Пространственные задачи термоупругости многослойных круговых цилиндрических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

/ 3 ¡393 акадешя наук украши

1нститут прикладних проблем механ1ки i математики ¡мен! я. с. п1дстригача

На Правах рукопису

С И Н ЮТА Володимир Михайлович

ПРОСТОРОВ1 ЗАДАЧ I ТЕРМОПРУЖНОСТ1 БАГАТОШАРОВИХ КРУГОВИХ ЦИЛ1НДРИЧНИХ Т1Л

01.02.04 — Мехашка деформ!вного твердого -пла

Автореферат дисертацп на здобуття паукового ступеня кандидата фЬико-математичних наук

Льенв —

1993

Робота виконана у Льв!вському державному ушверситет! ¡м. I. Франка.

Науковий кертник — доктор техшчних наук, професор КОЛЯНО Ю. М.

Науковий консультант — кандидат фЬико-математичних наук, старший науковий сшвроб1тник ПРОЦЮК Б. В.

Оф'щшш опоненти: доктор техшчних наук, професор ТАМУРОВ М. Г., доктор фшжо-математичних наук В1ГАК В; М.

Пров!дна установа — 1нститут мехашки АН Украши.

Захист вщбудеться « \3 » УИ^ь&^НЛ, 1993 р о^£_год. на

засщант спещал130ваш1 ради. К.016.59.0Г по прнсудженню наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук 1 кандидата техшчних наук в 1нститут1 прикладних проблем мехашки 1 математики ¡меш Я. С. Шдстрига-ча АН Украши (м. Льв1в, вул. Наукова, 36);

1з дпсертащею можна озиайомитись у бШлютещ 1нституту прикладних проблем мехашки \ математики ¡мен! Я. С. ГНдстригача АН Украши (м. Львт, зул. Наукова. 36).

Вщгук на автореферат просимо направляти на адресу: 290053. ГСП, м. Льв1в, вул. Наукова, 36, вченому секретарю сиещал1зовано1 ради.

Автореферат розкланий «_ Л » (С&еггисЛ- 1993 р.

ЗАГАЛЬНА ХА&ШРИСТИКА ГСБОТИ

АктуалыМсть теми. 12кроне використання шаруваткх цил!н-' дричних т|л як елеменх!в конструкции, як1 знчходяться в. удавах локального нагр!ву, аумовлюе неоСх!Дя1сть роав''Я2уванкн в!дшв!дних аадач херглопруякост!. 0дповим1ра1 задач) термо-прукност! для шаруватих цкл!кдр!в i метода Ix роав"яауваная досить повно роаглянут! в л{тератур1, аокреиа в роботах В1га-ка В.М., Колесова B.C., Коляво Ю.М., Дешзка М.П., Мотовилоа-ця i.A., Процюка Б.В., Уздалюва АЛ. га 1нших..

Просторов! аадач1 термопруяност! шаруватих цил!ндр!в ви-св!тлен) в л!тератур! недостатньо. Характерн! анал1тичн1 ме-юди !х розв"яаувааня подан! в роботах-Комарова Г.Н., Мотови-ловця I.A., Нам!ша K.M., Ноди Н. та !'вших. У нгведених роботах ройв"лзки аадач огршан! мегодом спрякення, яйий полягав в анаходке на{ роэЕпяэку задач) терыопружност t в зобраненнях для кожного шару & наступиим виэначбиням нвв1дом«1Х с та л их 1н-тегрування а в!дпов1дко1 системи алгебра!чних р)зняиь, отри-мано1 шляхом задоволення грааичних умов i углов контакту. Ц1 сисгвми пропоцуеться розвпЯ8уваги чисельно. У роботах Молот-кова H.A., Приварн!кова А.К., Феня Г.А., Шввлякова Ю.А. та 1иших при роав"язуваши аадач пруяносх! в Плах а плоско-иа-ралельнши границями розд!лу шар!в'пропояуетьсп внаходг.ти авал!тичн1 розв"язки в1дпов1дних систем алгебра!чних р!внянь з допомогою матричного методу.

3 |яшого боку, в роботах Коляно E.L.," Лавре'нюка В.I., Образцова 1.Ф., Онанова Г.Г., Шдстригача Я.С. та 1ньих'про-; понуеться розв"язувати а викоркотаянш апараху увагальвеаих функц1й аадач! термопружност! для всього пакету шар!в шляхом !нтегрування систем диференщальних р!внянь термопружиост! s ровривяши 1 сингулярними коеф!ц1внгами, в яких зрахован! умови контакту. При такому Щдход! розв^явок зада1:! в зобре-женнях виракзеться через а качения шуканих фунюШ i Ix пох1д-них на границах розд!лу шар!в, як! знаходиться а рекурентвих сп!вв!дноиенъ. КрШ того, для нростсрових задач термопруяност! цек п!дх!д дас мо;?лив!сть уникнугя ряду труднощ'в, кк! вини-

кайть при чисельн1й реал!зац11 роав"яак14 внайдених методом спряжения,! аумовлен 1 пов8д(нною функц!й, чзрео як! виражаять-ся раав"я8ки в!дпов1дних задач, при великих вначеинях аргументу. Методика роэв"явку аадач термопруныост! для шаруватнх ци-л!ндр1в, яка базуеться на використанн! увагальнаних функцЩ, рбзроблена Ильки для одновим !рнш задач.

1в врахуваннда вшцевказакого, викликае ¡нтерес розвиток ц1е! методики для просторов юс аадач термопружност! багатошаро-вих цил!ндр!в.

Метою роботи е ровробка методики визначення простор о в их температурите пол!в I напружинь в ыаруватих по рад1альн!й координат! цшиндрах 1 проведения чисельних досл!джень !х тер-мопруиного стану при р!оних наборах термомеханиних I гесмет-ричвих параметра.

Наукова новизна роботи полягае в наступному:

I. Запропоковано методику роэв"яаування статичних | кваэ!-статичних, двовил 1 рних осесииегрячних 1 тривда!рних неооеси-метричнюс аадач термопружност! ¡аотропних багатошарових цил!н-др!в, яка бавуеться на використака! апарату уввгальнвних функ-Шй.

г. 3 викорисгакяям вапропоновано! методики роав"яван1 просторов! б а дач 1 ¡сермопружност! для шаруватих цил!ндр!г, як1 нагр!ваються рухомши локальниыи погонами теша I шляхом конвективного теплооСьлну.

3. На основ! отриманих розв"явк!в проведен! досл!дження температурних пол1в 1 вапрухень в дво-, три-, п"яхишарэвкх цил Норах пр«4 р1аних вначаннях териомехашчних | геометрьчнше параметр1в.

Достов!РН1сть результат!в вабезпечуеться ф1аичною ойгрун-товаИ1Стю постановок аадач, апробован^стю математичвих методов !х ровв"яэку< сп1впад1нняи в окремих випадках роав"я8к(в в рр8В"яьками, виайденвми на основ! ¡иишх методик, викорцетанняк при отршанв! чйсэдьних результат 1в методов,. як» 8абев1ечують необхину точшсть.

Практична втачмюп роботи солягае в роэробЩ методики шавачзнчя текперагурких под1в I напружень в багатошарових

цил1 ядрах, яка дозволяв проводити досл1дженвя терло пруаного стану при р!вних наборах терломехан!чних 1 геоматричних пара- , мвтр!в. Отршан! рзвультати чисельних досл1дгень е теорзтич-. вов основою оц)нки напруявного стану шаруватих цшиндр!в при нагр1в! потоками тепла. Приклада! .результата використав! в сп!льиих роаробках 1ШШ АН УкраТни 1 Льв!вського дераун1вер-сяхозу. Результат досл!дкень темпе рагурних пол!в в клин!, якай нагр|ваеться потоком тепла, були використан! при роэроб-ц1 технологи тедаообробки р!ац!в, на яку отримано авторсыш св1доцтео про йинах!д.

Апробац1я робота. Основа! результата дисертац1йно1 робо-ти допов!дались ка II I III Всаооюаних конференциях по меха-н1д! н0однор!диих структур / м. Льв!в,.1987 р. 1 1991 р. /, республ1канськ!й науков!й конференцЦ. 'Дифвренц!альн! I !нте-гральн! р1зняиня I Хх вастосуБання" / м. Одеса, 1987 р. /, III Всесоюан1й конс^ренцЛ "5д!цн1сть, корстк!сть I техноло-г!чв1сть вироб!в 1а композиц1йних матер!ал!в" / и:. Запор!жая, 1989 р. /, 13 конференцЦ мододих вченюс Iнституту прикладних проблем механ!ки I математики АН Укра1ни / м. 1ъв!в, 1989 р. /.

В ц!лому робота обговорювалась на сем!нар! кафедри мате-матичного моделввання Льв!вського дераавиого ун1взрситету 1м. I.франка 1 на сильному сем!нар1 в1дд!л1в термомехаШки та механ!ки де£орк1вного твердого т!ла ¡нституту прикладних проблем механПш 1 математики Ы.Я.С.ГНдстригача АН Укра1ни / и. Льэ1в, 1992 р. /

Публ 1 кац 11. Результат виконаних досл!д2внь опубл!кован1 у 8 роботах, отримано авторське св!доцтво на винах!д. • ' .

Об"ем роббти.ДиееРтаиШна робота складаеться вступу, трьох розд!л!в, заключения, додатку I списку л!тератури / 87 .' найменувань /.

ЗЫ1СТ РСБОТИ

У вступ! обгрунтовуеться актуальнЮть вибрано! теми до-сл!дк9нь, ароблено анал.1а сучасного стану проблема,' коротко викладено основн! результат роботи.

У другому розд}л! в цил!ядричн!й систем! координат при-

• ведена постановка просторово! статично! 1 кваа!статично! аада-ч1 терлопружност 1 для в!льного в!д вовШшього навантаження

1аотроиного, багагошарового по рад!альн1й координат! цил!ндра, м!х шарами якого вдШснюеться !деальний терломехан!чний кон-

• такт.

Дал! запропонована методика вианачення терлопружного стану в цил!ндр1. Спочатку виБначаеться температурив поле в бага-тошаровому иеобмеженому цшйндр!, на аовн!шн1х поверхнях якого аадан! гран'ичн! уыови 3-ого роду, шляхом представления роэв"яв-ку еадач! теплопров!дност! через функц!ю Гр!на. ®ункц1я Гр!на пвстацЮиарно! задач! теплопров!дност! анаходиться а р!вняння

/I/

/2/

/3/

/4/

IX.-и

а використанпям !нтегральних перетворень фур"в, Лапласа I алгоритму ровЕ"язування ввичайних диференц!альних р1внянь з роарив-ними коеф!ц!еатшлк* При цьому враховаы! особливост! отримання . роав"я8ку аадач! для випадку р1зних коеф!Щент!в температуро-г;ров!даосИ шар!в, на ас такох наголощувалось в роботах Таму-рова М.Г. Тух » С„(2) - в!дпов!дно коаф!ц!бк?и теп-

ло проз¡дност! ! об"емно1 теплоемвост!, як! предстазлязоться у *Продак Б.В. О ратании вадач теплопроводности и сердсупругсзти дг,н многослойных тел // Докл. АН УССР. Сер. А. 197?. № II. С. Ю1? - КЩ.

г

.при граничных умовах

^ ' || 0 при г - 00

! початков!!! умов1 .

с.1 =Л—

- / -

вигляд!

де Z¿ , P¿ - 80вн!ин!й рад1уо i характеристика ¿-ого шару, - к!льк!сть шар1ве - одинична функц!я Хев1сайда,Б(х}~

дельта-функц!я Д1рака, . - рад!уси внутр!шньо1 1 эов-п|шньо1 поверхояь цил!ндра, п< » - в!дношення ксеф!ц!ен-т1в теплообм!ну до коеф!д1ент1в теплопров1дност! на позерхнях ■ Ъ - 20 ' • Функц!я Гр!на стацЮнарно! задач! гепло-

пров!дност1 анаходиться'введениям р!вняння теплопров!дност! до р1внпння а скнгулярниди коеф1д!ентами 1 подальпш вастосузан-ням !нтегральних перетвореаь Фурпв по осюв1й ! кутов!й координатах. ФунадП Гр!на представлен! у вигляд! 1нгегралу 1 ряд!в по в1дпов!дних власиих функЩях. Приведен! такох функцЦ Гр1па осесшэтричних аадач теплопров!дност! 1 розглянуто застосуван-ня функцЦ Гр!на стац!онарно! вадач! для визначе-ня осесшет-ричного температурного поля в багатошаровому цил!ндр! 8 эалеж-вш в!д осьово1 координати коеф!ц1ватом теплообм!ну на зовн!ш-н1й поверхн! цил!ндра.

Дал! вапропоновано-спос!б визначення компонент вектора пв-рем!цень 1а системи р!внянь р!вновагя в пареы!щеннях а розрив-ними 1 сингуляршши коеф!ц1ентами .

{л ЛЬ/ , 1 . 2. ¿Цд

' ¿а 1 ьг

/6/

ли * ¿е - 66

а г гм аг ~ Мё) дг

при "в1дпов!дних гравичних умовах. Тут А - оператор Лапласа»

5 е = * а (-Те + и*)+7г ' * ,2№) <**

,1 (3) - в!дпов!дно коеф!ц1енхи Яше 1 тем-пературний коефШент л!н1Иного роаширення, як! представляються у вигляд! /6/, $ - :'рир!ст температуря точок Ила.

У випадку осесшетрично! вадач1 п!сля предсгавленяя лере-мЩень черев терлопружний потенц1ал 1 рогД1лення вм1нних, ви-х!дна система двох р!внянь рШюваги в перемИценнях вводиться до ' системи двох ввичайних дифереиц!альних р!вяянь другого порядку, а останая - до диференц1ального р1вняння четвертого порядку. Р08в"я80к системи метить нев1дом! вначеная шуканих фувкц1й 1 1х похШих на граяицях роад]лу шар!в, для вианачення яких по-' будован1 рекуренти! сп!вв1дношення. Кр1м того, вапропоковано мо-диф!кований п'при реал|8йц1! якого ровв"яэок системи ввичайних диференц1альних р!внянь виражаеться т1льки через аначен-ня шуканих $ункц1й на границях роад!лу шар!в, що приводить по- -р1вняно в першш Шдаодоы до аменшння в два рази к1дъкост1 ре. курант них сп1вв1дношень.

. Для неосесиматрично! аадач! вих!диа система трьох диферен-ц1альних р!внянь /6/ пЮля представления череа териопрукчий по-тонц!ал 1 р08Д1лення вм!нних вводиться до системи трьох евичай-нлх д:1$еренц1альнйх р!внянь другого порядку, яка надалГ перетворена до системи двох даференц1альиих р!внянь четвертого 1

другого порядку. Аналогично, як I в випадку осесиыетрично! ва-дач1, для зйаходЕення аначень шуканих %ункц!Й I 1х пох!дних на стиках шар!в, через як} вираяаеться ров"язок системи, побудо-ван1 рекурентн! сп!вв!дношення.

В тоетьому роод!л| а використаннда аапропоновано1 методики отримано ро8в"яаок задач1 териопрукност1 для порожнистого ци-л1ндра, зовн!шня поверхня якого нагр!ваетьсд рухсмим кор/.алъио-розподЬченш потоком тепла

Тут Q - густина теплового потоку, К - ксефЩ!ент аосеред-sieHocTi, f*(Z) , ¿*{Z) - закон руху центра пяши нагр1ву в кутовому i ооьовому напрямнах.

Встановлено, «о роав"язок вадач! в граничному-випадку руху потоку а бевмежно великою куток® шшдк1ств а точн!отю до мноя-ника / сп!впадае а розв"язком ооесшетрачно! аадач1 для ци-л!ндра, який нагр!ваеться по аовн1ш1й поверхн! норлально-ров-под1ленш потоком тепла, де

у-¿llilsMJ - _i f*-,.„ /я/ ¿г* firir - Щ 6 -cosl$(ccssW M

e оередн1м }кгегральнкм по колу в!д розпод|лу теплового потоку по кутов!й координат 1.

Для цього випадку нагр!ву досл!дешно вюшв сп!вв!дношеяь м!а термомехан!чниш t геометричними параметрами цилиндра на роэпод1л на пру.тень на стику шар!в. На приклад! двошарового ци-л!ндра для уоталеного режиму нагр!ву показано, цо для випадк!в, коли коеф{ц!внт л!н!йного роз шире ння внутр!шнього иару б1льший, н!к коеф!ц$ент л!н!йного роашревня £.ова!ишього шару, можна вказати 1нгервал аначень в1дношэнь J> = / рад!ус!в

первого 1 другого шар!в /, для яких рад1альв! напруаення на-

+

= а ■ expf- к[a* SinHl-iЩ

(¿-¿*ш)&]}т (f-r*tv)) S(cos(i~f*<z))).

/у

- ю

стику иар!в будуть стискуючиыи. Встановлено такок, що для значения £ , при якому рад!альн! напруяення на стику шар1в р1в-н! нулю, К1льцвв1 I осьов! напрухення е меншга.ш по абсолют!!! величин!, а!ж при вначеннях £ а вкаааного Штервалу. Ц| результата уоагальнен! на випадок б)льпо1 к1лькост! шар!в в ци-

Л1НДр1.

Доел1дасення неусталених температурных напружень в двошаро-вому Ш!л1ндр1, який нагр1ваеться по аовн!ш!й поверхн!, в аа-лехност! в!д аначень в!дношеиь / <Х$ , - коеф!ц!-

енгк темперагуроп1ов!дгост1 внутр!анього 1 аовн1шнього тр1в / показали, що у випадку амзншення Лi|Cl¿ мохе при-

вести до вг.шштння в окрок 1 моиенти часу аначних ровтягуючих рад1альних напрухень на стику иар1в.

Кр1м того, в цьоку ж ровдШ вивначено те^опружний стан в п"ятишаровому суШльноыу цил!идр! при С ого натр!в! шляхом конвективного юплообы!ну з аале:шг,1 а 1л осьово1 координати косф 1 -ц1ентом теплооСм!ну. Наводен1 результат ¡.08рахунк1в темпе ра-турних пол!в 1 напружень при пост1Г.ному 1 ам1кноь:у кое4.!ц1ентах те'плоосм!ну.

В четвертому роад!л! методику- визначеная температурного полп роавинуто I поинрено на випадок цнЖидра е ортотропнши шарами 1 для випадку ааруватого клина. 3 внкоркеганаям ¿ункцП Гр1на отрикано розв"даок нестац!онарно| аадач! теллопров!дност! для скШченого о^тотропкого цшЦндра, якир. нагр!ваеться шляхом конвективного тсплооо:.:!ну з вовн 1 ц.асередовпцем задано! темпе ратури, посгц»но1 на кокн!й !а поворхонь, ко оокеаувть ци-л1ндр. Приведено пор1вняльний анал!а роарахунку температурного-поля в трпийровому дпл!НАр! а {аотропнши трет 1м I друга: шарами для внпадк!в, коли пераий пор орютропнип 1 !зотролнип.

Дал! через в1дпов!дну '-ункц1в Гр!на внаначено температурне поле в багдтоиаро£оь;у иеоспексному клин!, якп!* нагр1вабться по ОIчн 1 й поверхн! норг,!ал1но-ро8под1лешс.! потоког.: тепла. Приведен! ревулыати роарахунку температурного поля на поверхн! нагр!ву о дно шагового сталевого клина при р!аш;х параметрах температур-мо! д11, як! представлен! у виглщЦ ровпод1лу 1аОЕерь:.

. У заклачеин! приведено основн! результат!! робота 1 коротк!

висновки.

У додатку м!стигься акт про використаиня реаультат1в доел!днень.

ОСНОЕНI ШУДЬТАТЙ I ПОРОШ ВИСНОВКИ

1. Запропоновано методику роав"язування двовкм)рних осеои-метричних I тривим!рних веосесиметричнкх аадач зермопруаност!

1воТроцких багатошарових цил!ндр1в у кваэ!статичн!й.постакоз-ц1, яка бавуеться на винористакн! апарату увагальненкх фукк-ШЙ.

2. 3 використанням запропоновано! методики роав"яаана квазЮтатична неосесиметрична вадача тер^опрунност! для дозго-го багатошарового пороянистого цил1ндра, яккй нагр!ваеться по аовн1шн!й поверхн1 рухомик норкально-рсапод 1 ла¡ни потоком геп-ла. Встановлено, «о ровв"яаок вадач! в граничному випадку ру-ху потоку по колу а бэвмеано великою кутовоа нвидкЮтю а точ-н!стю до мнокника спвпадав а в!дпов!дш»: роэз"язком осеси-метрично! задач!.

3. На основ! отршаного рсза"язку аадач! тврмопруккост! у граничному випадку рухомого по колу потоку тепла проведен! чисельн! досл!дгення впливу терломехан!чних 1 геометричиих характеристик на роэпод!д статичних ! КЕаа!статичних температуря;« напрутань на стиках сар!в цил!идр!в. Для випадку, коли коеф!ц!ент л!н!йного розвирення колного шару б!льший, н!х ковф|ц!ент л!н!йиого роаширення совн!инього пару, зказано область значень для з!дношень рад!ус!в шар!в дво- 1 тришарово-го цил!ндр!в, при яких статичн! рэд!альн! напругення на сгину шар!в будуть стискуючими.

4. Отршан! рэвулыЕти чисельних досл!даень можуть бути використан! для досл!джеяня могсливого розюрузаняя шаруватих

5. Запропонозана методика розЕ"я8ування просторових аадач тйрлопруаносг! багатошарових »зотропних цил!ндр!в мота бути заатосовапа для т!л з б!льи складними теплоф!эичними характеристиками. У зв;'ткч з цим внайдено розв!,я„ок статично! осесиметрично! задач! терлопружност! для суц!лз>ного цшШдра,

-i г г

яки?. нагр!ваеться шлихом конвективного теплообм!ну при ам!н-ному коеф!ц1ент1 хеплообм!ну, на основ! якого проведен! чи-cejibfit роарахунки терлопрукнога стану в п"ятиша^овоыу цил!н-др!.

Вианачено також температурне поле в багатошаровому ци-л1ндр! 8 орготроплш: шарами ! в багатоиаровоыу клин! з 1во-хропними шраки, Стриыан! реаулматп чисельних досл!джень температурного поля в сталевому однориному клии!, якир. на-гр1ваеться по б!чн1й поверхн! нормально-ровпод!леним потоком тепла, можуть бути вккоркстан! для визначення зон те|м!чного . впливу ! прогиоаувзнин вон повиого 1 часткового вм!цнення матар!алу.

6. Так;:!.", чином, вапропонована методика дае мокливЮть ' визначйти 1 досл!дяувати температура! поля ! напрукення в ба-гатоаарових кругових цил!ндр:!чн;;х xij.ay. при !х локальному на-гр!в1 для широкого д!апавону те;».:о:.;ехан1чн1:х ! гео'метричних параметр!в.

Основа 1 результата дисераацП опубл!кован! в наступних роботах:

1. Сшшта B.i,:. Пространственная задача теплопроводности для многослойного неограниченного цилиндра, нагреваемого движущимся источником тепла // Материалы 13 конференции молодых ученых 1!кстктута прикладных проблем мех. и матеыат.

АН УССР. - Львов, 1289. - С. 119 -123 / Деп. в ВИНИТИ te 7242 - В 69 Дсп.

2. Процюк Б.В., Драпкин Б.А., Синюта B.1I. Кваапстагические пространсгвенш.'е аадачи терг,:оупругости слоистых цилиндров ' и пластин // i/.еханика неоднородных структур. Тез. докл. второй Всесоаанор конф. Львов, 2-4 сентября, 1Э87 г. -Львов, 1987. - С. 229 - 230.

3. Синюта В.1,5. Об одном подходе к реиению аадач терлоупругости многослойных цилиндров // Механика неоднородных структур. Тез. докл. третьей Всесоюзной конф. Львов, 17 - 19 сентября, IS9I г. - Львов, 1991. - С. 312.

4. Процюк Б.В., Драпкин Б.А., Сккюха В.М. Фундаментальные ре-

еэния пространственных стационарвих задач теплопроводности . для многослойных цилиндрических областей // Tes. докл. Республиканской научной конференции "Дкффоренцйельнне и интегральные уравнения и'их приложения". Одесса, 22 - 24 сентября, 1987 г. - Одеоса, 1937. - С. 74 - 75»

5. Процюк Б.В., Ситота В.М. Хврмонапрянонное состояние композитного цилиндра // Прочность, меткость и технологичность изделий из компзиционных материалов. Tea. докл. III Всесоюзной "онф., 24 - 25 октября, 1989 г. - Запорожье, 1989. - С. 164 - 165.

6. Процюк Б.В., Синюта В.М. Функц1я Гр!на стацЮнарно! осеси-метрично! задач! теплопроз1дност! для Оагатошарового ци-л!ндра // Bich, Льв!з. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1988. -Вип. 30; Прикладн! питания математичного авал1зу; - С. 48 -51.

7. Коляно Ю.М., Процюк Б.В., Синюта В.М. Статическая осесим-метрическая иадача терлоупругости для многослойного цилиндра // Прикл. математика и механика. - I99I. I. 55, вып. 6. - С. 1035 - 1040.

8'. Коляно Ю.М., Процюк Б.В.,' Синюта В.М., Шебанов С.М,, Шаров С.М. Нестационарное температурное поле в многослойном ортотропном цилиндре // ИМ. - 1992. - Т. 62, fâ 2, С. 325330.

9. Г^дычев В.Г., Картавцев B.C., Моисеенко В.В., Сотников В.Д., Анпилогов Н.М., Матюхин В.А., Василенко К.А., Подстри-гач Я.С., Коляно Ю.М., Махоркин И.Н., Кулик А.Н., Синюта В.М. Способ упрочнения рабочих кромок деталей техноло-. гической оснастки и инструмента. - Авт. свидетельство СССР й 1420956.