Пространственные смешанные задачи теории упругости для однородно и частично-однородных тел со сферическими поверхностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г 3 о л

1 ШШстерстчо осв Ith Укра тки

^ Г] f i Л i f > Г) ^

Дн I пропзтровсыет ;рржашша vn !взрситет

lia правах рукопису

СМИРНОВ Серг1й ОпЕкедлдроиич

ПРОСТОРОВ I М1ШАН1 ЗАДАЧ I ТЕОРП ПРУЖНОСТГ ДЛЯ ОДНОР1ДНИХ I КУСКОВО-ОДНОР1ДНИХ Т1Л 31 СФЕРИЧНЫМИ ПОВЕРХНЯМН

01.02.04- - Маханта деформ 1вного пзярдого т)ла

АВТОРЕФЕРАТ

дисвртащт на здойучтя вчэяого стугешя •доктора ф i зяко-математатаих паук

Да inpomrpcmcMt 1993

Робота винопяна в Дн Ятропэтровському даркзвному ув1верситет). Наукпвий консультант - члан-кор. АН Укрятни, доктор ф1зико-математичних наук, про^есор Ул1тко А.Ф.

Оф1ц|0Н1 опснанти: «эн-кор,, АН Ущм1ни, доктор ф!вико-

матемятэтшх вяук, профооор Тр1вчеако В.Т.;

доктор ф1зико~матегяатйчтш наук, ирсгфбсар Маргггаюнко М.А.; доктор ф1зико-математнчтга наук, профосор Процвнко й.о.

Прошлая устазова: 1кститут прикладш проблем кэхан1ки I математики АН Укра?ни»сн.Льв)в>

Эаяист ШдЗудаться V грудяя 1993 р. о 15 годин) на заседай?» сшц!ал1зовано! ради Д о53 £4. 05 ДнШрппэтровашпго державного ув1яэрситету вя адресат:

320БЕ5, МСП, м.Лн1Шоттровськ-Ю, пр. Гагар та, 72, корп.з, ЯУД.57.

3 дасаргац1еп можяа ознаяомигися в б1йл!отец1 Дя!пропзтровсь-кого державного уи1вэрси~ету.

Автореферат роз)слано ю листопада 1993 р.

Рпятгиг» /«игтютяп

С

Я А Г А Л Ь Н А ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТ И

Актуалыисть проблема. Б)лыв1сть матер) ал 1в, що зустр1Ч8ютъея в природ I або отворои 1 мщиною 1 викориотовустъся в Лшчзоря1й трактат, мать ртного роду дефект, паявШсгь ягага ) стотао впли-inn на мцщШ'ь вмроблояит э mix еламйнпв копструкцт. Пэ стосу-•тьоя такой« кампозшияних маг-<р1яд|в, юр впай^та ооташпм часом трока викорисггашш в машгюбудуванн i. Досл}джзпяя вплюзу дэфвкПв пруктури па ня1фуншо-деформова!шй стан т!л вшшкаа також знания сампстмния штерас t «таковить матенатечно няйб1льи сквдну аеткну розн'язання щюблеми м!пласт!.

з конструкцитеих або екояошчвих м!ркувань матер!али виротШ асто шлдаюггьс.н паванташнням, що близьк! до гранично допустит. этредЗачоне рувиувапяя багатьпх 1нженертих копструкг а в1дбуеа-ш:я в (Нлытосп ви1.эда|в з яротши иеврахування вгошву тр1шда яа ran матер)аду. Crimea тевдзяцт використанпп в сучасШй техШШ iTOpla.ilВ 3 ВИ00К010 ПЙГОМОИ М!ЦН1СТЮ, ЩО СХИЛЬВ), ЯК В1ДОМО, до mltqiMXKoro руявуванвя шляхт даширепяя тр1щив, потреАув удоско-дання шадШ розрахунк!в напрудано-дэформованого стану т)л з фактами. Тому досимдення трицин п одним |з роздшв сучасноГ ханжи, що розвиваетьев гшисЛлш Чгтвпсшю.

In-rapac до зада1» про трицяяи ишшс у XX стшИтт! I шн'пзаниа Imqrsm засяовяика дахаШки руйнувавия А.Гр|фф1тсз. На сьогодд! вдяки зуешшщ йагатьох в1тчизнших t заруб 1шит слеша досягяу-йнячпого прогрвсу в катемзютп!» тоорн тр|шда. ц| досл1даепяя (енуючою загалышю традац1еп дад!ляютъся на гавчвяня 1 апал1з >ских 1 пропторових трIntra.

НаййМъш авачннх ycnlxlB досягвуто в розв'язанл! задач про >ек! тршшни. 1|э поя'язано з широким використаввям розпилутго parry фулкЩй комплексно! bmIhhoI, що <5азувты;я яа досл)даетшях к Колосова I М. J. MyexaetiroUI. В оставит час зяачвия прогряс оол»давнн! плоских трПцин пов'язаний 1з застосувянням япярату гулярпи* )итггряльтет р)вняль.

Б Мни «иадяпми е задач! про просторов! тр|щини. 1х яналггич->,зв* лаапня, як гранило, потребуе розргчлвння сгещ1аяьни* п|д-1в з викориотаиням склагртого математичното апарату. Прота | в гаяуз! мэшшш д?фори!вяого тваццото т!ла за оставк! роки

э

досягпуто значлпго прогресу у вивчеил! плоских ггростправих тркддаг,

У mplBHPHiil я плоскими простпровими тр!щинами злачно менше досл!дшн1 задаем для пруягаих т1л з просторово-зIгнутага тр1щиня-ми. Причина цьпго - в складноспч розв-язання осздовких граничнкх задач lTpnfvropoBnl теорп пружяосп. Причому, ц) трудноц) пов'яадн! ПО CTlJtbKK з гобудовою рОЗВ'ЯЗКУ рШнпнь рШНОВЯГИ, СК1ЛЫШ 13 зздовол-егпям задают па по верхи 1 п.ла граничних умов. В той жо час досл)даенпя в цьону вапрямку, кр1м чисго теоретичного 1ктаросу, мвють 1 вначну 1рактичву Щнн1сть, бо, як показу;; вкстриданталъ-виз япая1я noBaj.fcnb роариву зруйиоваяиг доталая, ropalosl поварт-Ш розрину еуц!лыгого матер 1<.лу мають не плоску, а об'вмяу, Олгаь-ку до сферичяоТ фпрму. Шдзлачиш такой практична значения анализу напруюяо-деформованого стаду гюбЛизу м1яфазово1 просторово- з1-гнуто! тр1щини. В!домо, цо руяяувавня кпмло<*щ1йвого матер!яду в дисшрснши частниками, що макггь форму суц1дьноТ arto порожнисто I куд! ошрпбадпна}, кайчасгг1шз вдауваг.ться по м1кфазовт павархн 1 матрицею i частшшда.

При хюзв'язашп задач для просторово-з1 гнуто т тр!щини нвоб-х Iдно враховувата шклив1(ть контактно т вяагагад II i . ñaparla при швшст здаченпях гвоттрП тр^ияи ! д)того яавантажолпя. Рог'В'язднвя кад&ч! в так1в постанови 1 звачно ускладЕшеться 1 ттребуе розроблання сгоЩалште катодin.

В1дзяачиад, щр в математичтюму плаш задач 1 для т1л и тр!щи-вами Олизък! до контаттогх задач. Тому одержан! при розв'йзанн) задач для ти я! сферичяими розр!яами результата можна використати в контактяих задачах для кул! 1 сферичного шару.

Актуальнють обрано! для дасертацлтоТ робота теми-досл1дення палрутаад-дефорвдшанога стану одаор1дпшг 1 кусково-однориидах тМ з тр1 типами або тонкими короткими включениями, що розташован) на пферичнШ пошртн 1, а тякож розв'язаяня контактвих задач для кул I I гфэричвого шару - зумовлана як об' истинною потребоп po_3ñ-.mcj метод! в розрахуг.;:т м1цносг1 матэр)ал1в, олотт)п конструкшя, вкробт 1 стюруд. так I ваобх1дя1сто оЩеки даяких продаст в природ! та управл1ння ними, натрпаад, розвиткои тр1ш>:н у г1ргъкга масивах при природному або штучному руанузанв1.

Кета робота: потребления 1 развитое анал!тичних J чиселъно-аналтичних метод № досл|дощш яапрушяо-деформованого стагц тръохвим 1 рних т!л з! сфаркчшш разр!зами або тонкими жорсткиш

<

включениями, mu також ножна яуло б застосувати до коятактних задач дня тм я лепйпв- язнпво гладкими поверхвяш.

Науковя нпвияъа. Розроблен! мзтоди розв'лзання рядових р ib-нянь за пол i номами 1 приеднаяими подшпмяия /йяандра, що зустрна-пться в м1пшних задачах тоорИ пружяоспч дяя обмгжоних сферичними ппв^рхвями ти. Одерчшо точш розв'язки задач дяя простору 1з сферичним розр 1 зон arto топтал коротким сферр^птсм вклшоппям. Задач! про к!.яьцотта сфоричния розр!з I про взакмовплив двох сферич-яиг рояр!31в заеденI до Фредголъмовия 1нтегральних ржнянь, що до-звавд*/гь Афвктивяш! чисдальния раза' яяок. Одержано точний розв*язок задач! гтро о1еричвиа розр1з при урахувлнп! гладко г контактно J вза-вмодИ берегIв. Розройлано метод розп'язання задач для м1лвфязовкх оферичних розр!з1в при використаня! ПояосциляЩйяоГ мадэл!, одержано форму .ли дня асимптотичного поводаняя налрутань тоблгоу к!п-чика тр!шинч. Запро^шовано метод роав* язатш задач1 для Шжфазо-вого poaptsy при негладки* контакта Ш взаеиодП берэПв. Досл1дш-в1 задач1 м1кфазов! розр!зк в двашарови» товстосПнят сфврич-н!я обстоят. Одержано розв'язки новик контакта задач для кул1 1 сферичного тару.

Обгрунтовавють основних наукових результат 1в. Обгрунтова-П!сть ооповнта теоратичних результат!в забестчуоться строг 1стю постановки задач 1 ь.атаматичних метод*в, що застосукггься дая tx рпзп'яяямя, uva в окрэмтог спвц1альяих виттадоах з n t до№ж>л результатами. ДостоШрнЮть одэряашгг у робот! роав'»тзк!в коЕкротяю; задач ! яроблтя на Ti ШдстаШ лдашпвки шдтвэрдяуються по годок»-nlono розра*ункових результата при р 1 зпих значениях тжжрвтиза-цП, пор!вяянпям, де ц« можливо, з дяпими наукових публ!кац]я, що нам вIдои!.

Практична Ц1ян1сть роботе полягап в одервюин i единого методу розв'язапня мIиашге задач таорп лружност! дая ти, обмзжэних сферичними поиерхнямг вт дозволяв досл|дити як задач! про котрнт-рац!» напрушнь поблизу дефект!в типу тр!цш I тонких коротких включень в одь^Лдних I кусково-однор1двих т!лах, так I контактя! задан дяд кул! i сферичного иару з нзобов'язково гладкими поверх-ряш. У каношчних I близыдах до них випадках роаробланий метод дозволяв одоряяги розв'язки задач у яамкнвШй форм!.

Запропонован! п/даоди 1 алгоритм« Гх реал1за:(! Г ¡та КОМ иожуть 1Ути використавими в ВД1 I KB тр* проекту ваян 1 1 роаратунках ело

з

bîenrlB копсггрукци ново! техгпки, при анализ! мщяост! зварпик I клайових з'пднавь дотаяли машин 1 л)талыш апаратт. Рпзробдяяа в дисергацП безигашяимпа модель м!х:фазпрпт прп<порпво-зП-нутп1 тр1щкпи моя» застосовувятися при вмзпаченн! мниюст) композит яних матер 1 ад 1в я диоперснши чаопшками, г.р к наповтшвачем. Одержав! в замкненШ форм i розв'язки иових складних задач дрзволяють прояня-л!эувати ..аргину напруншо-дафориованого стапу ппблизу дефекту для сгирокого д|апазону зи!ни гепматричвих I махапКниг параметра "I машть давпу теоретичну ц!нв1сть. Залронпноняя I шдходи використо-вуигьсл при читаю. I спацкуря»» иа факультет! приклада о I математики ДЦУ, при виконага1 курсових l дагыомних рсб!т студентами ДДУ.

АпробаЩя робота. Окрам! результата, що мЮТягьпя в робот!, обговорювалиоь нз ц Рееду<1л1:«гап:л:1й кскфзрепц! I малодиз вчених з проблем кехан|ки тпордого т1ла i пзгалыюТ шхаянш см. КиГв, 1379 р.), на i-iv Rœcoœmu конфоронцШ "МШан! аадач! кахан1ки дэ-форЛвного тй;г см. Ростав-на-ЛРпу,. 1977 р.; м. ДяШродатровськ, 1981 р.; м. Харн1в, 1985 р.; к. Одоса, 1539 на ГоощблШан-яьк!й конференцН "Ефвктивп! «глсальп! штоди розг/ язаппя краяовкх ааднч кешнПки твердого дефгрьПвного т!ла" см. XapitlB, 1939 р.), па Есооошв iß парад! з прсйгэы кгаггахтног взаемодП ) трибологИ См.Днтрогезтрово.ьк, 198ЭЭ, на I Всоссшшя копферонци "МаханЖа руввуванвя иатер1ал!г>" <ы.Льв!в, 19S7 ро, на ceutнар) "Пдров'яз-копрушИсть" 1псггитуту пройдем махая!ки All СРСР, кер1вник ирофзсор D.M. Александров см. Москва, 1382 р.), на сомIпар! Ишенерного факультету Кембр!даського ун1ворстпоту, кар1впики професори и. f. ashby ! кг. l. johnson свелигеобритан 1 я, м.КвМбр1да, 1986 р.5, иа сам Шар) в Икол) математики Баоького ун'верситету, кер!вник г^сфо-сор л. к. wiius с Великобритания, м. ваш, 1987 р.5, на науковому сам ¡варI ун 1верг,итету м. Глазго, кершник професор i. Sneddon сйа-ликобригав1я, и. Глазго, 1987 р.Э. на науковому гам in api механ1ко-математичкого Факультету Китпького дзржув1варсигету, квртотк професор A.ffi. Улпко сн.КиТв, 1989 ро, на мюьчону сем!нар! •• Математичн! иролдааи мэхан1ки ••, кер1виик академпс. АН УкрэТни В. Т.моссаковськия СМ. Лп№ропотровськ, 1975, 1978, 1981, 1Ü8Ü-1092 p.p.).

У повноиу обсяз 1 дисбргац1вва робота обговоршалась на сем1-нарах: Дя1прадатровсьшго дервун1верситету "Математичн! щхШзми* кэханиси" скер1вник акад. АН УгфаТня B.I. Моссаковсыош), Китв-

е

оькогп университету "Сучасп! р.роблоил махаШки" свэр1вник членкор. ah yiq.я1ни a.''-. улпко). 1нотитуту приклада« пробле" мехаш-ки 1 математики АН Украти скр.ртнкк члеп-кпр. АН Украти Г.С. К1тз, кафвдри обчислювалышI математики 1 глатематично! иМборпотики ДпИгрошпуювського дрриушварситату (кврIвтгак проф. О.М. Кисольо-ва).

ПубЛкяШ т. За темою диоортаЩТ автором опубл)ковало 30 пауком* port 1т.

Структура 1 обсяг длсвртаци. Дисертатя сюадаг.ться в всту-пу, семи глав, вионовк1в, додаткШ I списку л!тератури. Загальпш обо яг рпботи становить 410 стор!шж маяшопкспого тексту (осяовний ВМ1СТ-355, ДОДал;и-1Ш I тиючяе 51 Шхяряц1о та 22 таблицI. Б1J-лютраф1л дишргяцП м! стать 292 паямйяуваття.

ОПНОВНИЙ В Ш I С Т РОБОТ И

У вступ! обгрунтовуеться актуялыМеть темп дасертац1Г, да-сться коротка дов1дка a IcroplT розвитку каханИш руяиупапня.

В1д5шачаоться ваяишй1сть задач про плоек I кршал!п1!Ш1 1 про-сторово-з1пгут! трПцини як для розвитку загагают натеяятичко! теорп чр|пуш, так I при пикораотвнп! одаркатш. рэзультат!в при розп'язаня! ковкретних практично ваашвих задач raxaitlim руйнувзя-пя. Наводиться откплия оглпд одйряатгс у цьоиу напрямку результата рпгЛт Бэражпицыюго Л.Т., Войко Л.Т., Головчоптса A.B., Гри-л!цького Д.В,, Гршчатса В.Т., Дадшкна A.n., Звз1па В.А., Капиш-вого A.A., К1та Г.О., Majrrmamca М.Л., Марчвпка Г.П., Моссаковсь-кого B.I., Нулгара Б.М., Панасюка В.В., Попова Г.П.; ПрохоровоТ П.Л., Процрпка B.C., Сод I па Г.Н., Саирукэ М.П., Ооловсовз ЮЛ., Ул1тка А.Ф., Xan М.В., Черепанова Г.П., cotter^i в., Rice л.е., еао b.s. r. t ряду i ттл их aBTOpllU

В1дзпачасться сутгево ускладпепья в розв-язанп! згадуваного «ласу задач при урахуванн! частою Т коптякгяо! взаекодн яерогШ трПцини I даRTbc.n огляд poölT трил!цысого Д.В., Кяптора Б ?,., Кун-драта H.H., Лупишпа P.M., Опапасовича В.К., Саврука И.П., Отроль-niHOHot е.А., енлщтквеышго л.А., в яки* одержан! результата для плоских 'ipiutim,

йисвпмйн! тггакня, 'до пов'язап! з розраиунками скл^рних т!.я при наявност! в них н1кфазовиЕ тр!пзш. Зазначаятьоя кояшисть

нккористатшп при цьому даох моделей: традашяш! клясично], що приводить до нялвнпст! у ляпррнань в к1нчику трпцили осцилшчот псобливост! СВ.I. Моссаковський, М.Т. Рибка, Г.Б. Черепанов та Inm.j, а тякож так звано 1 -безосциляцтног' модал 1 з лроковзан-иям иоблизу BßpiDraim CM.ComiUnou. j.Dundurs, В.В.Захаров, В.В.Лоби-дя, JLB.HlKiTlH, i.В.Шмонов та )ншо. Наведало отиолий ог.щд ро-б!т Борга гякцъкого Л.Т., ТрилЩького Д.В., Луцииина P.M., Марггинен-кя H.A., Панасша В.В., Прусова I.A., Черепанова Г.П., Peri man

A.B.. PIva A., Sit) G.C. , Viola E. . |ДО ПрИСБЛЧвН! ДОСЛ1ДИ0ЯНЮ MlM-

фазових трИцин у . Uax з включениями з позшЦй класично! моделК

Оггасуетьсл стан проблеми, зв'язано! з досл!дшнням контакттга задач для т)л, обмекених сферичними швархвями.

Визнячйно ц1л! робота. огисло викладено зм!ст дисергацП за плавами ! сформулышаяо основн! результата, п;о вшосяться на за-хист.

Перщу главу дисарта'ц! I прлсвячеио розв'язання деяких тип1в рядових р1внянь за пол Iкомами Ляншдра Pnccostt» j тх пох 1даши, що зястооуигься в мИданих задачах тоорН прукпост I j математачно!

ф|ЗИКИ,

В j i.j па приклад! осьосимвтричнот задач! готенц)ялу для простору з) сферичпин розр!зом l cr».ru, fl е ta, хзз, на берегах якого задаються грапичн! умови тротього роду i

+ оФ* = г*СФ, О е (a, и; \ * о,

ÖR

показало ословв! момента, що мають м!сда I при дрслщканн! б!лып складних векторяих граничних задач математичнот ф1зики. Вони так!: О шляхом склэтавня розв'язк!в дая внутр1пгаьо1 <к s ro} ! зовн!-пшьо! CR а ru5 лбластоя 1 задрволзння граничних умов приходимо до рядпвих р!вняиь (систем р!вшшы;

2> стц!альним способом Ц1 ршняння зводяться да Фредгольмових або

сингулярних Иггегральних р!внянь (систем р|випньз:

3) проводиться мдсумовування ряд1в у виразах для ядер »нтегражь-

них р!вняяь або, коли т даможливо, пол!шусться tx зб!*н!снгь у

достатвт для подалшого чис&шюго розв'язання Mlpl;

4> у канон 1чних 1 близьких до них випадках розв'язок !нтегральша

р!внянь сцрруеться в заккнен!й форм!, а в б1лыа складних випадках

заотпсуигься чисельн! метода розв'язання.

g

Розв'яаок грапичяоТ задач 1 потеши аду одержано в замкнет а форм! с 1 П1пкми методами да 'задачу було доел 1 дано в роботах H.H.Лебедева, Т.Н.Положив, А.А.Кашивого | П.В.ПоПна, Л.Т.Бояко).

в подалыш! параграфах mei глави розглядаютьсп дате! гам рядових р1пнннь, що зусярШакггься п задачах про сферичн! розр!аи 1 кпротк! включения в однор|дяих т|лах та в контакта задачах для гладко! кул1.

В § 1,г показапо, що рядов1 ршпяннп

CD

V п Л р ctosflD = г СО), fl <s са,%/гг;

Л 1 П П П i

neu,г ,. . .

У СЬ+ М^А^СсозОЭгГ^СА), О е СО,а),

п=(1,2„ . .

дэ рп=п+1/г, Мп ~ пс«"*), зводптьел до 1птегральнога ршпятшя С|пдго.хьма другого роду в1даосно допоникнот фуякцП.

i 1.3 присвячепо досд!дяшнп потрКтих рядових ртнянь таг>у:

™ Г гею А го,со,

) А Р СсоаФ = {

I О О e СТ.«. спэ

(О

V А ff'О + м ур Ccos-to = FC© •О в Сй.Т),

Л п' П П И «

казапо, що <г> моаша звоет до снегами дпох (нтггрлльнкг pl. няль Фредпштма.

В паступному параграф! тра метод потирало на систему (23 зп пси!помами р^сс.о&ф лтва паргвпг стетаШв.

В f 1.S запрошповяяо тишг, б!.газ зручпиз для чигешло! реатацн, спос1б розв'язання потриишх рядових р!внгаь. Щоб скористатися ним., треба горэяти в!д С2> до такот системи:

го

V А рссоыф «о А о <а,р;

n-'u

к, „ „ Г f.Cfl) о « 10,СО,

. > С» + И Эр а Р Ccos<Ü а 1 ' f5i

iL сазано, «¡о розв'язов СЖПВМИ СЗЗ »ВОДИТЬСЯ ДО ДНОТ Нппг-ральтге р!внянь *>рвдгольма, ядра яких мяюгь досить простая вигляг

о

При няявпост! в рЮТЯБПЯХ сз) сшлрп в1дппсно fmc/h кклысють plBHfiiib гшопиуеться до двоя.

В | 1.Б дай метод пошмрено па системи потр)йних рядових plBHírab за Pnccos«> i ix тх1днг.ми:

^AnPnccosft> = о, 2 Bn dp-> = о fl ® (а,р; w

V T i л Л f rflW? ^го.я)

) Ca. + M JA + <a + H*)B jñ P CcosФ = \ ,

У Ra +M°)A + Од + M*)B Ъ ^ J 'J«) <WO(® /.l a n n * n n |1 n r- « -í

nt,L J dt)

Систему С4Э введено no чотирьох штвгралыш р1внянь Фрод-гольмя другого роду, розв'язок яко! повивав задовольняти двом до-датковим ушяам. Наявн1'сть ошетрП п ртняннях вдп)ч! змениус киьЮсть 1птеградьвнх pi впяль.

Одержан! в перга 1 я глав 1 результата викориатовуються в наступите II-IV i vil главах при розв*язанп! задач про розр1зи ! включения в одпир1дних 'Плах, а такоя; у ковтакгних задачах при умов1 в1дсутност1 скл 1*ертя в о&ластI контакту.

Другу главу дисергац) I присвячоно досл)джзнгаз задач про сферичн) розр1зи 1 тоик1 жорстк 1 включения в одяор1дному пружному

IIpüC.TOpi

В § 2.1 иаводлться hrotíi |дп¡ в1дпмпггг1 щпдо пагадытих роа-в*яэд1п задач про р1вновату пружнпт кул! 1 простору я кульг.впю порожнинпю.

R Í ¿.2 одержано в замкнаному вигляд) розв'язок друго! основ-ппт задач 1 тепрп пружвосп для простору з1 сферичним рояр1яом l cr=ro, fl е to,an. На rbnl ншго в наступвому пя^граф} досл1даено задачу про топке горстке сфермчне включения l в неоПмеженому пруж-яому т1л1 при дИ на неск1ячеинп<т р1вном1рвптт> псьосиметричпого навантаиення. Р1зр|аншгъпя два модагив 1 винами: положепвя вкда-чепня ф1ксоване 1 не зм иметься; включения моя» ямпцатися вздовж ос.1 cvweTpl 1 ва ааздалег 1дь нев1дому пели:йну ñ. Проанал1зованп асимттптичну повед1нку напружень тПлияу края включения. Показано, що компонента тензора няпружевь в!днооно локально] полярно! систе-- ии координат Ср/ф в початком у к1нчику включения мактгъ вигляд:

до

O^/Zp^Cl-aiiXS/icos-ü- г 1 + ^(l-KVXSAlsln -Э. +

♦ CD

Asln-Ч- + lX4C7/n--iDsln3^- } ♦ к^-ггоа^соз -JJ-* d j

Ковф1ц1«гга I нтэнсивност I капрршь CK! ГО ^ С =1,2) пиражаоться через розв'язок системи 1птщралъних р1впявь за формулою:

„ _ / a R_ * ß / ЮТ"

q^cco

q/ca>

Нгачв па рисунках зобрахгнп граф irai бзэрозм1ртя К Iii = при одяоосьовому роэтяз! па нвсюнчеппост!

te,

V

\

h Ч

N

о.с -0.S

\ X

\

>"1Ï ' * ' t к, > » J '

= а

РИС.1

Рис. г

а1" = Рисд п*»дав1дав ф1ксовааои« шмаченвп, а рис.г - nail ксовгпому.

D § г. 4- розглянуто дарау осясвиу задачу теор! I пружяост! для ростору, оояабленого офаричним розр(зон u CR«Ra. -а в га.тоэ. Шд-о.Лдко до розроблавого у погорали! я глав 1 методу г Г ввадоно до кстеки двох иггегралыш р!впяль Фредгалгла другого роду. Одарк. -

О ЮТПП? рОЗЙ'язоз ц!сТ сжпвми. В роботI Ы.А. Мярпшй-ия I .Ф.Ултса цп задачу зведено до слоте ми 1 птогро -дифоропц I алышх

ü

1>1вш1ь, яка також мак точит розв'язок. У наступному параграф! ризглянуто отладки навантаження бареПв розр!зу р1вяом1рним нор-маньним тиском, а такой двухосьовия розтяг тиа прикладаним на наск1нчешюст1 навянтаженням. Наведено граф!ки напружень на сфе-ричв!й тювертн) поза розр)зом, а також граф»хи безрозм)рних КГЛ. В1дзначоно, що при одноосьовому розтяз) на неск!нченност! при а* = 105,18° КГН огйртаетьоя в нуль с кояфЩ1ент Пуассона обирався v»o,3>. Ца ов1дчить про те, що для кут№ а < а* шобх1дно вразпву-вати контакту вэавмод1ю берег)в.

ДосиПдшяня ззакмовгштау двох сфаричних розр1з!в l(cr-ru, о в 10,733 i l^cr^. о« га.тиэ в ввобмошяому пружному Т1л) при дИ на носк1нченпост) двгоосьового наваятажвння = рж, о^ = pt проведано в I 2.6. Розв'язок задач! звадано до рядових р!внянь типу С4Э в1дпоспо коеф!ц!внт!в у розкладах в ряди на давархн! r»ro р1з-ниць нормального 1 танганп1ального дарвм!щань. КШ к"'7 о =1,2) у поряшах розр1з1и виражйкггься через розв'язки систаки чотирьох 1ято}ралытих р)вняяь 0]тедгальма. В двох таблицях наведан 1 значения бвзром1рпих КШярв одпоосъовому «Г = р, о^ = 0)1 всесторояпьому (о® = сР = р) розтягиепяях.

Б § 2.7 одержано розв'язок задач) дал простору з розр1зом l. по попориI кульового поясу R-RQ. -О « IT,ai. Такия розр!з названо К1льц9вим сфаричним аналогию з К1льдавкм розр1зом у пловдга!. Задачу зведено до систеш трьохрядових р1внянь шдносно коефтжн-т)в у ртзкладах на граничит поверяв! нормального I дотичного на-прудань. lijo сисшеку, в свою черту, зводано до штетралыш р!внянь Срэдгольма в 1ДНОСБО 4-х доном}жт Фунищй. частоту ядер них р)в-нянь шдсумовано, а в решт! ядер пол1пшено достатньоп н!рою эбт-Шсть тры'аноматричних ряд!в. Для чисального розв'язання систеки вищиотано кетод механиних квадратур. КШ на кшцях трИрни ви-ражон! через даюм!нт1 функци за формулами:

[ЗЬ/фВД- Ш'Яь

Впаченвя пох!дних Д0ШМ1ЖНИХ фушпх!й йизначалися з продафе-ренц1йовати в!дпов)даих 1птегралъних р!вяпнь; У дисерггацп наведен! значения безрозм1рних КШ для широкого д)апаз"ну зм!ни параметр! в а ! 7 при д! г одаоосьового 1 всестороннього розтягуючих

-Ф/дап

q>;«P

(6)

пяпрумепь. 3 mix дапих видно, uto длл а & 90° мпгануеться nopln-пють к J > к'', тобто, ли |' в киьдзвому розр! з 1» точка tf = f с биьм ндбазгочноп, п!w О = а. При одпоосъовому розтяз! на явскш-ченпонтч вданачопо змту знака у к" з + на - при эростапя! а, що сшдчнгь про необх!дп1сть урахувашш для а > а* коптагстпот взасмо-д| I барпПв.

В останяьому параграф1 itici гляви одарнчпо точтп розп'язки задач про кручапня простору, ослабланого сфвричпим розр!зон söo зм1цпаного топким коротким включениям. Рапш до порто! а них задач зтрталися Я.С.Уфлпнд I Б. с. !,'ая писвськал.

Основною нотою тратшТ глави с розройлэтш на приклад1 о[>з-рично'го розр|зу катод!в роза'язання задач для прпсторово-з! тугих тр!щт, береги яквх вступах/гь у гладкип контакт частково або по neu поверим.

В £ 3.1 розглгс.уто задачу про одпоссьшии розтяг простору, оолаблоното сферичшвд розр!зон l cr^r^, о <s 17,1», Причому, на в1дм!ну в1д и 2.4-,2.5, параметр 7 вважазтьяя тагам, щр берега розр!зу вступаить у гладога контакт па частик! свог.т даверхп1 в 17,аз. кут а мяо бути визначетм прл розв'язашМ задач!. iis) задачу аиодапо до сисггеш тръох ттотра.шглх ршпппь Фредгтшма з пев!домо!э Бэрхньою кйжо0 Нггогрувагшя а, Компоненте папруиеьь na гюверпм r = ro поза розр)зон вирзквпо через розв'язок Штогральниг р!внянь. Нзв1домт кут а визиачаеться з умоии обменшоят! в облает! О « г 7,01 псрг.?аш?ого напрушвпя оя. Цэ приводить до piBHOCTl:

Провадапо асимптотичния т;а.л!з папрутапь гюблкзу кигош триципи. Показано, щр в локашмп полярнin систем! координат ср,тр компонент напрушяь обчисяшгься за формулами:

фг(00 = о

(7)

К.

к

о —г—

р ,щ>

к к'

(в)

да

** " 25 /тпгт %cv- СЭ)

У пастуляому параграф! показано, що гакна одеришти розв'язок

снегами ттеграяышх р!вняяь в елементаряих фупкц1га. Для дього

Шдсуыовуняься ряда, щр входять до ядер Нгтгралышх р)ввянь. За

допшптао апярату узагалънених функц1й побудовяно Ференц 1ялыш

опарягор, що дозволяв дареатм в)д Ипвгрллышх р!внявь до «ютами

д!п!йпих диференц!ялытх р!вняяь в! стаяими коеф1цIвитями. П|сля

И ровд°язднвя одержано такий вираз для Функц! I <|>а(1-У.

ф (U)= 1 a+i ScitM> l. +lSccs3XEt+) ScosS^L+ "

•sv * í ¡e в л а

+lscosVt-clisL+l!,&inVl.slisL, s."/ 3X4.-V'Z.

Ifen!Дпм¡ i* O' 1.7) l 1ШН! К0р.ф1ц|е1гги, що входять у вирази для функц!я ^сь} о =1,23, виэначаюггься я системи алгебра тчвга р!вняаь, яку одеркано п1сля постановки »ps вираз!в в (нтегралья! р!впяння. Кут а в!даукусться на методом половинного под)лу.

Проведен! розрахушда сн1дчать про те, г,;о в так'й постанови! задачу ксш.а ¡юзв* язувати для лг°5^<хоэлва. При т<42° в облает! кпБтяктпо! взаемлдн берегIа виникая зона розтягушот пяпружепяя w яякожши. Цэ • ознакоп того, що поблизу к!нчика трпдаш П береги кнов в!дшремлвоться один в!д одного. В дисвртацИ наведано граф1к, що дозволяв визпачкгя в!«юв!дния до j кут а. В!дзш1чабть-cfi, що кут а е>м t тлеться яевначна 1 ^находиться в Ипврвая! ceT,Tn;vos,ie03. Наведено грзф!к безрош!ряого КШ

Б i э.з розглпяутп задачу про сткекуваяня простору, ос lra-тю го pn»p!soM и ti es г , прккяадеккм на H0CK!НЧ8НЛостI

р!внон!рнин паваитажеиням Вважаеться, що береги вотупакть

у г.ллдагя контакт по частил! cmet поверяв! о « i а,un .

С7<с©. В1дпов!дно до розро&лэнога в глав{ i методу вядзчу ¿ведено до сдотемк трьох !ятагралътга р!вяянь г'родгольма з нев! домою ' ниж-ньоп шкеп кгтегрувашя. Шв1доми« кут л визначзвться я укови об-машпосП напруюнь oR в облает! контакту баропв, ro приводить до р|вност! СО. Одэркэти точима розв'язок енотами !нтагральнихь р!в-пявь номояаиво, i дая I! резв' язалия викоркстовусться метод маха-н1чвих квадратур, Кут га визначасться за методом половинного под!-лу. К1Н у к1кчщу тр!сдали сбчкслстться за даржет формулою з се). У результат I провядеяих розрахунк!в виявлэно, ад при одноосьовоиу.

стискувапШ така постановка задан корэктна для кутт ез 575112.0. В!дпов1дтт кут а змшювться позначно - в!д ио.8° до иг о°. При рия.в" видаваеться ппввэ закрштя тр|вдни, а при 7<аз° шшшс то одна область контакту бпрепв поблизу варпгаки тр!иипн. В дасор-тяцП паводяться граф!ки боз!»ози|рних 1Ш.

В оотаттыму параграф! т[йтьп I г.лави розглянуто окрешга пигга-д;г)тс ц!еТ задач I, ко.то в 1,Пуьлг>тьсп повпа закриттп тр!щшта су> на,в"), при цмму замють сивтени нанмо одее Пггегральне р!вппн-нп, яка, як показано, нас точниа роав'язок

Ф С-)=т +и ссаС+ш исгаЬ/Э+т cosЗ/rZL,

»В 1 * Э 4

Коефщютг 1птепеивност1 дотичного папруидания обчиститься за формулой (05, В дишртацИ наведено графИсн папружань па грапичп1й поверхш, а таков г4<аф1к бззрлзм(рпого КШ Шдавачаетьсп К5!г значень обчиолевга при 7=112,8° за формулою (З) I за методом погвредпього параграфа, що св|даить про короктиЮТь одержвзих результат! в.

Яадяч! про контактну взавмпдИо м прувним простором з сферичной ггорюжтптпмп | рпзтяашянпп в горошин! пруншоо глазев ку-» о предметом доел!дезпь у четверг1п глав!. Т1ла, що контактуать, иаоть р!зн! прукда! стал!, а радIус кул! кц во трзвищус рзд{уса порокгтни в4.

В 5 4.1 розглотуто внпадок, коли 1суля вткскусться в гороапину зоолрздквпою силои р „яку прикладено до грнтру кул!. Пзрв!скна ра,Щаяыгеа зазор н!н т1лоди £=к -кп вважасться ввличинотз мало», гцо май порядок прута пером!синь I прт-шудаппя Герця про клл-гязу облает! контакту нэ викопусться. Задачу введено -до Итзгралшого р1вягатп Ф1вдах«ша другого роду» ядро того мая олабку лагариф-м!чну особлив!стъ. Розв'язок р!вняння повинен задовольняти додзт-клвт умов! типу С7>, яка служить дяя визнячввтш розм!ру облает! контакту т!л скут со.

В пастушек параграф! рояглянуго одрекка випздок ц!ет зада-ч1, коли пружп! .;тлл! т!л зб(таиться. Показяпо, що у такому раз! 1нп«гральпе р!вняння мае точния розв'язо-:

Ч*«"!.* 7, - V-™. -з-- -¿г-С-1-1.

* л^^р . ^ • СЮ)

Б тайпщ) наввлйн1 значения коефпцкнпп 7.(1=1,33 в вялажно-ст 1 в|д паряытра ь=р/(№оЕ).Поаудоваио також граф! к для визпачан-ая '[юр.нIру глдастI контактно! взяг.модп т1л у залиЯшост! в|д с. Наведан! графИш ¡юппод1л1п контактних напружен*-., обчислених за дяним методом I за твор!с.п Горда. Я них видно, що розбпиисть н!ж кпптактпими нанруконняга зростас при аб1лыюнн! розм|ру обдаст 1 КПНТЯКТу. Так, при а=ю" сс-о.ооаэ розйПШсть с.тяновить 1,е>., при а=го,з" с озеп - е.зх, при а=з1,ли -1 лу., а при

а=зо" си^о.тгэ - га. пх.

В $$ <1.з, «1.4 задачу щю контакту взаемпд!» м!ж кулет I ото-чутим Т! Стмеятм -1лои розтдянуто для випадку, коли наваптаиюн-ия ирикладено на яеск!ттчегоюст). В $ 4.з досл1дшло випадок, коли контакт н!ж т|лами вДОуваеться в двох областях А ® го, ш 1 -о « • , що розташван I симетричнп до площини -й=х/2. Такий випадок

моашгеия, иаприклад, при дП на неслинчонносП пававЪчення с£=-р, (Г = о Ср>о). 3 уратуваниям сммвпр! i задачу зводено до рядових р!внянь типу О), остаточниа II розв'язок, в!дпов!дяо до мэтоду з 5 1.2, зтодено до )нте ршьяого р1вппняя Фредголъма другого роду з гяв 1 дон еда мрзвьою мекею Игготруванпя. Дцро !нтегралъного р1вняння мав логарифм!чпу особливкпъ. Ддя визначення нев1домого 1сута а пообх1дпо птшристатися додатковоп уновою типу СО.

В задач», що розглявуто в § 4.4, контакт м!ж т)лами п)дбува-еться по повй|ш? 1 кулъового поясу о в ю.г-оз. 'V) нош ста^ися, папртлад, при пдпоосъовому розтлз) па васкЮТетгаост!, Задачу зва-" деио до р1вняпь типу сз) при паявност! симатрП в!дносно ■а = и/а . ШВ1ДОШМИ сдуяать коефщшти в розклад! в рдц зп Ргпссс»{& р)з-гощ! нормальних герам!щэнь точок грайичних полерхонь т!л. Як Г рап1шэ, да задачу зтедоо до !нтэгральлого р)вняння Фредгойьма другого роду, розв'язок якого повиион иг-довольнлти додзтков1и умо— ш.

У п'ятш глав! дослцщбться коншнчрац1я напружень в кус.кп-по-однор I дпих т!лах, ослабтених ьМжфазозими тр!щияами або змЩгю-ти тонкими шрсткими сферичними включениями.

В 5 5.1 в рамках класичвого Шдходу одержано розв'язок задач! про м)жфааоаий розр!з и О « 1а,шэ в кусково-однор 1дному

1С

Т1.Л1, що склядавться з гсулI к < ггц спружп! стал! а^ау | оточутчогп п Tl.ua к г :ц (пружп! стал! о,,^). Вороги розр!зу Шльп! П)л ;1Л11ру)ШПЪ, п на ЦЛГК1ПМПНПО~Г1 дють р!пппм!рп 1 осьпво I 11ад!аяьпо ннкрудапия. Пшдастьсл, що поза розр!зок па грпгтиПЯ попорхп! к=яо викппуються умогот (доалышго контакту. рягМгзп до задач! про м1»флзовия сфоричшт розрIя у нласичгМй постановиI зторталиоя М.Л.Мярлтпшсо | Л.б.Ул1тао. п дисарпщМп !Я робот! задачу пподрпо до систпми сипгу.яярпих. 11л«грлльлта ртляпь (П1Т0 Шдпоспо помдоммх па грапичпШ понпрхп 1 поза розр1сэди нормального оСЬ 1 дотичпого 1(0) папрушнь:

ТСТО"! .. Г К1 /О.АЭ К СО.*) Э1 Г (ТСА Э"| г Г^сф"

(ягф * .I к1!с<) <,,:> «V Г»С105

СЮ

Ядра ^ц«!.^) а =1,2) мають псоб.ливпст1 Кош! ! логарифм!чло-го типу, п рогата я них - лишо логарифм I'¡лого типу:

» г к1па ескэ ссца в1п-0кск> -

, , л +-—ТТЯГ-V- С12)

ь к!п——1 х1пт) ——> J

а

да НОО, *с»о - повШ алИтгичп! !лте грата, к*= ^*-

чорая 1ЮЗПЛЧ0П0 {Ж)гулярпу ФУШЩ1Н.

Дсимпгптичянл яяал!з напружонь поблипу к!пчи:<а тр!вити ппкаяус, що вони нають осцилшчу особлив!оть

(кт+1 'КФл--—— --« . р'-щХп сз-4у,,3г';%1 - о--

/а~0 ■ , * '

Як шдзпячсно Г.П.Черепанпвим, комшшсшсть показника стего-ня особли.,эст1 у напружен* "слябка" 1 рогв'язок системи (и) нав Ф!зичпиа смисл поза дужа малим околом к!нчика тр!га.ши, якир вико-пусться дарШШсть

в"1'!?! «1. ' (13)

Простая анал1з виразу для С з (13) показу с, що ця иор!вн1сть викопусться. Тому при чисэльпому розв'язанп! систени С12) ьев!дом!

нгтдотаппя розаукувалмсь у иигляди

а* с уь а*с fD

ocfb + пхюэ »

/а2-«*

ВкСНр фувкц!й а СО) I 1 С03 У Вйгляд1 в1др)эк)в ряд1в ва пол! номами Чэбишова тпс<)/сО доаволпг. взяти точно осойщтИ 1нтеграли в СЮ. Для шзпачення дав!домих коаф|Щснт!в у шразах для о*cfl) I а*<ф йуло вжсористано метод колокац1п. В дасортацП наведано графIml KIH у випадках одпоосшвого 1 всестор-онпьаго розтягнень на иаскШчвкяоот!. Ящо в систем! СШ вам!виги нижяю межу !нтегру-ваннп на 7, то одержимо систему GIP дял двох розр!а1в (О е со, 71 1 о 6 сп, юз на поверхп! R=R„.

В настушоау параграф! цзй метод застосовань до задач! про ТОШЮ ¡КьрСТКЭ СфврИЧПЭ ВКЯИЧОННЯ с. CR=RQ, О е Ca, 7Д) в кускпво-одаор!дному т!лi. Шд д|е» прикл эдакого иа пасктчангаст! наваята-шеиня включитя мае шшливкггь &м!туватися вздовм ос! симатри. Задачу зводено до сиотеми CIP типу си> в!дгосно стриЗк I в налру-вань acöj=ö*- a~ , tcfl)=t*0- г~э ва включении Показано, що на к1пцях гаслючьяня функцИ a(0) I тсО) маять осцишч! оообливост!

-осф + tt с<ь---1-. (W

. Якщо назначите через k^-f1 с* =1,23 коофЩ1шти штансивностеа cnpKrtKlB нагфужень

k" + ika = а» /ате с<1-со г осф + i<k<öi.

fcP + = lim /гж СЙ-'tt» t осф + ilCtoJ. 1 * fr+f-a 0

.я через fcfa, kfp 0=1,23 - KIH при наЯлия. лп1 до шнчшив включения вздовж впутрПшьоТ I зовн!швоо1 його повархонь (знак + в|дпов1-даз внутр!шн1й поверитI). то справедлив! формули: kl«ed't>£?' kfp Ci=l ,кэ; с1+=ао-дваг/а|,

aeuci-vt3 + g^ci-v^ xji-zv^-дш/1

«а--.---. .а»- ,

* CBo+0i Ci+®i35 * 2 Cie/SP C1+2E оЭ

о П+iT4fg+S'i3 3 g С,Т! ГЕ.-1Э

лс »3-4V

а ЙСЖПР Cl+tfgi • "п Г>С->-д> С1 оЗ • "<м о.»'

О 1 Г1 1

Якщп гюапачити k.i(5, ci =1,2) KTTí при натужили по г рал in-nia попорхл) до fclH'imtln пкшчвнп, залиияючись поза ши, то для mor nlpnl таи! форму .та:

„ р СД - к яр a?tg_

kia" dki ' Чр* dki CJ"1-3:)' d" с i ф i жас i +ÍSJ •n.iíí'jC i +reo"> i '

Ляя тдичита X а C14) вгаюнуеться mpinnlcTb oxpC-i/lX,f}<<i, I 1три читальному тга»'ягмпл! пядяч! мота вшсоркетл'п? котод з m-гародпього параграфу. В дисоргяцп наведено тряфЖя няпрудать яа вклмчепн! у випадках одшюсьопагп I всоеторопнього роатягаопь па иоок1нчояност1. В таблицах шстятьоя зняченяя Йзрозм1р5пга К1Н Чц» fl=J ,я? Л*" Plsma вяачяяь a.p.g.

В задача про м!яфазпви" сферичния розр!з и cr«so. -о « ta,юз доолииувтьоя при зчстпоупялиI бозосцшгяцИто? модем. В1д-нов|;ан) до ЦЬОГО П1ДХОДУ пвяжявтьоя, що борот тр!щкяи йстуиявгь у гладкий контакт па мал!и поршто п ртем ¡ро.ч '.р!пцти облает!

il я ta.pi. Няпружоппя и* в пм vas бути иадодятпим, а дяя "О в г ¡Óповинна пишпуватией уи.'ля и^Г s о. }¡а в\т!гту ягд пи-пядаin контяктпот взаг.моди doporln, розгляяутих у пляв! ш , на ПОП раз чясткове заириттл трИдигти э¿"мовшно пспб.лкв (ста дефорну-B.1T1TIл т1ла поблызу к|нчида Мяфазовот трИщпт. В дисортяцП ппкя-запо, по в тятеIя постанови! задача вводиться да сиглши 017 п |д-ноо,пп поШдпнот'о па поворот! поза розр)зом дотичил-о павру-ВйЬлЯ tefl) ! ПЯМДОЯОТ в !!тторвал! -О * гр.ЯЗ ФУГОЩ1Г 4fl) =.

R -r?TCu_~ U Э: о Jií Я »I

f vea 3 К, Cfl^Dd^t Г TC-a > К. Cfl.-O Dil-o "-F C«ï> С1«1,гэ. С15)

J i i* 1 í » ' * '1 i 11

P o

Перлу» s них р|вяячь виковустьсп для fl « to, со, а друге - для Я « Cß. HJ. Д/(ря р(внянь иаигь особливост! Кои! ! .лщ-арк^м 1 чногп типу:

а . eckd coso кскэ -

К. I----дат— + e^c^'cfl/aj

к! n —» J

И ' ^ I '.ik iWL ~ ~ J • "

1Q

+ Гх uCG,«3+y ЦСЮ.ОЭ+ Yd" P Ссоа/ОЭsin-0 . m-2Ci -1Э +J ,<1S)

[ m 1 i m * * п£»4 n n 4-1

до a .b0>*m.ym- коефИЦвпти, що залетать шд пружних характеристик ти,"о^-<штол Кронекера, и,с<), «¿-регул лрп! Функц1Т. Вэличшш при зроотапп! » прлмукггь до нуля як осп"а). Апал1з нов Iдомих фушс-ц!я ноблизу точек I -0-fi ггоказуе, що тс«) нав кореневу особля-Шсть у паршт з них, a нав таку к особливость у другШ точ-ц1. При розв'язанн1 системи (зз)ол]д розшукувати пошдои! фувкцИ у вигллд!:

- ^^ . = . с 17)

/ а2-О1 v£aK-p-flo<:fl-[t>

Папружания о^ на К1нцпх иггервалу ta,pJ танок; как корэнев!. особливост!. Незначимо чороз t fc? такГКШ

t » Jim у сц-ф тсд. - lim / £№с р-Оэ а* . (18) Покпано, щр ьР зв'язаниа з v*c<0 залажпостю

Ч ' 1-^gci-v/W vC(D ■

С1Э)

Оск1лыш контакт м!ж берегами триядни прютскаеться шивши, одэржуемо таку унову для "изначанпя нев1домого параметра р:

v*cp)=o . его)

Величину облясл I , мисрокоптакту характеризуй параметр \=ср-оо/ iecjc-cQ] . 11аяви| дяя плоских задач результата сМ.Комниноу I Дж. Дундурс, I.B.CIhohob, В.В.Лобода) св1далъ про мализпу цього параметра. Так, прид1Т па несюяченноот! перпендикулярного до трпцин»! рортягуотого паваятаження цой параметр мао порядок А.0 < 0,733 ю"* (В.В.Лоб ,що. Розв'язання оиеггеми CIP о«) сумюно. з умовою его) для таких значань К поаребус надзвичавно др|бпоГ днскретизацП 1нтерпаг1, . ттегруванпя, iao призводить до ШР невиправдано висо-ктат порядк!в. Для подолання пього недол!ку бу.^о внкористайо iuj-

-чО

отстать (В.В.Лободп) imaal iHBaptnimrocTl для А, а t\o. , СХ. ваотчгаш

/--(П-г-' 1 Г <То+и l -!

Проведав! чилленн! р-драхунки Щлком шдпзердвдють 150 власти-ВIсть I ДЛЯ ПрПСТОрово-31ГНуТИХ тр|щип. "э дозволяя розв'язувяти систему oiP о з) для х = \л >> \о [ на дпбипатися викогшпл уковя (20). К Ш к7о, цо в)дпов1дяк яначепля параметр.! Хц, п!драховуетг>ся an формулой

к -/wekfS*+ к1 '.

20 I «

Ня рг-упкях наведав! rpajIга г5взрозм1ррих КШ для пипадгс!в одаоосьового срис.э) | всастротаього срио.4) розтлг-пень. -

о.о

о.о

Л»

S ю_ V\

г

N

о.о

о.о

100

175

173

РИС.4

Лсиштотичяа поводшпня ннирушнь погшгау Шпчика iptnumH в локялъяШ поллрШй систем! координат ср,тр описуеться формулам:

("T-cl+Vsl"-a --^з-^т-Ц-т]]. V"W сги

Т УЩ5

VSip

-j-CH-a^Dsln + ~C3-a4Dsln ~ 1]J, a^i-a^-Cl-EiOg.

Проведано П0р!вяя1шя результат!в розрахункт, одержаних при

тторжгшш! класичяст I бязосщшШйпо! моделзя микфазово! тр|щи-1Ш. Вияашпо, nyi дяя широкого д1апазону зм!ни пружних I твометрич-

пиг пара атр1в розходаенпя м!ж величиною vi* + к* , яку п!ц-раховапо за результатами §з.а, I в!дппв1дним значениям klu не ш-ровщус

У.даах яаступних параграфах показано, цо цой мотод баз прин-ИШЮВК2 зм!н мошна застосу^ати до б1льш складаих задач для м!кфа~ зових тр1иип. У §3.4. доел 1даапо-задачу про к1лы{эву сферичну м 1>н-фазону 'ф!ищу L CR=^0, fl « СП, 70. KUhKlCTb р!внянь у систем! СТР, до яко( введено задачу, зй!лыпуеться до тръох сзам!сть тс<!) з eis) маемо да! нов\доиI фупкц!1:т^сФ) в !нтервал! to.co ! t2C0> в !нтервал! C7,w. Нев1дома в cp,öi фушаия vcfl) повинна задовольня-ти умов!:

ö

Г vC<0 idO =0..

J , »

Р

В таблицях вавадан! К1Н для plaiuix значень корстк I спих 1 геомэтричнкх параметра. У цьому к параграф! одержано розв'язок задач! про.дв! ыикфазйВ1 офзричш тр!щя..и i.t с r=r0, -0 ® to.tm i К £ß=Ro» ю ®

В $з.о розробляно метод розв'язання задач про м!кфазов! тр1-щипи при налшоч.г! в них ешэтрп в!дносно шкэдда А=х/г. при цьому зм!вна м лйжигь'в 1нтервал1 to,ic/аз, к)лък1сть р!внянь у систа-м! CIP залежить в!д киькост! нев!домих у цьому ¡нтервал! фушщ1й. • Япра р!внянь в I др I вняються в!д ае> лише регулярними чзстинаш. Чисодъне розв'язання задач на мае принципов!« в Iданностей в1д розглянутах ввдэ Бипадк1в.

В §з.в одержано розв'язки задач про мВДазову трпцину l (R=rq, о ^ ta, да i, ^арзта яко! вступакгь у гладит макроконтакт. У витадау, коли закриття тршшни в|д5уваеться в обласп fl е ta,fu, задачу зведано да системи CIP ав),сго). Визначення кута р я умови (го) па спричиняе трудтзощв, г кильки Ju=cp-íO/t2CTi-coí величина не кала.

Якп"1 мак]кжонтакт в|дбувасться в е.-родаш частин! трпдяни О е 17,'ь, ваажастьсл що поблизу II к1кчика е область мЖрокоьтакту О « ta,ßi. В!дпов1дща система CIP мае вигляд:

Н2

7 «

Г vcfl э K.cO,fl)cjfl+ Г act) э к. »F.cflj С1ч,гз, .сгг)

Р О 7

j vco "о.

Р

Кут 7 штачястъся г». умови v*cp=o. Для ойчисдаппп коофШМп-та 1птепсивнпст1 дотичпого пагрутееппя У-г застоопвяпо метод з р.з. Розп'язок задач) про поппо затсриттл тр1исини зпедзпо до С,IP:

и

J" acflt> к cfl.fl^tH^-F сф n ro,co. (.гзу

Одергш! розв'язки узагяльншгь результата гляви-m. В ди-серглцн наподйп! ГСШ I розм)ри кпкроэон контактно Г ззаеиодИ rtoparln.

Заключит параграф гс'ятот мани присвячепо доая)ддаптш впшзу тергл м!ж контактутими йерогями м)«фазового розр)зу l па чоафИО-епт Нггеноияносп лоточного пяпрудання I ровм!р облает)" матсрскон-таоту О « ta.pi. Пз8бмод)я м)ж берегами розр!зу а)дбУБаБтьсн па закопой Кулона ■

р°а + ааО = ° * в <Я,рЗ. его

Показано, ¡?„о да задачу «отаа згзсти до сдалшй трьих О IP Шд-пссно поп!доких для О ® ro.ro ияпруяэиь о^ « я^сф, я, t^fo ! нлпрушнпя о* = n cxttatrrl О « ел»р>. Лг.имптотичя;га' анаяЮ них фулюив поблизу топок fl^a ! -0=р гллдчкгь, п\о s^fl? е фушод!.. обметена ^СФ-^'СФ. а stc<D 1 t^ мппгь столонов» осойтазост): .

i.*C<D s*Cfl3 . f ,л >0

1СФ-—'-, 9С«"--2- , чА % *

• caMftf « сунртср-л-г I JL^li . а <0/

г н раг" а

Нов!доша? параметр р визначйкться з умови s*cpi=o. Показано, тар КШ

k » lira izr.р ca-1to 37 а1», я «■ iim i sup. C'O-iPl* a* .

X л О Rtf 1 „ О II

зв'пзаа! м!й собою сптвишошеннпм

аз

Для чисаяыюго розв' язання 01? було використано метод колока-

ц1й, що базуеттся на узагальпеннI па випадок сипгулярних 1нтегра-

л 1п квадратурно! формули Гауса-Якоб! СА..А.Корнеачую, У таблиц!

яавадэн1 результата розв'язшгап задач! для випадку а=7о°, уо=о.з.

р 0 0.1 о. г О.З 0.4 0. 3

т О. Б о. 5013 0. 5031 О. в047 О. 5062 О. 507в

Г еа. 4° 89.4° 100. 0° 100.1° 100.3° 100. 8°

гГ 2 о. 1ЮЭ О. Ю25 0.0853 0.0711 0.0377 0.0441

о.оот О. 0030 0.0042 О. ООЗЗ о. оогв 0.0021

. 3 наввдэних давих видно, пю коафицгагг сухого тертя р маяка но вшивав на розм!р облает! макроконтакту Скут р>. Значчо б!лъив в!п впливае на величину К1Н. При зростанк! р-Щ коафиивнти змвшаують-ся. Протв сл!д в1дзначига, що при ямеишонн 1 величини облает! контактно! взаемод II дан вплив також зменшуеться.

В воет1а глав! одержано розв'язок ново! задач! про концзнтра-ц!и напрукень у кусково-однор!да1й двошаиов!й товстоот1нн1а сфври-чн1й оболопц! свнутр1ип!й шар мая пружт стал! оо,уо, а

30ВП1ШН1Я що ослаблена одним або двома сфери-

чвимк розр!зами. Вважаст-'Ф,, юр на тверхнях оболонки д!п осьоси-кэтричпэ наваятанйння, а береги розр!з№ в1лън! в1д напруженъ. Влкрристонуоться класична модель ьляфазово! трицини.

В $з.1 задачу зводено до систчми рядових р!внявь в!дноспо ковф(ц!снт!в рп,т:п в розклтдах в ряди ва р^созф ( шлдтьш

напрукепь с^, Наявнють чотирьох додаткових у пор1внянн1 з

грашртщ умов 1стотно усклагтюв задачу. Виниказ необх!да!сть п. апал! точному оберненн! матриц! е-го порядку I подалъших гром!зд-ия атараГчвик шрх»твй{вш1ях. Базпомрысова !х проведения коаиша литр при паотосувана! системи анал!тичяих даретворень па ЕОМ. Паш була використана система алпебрзгчних . эретворэяь йешсе ворс I г з.1, За ре-ультатами багатьох трев!рок можна гарантувати корект-н!съ наведаяшх у.дисергац!! виразт, що входять до системи рядових р)внлнь. В)дзначино, що при проведемI шретворень иркдиялася увш-а в1до«рймланню й1фаэ1в, що в|дпов1дають безмерному кускочо-одаор!дгиму т!лу, в!д тих, що ураховують вгшга грапичких повархокь оболонки. дас амогу в подальшому використати результата §з.1.

В няступному параграф! задачу звядеш до системи С!Т" типу си; в!дяоспо няпружень па граничим поверхя! поза розр1зяш. Дпра системи мають вигляд

ГцСМр = ^.сА.-лр - н*со,-вр а,

Тутфункци к.х-о.-ор визпачап! в ОЮ, а н'смр п)слл вид Клення старших додяпк!п мпгаа подяти у вигляд!:

и* С-О.АЭ^^А ( У [и.* р",о*ср*,'О.Оэ + ь* р"'о1ср*.-0.1>>1 * «1 I 1" * > * ' 'Г» I ° • J .

+ и' о'ср*.-0,0э + I.' о'Ср'.'Й.'ЭЗ + >о*

г« » '» « «< 1 го I О п

р Семг):

' Тут дзяк! коеф|ц1спти, що залежать в!д гооштричют

та жорстк!сних параметр!в зядяч). Через сЛр.'О.О,? познэчрно п)д-суновапI ряди. Тякя зобряженпя фуякцт п'.СА.'Гр дав моашИсть проводите розрахунки для злячоиь беяроям!ряи<с товщип иар!в ро~ -ь,/ко» Р.^-^/Сц+ьр ая да

В $о.з ¡тгляяуто випадок д. г па повврхнях оболонки р!внон1р-тт розтягуючих навявташнь сзядача Ля ту

С1=о,1).

Ый1-од, Що зягтгосустьсл для чисо.штото розв'язання систеш С1Р не в1лр1зпл(ггься в!д використяп&го в 53.1. На рисунках в 1 в зо-

брятен! граф1ки /£"* + £* безрозм)рпих К1Н ¡Г^/сртЩчр Ср=» р0=р,Э в яаляялост! в!д кута ~ розр!зу и сй=к„, * « гр, ю).

[кТЛ?

1.0

0.0

Vе1

N

1.0

0.0

V

ол

РИС. Э

175

90

175

Рис.в

1^раф|ки. но побудован! на рис.з, в)дпов1да1спъ д=о.з, а на рис.о -

0=2, Азофщкшти Пуассона паи: значения vo=vt=o.3. за результатами розрахуякШ кориа врпбиги так) висновкм. Бгшго параметра g па величину /Е* + к* там б!льтий, чиа оболонкя товстШа. В раз| малих тлвкил шар 1В на да к-лнчину 61 лыж вплимюгь гард ¡¿отри ро1. Величину /С" + ^ змIиметься незначяо rpi величинах куг!в Шврозхилу розр!зу б!лъпшх прийЛизко ¿о".

В сьпм!й, заключит, глав1 дасвргяци продеконотровано моши-boctI эайргтонованого методу при' розв' язапн' контакта их задач дня кул) 1 сферичного шару, коли в облает! взяекодп пружного т1ла з! шта;,\1. -м вшонуоться ушви гладкого коптакгу, терггя за законом -Нулина або зчошвпня.

В f7.i розглянуго контакту взаемодпо к Ж гладкой пружжда кулаа r £ Ro t пврухомим киьцавич сфаричгош штампом r=eo, о « 17,аь Нуля паваотшепа в центр! зосерадшною силою р, е;о притис-куе П до етавд. Задачу введено до рядовия р)внкнъ типу (з) вспоено коафЩ1ент!в ип у ровклад! л ряд за Pnccosft> нормальних парам 1п;энь точок поаархн! кул 1. В1дпов1дно до катоду розв'язання трьогрядови: р1п,!яяь (з> одарнаио систему пггегральних р!вняль Фрадгольма доугого роду в)диосио двох доном пкних функц1Я ф^*-) С1=а,г), ядра сиотемл макггь слабк! логь,<чфм!чя> оо.обливост I. Контактна папрукэнпя ветшаеться через фувкц!I <{i(to (i=i,2) у квадратурах. Чиозлыш розв'язок !птегралъних р)внянь одэрдапо за катодом мех^нннизс квадратур.

В пастушону параграф) розглялуто випадок зчеплэния м!ж иулэв ssro I Ю.шрвйи сфзричвим штампом. Задачу зведояо до система OIP типу си) в)дносео контактних напрукень осФ I t«&. Ш Функци макцъ поблизу к!нцввих точок штампу корэнвву осцяшпчу особливЮТь

осф+исф--+ .

• При чисалъпону розв'язапн! задач! дня зчепланого вп'ампу кожна вшшристати катод з §зд.

Дал! досл!дозяо випадок, коли контактушI говерхн! иорстк!, а сил; тертя дють за законом Кулона. Показано, ко в такому випадку вадача вводиться да С IP и

-p-^oiqh- f r!:o4dfkjjc-0.<)>3-pkjicfl.'0j2]d<5i-r]c<b . (es) T

го

Контактно л-чпружнпя поблтау кутпгг.11 топпк мае стоповову оооблиШсть

о с® , гп-v)

OCfft'-X-г , Лг ЯГ «rete] —-7-5—.

сд-лЛо-р*^ u pe 1-го

Чксельщш розв'язок CIP сгз) одаржапо за описапим у 53.7 методом.

В ньему и параграф I розглянуто зада ч про птленанпя в култ,

дох к .тарвих сферичних штампtв, гцо роятяяоппп! оимотричпо в1д-ппско ияоязгаи Кожеп з них гритискусться до кул! силой р.

Яюдо чорег А позначен ПОВ1ДОНО ос|даппя сп-ампШ, то грапичл! умо-пн для зчеплоного пггакпу мать вигляд

uB=-Acosfl, u0=Asl ni A а C7,(P. (23)

Додаткова умова дяя шаначет.я Д мае вигляд

7 0

Чйпаштп розв'язапня Щв! задач! по мл» лринцииових в1да!ппо-стея в!д задач! для одного штампу.

У випадку, ката зям!сть (гв) пикглупться унови сухого тортп (е4), задачу звядао до ГЛР'тицу (ез) з такою додптковоя. умово» для пизначення ос!даппя итаипу

р

JOCÓ ЭГ -osO|+pslnfliJslnOldOi— —*.

7

В даеергапИ павадзп! граф пси розпод!л1в коптактпих пепрутль при втионенп! одного I двох итягдпв для р1зних тип'т трапичних улов.

В дпелидано н ;тружепо-^рфориозянгаг стан сферичпого пару, п зовн!пм> повархню яг то втискустьоя один arto два к!лы'эв\тх сфаричних пггампи. В облает! киитакту йояуть виконуватись так1 я граничн! умови, то l в педарздпьом параграф !. Кдводапо граф Uní розпод!лу контяктниу напружень дтя оборонки, ),ка часткопо зяповне-ва р!дипоп, а також при симетричногду втисттешЛ двох иташ!в.

В додатках i I 2 м1стяться формула дая коеф)ц!игЧв, що вхо-. дять у вирази для ядер Нггогралъних р!внянь з §50.1, е.а ! Р.з.

О С Н О В Н I Р Е 5 У Л Ы А I И I ВИСНОВКИ

1. Розроблено матод розв'язання мшаних просторових осьоси-ио7ричних задач теорм пружност! з л!н1ею розд|лу граничных умов на сферI, що базусться на розвитку метода рядових р1внянь I що ддаводяе тошрига клас розв* взуваних задач про концзнтрац!ю напружинь 61 ля тр1щия 1 тонких коротких включеяь в однор1дних I куско-во-однор1дних т1ляж, а також поширити клас розв'язуваних контакт-них "адач для кул! I сферичного шару щи р!зних вар I антах гранкч-них умов в 011ласт1 контакту.

г.Защюпонсдано матод о держания точних розв'язк!в 1нтеграль-них р!внянь ! систем 1втегральних р1внянь у канан!чних I близьких до канон 1ЧИМ випадаах, а також иетод чясельного розв'язання Фрэд-гольнових ! сингулярних ттегральних р!внянь, до яких вводят-ся в1дгюв1днI шшан! задач!, Розроолано пакет прикладних програн, ею раал!зуе розв'язання мшат« задач на ЕОМ сер! Г ЕС 1 на шреональ-них коип'ютерак.

3. Розроблено катод ров'язаняя задач дня однор!дних I куско-во-однор1дних т!л з! сферичнши тр!щинаш у випадку, коли береги встунаэть у контакт по частая! повертя! тр!щини або ко.ли в№ува-еться II повне закриття. При частковому зииканн! берег!в доелдае-по два. характера вшадки розташування обдаст! контакту: поблизу • . вершили розр!зу I в. XI середаIя частая!. Виявлено зазетност! вели-ч.чНИ област1 контакту берег1в в1д геометричних параметра трПцини 1 к..рстк!сних параметр!в Т1ла при р1внпм!рпому навантаженн! па шс.к1нченвост!. Одеркано формула асшятотично I говед!нки напружень у локалыш систем! координат з початком у вершин! трпцини.

Вперше дня простораво-з 1п:уто1 трЩини проведзво досл1-дкечня, при якону припускяеться наявн!сть н1крог,они проковзування б!ля в^ршини. Для просторово-з1гнутот трпцини чисельно П1дгверд«е-но кваз|1явар1антн!сть комбЛнацН коеф!ц!ент!в штенсивноет! на-прушень стосовно ввличияи вони проковзуванвя, На баз! цього одер-мано ефек" зниа кетод чисального визначення коефЩ1янта !нтенсив-нос~ч напружена? а розв' язку сингулярного »нтвгрального р1вняння. Виявдано в1даов1дв!сть м№ клясичиою 1 бвзосциляц)®вою моделями рздач! про нщфазовиа оферичвия розр1з. 3 позиц|а безосциляц!янот модел! сдержано розв'язки нових практично ваяливих задач для кус-ково-одчор! дпого тш в трпвчнамк <к!льцзвими сферичными, двах

трIвдш та !пшх випадкио. Доел |дгзно вгшт сил тертл в облает! контактно! вялпмод! I берег!в мВДазового просторапо-п1гнутого роа-р!зу на величину иооф 1ц!епта Пггенсивчпст! напруженпя 1 рсз:,»,!р облает! мякр.»коптакту.

5. Одержат и розв'язок нога! практично важливп! задач 1 про концентрации напружень у ддошаровШ товстост1шШ сферичн 1 я обо-доши з м!жфяаовиш тр Идолами отало можливим за доггомогоя систени дтю.п )ттлт трттюрвпь л а КОМ . Завдяют структурувяяяп ) тротпо-¡япню ядер системи сингулярних !нтегря.лышх р!впянь вдалося добути дог.тов!рн 1 результата для коеф|ц1ппт!в !нтеноивпост1 лапррдапь' п широкому Д1Я11ЯЗЛП1 зм!пи в1дпосних товщкп оболонки.

6. Rriepme одержано розв'язки коптягстних задач про втиегтгатя в сферичния шар одного або двох г.; ютрично розтатоаянтас млщзтшх (аферичвих нггямпIп для випядк!в, ката м!яг Т5лами виконухп'ьел умови в|доутпоот1 тергя, умови зчеалання або тяртя за законом K¿r.ona.

Результата дисерггатяио! рябоги изображен! в таких гт5л!кац1-

ях:

г.Зпзип В. А.. Смирнов С. А. Осе симметричное сжатие упругого пространства со сферическим разрезом Тезисы докладов Боос, научн. конферойции. Смешанные задачи механики деформируемого тела. - Ростов-на-Допу 1077. масть г. - с. °.п. г. 3mm В. Л.. Смирнов П. А. К решению задачи о сферическом разрезе и упругом пространсттэ /•/■ Ллкд. АН УССР,-сер. А.- 1077.

-кз. -с. 428-431.

3. Яг шип В. А.. Смирнов Г.- А. Контактная задача для толстостенной сферической оболочки " Прочность и надежность конструкций. -К.!Наук, думка. 107n.-c.c1-sc.

4. írom В. А.. Смирнов Г.. А. Осесимматричное растяжение прост-ражгтва с жестко» сферической п.лястйной. - Рукопись дап. в ВИНИТИ от 1 з. 03.1в7в. ií837-78. 1 ос.

з.зшинВ.А., Смирнов O.A. Растшевие npocTj анства. ослабленного сферическим разрезом- с учетом контактного взаимодействия берегов.-Тезисы докладов и Всесоюз. научн. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого талз". - Днепропетровск, isai. -

о. 7я-73.

о. Яккшн В. А., Смирнов С. А. Кручение упругого пространства, ослабленного сферическим разрезом --v Динамика и прочность

тшашх мяшин.- Дпопропецтск: Изд-во ЛГУ. i98i. - Вып. а. -

с. 173-179.

г.йшин В-А.. Смирнов С.к- Контактная задача для упругого пространства со сферическим ряерозом уу Докл. АН УССР. -Сер. А. -i ваг. - не -с. 41-44.

j. Моссаковския В. И.. Рыбка В. М.. Смирнов С. А- Осесинматричная задача о ipanuwe на поверхности раздела двух полупространств или пространства и паевого включения.. имеющих неодинаковые упругие постоянные уу Механика разрушения материалов у I Всесоюзная конференция. -Львов.jbs7. -с. 134.

в. Смирнов О. А О решении некоторгг парньга и "тройных" рядов-уравнений. содержащих полиномы Ляжандра. -Дэп. в ВИНИТИ. Ч21Р5-1а от. Eü. OS. 78.-11 с.

i о. Смирнов С. А- Об одной контылной задаче теории упругости для пространства со сферическое полостью. -Доп. в винити. нш8о-?в

от 11. 33.1378. - юс.

1. .Смирнов С.А- Об одной контактной задаче тьорш упругости для пространства со сферической полостью" Докл. АН УССР. Сер. А--1S7S. -N2. -с. 110-11 э.

13. Смирнов С. А- Применение метода парных рядов-уравнений к решению некоторых смешанных задач теории упругости. -Автореф. даос, на соиск- учен. степ. канд. физ--мат. наук. Днепропетровск. 1870.-1ее.

13. Смирнов С. А.- Осасиккетри'.лая задача теории упругости для npocTjiancraa с разрезом по поверхности шарового пояса ✓v

. Докл. АН "УССР. - Cep. A--ie84.-ns.-С.44-48.

14. Смирнов G.A. Решение некоторых контактных задач теории упругости для пространства с раррезом по сферической поверхности

. /V Межвуз. темат. сборник научных трудов - Днепропетровск: ¿uX i в 4. -с. es-i ог.

ib. Смирнов С.А- Контактная задача о вдавливании в упругий шар кольцевого сферического штампа уу Докл. АН УССР. -Сер. a. -isas.

-кз. -г 31-34.

ib. смирвов С. А- . Решение некоторых смешанных задач теории упругости методом парных рядов уравнения ✓✓ Сгшаннш задачи механики деформируемого твердого тела. m Всесоюзн. kob<V -Харьков, i ваз. -С. i oí.

i 7. Смирнов С- А. Применение «етода парных рядов к решению смешан-

зо

ннх задач теории упругости /v Гидроаэромеханика и теорзш. упругости. - Днепропетровск: ЛГУ. i еоа. -с. 1зз-144.

ia. Смирнов О. А. Контактная задача упругого шара, сцшдапного с жестким штампом Эффективные численные методы рошепия краевых задач механики твердого /сформируемого тела. Тезисы яжи.-\доз Республиканской конферопции. Ч-Н.- Харькгв.юеэ.-С.по-ш.

la. Омутов 0. А. Конирнтрапия напряжении пблизи тонкого жесткого включения в неоднородной среде ✓✓ Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела, iv Всосоюзи. конф. Тезисы док-1 ладов. II часть. -Одесса, юав. -о. во.

го. Смирпов С. А. Напряженное спстоявие композиционного материала при наличии трещины или тонкого нюсткого включения ✓✓ Современные. проблемы механики контактных взя1.модг ютвий- Сб. научных трудоп. - Днепропетровск л cao. -с. 101-102.

21. Смирнов С. А. О вдавливании в упругая шар одного или двух колмтрвых сферических штампов v Докл. АН УССР. Сер. А. - íooo. -nb. -с. 50-яз.

22. Смирнов С. А. Об одной контактной задаче для неоднородного тола с разрезом " Докл. А'т УССР. íoai. -no. -с. 4В-со.

гз. Смирнов С. А. Напряженное состояние двухслойной толстостенной сферической оболочки с разрядами Докл. АН УССР.-isai.-no. -С. 07-1 01.

24. Смирнов С. А. Локальное пг до напряжений вблизи края тонкого жесткого включения в упругом пространства // Математическое моделирования задач прочности и оптимального проектипопанип конструкций. Сб. науч. тр. / АН Украины. Йя-т кибернетики Киев.- .—С.41 -44, ;

йз. "мирков С. А. Об одном подходе к решении задачи о сферическом разрезе в неодяороднг i тела Докл. АН Украины. -1 сог. -ы7. -С. е8-70. •

вв. Смирнов С. А. Некоторые контактные задачи теории упругости для частично отслоившегося сферического включения в упругой среде Докл. АН Украины -lesa. -кв. -С.еа-71.

37. Смирнов С. А. М одпоя задаче ;ця частично отслоившегося сферического включения в упругой среда ✓✓ Вопросы прикладной математики и математического моделирования, сб. науч. трудов.-Дпапропетровск:ЛГУ, isas--с.70-78.

на. Смирнов С. К-. Рыбка В. М., Федоров П. О. Безвихревой осасиммат-рнчкия поток вокруг тонкого сферического диска.-Рукопись

ДЭП-В ВИШИ E-l.lO. 1В34,N5839-84 ДЗП.-С-1-13. га. Смирной с. Л.. Рыбка П-М., Федоров П. 0. Точное решение задачи о ттшгцИ'" лыюм осесимматричвои обтекании топкого сферического диска ^ Иэосесишатричнш задачи гидроаэромеханики и тво-рии упругости- Межвуэ. сб. науч. тру до п. - Днепропетровск.ieo7.

-0.136-142.

so. омирх, -в о. А., Рыбка В. М. Рпстяжонио ¡¡еодяородного упругого тела, слабленного двумя каяьцевыш симметрично расположенными сферическими раз|«заш " Математические метода в задачах расчета и проектирования сложных механических систем- Сб.

»»UtiJ. -40 Г у ít¿<9 ry^ufi. WO