Пространственно-временные гауссовы пучки и их применение для решения прямых и обратных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

V1

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК '' МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.А.СТЕКЛОВА САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи УДК 517.946

КАЧАЛОВ Александр Павлович

ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫЕ ГАУССОВЫ ПУЧКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ 1990

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Санкт - Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Булдырев B.C., доктор физико-математических наук, профессор Изергин А.Г., доктор физико-математических наук Киселёв А.П.

Ведущая организация: Институт Математики,

Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 27 июня 1996 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д.002.38.04 в Санкт - Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук (г. Санкт - Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан

199G г.

Учёный секретарь специализированного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию специального класса решений гиперболических уравнений и систем, так называемых нестационарных гауссовых пучков, и их применению в прямых и обратных задачах математической физики. В работе выделены и используются два подкласса нестационарных гауссовых пучков - квазифотоны и квазиструи. Указанные решения являются быстро осциллирующими функциями по пространственным координатам и времени и сосредоточенными вблизи пространственно - временных лучей (квазифотоны) или пространственных лучей (квазиструи). Таким образом, квазифотон представляет собой компактный волновой пакет, сосредоточенный вблизи точки, движущейся по лучу (геодезической) со скоростью, определяемой типом волны. При этом для такого волнового пакета имеет место ряд законов сохранения (в асимптотическом смысле), в том числе закон сохранения энергии, что делает поведение этих решений очень схожим с поведением элементарных частиц. К важнейшей особенности таких решений относится также их гладкость, т.е. отсутствие сингулярностей. Аналогичные свойства (быстрая осцилляция, сосредоточенность вблизи геодезических, гладкость, законы сохранения и т.д.) характеризуют и другой подкласс гауссовых пучков - квазиструи. Более того, ряд высокочастотных волновых полей, в частности высокочастотные волновые поля, порождённые точечным источником с временной функцией, имеющей вид волнового пакета, могут быть представлены в виде интегралов по гауссовым пучкам типа квазиструя. Это представление даёт возможность решить актуальную прямую задачу математической физики - производить расчёты высокочастотных волновых полей как в области регулярности волнового поля, так и на каустиках, пользуясь единым представлением волнового поля и не обращая внимание на расположение и структуру каустик. Особый интерес представляет структура нестационарного высокочастотного волнового поля вблизи каустики и простейшей особенности каустической поверхности - линии возврата. Изменения характера волнового поля, перестройка волн, явления распада волн и переход от освещенной области к области тени являются важными в теории волновых процессов.

Другим актуальным классом задач математической физики

.4

являются обратные задачи восстановления параметров среды по граничным измерениям. Оказывается, что и в этих задачах нестационарные гауссовы пучки могут быть эффективно использованы и приводить к решению важных теоретических и прикладных задач. В частности, базируясь на методе граничного управления, предложенного Белишевым М.И. [1], можно, с точностью до некоторых сомножителей, восстанавливать волновые поля, порождённые известными граничными источниками, на некотором модельном множестве - выкройке. Используя граничные источники, порождающие нестационарные гауссовы пучки - квазифотоны, мы можем описать это модельное множество, определить структуру геодезических на нём, и тем самым построить математическую модель исследуемой среды. В качестве важной проблемы, решённой с помощью нестационарных гауссовых пучков, можно отметить проблему восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком, компактном ориентируемом многообразии по граничным спектральным данным. Эта проблема в существенном была поставлена в 1954 г. Гельфандом И.М. [2]. Применение квазифотонов и метода граничного управления даёт изящное решение этой задачи. Более того, оказалось возможным решить даже более трудную задачу восстановления такого оператора по неполным граничным спектральным данным (для размерности многообразия > 2), т.е. отсутствие информации о конечном наборе данных не влияет на возможность и процесс восстановления оператора. Это является шагом в направлении изучения устойчивости решения обратных задач. Важно также то, что решение этой задачи дано в виде процедуры, пригодной для практических вычислений.

Цель диссертации. Цель диссертации - описать пространственно - временные гауссовы пучки для различных сред и использовать их для расчётов высокочастотных волновых полей в неоднородных средах, порождённых точечным источником с временной функцией типа волновой пакет, а также решения обратной задачи восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком, компактном ориентируемом дифференцируемом многообразии по неполным граничным спектральным данным.

Научная новизна. Впервые построены нестационарные гауссо-

вы пучки типа квазифотон для общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на дифференцируемом многообразии и для уравнений линейной упругой среды. Впервые построены двухпараметрические пространственно - временные гауссовы пучки типа квазиструя и на основании этих построений описана асимптотика высокочастотных волновых полей точечного источника с временной функцией, имеющей вид короткого волнового пакета, в неоднородной упругой среде. Проведены упрощения для квазидвумерной упругой среды. Произведены вычисления таких полей, в том числе вблизи каустики и линии возврата на каустике. Произведено сравнение с точным решением и с лучевым методом (где это возможно).

Решена обратная задача восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком компактном ориентируемом дифференцируемом многообразии по неполным граничным спектральным данным.

Методика исследования. Пространственно - временные гауссовы пучки строятся на основе теории формальных асимптотических разложений лучевого типа с комплексной фазой. При этом используется редукция уравнений переноса к обыкновенным дифференциальным уравнениям вдоль луча, а также законы сохранения. Задача о построении высокочастотного волнового поля от точечного источника с временной функцией типа волновой пакет решается с помощью метода суммирования пространственно - временных гауссовых пучков. Для этого строятся двухпараметрические лучевые решения вблизи источника и затем они сшиваются с интегралами по гауссовым пучкам в промежуточной зоне на конечных расстояниях от источника меньших радиуса инъективности соответствующего экспоненциального отображения.

Рещение обратной задачи восстановления эллиптического дифференциального оператора на многообразии опирается на метод граничного управления (ГУ-метод). При этом создан вариант ГУ-метода, соответствующий неполным граничным спектральным данным. Далее используется специальный класс источников, соответствующих квазифотонам для волнового оператора на многообразии. В результате строится выкройка многообразия, а также дифференциал от 1-формы, соответствующей оператору, и ряд других геометрических объектов. Используя групповые и геометри-

ческие результаты, строится многообразие и некоторый канонический представитель в допустимой группе преобразований, сохраняющих неполные граничные спектральные данные.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическую ценность имеют 1) пространственно - временные гауссовы пучки, как некоторый специальный класс решений гиперболических уравнений и систем, 2) представление нестационарных высокочастотных волновых полей в виде интегралов но таким гауссовым пучкам, 3) решение важной обратной задачи восстановления общего эллиптического самосопряжённого оператора на многообразии по граничным спектральным данным, 4) возможность решения обратной задачи с неполными граничными спектральными данными.

Практическую ценность имеют 1) построение асимптотики решения задачи о точечном источнике с временной функцией типа короткий волновой пакет, в том числе в квазидвумерном случае, в виде интеграла по пространственно - временным гауссовым пучкам, 2) создание алгоритмов и программ для вычисления таких полей, 3) описание нестационарных высокочастотных волновых полей вблизи каустик разной структуры, 4) представление алгоритма, пригодного для решения обратной задачи восстановления параметров среды по граничным спектральным данным.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ПОМИ в 1980-95 г.,семинарах в Геофизическом институте ЧСАН (Прага, Чекословакия, 1982, 1983), VIII симпозиуме по дифракции и распространению волн (Москва, 1983), семинаре в Институте фундаментальных проблем техники (Варшава, Польша, 1985), симпозиуме " Математические проблемы в геофизике" (Новосибирск, 1985), конференциях "Интегральные уравнения и обратные задачи" (Варна, Болгария, 1989), "Численный анализ для дифференциальных уравнений в инженерии и его приложения" (Киото, Япония, 1992), семинарах университетов г. Токио (Япония, 1992), г. Мито (Япония, 1992), университета Пурдю (Ла-файетт, США, 1993), Миссури университета (Колумбия, США, 1993), университета шт. Кентукки (Лексингтон, США, 1993-95), международной конференции "Обратные задачи" (Санкт Петербург, 1993), международной конференции "Обратные спектральные задачи. Теория и вычисления" (Лексингтон, США, 1994), семинаре университета г. Рочестер (США, 1994), международной конфе-

ренции "Многовариантные вариационные задачи управления для дифференциальных уравнений в частных производных, (Санкт Петербург, 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-12.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх разделов, содержащих 13 подразделов. Работа занимает 236 страниц машинописного текста и 20 рисунков. Список литературы состоит из 95 наименований.

Содержание работы.

Во введении указаны основные задачи, рассматриваемые в работе, приведён краткий исторический обзор по гауссовым пучкам и их применению для расчётов высокочастотных волновых полей, а также применению пространственно - временных гауссовых пучков для решения обратных задач в рамках метода граничного управления, дано описание основных идей и методов работы, кратко дано содержание диссертации.

В разделе 1 рассматривается построение формальных асимптотических разложений для пространственно — временных гауссовых пучков типа квазифотон и квазиструя.

В подразделе 1.1 рассматривается задача о построении формального асимптотического разложения для волнового уравнения на римановом многообразии. После несложных преобразований получаем следующую задачу.

Рассмотрим волновой оператор

□и = - Ли = 0, (1)

где

Ли = сГ]/2(д, + + *Ь>] + дгц

V{Л) = Н2{М,%),

на гладком (С100) римановом многообразии (ЛЛ^). Ищется формальное асимптотическое решение задачи (при е —* 0) в виде пространственно - временного лучевого ряда с комплексными фазой и амплитудами

оо

ие{х,г) =ехр{-ф,*)}]РиГ1(д;,г)(-гб)71, (2)

6 п=0

где 1тв(х, £) > 0 при всех (х, 6 М х М. Более того = О

для некоторой кривой х — и 1тв(х,{) > 0 при х ф аг(<). Подстановка ряда (2) в уравнение (1) приводит к уравнению Гамильтона - Якоби

{д1в)2-д*1{х)д>вд1в = О, и к системе уравнений переноса

Сик + Пи*-! = 0; ¿ = 0,1,..., и_! = 0. (3)

Поскольку решение должно быть сосредоточено в каждый момент времени вблизи точки х = х({), фазу в и амплитудные функции ип, п = 0,1,..., можно искать в виде разложений Тейлора по переменным у = х — х(Ь). В частности

9(х, <) = в0 (¿) +р>Ш + ^г,ДОг/У + • • •

Доказывается, что = сотгв£, {х{{),р{{)) удовлетворяет системе уравнений Гамильтона с гамильтонианом к{х,р,{) = [9*1(х)р}р1]112, т. е. - пространственно - временной луч, а - геодези-

ческая на р- вещественный ковектор, а - два-

жды ковариантный тензор в точке х — х{Ь). Матричная функция Г удовлетворяет матричному уравнению Риккати. Если начальная матрица Г0 = Г|(=0 является симметричной матрицей и 1т Го > 0, то, используя законы сохранения, доказывается, что это же верно и для матрицы Г(<), ( £ 1. Более того, если Го факторизована в виде Г0 = ^0У0-1 с невырожденной матрицей У0, то Г(£) может быть факторизована в виде Г(г) = 2(£)У(£)-1 с невырожденной для всех t матрицей У(<), и матричные функции У(<), .£(<) удовлетворяют линейной системе уравнений. Высшие коэффициенты разложения функции в в переменных <, у = У-1(<)у легко записываются в квадратурах. Таким образом, основная нагрузка при решении уравнения Гамильтона - Якоби падает на решение системы уравнений Гамильтона и линейной системы для комплексных матриц У(4) и Z{i). Далее, из уравнений переноса (3) после некоторых преобразований пишутся уравнения переноса для однородных многочленов йП;; порядка I, представляющих собой члены разложения Тейлора амплитудных функций ип по переменным у. После несложных пре-

образований они примут вид

Jtñn,i + |j¿4det Y2{t)g{t)) +jt< b(t),p(t) >

ü„,i(í) = f„,i(t),

где однородные многочлены переменных у зависят лишь от в[/, 1 </'</ + 2, и„,1», 0 < I" < I - 1 и «„_!,!»., О < Г <1 + 2. Таким образом, эти уравнения легко решаются

«„,/(*) - »"(О |<<(0) - I ,

где

^■Зв-н / <м.»,

а 'хо,Ро[0, <] - отрезок геодезической длины начинающийся в некоторой точке хо и идущей в направлении ро-

Важными для дальнейшего анализа являются также формулы для ио,о и м1;0:

«о,о(0 = ио,о(0)г(/);

и

«i,o(í) = «1,о(0 - «0,0(Í) J q{x)\dx\.

'-O.poI М

В результате, задавая начальную точку х0, направление /)0, матрицу Г0, однородные многочлены $¿(0), / > 3, un,;-(0), тг > 0, /' > 0, мы однозначно определяем все коэффициенты разложения для квазифотона. Заметим, что в связи с тем, что deíY(t) ф 0, все амплитуды un¿ являются гладкими функциями при всех t.

В подразделе 1.2 рассматриваются квазифотоны для линейной упругой среды

(Lu)¡ = pdfU¡ - дк( aik) = 0. (4)

Решение задачи ищется в виде, аналогичном (2), но вместо скалярных функций ип мы используем векторные функции U(„). Условия для фазы 9 предполагаются такими же, как и в подразделе 1.1.

Подстановка разложений для вектора смещений в уравнения (4) приводят к рекуррентной последовательности уравнений

Ь0и(„) + Ь1и(п_1) + Ь2и(п_2) = 0, и = 0,1,..., и(_!) = и(_2) = 0.

Из анализа уравнений нулевого приближения нетрудно сделать вывод о возможности существования трёх типов волн, одной продольной и двух поперечных. При этом анализ уравнения Гамильтона - Якоби для них не отличается от анализа, проведённого в предыдущем подразделе. Далее для продольных волн получаем представление

Що) — Що)д{в.

Из условий разрешимости уравнений первого приближения в этом случае получаем уравнения переноса для скалярной функции Г(о). Разлагая У(0) в ряд Тейлора по степеням переменных у = У-1(<)у = У_1(<)(х — х(<)), получим цепочку обыкновенных диффе- ренциальных уравнений по < от й(о)ь которая легко решается

+

сЫУ(У)р(У) , с1е1У(0)/>(0)

, / = 0,1,...,

а определяется по й(о)с, 0 </'</ — 1. В частности ^(о)о(О =

0. Аналогично находятся и последующие приближения для вектора смещения. В результате получаем теорему.

Теорема 1. Пусть (х0,ро) £ Т*0(Ш.3), а(х0)|ро| = 1, Го - некоторая симметричная матрица с положительно определённой мнимой частью (Г*0 - Г0, 1тТ0 > 0), 0/(0), I > 3, и и(п)((0), п,1 = 0,1,..., - однородные многочлены степени I переменных у. Тогда существует единственное (формальное) решение ие(х, вида (2), соответствующее уравнению Гамильтона - Якоби для продольной волны, что во = 0, х(£), р(<) решают задачу Коши для системы уравнений Гамильтона, Г(*) удовлетворяет задаче Коши для матричного уравнения Гиккати, причём Г(<) есть симметричная комплексножачная

матричная функция t с положительно опре- делённой мнимой частью ((T(t)y — F(i), ImT(t) > 0, t £ MJ,a однородные многочлены 6i и й;(п),; переменных у определяются с помощью явных формул через начальные данные $¡(0) и г'(п)ДО).

Для поперечных волн отличие состоит в том, что из уравнений нулевого приближения получаем, что волна поперечная. Если ввести два векторных поля N и В в окрестности точки х = х(£), ортонормированных в соответствующей метрике и ортогональных д{в (это можно сделать даже не единственным образом), то вектор нулевого приближения разлагается по этим векторным полям

U(0) = W(D) = + u>£jB.

Если использовать разложения для N, В, и w^ в ряды Тейлора по степеням у = Y~l(t)(x — x(f)), то получим последовательность систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые нетрудно решить. В результате, в частности, получаем, что

ц(о)о(0 = cos Ф+С2 siu 0)+b(i)(—Сх sin^>+C2cos 0)},

где n(<), b(i) - единичные вектора нормали и бинормали к геодезической,

t

ф{t)= J K(t')c{t')dt',

о

а к(£) - кручение геодезической. Определив из условий разрешимости первого приближения нулевое приближение для поперечной составляющей векторного поля, находим продольную составляющую первого приближения. Дальнейшие члены разложений находятся аналогично. В результате получаем Теорему 2, аналогичную Теореме 1 и описывающую поперечные квазифотоны в упругой среде.

В подразделе 1.3 рассматривается другой тип нестационарных гауссовых пучков - квазиструи для тех же уравнений теории упругости. Эти решения в отличие от квазифотонов сосредоточены не в окрестности пространственно - временных лучей (т.е. точки движущейся по геодезической), а в окрестности геодезической. Этот

вариант гауссовых пучков был независимо описан Поповым М.М. [3] в несколько другой редакции.

При описании нестационарных гауссовых пучков типа квазиструя в силу их сосредоточенности вблизи кривой (как окажется геодезической) естественно использовать координаты (а:1, а:2, я3) = (я,п,Ь) = (я,^1,^2), где $ - расстояние вдоль кривой, а п и Ь - координаты по нормали и бинормали, соответственно. Решение уравнений упругости ищется в виде:

1 00 •

и' = ^(х,<-,€) = ехр{-в(х,<)} (5)

п=О

где е малый параметр задачи, в и и^ - комплекснозначные функции и

/глв(х,0> 0, У(х,<),

1тв(з, 0,0,0 = 0.

Подстановка разложений (5) в уравнения упругости, записанные в системе координат (в, п,Ь), приводит, как и в случае квазифотонов, к рекуррентной системе уравнений

£(0)ки(п) + £(1)ки(п-1) + £(2)ки(п-2) = 0;

¿,* = 1,2,3, п = 0,1,2,..., «£_!) г и(*_2) = 0.

Из уравнений нулевого приближения получаем уравнение Гамильтона - Якоби

(с>,0)2 = ¿д'^вдЛ (6)

где с совпадает со скоростью продольных или поперечных волн. Фаза в ищется в виде ряда Тейлора (по вблизи кривой

оо

0(х, I) = £ , 0 = 0о(а, 0 + 0а(я, + -Го/,(*,*)« V + - • • (7) <=о

и должно выполняться условие вещественности функций во и 9а, а = 1,2, а также условие /тГ0/з($,£) > 0. Подставляя разложение (7) в уравнение (6), получаем из первых двух членов разложения

по однородным многочленам от qa, что во-первых наша кривая есть геодезическая в метрике c~2gik, во-вторых можно выбрать 90 в виде 90(<-), где = t - t(s), t(s) = fj у, а с0(<т) есть скорость соответствующих (продольных или поперечных) волн на этой геодезической. В дальнейшем делается предположение, что Q'(t) > 0. После замены Гa0(s,t) = Q'(t_)tQ/3(s, t) для Г получаем матричное уравнение Риккати по s, где f_ - параметр задачи. Отсюда, как и для случая квазифотона, доказывается, что, если выбрать матричную функцию Го(0> удовлетворяющую условиям Гц = Го, 1тГо > 0, то это же будет справедливо и для матрицы T(s,i), т. е. Г( = Г, 1т Г > 0, Vs, t. Более того, если Г0 факторизуется в виде ¿o(i) = с невырожденной V< матричнох! функцией Y0(t),

то T(s,i) = Z(s,t)Y~1(s,t) с невырожденной Vs,f матричной функцией Y(s,t). Переходя от переменных (s,t,q) к переменным (s,f_,q), q = y-1q, для старших членов разложения (0')-10 получим явное представление в квадратурах

s

й = (е'ГЧ*-Ж*о,i_,q)+ JJi(s',t_,q)ds\ I > 3,

So

с однородными многочленами Т\ переменных q, зависящими лишь от §!>, 0 < V < 1 - 1.

Далее для продольных волн в нулевом приближении получаем представление = V(0yj^djO со скалярной функцией ь\о)- Из условий разрешимости уравнений первого приближения получаем уравнение переноса для V(0), которое, после разложения в ряд Тейлора по q, сводится, после несложных преобразований, к последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений по s, где t_ - параметр. Эти уравнения легко решаются. Отсюда получаем выражения для однородных многочленов 5(0)! (в переменных s,t-, q). В частности

5(„,„(в, f.) = у/ t_} *(o)o(M-

Тогда из уравнений первого приближения находится поперечная составляющая поля смещений. Члены более высокого порядка находятся аналогично. В результате получаем теорему.

Теорема 3. Пусть далее 0(1) - вещественная функция, Э'(<) > О, ( 6 Е, Го(^) - комплекснозначная симметричная 2x2 матричная функция, такая что /тГо(£) > 0, £ 6 К, а я), I — 3,4,..., ц), га = 0,1, ...,/ = 0,1,..., комплекснозначные 1-формы от я с коэффициентами, зависящими от Тогда существует единственное формальное асимптотическое разложение для продольной волны с фазой в, такой что = ©(<_), ра{э^) = 0, Га/з(в,<) = Э'(£_)Га/э(5, £_). Матрица Г является решением задачи Коши для матричного уравнения Риккати и факторизуется в виде Г = ZY~1 с невырожденной комплекснозначной матричной функцией У(в, ¿_). Однородные многочлены в[ = в[ и амплитудные функции и^ опреде- ля-ются явными формулами по начальными данным г)(п);|5_0 -

Для поперечных волн амплитуда нулевого порядка ортогональна градиенту в. Если ввести в рассмотрение векторные поля Ы, В, ортонормированные в метрике д^ и ортогональные градиенту в и разложить вектор смещения нулевого приближения по этим векторным полям

ветствующих однородных многочленов, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений по в в переменных (в, я). Эти системы уравнений нетрудно решить в квадратурах

1

[Ё} совф + Щ Б'тф};

ч/роООЫ^еЩМ-)

1

[Д/ БШ ф — Щ С08 ф],

где

Л} = у/ /?о(0)Ьо(0) det У(0, ч)+

в

в

+ { 1^(0)1 с°8 Ф + Ф] \ZpobodetYis') <1з'-

о

Щ = -\/ро(0)Ь0(0) йеЬ У(0, ОЙ(0)ДО,ч)+

4- - ^#0)1соа

о

а

я

ф(в) — — I к(сг) ¿а.

ФуНКЦИИ ^'¡^

о

и /V н

явно выражаются через известные функции й}((Л,,,

0 < Г < / — 1. Тем самым однозначно по начальным данным определяются функции а следовательно, и и(0). Далее из уравнений первого приближения находится продольная составляющая вектора смещений первого приближения. Высшие приближения находятся аналогично. В результате для поперечных квазиструйных решений получаем Теорему 4, аналогичную Теореме 3.

Раздел 2 посвящен вычислению высокочастотных волновых полей с использованием метода суммирования пространственно -временных гауссовых пучков типа квазиструя. Рассматривается задача о построении асимптотики волнового поля, порождённого точечным источником с временной функцией, имеющей вид волнового пакета, в линейной неоднородной упругой среде. При этом на практике наиболее интересен случай, когда волновой пакет достаточно короткий, т. е. число осцилляции в пакете невелико (2-5) и длина волнового пакета мала, по сравнению с характерным масштабом неоднородностей. Поэтому при анализе этой задачи оказывается удобным использовать так называемые двухпараметриче-ские гауссовы пучки типа квазиструя. Далее на практике наиболее часто рассматриваются задачи, когда параметры среды зависят лишь от двух декартовых координат, т. е. пренебрегают зависимостью от третьей координаты. Эта, так называемая квазидвумерная (или 2.5 мерная) задача и рассматривается в этом разделе. При решении задачи возможны значительные упрощения, что позволяет легко рассчитать довольно сложные волновые поля, интересные с практической точки зрения.

В подразделе 2.1 рассматриваются двухпараметрические гауссовы пучки упругих волн, т. е. решения вида

оо

и1 = и-

,3

(х, Ц 61,е2) = ехр {—0(х, 0} У" "/„)(?/. х> е1)(е1

п—О

где у — ^-i¿>(x,f), i1 — s, х2 = q1 = n, x3 = q2 — b. Выражение вида f (■; 6.1) понимается как асимптотический ряд по степеням ец. Как и в подразделе 1.3 мы требуем, чтобы /т0(х,i)|q=0 = 0, Jm9(x,t) > О при q ф 0.

Аналогично рассмотрениям подраздела 1.3 главный член лучевого разложения продольной волны ищется в виде

u£0)(y,x, t] ci) = дк'дгвЪ{0)(у, x, t; е^.

Для существования отличного от нуля решения должны выполняться условия

= J = 1,2,3,

где

4o)"fc = КРУО - wirUir)bi - (Л + №%1к]ик,

а

h = —dte + d^dy, lj = —д}в + djtpOy.

£l €1

Последнее выполняется, например, если

9 = Q(t - r(x)), у = Ф(* ~ г(х)),

а г удовлетворяет уравнению эйконала a2g,J9,rôjr = 1. Рассуждая как и в разделе 1, получим, что кривая, в окрестности которой сосредоточено решение, есть геодезическая (луч)

s s0

где то и ri есть члены разложения Тейлора для т(х) по однородным многочленам от q

т(х) = £ г, (s, q) = То (s) + Ta(S)gQ + iro/3(S)g V + • • • • 1=0 z

Для Гa/j(s) справедливо матричное уравнение Риккати, из которого следует, что Г1 (s) = T(s), ImF(s) > 0 для всех s, если эти же свойства выполняются для некоторого s = soКроме того T(s)

1Г>

факторизуется в виде Г(л') = Z(.^>)Y~1 (я) с невырожденной комплекс-нозначной матрицей У(в), если Г(во) = Z(sй)Y~1{sQ) с невырожденной матрицей У(во). Для третьего и последующих членов разложений Тейлора по однородным многочленам переменных я справедливы обыкновенные дифференциальные уравнения по я в переменных Ч = которые легко решаются. Аналогично находятся и решения уравнений переноса для амплитудных функций. Окончательно получаем

5(о,о(»,х, ег) = </ -^¡^У^у, е,);

Зо

где У(о)о и У(о)1а - произвольные функции, определяемые из начальных данных,

Л» - {-к (ее. - СА - \ (- М (в;,+сад -

I 2 \р0 со/ 2\Ро с0уч 7Р _ |соД-гу/? - с7Г7/з - С/з¿г г| У/Зс,

Ро5 Р/3, Со, сд - коэффициенты разложения Тейлора для плотности и скорости по переменным q, а матрица В имеет вид

Аналогично, для поперечных волн получается следующее разложение

"(0) = + <0)5,),

где А^-, В3 - ортонормированные векторные поля вблизи геодезической,

= — J к(а) с1а,

«о

с произвольными функциями ех), а для гй^^ справедли-

вы формулы

Щ

N _ [£>1 (0)1

= (й(0)1 СОЙ ф + Щт ып ф],

">(0)1 = [Л(0)1ф - Що)1С0Й Ф],

а

\//>o(s)Ьo(s)detУ(s) ь

«о »0

•8 «

«о «о

Наконец

¿1 = Ь0кГ2аЯа.

с произвольными функциями Ф^ ,которые определяются по начальным данным.

В подразделе 2.2 рассматривается метод суммирования пространственно - временных гауссовых пучков в квазидвумерном случае. Сначала строится двухпараметрическое лучевое решение, аналогичное двухпараметрическим гауссовым пучкам. Затем для источников типа центр расширения и центр вращения определяются фазы и амплитуды этого решения. В результате получается лучевая асимптотика решения в области регулярности поля лучей. Далее решение задачи ищется в виде интегралов по двухпараметрическим пространственно - временным гауссовым пучкам с неизвестными фазами и амплитудами

где и^ф - гауссов пучок, соответствующий лучу, выходящему в направлении, определяемом сферическими координатами (риф. Для точек наблюдения, расположенных в плоскости у = 0 источника, формулу (8) можно упростить, рассматривая асимптотику интеграла (8) по параметру ф по методу стационарной фазы. Для этого фиксируется опорный луч проходящий через точку наблюдения. Для близких к нему лучей определяются координаты точки наблюдения (б(<р),п(<р)) в системе координат (з,п), связанной с лучом Используя уравнения Гамильтона и начальные данные, находим выражения для координат (б;*,п*,у*) точки М* на геодезической ближайшей к точке наблюдения М, выраже-

ние для эйконала т и другие параметры гауссового пучка и^ф в точке М*. После этого производится интегрирование по ф. В результате получаем представление для поля смещений на плоскости у = 0 в виде однократного интеграла по <р от функций, выражающихся через пространственно — временные гауссовы пучки, соответствующие только лучам /^о- Для нахождения неизвестных фаз и амплитуд решения мы пользуемся сшиванием этого решения с лучевым решением в зоне регулярности. При этом мы вычисляем асимптотику интеграла по (р. Эта асимптотика находится с помощью процедуры, аналогичной процедуре, применённой при анализе интеграла (8). В результате сшивания решений находятся окончательные формулы для нестационарного волнового поля точечного

2л- Я-/2

(8)

0 —тг/2

источника, с временной функцией в виде короткого волнового пакета, на плоскости наблюдения у = 0 в виде интегралов по <р от пространственно временных гауссовых пучков. Например, для точечного источника типа центр расширения с временной функцией

старший член асимптотики (по €1 и ег) имеет вид:

2ж

и = У и«^ ¿<р, о

где

= ехр - г0(5)) - - т0(5))Ги(5)п2]|х

2тге1с2а(0,0) ...

гМв)х

у _£©'(« _ Го(г))Л(в)Уц(в)/>(5,0)а(в,0) + ду

С 9(0 = 6»о(0, Ф(0 = а

(0)012/' ' 1; ~ 8^(б!е2)2а7/2(0,0)^/2(0,0)'

Аналогичные формулы справедливы и для поперечных волн, порождённых точечными источниками типа центр вращения.

Наконец в последнем подразделе приведены результаты расчётов высокочастотных волновых полей с помощью метода суммирования пространственно - временных гауссовых пучков. Сначала (примеры 1 и 2) построенное решение для среды с постоянными параметрами сравнивается с точным решением и анализируется зависимость погрешности расчётов в от параметров и е2 для двух типов огибающей Фо. Б примере 3 рассматривается зависимость волнового поля вблизи точки возврата на каустике (случай внутреннего волновода). В примере 4 анализируется поле вблизи простой каустики для случая того же волновода. Анализ показывает

хорошие результаты расчетов для разумных значении параметров Ci и 62.

В третьем разделе с помощью пространственно - временных гауссовых пучков типа квазифотон решается обратная задача о восстановлении общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на компактном, связном ориентируемом многообразии по неполным граничным спектральным данным. Заметим, что доказательство основного соотношения ГУ-метода для случая неполных граничных спектральных данных и групповые соображения принадлежат Курылёву Я.В. и включены в диссертацию из соображений полноты и связности изложения.

В подразделе 3.1 дана постановка задачи. Пусть (M,d,V,S) -компактное, связное, ориентируемое гладкое (С°°) многообразие с гладкой (С°°) положительной мерой dV и непустой границей S = дМ ф 0 и А - эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с краевыми условиями третьего рода, самосопряжённый в L2(M,dV). Этот оператор порождает риманову метрику j на М, так что dV = dVg и

Аи = а(х, D)u = -g-^idj + ibj)[g1/2gji ^ + ib¡)u] +,1Щ (9)

D{A) ={«£ H2(M,g) : Bu = (<% + ib„ + a)tí|s = 0} (10)

в некоторой локальной системе координат х = (х1,... ,хт) на М.

Пусть Ai < Аг < ..., Хк —► ос - собственные значения оператора А (с учетом кратности) и ф\(х), <j>2(x), • ■ -, - соответствующие орто-нормированные собственные функции. Пусть К' С N есть конечное множество натуральных чисел и К = N \ К'.

Определение 1. Совокупность (5, {AjJfce/i, {«¡ЫзНек) называется неполными граничными спектральными данными оператора А вида (9), (10).

Пусть А и А - два оператора вида (9), (10) на (М, g,S) и (M,g,S), соответственно.

Определение 2. Неполные граничные спектральные данные

(^{Ад-Ьед-, {«¿jfelsbetf) и (8,{^к}кекЛФк -ЬеА') операторов А а А называются эквивалентными если:

a) Xk = Afc, к £ К,

б) существует конформный диффеоморфизм Л^, : 5 —+ ,5 и гладкая функция «5 на 5, > 0 такая, что

в)

Фк\§) = Фк\3 . Л 6 К-

Сформулируем основную теорему этого раздела:

Теорема 1. Пусть А и А операторы, вида (9), (10) па (М,д,Б) и (М,д,Б), соответственно. Их неполные граничные спектральные данные (5, {А^ед-, {фк\3}кек) и (5, {А^е/с, эквивалент-

ны в том и только том случае, если существует конформный диффеоморфизм

Х:М-*М, Лл|5 = Х?, и комплекснозначная гладкая функция к на М.

к|5 = к<?, к\мфО, (11)

такая, что следующая диаграмма коммутативна

Ь2{М,д) 12(М,з)

ТА ■ (12)

Ь\М,д) £2{М,д)

В частности отсюда следует, что

Х*д = \кГ*'тд.

Если операторы А и А эквивалентны в смысле диаграммы (12), то соответствующие многообразия диффеоморфны. Далее будем рассматривать их как две копии абстрактного многообразия М, а операторы А ш А = X о А о Х-1 - как представителей одного оператора А на М.. Если ввести группу 0 преобразований вида А = кАк~1 с к, удовлетворяющей (11) (группа обобщённых калибровочных преобразований), то Теорема 1 сводится к тому, что неполные граничные спектральные данные операторов А и А вида (11) на (М,д,Б) и (М,д, ¡5) эквивалентны в том и только том случае, если они лежат в одной орбите группы б-

В каждой орбите группы Q операторов имеется некоторый канонический представитель. Он определяется тем, что ц = 1, а в разложении Ходжа для 1-формы Ь

ß

Ь=6с+(1Ф + ^2 Iphpi

p=i

Ф = 0, а 0 < 7р < 1.

В подразделе 3.2 рассматриваются некоторые сведения о геодезических на римановом многообразии, которые необходимы для решения обратной задачи. Большая часть понятий, использующихся в этом подразделе, были известны и раньше, в частности такие понятия как граничное экспоненциальне отображение, cut locus, выкройка, полугеодезическая система координат, множества Мт = {х & М. : dist (ar,Ai) < Т}, геодезический радиус, и т.д. Для дальнейших исследований необходима Лемма 2, описывающая перенос свойств изометрии с подмножеств полной меры гладких римановых многообразий на всё многообразие.

Лемма 2. Пусть (Л4,д) и (Ad,g) - гладкие, компактные римановы многообразия иХ : М. —► М. - гомеоморфизм М. наМ.. Пусть П С М., П С М. - открытые множества полной меры.

VM(M\Ü) = VJ^{M\Q)= О,

такие что

А'|п —► П

есть изометрия (Г2, у) на (И,д). Тогда X есть изометрия (Л4,д) на

СМ,д).

Идея доказательства этой леммы предложена Бураго Ю. Д. Важной также является Лемма 3, описывающая структуру множества точек, максимально удалённых от границы, а также Лемма 4, дающая представление для базисных относительных 1-циклов многообразия в виде конечной суммы отрезков геодезических, нормальных к границе в своих конечных точках и отрезков геодезических на границе.

В подразделе 3.3 описывается схема метода граничного управления применительно к неполным граничным спектральным дан-

ным. В частности, вводится конечномерное подпространство Л, натянутое на множество собственных функций, информация о которых отсутствует, и соответствующие ортопроекторы тг', (неполные) операторы управления Шт, операторы Ст, и т.д. Очень важным в общей схеме является результат, относящийся к полному оператору управления

с1ЬЧМ)П\Ут = Ь\МТ)

и вытекающий из Теоремы единственности Хольмгрена - Йона, доказанной Татару [4]. Большая часть свойств неполных операторов \УТ и Ст повторяет свойства полных операторов. В частности, имеет место свойство унитарности оператора УУТ, являющегося пополнением в норме, порожденной оператором Главным в схеме ГУ—метода является возможность построения оператора Ст и соответствующих ему проекторов в терминах неполных граничных спектральных данных и формула коммутации

ургфт = рт^г о < £ < Т,

где = Р* ^ . При этом операторы выражаются через проекторы Р* : £2(МТ) -* £2(М() и операторы ЛГ* = л'Р[ : А Л. Имеет место теорема.

Теорема 2. При £ < Т* оператор IV^ имеет ограниченный обратный (Л^)"1, (ЛГ*)-1 : Л —► Л и

Р«

Если £>Т*, тогда

ж.

Наконец, используя отмеченные результаты, доказывается основное соотношение ГУ-метода применительно к неполным граничным спектральным данным.

Теорема 3. (Основное соотношение ГУ-метода) Пусть / £ Со°(Ег). Тогда

9.4

= ф,0и{Ы-,Т)Н(т*(з) -О- (13)

Напомним, что Е7 есть тождественный оператор на опре-

деляется через и^(-,Т) по формуле

u{~uf -{Nty^'Piuf = и! - Y, №N(0,

мел-'

¿Ш)= J uf(x,T)MÏ)dx. (14)

Л1\Л1«

[ ] означает скачок функции при t =T — Ç, H - функция Хевисайда,

Ф,О = [^ОМ«10)]1/4ехр{-г- J Ъ],

¿4o.il

a g - определитель метрического тензора полугеодезической системы координат.

При этом мы считаем, Что формула (13) имеет место при s таких, что r*(s) ф т. е. при sÇS^ (J1^-' и не определена при s 6

Замечательное свойство этой формулы в том, что в левой части стоят величины, определяемые по неполным граничным спектральным данным, а справа стоит волновое поле, порождённое источником / в полугеодезических координатах. К сожалению выражение для поля умножается на множитель к и появляется дополнительное слагаемое, зависящее от собственных функций, о которых отсутствует информация. Однако, используя источники, порождающие нестационарные гауссовы пучки, удаётся с помощью основного соотношения ГУ-метода решить обратную задачу. Этому посвящен подраздел 3.4.

В этом подразделе доказывается теорема Теорема 4. Пусть f = /€ источник вида

г = x{z/e5/l2)(ie)~1 exp {][paz° - z™ + l-(fz, z)}} (15) и uf есть решение начально - краевой задачи

□u£ = djV + а(х, D)ue = 0, (я, t) £ M х (-«5,6),

Вие = + ib„ + ff)|Sx(_6ii) = Г,

«€U-i = ôm'U-i = 0.

Тогда для любого t, jij < 6 и любого M > 0 для 0 < е < е(6) существуют константы N = N(M,6) и С = С(М,6), такие что

||ие _ехр{1е^}^(_г-еГ^)||сд((М)<(_м)) < СеМ п=О

Комплекснозначпая фазовая функция 0N и амплитуды строятся по многочленам 9( и Uni, соответствующим гауссовому пучку Ue с граничными условиями (13),

N

9N(x,t) = ][>0М), i=i

и

N

UiN\x,t) = Х((х - x(t))/e5'12)

1=1

где х ~ гладкая срезающая функция в окрестности нуля.

В подразделе 3.5 последовательно описывается процедура построения общего эллиптического самосопряжённого оператора на многообразии. Доказательство опирается на основное соотношение ГУ-метода и асимптотику квазифотона, из которой, в частности, следует Лемма.

Лемма. Пусть U* есть гауссов пучок, соответствующий источнику fsa,c0,ta вида (15). Пусть Щ есть функция вида (14) с W вместо uf. Тогда для Ç < Т*

Iинх t) — uc(x < { cte(m+1)/2> *(0 * M W,

где x(t) = x(ff)\a==t_tv - представляет геодезическую /S0,e0,<0.

Используя это соотношение и источники, соответствующие нормальным геодезическим, пользуясь гладкостью квазифотона и его сосредоточенностью, определяем выкройку многообразия. Используя источники, порождающие квазифотоны, выходящие с границы трансверсально, можно построить соответствующие геодезические

и определить расстояния между точками на них. Отсюда нетрудно определить метрику на выкройке Э (например, метрический тензор в полугеодезических координатах). Далее, зная метрику, можно определить |k(s,£)|, а следовательно, и |W|(s,£;T)| для источников /s0,е0,<о • Используя невырожденность квазифотона и его сосредоточенность вблизи точки в любой момент времени, производим склейку выкройки 0 по границе в\в*, а затем, используя структуру множества ш*, производим склейку и по в*. Полученное многообразие оказывается изометричным искомому. Тем самым доказана теорема.

Теорема 8. Неполные граничные спектральные данные оператора Шредингера с магнитным потенциалом определяют риманово многообразие (M,g,S) однозначно.

Зная теперь риманово многообразие (M,g, S) мы, с помощью основного соотношения ГУ—метода, определяем (mod 2ж) интегралы от 1-формы b по ломаной, состоящей из отрезков нормальной и наклонной геодезической, выходящих из точек границы. Отсюда находим 2-форму db и граничную 1-форму Jgb. Далее, используя аналогичные соображения и Лемму 3 подраздела 3.2, определяем (mod 2ж) интегралы вдоль базисных циклов от 1-формы Ь. Отсюда, используя разложение Ходжа, однозначно находим 1-форму bo, соответствующую каноническому оператору Шредингера (Следствие 1).

На следующем шаге, используя знание 1-формы Ь, можно определить главный член асимптотического разложения для квазифотона. Тогда из основного соотношения ГУ-метода находим первый член асимптотического разложения для квазифотона на Э и тем самым скалярный потенциал q. Наконец на последнем шаге определяем импеданс а.

В заключительном подразделе рассматривается общий эллиптический оператор и соответствующая ему группа обобщённых калибровочных преобразований. Доказывается Лемма о том, что в каждой орбите этой группы существует единственный канонический оператор Шредингера. Далее, используя динамическую постановку обратной задачи определяем значение /x|s. В результате доказывается основная теорема раздела 3.

Список литературы.

1. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным

задачам для волнового уравнения. ДАН СССР, 1987, т. 297, N3, с. 524-527.

2. Gelfand I. М. Some aspects of functional analysis and algebra. Proc. Intern. Congr. Math., 1954, Amsterdam, p. 253-277.

3. Попов M. M. Суммирование пространственно - временных гауссовых пучков в нестационарных задачах. Препринт ЛОМИ, P-G-86, 1986.

4. Tataru. D. Unique continuation for solution to pde's; between Hormander's theorem and Holmgren's theorem. Preprint Dept. Math., Nortwestern Univ., 1994, 26p.

Публикации по теме диссертации.

1. Качалов А. П. Применение "квазифотонов" для расчёта волновых полей в упругой среде. - В сб.: Зап. Научн. Семин.ЛОМИ, 1985, т. 148, с. 89-104.

2. Качалов А. П., Попов М. М. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчётов высокочастотных волновых полей. ДАН СССР, 1981, т. 258, N5, с. 1097-1100.

3. Ivachalov А. P., Popov М. М. Application of the Gaussian beam method to elasticity theory. Geophysical J. R. Astr. Soc., 1981, v. 81, p. 205-214.

4. Качалов А. П., Попов M. M. Применение гауссовых пучков к теории упругости. - В кн.: Математические проблемы геофизики: моделирование, исследование и интерпретация, 1985, с. 3-21.

5. Качалов А. П., Попов М. М. Применение метода суммирования гауссовых пучков к вычислению теоретических сейсмограмм. - В сб.: Зап. Научн. Семин.ЛОМИ, 198G, т. 156, с. 73-97.

6. Kachalov А. P., Popov М. М. Gaussian beam method and theoretical seisinograinins. Geophysical Journal, 1988, v. 93, p. 465-475.

7. Качалов А. П. Двухпараметрические асимптотические разложения для пространственно - временных гауссовых пучков в упругой среде. - В сб.: Зап. Научн. Семин.ЛОМИ, 1988, т. 173, с. 87-95.

8. Белишев М. И., Качалов А. П. Квазифотоны в динамической обратной задаче для управляемых римановых многообразий. Препринт ПОМИ Р-12-91, 1991, с. 3-36.

9. Белишев М. И., Качалов А. П. Граничное управление и квазифотоны в задаче реконструкции риманова многообразия по динамическим данным. - В сб.: Зап. Научн. Семин.ПОМИ, 1992, т.

?Я

203, с. 21-50.

10. Белишев М. И., Качалов А. П. Операторный интеграл в многомерной обратной спектральной задаче. - В. сб.: Зап. Научн. Се-мин.ПОМИ, 1994, т. 215, с. 9-37.

11. Katchalov А. Р., Кurylev Ya. V. Incomplete spectral data and reconstruction of a Riemannian manifold. J. Inv. Ill-posed Probl., 1993, v.l, N2, p. 141-153.

12. Качалов А. П., Курылёв Я. В. Многомерная обратная задача Гельфанда с неполными граничными спектральными данными. Докл. РАК, 1996, т. 346, N 5, с. 587-589.