Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

Усачев, Александр Сергеевич

Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Усачев, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы»

Автореферат диссертации на тему "Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы"

на правах рукописи

УСАЧЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

01.01.01 — математический анализ Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2

□□3474В52

003474652

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Евгений Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Асташкин Сергей Владимирович;

Ведущая организация - Московский физико-технический институт

Защита состоится <8> сентября 2009 г. в 15 часов 10 минут па заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан июня 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич.

профессор

Ю.Е.Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В 1932 году С. Банах1 изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г.Г.Лоренца, Г.Даса, Л.Сачестона, У.Ф.Эберлейна и других математиков.

Используя банаховы пределы, Г.Г.Лоренц2 ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Мурсалена, Г.Беннета, Н.Дж.Калтона, М.Крюппеля, Д.Хаджуковича, Р.А.Раими, З.У.Ахмада. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.

Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С.Лорда, А.Л.Кери, Дж.Филлипса, П.Г.Доддса, Б. де Пагте-ра, Е.М.Семенова, А.А.Седаева, Ф.А.Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Применению банаховых пределов в эргодической теории посвящены работы Л.Сачестона и других математиков.

В диссертации изучается инвариантность банаховых пределов и пространства почти сходящихся последовательностей. Также банаховы пределы применяются для изучения коэффициентов Фурье по системе Хаара.

1 Банах, С. Теория линейных операций / С. Банах - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 272 с.

2Lorentz, G. G. A contribution to the theory of divergent sequences / Lorentz G. G. // Acta Math. -1948. - V. 80. №1. - P. 167-190.

» V1

V ' \

Целью работы является изучение пространства почти сходящихся последовательностей .

Методика исследований.Используются идеи и методы современной функционального анализа, теории функций действительного переменного. Полученные результаты применяются для доказательства аналогов теоремы Мерсера для коэффициентов Фурье-Хаара.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Вычислено расстояние от произвольной ограниченной последовательности до пространства почти сходящихся последовательностей;

2. Доказана инвариантность пространства почти сходящихся последовательностей относительно действия некоторых операторов, в том числе, оператора Чезаро и общего оператора усреднения;

3. Установлена почти сходимость некоторых функциональных тригонометрических последовательностей;

4. Доказана почти сходимость к нулю последовательностей, связанных с коэффициентами Фурье по системе Хаара для функций из пространства ЬР100 и функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Ростовском, Самарском, Ярославском государственных университетах и др.

дународцой конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летшо академика В.А.Садовничего (Москва, 2009), семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова (Воронеж, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 68 источника. Общий объем диссертации 93 страницы.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже лемм и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

Определение 1. Линейный функционал В на пространстве х € Zoo ограниченных последовательностей называется банаховым пределом, если

(i). В > 0, то есть если Xk > 0 для всех к 6 N, то В(х) > 0;

(ii). В(х) = В(Тх) для всех х G Iгде Т - оператор сдвига, то есть Т{х\,х2,...) = (12,2:3,...) ;

(iii). В{1) = 1, где 1 = (1,1,1,...).

Множество банаховых пределов будем обозначать через 93.

Определение 2. Ограниченная последовательность х G /«, называется почти сходящейся к числу а € К1, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны а.

В этом случае мы будем писать Limx¡t = о. Множество почти сходящихся обозначается через ас, a через асо - множество почти сходящихся к нулю последовательностей.

Описание пространства ас было получено в работе Г. Г. Лоренца2:

Для заданных а € R1, х е В(х) = а для всех В € 53 тогда и только тогда, когда

^ тп+п

lim - У2 хк = а (1)

71—>ОС П ¿-'

к—m+l

равномерно по m 6 N.

Л. Сачестон3 уточнил теорему Лоренца и доказал, что

max В(х) = р(х) , min В(х) = oía;) (2)

Be<B v Bes

2Lorentz, G. G. A contribution to the theory of divergent sequences / Lorentz G. G. // Acta Math. -1948. - V. 80. №1. - P. 167-190.

3Sucheston, L. Banach limits / L. Sucheston Ц Amer .Math Monthly. - 1967. - V.74. №1. - P. 285-293.

где X £ loa и

Выражение (1) задает некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Этот метод суммирования является регулярным, то есть если последовательность Xk а, что Lim Xk = а. Та-уберова теорема - это утверждение, в котором, обратно, Хк —* о, следует из LirriXk = а и некоторого дополнительного условия на последовательность (Хк). В этом случае дополнительное условие называется тауберовым условием для метода.

Можно показать, что для любого х € удовлетворяющего условию (xk+i — Хк) —> 0, справедливы равенства

к—»оо

р(х) = lim sup Xk и q(x) = lim míxk.

Jfc->oo

Отсюда вытекает, что любая почти сходящаяся последовательность, которая удовлетворяет условию (xjt+i — Хк) —> 0, сходится.

к—* оо

Для х G loa обозначим через р(х, ас) расстояние от х до ас в то есть р{х, ас) = inf II х - у ||íoo .

у£ас

Обозначим через acs множество последовательностей почти сходящихся к s 6 R1. Очевидно, что р(х, ас) < р(х, ac¡¡), так как acs С ас. Пусть х £ /оо-Тогда

(3)

p{x,acs)>PM^M

Для доказательства обратного неравенства в (4) потребовалось несколько вспомогательных результатов.

Теорема 4 Функционал f el^ допускает представление / — Si — В2, где Bi,B2 6 95, тогда и только тогда, когда

1 ./(Ti) = f(x) для всех х 6 I(5) 2./(J) = 0, (6)

3- II / lk< 2. (7)

Теорема 6 Пусть f € удовлетворяет условиям (5)-(7). Для того, чтобы представление / = В\ — В2, где В\,В2 6 25, было единственно, необходимо и достаточно, чтобы || / ||= 2.

Известная формула о вычислении расстояния от элемента банахова пространства до подпространства допускает уточнение для банаховых пространств, в которых действует коммутативная группа операторов.

Лемма 7 Пусть Е- банахово пространство. {Т : Т € Г} - абелева группа линейных операторов в Е с нормой < 1, F - замкнутое подпространство в Е, инвариантное относительно Г, Тх — х е F для всех х G Е, Т S Г. Если х G Е, то

inf II х - у ||Е= sup f(x), (8)

УеР ||/!I<I,/|f=O,/€Q

где Q - множество инвариантных функционалов, то есть

Q — {f • f & Е*, f(Tx) = f(x) для всех ж € Т е Г}.

В доказательстве леммы 7 использована теорема Маркова - Какутани о неподвижной точке коммутирующей группы операторов.

Применяя эту лемму для случая Е = F — ас, Г - множество сдвигов, Т - оператор сдвига, получаем формулу для вычисления расстояния до подпространства ас.

Теорема 8 Если х £ то р(х, ас) =

р(х)-д(х)

Из теоремы 8 вытекает следующая формула

р(х, ас) = inf \\ х - у Иь 1/6oc,||B||<2||I||

Учитывая (3), получаем, что р(х, ас) = р(х, acs) тогда и только тогда, когда s = р(х) + q(x)). Таким образом, inñmum в (9) можно брать по множеству

{у вас: Ытук = p^+q{x\ || у ц< 2 || * ||}.

Функционал р(х) является выпуклым, то есть р(хi Ч-Яг) < р{х{) +р(х2) для любых Xi,X2 £ loo- При этом справедлива

Теорема 10 Пусть х\,х2 £ loo■ Равенство

р(х i + х2) = р(х i) + р(х2)

выполняется тогда и только тогда, когда существует банахов предел Во, такой, что Bo(xi) =p(xi) и Bq(x2) =р(х2).

Рассмотрим функционал г : —> R+, определенный следующим образом: г(х) = р(х,ас) и при любых фиксированных tí, v £ loo рассмотрим функцию

г(А) — г(Хи 4- (1 — A)w), Л £ R1. (10)

Легко показать, что если функция г имеет 2 нуля, то г = 0. Поэтому, естественно предполагать, что функция г имеет 1 нуль.

Теорема 11 Если уравнение г(А) = 0 имеет решение Ао, то функционал г{А) можно представить в виде:

г( А) =

|l-A|-r(V),

при Ао < 0 или Ао > 1 при 0 < Ао < 1 А0 = 1.

Теорема 18 Пусть В € 03 и функция д(х) определена на К1. Неравенство Bg(xk) > g(Bxk) выполняется для любой ограниченной последовательности (Хк) тогда и только тогда, когда д{х) - выпуклая.

Достаточность была доказана М.Крюппелем4. Диссертантом была доказана необходимость.

Результаты главы 1 опубликованы в работе [1].

В работе П.Г.Доддса, Б. де Пагтера, А.А.Седаева, Е.М.Семенова и Ф.А.Сукочева5 был построен пример банахова предела, который инвариантен относительно действия любого оператора растяжения (кратного повторения элементов) последовательности (xk), а также инвариантен относительно оператора Чезаро, заданного следующим образом

{Сх)п = -(zi + ... + х„). п

Более того, при некоторых преобразованиях последовательности значения всех банаховых пределов на этой последовательности не изменяются. В частности банаховы пределы инвариантны относительно обобщенного сдвига.

В работе У.Ф.Эберлейна6 рассматриваются пределы Банаха-Хаусдорфа, то есть банаховы пределы, инвариантные относительно полугруппы преобразований Хаусдорфа.

В главе 2 рассматриваются операторы, не изменяющие значений банаховых пределов.

Рассмотрим на í«, оператор повторения, переводящий последовательность X = (xi, £3, Х4,...) в последовательность

X = (¡Ti; Xi,X2] Xl,X2, Хз, Xi,X2, Хз, Х4; ...).

4Krüppel, M. An inequality for Banach limits of bounded number sequences / M. Krüppel // Rostocker Math. KoUoq. - 1995. - 48. - P.T5-79.

5Доддс, П.Г. Сингулярные симметричные функционалы и банаховы пределы с дополнительными свойствами инвариантности / П.Г. Доддс, Б. де Пагтер, A.A. Седаев, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Изв. РАН. Сер. мат. - 2003. - Т. 67. N>6. - С.111-136.

6Eberlein, W.F. Banach-Hausdorff limits / W.F. Eberlein // Proc. Amer. Math. - 1950. - №.1. - P. 662-665.

Оператор х возник при изучении коэффициентов Фурье-Хаара.

Теорема 19 Последовательность i ё почти сходится тогда и только тогда, когда последовательность х почти сходится. Причем, Limxk = Limxk.

Можно показать, что если последовательность Хк € ас и Limxk = а, то последовательность (Сх)к сходится к а. Отсюда следует, что все банаховы пределы инвариантны относительно сужения оператора Чезаро на пространство ас. Однако, существует банахов предел, не инвариантный относительно оператора Чезаро.

Далее рассматривается более общий оператор - оператор усреднения по подпоследовательности.

Пусть выбрана возрастающая последовательность номеров ns такая, что ni = 1. Определим тогда оператор Р : í«, —► следующим образом

Теорема 25 Если последовательность х € ас, то и последовательность Рх € ас, причем Limxk = Ытп (Рх)к-

Теорема 25 теряет силу для х ^ ас.

Теорема 26 1. Оператор Р не увеличивает расстояние до пространства ас, то есть для любой последовательности х € справедливо неравенство р(Рх, ас) < р(х, ас).

2. Оператор Р сохраняет расстояние до пространства ас тогда и только тогда, когда sup (ns+i — ns) <

Результаты главы 2 опубликованы в работах [2] и [3].

В главе 3 приводятся примеры почти сходящихся последовательностей. По аналогии с почти периодическими функциями можно вводить понятие почти периодической последовательности:

Определение 3. Последовательность ([хк) называется почти периоди-

¿=n,+l

ческой, если для любого е > 0 существуют положительные числа Ь = Ь(е) и К — К(е), что в каждом интервале длины Ь найдется по крайней мере одно число р, удовлетворяющее неравенству |хк+р—Хк\ < £ при всех к> К.

Известно, что любая почти периодическая последовательность является почти сходящейся. Обратное не имеет места: почти сходящаяся последовательность не обязана быть почти периодической.

В диссертации приводится пример почти сходящейся последовательности, которая не является почти периодической:

Пусть (а{) заданная ограниченная последовательность. Рассмотрим последовательность (хк)~- { Хк = а,1, если | 6 Ми нечетно}^. Теорема 27 Последовательность Хк&ас и ЫтХк = Определение 4. Последовательность (хк) 6 [а, Ь\ называется равномерно распределенной на отрезке [а, Ь], если для любого интервала 5 С [а, 6], среди первых N точек последовательности число Щ тех точек, которые попали на интервал 6, удовлетворяет условию

Последовательность дробных долей {Ы) любого иррационального числа Ь является равномерно распределенной на отрезке [0,1]. Известно, что если /(х) интегрируема по Риману на отрезке [0,1] и (х*) - равномерно распределенная на [0,1] последовательность, то

Последовательность | sin kt\ сходится по Чезаро для всех t е R1. В работе Ю.-Ч. Ли7 показано, что эта последовательность является почти сходящейся, однако, не вычислено значение, которое принимают все банаховы

7Li, Y.-C. Almost convergence of sequences in banach spaces in -weak, strong and absolute senses / Y.-C. Li // Taiwanese J. of Math. - 2006. - V.10. №1. - P. 209-218.

Ns mes8

lim — = --.

N->00 N b-a

пределы на этой последовательности. В диссертации показано, что

Ыт I бш тй

т т 7 т ' т г-

(Ь=1

О, г = /с7Г,£€М

для остальных £ 6 '

Последовательность функций

г„(4) = signsin2nnty пбМ, * € [0,1]

называется системой Радемахера. Согласно закону больших чисел

р(г„(«)) = 1 и д(г„(«)) = -1

для почти всех 4 € [0,1]. Поэтому по критерию почти сходимости Г.Г.Лоренца (г„(£)) ф. ас для почти всех Ь 6 [0,1]. Результаты главы 3 опубликованы в работе [6].

Четвертая глава диссертации посвящена применению понятия почти сходимости к изучению рядов Фурье по системе Хаара.

Обозначим через П множество индексов (п, к) таких, что к = 0,1 для гс = 0и1<&<2" для п > 1, а для любых (п, к) € П через Д^ обозначим интервал

Определение 5. Последовательность функций хо,о = 1,

Хп,*(*) = «

f с д24—1

1 Ь ^П+1

-2?, ¿еД'*

лп+1

О, для £ из остальных Д[, называется системой Хаара. Значения в концах отрезка [0,1] и в точках разрыва выбираются так, чтобы выполнялись неравенства

ХпМ0) = 1ш1 Хп,к(<5) , ХпА1) = 1™ ХпА1 ~

о—►()+ <5—>0+

Xn,k(t) = 1™, \ (xn,k{t + <5) + Xn,k(l - <*))

Через х) мы будем обозначать коэффициенты Фурье по системе Хаара функции х 6 Ь\[0,1]. Формула т = 2" + к, где (п, к) € П, устанавливает естественное взаимно-однозначное соответствие между П и N. Через £Р)00 (1 < р < оо) обозначим пространство функций с нормой

Норму в ЬР)Х (1 < р < оо) можно также определить следующим образом

где ниргетигп берется по всем е С [0,1], теве > 0.

Обозначим через Ьроо замыкание в £р,<х>, то есть сепарабельную часть Ьр>00.

В главе 4 речь пойдет об аналогах теоремы Мерсера для системы Хаара. По теореме Мерсера, если ортогональная нормированная система является равномерно ограниченной, то коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по этой системе стремятся к нулю.

Существует функция х € Ьр, 1 < р < 2 коэффициенты Фурье-Хаара которой не стремятся к нулю.

Коэффициенты Фурье-Хаара функции из Ьр<00 (1 < р < 2) могут не стремиться к нулю, однако Бирт5_р \ст(х)\ < оо для всех х 6 Ьр<00. По-

этому, естественным образом встает вопрос о почти сходимости последова-

Следствие 31 Если х е 1*2,оо, то (Ст(х)) € ас и Ытст(х) = 0. Это утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Мерсера для пространства ¿2,оо и системы Хаара.

meN

тельности

Теорема 30 Если 1 < р < оо, х б L Lim Ст(х) = 0.

Пусть х £ Lip 1, то есть, \x(ti) — x(t2)\ < С|ij — ¿21 для некоторого С > 0 и всех tu t2 £ [0,1]. Известно, что

limsup|cn,fc(a;)|25n>0

2n+fc->oo

для любой х £ С[0,1], х ф const, но при этом последовательность

2^ncriik(xfj ограничена. Возникает естественный, вопрос о принадлежности такой последовательности пространству ас.

Если х(t) = at + b для некоторых а, Ъ £ R1, то 2%nc„i.(x) = —| для всех (п, к) £ О. кроме (0,0). Это утверждение допускает следующее обращение Теорема 35 Пусть х £ Lip пос.гедовате.гъпость £ ас и

Limcnfi(x)2%n = а. Тогда х(i) = —4at + b для некоторого b £ R1.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических паук Е.М.Семенову за научное руководство и постоянный интерес к работе.

Публикации по теме диссертации

[1J Семенов, Е.М. Пространство почти сходящихся последовательностей / Е.М. Семенов, A.C. Усачев, 0.0. Хорпяков // Докл. РАН. - 2006. - Т. 409. JW. - С.754-755.

[2] Усачев, A.C. Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей / A.C. Усачев // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Междупар. конференция, посвященной памяти И.Г.Петровского. Тез. докл. - Москва: Изд-во МГУ. - 2007. - С.323-324.

[3] Усачев, A.C. Преобразования в пространстве почти сходящихся последовательностей /' A.C. Усачев // Сиб. мат. журнал. - 2008.- Т.49. JV-6. -С. 1427-1429.

[4] Усачев, A.C. Коэффициенты Фурье-Хаара функции из ¿2,оо / A.C. Усачев // Воронежская зимняя математическая шкода, посвященной памяти С.Г.Крсйна. Тез. докл. - Воронеж: Изд-во ВорГУ. - 2008. - С. 137-138.

[5] Усачев, A.C. О почти сходимости коэффициентов Фурье-Хаара / A.C. Усачев // V международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тез. докл. - Ростов н/Д: Изд-во "ЦВВР". - 2008. - С.59-60.

[6] Семенов, Е.М. Коэффициенты Фурье-Хаара и банаховы пределы / Е.М. Семенов, A.C. Усачев // Докл. РАН. - 2009. - Т.425. №2. - С.172-173.

Работы [1], [3] и [0] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 16.06.09. Формат 60x84 V» Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 1052

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полшрафического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Усачев, Александр Сергеевич

Введение

Общая характеристика работы.

Краткое содержание работы

Предварительные сведения.

1 Пространство почти сходящихся последовательностей

1.1 Тауберова теорема для почти сходимости.

1.2 Расстояние до пространства ас.

1.3 Случаи линейности функционалов р(х) и q(x).

1.4 Вычисление расстояния до подпространства ас.

1.5 Банаховы пределы от выпуклых функций.

2 Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей

2.1 Оператор повторения

2.2 Сходимость по Чезаро.

2.3 Оператор усреднения по подпоследовательности.

3 Примеры почти сходящихся последовательностей

3.1 Пример почти сходящейся и не почти периодической последовательности

3.2 Функциональные последовательности.

4 Коэффициенты Фурье-Хаара

4.1 Основные определения.

4.2 Коэффициенты Фурье Хаара функции из LPi00.

4.3 Коэффициенты Фурье-Хаара функции из Lip 1.

Введение диссертация по математике, на тему "Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы"

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В 1932 году С. Банах изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г.Г.Лоренца, Г.Даса, Л.Сачестона, У.Ф.Эберлейна и других математиков.

Используя банаховы пределы, Г.Г.Лоренц ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Р.А.Гаими, З.У.Ахмада, Мурсалена, Г.Беннета, Н.Дж.Калтона, Д.Хаджуковича, М.Крюппеля. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.

Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С.Лорда, А.Л.Кери, Дж.Филлипса, П.Г.Доддса, Б. де Пагтера, Е.М.Семенова, А.А.Седаева, Ф.А.Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Применению банаховых пределов в эргодической теории посвящены работы Л.Сачестона и других математиков.

Целью работы является изучение пространства почти сходящихся последовательностей.

3. Установлена почти сходимость некоторых функциональных тригонометрических последовательностей;

4. Доказана почти сходимость к нулю последовательностей, связанных с коэффициентами Фурье по системе Хаара для функций из пространства LPtсо и функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), научной сессии ВГУ (2007, 2008, 2009), научной сессии ВГАСУ (2007, 2008, 2009), Воронежской зимней математической школе (2008), V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск, 2008), международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию академика В.А.Садовничего (Москва, 2009), семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова (Воронеж, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Усачев, Александр Сергеевич, Воронеж

1. Семенов, Е.М. Пространство почти сходящихся последовательностей / Е.М. Семенов, А.С. Усачев, О.О. Хорпяков // Докл. РАН. -2006. - Т. 409. №6. - С.754-755.

2. Усачев, А.С. Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей / А.С. Усачев // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Междунар. конференция, посвященной памяти И.Г.Петровского. Тез. докл. Москва: Изд-во МГУ - 2007. - С.323-324.

3. Усачев, А.С. Преобразования в пространстве почти сходящихся последовательностей / А.С. Усачев // Сиб. мат. журнал. 2008. Т.49. т. - С.1427-1429.

4. Усачев, А.С. Коэффициенты Фурье-Хаара функции из 1/2,©о / А.С. Усачев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна. Тез. докл. Воронеж: Изд-во ВорГУ. - 2008. - С. 137-138.

5. Усачев, А.С. О почти сходимости коэффициентов Фурье-Хаара / А.С. Усачев // V международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тез. докл. Ростов н/Д: Изд-во "ЦВВР". 2008. - С.59-60.

6. Семенов, Е.М. Коэффициенты Фурье-Хаара и банаховы пределы / Е.М. Семенов, А.С. Усачев // Докл. РАН. 2009. - Т.425. Ш. -С.172-173.

7. Банах, С. Теория линейных операций / С. Банах Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 272 с.

8. Mursaleen On some new invariant matrix methods of summability / Mursaleen // Quart. J. Math. Oxford. 1983. - V.34. №2. - P.77-86.

9. Raimi, R. A. Invariant means and invariant matrix methods of summability / R. A. Raimi // Duke Math. J. 1963. - V.30. - P. 81-94.

10. Ahmad, Z. U. An application of banach limits / Z. U. Ahmad, Mursaleen // Proc. of Amer. Math. Soc. 1988. - V.103. №1. - P.244-246.

11. Sucheston, L. On existence of finite invariant measures / L. Sucheston // Math. Zeitschr. 1964. - V.86. - P. 327-336.

12. Sucheston. L. On the ergodic theorem for positive operator I* / L. Sucheston // Z. Wahrscheinkeitstheorie verw. Geb. 1967. - V.8. - P. 1-11.

13. Das, G. Banach and other limits / G. Das // J. London Math. Soc. -1973. V.7. №. - P. 501-507.

14. Lorentz, G. G. A contribution to the theory of divergent sequences / Lorentz G. G. // Acta Math. 1948. - V. 80. Ж. - P. 167-190.

15. Sucheston, L. Banach limits / L. Sucheston // Amer.Math Monthly. 1967. - V.74. №1. - P. 285-293.

16. Bennett, G. Consistency theorems for almost convergence / G. Bennett, N. J. Kalton // Trans, of Amer. Math. Soc. 1974. - V.198. №. - P. 226-234.

17. Moricz, F. Almost convergence of double sequences and strong regularity of summability matrices / F. Moricz, В. E. Rhoades // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1988. - 104(2). - P. 283-294.

18. Sikorski, R. On the existence of the generalized limit / R. Sikorski // Studia Math. 1951. - 12. - P. 117-124.

19. Nakamura, M. Banach limits and Cech compactification of a countable discrete set / M. Nakamura, S. Kakutani // Proc. Japan Acad. -1943. 19. - P. 224-229.

20. Neuser, R. Summation of almost convergent divergent sequences, topological methods / R. Neuser // Manuscripta Math. 1982. - 40. -P. 17-26.

21. Ahmad, Z. U. Invariant means and some matrix transformations / Z. U. Ahmad, Mursaleen, Q. A. Khan // Indian J. pure appl. Math. -1994. V.25. №3. - P. 353-359.

22. Mursaleen On some new sequense spaces of invariant means / Mursaleen, A.K. Gaur, T.A. Chishti // Acta Math. Hungar. 1997.- V.75. №. P. 209-214.

23. Li, C. On cr-limit and sa-limit in banach spaces / C. Li, S. Li, Y.-C. Li // Taiwanese J. of Math. 2005. - V.9. №3. - P. 359-371.

24. Nanda, S. Some new sequence spases / S. Nanda, K.C. Nayak // Indian J. Pure Appl. Math. 1978. - 9. - P. 836-846.

25. Das, G. Some new sequence spases and absolute almost convergence / G. Das, B. Kuttner, S.Nanda // Trans, of Amer. Math. Soc. 1984.- V.283. №. P. 729-739.

26. Nanda, S. Strongly almost summable and strongly almost convergent sequences / S.Nanda // Acta Math. Hungar. 1987. - V.49. №1-2. - P. 71-76.

27. Deeds, J. Summability of vector sequences / J. Deeds // Studia Math.- 1968. V.30. - P. 361-372.

28. Kurtz, J.C. Almost convergent vector sequences / J.C. Kurtz // Tohoku Math. J. 1970. - V.22. - P. 493-498.

29. Kurtz, J.C. Almost convergent in banach spaces / J.C. Kurtz // Tohoku Math. J. 1972. - V.24. - P. 389-399.

30. Hajducovic, D. The functionals of the kind of Banach limits / D. Hajducovic // Publ. Inst. Math.(Beograd). 1975. - 19(33). - P. 245249.

31. Hajducovic, D. Almost convergence of vector sequences / D. Hajducovic // Mat. Vestnik. 1975. - 12(27). - P. 73-76.

32. Hajducovic, D. Quasi-almost convergence in a normed space / D. Hajducovic // Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 2002.- 13. P. 36-41.

33. Lord, S. Dixmier traces as singular simmetric functionals and application to measurable operators / S. Lord, A. Sedaev, F.Sukochev // J. Funct. Anal. 2005. - 224. №1. - P.72-106.

34. Day, M.M. Amenable semigroups / M.M. Day // Illinois J. Math. -1957. V.l. - P.509-544.

35. Fairchild, L. Extreme Invariant Means without Minimal Support / L. Fairchild // Trans, of Amer. Math. Soc. 1972. - V.172. - P. 83-93.

36. Гринлиф, Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения / Ф. Гринлиф. М.: Мир, 1973.- 136 с.

37. Dixmier, J. Existence de traces non norinales / J. Dixmier // C. R. Acad. Sci. Paris. 1966. - 262. - P. 1107-1108.

38. Carey, A. L. Spectral flow and Dixmier traces / A. L. Carey, J. Phillips, F. A. Sukochev // Adv. Math. 2003. - 173. №1. - P.68-113.

39. Доддс, П.Г. Сингулярные симметричные функционалы и банаховы пределы с дополнительными свойствами инвариантности / П.Г. Доддс, Б. де Пагтер, А.А. Седаев, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. - Т. 67. №6. - С.111-136.

40. Кери, A.JI. Следы Диксмье и некоторые приложения в некоммутативной геометрии / A.J1. Кери, Ф.А. Сукочев // Успехи Мат. Наук.- 2006. Т. 61. №6. - С.45-107.

41. Stieglitz, М. Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Fastkonvergenz / M. Stieglitz // Math. Japon. 1973. - №18. - P. 53-70.

42. Mursaleen A note on F^-convergence / Mursaleen //'Analysis Mathematica. 1987. - V.13. - P. 169-172.

43. Pitt, H. R. General Tauberian theorems / H. R. Pitt // Proc. London Math. Soc. 1938. - V.44. - P. 243-288.

44. Agnew, R. P. Tauberian conditions / R. P. Agnew // Ann. of Math.- 1941. V.42. №. - P. 293-308.

45. Lorentz, G.G. Tauberian theorems and Tauberian conditions / G.G. Lorentz // Trans, of Amer. Math. Soc. 1948. - V.63. №2. - P. 226-234.

46. Kuo, M.-K. Tauberian conditions for almost convergence / M.-K. Kuo // Positivity. 2009. - V.13. №2. - P. 326-335.

47. Lindenstrauss, J. Classical Banach Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Springer, 1996. - 243 c.

48. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Д. Шварц. М.: Едиториал УРСС, 2004,- 896 с.

49. Эдварде, Р. Функциональный анализ / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969.-1071 с.

50. Kalton, N. Rearrangement invariant functionals with applications to traces on symmetrically normed ideals / N. Kalton, F. Sukochev // Canad. Math. Bull. 2008. - V.51. Ш. - P. 67-80.

51. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Лю-стерник, В.И. Соболев. М.: Наука, 1965.- 520 с.

52. Fremlin, D. A decomposition theorem for additive set-functions, with application to Pettis integrals and ergodic means / D. Fremlin, D. Talagrand // Math. Z. 1979. V.168. - P. 117-142.

53. Kriippel, M. An inequality for Banach limits of bounded number sequences / M. Kriippel // Rostocker Math. Kolloq. 1995. - 48. -P.75-79.

54. Eberlein, W.F. Banach-Hausdorff limits / W.F. Eberlein // Proc. Amer. Math. 1950. - №.1. - P. 662-665

55. Харди, Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. М.: УРСС, 2006. - 504 с.

56. Mursaleen, М. Matrix transformations between the space of Cesaro sequences and invariant means / M. Mursaleen, E. Savas, M. Aiyub, S.A. Mohiuddine // Int. J. of Math, and Math. Sci. 2006. - V.2006. P. 1-8.

57. Shaefer, P. Matrix transformations of almost convergent sequences / P. Shaefer // Math. Z. 1980. - V.112. - P. 321-325.Г4

58. Raimi, R. A. Factorization of summability-preserving generalized limits / R. A. Raimi // J. London Math. Soc. 1980. - V.22. №2. -P. 398-402.

59. Левитан. Б. M. Почти-периодические функции /Б. М. Левитан. -М.: ГИТТЛ, 1953. 356 с.

60. Избранные задачи по вещественному анализу / Б.М. Макаров, М.Г. Голузина, А.А. Лодкин, А.Н. Подкорытов; Наука.М., 1992. -432 с.

61. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды /Н. К. Бари. М.: Физ-МатГиз, 1961.- 936 с.

62. Li, Y.-C. Almost convergence of sequences in banach spaces in weak, strong and absolute senses / Y.-C. Li // Taiwanese J. of Math. 2006. - V.10. №. - P. 209-218.

63. Alaoglu L. Weak topologies of normed linear spaces / L. Alaoglu // Ann. Math. 1940. - V.41. - P.252-267.

64. Appel, J. Some remarks on Banach limits / J. Appel, E. De Pascale, P.P. Zabrejko // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1994. - XLII. -P.273-278.

65. Кашин, B.C. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. -М.:АФЦ, 1999. 560 с.

66. Novikov, I. Haar Series and Linear Operators / I. Novikov, E. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - 218 c.

67. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю.Н. Петунин, Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

68. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. М.: Наука, 1974. - 480 с.