^l--ia-^r"^ T(<tt)u си.

Гя Г((2-к)/2) (1-к) -1 '

В § 2 рассматривается задача Коки г

( + Лгг ) 1 и + U = о, t > о, X е Rn, (101

1 t О t ' я X я х- ' ' х

at i-i < t n n

U|«-o- 'W' It.о" X e R"' fc=const- (И)

Уравнение (10) при k=o есть известное уравнение С.Л.Соболева, рассмотренное им для п=з. В дальнейшем краевые задачи для уравнения С.Л.Соболева изучались многими авторами. В частности, С.А.Гальперном было получено в явном в«де решение задачи Кожи в многомерном случае, а С.В.Успенский и Г.В.Демиденко исследовали поведение решений этой задачи на бесконечности. Обозначим через a(x,t,f) решение задачи (10), (11) при Jc=0, ifW =.f(x), tpfxj ■ О Тогда для решения навей задачи (10), (11) справедливо интегральное представление t

t""

u(x,t) = uh(x,t,4>) + I-Jc • uг h(x,t,4>),

где

u (x,t,f) =■ Г (J k+l) /2) Q(x^tri)dttm

■т Г(к/2) о Данное интегральное представление позволяет установить

следующий результат.

г

Теорема 10. Пусть л 2 и <t(x), ч}(х) е tVf ' (К2), где г = 2т > 3.

Тогда для решения задачи Коши (10), (11) на любом компакте К с R2 при 1/2 < к < 1 имеет место оценка

sup \u(x,t)\ < С(К) t i'S t -» CO ,

хбк

где с (К) - константа, зависящая от v, tp, к и компакта к.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям - д.ф.-м.н..профессору В.Н.Врагову и к.ф.-м.н., доценту И.Е.Егорову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации :

1. Федоров В.Е. О задаче Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в банаховом пространстве. - Новосибирск, 1983. - 7 С. Деп. в ВИНИТИ 26.07.83, N 41Э2 - 83 ДЕП.

2. Егоров И.Е., Федоров В.Е. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа высокого порядка // Методы прикладной математики и математической физики. - Якутск : ЯФ СО АН СССР, 1987. - С. 8 - 14.

3. Федоров В.Е. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа высокого порядка II Тезисы 2-й конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск : ИГУ, 1988. -

4. Федоров В.Е. Теорема единственности обобденного решения одной краевой задачи для уравнения смешанного типа //Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. - Новосибирск : Ш СО АН СССР, 1989. - С. 193 - 196.

5. Федоров В.Е., Егоров И.Е. 0 гладкости решений краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка // Условно-корректные задачи математической физики и анализа : Тезисы докл. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 1992. - С. 218.

С. 170.