Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов неупорядоченных систем в условиях андерсоновской и слабой локализации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Ф

Грошев Андрей Геннадьевич

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ АНДЕРСОНОВСКОЙ И СЛАБОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ

01.04.07- Физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск-2000

РГБ ОД

'3 пан ш

Работа выполнена в лаборатории теории твердого тела Физико-технического института УрО РАН, г. Ижевск.

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, С. Г. Новокшонов.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, И. М. Суслов. (Институт физических проблем РАН имени П. Л. Капицы); кандидат физ.-мат. наук Э. 3. Кучинский. (Институт электрофизики УрО РАН).

Ведущая организация:

Институт физики металлов УрО РАН, г. Екатеринбург.

Защита состоится «2/ » 2000 г. в /V часов на заседании

диссертационного совета Д 003.58.01 при Физико-техническом институте УрО РАН (г. Ижевск, 426001, ул. Кирова, 132).

С содержанием диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института УрО РАН

Автореферат разослан "/^ "

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

,инов

/33 1-^03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория неупорядоченных систем является одним из наиболее актуальных разделов физики конденсированного состояния. С одной стороны, неупорядоченные системы привлекают внимание своими необычными физическими свойствами, обусловленными качественно иной (по сравнению с идеальными кристаллами) структурой од-ноэлектронных состояний. При их теоретическом описании возникают интересные проблемы фундаментального характера, тесно связанные с проблемами теории фазовых переходов, квантовой теории поля и другими. С другой стороны, интерес к ним стимулируется потребностями современной микроэлектроники, в которой широко используются неупорядоченные (легированные) полупроводниковые материалы и структуры. При современном уровне миниатюризации электрические свойства микроэлектронных приборов начинают зависеть от пространственной нелокальности (дисперсии) протекающих в них явлений переноса. Этой проблеме и, в частности, исследованию пространственной дисперсии кинетических коэффициентов неупорядоченных систем в условиях андерсоновской и слабой локализации до настоящего времени не уделялось должного внимания. В связи с этим цель работы состояла в теоретическом исследовании пространственной дисперсии (нелокальности) кинетических коэффициентов неупорядоченных систем в условиях андерсоновской локализации и выяснению ее роли в эффектах слабой локализации.

Исходя из поставленной цели были определены следующие научные задачи:

• Выполнить критический анализ схейлинговой, самосогласованной и симметрийной теорий андерсоновской локализации с точки зрения возможности последовательного учета на их основе пространственной нелокальности кинетических коэффициентов, выяснить принципиальное значение решения этой проблемы.

• Разработать метод вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем с учетом их пространственно-временной

з

дисперсии, то есть зависимости от частоты и и волнового числа q в низкочастотной и длинноволновой области (а>т -С 1, ?! < 1, где г и I = Урт - время и длина свободного пробега, соответственно).

• Построить обобщение теории Волльхардта - Вельфле, позволяющее последовательным образом учесть пространственную дисперсию кинетических коэффициентов (¿-мерной неупорядоченной системы в условиях андерсоновской локализации. Проанализировать поведение масштаба пространственной нелокальности обобщенного коэффициента диффузии электронов как в диэлектрической фазе, так и в непосредственной окрестности порога подвижности €с.

• Исследовать влияние пространственной дисперсии обобщенного коэффициента диффузии электронов в двумерной неупорядоченной системе на эффекты слабой локализации и, в частности, на магнитополевую зависимость квантовых поправок к продольному и холловскому сопротивлению в широкой области магнитных полей, включая квантующие.

Научная новизна работы:

• Предложена схема вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем произвольной размерности с учетом их пространственно-временной дисперсии в низкочастотной и длинноволновой области (ыт <С 1, ql

• Предложено обобщение теории Волльхардта - Вёльфле, позволяющее исследовать пространственно-временную дисперсию кинетических коэффициентов ¿-мерной неупорядоченной системы в широком диапазоне изменения беспорядка: от классического металла до андерсоновского диэлектрика.

• Показано, что в условиях андерсоновской локализации пространственная дисперсия обобщенного коэффициента диффузии электронов 1>(<7, ш) подавляется вплоть до атомных масштабов, что обосновывает асимптотическую (при ш -4 О или £р —> £с) справедливость схемы самосогласования Волльхардта - Вёльфле.

• Впервые предложена последовательная теория слабой локализации для двумерной неупорядоченной системы, справедливая при малых временах сбоя фазы (гу йт)ив широкой области магнитных полей от классически слабых (В <С Ви = с(2\е\1г) вплоть до квантующих {шст > 1).

• Показано, что пространственно-временная нелокальность коэффициента диффузии существенно влияет на поведение квантовых поправок к электропроводности в области сильных магнитных полей (В > В^), сменяя, в частности, их логарифмическую полевую зависимость в области В <С А,г на степенную - при В > В1т.

• Показано, что вопреки общепринятой точке зрения локализацион-ные поправки к холловскому сопротивлению рн отличны от нуля. Они имеют знак, противоположный заряду носителей, и приводят к уменьшению абсолютной величины рц. Их полевая зависимость имеет те же особенности, а относительная величина - тот же порядок, что и в продольном сопротивлении.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Разработан метод вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем произвольной размерности й с учетом их пространственно-временной дисперсии. Этот метод позволяет исследовать ^-зависимость обобщенного коэффициента диффузии

и электропроводности а(д,и) в широком диапазоне изменения параметров системы: от классического металла до ан-дерсоновского диэлектрика. На основе этого метода впервые предложен микроскопический подход к проблеме пространственной дисперсии кинетических коэффициентов неупорядоченных, представляющий собой обобщение самосогласованной теории локализации Волльхардта - Вельфле.

• Проанализирован характер пространственной дисперсии обобщенного коэффициента диффузии электронов в неупорядоченной системе как в диэлектрической фазе, так и в непосредственной окрестности перехода металл-диэлектрик. Показано, что в этих условиях, как

и в классическом металле, роль масштаба пространственной нело-кальносги 0(д, и) играет диффузионная длина, которая при ш —> О или —£с убывает до тех пор пока не достигнет насыщения на атомном масштабе ~ Ар.

• Последовательное вычисление кванговых поправок к электропроводности двумерной неупорядоченной системы, обусловленных эффектом слабой локализации, позволяет получить аналитические выражения, справедливые при малых временах сбоя фазы (т^ « т) и в широкой области магнитных полей от классически слабых (В <С В« = с/2\е\12) вплоть до квантующих (о>ст > 1). В области В > В1г пространственная нелокальность обобщенного коэффициента диффузии существенно влияет на поведение квантовых поправок к электропроводности, сменяя, в частности, их логарифмическую полевую зависимость в области В В1Г на степенную - при В > В1:.

• Вопреки общепринятой точке зрения локализационные поправки к холловскому сопротивлению рц отличны от нуля. Они имеют знак, противоположный заряду носителей, и приводят к уменьшению абсолютной величины. Их полевая зависимость имеет те же особенности, а относительная величина - тот же порядок, что и в продольном сопротивлении. Возникновение отличных от нуля интерференционных поправок к рц обусловлено наличием аномальных слагаемых холловской компоненты тензора электропроводности, не имеющих аналога в классической кинетической теории, и не связанных с интерференционной перенормировкой транспортного времени релаксации, которое, как известно, в первом порядке по 1 /кр1 сокращается в рн-

Научная и практическая значимость:

• Обобщение самосогласованной теории Волльхардта - Вельфле, позволяющее последовательно учесть пространственную нелокальность кинетических коэффициентов, имеет важное значение для дальнейшего развития теории локализации электронов в неупорядоченных системах.

• Вывод о подавлении масштаба нелокальности обобщенного коэффициента диффузии с приближением к порогу подвижности на металлической стороне перехода металл-диэлектрик или с понижением частоты в диэлектрической фазе накладывает существенные ограничения на общую скейлинговую форму д,ш-зависимости коэффициента диффузии. Эго имеет важное значение для понимания явления локализации на микроскопическом уровне.

• Впервые предложена теория квантовых поправок к продольному и холловскому сопротивлению двумерной неупорядоченной системы, обусловленных эффектом слабой локализации, справедливая в широкой области магнитных полей от классически слабых до квантующих. Это не только открывает возможность интерпретации накопленных в этой области экспериментальных результатов, но и стимулирует дальнейшие исследования квантовых явлений переноса в низкоразмерных системах.

• Впервые предсказано наличие отличных от нуля локализацион-ных поправок к холловскому сопротивлению. Этот результат имеет большое значение для понимания особенностей проявления квантовых эффектов в кинетических коэффициентах неупорядоченных систем. В частности он несомненно требует пересмотра относительной роли в этих эффектах электрон-электронного взаимодействия.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на: 1-ой Российской Университетско-Академической научно-практической конференции (Ижевск, 1993), Международных школах физиков-теоретиков: "Коуровка-94" (Екатеринбург, 1994), "Коуровка-96" (Ижевск, 1996), "Коуровка-98" (Екатеринбург-Челябинск, 1998), "Коуровка-2000" (Екатеринбург-Челябинск, 2000); III Всероссийской конференции по физике полупроводников "Полупроводники-97" (Москва, 1997), 13-ой Уральской Международной зимней школе по физике полупроводников "Электронные свойства низкоразмерных полу-и сверхпроводниковых структур" (Екатеринбург, 1999), 6-ой школе-семинаре молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких

давлений" (Туапсе, 1999) .

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 12 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений, списка литературы из 79 наименований и изложена на 111 страницах, включая 14 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается описание рассматриваемого явления (андерсо-новской локализации), сформулирована цель работы и определены научные задачи.

Первая глава представляет собой обзор некоторых подходов к проблеме андерсоновской локализации с точки зрения возможности последовательного учета на их основе пространственной дисперсии ки-нитических коэффициентов.

В разделе 1.1 формулируется рассматриваемая в настоящей работе модель неупорядоченной системы. В качестве ее рассматривается ¿-мерный вырожденный идеальный газ бесспиновых электронов, испытывающих упругое рассеяние на неподвижных примесях с концентрацией uj, распределенных в образце по закону Пуассона. Од-ноэлектронный гамильтониан задачи имеет вид

^¿p2+XXr-R)- w

Здесь U(г — R) - потенциал изолированной примеси, локализованной в точке R. Ниже он предполагается короткодействующим и аппроксимируется 5-образным U (г) = С/у5 (г). Кроме этого предполагается, что рассеяние электрона на изолированной примеси является слабым и для вычисления его амплитуды достаточно первого борновского приближения.

Задача исследования возмущения энергетического спектра свободного электрона в случайном поле примесей сводится к вычислению усредненной одноэлектронной функции Грина

«kli^lk')); = <WG£(£) = £_/кк^±(£у (2)

Здесь №{£) = (£ — Н ± г<5)-1 (<5 —> 40) - резольвента гамильтониана (1), скобки (■••)/ обозначают усреднение по распределению примесей. ££(£) = Ак(^) Т гГ[((£)/2 - электронная собственно-энергетическая часть, определяющая сдвиг (Д) и ширину (Г) одночастичных уровней £к = к2/2т в случайном поле примесей.

Информацию о кинетических свойствах системы в низкочастотном и длинноволновом пределах (со <С Я ^ содержит двухчастичная корреляционная функция

Р&М = (<к+1|к'+) (к'_IЯ-(£-)(к^))^ (3)

где к± = к ± я/2, £± = £ ± о>/2. В частности, через нее выражается обобщенный коэффициент диффузии электрона в случайном поле £>(<7,и>). Для вычисления (3) применяется хорошо разработанный аппарат усредненных функций Грина, использующий диаграммную технику эдвардсовского типа.

В разделах 1.2 - 1.6 на основе некоторых подходов (скейлингового, самосогласованной и симметрийной теории локализации) обсуждаются различные аспекты проблемы последовательного учета пространственной дисперсии кинетических коэффициентов в условиях андерсоновской локализации. Так, согласно гипотезе однопараметрического скейлинга [1] (раздел 1.4) обобщенный коэффициент диффузии удовлетворяет соотношению

£(«, д, ш) = Ь^В^-Ч, Ьд, &и>), [2<й< 4), (4)

где £ = (£ — £с)/£с ~ расстояние до порога подвижности £с, Ь - параметр масштабного преобразования г —> г[Ь, (I - размерность пространства. Отсюда следует, что вблизи перехода Андерсона (£ -> 0 и/или ш -> 0) обобщенный коэффициент диффузии должен обнаруживать аномально сильную пространственную дисперсию (нелокальность), масштаб которой Я = гшп(£, Ьи) —> оо, где ( ос [¿|-1/(''-2) - корреляционная длина, Ьи ос у/И (си)/и> ос - длина диффузии электрона за время

~ 1 /и [2, 3]. Строго говоря, это делает неприменимой самосогласованную теорию локализации (раздел 1.3) в ее существующей в настоящее время формулировке [4]. С другой стороны, симметрийная теория локализации [5] (раздел 1.6) предсказывает подавление пространственной

дисперсии коэффициента диффузии в окрестности перехода Андерсона вплоть до атомных масштабов Л —> А^. Таким образом, в настоящее время существуют две взаимоисключающие точки зрения относительно характера пространственной дисперсии коэффициента диффузии электронов в условиях андерсоновской локализации, затраги-

вающие фундаментальные представления о природе этого явления.

В разделе 1.7 обсуждается влияние пространственной дисперсии обобщенного коэффициента диффузии £)^,а>) на эффекты слабой локализации. Отмечается, что одним из экспериментально наблюдаемых следствий пространственно-временной дисперсии ш) является нарушение логарифмической полевой и температурной зависимости квантовых поправок к электропроводности квазидвумерных полупроводниковых структур.

Вторая глава посвящена формулировке метода вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем произвольной размерности (I с учетом их пространственно-временной дисперсии и его применению к случаю слабого беспорядка.

В разделе 2.1 рассматриваются основные макроскопические уравнения, описывающие нелокальный в пространстве и времени линейный отклик системы заряженных частиц на действующее в ней электрическое поле. Обращается внимание на то, что в пространственно-неоднородном случае плотность индуцированного тока представляет собой сумму дрейфового и диффузионного токов

= - гед£>(д,и)п(д,ш), (5)

где а(д, и) - кинетический коэффициент, связанный с обобщенным коэффициентом диффузии электронов ы) соотношением Эйнштейна, которое в длинноволновом пределе (д <С кр) имеет вид а(д,и>) = е2прВ(д,ш), где пр - плотность состояний на уровне Ферми. В отличие от кубовской электропроводности, связанной с Б(д,и>) соотношением

I \ 2

<т 9, ш) = е пр 2П,--ту-, 6)

сх(<}, ш) связывает плотность суммарного тока с градиентом электрохимического потенциала и поэтому является непосредственно измеряемой величиной.

В разделе 2.2 описывается предлагаемый метод решения уравнения Бете-Солпитера

Я • к

ш---(-ДЕьСЧ)")

тп

Ф(к) - £ ад^дад^Жк') -1, (7) к'

для функции релаксации плотности Ф(к) = связанной с

двухчастичной корреляционной функцией (3) соотношением

- (£+)] Ф(к, Ч.ш) — РьАч, Ш) (8)

к'

Ядро интегральной части уравнения Бете-Солпитера ^ьк'(<3>а;) (неприводимая четыреххвостка) является квантовым аналогом вероятности рассеяния, входящей в интеграл столкновений кинетического уравнения Больцмана, и связана с электронной собственно-энергетической частью (¿?) тождеством Уорда [4], которое является следствием закона сохранения числа частиц.

Путем разложения Ф(к,ц, ил) в ряд по системе ортогональных полиномов Гегенбауэра С^_2"2(соз 9) (в = к, q) [9] уравнение (7) заменяется эквивалентной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фп этого разложения. В длинноволновом пределе (д1 <С 1) эта система уравнений с точностью до слагаемых ос (г//)2 аппроксимируется трехдиагональной и ее решение можно получить, используя аппарат бесконечных цепных дробей.

В разделе 2.3 этот метод применяется для вычисления обобщенного коэффициента диффузии ¿-мерной неупорядоченной системы в лестничном приближении

где £>о = УрТ^/в, - классический коэффициент диффузии ¿-мерной системы,

К{я,ь>) = —

1 +

Я»

п Л1М<22

(п41)(л + ^-2)__1п1п+1_

{2п+а-2)(2п+(1) (1 - гшт„)(1 - г'штп+1)'

В соответствии с (9), (10) масштабы пространственной нелокальности коэффициента диффузии в лестничном приближении определяются совокупностью длин свободного пробега 1п = ирт„ за время релаксации п-го порядка

т" к'

где <р = к, к'. В частности, Т1 = ти совпадает с обычным транспортным временем релаксации.

В пределе 5-образного рассеивающего потенциала примесей все времена релаксации равны тп — т - времени жизни одноэлектронного состояния. В этом случае значение цепной дроби (10) при целых значениях с? выражается через элементарные функции. В частности, обобщенный коэффициент диффузии двумерного вырожденного электронного газа в лестничном приближении имеет вид

0(д,ш) =-, 2Е>0 =■ (12)

1 - га/т + у/(1 - га/т)2 + 252Д,т

Таким образом, масштаб пространственной нелокальности £>(д, и/) в пределе слабого беспорядка определяется длиной диффузии электронов за характерное время релаксации — у 0(и)т. В противоположность этому масштаб пространственной нелокальности кубовской электропроводности а(д,ы) (6) и связанной с ней продольной диэлектрической проницаемости определяется длиной диффузии электронов за период изменения внешнего поля Да-(и;) = у/Щш)]и) ос и!"1/2. Вследствие этого а(д, и>) испытывает разрыв в точке q — 0, ш = 0. Приведены зависимости и>) от со и г/ для двумерной системы, дающие наглядное представление о временной и пространственной дисперсии кинетических коэффициентов в лестничном приближении.

В разделе 2.4 сформулированы результаты, полученные в этой главе.

Третья глава посвящена исследованию пространственной дисперсии кинетических коэффициентов (¿-мерной неупорядоченной системы в условиях андерсоновской локализации в низкочастотной и длинноволновой области (ш -С кр).

В разделе 3.1 обсуждаются основные положения теории локализации Волльхардта - Вельфле [4], в которой неприводимая

, (и)

чегыреххвостка ¿/^'(ч, и>) определяется самосогласованным обобщением суммы лестничного ряда в куперовском канале и имеет вид

Ш 1

01^(4,«) = V+ Т-го.+ Ск + к'^ак+к'Ьи,)' (13)

где ЦТ = п/С/д, 1/т = 27гпрИ/', 0(ц,ш) - точный дш-зависящий обобщенный коэффициент диффузии.

В разделе 3.2 метод, изложенный в предыдущей главе применяется для решения уравнения переноса (7) с интегральным ядром (13). Как и в рассмотренном выше лестничном приближении при д! < 1 эта задача сводится к решению трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений. В результате обобщенный коэффициент диффузии представляется в виде, аналогичном (9), (10)

где Д](и>) - величина, пропорциональная известному в теории Вол-льхардта - Вельфле [4] ядру релаксации тока. Цепная дробь в (14) имеет такую же структуру, как и в лестничном приближении (10), однако теперь ее параметры Яп(ш), определяющие масштаб нелокальности сами зависят от него. Таким образом, (14) заменяет уравнение самосогласования теории Волльхардга - Вельфле [4]. Показано, что его решение удовлетворяет общему критерию локализации Бере-зинского - Горькова. А именно, переход металл-диэлектрик должен происходить на общем для всех д пороге подвижности £с ниже которого и) ос —ги> при ш —> 0. В разделе 3.3 на основании полученного в предыдущем разделе самосогласованного уравнения анализируется его решение для двумерной неупорядоченной системы. Дается обоснование того, что в низкочастотном пределе при итерационном решении самосогласованного уравнения главный вклад вносит значение коэффициента диффузии в полюсе /Т))1!2

,ш), которое и выбрано в качестве начального. Поэтому для вычисления £>(<?, и) необходимо сначала решить самосогласованное уравнение относительно V, которое получается из (14) при замене = ш/Г>. В низкочастотном пределе его решение имеет локализаци-онный характер Г> ос и фактически воспроизводит результаты

Волльхардта - Вельфле [4]. Таким образом, учет пространственной дисперсии коэффициента диффузии в самосогласованной теории локализации не меняет его низкочастотного поведения в режиме локализации при 9=0, что согласуется с одним из выводов работы [5].

Показано, что масштаб нелокальности коэффициента диффузии и в режиме локализации сохраняет смысл длины диффузии 1ц{ш) = 1\Г>{ш)1 которая имеет низкочастотную асимптотику осы —»• 0. Это обеспечивает подавление пространственной дисперсии коэффициента диффузии в локализованной фазе и определяет область справедливости аппроксимации Волльхардта - Вельфле В(д, со) — [4], которая ограничивается неравенством ил Здесь А =

(2тт£рт)~1 - безразмерная константа связи. Таким образом, в условиях андерсоновской локализации (I £) теория Волльхардта - Вельфле справедлива лишь асимптотически при и -» 0.

Раздел 3.4 представляет собой анализ решения полученного в разделе 3.2 самосогласованного уравнения для ¿-мерной неупорядоченной системы (ё > 2). Получено уравнение самосогласования для коэффициента диффузии вблизи порога подвижности

[<*"»-"*] <*>'

где у — —ИмтсЮо/ О (у), t = (Ас — А)/Ас - безразмерное расстояние до порога подвижности, С^, Кл - зависящие от размерности пространства константы порядка единицы.

Численный расчет зависимости порога подвижности Ас от размерности пространства дает результаты, количественно согласующиеся с простой оценкой Волльхардта - Вельфле Ас ос [(с/ - 2)/^]1/<<<г~1\ д. 2+ [4] во всей области 2 < 6, < 4 (относительное отклонение не превосходит 15-20%).

Главной особенностью самосогласованного уравнения (15) является наличием в его правой части двух зависящих от частоты слагаемых 0(у) и которые играют главную роль в областях <2 > 4 и й < 4,

соответственно. При выполнении неравенства

А)

Ыыт-

«0(1)ехр (-|7Г4|) (16)

и

можно пренебречь одним из них по сравнению с другим. В этой области частот справедливо скейлинговое поведение коэффициента диффузии и>) сс ы1^1 и корреляционной длины £ ос , где V — 1/{(1 — 2) при с?< 4 и = 1/2 при (I > 4. Однако это справедливо лишь на конечном расстоянии от верхней критической размерности ¿с = 4 (см. неравенство (16)). В противном случае (<1 —> 4) оба зависящих от частоты слагаемых становятся одного порядка, а решение самосогласованного уравнения (15), согласуется с результатами феноменологической теории двухпараметрического скейлинга в окрестности верхней критической размерности (1С = 4 [6].

В разделе 3.5 обсуждается пространственная дисперсия коэффициента диффузии £)(<?, ш) и электропроводности а[д, ш) в критической области. Коэффициенты Яп(о') цепной дроби К(д,ш), определяющей д-зависимостиь обобщенного коэффициента диффузии (14), убывают с приближением к порогу подвижности (2 —> 0) на металлической стороне перехода Андерсона, или при ы —>■ 0 в диэлектрической фазе. В критической области |Я„(и;)| < 1 и цепную дробь (10) можно аппроксимировать, обрывая ее на первом этаже. Это дает следующее выражение для обобщенного коэффициента диффузии

2

П1а - Я4ш\ - ^-Ц/а

В(ш)

(17)

А>

Пространственная дисперсия коэффициента диффузии (17) определяется радиусом нелокальности Я^и), который имеет смысл перенормированной длины диффузии ¡о ос 1\Р[ш)/А)| и с приближением к порогу подвижности (£ -» 0) в металлической или с понижением частоты (ш —► 0) в диэлектрической фазах убывает до тех пор, пока не достигнет насыщения на масштабе порядка фермиевской длины волны Таким образом, в соответствии с выводами [5] пространственная дисперсия коэффициента диффузии подавляется вплоть до атомных масштабов. Подавление пространственной дисперсии 0(д,ш) в режиме андерсоновской локализации обосновывает асимптотическую справедливость теории Волльхардта - Вельфле при —> 0, и 0. Приведены результаты численного расчета частотной зависимости масштаба нелокальности обобщенного коэффициента диффузии трехмерной нсу-

порядоченной системы (см. рис. 1)

ыт105

Рис. 1: Частотная зависимость масштаба нелокальности обобщенного коэффициента диффузия 3D неупорядоченной системы на пороге подвижности (штриховая линия), в металлической фазе (сплошные линии лежащие выше критической), в диэлектрической фазе (сплошные линии лежащие ниже критической), вычисленные при 1) |i| = 0.1, 2) |t| = 0.05, 3) |t| = 0.01.

В отличие от D(q,w) масштаб пространственной дисперсии электропроводности ff(q,w) (6) и связанной с ней диэлектрической проницаемости определяется длиной диффузии за период изменения внешнего поля Ra — \JD(ui)/u>, которая расходится как min(LUJ,^) с приближением к порогу подвижности или при ш —> 0 в диэлектрической фазе. Следствием такого поведения электропроводности, обусловленного диффузионным полюсом в (6), являются аномалии экранирования электрических полей в неупорядоченных системах.

В разделе 3.6 дано краткое обсуждение результатов этой главы.

В четвертой главе рассматривается вычисление локализационных поправок к продольному Др(В) и холловскому Арн(В) сопротивлению двумерной неупорядоченной системы во всей области классических магнитных полей В при которых длина свободного пробега I < Rc циклотронного радиуса.

В разделе 4.1 дается постановка задачи, приводятся основные урав-

нения и соотношения, необходимые для вычисления локализационных поправок к тензору электропроводности на основе диаграммной техники. Указаны диаграммы и соответствующие им процессы которые необходимо учитывать в первом порядке по (кр1)~х. Получены общие выражения для поправок к продольному Ар(В) и холловскому Арц(В) сопротивлению, справедливые во всей области магнитных полей.

Раздел 4.2 представляет собой анализ аппроксимаций для од-ноэлектронной функции Грина в координатном представлении С±(т, г') в магнитном поле В. Отмечается, что приближенное выражение для этой величины, используемое в предыдущих работах [7, 8] справедливо до тех пор, пока I << Яс и искривлением квазиклассических траекторий электрона в магнитном поле можно пренебречь. Указывается, что в больших магнитных полях, когда I ~ Яс, необходимо использовать аппроксимации, учитывающие не только изменение фазы, но и ограничение свободного движения электрона в области р < 2ЯГ. Получена относительно простая аналитическая аппроксимация одноэлектрон-ной функции Грина С±(г, г'), учитывающая этот факт. Как показывают аналитические оценки и численный анализ, она хорошо описывает поведение точной функции Грина даже в квантующих магнитных полях, вплоть до значений В, при которых под уровнем Ферми £р остается 4 — 5 уровней Ландау.

В разделе 4.3 обсуждается поведение куперона, представляющего сумму ряда максимально пересеченных диаграмм при малых временах сбоя фазы Тф и > 1. Показано, что при выполнении условия д « кр,Тф£р 2> 1 процесс распространения куперона остается диффузионным, но приобретает нелокальный характер. При этом роль нелокальности увеличивается с ростом относительного вклада в куперон от замкнутых траекторий малых размеров с малым числом столкновений, то есть с увеличением и т/тф. В этом случае вместо классического коэффициента диффузии £>о в куперон входит обобщенный коэффициент диффузии зависящий от волнового числа с/ и мнимой частоты ш = г/тф, вычисленный в лестничном приближении (12). Это в точности воспроизводит результаты предыдущих работ [7, 8], то есть речь идет только о физической интерпретации куперона при больших

импульсах. Рассмотрена связь куперона в магнитном поле с диффузионным пропагатором. Показано, что куперон в магнитном поле сохраняет структуру диффузионного пропагатора

Г, л- 1 ^хр(У/4г|)Ьп(РУ2/|)

с обобщенным коэффициентом диффузии £>(д„,г/т^) (12), зависящим от дискретного волнового числа дп = \/4п -+■ 2Цв, мнимой частоты 1/тф и магнитного поля, если основной вклад формируется слагаемыми из интервала 12/1% « <¡„1% « Н-скр- С ростом магнитного поля этот интервал сужается и куперон постепенно теряет диффузионный вид. Однако, это вызвано скорее нарушением инвариантности относительно обращения времени в магнитном поле.

В разделе 4.4 получены явные выражения для локализационных поправок к продольному Ар(В) и холловскому Арц(В) сопротивлению которые в принципе позволяют анализировать их поведение во всем интервале магнитных полей от классически слабых шст « 1 до квантующих и>ст >> 1. В слабом магнитном поле (В < Btг) они приобретают вид

6р 2(тгМ)2 ^ 1

Рп

I г ^ Рп

о ГЦ п. _

ъи = Е ^ М-

(19)

где 2 = В/Вь, в — 1 + т/тф, Рп — (я2 + д2/2)-1/2. Первые слагаемые в квадратных скобках (19) обусловлены процессами когерентного рассеяния назад, вторые и третьи - на произвольные углы. Первое уравнение из (19) совпадает с полученным в [8].

Для холловского сопротивления рн получен новый результат, который вопреки общепризнанной точке зрения предсказывает наличие отличных от нуля интерференционных поправок к холловскому сопротивлению. Указывается, что причина их появления заключается в учете тангенциальной составляющей скорости электрона на расстоянии

р от точки его последнего столкновения V/ = шср/2, возникающей в результате ларморовской пре- дессии траекторий электрона в магнитном поле. Относительная величина квантовых поправок к обоим кинетическим коэффициентам имеет один порядок. Но, в отличие от всегда положительной Ар, знак Др# противоположен знаку носителей заряда. Другими словами, локализационные поправки приводят к уменьшению холловского сопротивления по абсолютной величине. Приведены результаты численного расчета квантовых поправок к обоим кинетическим коэффициентам при значениях параметров т/т^ = Ю-2 и кр1 = 10, что при концентрации носителей заряда 2ттп = 1012ст-2 соответствует подвижности /л = 1.5 • Н^ст^"1*"1 (см. рис. 2 и 3).

Др/р( о)

Лрн/рн(0)

10 001 В/В,г

В/В,

0 10

Рис. 2: (слепа) Отрицательное магнитосопротивление Д/э//>(0) = {р{В) - р(0))//>(0), обусловленное когерентным рассеянием назад а), на произвольные углы б) и суммарное с), расчнтаппые с использованием полученной асимптотики для без учета вклада от длинных дуг циклотронных орбит.

Рис. 3: (справа) То же, что и на рис. 2 для холловского сопротивления Лрц/рц(0) = (рц(В) — ри(0))/ря(0).

В разделе 4.5 отмечается, что локализационные поправки в холловском сопротивлении Арц(В) не объясняются одним лишь интерференционным изменением транспортного времени релаксации

которое, как известно, сокращается в первом порядке в выра-

жении для холловского сопротивления. Это обусловлено существованием в холловской компоненте тензора электропроводности аух аномальных слагаемых, отсутствующих в классической кинетической теории. В связи с этим, проведен анализ их поведения в двумерной неупорядоченной сиситеме в сильном магнитном поле ист > 1, когда в од-ноэлектронном спектре состояний постанавливаются дискретные уровни Ландау. Именно такой характер изменения спектра получается в приближении самосогласованной ¿-матрицы. В этом приближении проведен расчет зависимости плотности состояний от энергии при различных значениях параметра 2тг Начиная с полей, удовлетворяющих условию 2тг/дП/ = 1, в спектре одноэлектронных состояний восстанавливаются дискретные уровни Ландау. Их вклад в аух оказывается равным ■ге2/2гг, где ¿-число уровней Ландау, находящихся под уровнем Ферми. В этом случае, вклад от состояний непрерывного спектра (заполненных примесных зон) обращается в нуль. Это ведет к поведению холловской компоненты электропроводности сгух характерному для целочисленного квантового эффекта Холла.

Отмечается, что при конечной концентрации примесей квантование & ух сохраняерся лишь в достаточно сильных магнитных полях 2п1\п! < 1. Проведен расчет зависимости от магнитного поля недиссипативной части холловской компоненты электропроводности аух.

В разделе 4.6 обсуждаются полученные в данной главе результаты.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы диссертационной работы:

• Впервые предложен метод вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем с учетом их пространственно-временной дисперсии в низкочастотной и длинноволновой области (и>т -С 1, С 1), представляющий собой обобщение известного в теории андерсоновской локализации самосогласованного подхода Вол-льхардта - Вельфле.

• На основе полученных уравнений проанализирован характер изменения пространственной нелокальности обобщенного коэффициента диффузии £)(д,о>) носителей заряда при переходе от классической

кинетической теории к режиму андерсоновсой локализации. Показано, что с приближением к порогу подвижности на металлической стороне перехода металл-диэлектрик или с понижением частоты в диэлектрической фазе радиус нелокальности D(q, ш) убывает пропорционально перенормированной длине диффузии до тех пор, пока не достигнет насыщения на атомном масштабе.

• Теория квантовых поправок к электропроводности двумерной неупорядоченной системы, обусловленных эффектом слабой локализации, впервые распространена на область малых времен сбоя фазы {т<р и т) и сильных магнитных полей, вплоть до квантующих.

• Показано, что замена логарифмической полевой зависимости квантовых поправок к продольному сопротивлению (Ар ос In В) на степенную (Ар ос В-1'2), наблюдаемая при переходе в область классически сильных магнитных полей В > Btr = c/2|e|i2, объясняется возрастающей ролью пространственной дисперсии (нелокальности) коэффициента диффузии электронов.

• Показано, что вопреки общепринятой точке зрения локализацион-ные поправки к холловскому сопротивлению рц отличны от нуля. Их появление обусловлено не учитывавшейся в работах других авторов ларморовской прецессией траекторий электронов, испытывающих многократное рассеяние на примесях. Они имеют знак, противоположный заряду носителей, и приводят к уменьшению абсолютной величины рц. Их полевая зависимость имеет те же особенности, а относительная величина - тот же порядок, что и в продольном сопротивлении.

Основное результаты диссертации опубликованы в работах:

1. А.К. Аржников, А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Холловское сопротивление двумерной неупорядоченной системы в сильном магнитном поле. // Вестн. УдГУ, 1993, N 5(1), стр. 49-57.

2. А.К. Аржников, А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Холловское сопротивление двумерной неупорядоченной системы в сильном магнитном поле. //В кн. тезисов 1-ой Российской У нив.-Акад. научно-практич. конф., 1993, Ижевск, стр. 136.

3. A. Arzhnikow, A. Groshev, S. Novokshonov. Hall resistance of a two-dimensional disordered system in a strong magnetic field. //In the book of Int. Symp. on Theor. Phys. " Kourovka-94" Magnetic Multilayers and Low-Dimensional Magnetism. February 28-March 5, 1994 ,Ekaterinburg, Russia p. 122.

4. A. Arzhnikow, A. Groshev, S. Novokshonov. Quantum corrections to the magnetoresistance and the Hall coefficient in a two-dimensional disordered system. // In the book of Int. Symp. on Theor. Phys. "Kourovka-94" Magnetic Multilayers and Low Dimensional Magnetism. February 28-March 5, 1994, Ekaterinburg, Russia, p. 123.

5. А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов, М.А. Зудов. Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов двумерной электрон-примесной системы в лестничном приближении. // Вестник УдГУ, вып.7, 1995, стр. 108-115.

6. А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Локализация и пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов двумерной неупорядоченной системы. // ЖЭТФ, 1997, г. 111(5), стр. 1787-1802.

7. А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Аномалии пространственной дисперсии кинетических коэффициентов вблизи перехода Андерсона. // В кн. тезисов докладов III Всероссийской конференции по физике полупроводников " Полупроводники '97", 1997, стр. 103.

8. С.Г. Новокшонов, А.Г. Грошев. Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов в окрестности перехода Андерсона. // ЖЭТФ, 1998, т. 114, стр. 711-724.

9. С.Г. Новокшонов, А.Г. Грошев. Критическое поведение коэффициента диффузии d-мерной неупорядоченной системы в условиях ан-дерсоновской локализации. // В кн. Тезисов 27-ой Международной школы-симпозиума физиков-теоретиков "Коуровка-98", Екатеринбург-Челябинск, 1998, стр. 37.

10. С.Г. Новокшонов, А.Г. Грошев. Влияние пространственной дисперсии коэффициента диффузии электронов на эффект слабой локализации. // В кн. Тезисов 13-ой Уральской Международной зимней школе по физике полупроводников "Электронные свойства низкоразмерных полу-и сверхпроводниковых структур", Екатеринбург, 1999, стр. 20.

11. А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Отрицательное магнитосопротивле-ние и коэффициент Холла двумерной неупорядоченной системы. // деп. в ВИНИТИ N 2664-В99, 1999, стр. 1-24.

12. А.Г. Грошев, С.Г. Новокшонов. Отрицательное магнитосопроти-вление и коэффициент Холла двумерной неупорядоченной системы.// В кн. Тезисов 28-й Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка-2000", Екатеринбург, 2000, стр. 29.

Список литературы

[1] Е. Abrahams, P. A. Lee. Scaling description of the dielectric function near the mobility edge. - Phys. Rev. В 33, "2, 683-689 (1986).

[2] J. T. Chalker. Scaling and eigenfunction correlations near a mobility edge. - Physica A 167, "1, 253-258 (1990).

[3] T. Brandes, B. Huckestein, L. Schweitzer. Critical dynamics and multifractal exponents at the Anderson transition in 3d disordered systems.- Ann. Phys. 5, 633 (1996).

[4] P. Wolfle, D. Vollhardt. Self-consistent diagrammatic theory of Anderson localization.-in Anderson Localization, ed. by Y. Nagaoka and H. Fukuyama, Springer-Yerlag, Berlin-New York, (1982), 26-43.

[5] И. M. Суслов. Симметрийная теория перехода Андерсона. - ЖЭТФ 108, "5, 1686-1722 (1995).

[6] И. М. Суслов. Скейлинг в теории локализации вблизи верхней критической размерности - ЖЭТФ 113 вып. 3, 1-14 (1998)

[7] A. Kawabata. On the field dependence of magnetoresistance in two-dimensional systems.-J. Phys. Soc. Jap. 53, 3540-3544 (1984).

[8] A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, and V. Yu. Kachorovskii. Nonbackscatering contribution to weak localization.-Phys. Rev. В 56, 9910-9917 (1997).

[9] H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, v.2, Mc Graw-Hill Book Company, INC. (1953). (пер. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 2, Наука, Москва (1966)).

Введение.

Глава 1. Обзор современного состояния проблемы

1.1. Модель неупорядоченной системы и постановка задачи.

1.2. Элементарная скейлинговая теория локализации.

1.3. Самосогласованная теория локализации.

1.4. Скейлинговая форма обобщенного коэффициента диффузии.

1.5. Скейлинг и мультифрактальность волновых функций на пороге подвижности.

1.6. Симметрийная теория перехода А-ндерсона.

1.7. Влияние пространственной дисперсии на эффекты слабой локализации.

Глава 2. Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов.

2.1. Материальные уравнения и кинетические коэффициенты.

2.2. Уравнение Бете - Солпитера.

2.3. Нелокальные кинетические коэффициенты в лестничном приближении.

2.4. Выводы.

Глава 3. Пространственная дисперсия кинетических коэффициентов в условиях андерсоновской локализации.

3.1. Матрица функций памяти в приближении самосогласованной теории локализации.

3.2. Уравнение самосогласования для обобщенного коэффициента диффузии.

3.3. Пространственная дисперсия коэффициента диффузии двумерной неупорядоченной системы.

3.4. Переход металл-диэлектрик в ¿-мерной неупорядоченной системе [в, > 2).

3.5. Аномалии пространственно-временной дисперсии кинетических коэффициентов вблизи порога подвижности.

3.6. Обсуждение результатов.

Глава 4. Магнитосопротивление и коэффициент Холла двумерной неупорядоченной системы.

4.1. Исходные уравнения и постановка задачи.

4.2. Одноэлектронная функция Грина.

4.3. Куперон за пределами классического диффузионного приближения.

4.4. Квантовые поправки к продольному и холловскому сопротивлению.

4.5. Холловское сопротивление двумерной неупорядоченной системы в квантующем магнитном поле.

4.6. Обсуждение результатов.

Теория неупорядоченных систем продолжает оставаться одним из наиболее актуальных разделов физики конденсированного состояния. С одной стороны, это обусловлено развитием современной микроэлектроники в направлении миниатюризации и использования низкоразмерных структур. В перспективе это неизбежно потребует перехода к низким (вплоть до гелиевых) рабочим температурам, при которых физические свойства используемых материалов и структур в значительной степени определяются их разупорядочен-ностью. С другой стороны, неупорядоченные системы привлекают внимание своими необычными физическими свойствами, обусловленными качественно иной (по сравнению с идеальными кристаллами) структурой одноэлектронных состояний. При их теоретическом описании возникают интересные проблемы фундаментального характера, тесно связанные с проблемами теории фазовых переходов, квантовой теории поля и другими. Различным аспектам теории электронных свойств неупорядоченных систем и ее современному состоянию посвящен ряд монографий [2, 3, 4] и обзоров [5-12]

В основе современной теории неупорядоченных систем лежит выдвинутая Андерсоном в 1958 г. [1] концепция локализации электронов в поле статического случайного потенциала. Традиционная в то время точка зрения заключалась в том, что наличие беспорядка ведет лишь к потере фазовой когерентности волновой функции на масштабе средней длины свободного пробега но оставляет ее распространенной по всему образцу. Как показал Андерсон, при некотором критическом значении беспорядка в системе, происходит качественный переход и волновые функции электронов становятся локализованными, то есть их амплитуды экспоненциально спадают с удалением от соответствующих центров локализации г)| осехр(-|г-г0|/Д1ОС), (1) где ос - длина локализации. Электроны, находящиеся в таких состояниях, могут участвовать в переносе заряда лишь посредством прыжков, активированных термически или переменным внешним полем. Таким образом, локализация электронных состояний превращает неупорядоченную систему в андерсоновский диэлектрик, что сопровождается обращением в нуль ее статической электропроводности при Т = О К. Физической причиной перехода Андерсона является отсутствие эффективного когерентного туннелирования электронов, которое возможно только между локализованными уровнями с одинаковой энергией. Однако в случае сильного беспорядка такие состояния оказываются настолько удаленными друг от друга, что туннелирова-ние между ними становится невозможным [2].

Значительный вклад в развитие современных представлений о природе андерсоновской локализации был сделан в работах И.М. Лифшица [3] и Мотта с сотрудниками [2]. Если случайный потенциал £7(г) = 0, то мы имеем дело со свободной квантовой частицей, у которой при 8 < 0 состояния отсутствуют, а при 8 > 0 их спектр непрерывен с плотностью п(8) ос (см. рис. 1 а). Включение II (г) приводит к появлению при 8 < 0 хвоста плотности состояний (см. рис. 1 б), возникающих в достаточно глубоких потенциальных ямах [3] (флуктуационная область спектра). При достаточно больших отрицательных 8 они должны иметь локализованный характер. Согласно Мотту [2] локализованные состояния отделены от делокали-зованных граничной энергией 8С (см. рис. 1 б), получившей название порога подвижности. При 8 > 8С волновые функции электронов делокализованы и энергетический спектр остается непрерывным. Ниже порога подвижности они становятся локализованными (1) и, следовательно, принадлежат дискретному спектру, который является всюду плотным, а соответствующая усредненная плотность состояний - непрерывной функцией энергии [3]. Более того, согласно современным представлениям [5, 12, 13] она не имеет особенностей и на пороге подвижности £с.

Рис. 1: Электронная плотность состояний вблизи края зоны: а) свободного электрона; б) электрона в неупорядоченной системе. 8С - порог подвижности.

Если уровень Ферми лежит выше порога подвижности, то неупорядоченная система представляет собой металл, остаточное сопротивление которого определяется рассеянием электронов случайным полем и (г). С уменьшением концентрации носителей заряда или с ростом беспорядка уровень Ферми может пересечь порог подвижности и попасть в область локализованных состояний. При этом в системе происходит переход металл-диэлектрик (переход Андерсона). Связанные с ним сингулярности обнаруживают электропроводность п(Е) а Е или пропорциональный ей коэффициент диффузии электронов lú1/(2i/+1\ и >> ис, (metal — insulator), а(и) ос —iuj^2, со -С шс, t < 0, (insulator), (2) ts: и <C t > 0, (metal), и корреляционная длина a|¿r, |*| <1, (3) которая в диэлектрической фазе совпадает с радиусом локализации R\oc (1), а в металлической - имеет смысл масштаба, начиная с которого работает закон Ома, то есть о перестает зависеть от размеров образца [11]. Здесь t = {Ер — Ес)/Ес - безразмерное расстояние до порога подвижности, шс ос |í|2z/+1 - критическая частота, s и V - критические индексы электропроводности и, соответственно, корреляционной длины.

Настоящая работа главным образом посвящена теоретическому исследованию пространственной дисперсии (нелокальности) кинетических коэффициентов неупорядоченных систем в условиях ан-дерсоновской и выяснению ее роли в эффектах слабой локализации. До недавнего времени этим важным проблемам не уделялось должного внимания. Первое обсуждение проблемы пространственной дисперсии в условиях андерсоновской локализации [14] основывалось на эвристически полученных интерполяционных формулах для диэлектрической константы трехмерной системы в пренебрежении нелокальностью коэффициента диффузии. Выводы относительно масштаба пространственно-временной дисперсии обобщенного коэффициента диффузии в условиях андерсоновской локализации, полученные к настоящему времени на основе различных подходов [15, 16, 17, 18, 19], имеют противоречивый и зачастую взаимоисключающий характер.

Исходя из поставленной цели, были определены следующие научные задачи:

• Выполнить критический анализ скейлинговой, самосогласованной и симметрийной теорий андерсоновской локализации с точки зрения возможности последовательного учета на их основе пространственной нелокальности кинетических коэффициентов, выяснить принципиальное значение решения этой проблемы.

• Разработать метод вычисления кинетических коэффициентов неупорядоченных систем с учетом их пространственно-временной дисперсии в низкочастотной и длинноволновой области.

• Построить обобщение самосогласованной теории Волльхардта -Вельфле, позволяющее анализировать масштабы пространственно-временной дисперсии кинетических коэффициентов ¿/-мерной неупорядоченной системы. Выполнить анализ критического поведения масштаба пространственной нелокальности обобщенного коэффициента диффузии электронов в условиях андерсоновской локализации.

• Исследовать влияние пространственной дисперсии обобщенного коэффициента диффузии электронов в двумерной неупорядоченной системе на эффекты слабой локализации и, в частности, на магнитополевую зависимость квантовых поправок к продольному и холловскому сопротивлению в широкой области магнитных полей, включая квантующие.

Заключение.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.

• Предложен метод решения уравнения Бете - Солпитера для двухчастичной корреляционной функции, позволяющий вычислять коэффициент диффузии носителей заряда и электропроводность ¿-мерной в, > 1 неупорядоченной системы с учетом их пространственно-временной дисперсии. Путем разложения искомой функции в ряд по ортогональной системе полиномов Гегенбауэра исходное интегральное уравнение переноса заменяется эквивалентной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений (2.15). В длинноволновом пределе д/ <С 1 с точностью до слагаемых ос (д/)2 она сводится к трехдиатональной, решение которой можно представить в виде сходящейся бесконечной цепной дроби.

• В пределе слабого беспорядка получены выражения для обобщенного коэффициента диффузии электронов 1}(д,и;) и кубовской электропроводности сг(д, а;) в лестничном приближении (см. уравнения (2.22), (2.26), (2.7)). Показано, что в случае рассеяния электронов на примесях с конечным радиусом действия масштаб пространственной нелокальности £>(д,а;) определяется последовательностью средних длин свободного пробега 1п = Уртп за время релаксации п-го порядка тп (2.23), которое при п — 1 совпадает с обычным транспортным временем релаксации. Как функция от д и и обобщенный коэффициент непрерывен в точке д = 0, и = 0.

В противоположность этому масштаб пространственной нелокальности a(q,uo) определяется длиной диффузии электронов Id (со) = л/D (со)/со за период изменения внешнего поля, расходящейся при со —>• 0. Вследствие этого электропроводность испытывает разрыв в точке q = 0, со = 0. В частности, ее низкочастотная асимптотика a(q ф 0,со —>• 0) ос —ico/q2 (2.29) согласуется с законом сохранения числа частиц.

В случае рассеяния электронов на примесях с короткодействующим ((5-образным) потенциалом полученные результаты воспроизводят решение классического кинетического уравнения в приближении постоянного времени релаксации.

• Предложено обобщение теории Волльхардта - Вёльфле, позволяющее исследовать пространственно-временную дисперсию кинетических коэффициентов (¿-мерной неупорядоченной системы в низкочастотной и длинноволновой области (сот « 1, д/ « 1) как в диэлектрической фазе, так и в непосредственной окрестности перехода Андерсона.

Получено самосогласованное уравнение относительно обобщенного коэффициента диффузии электронов D(q,u) (3.10), которое в соответствии с критерием локализации Березинского - Горько-ва предсказывает при d > 2 переход Андерсона на общем для всех значений q пороге подвижности. В длинноволновом пределе (q 0) его решение дает зависимость кондактанса (¿-мерного куба от его линейного размера L (3.30), которая в окрестности верхней критической размерности dc2 = 4 укладывается в общую схему двухпараметрического скейлинга.

• Показано, что в скейлинговом режиме (сост <С сот < 1), а также в диэлектрической фазе при со —>■ 0 и в металлической -при t —0 масштаб пространственной нелокальности D(q,co) определяется перенормированной длиной диффузии (3.33). Это предсказывает подавление его пространственной дисперсии в соответствующих пределах вплоть до атомных масштабов и, таким образом, обосновывает асимптотическую (при со —> 0 или £ —» 0) справедливость схемы самосогласования Волльхардта - Вёльфле.

В противоположность этому масштаб пространственной дисперсии кубовской электропроводности сг(д, со) и связанной с ней продольной диэлектрической проницаемости со) в окрестности перехода металл-диэлектрик определяется корреляционными длинами Ьш и £ (3.35). Обсуждены связанные с этим аномалии экранирования электрических полей в неупорядоченных системах.

• Построена теория квантовых поправок к электропроводности двумерной неупорядоченной системы, обусловленных эффектом слабой локализации, справедливая при малых временах сбоя фазы (т^ « т) и в широкой области магнитных полей от классически слабых (В <С ВЬг = с/2\е\12) вплоть до квантующих [сост > 1).

Показано, что куперон сохраняет структуру диффузионного про-пагатора в канале частица-частица во всей области классических магнитных полей сост < 1, но в области В > Вц в нем необходимо учитывать пространственно-временную нелокальность коэффициента диффузии (см. уравнения (4.12),. (4.18)). Нарушение его диффузионной структуры при сост > 1 обусловлено не переходом к квазибаллистическому режиму, а нарушением инвариантности относительно обращения времени в магнитном поле.

Показано, что пространственная нелокальность обобщенного коэффициента диффузии существенно влияет на поведение квантовых поправок к электропроводности, сменяя, в частности, их логарифмическую полевую зависимость в области В <С А,г на степенную - при В > В1г (см. уравнения (4.25), (4.26)).

• Показано, что вопреки общепринятой точке зрения локализаци-онные поправки к холловскому сопротивлению р# отличны от нуля. Они имеют знак, противоположный заряду носителей, и приводят к уменьшению абсолютной величины рн (4.25). Их полевая зависимость имеет те же особенности, а относительная величина - тот же порядок, что и в продольном сопротивлении. Возникновение квантовых поправок в холловском сопротивлении обусловлено ларморовской прецессией замкнутых участков траекторий, которые обходятся электронами в процессе их многократного рассеяния на примесях. Существенно то, что они возникают в аномальных слагаемых холловской компоненты тензора электропроводности, не имеющих аналога в классической кинетической теории, и не связаны с интерференционной перенормировкой транспортного времени релаксации, которая, как известно, в первом порядке по 1 /кр1 сокращается в р#.

• Показано, что аномальная часть холловской компоненты тензора электропроводности аух играет особенно важную роль в области квантующих магнитных полей, где происходит коренная перестройка спектра одночастичных состояний двумерной неупорядоченной системы, обусловленная неборновским характером рассеяния электронов на примесях. Она приводит к поведению сгух, характерному для режима целочисленного квантового эффекта Холла.

Выполненный расчет плотности одноэлектронных состояний двумерной неупорядоченной системы в квантующем магнитном поле в приближении самосогласованной ¿-матрицы показывает, что при 2тт1вП1 < 1 наряду с размытыми столкновениями примесными подзонами восстанавливаются дискретные уровни при энергиях 8п = и;с(п +1/2) (4.30).

• Показано, что в каждая примесная подзона, будучи полностью занятой электронами, не дает вклада в холловский ток. При этом электроны, находящиеся на дискретных уровнях Ландау, создают избыточный ток, в точности компенсирующий его потерю за счет состояний, локализованных в примесной зоне предположить, что электронные состояния в примесных подзонах локализованы, то на соответствующих участках аух должно принимать квантованные значения ге2/2тг/г.

1. P. W. Anderson. Absence of diffusion in certain random lattices. -Phys. Rev. 109, M°-5, 1492-1505 (1958).

2. N. F. Mott and E. A. Davis. Electron processes in поп-crystalline materials, Clarendon Press, Oxford (1979); ( пер. H. Мотт, Э. Девис. Электронные процессы в некристаллических веществах, Мир, Москва, (1982).)

3. И. М. Лифшиц, С. А. Гредескул, Л. А. Пастур. Введение в теорию неупорядоченных систем, Наука, Москва, (1982).

4. J.M. Ziman, Models of Disorder, Cambridge, (1979); (пер. Дж. Займ-ан, Модели беспорядка, Мир, Москва, (1982).)

5. А. Л. Эфрос. Локализация электронов в неупорядоченных системах (Переход Андерсона). УФН 126 вып. 1, 41-65 (1978).

6. В. L. Altshuler, A. G. Aronov, D. Е. Khmelnitskii, A. I. Larkin. "Coherent effects in disordered conductors" In Quantum Theory of Solids, ed. I.M. Lifshits, MIR Publishers, Moscow (1982), pp. 130-205.

7. P. A. Lee, Т. V. Ramakrishnan. Disordered electronic systems. -Review Modern Physics 57, A/"-2, 287-337 (1985).

8. M. V. Sadovskii. Theory of electron localization in disordered systems. Sov. Sci. Rev. A. Phys. 7, 1-130 (1986).

9. D. Vollhardt, P. Wolfle. Self-consistent theory of Anderson localization. In: Electronic Phase Transitions, ed. by W. Hanke and Yu. V. Kopaev. North-Holland, Amsterdam (1992), pp. 1-78.

10. D. Belitz, T. R. Kirkpatrick. The Anderson-Mott transition. -Review Modern Physics 66, M-2, 261-380 (1994).

11. M. В. Садовский. Сверхпроводимость и локализация.- СФХТ 8, Л^£3, 337-442 (1995).

12. И. М. Суслов. Построение (4 — 5)-мерной теории для плотности состояний неупорядоченной системы вблизи перехода Андерсона.-УФН, 168, М-5, 1-28 (1998).

13. Э. 3. Кучинский, М. В. Садовский. Комбинаторика фейнма-новских диаграмм в задачах с гаусовским полем.-ЖЭТФ 113 вып. 2, 664-678 (1998).

14. Y. Imry, Y. Gefen, D. Bergman. Dielectric anomalies near the Anderson metall-insulator transition. Phys. Rev. В 26, Л/"£6, 34363439 (1982).

15. E. Abrahams, P. A. Lee. Scaling description of the dielectric function near the mobility edge. Phys. Rev. В 33, N-2, 683-689 (1986).

16. J. T. Chalker. Scaling and eigenfunction correlations near a mobility edge. Physica A 167, A/M, 253-258 (1990).

17. M. Schreiber. Fractal eigenstates in disordered systems. Physica A 167, M-1, 188-198 (1990).

18. T. Brandes, B. Huckestein, L. Schweitzer. Critical dynamics and multifractal exponents at the Anderson transition in 3d disordered systems.-Ann. Phys. 5, 633 (1996).

19. И. M. Суслов. Симметрийная теория перехода Андерсона. -ЖЭТФ 108, Af-5, 1686-1722 (1995).

20. А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике. Физматгиз, Москва, 444 с (1962).

21. E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, Т. V. Ramakrishman. Scaling theory of localization: absence of quantum diffusion in two dimensions. Phys. Rev. Lett. 42, jV£10, 673-676 (1979).

22. И. M. Суслов. Скейлинг в теории локализации вблизи верхней критической размерности.- ЖЭТФ 113 вып. 3, 1-14 (1998)

23. D. Vollhardt and P. Wolfle. Anderson localization in d < 2 dimensions. A self-consistent diagrammatic theory.-Phys. Rev. Lett. 45, J\f-10, 842-846 (1980).

24. P. Wolfle, D. Vollhardt. Self-consistent diagrammatic theory of Anderson localization.-in Anderson Localization, ed. by Y. Nagaoka and H. Fukuyama, Springer-Verlag, Berlin-New York, (1982), 26-43.

25. D. Vollhardt, P. Wolfle. Diagrammatic, self-consistent treatment of the Anderson localization problem in d < 2 dimensions. Phys. Rev. В 22, Я-10, 4666-4679 (1980).

26. А. В. Мясников, M. В. Садовский. Самосогласованная теория локализации в пространствах с размерностью 2 < d < 4. ФТТ 24, J\f° 12, 3569-3574 (1982).

27. Д. П. Горьков, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий. Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале. Письма в ЖЭТФ 30, Я-4, 248-252 (1979).

28. Н. Kunz. R. J. Souillard. On the upper critical dimension and the critical exponents of the localization transition.-J. de Phys. Lett. 44, A^13, L503-L506 (1983).

29. Э. 3. Кучинский, M. В. Садовский, В. Г. Суворов, М. А. Эркаба-ев. Самосогласованная теория перехода металл-диэлектрик в неупорядоченных системах,- ЖЭТФ 107 вып. 6, 2027-2047 (1995).

30. F. J. Wegner. The Anderson transition and the nonlinear cr-model.- in Anderson Lokalization, ed. by Y. Nagaoka and H. Fukuyama, SpringerVerlag, Berlin-New York , 8-14 (1982).

31. B. Shapiro. Self-consistent calculation of the frequency-dependent conductivity near the transition.-Phys. Rev. В 25, J\f-6, 4266-4269 (1982).

32. B. JI. Березинский, JI. П. Горьков. К теории электронов, локализованных в поле дефектов. ЖЭТФ 77, А^-6, 2498-2517 (1979).

33. J. Feder. Fractals-Plenum Pres, New York and London (1988). (пер. E. Федер. Фракталы.-Мир, Москва (1991)).

34. D. Forster, Hydrodynamic Fluctuations, Broken Symmetry, and Correlation Functions, W.A.Benjamin, Inc., London, etc, (1975); (Пер. Д. Форстер, Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции, Атомиздат, Москва (1980).

35. М. V. Sadovskij. Superconductivity and Localization. Phys. Reports 282, A/"-586, 225-344 (1997).

36. Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий. Об аномальном магнитосопротивлении в полупроводниках.-ЖЭТФ 81 вып. 2(8), 768-783 (1981).

37. S. Hikami, A.I. Larkin, Y. Nagaoka. Spin-orbit interection and magnetoresistance in the two dimensional random system.-Progr. Theor. Phys. 63, 707-710, (1980).

38. G. Bergman. Phys. Weak localization in semiconductors.- Phys. Reports 101, 1-97 (1984).

39. B. L. Altshuler, D. E. Khmelnitskii, A. I. Larkin, P. A. Lee. Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas.-Phys. Rev. B22, 5142-5153 (1980).

40. A. Kawabata. Theory of negative magnetoresistance I. Application to heavily doped semiconductors. J. Phys. Soc. Japan 49, M-2, 628-637 (1980).

41. A. Kawabata. On the field dependence of magnetoresistance in two-dimensional systems.-J. Phys. Soc. Jap. 53, 3540-3544 (1984).

42. В. M. Гаспарян, А. Ю. Зюзин. О полевой зависимости аномального магнитосопротивления.-ФТТ 27, 1662-1666 (1985).

43. М. I. Dyakonov. Magnetoconductance due to weak localization beuond the diffuzion approximation: the high-field limit-Solid State Commun. 92, 711-714 (1994).

44. A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, and V. Yu. Kachorovskii. Nonbackscatering contribution to weak localization.-Phys. Rev. В 56, 9910-9917 (1997).

45. И. В. Горный. К теории эффектов слабой локализации и электрон-электронного взаимодействия в двумерных полупроводниковых структурах. -Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Санкт-Петербург (1998).

46. J. М. Ziman. Principles of the Theory of Solids, Cambridge (1972), (пер. Дж. Займан. Принципы теории твердых тел, Мир, Москва (1972)).

47. А. Г. Грошев, С. Г. Новокшонов. Локализация и пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов двумерной неупорядоченной системы.-ЖЭТФ 111 вып. 5, 1787-1802 (1997).

48. С. Г. Новокшонов, А. Г. Грошев. Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов в окрестности перехода Андерсона.-ЖЭТФ 114 вып. 2(8), 711-724 (1998).

49. А. Г. Грошев, С. Г. Новокшонов. Отрицательное магнитосопроти-вление и коэффициент Холла двумерной неупорядоченной системы, -деп. в ВИНИТИ ЛЛ^2664-В99, 24 стр. (1999).

50. М. М. Бредов, В. В. Румянцев, М. Н. Топтыгин. Классическая электродинамика,-Наука, Москва (1985).

51. Д. Р. Зубарев. Современные методы статистистической теории необратимых процессов, в книге Итоги науки и техники. Сер: Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ АН СССР, Т. 15 (1980).

52. А. Г. Грошев, С. Г. Новокшонов, М. А. Зудов. Пространственно-временная дисперсия кинетических коэффициентов двумерной электрон-примесной системы в лестничном приближении.-Вестник УдГУ вып. 7, 108-115 (1995).

53. S.F. Edwards. A new method for the evaluation of electric conduction in metals. Phil. Mag. 3, Я-33, 1020-1031 (1958).

54. В.П. Силин. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, (1971).

55. R. J. Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press (1982), (пер. P. Бэкстер. Точно решаемые модели в статистической механике, Мир, Москва (1985).)

56. А. К. Аржников, С. Г. Новокшонов, С. В. Пахомов. Квантовые поправки к электропроводности двумерной неупорядоченной системы в сильном магнитном поле.-ТМФ 94, АЛ-3, 486-495 (1993).

57. H. Fukuyama. Hall effect in two-dimensional disordered systems.-J. Phys. Soc. Jap. 49, 644-648 (1980).

58. B. Shapiro, E. Abrahams. Scaling theory of the Hall effect in disordered electronic systems.-Phys. Rev. В 24, Я- 7, 4025-4030 (1981).

59. E. А. Котов, M. В. Садовский. Эффект Холла в самосогласованной теории локализации.- ФММ 60 вып. 1, 22-30 (1985).

60. A. Zduniak, M. I. Dyakonov, W. Knap. Universal behavior of magnetoconductance due to weak localization in two dimensions.-Phys. Rev. В 56, 1996-2003, (1997).

61. A. Bastin, C. Leviner, O. Betbeder-Matibet, P. Nozieres. Quantum oscillations of the Hall effect of a fermion gas with random impurity scattering.-J. Phys. Chem. Solids. 32, Л/"£8, 1811-1824 (1971).

62. R. R. Gerhardts. Self-consistent transport equations for the electron-impurity system in a magnetic field.-Z. Phys. В 22, M-4, 327-336 (1975).

63. С. С. Мурзин. Квантовые поправки к проводимости пленок п — GaAs в сильном магнитном поле.-Письма в ЖЭТФ 67 вып. 3, 201-206 (1998).

64. A. Houghton, J. R. Senna, S. С. Ying. Magnetoresistance and Hall effect of a disordered interecting two-dimensional electron gas.-Phys. Rev. В 25, Ai-2196-2210 (1982).

65. Y. Ono. Self-consistent treatment of dynamical diffusion coefficient of two dimensional random electron system under strong magnetic fields.-J. Phys. Soc. 53, A^7, 2342-2349 (1984).

66. J. R. Taylor. Scatering Theory, John Wiley&Sons Inc., (1972), (пер. Дж. Тейлор. Теория рассеяния, Мир, Москва, (1975)).

67. R. E. Prenge. Quantized Hall resistance and the measurement of the fine-structure constant .-Phys. Rev. В 23, 4802-4803 (1981).

68. H. А. Усов, Ф. Р. Улинич.-Квантовый эффект Холла в двумерной злектрон-примесной системе. ЖЭТФ 83 вып. 4(10), 1522-1528 (1982).

69. G. Ebert, К. V. Klitzing, С. Probst, К. Ploog. Magnetoquantumtransport on GaAs — AlxGa\-xAs heterostructures at very low temperatures.-Solid State Commun. 44, Я-2, 95-97 (1982).

70. Э. 3. Кучинский, M. А. Эркабаев.-Переход металл-диэлектрик в самосогласованной теории локализации с учетом эффектов электрон-электронного взаимодействия. ФТТ 39, М-3, 412-417 (1997).

71. Н. F. Hess, К. DeConde, Т. F. Rosenbaum et al. Giant dielectric constants at the approach to the insulator-metal transition.-Phys. Rev. В 25, ЛГ-8, 5578-5580 (1982).

72. Т. Nakayama, К. Yakubo, R. L. Orbach, Dynamical properties of fractal networks: Scaling, numerical simulations, and physical realizations.- Review of Modern Physics 66, M-2, 381-443 (1994).

73. V. N. Prigodin and Y. A. Firsov. Mobility edge and AC conductivity for quasi-two-dimensional weakly disordered system.-J. Phys. C. Solid State Phys. 17, Л^Зб, L979-L984 (1984).

74. А. К. Аржников, А. Г. Грошев, С. Г. Новокшонов. Холловское сопротивление двумерной неупорядоченной системы в сильном магнитном поле.-Вестник УдГУ вып. 5(1), 49-57 (1993).

75. Н. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, v.2, Mc Graw-Hill Book Company, INC. (1953). (пер. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 2, Наука, Москва (1966)).

76. W. В. Jones, W. J. Thron, Continued Fractions. Analytic Theory and Applications, Addison-Wesley Publishing Company (1980) (пер. У. Джонс, В. Трон, Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения, Мир, Москва (1985)).

77. Н. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, v.l, Mc Graw-Hill Book Company, INC. (1953). (пер. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1, Наука, Москва (1966)).

78. Н. Bateman, A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, v.2, Mc Graw-Hill Book Company, INC. (1953). (пер. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Таблицы интегральных преобразований . т. 2, Наука, Москва (1970)).