Краевые задачи для параболических уравнений в пространствах Гельдера-Зигмунда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

факультет вычислительной математики и кибернетики

на правах рукописи УДК 517.956

0034564

КОНЁНКОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬ ДЕРА-ЗИГМУНДА

(01.01.02 дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

0 5 Д«1»*

Москва - 2008

003456414

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный консультант: академик Е.И. Моисеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М. Л. Гольдман доктор физико-математических наук, профессор Е. В. Радкевич доктор физико-математических наук, профессор А. П. Солдатов

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " 11» тяф? 2008 г. в _ часов

на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2 учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

" и Н&У^рЗ

Автореферат разослан " ' ^ " 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д 501.001.43 при МГУ, ^

профессор / Е.В.Захаров

Актуальность темы. В слое D К" х (0,Т) (Т > 0 фиксировано) рассматривается параболическое уравнение второго порядка:

Lu = щ — ciij(x, t)dijU ~ bi(x, t)d¿u — с(х, t)u = f(x, t), (1)

вещественнозначиые коэффициенты которого удовлетворяют условию равномерной иараболичности:

(ЗА > О, VOM) е D, ve G R") A|C|2 < a¡j(x,t)^ < A_1|£|2. (2)

В диссертации исследуются начально-краевые задачи для параболических уравнений второго порядка в пространствах Зигмунда Hm(Û), m =

2,3,____Эти пространства являются аналогом и «замыканием» шкалы Гель-

дера для целых значений показателя гладкости: анизотропные пространства Гельдера-Зигмунда Ha(Û), а > 0, являются частным случаем пространств Никольского Нецелым значениям параметра гладкости соответствуют пространства Гсльдера, целым - Зигмунда.

Внутренняя априорная оценка типа Шаудера в весовых пространствах Гельдера для решений уравнения (1) при п = 1 была установлена С. Чи-либерто 2 и в многомерном случае Р. Барраром 3.

Оценки решений первой краевой задачи вплоть до границы в анизотропных пространствах Гельдера Н2 \ О < а < 1, для прямоугольника получены С. Чилиберто 2 и распространены на многомерный случай А. Фридманом 4, который рассматривал нецилиндричсские области Q с границей класса Яг+«- Оценки для третьей краевой задачи были впервые даны Л.И. Камыниным и В.Н. Масленниковой 5. Затем В.А. Солонников 6

1 Бесов О.В., Илыш В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

2Ciliberto С., Formule di inaggiorazione е teoremi di esistenza per le sohizioni delle equazioni paraboliche in due variabili //Ricerche Mat. 1954. V.3. P. 40-75.

3Barrar R. Some estimates for solutions of parabolic equations, J. Math. Anal. Appl. 1961. V.3. P. 373-397.

4 Friedman A. Boundary estimates for second order parabolic equations and their applications //J. Math. Mech. 1958. V.7. P. 771-792.

5 Камынин JI. И., Масленникова В. H. Граничные оценки решения III краевой задачи для параболического уравнения //ДАН 1963. Т. 153. №3. С. 526-529.

6 Солонников С.Д. Об априорных оценках для некоторых краевых задач //ДАН. 1962. Т. 138. №4. С. 781-784.

для широкого класса параболических систем установил разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лоиатинского, в пространствах Hm^a(Ci), где число m было не меньше, чем порядок системы. С.Д. Эйдельман 7 построил и изучил свойства матриц Грина для параболических систем и с их помощью получил разрешимость краевых задач и интегральные представления решений.

Исследование краевых задач для уравнения теплопроводности в пространствах Гсльдера при меньшей гладкости данных, чем порядок уравнения, при п = 1 были начаты Жевре 8. Им были изучены свойства потенциалов с негладкими кривыми-носителями (удовлетворяющими условию Гель-дера порядка >1/2), их гладкость; полученные результаты были применены к решению первой и второй краевых задач. В 1971-1972 г. Л.И. Камынин в серии работ, см., напр., 9 для одномерного параболического уравнения подробно изучил свойства параболических потенциалов в различных классах функций, в том числе в пространствах Гсльдера H\+a(Ù) и различных весовых классах. Как следствие, им были получены разрешимость краевых задач для параболических уравнений второго порядка в областях на плоскости, боковая граница которых удовлетворяла лишь условию Жевре.

В многомерном случае в нецилиндрических областях с негладкой боковой границей в пространствах Hi+a(Ù) разрешимость первой краевой задачи и задачи с косой производной были получены Е.А. Бадерко 10,и с помощью метода интегральных уравнений. Также ею был рассмотрен случай уравнений высокого порядка, а именно, для параболических уравнений порядка 2т была установлена разрешимость нормальных (удовлетворяю-

7 Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1974.

8 Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique //.1. Math. Pur. Appl. 1913. Ser С. V. 9. №4. P. 305-471.

9 Камынин JI.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. V //Дифферепц. ур-ния. 1972. Т. 7. ЖЗ. С. 494-509.

10 Вадерко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя //ДАН СССР. 1985. Т. 283. №1. С. 11-13.

11 Бадерко Е.А. Решение методом граничных интегральных уравнений задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в негладких областях. Дисс. докт. физ.-матем. паук, М.: МГУ, 1992.

щнх условию Лонатинского с граничными операторами по рядка не выше 2то — 1) краевых задач в пространствах Гельдера #2m-i+u(^)> см-> напр,12. Старшие производные решения могут в этом случае стремиться определенным образом к бесконечности при приближении к параболической границе области. Оценки для них были получены М.Ф. Чсрсповой 13.

Во всех указанных работах предполагалось, что 0 < а < 1. Естественно возникает вопрос, что можно сказать о решениях в случае целых показателей гладкости? Как известно, в анизотропных пространствах С1 (О) (а = 0) и анизотропных пространствах Липшица Сг,1(£>) (а = 1) теоремы, подобные упомянутым выше, не имеют места 14.

Однако, если вместо пространств Липшица рассмотреть более широкие пространства Зигмунда, то оказывается возможным построение теории гладкости краевых задач аналогичной теории в пространствах Гельдера. Пространства Гельдера и пространства Зигмунда вместе образуют шкалу, в которой показатель гладкости принимает все положительные значения, целые и нецелые. При этом функции из пространств Зигмунда обладают многими свойствами, аналоги которых неверны в пространствах Гельдера. Это приводит к отличиям в условиях на данные задачи, при которых имеет место принадлежность решения краевых задач к соответствующему классу.

Эллиптические краевые задачи для уравнений произвольного порядка в пространствах Зигмунда Hm(Q) изучались Трибелем 15. Им были получены оценки для решения в ограниченной области в предположении, что справедлива теорема единственности. Граница области и коэффициенты уравнения предполагались принадлежащими классу С00.

Цель работы: 1) Построение шкалы гладкости решений начально-

12 Бадерко Е.А. Краевые задачи дли параболического уравнения и граничные интегральные уравнения //Диффереиц. ур-иия. 1992. Т. 28. №1. С. 17-23.

13 Черепова М.Ф. Об оценках пространственных производных второго порядка для параболического потенциала простого слоя //Диффереиц. уравнения. 1996. Т. 32. №4. С. 445-449.

14 Гшгбарг Д., Трудипгер Р. Эллиптические уравнения второго порядка. М.: Наука. 1987.

15 Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986.

краевых задач для параболических уравнений второго порядка в анизотропных пространствах Зигмунда; 2) Исследование свойств решений (как локальных, так и вблизи параболической границы области), таких как локальная гладкость, логарифмические особенности решений, оценки для разностных операторов, аппроксимирующих параболический оператор и его дифференциальные следствия, и др.; 3) Получение в качестве следствия из установленных результатов для параболических уравнений соответствующих свойств решений эллиптических краевых задач в пространствах Зигмунда.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследована гладкость основных потенциалов в модельном случае для уравнения теплопроводности в анизотропных пространствах Зигмунда, а также в пространствах Зигмунда с весом. А именно, рассмотрены потенциал Пуассона, объемный потенциал, потенциалы простого и двойного слоя. С их помощью нолучены необходимые и достаточные условия для принадлежности решений модельных начально-краевых задач пространствам Зигмунда. Для этого введены дополнительные (но сравнению со случаем пространств Гельдера) разностные условия согласования. Показано, что в случае целого порядка условий согласования в оценке корректности появляется дополнительное слагаемое, и что оценка корректности без него неверна.

2. Исследованы некоторые свойства функций из изотропных и параболических пространств Зигмунда. В частности, получена теорема о равенстве логарифмических особенностей для определенных разностных выражений от функций из пространств Зигмунда. С ее помощью установлено, что вводимые в диссертации разностные условия согласования для различных краевых задач можно интерпретировать как «следы» некоторых разностных соотношений, которым решения из пространств Зигмунда должны удовлетворять внутри области.

3. Для параболических уравнений с переменными коэффициентами исследована гладкость решений задачи Коши, первой краевой задачи и зада,-

чи с косой производной в пространствах Зигмунда. Для краевых задач область может быть нецилиндрической и неограниченной, а се боковая граница - некомпактной. Коэффициенты параболического оператора и боковая граница области также предполагаются принадлежащим соответствующим пространствам Зигмунда. Получены необходимые и достаточные условия для принадлежности решения этих задач пространствам Зигмунда. Установлены оценки корректности для решений, причем в случае целого порядка условий согласования в них появляется дополнительное слагаемое, конечность которого требуют разностные условия согласования.

4. Для решений параболических уравнений с переменными коэффициентами получены внутренние априорные оценки типа Шаудера в пространствах Зигмунда. Коэффициенты параболического оператора предполагаются принадлежащими некоторым весовым классам Зигмунда, естественно согласованным с гладкостью решений.

5. Для уравнения теплопроводности в областях с прямыми углами рассмотрены первая и вторая краевая задачи с нулевыми начально-краевыми условиями и ограниченной правой частью. Установлено, что (обобщенные) решения будут принадлежать анизотропному пространству Зигмунда Щ, являющемуся аналогом анизотропного пространства Гельдера С1+а при а = 1. В цилиндре, основанием которого является квадрат, рассмотрена первая краевая задача в шкале пространств Зигмунда с ненулевыми начальными и граничными данными. Введены два дополнительных разностных условия согласования - на основании боковой поверхности и на боковых ребрах цилиндра. Показано, что в случае целого порядка условий согласования в оценке корректности появляются два дополнительных слагаемых и оценка корректности без них неверна.

6. Из установленных в работе результатов о гладкости решений параболических краевых задач в качестве следствия получены априорные оценки решений соответствующих эллиптических краевых задач. В частности, для задачи Дирихле и задачи с косой производной получены априорные оценки решений в пространствах Зигмунда в областях общего вида. Область может быть неограниченной, а се граница некомпактной. Коэффициенты

эллиптического оператора и граница области предполагаются принадлежащим соответствующим пространствам Зигмунда.

7. Для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной рассмотрена задача Тихонова с краевым условием порядка г > 2. Получены достаточные условия для принадлежности решения этой задачи пространствам Зигмунда. Для этого введены дополнительные разностные условия согласования.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории потенциала, метод априорных оценок и продолжения по параметру, метод барьеров и другие методы исследования параболических и эллиптических краевых задач.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под руководством акад. В.А. Ильина, акад. Е.И. Моисеева, чл.-кор. РАН И.А. Шишмарсва (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством акад. Е.И. Моисеева и проф. И.С. Ломова (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. В.А. Кондратьева и проф. Е.В. Радкевича (мехмат МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. Е.А. Бадерко (мехмат МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре акад. С.М. Никольского (МИ РАН им. В.А. Стеклова), на семинаре под руководством проф. Ю.А. Дубинского и проф. A.A. Амосова (Московский энергетический институт), на семинаре под руководством проф. АЛ. Ску-бачсвского (Российский университет дружбы народов); на международных конференциях «Дифференциальные уравнения и смежные, вопросы», им. И.Г. Петровского, (Москва, 2001, 2004, 2007); на международной конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений», посвященной 50-летию кафедры функционального анализа ВГУ (Воронеж, 2003); на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной 100-летию со дня рождения С.М. Никольского, (Москва, 2005); на международной конференции «Тихонов и современная математика», посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Тихонова, (Москва, 2006) и

других российских и международных конференциях.

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав, разделенных на 28 параграфов. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 103 наименований. Общий объем диссертации -159 страниц.

Во введении сделан краткий обзор литературы, связанной с темой исследования, и излагается основное содержание работы.

Введем следующие обозначения. Пусть х = (хх,..., хп) 6 Е'г, |х| =

{х\ + --- + х1)У\ х' = (хь..., *„_!), ё1 = (1,0,... ,0), С2 = (0,1,...,0), ..., ёп = (0,0,..., 1) орты в Ми, Р = (яг,*) е КЛ+1,[Р|1 = |х| + |{|1/2;

к = (¿1,..., к„) -- мультииндекс, А:,- >0, г = 1,..., п, и |А:| = к\ + ... + кп, к' = (ки...,к,1-1)- Полагаем дь = д/д1, д{ = <9/<?х;, ^ = д^2... Д = ^"" оператор Лапласа, дц = 771 с?1 +772^2+- -- производная по направлению ц = {тц, г/2,..., Цп); Аж/(х) = /(х+ Дх) -/(х), Д(/(х, г) =

/(а:,4 +ДО-/(х, 4), Д^/(х) = Д,(Д 1~1Ях))- ДД/0/(х) = /(х+/гё;)-/(х), г = 1,...,п, Д|(Л)/(ж) = Д;(/г)(Д-^х(/г)/(х)), I > 1, Д?(Л)/(х) = /(х),

д((А)Дм) = л*,* + Л) - Л®,*), = д4(л)(д{-г(л)л®,*)). -

разности но координатным направлениям.

Мы будем также использовать следующие обозначения для конечных разностей на множестве О С Кп+1:

Здесь [Р, ф] отрезок, соединяющий точки Р, <3 £ Еп+1.

В слое Д рассматриваем область Г2, граница которой сЮ - Д) и Дт*иЕ, где Д) - область на плоскости Ь = 0, Дг - область на плоскости * = Т, Е

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

при [(х, £), +1Дх, 4)] С £2, при |(х, (г + /Дх, £)] £ П,

при [(х,£),(х,г + £Д£)] С П, при [(х, г), (х, Ь + /Д£)] £

— n-мсрная поверхность. Сечение Ят = Е П {t = г} для любых т € [О, Г] является (п — 1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет (п — 1)-мерную касательную плоскость, лежащую в n-мерной плоскости t = т. В каждой точке Р — (x°,t°) поверхности £ существует вектор &(Р), который является ортом внутренней (по отношению к П) нормали в точке Р к поверхности £г, лежащей в плоскости t = т.

Систему координат (j/i,..., уп, t) в ортонормированном базисе (ei(P),..., en(P),en^i(P)) в Rn+1 с началом в точке (ж0, t°), в котором еп(Р) = (Р(Р),0) и e„+i - орт положительного направления оси Ot, называем Р-системой координат.

. Для Р = (у,т) G О, обозначим через <1(Р) функцию расстояния до параболической границы V = U Е:

d{P) = inf \Р - Qh.

QePn{e<r}

Положим Яц(П) = ¿оо(^) с нормой |/|од = vraisupjj |/|. Для области fic J5, целого m > 0 и а £ (0,1) через Ят+а(0), обозначаем анизотропные пространства Гёльдера, используемые для изучения решений параболических уравнений второго порядка 16, в которых гладкость по пространственным переменным вдвое выше, чем по «временной».

Определим параболические пространства Зигмунда Ha((l), а £ N Обозначим

|А»(П)/(М)| \At(n)f(x,t)\ [/]l'n - Т-\Щ-+ Т |Ai|V2 '

и для /3 = 1,2,

Шдп - sup |д^/2 .

Для целых а > 2 положим

[/и = £

|А|+2«=а-1

16 Ладыженская O.A., Сологшиков В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1968.

</>а,П = E (d"dtf)2,iV

|fcj+2s=a-2

и для натуральных a

l/kn = E ^p\0^f(x,t)\ + \fU + {f)an.

|fc|+2s<a-l "

Обозначим через Ha(fi) пространство функций /, определенных в области fi и имеющих там все производные d^dff, |/c|+2s < а, для которых конечна величина |/|fl>$1.

В На(&) рассмотрим подпространство функций

//«(«) = /6 #a(0) : sup ¿-а/2|/(х,£)| < оо 1 ,

( Ы)еп J

обращающихся в нуль на нижнем основании Bq с нормой

II/IU4/U+ sup ra''2\f(x,t)\. (l,t)€il

Функции /, заданные в области Q С Кп, можно рассматривать как функции / в области f! = Qx8c Rn+1, не зависящие от t. Это даст возможность определить изотропные пространства Гельдера-Зигмунда Ha(Q), а > 0, с помощью ранее введенных обозначений следующим образом:

Н,

«(0) = {/:£-> И | |/|а,0 = |/|в1п < сю} .

Определим в области анизотропные пространства Зигмунда с весом НЬЬ)(П). Обозначим Ь+ = шах(Ь,0) и |/|® = уга18ирп(сГ''+ + 1)_1|/|. Для натуральных а и целых Ь> —а положим

[/];,«= Е 811р(С +1) -тд^п-

+ ^ 8ир(^п ' + 1) -г—щ-

|*|+2в=а-1 1 ''

/ Mb) _ /^-(l+ь) , ! wIMM^I

\Jl\,n — \ min Ч Iд^11/2 '

(f/afi = 2L SUP(dmia + 1) J-w^j-L> ССЛИ « ^ 2'

|fc|+2.s=a-2 ' '

i/S = E №fC2s+b) + i/ß + <f>sI b * 0.

|*|+2«<a-l

i/C=1/i-b.n + E №fC2s+b)+mä+(/& — ь <

-6<|Jfc|+2s<a-l

Через cimin обозначено минимальное значение d(P) от точек, присутствующих в разностях. Для неотрицательных целых а и целых Ь > —а обозначим через На\&) пространство функций /, определенных в Q и имеющих все производные d^dff, где |fc| +2s < а, для которых конечна величина I/I^q.

Пусть точка Р = (х°,t°) принадлежит поверхности Е. Через Gr в Р-системе координат обозначим цилиндр вида

Gr = {(у, t) е Rn | \у'\ < г, \уп\ < г, 0 < t < г2};

положим 6"r = Gr П {;</„ = 0} и G'r{P) = G'r Р, {t < Т - i0}. Поверхность Е называем поверхностью класса На, а > 1, и пишем Е € На, если существует г : 0 < г < оо такое, что для любой точки Р £ Е в Р-еистеме координат

Е П Gr = {(y,t) : (y',t) € С;(Р), уп = Р)},

где функция д{-',Р) : G'r(P) —» К принадлежит пространству Ha(G'r(P)) и конечна величина

ЦЕ||„ = sup Р)|0,си/>)-

res

Анизотропные пространства Гсльдера-Зигмунда #ь(Е) и Нь{Е) функций,

о

заданных на поверхности Е € 0 < b < а, определяются обычным образом.

В первой главе мы рассматриваем задачу Коши для уравнения теплопроводности L°u = diu — Дм — / в параболических пространствах Зигмунда Hm(D), где целое тп > 2. Везде далее рассматриваются только ограниченные и непрерывные в замыкании области решения начально-краевых

задач. Если праьая часть уравнения теплопроводности принадлежит Ьоо,1оа то его (обобщенные) решения понимаются в смысле распределений 17.

Пусть Ь) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности:

2(х , = /(4тг£)~п/2сх1з {-|х|2/(40} , I > 0; 1 ' ' |0, £<0.

Для функции -0 6 //о(К") - ^оо(®п) рассматриваем потенциал Пуассо-

на

П#М) = I '¿{х-уЛЩу)йу.

./К"

Теорема 1.1. Пусть т, I > 0 целые числа, гп > I. Тогда отображение П : ф —> IIф является ограниченным оператором из простщнства Н[(Шп)

в #<гг)(я).

Для функции / е 7/(^(£>) рассматриваем объемный потенциал

Р)= [ -(})№№, Р = (х,1)

е И.

Теорема 1.3. Пусть т,1 - натуральные числа, I < т, тп > 2. Тогда отображение V : / —» V/ является ограниченным оператором из пространства 2(0) в пространство Нт 1\о).

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности:

Г П>и = /вД т

I 4=0 = Ф- { )

Из теорем 1.1 и 1.3 вытекает

Теорема 1.6. Пусть та > 2, 0 < I < гп, / € //^(Д) и ф € #;(К").

Тогда решение и задачи (3) принадлежит Нт1\Т>), причем

Во второй главе изучаются краевые задачи в модельном случае: первая краевая задача и задача с косой производной в полуслое = V П

"Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1У88.

{хп > 0}. Для задачи с косой производной коэффициенты граничного оператора постоянны, а дифференцирование осуществляется по некасательному направлению. Построена шкала гладкости для решений указанных задач в пространствах Зигмунда Hm(D+) для целых m >2.

В области D+ = D П {хп > 0} с «боковой» границей 1] - 1J П [хп = 0} для плотности <р рассмотрим потенциал двойного слоя

Wip{x, t) = - J dnZ{x' - y', xn, t - т)(р(у\ T)dy'dT.

Теорема 2.7. Пусть m > I > 0 целые числа. Тогда отображение W : ц> —> W'-p является ограниченным оператором из пространства HiÇE) в

о

Hml\D+), а такэюе из в Hi{D+).

о о

В D+ рассмотрим первую краевую задачу

L°u = / в D+,

и|е = V» (4)

u|t=o = Ф-

Обозначим и^{х) = ф{х), и(1+1\х) = Аи®(х) + dlJ(x,0) при I > 0. Далее при обсуждении условий согласования для упрощения записи будем использовать следующие обозначения. Для функции tp, заданной на Е, положим At<p — At(t)ip(x',0) = ip(x',t) — <р(х',0). Для функции g, заданной на нижнем основании Bq = D+ П {t = 0}, и h > 0 положим

Для а > 0 будем говорить, что для первой краевой задачи выполнены условия согласования порядка сг, если:

1) в случае а 0 N выполнены равенства $tip\£0 = I = 0,1,..., [<т];

2) в случае а е N выполнены равенства Э^|е„ = I = 0,1,..., а — 1, и, кроме того,

К\ = SUp t~l\Âtip — Л£1/2^|о,Е0 < °°> если а =

о«<т

или

Ка = sup r^At^rV - AjW^1' - Ai^'Vlo.Eo < OO, если a > 2. 0<t<T

Для нецелых а положим Ка = 0.

Теорема '2.12. Пусть т > 0 - целое число, / G Hm(D+), ip 6 Нт+2(Е), ф £ Ят+2(К") и выполнены условия согласования порядка (т+2)/2. Тогда решение и первой краевой задачи (4) принадлежит Hm+2(D+) и

Mm-I-2,J9+ < C(\f\m<D+ + Мм»+2,Я + + К(т+2)/2)-

Для граничного оператора первого порядка М — dß + Д), где ß = (ß\,... ,ßn~i, 1), рассмотрим в D+ задачу с косой производной

L°u = faD+,

Mu\v = (5)

u\t=o = ф.

Определим разностный оператор

п

Mhu{x,t) = Y^ßiMhHx,t).

i-1

Для а > 0 будем говорить, что для задачи с косой производной (5) выполнены условия согласования порядка а, если:

1) в случае а ^ N выполнены равенства 9'<p|s0 = Ми®|е0 для I =

0,1,...,И;

2) и случае а £ N выполнены равенства = для I -0,1,..., а — 1 и, кроме того,

Ktr = sup r1|Ät^-V-i1/2MiI/1«W|0,r0<oo.

о <i<t

Для нецелых ¿г считаем, что константа согласования = 0.

Теорема 2.13. Пусть т > 0 чеугое число, / е IIm(D+), у? £ Нт+i(S), ф 6 //т+2(К"), и выполнены условия согласования порядка (т + 1)/2. Го-г&г решение и £ C]§{D+) задачи с косой производной (5) принадлежит

Нт+2{5+) и

\u\m+2,D+ < С(|/|т,0+ + Мт+1,Я + + К(т+1у2)-

Для плотности ip £ Loo(S) в области D+ рассмотрим потенциал простого слоя

U(p{x,t) = / / Z(x'-y',xn,t-r)<p{y',t)dy'dt. Jo JR"-1

Теорема 2.14. Отображение U : ip —> U<p является ограниченным оператором из пространства Loo(£) ß H\{D).

о

Теорема 2.15. Для m £ N отображение U : <р Uip является ограниченным оператором из пространства Hmfä) в Hm+i{D+), а такэ/се из

о о

#т(£) е при I > т. Отображение U как оператор из ffra(£)

о о

в Нт+имеет ограниченный обратный.

о

А.Н. Тихонов 18 для одномерного уравнения теплопроводности привел пример физической задачи, у которой граничные условия содержат вторую производную по пространственной переменной, и указал на возможность построения физически содержательных моделей, приводящих к граничным условиям с производными любого порядка. После этого краевые задачи для параболических уравнений с краевыми условиями, порядок которых не

19

меньше, чем порядок уравнения, исследовались многими авторами, см. и цитированную там литературу.

Для граничного оператора с постоянными коэффициентами М = 0ßkd^, ßr 0, порядка г > 2 рассмотрим в области D+ = R+ х (О ,Т) задачу Тихонова

{L°u = /bD+, Mu\v = tp, (6)

и|г=о = Ф-

Для функции д, заданной на R+ и h > 0 определим разностный оператор Mhg = ßrA^.(h)dl ~2g(0). Для функции ср, заданной на £ и í £ (0, CZ-1], положим Atip = ip(t) — v(0).

18 Тихонов А.Н. О краевых условиях, содержащих производные порядка, превышающего порядок уравнения //Матем. сб. 1950. Т. 26. Jf«l. С. 35-56.

1!> Bidelmari S.D., Zhitarashu N.V. Parabolic boundary value problems. Basel: Birkhauser, 1998.

Для а > 0 будем говорить, что для задачи Тихонова (6) выполнены условия согласования порядка а, если:

1) в случае а £ N выполнены равенства d¡<p\zu = Mu^|e0 для I =

0.1...., [а];

"2) в случае о G N выполнены равенства д\ = I = 0,1,... ,а—

1, и

Ка = sup r^AifipV - Mlinuio)\ < оо. U<¿<T

Для нецелых о считаем, что Ка — 0.

Теорема 2.16. Пусть гп > г — 1 - целое число, f G Hm(D+), iр G í/m_r+2(S), ф G Hm-|-2(M+), и выполнены условия согласования порядка (т—г+2)/2. Тогда решение и задачи Тихонова (6) принадлежит Нт+ и

Mm+2,£>+ < C(\f\,a,D+ + Мш-г+2,£ + |^|m+2,H+ + Щт-г+2)/2)-

В третьей главе исследуются первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа и теплопроводности в областях, содержащих прямые углы.

Будем рассматривать мультииндексы вида k = (Aro, ki, ■ ■ ■ ,кп). Положим \к\г = 2ка + кх + ... + кп, дк = д^д^.-.д'«»,

Необходимость разностных условий согласования для краевых задач выводится с помощью следующего свойства функций из параболических пространств Зигмунда:

Теорема 3.2. Пусть т G N, т > 2, g G Ят(К"+1), к, к',1,1' - мультииндексы, причс.м |fc|i, |fc'|i < rn, |A:|i + |¿|i = + = ш, &¿ + Z¿ = Ц + 1[, i = 0,1,... , п. Тогда

sup Ih\~m\tik{l&l{h)dkg(P) - h^lAl'(h)dk'g(P)\ < C\y\m^,. Обозначим через К = (0, оо)" n-мерный угол. Рассмотрим первую кра-

евую задачу в цилиндре Q = К х (О, Т):

L°u = /вП,

«Is = 0, (7)

и\в0 = О.

Теорема 3.4. Пусть / 6 LX{ÍY). Тогда (единственное) обобщенное решение и задачи (7) принадлежит и

Мал < С|/|о,п.

Рассмотрим вторую краевую задачу в цилиндре Q:

LPu = f bíí,

дпи\ъ = О, (8)

и\Во = 0.

Здесь дпи- производная но внутренней нормали к сечению uiK){t = г}. Под обобщенным решением задачи (8) будем понимать функцию и € удовлетворяющую уравнению L°u = / в смысле распределений, а также начальному и граничному условиям.

Теорема 3.6. Пусть О = (0, ос)" х (О, Т) ufe L.^(ü). Тогда обобщенное решение и задачи (8) принадлежит причем

Мг,о < С|/|о,п.

Пусть

г

"Bhg(x) = 1М9{х + hfji), щ £ К", i = 1,..., г, (9)

i=l

разностный оператор с постоянными коэффициентами, такой, что аппроксимирует оператор Лапласа, т.е. \h~i"Bilg{x) — Ад{х)\ —> 0 при h —> О для любой гладкой функции д.

Необходимость разностных условий согласования для обобщенных решений (т = 0) первой краевой задачи (4), рассмотренной во второй главе, вытекает из следующей теоремы:

Теорема 3.7. Пусть функция и £ H2(D+), L°u 6 IIo(D.r). Тогда sup т-ЧДг(т)и(Р) - ЕтУ,и{Р)I < C{\Lttu\^ -f \и\2^).

PeD+,r> о

Здесь и далее супремум вычисляется по тем значениям параметров, для которых все точки, участвующие в определении выражения, стоящего под знаком супремума, принадлежат рассматриваемой области.

Для классических решений необходимость разностных условий согласования первой краевой задачи в теореме 2.12 вытекает из елс/ующсго утверждения:

Теорема 3.10. Пусть гп - положительное четное число, область Q С D такова, что любая функция из пространства Hm+2(Cl) может быть продолжена ограниченным образом до функции Нт+ч(р), и разностный оператор h~2Eh (см. (9)) аппроксимирует оператор Лапласа. Тогда для и £ Нт+справедливо неравенство

sup T'x\^t{r)dTl2u - ЕТ^д?'2и - Д,(т)д{Г2),2Ь[)и\ < С\и\п+2,и-

fi,r>0

Через Q = (О, I)2 обозначим квадрат в R2, через Gt, г = 1,...,4, и s = (sijsj) С {О, I}2, его стороны и вершины соответственно, h"hg(x) = Д? ((—l)Sih)g(x) ' разностные операторы для вершин s. Пусть f] ---Q х (0,Г); Е = Е1 U .. .Е4, Е1 = Gl х [0,Т] и Rs = s х [0,7*] - боковая граница, боковые грани и ребра области П, Ец = Е П {£ = 0} - основание боковой границы.

В Q рассматривается первая краевая задача

L°u = / вП,

= <р, (10) 1l\t=Q = Ф-

Будем говорить, что для задачи (10) на боковых ребрах й6 выполнены условия согласования порядка а > 1, если ip € С(Е) и

1) при а $ N

д2МР) + (~l)k+1d$*p(P) = ]Г(-1 ydf^-2dlj(dlV{P) - f(P)), (И)

j=0

Рея», SG{o,i}2, к = 1.....И;

2) при а = 1

Кг = sup r-1|At(r)^(P) - Л*1/2¥>(Р)| < оо, se{o,i}2,fe/i,,r>o

а при натуральных а > 2, выполнено (11) для fc = 1,..., ст — 1 и

Ка = sup h-2°\A?((-iy4iMP)+(-iy+lA22°((-iy4iMP)-

se{0,i}2, гея«, he(o,i)

а-1

((-i)«h)(^(P) - /(Р))| <

j=0

Для нецелых о положим К„ = 0.

Обозначим = «(,+1)(®) = &и{'Чх) + 9lJ{x,0), xeQ,l> 0.

Будем говорить, что для первой краевой задачи (10) на основании боковой границы So выполнены условия согласования порядка а > 1, если

1) при <t£N

= (12)

при fc = 0,1,..., [ст];

2) при <7=1 выполнено (12) для к = 0 и

К[ = sup т-ЧД^тМР) - К,/2ф(Р)\ < оо, se{o,i}2,P£So,r>u

а при натуральных а > 2, выполнено (12) для А: = 0,1,..., а — 1 и

К = sup Г-Чддаг1^)-б'б{од}2,РеЕ0,г>о

- - Д4(г)5Г2/(Р)| < оо.

Для нецелых а положим К'а — 0.

Теорема 3.11. Пусть т > 0 - целое число, f € llm(il), ip £ Нт+з(Е!), i = 1,...,4, ф £ Hm+2(Q). Тогда решение и первой краевой задачи (10) будет принадлежать Нт+г(^), если и только если на боковых ребрах и

основании боковой границы области П выполнены условия согласования порядка (т + 2)/2. При этом

Mm+2,u < С I |/|,Hin + ^ Мт+2,Я< + \Ф\т+2,Q + ^(т i- 2)/2 + Щт+2)/2 \ ¿=1

Оценка корректности неверна без констант согласования А'(т+2)/2»

Щт+2)/2 в ПРавсостой.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле с ненулевыми граничными данными в квадрате Q = (О, I)2:

Г ¡Su = f ъ Q,

i U¡dQ = (fi.

С.М. Никольский 20 охарактеризовал следы на границе 8Q гармонической в Q функции, принадлежащей пространству Никольского Щ(0), где 1 < р < оо, г > 1/р, причем г — 1/р, г — 2/р - нецелые числа. Для угла произвольной величины аналогичный результат был установлен затем

B.В. Фуфаевым 21. Е.Л. Волков22 получил оценки решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона в параллелепипеде и исследовал свойства решений в пространствах Гельдера Hm+a(Q), 0 < а < 1. Общая теория краевых задач для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками построена В.А. Конратьевым 23, см. также 24 и цитированную там литературу.

Рассмотрим задачу Дирихле в пространствах Зигмунда Hm{Q). Показатель г — 1/р = г — 2/р = т в этом случае будет целым. Будем говорить,

20 Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками. // Матем. сб. 1957. Т.43. Ш. С. 127-144.

21 Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // ДАН. 1960. Т. 131. №1.

C. 37-39.

22 Волков Б.А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток //Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1969. Т. 105. С. 46-65.

23 Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками //Тр. ММО. 1967. Т. 16. С. 209-292.

м Кондратьев В.А., Олейник О.Л. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях //УШИ. 19S3. Т. 38. Вып. 2. С. 4-76.

13)

что для задачи (13) выполнены условия согласования порядка а > 1, если ¡р S C(dQ) и

1) при ст

д?ф) + = (14)

j=о

s £ I}2; ¿ = 1,2,..., [ст];

2) при ст = 1

Ki = sup /Г2|Л^(/з(б-)| < оо,

se{0,i}2,/ie(0,l)

а при а 6 N, ст > 2, выполнено (14) для А; = 1,2,..., а — 1 и

sup Л-^^^СС—1)в1Л)¥>(я) + (—lJ^Ai^CC—lJ^/OvC«)—

se{o,i}2,he(o,i)

j=a

Для нецелых <r положим Ka = 0.

Теорема 3.16. Пусть т > 0 - целое число, / £ Hm(Q), £ Нт+2{бг), i = 1,..., 4. Тогда решение и задачи Дирихле (13) будет принадлежать -Hm+2(Q); если и только если выполнены условия согласования порядка (т-f 2)/2. При этом

hm+2,q < с + ^ |ip|m+2,gi + ^(т+2)/2^ ■

Оценка корректности неверна без константы согласования К(т+2)/2 6 правой части.

В третьей главе исследуются, кроме того, логарифмические особенности производных решений задачи Коши и первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Хотя обычно логарифмические особенности в оцен-

ках производных рассматриваются как некая «патология», простые примеры показывают, что для решений из пространств Зигмунда они появляются естественно. Кроме того, оказывается, что эти особенности выражаются явно через данные задачи.

Рассмотрим сначала задачу Коши

Ь°и = 0 в D, и|/=о = Ф- (15)

Теорема 3.17. Пусть т £ N, ф £ Нт{Мп). Тогда для решения задачи (15) при \к\ = те, (x,t) £ D, справедливо неравенство

|dkxu(x,t) - < С\ф\т,

Отметим, что для самой производной порядка |/с| = т от решения справед-ливалишь (нсулучшасмая) оценка \дки{х,t)| < С(|1п£|-|-1)|г/)|тДп) t —> +0, а при ¡kj > т из теоремы 1.1 следует, что \d*u(x,t)\ < а~№~тМ2\ф\т$п. Для решений задачи Коши с начальной функцией ф из пространств Гельдс-ра Нт+а(Ш."), 0 < а < 1, в оценках производных присутствуют только степенные функции переменной t. Следовательно, для ф из шкалы Гельдера-Зигмунда fía(Rn), а > 0, логарифмы в оценках производных решения возникают только для целого значения показателя а и производных только порядка = а. Ситуация оказывается аналогична вычислению первообразной от степенных функций: результатом будет степенная функция, за исключением одного случая, когда появляется логарифм.

Рассмотрим теперь первую краевую задачу

L°u = 0 в D+,

и|Е = ¥>, (16)

и||=о = 0.

Обозначим L' = dl- Щ, Ч = - YZl

Теорема 3.18. Пусть т £ N, <р £ i/m(E), |/с| = т. Тогда, если кп четно,

о

то для решения задачи (16) справедливы неравенства

|%u(x,t) - х^АkJ(xn)(L'J^M^,t)\ < C|ML,s, 21

а если кп нечетно, то

Здесь рассматриваются те точки (х,£) € П+, для которых все точки, присутствующие в разностном операторе, также принадлежат

В качестве следствия получены соответствующие результаты для решений задачи Дирихле:

Г Аи = 0 в К™, (1?)

Обозначим Д' = ЕГ=1: К = Д?(Л) и через

Н(х) = -(п- 2)-1<т-1|х|2"п! ">3,

где ап - площадь единичной сферы в К™, фундаментальное решение уравнения Лапласа. Для плотности (р 6 ¿(»(К"-1) с компактным носителем рассматриваем в К.™ эллиптический потенциал простого слоя:

ие<р(х) = / Н(х' - у\хп)<р(у') йу. Уж»-1

Теорема 3.19. Пусть п > 3, тп е Н, <р € //„ДМ"-1), яирру; е [-1,1]""1, = т. Тогда для решения и задачи Дирихле (17), еыи кп четно, справедливо неравенство

а если кп нечетно, то

при х € К".

В четвертой главе исследуются решения задачи Коши

Г Ьи = /вД (

«М = ф,

в пространствах Зигмунда для параболического уравнения с переменными коэффициентами в слое D.

Коэффициенты оператора L предполагаются удовлетворяющими условию

ац,Ь,сеНт(0). (19)

Теорема 4.4. Пусть то - натуральное число, для коэффициентов оператора (1) выполнены условия (2), (19), ufe Hm(D), ф £ Нт+г(Кп). Тогда решение и задачи Коши (18) принадлежит Нт+2(D), причем

Mm+2,D ^ C(l/|m,d + \Ф\т+2,Ш^)-

В пятой главе устанавливаются внутренние априорные оценки решений параболических уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Зигмунда. Известная оценка типа Шаудера 25 утверждает, что при а € (0,1) любое решение и £ уравнения (1) с правой частью

/ £ в области О С D удовлетворяет неравенству

НЯаЛ<С(1/п + Мо,п) (20)

при подходящих условиях на коэффициенты оператора L.

Поставим теперь вопрос, каким оценкам удовлетворяет любое ограниченное решение уравнения теплопроводности LPu = /, когда правая часть принадлежит лишь Hq2\íI), т.е. удовлетворяет только неравенству

|/(Р)| < Gd'\P).

Теорема 5.1. Пусть и £ является обобщенным решением урав-

нения теплопроводности L°u = f £ в области Ü С D. Тогда

и £ H^ity, причем

мЗ^шй+км.

Аналогичный вопрос можно поставить и для а = 1, т.е. когда правая часть удовлетворяет локально условию Зигмунда: / £ Н\ (Í2). Мы получаем априорную оценку типа Шаудера для решений уравнения (1) с

25 Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М.: Мир, 1968.

переменными коэффициентами в пространстве Этот результат со-

ответствует неравенству (20) при а — 1:

Теорема 5.6. Пусть функция и G в области 1! С D является

классическим решением уравнения Lu = f, где оператор L удовлетворяет условию равномерной параболичности (2), а его коэффициенты условиям

ац G Hf\ü)M G tff^c G Hf\ü).

Тогда

С помощью этой теоремы в ограниченной области fi = Q х (О, Т) получены оценки решений первой краевой задачи

!Ьи = / в Q,

u|s = 0, (22)

w|i=o = 0,

правая часть которой может расти как d~l. Коэффициенты предполагаются удовлетворяющими локально условию Зигмунда, а рост младших коэффициентов вблизи параболической границы области Л ~ слабее, чем у правой части:

Oy G Яг(П), bi G Я}1_а)(П), с G Я}1-"^), 0 < а < 1. (23)

Простые примеры для уравнения теплопроводности показывают, что в этом случае в оценке решений и его пространственных производных первого порядка будет присутствовать множитель | In of|.

Теорема 5.9. Пусть для оператора L выполнены условия равномерной параболичности (2) и (23), младший коэффициент с < 0 в О, правая часть / £ Я|Ч(П), а граница dQ G П\ .f п. Тогда, если и является классическим решением задачи (22), то имеет место неравенство

\dkxu{P)\ < CdH*l(P)(| \nd(P)\ + l)|/g, Р е П, |fc| < 2.

Теорема 5.11. Пусть для оператора L выполнены условия равномерной параболичности (2) и (23), младший коэффициент с < 0 в П, правая

часть / € //^(ГЗ), а область <5 ограничена и выпукла. Тогда, если и является классическим решением задачи (22), то имеет место неравенство

1д£и(Р)1 <сиН*1(Р)(|]И(/(Р)| + 1)1/1$, Реп, 1*1 <2.

В шестой главе результаты, полученные ранее в главе 2 для уравнения теплопроводности, переносятся на параболические уравнения с переменными коэффициентами: устанавливается гладкость решений первой краевой задачи и задачи с косой производной в пространствах Зигмунда Нтф,), т > 3. Показывается, что вводимые условия согласования являются необходимыми и /(остаточными, а оценка корректности в случае целого порядка условий согласования неверна без константы согласования в правой части. Область 12 может быть неограниченной, а се «боковая» граница £ 6 Нт - некомпактной. Коэффициенты параболического оператора и данные задачи также предполагаются принадлежащим соответствующим пространствам Зигмунда. Поскольку область может быть нецшшндриче-ской, то формулировка разностных условий согласования усложняется по сравнению с модельных случаем: в окрестности точки, принадлежащей основанию «боковой» границы Ео вводится «распрямленная» система координат и условия задаются локально в окрестности каждой точки Ео-

В области ЯсР рассматриваем первую краевую задачу

Ьи — / в П,

«|е = <Р, ' (24)

"|г=о = Ф-

Для формулировки условий согласования нам понадобятся системы локальных координат, в которых «боковая» поверхность имеет наиболее простой вид. Пусть точка Р принадлежит основанию «боковой» границы Е() и (у, Ь) - Р-систсма координат. «Распрямленной» Р-систсмой координат в окрестности точки Р будем называть координаты (х, £), где х' = у', хп = Уп ~ Очевидно, уравнение «боковой» границы в окрест-

ности Р имеет вид хп = 0.

Для каждой точки Р £ Ео обозначим через

п п

Ср(х, I) = £ а%(х, г+ ЬГ(х, № + сГ(х, О

и /Р) ^р? Фр, эллиптическую часть оператора ь и данные задачи в «распрямленной» Р-системе координат соответственно, а через

п п

4Ч(а:, 4) = ]Г (д'^х, £))8ц + ]Г(д№(х, № + д^х, О,

г,3=1 г=1

п

+ + Шт)д[ср{х, ¿))

1=1

для I > 0, - операторы, получающиеся дифференцированием и взятием разностей от коэффициентов £р по I.

Положим г$(х) = Фр(х), ¿р+1\х) = +

при I > 0.

Будем говорить, что для задачи (24) выполнены условия согласования порядка а > 2, если:

1) при нецелом а для всех Р 6 Ео в «распрямленной» Р-системе координат

3^Р|Е0пог = ИрЬоПби (25)

/ = 0,1,..., [ст];

2) в случае целого а > 2 выполнены равенства (25) для I = 0,1,..., а — 1, и, кроме того,

Ка = 8ЧР т"1!Дг(т)ЗГ:1уР{х', 0) - (Д,(т)4Г2))Ы*', 0)-Рет,0,{х',т)е№г

п

- ]Г а^(х',0,0)Д!(т1/2)Д;(г1/2)4"-1)(х',0) - Д((г)9Г2/р(а;',0,0)| < оо.

г,з'=1

Здесь для фиксированного Р € £о точная верхняя грань вычисляется в «распрямленной» Р-систсмс координат по точкам (V, т) е G'r таким, что все точки, участвующие в определении разностей, принадлежат Q, П Gr. Для нецелых а положим К„ = 0.

Теорема 6.1. Пусть т - натуральное число, £ 6 Нту2, для оператора L выполнено условие (2), а коэффициенты L принадлежат пространству Нтф) ufe Нт{й), tp е нт+2ф), ф £ Ят+2(Д)). При этих условиях классическое решение и первой краевой задачи (24) будет принадлежать Ят+г(О), тогда и только тогда, когда выполнены, условия согласования порядка (т + 2)/2. Яри этом

Мт+2,£! < С (|/|т,П + Мт+2,Е + \Ф\т+%Ва + К(т+2)/2) ■

Для четных гп оценка корректности неверна без константы согласования К(т+2)/2 в правой части.

Для точки Р е £ обозначим через

п

М = ^&(Р)Эг + 0о(Р) Í-1

дифференциальный оператор первого порядка, для которого предполагаем выполненным условие

ф(Р),й(Р))>б>0, VPe£, (26)

гд е0(Р) = (№).•• ■>№))•

В области Í2 рассматриваем задачу с косой производной

Lu = / в Í7, М«|£ = у», (27)

«|¿=o = Ф-

Введем выражения, которые понадобятся нам для формулировки условия согласования. Для точки Р € Е обозначим через

М V, t) = ¿ /№, í)9¿ + рГ(х', t)

í=i

граничный оператор М, записанный в «распрямленной» Р-системе координат,

¿=1

А1(т)д1мр&,г) = ^Г(Мт)Э[р[(х',1Ш + {А,{т)д\рр{х',1)),

- операторы, получающиеся из Мр дифференцированием и взятием разностей от коэффициентов но и пусть

ад/О

¿=1

- разностный оператор, соответствующий дифференциальной части Мр.

Будем говорить, что для задачи с с косой производной (27) выполнены условия согласования порядка а > 1, если:

1) при нецелом а для всех Р € £о в «распрямленной» Р-системе координат

1

^knб,- =!!(!•) , (28)

для г = 0,1,...,[ст],

2) в случае целого а >2 выполнены равенства (28) для I = 0,1,..., сг — 1, и, кроме того,

Ка= sup т-1\Мт)дГл<рг&,0)-

PeSo,(x' ,r)eG'r

-(А^т)дГ'Мр(х\0))фр(х\0)^т^2Мр12(х',0)иР(х',0)\ < оо. Для нецелых а положим К„ = 0.

Теорема 6.2. Пусть гп - натуральное число, боковая поверхность £ G Нт+2, для оператора L выполнено условие (2), коэффициенты L принадлежат пространству Hm(D); f е Нт(й), (р Е Пт+1(Е), ф е Нт+2(Во); для граничного оператора М выполнено условие (26) и Pi € Hrn+i(Yl), i =

0,1,..., п. При этих условиях ограниченное решение и £ C^'j(ii)nHi.f..a(fi) (для некоторого а £ (0,1)) задачи с косой производной (27) будет принад-леэ/сатъ Нт+2(&) тогда и только тогда, когда выполнены условия согласования порядка (тп + 1)/2. При этом

\и\т+2,П < С {\f\m,n + Mm+1,E + \Ф\т+2,в0 + Щт+1)/г) •

Для нечетных т оценка корректности неверна без константы согласования K(m+iy2 6 правой части.

Для целых значений порядка согласования необходимость выполнения разностных условий для принадлежности решений Нт+2(&) в теореме 6.1 вытекает из следующего утверждения:

Теорема 6.3. Пусть т >2 четное число, область Я С D такова, что любая функция из пространства Нт+2(И) может быть продолжена ограниченным образом до функции Hmyi(D). Тогда д.ая и £ IIm+2{i1) справедлива оценка

sup r^\At{T)dTr2u - (Мт)дГ/2С)и - аг^{т)^{т)дТ/2и-

- A^df2'1 Lu\ < C\u\m+2fi.

Рассмотрим теперь неравенства, показывающие необходимость разностных условий согласования для задачи с косой производной (27).

Теорема 6.4. Пусть т > 1 - нечетное число, область Q С f такова, что любая функция из пространства Нт+г(П) может быть продолэ/сена ограниченным образом до функции Hni+2(D); оператор первого порядка М определен в D, а его коэффициенты принадлежат H.m+\{D). Тогда для и £ Я„1+ справедлива оценка

sup тч|Д,(г)9<тЧ)/2(Ми) - {At(T)dlm-1)/2M)u-

S),r> О

Для эллиптических уравнений априорные оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера Iim+a(Q) m > 2, 0 < а < 1, для, возможно,

неограниченной области Q установлены Агмоном, Дуглисом и Ниренбер-гом 26. Как уже упоминалось, эллиптические краевые задачи в пространствах Зигмунда Hm(Q) изучались Трибслем 15.

Из доказанных в настоящей работе утверждений для параболических уравнений мы выводим в качестве следствия априорные оценки решений задачи Дирихле и задачи с косой производной для эллиптических уравнений второго порядка в области класса Нт, которая может быть неограниченной и иметь некомпактную границу. По сравнению с 15 ослаблены требования на границу области и коэффициенты уравнения.

Для равномерно-эллиптического оператора

С = ciij(x)dij + hi(x)di + с(:г), (3 Л > 0) Л|£|2 < афШ, < А-1^2, (29)

в области Q С К", которая может быть неограниченной и иметь некомпактную границу, рассматриваем задачу Дирихле

f Си = / в Q,

I Щдя = <р.

Теорема 6.8. Пусть m - натуральное число, 0Q G Нт+ч, для оператора С выполнено условие (29), коэффициенты С, принадлежат пространству Нт(Жп); f G Hm(Q), ip G Hm+2{dQ). Тогда, если и G C2(Q) П C(Q) -ограниченное классическое решение задачи Дирихле (30), то и G Hm+2{Q) и справедлива оценка

\u\m+2,q < с (|/U,Q + \ip\m+2,dQ + Mo,q) •

Для точки х G dQ обозначим через v(x) вектор единичной внутренней нормали к Q и через M = Y^ILiPi(x)di+fla{x) граничный дифференциальный оператор первого порядка, для которого предполагается выполненным условие

ф(х), й{х)) > 6 > 0 Ухе dQ. (31)

26 Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimâtes near the boundary for solutions of elliptic partial differeritial équations satisfying général boundary conditions I //Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12. №4. P. 623-727.

В области <3 рассматриваем задачу с косой производной

Г £« = /вд, (32)

Теорема 6.9. Пусть т - натуральное число, Э<3 € Нтдля оператора С выполнено г/С/говие (29), коэффициенты С принадлежат пространству Нт(Шп); f £ Нт(0), ¡р £ Пт+ЛдС}); для граничного оператора М выполнено ]!словис (31) и Д- £ 7/т+1(Э(3), г = 0,1,...,п. Тогда, если и £ С2((5) П (для некоторого а £ (0,1)) ■ решение задачи с косой

производной (32), то и £ и справедлива оценка

Мги+2,0 < С (|/|т,д + Мт+1,ад + Мо,<?) •

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту - академику Е.И. Моисееву, а также профессору Е.А. Бадерко за помощь, ценные консультации и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Коненков А.Н. Разрешимость третьей краевой задачи как следствие разрешимости задач Коши и Дирихле для уравнения теплопроводности //Известия РАЕН. Диффсренц. ур-ния. 2003. т. С. 35-38.

[2] Коненков А.Н. Первая краевая задача для параболического уравнения в классе Гельдера На //Диффсренц. ур-ния. 2004. Т.40. №3. С. 389-395.

[3] Коненков А.Н. Первая краевая задача в кубе для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда /'/Известия РАЕН. Диффсренц. ур-ния. 2004. №8. С. 46-50.

[4] Коненков А.Н. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда //Дифферент!,, ур-ния. 2005. Т. 41. №6. С. 820831.

[5] Коненков А.Н. Модельные краевые задачи для уравнения теплопроводности в пространствах Зигму?еда //Доклады РАН. 2005. Т. 404. №1. С. 18-20.

[6] Коненков А.Н. Задача Тихонова для одномерного уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда //Известия РАЕН. Дифференц. ур-ния. 2005. №9. С. 29-35.

[7] Коненков А.Н. Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и теплопроводности в областях с прямыми углами //Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 75-82.

[8] Коненков А.Н. Задача Коши для параболических уравнений в пространствах Зигмунда //Дифференц. ур-ния. 2006. Т. 42. №6. С. 814819.

[9] Коненков А.Н. Задача Дирихле в пространствах Зигмунда в квадрате //Доклады РАН. 2007. Т. 412. №1. С. 22-25.

[10] Коненков А.Н. Гладкость теплового потенциала двойного слоя в пространствах Зигмунда //Дифференц. ур-ния. 2007. Т.43. №8. С. 11061115.

[11] Коненков А.Н. Краевые задачи для параболических уравнений в пространствах Зигмунда //Доклады РАН. 2008. Т. 418. №1. С. 15-18.

Пусть точка Р — (x°,t°) принадлежит поверхности Е. Через Gr в Р-системе координат обозначим цилиндр вида

Gr = {{y,t) £ Г11 \у'\ < г, \уп\ < г, 0 < t < г2};

положим G'r = Gr n {уп = 0} и G'r(P) = G'r П {t < Т - i0}. Поверхность Е называем поверхностью класса На, а > 1, и пишем Е £ На, если существует г : 0 < г < оо такое, что для любой точки Р £ Ев Р-системе координат

Е П Gr = {(У, t) : (у', t) £ G'r(P), уп = д{у', Р)},

где функция д(-; Р) : G'r(P) —» Ж принадлежит пространству Ha{G'r{P)) и конечна величина

||Е||о = sup \д{-\ P)\a,G'r(P)-Ре Е

Опишем пространства Гельдера-Зигмунда функций, заданных на поверхности Е. Предположим, что Е € На, а > 1, тогда для любой точки Р° £ Е можно рассматривать отображение

действующее по формуле (в Р0-системе координат)

f(y',t-P0) = (y',g(y',t-,P0),t), (y',t) £ G'r(P°).

Пусть поверхность Е G На, и пусть b £ (0, а]. Линейное пространство функций ip : Е —> Ж таких, что

(VP°E Е) (р о /(•; Р°) £ Hb(G'r(PQ)),

и конечна величина

[</?;Е|б= sup \(ро f(-,P°)\b,GUP°)> p°ge

называем пространством Гельдера-Зигмунда Нам понадобятся под-

пространства

ЯЬ(Е) = 6 Я6(Е) : \tp{x,t)\ < Ctb'2)

с нормой

1М|б,е = M&,S + sup t-b'2\<p{x,t) |.

(x,t)€ Е 8

нецелые числа. В пространстве Гельдера На{0), 0 < а < 1, такая зада.-ча рассматривалась Уолшем и Янгом [61]. Для угла произвольной величины аналогичный результат был установлен затем В.В. Фуфаевым [62]. Е.А. Волков [63-65] получил оценки решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона в параллелепипеде и исследовал свойства решений в пространствах Гельдера Нт+а{С}). Общая теория краевых задач для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками построена В.А. Конратьевым [66,67], см. также [51], [68], [69] и цитированную там литературу.

Разрешимость краевых задач для параболических уравнений в негладких областях была предметом систематического исследования начиная с шестидесятых годов, см. [51] и цитируемую там литературу. Оценки для функции Грина и ядер Дирихле для параболических уравнений в областях с конической точкой найдены В.А. Козловым [53]. Решения задачи Неймана и смешанных краевых задач в областях с ребрами в различных весовых пространствах изучались в [54-57]. Вопрос о существовании классических решений первой краевой задачи для параболических и полипараболических уравнений в клине (п = 2) рассматривался М.О. Орынбаса-ровым [58]. Оценки решений первой краевой задачи в анизотропных пространствах Гельдера #1+7(Г2) в цилиндре О = х (0, Т), где $ - область с кусочно-гладкой границей, для параболических уравнений получены в [52]. Коэффициенты и правая часть предполагались принадлежащими На(О), а показатель 7 € (0,1) - зависящим от углов области и коэффициентов параболического оператора.

В третьей главе настоящей работы исследуются первая и вторая краевые задачи с однородными начальными и граничными данными для уравнения теплопроводности в цилиндрических областях П = <5 х (0,Т), 0 < Т < оо. Их основанием являются некоторые области (3, граница которых имеет прямые углы. От правой части уравнения требуется только измеримость и ограниченность, а локальная гладкость не предполагается. При сделанных предположениях утверждение о гладкости решения имеет простой вид. Решение будет принадлежать анизотропному пространству Зиг-

Теорема доказана.

Аналогично, но проще доказываются оценки для производных в пространствах Гельдера.

Теорема 1.2. Пусть I > 0 - целое и д 6 1/2Тогда при у + > I и £ > О

< C(IJ + 2s)\g\l+1/2Mt-

-(1+1/2—j—2s)/2

1.2. Гладкость объемного потенциала

Для функции / € #0^(1)) рассматриваем объемный потенциал У/(Р) = / - <2)/((2)с1д, Р = (х, г) е

(1.11)

Теорема 1.3. Пусть т,1 - натуральные числа, I < т, т > 2. Тогда отображение V : / —* V/ является ограниченным оператором из пространства H^I^iD) е пространство Нт l\D).

Доказательство. Обозначим

n(x,i,r) = n[/(-,r)](x,i-r).

Тогда

Vf(x,t) = / u(x,t,T)dr.

Jo

Это представление дает возможность использовать свойства потенциала Пуассона для исследования объемного потенциала.

Пусть сначала m = 2. Тогда. I = 1 или I = 2, а функция /(•, т) G Loo (И) для почти всех г g (0,Т) и |/(-,t)|0ir» < Ст^~2^2 [45, с.13]. Используя теорему 1.1, для |fc| < 1 получаем:

|5iV/(®,i)| < Г |<9^(rc,£,r)|c/r < С f\t - т)-М2т«-2»Чт =

J О Л /

(1.12)

Отметим предварительно оценки для производных д^и, вытекающие из теоремы 1.1.

Лемма 1.4. Пусть т > 3, \к\ = р\ + Р2, причем р\ > 0, 0 < р2 < т — 2, и (РъРг) Ф (0,ш — 2). Тогда при / € д£12(1)) имеет место неравенство:

\дкхи{хХг)| <

Доказательство. Для к — к\ + к2, Р\ = \к\\, Р2 = 1^1 < т — 3, имеем:

^(я, г) = г)](ж, * - г),

и, по теореме

Пусть теперь р2 = т — 2. Тогда Р1 > 1. Представим & в виде суммы А; = + гДе = т — 3=^2 — 1, = |/с| - га + 3 = рх + 1. По теореме 1.1 получаем:

$«0м,г)| < < - г)_р1//2г"(р2 + 1)/2.

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Для \к\ < т — 1 имеем:

д%и(х, т)(1т — 1\ + /2.

С помощью леммы 1.4 для 1\ выводим:

|/х| < С - тУ^т-^т = СгМ-1»2. Jo

Оценим /2:

|/2| <С Г (й -

Л/2

По лемме 1.5 имеем:

\1г\ = |Д^$/М + -)1М)| < С^Пг^т <

Оценим ¡2-

гАг /•Дí рь/2

\к\<С ! / / (г + а + /?-т) ./О 7о

<С / (4/2 + а + / т"1/2^ <

Уо Л Уо

< СГ^-1)/2 / / (¿/2 + а + (3)~Ча(1(5 < С\М\Г{т-1)!2. «/о ./о

Оценим /3.

|73| < С / / / (* + « + /?- ту2т^т-^!2а,т(1а<1$ < Л У о Л/2

'о Л/2

< сг{т~1)/2 / / [(а + /З)"1 - (¿/2 + а + /^¡Жж*/? < ./о Л /•дг />дг

< СГ^т-1)'2 / / (а + < С| Дф"(т-1)/2.

Уо Уо

Объединяя оценки для /1-/3, получим (1.19). Теорема доказана.

Для / е Н\{0) отметим еще неравенство

|А;| = 2.

Действительно, воспользовавшись представлением [48, с. 308]

Уо -/к™

&1{\Щ112)дпУ/(р(х + аёп, £ + ]Ы)(1а

г№1/2

<С \Щ1/2аа = С|Д£|, 3 = 0,1,2,

J о

а для последних трех - из (2.14):

<

'0 Л

лДt

д2Шф + Л Д£|1/2ёп, £ + а + ДОасг/?

<

<С / +;|Д£|1/2)-2СШ/3 < С|Д£|, j = 1,2,3, Л Л

что и завершает доказательство для 1 = 2.

При / > 3 теорема сводится к уже рассмотренным случаям, поскольку Шч> = ^[ЗД, i = 1,2,..., п — 1, = и <Э2И^ = (дг -

Д')ИЛр = - Д>].

Теорема доказана.

2.3. Некоторые свойства решений задачи Коши

В этом разделе мы исследуем свойства решений задачи Коши в анизотропных пространствах Зигмунда вблизи гиперплоскости £ = 0. Везде далее рассматриваются ограниченные решения. Выделяются явно особенности, дающие логарифмический рост производных при £ —» 0. Мы ограничиваемся только случаями, используемыми далее. Результаты этого раздела используются затем для получения разностных условий согласования и доказательства разрешимости модельных краевых задач в пространствах Зигмунда. Дальнейшее обсуждение логарифмических особенностей решений краевых задач для уравнения Лапласа и теплопроводности см. в разделах 3.6 и 5.4.

Рассмотрим задачу Коши Ьи — 0 в Д = Ф £ #1(КП). Ее решение и может быть представлено в виде потенциала Пуассона, и, по теореме 1.1, и Е Н^Й). Функция ф может быть нигде не дифференцируемой [46].

Далее нам понадобится оценка решения для случая, когда и б Нт+2Ф+):

о

). (2.30)

Как видно из доказательства предыдущей теоремы, решение представляется в виде суммы объемного потенциала и потенциала двойного слоя. Дополнительная, по сравнению с теоремой 2.12, оценка \и(х^)\ < вытекает из известных неравенств |У/(ж,£)| < ¿|/|о,кпх(о,ф <

^Мод™-^^)-

Отметим, что эта теорема дает ответ на вопрос, какому классу в шкале Гельдера-Зигмунда принадлежит решение, если данные задачи гладкие, а часть условий согласования не выполнена. Пусть, например, в условиях теоремы / € На(Й+), <р е Н2+а(£), ф £ Я2+а(Кп), 0 < а < 1, и выполнены условия согласования = ф\т,0, = ^Ф + /|е0. Тогда, как

хорошо известно [48, гл. 4], и € Яг+а (£>+). Если же второе из равенств на

2 1 —

£о не выполнено, то решение не будет принадлежать пространству {О). Спрашивается, каким классам оно будет принадлежать? При 0 < а < 1 оно принадлежит Н1+а(Й+) [35]. В этом случае достаточно только одного условия согласования (/>|е0 = ф\ъ0. Теорема 2.12 показывает, что решение будет принадлежать более узкому пространству Я2 (/)+), поскольку разностные отношения в (2.25) будут ограничены отдельно для ср и для ф нормами |<%(/?|о,£ и \даФ\од1 п0 теореме о среднем. Таким образом, для выполнения более слабых разностных условий согласования (2.25), (2.26) достаточно только некоторой избыточной гладкости данных задачи, а равенство соответствующих производных (в условии максимального порядка) не требуется, даже если они существуют. В приведенном примере достаточно, чтобы начальная и граничная функции принадлежали параболическим пространствам Липшица С1,:1(£) и С1,3^®^) соответственно и совпадали на

Е0.

2.5. Недостаточность дифференциальных условий согласования

Далее в разделе 3.3 будет доказано, что введенные нами разностные условия согласования являются необходимыми для принадлежности решения первой краевой задачи (2.22) пространству Hm+2(D+) для четных т. Это доказательство, с учетом всех вспомогательных утверждений, достаточно длинное и использует результаты трех глав. В этом разделе приводятся простые примеры, показывающие, что для четных т условий согласова,-ния порядка (га +1)/2 недостаточно, а оценка корректности без константы согласования неверна.

Пусть п = 1ит = 0,/ = 0,^ = 0. Для четных т > 0 соответствующий пример граничной функции получается интегрированием т/2 раз от нуля до t от функции ip из следующего примера.

Рассмотрим в D+ = R+ х (0,1) первую краевую задачу Lu = 0 в D+, — tp € /¿^(S), u\t=o = 0, где <p(t) = tint. Функция u(x,t) = 2W<p{x,t) является ее решением. Условие согласования нулевого порядка <р(0) — 0 выполнено, а первого порядка, в данном случае sup0<i<Ti~L|</?(£) | < оо, нет. Покажем, что и 0 H2(D+). Имеем:

2dxWip{x, t) = 2 [ [dTZ{x,t-T)}T\nrdT = -2 [ Z{x, t - r)(lnr + I)dr. Jo Jo

Следовательно,

1 Гь

дхи{0, t) = —у= / (t — т) ПТ + 1 )dr = -2ir-l/4l'2{\ nt + 2 In 2 — 1).

V^ Jo

Откуда

-джи(0,0)|Л1/2 - \dxu{Q,t)\/t1/2 = 27r-1/2|lnt+ 21n2 - 1|

и \u\2,D+ > [dxu]l,D+ = oo.

Покажем теперь, что для четных m оценка корректности (2.27) не будет верна без константы согласования А"(то+2)/2 в правой части. Для m = 0 и 7 Е (0,1) рассмотрим на [0,1] функцию <^7(t) = (j — t) In |т~А— 7ln7- Для

четных т > 2 примеры получаются интегрированием </?7 по t. Обозначим еще ipo(t) = ¿ln|i|. Имеем:

l^ks < |yo|i,[-i,i] + sup I7I117I = С0 < 00.

-ге(од)

Положим t) = 2W(pj(x, t). Тогда Lu7 = 0 в D+, w7|s = щ|i=o = 0. Условия согласования первого порядка выполнены для всех 7 £ (0,1) и, по теореме 2.12, щ £ Н2(В+). Покажем, что оценка (2.27) неверна без константы Ki в правой части. Для х > 0 имеем:

дхщ(х, 7) = -2 [' Z(x,-у-T)<p^(r)dT = 2 Г Z(x, 7 - r)[ln(7 - г) + l]dr, Jo Jo

<W0,7) = 4= A7 - т"Г1/2Н7 - г) + l]dr = 2тГ1/271/2(1п7 - 1). V^ -/о

Откуда

KI2> ^ l^w7(0,7) - 5жгг7(0,0)|7'1/2 =

= |аж«7(0,7)|7"1/2 = 2тГ1/2| In 'у — 1 j —> оо при 7 —> +0. Так как Cq не зависит от 7, то отсюда и следует требуемое утверждение.

2.6. Задача с косой производной

Для граничного оператора первого порядка М — dp + ¡3q, где 0 = ,/Зп-1) рассмотрим в D+ задачу с косой производной

Lu = / в D+, Ми\Е = <р, (2.31)

w|i=o = Ф-

Под обобщенным решением задачи (2.31) будем понимать функцию и £ (£)+), которая является обобщенным решением уравнения Lu — f в D+1 см. (2.23), а также удовлетворяет начальному и граничному условиям. Определим разностный оператор

п

Mhu(x,t) = ^2/3iAi(h)u(x,t).

i=l

+1 /vW(m"1)/2V,o)| + \p0v[d¡m-1)/2f](x',o,t)\+

< Ct(\f\m,D+ + Mm+l.S + \Ф\т+2,Щ + K(m+1y2)-

Требуемое неравенство для первых трех слагаемых следует из лемм 2.2, 2.9 и 2.10 соответственно. Таким образом, (2.35) доказано.

Построим теперь решение задачи с косой производной (2.34) с помощью решений задачи Коши и первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Покажем, что

||Û||m+2,D+ < C|MUl,£. (2.36)

Заметим сначала, что из разрешимости задачи Коши Lu = / G Hm(D), u\t=Q = ф G Hm+2(Mn), в пространстве Hm+2(D) вытекает ее разрешимость для оператора с постоянными коэффициентами Lv — dtv — ацдцу — b^div — cv.

Определим на £ параболический оператор

/ 71—1 П — 1

L'y = dtv-l A'v + J2 frPjdijV + 2/% (3Av + P¡y \ i,j=1 i=1

с постоянной параболичности A = 1. Рассмотрим задачу Коши

Г L'y = ф на Е,

I «к = 0.

Ее решение v 6 Нт+з(£) и

Mm+3,£ ^ < C(|/|m,D+ + Мт+1,Е + Жт+2,К™)-

Кроме того,

Н^)! < Cí|(^|o,En{r<í} < Cím+3(|/|m,P+ + |^U+l,S+|^|m+2,Kí+^(m+l)/2)-Следовательно, г; G Нт+з(^) и

о

IMU+3,E < С(|/|т,£>+ + Mm+1,E + Hm+2,RÎ + #(m+l)/2)- (2-3?)

62

Пусть теперь w - решение первой краевой задачи

Lw — 0 в D+, = v,

w|i=0 = О-

Условия согласования порядка (т + 3)/2 выполнены с константой согласования, не превышающей правой части (2.37). Из теоремы 2.12 получаем, что w € Нт+зФ+) и

о

\\w\\m+3,D+ < С| |m+3,£ < C{\f\m,D+ + Mm+1,£ + \Ф\т+2,Щ. + К(т+ 1)/г)-

Рассмотрим оператор первого порядка М = dß — ßо , где ß — (—/?', 1), и положим и — Ми;. Тогда м £ Hm+2(D+), и справедлива оценка (2.36).

о

Покажем, что и и будет являться искомым решением задачи (2.34). По построению, и удовлетворяет уравнению Lü = 0 в D+ и начальному условию ü\t=o — 0- Для Ми имеем:

п—1 п—1

Мй = MMw = <9nnw - ^ ßißjdijW - 2ß0 /ЗДгу - w.

i,j=l г=1

Учитывая, что dnnw= — A'v, получаем:

/ гг.—1 71— 1 \

Mü|E = dtv-l A'v + ßißAjV + 2/5o X] + ßlv ) = L'v = <p.

V i,j=1 г=1 /

Теорема доказана.

Для функции и € Hm+2(D+) отметим неравенство

о

ш+1,е), (2-38)

где / = Lw, <£> = Дополнительная оценка \u(x,t)\ < Ct^m+2^2 вытекает из (2.36) и неравенства для объемного потенциала \Vf(x,t)\ < ¿|/[o,R«x(o,i)-

2.7. Потенциал простого слоя

Для плотности if в области D+ рассмотрим потенциал простого слоя

U(x,t) =

Z(x' - у\ хп, t - r)ip(yT)dy'dr.

(2.39)

Теорема 2.14. Отображение U U<p является ограниченным опе-

ратором из пространства L00(Е) в Hi{D).

о

Доказательство. При (р 6 Ах>(£) в D имеет место равенство Uip{x,t) — —дпУф(х,Ь), где ф(х,Ь) = ip(x', t)9{xn) и 9 — функция Хевисайда, что проверяется внесением производной под знак интеграла в объемном потенциале Уф и интегрированием по частям. По теореме 1.3 получаем, что Уф е h2(D), UtpeH^D) и

\U<p\i,D < \Vlp\2,D < С\ф\о,о =

Кроме того,

\Utp{x,t)\ < С|^|о,Е fr-^dr = C\ip\o,zt1/2.

Jo

Теорема доказана.

Для п = 2 и плотности <р — 9(xi), где 9 - функция Хевисайда, имеем:

9lUV(0,x2,i) = ^¿Г (о, g) = ¿ (log g) + 7) + 0(x¡/t)

при x\/t +0. Здесь Г(о, Ь) - неполная гамма-функция [97, с. 138]. Следовательно, U<p(x,t) для фиксированного t Е (0,Т] не принадлежит пространству Липшица С0Д(^2)- Даже для гладких плотностей первая производная по xi потенциала простого слоя не будет принадлежать C(D) в силу известной формулы скачка для пространственной производной. А для более слабой нормы пространства H\{D) этот скачок «незаметен».

Теорема 2.15. Для me N отображение U : ip —» Utp является ограниченным оператором из пространства i7m(E) в Hm+i{D+), а также из

о о

Нт{б H^m~l\D+) при I > т. Отображение U как оператор из #т(£)

о О

в Нт+1(^) имеет ограниченный обратный.

о

Доказательство. Функция и = —2U(p является решением второй краевой задачи

Lu = 0 в D+, дпи\% = <¿>e#m(£),

о

u|t=o = 0. 64

Ограниченность оператора U : (р —> U<p из Нт{S) в Hm+i(D+) вытекает из

о о

теоремы 2.13 о задаче с косой производной, а ограниченность из в

о

следует из равенства Uip = 2W[(p], где ф = Uip|е € Нт+i(S)

о

и теоремы 2.7.

Обратно, уравнение Uip]?: = ф £ Нт+имеет решение ip = —

о

где и - решение первой краевой задачи

Г Lw = 0 в £>+,

< че =

I wlt=0 = 0.

По теореме 2.12 w Е Hm+i(D+) и ||9nu|s||m,D+ < < CII^IU+i^-

о

Проверим единственность в Дгт(Е) решения уравнения = ф <G iJTO+i(S)

о о

Если г/(<£>1 - = о, где </?ъ <¿>2 £ Ят(£), то - </?2) = 0 в D+ в силу

о

единственности решения первой краевой задачи в #m+i(£)+). Тогда

о

- ¿) = -2 lim - <fi2)(x', xn,t) = 0,

Теорема доказана.

2.8. Задача Тихонова

Пусть - фундаментальное решение уравнения теплопроводности с

одной пространственной переменной, см. (1.1). В этом разделе для п = 1 мы будем рассматривать область D+ = D П {х > 0} с основанием Ж+ = D+ П {t — 0} и «боковой» границей S = D П {х = 0}. Для h > 0 рассмотрим разностный оператор

h~2Khu{x, t) = h~2(u(x + 2h, t) - 2u{x + h,t) + u(x, t)),

который является разностной «заменой» одномерного оператора Лапласа.

Для граничного оператора с постоянными коэффициентами М = J2k=oßkdxi ßr 0> порядка г > 2 рассматриваем в области D+

задачу Тихонова

Lu = f в D+, Mu\s = <p, (2.40)

u\t=Q — ф.

Для функции g, заданной на К+, и h > 0 определим разностный оператор

Mhg =

Для функции заданной на Е, и t £ (0, Т] положим

А^ = <p(t) - <¿>(0).

Обозначим еще через Eq = Е П {t = 0} основание «боковой» границы Е.

Для а > 0 будем говорить, что для задачи Тихонова (2.40) выполнены условия согласования порядка а, если:

1) в случае а 0 N выполнены равенства = Ми^ |s0 для I —

0.1...., [ст], здесь [а] - целая часть числа а\

2) в случае a £ N выполнены равенства д\ц>js0 = Mu^\e0, I — 0,1,..., а-

1,и

Ка = sup r^A^rV - Mti,2W(a)| < oo.

0 <t<T

Для нецелых а считаем, что Ka — 0.

Теорема 2.16. Пусть т > г — 1 - целое число, / £ Hm(D+), <р £ Hm_r+2(E), ф £ Нт+2(Ш+), и выполнены условия согласования порядка (т — г + 2)/2. Тогда решение и задачи Тихонова (2-40) принадлежит Нт+2ф+) и

\u\m+2,D+ < C(\f\m:D+ + W\m-r+2,S + |'0|m+2,R+ + K(m-r+2)/2)- (2-41)

Доказательство. Функции / £ Hm{D+) и ф £ ЯТО+2(Й+) можно продолжить ограниченным образом до / £ Hm{D) и ф £ i/m+2(M) соответственно [45, с.263]. Из теорем 1.1 и 1.3 о гладкости потенциала Пуассона и объемного потенциала получаем, что Vf £ Hm+2(D+), Пф £ Hm+2(D+), и задача (2.40) с помощью этих потенциалов сводится к задаче с нулевыми

правой частью и начальным условием: функция й = и — V/ — Пф является решением задачи

Ьй = 0 в

Мй |Е = ф, (2.42)

Щг=о = О,

где ф = ^-М(У7+Щ>)|Е € Яш_г+2(Е), |^|т-г+2,Е < С(|/|ТО;1)++|^|ТО_Г+2,Е+

Покажем, что при выполнении условий согласования порядка (га — г + 2)/2

феНт-т+2^1 (2.43)

о

т.е. 1^,4)1 < причем ^ < С(|/|т>д+ + Мт-г+2,Е + +

2)/г)- Рассмотрим два случая:

1) (га — г + 2)/2 ^ N. Тогда, в силу условий согласования, д\ф\ъ0 = О, I = 0,1,..., (га — г + 1)/2. Кроме того,

= | _ ^(т-г-+1)/2 ~(0) | <

т,

И+ + Мт-г+2,11 + \Ф\т+2Д+)-

Следовательно,

т,-0+ + Мт-г+2,£ + |т+2Д+) •

2) (т-г+2)/2 € N. Тогда = 0,2 = 0,1,..., (га-г)/2. Обозначим через й^(х), функцию, которая получается при замене в определении и^ функций /, ф на /, ф соответственно. Заметим, что й^1\х) = Ф\х) при х > 0. Пользуясь формулой (2.29) на £ имеем:

д(ш-г)/2ф = _ Мд(т-г)/2у^ _ М(9(™"0/2щ, =

= - МУ[<9^г)/2/] - МП[й((т-г)/2) - - МЩд™~гф] =

= <9,(т~г)/2^ - МУ[д,(т-г)/7] - П[ЛГй«т-г>/2>].

Обозначим А^к)д(х, ¿) = ^(ж, ^ + Л) - д(х, £) и М' = Х)*=о Ркд%- Учитывая равенства ^(т_г)/2^(0) = Ф»^/2)(0), и«т-г+2>/2>(0) = ^«"»"«(О) +

д[т~г)'^{о, 0) и для ф получаем:

\д^т~г)/2ФШ < |АММ - М>((т"г)/2)(0) - 0)1+

+|А£(^)П[Мй«т-г)/^](0,0) - Л^1/2Ми^т~г^Т>(0)| +

+|&^т(т~г)/2/К<М) - м^4т~г)/2До,о)| + |Л;1/2МУ(то-г)/2)(О)|+ + |У[М,^(т-г)/2/](0,01 + |Д^)^(ш-г)/2^(0) - 0)1 <

< + \(р\т-г+2,Е + \Ф\т+2Д+ + 2)/г)-

Первое слагаемое равно нулю, требуемое неравенство для второго и третьего следует из лемм 2.9 и 2.11 соответственно. Четверт�