Спектральный анализ решений функциональных уравнений в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Основные функциональные пространства и примеры банаховых алгебр

2. Банаховы модули

3. Критерии почти периодичности некоторых классов ограниченных решений функциональных уравнений

4. Критерии а-почти периодичности

ГЛАВА II. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Однородные пространства

2. Расщепляемые однородные пространства и матричное представление операторов

3. Определение и свойства периодических операторов

4. Уравнения с "периодическими" коэффициентами

В диссертации исследуются спектральные свойства решений различных классов функциональных уравнений. В частности, особенное внимание уделяется выяснению условий почти периодичности решений изучаемых функциональных уравнений.

Теория почти периодических (п. п.) функций была заложена в 1924 -1926 гг. в работах Г. Бора [88]. В дальнейшем существенный вклад в эту теорию внесли такие математики, как С. Бохнер [85], [87] Дж. фон Нейман [86], Б.М. Левитан [39] - [41] и многие другие.

В настоящее время методы п.п. функций нашли широкое применение в исследовании по теории динамических систем, теории дифференциальных и операторных уравнений, спектральной теории операторов, теории представлений и других разделах функционального анализа (см. [19], [20], [29], [42] - [47], [76] - [82], [89], [97], [98], [105]).

Оказалось, что при исследовании на почти периодичность решений функциональных уравнений полезно иметь критерии почти периодичности различных классов функций. Один из первых результатов в этом направлении еще в 1937 г. был получен Б.М. Левитаном [95] для скалярных функций, имеющих конечное число предельных точек спектра на каждом конечном промежутке. На векторные функции теорема Б.М. Левитана обобщалась Л.Америо [75], В.В. Жиковым [29] и Более Боситом [20]. Для скалярных функций окончательный результат (в терминах спектра) был получен Л. Люмисом [96], установившим почти периодичность равномерно непрерывной ограниченной функции, спектр которой не содержит непустых совершенных подмножеств. Простая переформулировка теоремы Люмиса для векторных функций оказалась не верной, а ее обобщения тесно связаны с обобщением теоремы М.И. Кадеца [30], полученные Боле-сом Боситом [19], а также теоремой Б.М. Левитана об интеграле от почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве. Окончательные критерии почти периодичности ограниченных векторных функций были получены А.Г. Баскаковым [14].

В диссертационной работе исследуются как ограниченные так и растущие с неквазианалитическим весом а векторные функции, заданные на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Проводимое исследование основывается на использовании теории представлений абелевых групп, а также банаховых алгебр (теории банаховых модулей).

В первой главе вводится понятие а-почти периодичности растущих функций и изучаются критерии почти периодичности и а-почти периодичности векторов из банаховых модулей. Полученные критерии используются для исследования спектральных свойств решений различных классов функциональных уравнений.

Изучение специального класса функциональных уравнений, так называемых уравнений с периодическими "коэффициентами", составляет содержание второй главы. Под функциональными уравнениями с периодическими "коэффициентами"понимаются уравнения вида

Ах = /, (2) где А является периодическим оператором, х и / принадлежат одному из функциональных пространств. Примерами таких операторов являются

1. Оператор D : W™(Кп) С Lp(Rn) Lp(Rn) - дифференциальный оператор с частными производными, имеющий вид

Dx)(u) = ^ aa(u)(Dax)(u), и 6 R, ж 6 W™(mn), а\<т где аа : —> С - непрерывные скалярные периодические функции и а = {аьа2, Е Мп.

В частности, в работах Кучмента П.А. (см. [36] - [38]) рассматривались важные в приложении дифференциальные операторы вида

Dx)(u) = -(Ах)(и) + v(u)x(u), где v : Жп -» С - периодическая функция.

2. В статьях Пуляева В.Ф. (см. [54] - [57]) рассматривались интегральные операторы вида (Bx)(t) = Jm K(t, s)x(s)ds, x 6 C(K, Cn), действующие в банаховом пространстве C(R, Сп), причем ядро К : Ж х М EndCn удовлетворяет условию

K(t + w,s + uj) = K(t,s), t,se R, для некоторого и; G R+. Им же изучались интегральные операторы в гильбертовом пространстве функций суммируемых с весом а.

3. Оператор А : lp —t lp, р Е [1, сю], задаваемый матрицей А = {A(i,j) : i,j G Z}, коэффициенты которой удовлетворяют следующим условиям о) ]Г SUP |Л(», j)| < оо; кеzг~з=к b) Л(г + к, j + к) = A(i,j) при всех г, j G Ъ и некотором к € N.

Для исследования свойств решений функциональных уравнений с периодическими "коэффициентами"используется теория абстрактных периодических операторов (см. [33], [34], [54] - [57]), действующих в банаховых пространствах векторозначных функций, определенных на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Так как в качестве области определения таких операторов могут выступать разнообразные функциональные пространства, то для удобства изложения в первом параграфе вводится понятие однородного пространства векторных функций ii(G,X), определенных на локально компактной абелевой группе группе G. При помощи техники представления периодического оператора в виде оператора свертки с суммируемой операторнознач-ной функцией [35] исследуются спектральные свойства периодических операторов, действующих в расщепляемых однородных пространствах. Получены критерии почти периодичности для решения уравнения вида (2), где оператор А £ EndLoo(G,Y).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях

- Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, 2000;

- Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XII, Воронеж, 2001;

- Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XIII, Воронеж, 2002; а так же на семинаре кафедры ММИО Воронежского государственного университета (руководитель проф. Баскаков А.Г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [106] - [113]. Автор благодарит своего научного руководителя Баскакова А. Г. за постановку задач и помощь в их реализации.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

В первой главе исследуются спектральные свойства векторов из банаховых модулей над коммутативными банаховыми алгебрами. Активно используется теория коммутативных банаховых алгебр (см. [25], [21]), а также теория регулярных банаховых алгебр (см. [72], [73], [23]).

Первый параграф первой главы содержит основные необходимые для дальнейшего изложения определения и теоремы по данной тематике.

Во втором параграфе в терминах теории банаховых модулей вводится понятие спектра Берлинга (см. [14],[76],[77],[92]), которое является ключевым для формулировки основных результатов диссертационной работы.

Символом Y) обозначим банахово пространство сильно измеримых существенно ограниченных относительно веса ск функций, принимающих значения в банаховом пространстве У, с нормой

MU = eS5suPMM gcG ос(д)

Пример 2.2. Пусть Т : G EndX сильно непрерывное представление. Положим а(д) = ||Т(—: д Е G К+ (отметим, что а - весовая функция и Т - сильно непрерывная группа операторов). Положим fx = J f(s)T(—s)xds, f E La(G),x E X. (2.1)

Очевидно, что формула (2.1) задает на X структуру Ьа(6?)-модуля.

Определение 2.7. Пусть М - произвольное подмножество из В-модуля X. Спектром Верлинга множества М назовем подмножество А(М) из SpB тех характеров ядро которых содержит идеал 1{М) = {а £ В : ах = 0 \/х Е М} (другими словами, хо £ Л(М) тогда и только тогда, когда существует а Е В, а(х) ф 0 и ах = О \/х Е М, где а(х) ~ преобразование Гельфанда элемента а).

Определение 2.8. Спектром A(x,F) вектора х Е X относительно подмодуля F С X назовем спектр А(ж) элементах из фактор-модуля X/F.

Пусть Ah = S(h) - /, где S(h) - оператор сдвига из L™(G,Y), I -тождественный оператор, действующий в этом пространстве (далее символ I используется для обозначения тождественного оператора в любом из рассматриваемых пространств). Символом Cua(G,Y) обозначим подпространство пространства L£°(G, У), состоящее из функций, удовлетворяющих условию

Анф 0 в Y) при h-> 0.

Функцию ф, принадлежащую Cua(G,Y), будем называть а-равномерно непрерывной.

Определение 2.4. Согласно И. Домару [91], будем называть функцию р Е Cua{G, Y) полиномом степени п, если Дд+1р = 0 для всех h Е G и А\р ф 0 для некоторого h. Символом CPn(G,Y) обозначим пространство полиномов степени не выше п и через CP(G, Y) - подмножество всех полиномов из Cua(G,Y).

Таким образом, в случае G = Z, полином степени п есть функция вида п p(s) = ajs\ s, aj E Z, j=o в случае G = Rm - функция многих переменных p(t), t = (ti,., tm) E Mm, равная сумме произведений своих аргументов, возведенных в различные степени так, что общая степень каждого из слагаемых не превышает п и в случае G — Т, существуют только полиномы нулевой степени р{7) = Const, 7 Е Т. Функции вида т i=1 где 7^ € G, 0 ф-pi Е У), га Е N назовем обобщенными тригонометрическими полиномами (квазиполиномами).

Замечание. Спектр Берлинга введенного таким образом ненулевого полинома р Е Cua(G, У) состоит из единственного характера 70 = 1, и спектр Берлинга обобщенного тригонометрического полинома есть множел ство {7i EG : г — 1 , .,m}.

Определение 2.5. Пусть а : G —>• М+ - весовая функция. Замыкание обобщенных тригонометрических полиномов, входящих в Cua(G, У), обозначим символом ЛРа (G, У) и функции из ((7, У) будем называть а-почти периодическими функциями.

Таким образом, множество а-почти периодических функций APa(R, Y) является подмодулем £а(Е)-модуля Сща(К, У).

Третий параграф посвящен рассмотрению случая банахова модуля над коммутативной банаховой алгеброй, все примарные идеалы которой максимальны. В качестве примера такой алгебры может выступать алгебра абсолютно суммируемых на G комплекснозначных функций Li(G), а в качестве примера L\(GQ-модуля - модуль равномерно непрерывных ограниченных на G векторных функций Cub(G,Y). Абстрактные результаты (см. [14], [8]), полученные для данного класса функций используются для исследования спектральных свойств разностных и дифференциальных уравнений специального вида.

Рассматривается дифференциальное уравнение х- Ах = f, (3.1) где А - линейный замкнутый оператор с плотной областью определения

D(A) в Y, являющийся генератором сильно непрерывной полугруппы операторов {T(t), t G R+} С EndY, и функция / принадлежит пространству С6(М, Y).

Уравнения вида (3.1) рассматривались многими математиками. Мы отметим только работы C.JI. Соболева [63], Б.М. Левитана, В.В. Жикова [40], Ю. И. Любича [46], [47], Болеса Босита [82], В. Арендта (W. Arendt) и Ч. Бэтти (Ch. Batty) [76].

Пусть Х() С Сь(R, Y) - подпространство всех ограниченных непрерывных решений однородного уравнения. Символом <т$ обозначим замыкание множества Usga:0 т- е- ^о — Л(Хо) = {А Е Л(ж) : х G Хо}.

Лемма 3.3. Пусть х G Cb(R, Y) - обобщенное решение уравнения (3.1) и спектр Л(/) функции f, стоящей в правой части уравнения, не имеет предельных точек на R. Тогда Л(ж) С <то U Л(/).

Следствие. [14] Пусть х G C&(R, Y) - обобщенное решение уравнения (3.1). Тогда гА(х) С (а{А) П Ж) U гА(/)

Теорема 3.3. Пусть х G Cj(R, Y) - обобщенное решение уравнения (3.1), множество ctq U Л(/) - счетно и пространство Y не содержит подпространств, изоморфных пространству cq. Тогда х G АР(М, Y).

Отметим, что подобные критерии п.п. ограниченного решения уравнения типа (3.1) уже формулировались в работах [14], [53], [76], [82]. Новизна данного результата состоит во введении в рассмотрение множества <7о- Обоснованность такой формулировки теоремы можно пояснить на следующем примере.

Пример 3.3. Если А = £ : W^R) С £2(Ж) ^(R), то точечный спектр (Td{A) оператора А уравнения (3.3) пуст (т.е. оператор А не имеет собственных векторов)и сг(А) = Ж. В этом случае сто = 0, в то время как множество сг(А) П Ж = Ж не является счетным.

Далее рассматривается разностное уравнение вида

Ах(п + 1) - Вх(п) = /(п), (3.4) где х Е loo (^> 5 / принадлежит Fq замкнутому, инвариантному относительно сдвигов подпространству ^(Z, У); операторы А, В Е Hom(X,Y).

Определение 3.6. Спектром пары операторов А,Ве Нот(Х, У) назовем множество сг(Л, Л), состоящее из комплексных чисел 7 таких, что оператор 7А — В необратим.

Теорема 3.4. Пусть х Е -X") ~ ограниченное решение разностного уравнения (,3.4)■ Тогда A(x,Fq) С сг(Д В) П Т, и х почти периодично, если выполнены следующие условия: 1) Fq = AP(Z, Y), 2) сг(А,В) П T не более, чем счетное множество и 3) У не содержит подпространств, изоморфных пространству со сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел.

Следствие. [14] Пусть х Е /^(Z, X) - ограниченное решение разностного уравнения х(п + 1) - Ux(n) = f(n), (3.5) где U Е EndX. Тогда А(ж, i*o) С o~(U) П Т, и х почти периодично, если выполнены следующие условия: 1) Fo = AP(Z,X), 2) сг([/)Г)Т не более, чем счетное множество и 3) X не содержит подпространств, изоморфных пространству соВ четвертом параграфе рассматривается случай банахова модуля X над коммутативной регулярной банаховой алгеброй В (алгеброй Шилова), все примарные идеалы которой имеют конечную коразмерность. Примером такой алгебры может служить алгебра суммируемых с неквазианалитиче-ским весом а комплекснозначных функций La(G), а примером банахова La(G)- модуля - модуль а-равномерно непрерывных векторных функций Cua(G,Y). Получены достаточные условия для принадлежности элемента алгебры В минимальному примарному идеалу этой алгебры.

Пусть Вх С Ker\ ~ минимальный примарный идеал алгебры В, принадлежащий ядру характера х Е 5р Л, т.е.

Вх = {а Е В : х Ф suppa}.

Лемма 4.1. Если а Е Кегх, то существует такое натуральное т, что ат Е Вх.

Данная лемма обобщает результат Шилова Г.Е. [72, гл. 2, п. 6], который был получен для случая бесконечно дифференцируемых функций, заданных на Ж.

Исследована спектральная структура наименьшего подмодуля, содержащего обобщенный собственный вектор модуля X.

Определение 4.1. Вектор xq Е X называется обобщенным собственным вектором модуля X, если существует характер хо £ SpB такой, что для некоторого натурального т выполняется условие (а — а(хо))ш^о = О для всех а Е В.

При т = 1 определение обобщенного собственного вектора эквивалентно определению собственного вектора.

Лемма 4.2. Пусть хо - обобщенный собственный вектор модуля X отвечающий характеру хо и Xq = [жо] - наименьший подмодуль, содержащий xq. Тогда A{xq) = {хо} и модуль Xq имеет конечную размерность.

Исследуются спектральные свойства векторов, спектр которых не содержит предельных точек (см. [79]).

Теорема 4.1. Пусть а - весовая функция, удовлетворяющая условию a{t) < С( 1 + |£|)7 и пусть функция ф Е CUQ,(M, Y) обладает конечным спектром А(ф) = {Ai,.,Am}. Тогда существуют многочлены р\, .,рт степени не выше целой части 7 такие, что ф = е^Р1 + . + е^Рт

Следствие. Пусть а - весовая функция, удовлетворяющая условию a(t) < С( 1 + |t|)7 и пусть функция ф Е Cua(]R, Y) обладает спектром А(ф), не имеющим предельных точек на М. Тогда ф Е APa(M, Y).

Полученные абстрактные результаты используются для изучения спектральных свойств решений предэкспоненциального роста дифференциальных уравнений вида х — Ах = /, 14

4.4) где А - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов из EndX и / принадлежит спектральному подмодулю X(А), А - замкнутое подмножество из М. В частности, получены достаточные условия для принадлежности решения уравнения (4.4) спектральному подмодулю -Х"(А) и критерии почти периодичности решений уравнения (4.4) в том случае, когда / Е АРа(Ж, Y) подмодулю а-почти периодических функций.

Символом P(f) обозначим первообразную функции /. Для случая функций предэкспоненциального роста дадим следующее определение обобщенного решения уравнения (4.4) (ср. [76]).

Определение 4.4. Обобщенным решением уравнения (4.4) назовем функцию х Е Сиа(М, Y) такую, что функция х\(t) = P(x)(t) = J*x(s)ds, где х\(t) Е D(A) Vt Е Е, удовлетворяет условию х\ — Ах\ = P(f).

Теорема 4.3. Пусть Y - комплексное банахово пространство, спектр сг(А) оператора А не имеет предельных точек на Ж и функция f Е AP(R, Y). Тогда любое обобщенное решение уравнения (4-4) из Сыа(К, У) является а-почти периодической функцией.

Теорема 4.4. (ср. [53]) Пусть А - компактное подмножество из Ш, содержащее нулевую точку, и спектр оператора А обладает следующим свойством

Тогда для P{f) Е -^(А) существует единственное обобщенное решение уравнения (4-4) х из Х(А).

Далее рассматривается случай, когда спектр вектора из 1/а(М.)-модуля X содержит предельные точки.

Определение 3.1 Пусть хо £ SpB. Ограниченную направленность (аа) С В назовем хо-направленностью, если аа = 1 для всех а и lim аа*а = О для всех а £ В, удовлетворяющего условию хо Ф supp а.

Последовательность а(А) П гА = 0. является примером обобщенной Ао-последовательности из Li(R).

Определение 4.5. Пусть функция х £ Сыа(Ш, Y). Будем говорить, что Ао £ А(х) не является спектральной точкой роста функции х, если существует / £ La(R) такая, что /(Ао) ф 0 и / * х £ Cub(R, Y).

Множество спектральных точек роста функции х обозначим символом Ainc(x) и символом Аъ(х) - множество А(х) \ Ainc(x).

Далее предполагается, что вес а имеет вид a(t) = (1 + |t|)7, где у > 0 и в качестве замкнутого инвариантного относительно сдвигов подпространства F рассматривается подпространство АРа(Ж, Y).

Теорема 4.5. Пусть для функции х £ Сща(Ж, Y) множество A(x,F) не имеет предельных точек на Ж и ни одна из предельных точек множества А(х) не принадлежит Ainc(x). Тогда х £ F, если выполнено одно из следующих условий:

1) пространство Y не содержит подпространств изоморфных пространству со, сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел.

2) множество значений функции х предкомпактно в Y.

3) для каждой предельной точки А £ А(х) найдутся такие f £ Ьа(Ш), /(А) / 0 и А-последовательность (/п) С L\(R), что у = f *х £ Сиъ(Ш, Y) и существует предел lim fn * х £ Y).

Теорема 4.6. Пусть х £ Cua(IR, Y) - обобщенное решение уравнения (4-4)■ Тогда если / £ APa(R, Y), множество ст(А) ПЖ не имеет предельных точек на Ж, множество iA(f) Псг(Л) не имеет предельных точек в А(/) и пространство Y не содержит подпространств, изоморфных пространству со, то х £ APQ(E, Y).

Вторая глава посвящена изучению спектральных свойств решений функциональных уравнений с периодическими "коэффициентами". Под функциональными уравнениями с периодическими "коэффициентами" понимаются уравнения вида

Ах = /, (II) где А является периодическим оператором, х и / принадлежат одному из функциональных пространств. Для исследования свойств решений функциональных уравнений с периодическими "коэффициентами"используется теория абстрактных периодических операторов, действующих в банаховых пространствах векторозначных функций, определенных на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Так как в качестве области определения таких операторов могут выступать различные функциональные пространства, то для удобства изложения в первом параграфе вводится понятие однородного пространства векторных функций iX{G, Y).

Определение 1.1 Банахово пространство il(G, Y) измеримых (по Бох-неру) локально интегрируемых функций, определенных на группе G со значениями в комплексном банаховом пространстве У будем называть однородным, если выполняются следующие условия

1. Сдвиг S(g)x(h) — х(д + h), h Е G, любой функции х из 11 на произвольный элемент д Е G принадлежит Ни ||5(<7):е|| = ||ж||.

2. Свертка (/ * x)(h) — jGf(g)x(h — g)dg, h E G, любой функции f E Li(G), имеющей компактный носитель suppf = {g G G : f(g) ^ 0},и x G ii принадлежит пространству it, и j|/ * < ||/||i||£||u;

3. Для любых x E il и 7 E G функция jx, имеющая вид (jx)(g) = 7(g)x(g), g E G, принадлежит пространству 11, причем линейный оператор V(j)x = ух, действующий в И, ограничен.

Во втором параграфе вводится понятие расщепляемого однородного пространства и определяется часто используемое в дальнейшем понятие матрицы оператора.

Пусть S ~ дискретная группа. Для каждого h Е S символом х G —> {0,1} будем обозначать характеристическую функцию множества Gq -t- h, где Gq - некоторая подгруппа из G, изоморфная группе G/Q. В частности, под символом %о будем понимать характеристическую функцию множества

Go

Определение 2.1. Однородное пространство 11 = 11(G,Y) будем называть расщепляемым, если для любой функции х 6 it функции хох вида (хох){9) — Хо{.9)х{я) принадлежит it, и выполняется неравенство

НхожНя < \\х\\и

Пусть it = il(G, У) - расщепляемое однородное пространство.

Определение 2.2. Семейство проекторов CP = {Р^ € EndX : h € 3} (индексированное элементами группы 3) будем называть разложением единицы, если оно дизьюнктно (т.е. PkPh — 0 для h ф к) и ряд Ylhes ^hX безусловно сходится для любого х (Е X.

Пусть it(G, У) - расщепляемое однородное пространство, У - семейство проекторов из формулировки леммы 2.1 и S = {S(h) : h £ 3} - группа операторов сдвига на элементы h решетки G. Символом 11(3, По) обозначим линейное пространство функций определенных на решетке 3 группы G со значениями в Но- Из свойства 3) леммы 2.1 следует, что

ImPh = Uh, he 3

Следовательно, ImS(—h)Ph = ito- Определим линейный оператор 3 : U(G, Y) -> lt(S,Ho) по формуле

3x)(h) = (S(-h)Phx)(h), h e S,® eii(G,Y). (2.1)

Положим |рж|| = ||ж|| для любого х G Y). Таким образом, it(3,ito) - банахово пространство. Отображение 3 задает изометрический изоморфизм расщепляемого однородного пространства il(G, Y) и соответствующего ему пространства lt(3,ito)> причем

3 ~1x = J2S(h)x{h), *eiI(S,iio). (2.1')

Не 5

Отметим, что пространства £P(G, У), р € [1, сю] соответственно изоморфны пространствам Lp(Gq,Y)).

Построение обратимой изометрии it лежит в основе метода Гельфанда И.М. [24], примененного им при исследовании дифференциального оператора.

Пусть Hi = ili(S, У), H2 — 1X2(3, Y) - расщепляемые однородные пространства и Уi, У2 ~ соответствующие семейства проекторов в алгебрах Endii 1, Endtt2 вида (2.2).

Определение 2.3. Матрицей оператора A G Я от (ili,!^) назовем опе-раторнозначную функцию А : 5x3 —> Нот(И1\,й2) вида A(k,j) = PjtAPj, k,j G S.

Заметим, что не каждый оператор однозначно восстанавливается по своей матрице. Поэтому все результаты данной главы формулируются для класса с-непрерывных операторов, которые обладают таким свойством.

Пусть Hi = Ui(G, У), Н.2 = il2(G, У) - однородные пространства функций.

Определение 2.4. Оператор А Е Лот (Hi, Н2) назовем с-непрерывным, если он переводит всякую локально сходящуюся последовательность в последовательность, также обладающую этим свойством.

Для случая, когда G не является дискретной группой, мы можем сформулировать следующее определение матрицы оператора.

Определение 2.5. Матрицей оператора A G Hom(iii,ii2) будем называть операторнозначную функцию А : 9x3 —У вида A(k,j)x = (3A3~1Xj)(k).

Отметим, что в случае, когда А £ Endil(S,Y), где 3 ~ дискретная группа, матрица оператора А : 3 х 3 —У- EndY определяется равенством A(k,j)x = (Ax(j))(k).

Третий параграф посвящен изучению свойств периодических операторов, действующих в однородных пространствах функций. Вначале, перед определением З-периодического оператора, рассматривается общий подход к понятию периодичности и затем приводятся некоторые вспомогательные свойства периодических операторов, необходимые для изложения результатов четвертого параграфа.

Пусть ShS2 ~ изометрические представления группы G операторами сдвига, действующими соответственно в однородных пространствах Hi = iii(R, У), Иг = иг(Ж,У). Представление 6 : G Нот(iXi,ii2) определим по формуле в(д)А = S2(g)AS1(-g), А е #om(ili,H2), S € G.

Определение 3.3. Оператор А 6 #0771(1X1,1X2) назовем 3-периодическим (периодическим с группой периодов 3)? если для любого и-> £ 3 выполняется равенство <S{uS)A = А.

В работе Кузнецова В. В. [35] показано, что для оператора В £ Endg(ili, U2) и к £ 3 элементы &-ой диагонали матрицы !В = j) : h3 £ 3} равны. Далее их будем обозначать символом Bk £ EndY, т.е.

Bk = %(j + k,j),jeS. (3.2)

Символом #orai(Ui,il2) обозначим подпространство З-периодических операторов, для которых выполнено условие

М<0°- (з.з) S

Через End\\X будем обозначать Homi (Л, IX). Л

Определение 3.4. Функцию В : 3 —EndY, определенную формулой

B^EndY. (3.4)

AeS назовем преобразованием Фурье оператора Б € End^d.

Лемма 3.2. [35] Пусть В £ EndiiL. Тогда существует операторнозначная функция b £ /i(S, EndY) такая, что Вх = 6 * ж, т.е. fees

И четвертый заключительный параграф содержит основные результаты главы. При помощи техники представления периодического оператора в виде оператора свертки, получены достаточные условия почти периодичности решения х уравнения вида

Ax = f, 20

4.2) где А £ EndgLp(G,Y) - 9-периодический оператор, / £ AP(G,Y). Подобные уравнения для более частного случая рассматривались в работах Пуляева В.Ф. [56], [57] и Савчиц Е.Ю. [62].

Пусть А £ Endgil - 9-периодический оператор уравнения (4.2), такой, что оператор В = ЗАЗ~г : ~^ подобный оператору А, принадлежит пространству Endiil($, ito). Тогда мы можем рассмотреть эквивалентное уравнение

Вх = /, (4.2')

Функцию Ъ £ h(S, Eruftl), задаваемую равенством Вх = Ь * х (ее существование гарантируется леммой 3.2) назовем функцией Лорана оператора В (ср. [67]).

Для функции Лорана 6 определим множество л /\ » ^

5(6) = {7 £ 9 : 6(7) — У b(k)j(—к) — необратим}, ке S которое назовем сингулярным множеством функции 6 (ср. [54] - [56], [62]). Соответствующее подмножество из G определим как

S(p) = {х £ G : х{9 + п) = jVn £ 9 и д £ Go, причем Ь(х) - необратим}.

Следующая лемма устанавливает связь между спектром Берлинга А(х, APU) функции ж € it относительно подмодуля APU почти периодических функций из Я и спектром соответствующей ей последовательности х, задаваемой изоморфизмом 3.

Лемма 4.1. Пусть х - ограниченная функция изМ. Тогда А (ж, АРЫ)) С A(x,APUa).

Лемма 4.2. Пусть х £ $X{G,Y). Тогда 70 ^ А (ж), если существует операторнозначная функция F £ L\(G, EndY) такая, что F * х = 0 и F(70) £ EndY - обратимый оператор.

Теорема 4.3 (о локальной обратимости) Если F £ Li{G,$), где 5Г-банахова алгебра с единицей е, обладает свойством: F{70) - обратимый оператор из алгебры 3 и jq Е G, то существует такая функция Ф Е Li(G, iF), что (.Р*Ф)(7) = F (7)^(7) = е в некоторой окрестности V точки 7о

Из утверждений лемм 4.1, 4.2 вытекает один из основных результатов главы

Теорема 4.4. Пусть х Е Cb(G, Y) - непрерывное ограниченное решение уравнения (4-Ю Тогда Л (ж, APil) С S{b), их - почти периодическая функция, если множество S(b) счетно и Y не содержит подпространств, изоморфных пространству cq сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел.

Данная теорема содержит и обобщает результат Савчиц Е.Ю.[62, стр. 61], рассматривавшей периодические операторы, действующие в пространстве СЬ(Ш, Сп).

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации/Н. И. Ахиезер. М.: Наука. 1965. 407 с.

2. Барабашин Е.А. Введение в теорию устойчивости/Е.А. Барабашин. М.: Наука. 1967. 223 с.

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды/Н.К. Бари. М: ФМ. 1961. 209 с.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалити-ческих и спектральных операторов/А.Г. Баскаков// Изв. РАН. Т. 58(1994), №4. с. 1 31.

5. Баскаков А. Г. Функции корректного оператора/А. Г. Баскаков, А. И. Перов, Та Куанг Хай// Сб. трудов аспирантов мат. фак-та ВГУ. 1/1971. с. 5 10.

6. Баскаков А.Г. Почти периодические решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ А.Г. Баскаков, А.И. Перов// Тезисы I респ. конф. по диф. уравнениям, Ашхабад, 1972. с. 1 5.

7. Баскаков А.Г. Некоторые критерии почти периодичности ограниченных функций/ А.Г. Баскаков. Труды НИИ математики ВГУ. 1973. №11. с. 10 16.

8. Баскаков А.Г. О спектральном синтезе в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами/ А.Г. Баскаков. Мат. зам. 1983. Т. 34, №4. с. 573 585.

9. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экпотенциальной операторных функций/ А.Г. Баскаков. Мат. сборник. 1984. 124(166), N 1(5). с. 68 95

10. Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории почти периодических функций: Диссертация на соискание ученой степени к. ф-м. н./А.Г. Баскаков. Воронеж, 1973. 100 с.

11. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов/ А.Г. Баскаков. Воронеж, 1987. 157 с.

12. Баскаков А.Г. Неравенства Бернштейновского типа в гармоническом анализе/ А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1979. Т.20, №5. с. 948 -952.

13. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов/А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1983. Т.24, №1. с. 21 39.

14. Баскаков А. Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений/А.Г. Баскаков// Мат. зам. 1978. Т. 24, т. с. 195-207.

15. Баскаков А. Г. Об общих эргодических теоремах в банаховых моду-лях/А.Г. Баскаков// Функ. анализ. 1980. Т. 14, №3. с. 63 64.

16. Баскаков А. Г. Спектральные свойства ограниченных линейных функционально-дифференциальных уравнений/А. Г. Баскаков, Бонг Чан Хыу// Доклады РАН. 1992. Т. 325, №4. с. 74 78.

17. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ/А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38, т. с. 14 28.

18. Берс JI. Уравнения с частными производными /Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. М.: Мир. 1966. 351 с.

19. Более Босит Р. Обобщение двух теорем М.И. Кадеца о неопределенном интеграле абстрактных почти периодических функций/ Р. Более Босит// Мат. зам. 1971. Т. 9, №3. с. 311 321.

20. Более Босит Р. Кандидатская диссертация/Р. Более Босит. Москва. 1971.

21. Бурбаки Н. Спектральная теория/Н. Бурбаки. М.: Мир. 1972. 183 с.

22. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике/В.С. Владимиров. М. Наука. 1979. 318 с.

23. Гамелин Т. Равномерные алгебры/Т. Гамелин М.: Мир. 1973. 334 с.

24. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами./И. М. Гельфанд. ДАН СССР. 1950.Т.73, вып. 6. стр. 1117-1120.

25. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца/И. М. Гель-фанд, Д.А. Райков, Г.Е. Шилов. М.: Физматгиз. 1967. 508 с.

26. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М. 1970. 536 с.

27. Данфорд Н. Линейные операторы/Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Мир. Т.1: Общая теория. 1962. 895 с.

28. Данфорд Н. Линейные операторы/Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Мир. Т.2: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. 1962. 895 с.

29. Жиков В.В. Почти периодические решения дифференциальных уравнений в банаховых пространствах/В.В. Жиков// Сб. Теория функций и ее приложения. Харьков, 1967. вып. 4. с. 176 188.

30. Кадец М.И. Неопределенный интеграл от почти периодических функций в пространстве Банаха/М.И. Кадец// Функциональный анализ и его применения. 1969. Т.З, Вып. 3. с. 71-74.

31. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука. 1976. 542 с.

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С. Г. Крейн. М.: Наука. 1965. 407 с.

33. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения/ В.Г. Курбатов. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1990. 167 с.

34. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов/В.Г. Курбатов// Фукнцион. анализ и его прилож. 1990. Т. 24, вып. 2. с. 87 88.

35. Кузнецов В.В. Спектральный анализ периодических операторов: Диссертация на соискание ученой степени к. ф-м. н./В. В. Кузнецов. Воронеж, 1996. 116 с.

36. Кучмент П. А. Представления решений периодических дифференциальных уравнений в частных производных /П.А. Кучмент. Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1982. Т.46, N4, с. 782 809.

37. Кучмент П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных/П.А. Кучмент. УМН. 1982. Т.37, N4. с. 3 52.

38. Кучмент П.А. О фредгольмовости оператора, порожденного абстрактным эволюционным уравнением с периодическим операторным коэффициентом /П.А. Кучмент, Е.П. Большакова. Воронежский лесотехнический ин-т. Воронеж, 1989. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 21.03.09. N1795 В.

39. Левитан Б.М. Почти периодические функции/Б.М. Левитан. М.: Го-стехиздат. 1953. 396 с.

40. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения/Б.М. Левитан, В.В. Жиков. М.: Изд-во МГУ. 1978. 205 с.

41. Левитан Б.М. Об интегрировании почти периодических функций со значениями из банахова пространства/Б.М. Левитан. Изв.АН.СССР, Сер. мат. 1966. №30. с. 1101 1110.

42. Любич Ю. И. Введение в теорию банаховых представлений групп/ Ю. И. Любич. Вища Школа. 1985. 142 с.

43. Любич Ю. И. Об операторах с отделимым спектром/, Мацаев В. И. Мат. сб. 1962. Т. 56, N4. с. 433-468.

44. Любич Ю. И. Почти периодические функции в спектральном анализе операторов/Ю. И. Любич. ДАН СССР. 132(1960). с. 518 520.

45. Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов корректного оператора/Ю. И. Любич. УМН, 1963. Т. 18, Вып. 1(109). с. 165 171.

46. Любич Ю. И. Консервативные операторы/Ю. И. Любич. УМН. 1965. Т. 20, Вып. 5(125). с. 221 225.

47. Любич Ю. И. Об одном классе операторов в банаховом простран-стве/Ю. И. Любич. УМН. 1965. Т. 20, Вып. 6(126). с. 131 133.

48. Абстрактный гармонический анализ/Л. Люмис. М.: ИЛ. 1956.251 с.

49. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Высшая школа. 1982. 271 с.

50. Массера X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства/ X. Массера, X. Шеффер. М.: Наука. 1970. 456 с.

51. Мухамадиев Э. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений/ Мат. заметки. 1981. Т.20, вып. 3. с. 443 460.

52. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций/ Э. Мухамадиев// Мат. заметки. 1972. Т.11, вып. 3. с. 269 274.

53. Перов А.И. О почти периодических решениях однородного дифференциального уравнения/А.И. Перов, Та Куанг Хай// Диф. ур. 1972. Т. 8, вып. 3. с. 453 458.

54. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I/В.Ф. Пуляев// Диф. ур. 1989. Т.10. с. 1789 -1797.

55. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. П/В.Ф. Пуляев// Диф. ур. 1990. Т.8. с. 1423 -1432.

56. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений/ В.Ф. Пуляев// В сборн.: Интегральные и дифференциальные уравнения. Изд-во Кубанского государственного университета, Краснодар, 1992. с. 58 75.

57. Пуляев В.Ф. Об асимптотических ^-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра / В.Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк// Диф. ур. 1974. Т. 10, вып. 6. с. 1103 1110.

58. Рид М. Методы современной математической физики/ М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир. Т 3: Теория рассеяния. 1982. 405 с.

59. Рид М. Методы современной математической физики/М. Рид, Б.Саймон. М.: Мир. Т 4: Анализ операторов. 1982. 417 с.

60. Рудин У. Функциональный анализ/У. Рудин. М.: Мир. 1975. 503 с.

61. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу/Ф. Рисс, Б. Надь. М.: Мир. 1979. 587 с.

62. Савчиц Е.Ю. Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами: Диссертация на соискание степени к. ф.-м. н./Е.Ю. Савчиц. Краснодар. 2002. 120 с.

63. Соболев С.Л. О почти периодичности решений волнового уравне-ния/С.Л. Соболев. Докл. АН СССР. 1945, 48, №8, с. 570 574; 1945. 48, №9. с. 646 - 650; 1945. 49, №1. с. 12 - 15.

64. Фельдман Г.М. Об изометрических представлениях локально компактных абелевых групп/Г.М. Фельдман. Докл. АН СССР. 1972. 207, №5. с. 1063 1066.

65. Фельдман Г.М. О полупростоте алгебры, порожденной изометрическим оператором/Г.М. Фельдман// Функц. анализ и его прилож. 1974. Т. 8, т. с. 73 74.

66. Фельдман Г.М. О спектральных подпространствах неквазианалити-ческого оператора/Г.М. Фельдман. Мат. физика и функц. анализ. Харьков, 1972. Вып. 3. с. 81 87.

67. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах/П. Халмош. М.: Мир. 1970. 352 с.

68. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/Э. Хилле, Р.С. Филлипс. М.:ИЛ. 1962. 605 с.

69. Хьюит Э. Абстрактный гармонический анализ/Э. Хьюит, К. Росс. М.: Наука. 1975. Т.1. 657 с.

70. Хьюит Э. Абстрактный гармонический анализ/Э. Хьюит, К. Росс. М.: Наука. 1975. Т.2. 901 с.

71. Шеффер X. Топологические векторные пространства/Х. Шеффер. М.: Мир. 1971. 359 с.

72. Шилов Г.Е. О регулярных нормированных кольцах/Г.Е. Шилов//Труды ин-та им. В.А. Стеклова. Вып. 21. 1947 г.

73. Шилов Г.Е. Однородные кольца функций/Г.Е. Шилов// УМН. 1951. Т. 6, 1(41). с. 91 137.

74. Allan G. R. Ideals of vector-valued functions/ G. R. Allan. Proc. London Math. Soc. 1968. V 18, №. p. 193 216.

75. Amerio L. Almost periodic functions and functional equations/L. Ame-rio and G. Prouse. New York, 1971. 457 p.

76. Arendt W. Asymptotically Almost Periodic Solutions of Inhomogeneous Cauchy Problem on the Half-line/W. Arendt and C.J.K. Batty// Bull. London Math. Soc. 31(1999), pp. 291 334.

77. Arendt W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems/W. Arendt, M. Hieber, F. Neubrander. Bull. Birkhauser Verlag 2001. Basel-Boston-Berlin. 323 p.

78. Basit B. Les fonctions abstraites presque automorphiques et presques periodiques au sens de Levitan et leur differences/B. Basit. Bull. Sci. Math. (2)101(1977), p. 131 148.

79. Basit B. Polinomials and functions with finite spectra on locally compact abelian groups/B. Basit, A.J. Pryde// Bull. Austral. Math. Soc. 51 (1995), pp. 33 42.

80. Basit B. Weighted almost periodic functions/B. Basit, A.J. Pryde// Analysis paper 102, Department of Mathematics, Monash University.

81. Basit B. New almost periodic type functions and solutions of differential equations/B. Basit, C. Zhang// Can. J. Math. 1996. Vol. 48(6), pp. 1138 1153.

82. Harmonic Analysis and Asymptotic Behavior of Solutions to the Absract Cauchy Problem/B. Basit// Semigroup Forum. 1997. Vol. 54, pp. 58 74.

83. Bochner S. A new approach to almost periocity/S. Bochner// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 48(1962), p. 2039 2043.

84. Bochner S. Absolutely convergent Fouier expansions for non-commutativ normed rings/S. Bochner, R.S. Phillips// Ann. of Math. (2). 1942. V. 43, №3, p. 409 418.

85. Bochner S. Fastperiodische Losungen der Wellengliechungen/ S. Bochner. Acta Math. 62(1934), p. 227 237.

86. Bochner S. On compact solution of operational differentional equa-tions/S. Bochner, J. von Neuman// Ann. of Math. 36(1935). p. 435-447.

87. Bochner S. Abstrade fastperiodiche Funktion/S. Bochner// Acta Math. 1933, V. 61. p. 149 184.

88. Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, I, II/H. Bohr// Acta Math. 1925. 45, p. 29 127; 1925. 46, p. 101 - 214.

89. Choicone C. Evolution Semigroups and Dynamical Systems and Differentional Equations/C. Choicone, Y. Latushkin. American Mathematical Society, 1999. 507 p.

90. Demko S. Decay rates for inverses of band matrices/S. Demko, W.F. Moss, P.W. Smith. Math. Сотр. 1984. V. 43, p. 491 499.

91. Domar Y. Harmonic Analysis Based on Certain Banach Algebras/Y. Domar. Acta Math. 96(1956), pp. 1-66.

92. Engel K.J. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations/ K.J. Engel, R. Nagel. Springer Verlag. 2000. 586 p.

93. Favard J. Sur les equations differentielles a coefficients presque peri-odiques/J. Favard. Acta Math. 1927. V. 51, p. 31 81.

94. Hamza A.E. Spectral Criteria of Absract Functions; Integral and Difference Problems/A.E. Hamza, G.L. Muraz. Acta Math. Vietnamica. 1998. Vol. 23 (1), pp. 171 184.

95. Lewitan B.M. On a integral equations with almost periodic solutions/ B.M. Lewitan// Bull. Amer. Math. Soc. 43(1937), pp. 677 679.

96. Loomis L.H. Spectral characterization of almost periodic functions/L.H. Loomis. Ann. Math. 1960. V. 72, 2. pp. 362 368.

97. Phong V.Q. On the spectum, complete traectories and asymptotic stability of linear semi-dinamical systems/V.Q. Phong// J. of Differential Equations 105(1993), p. 30 45.

98. Phong V.Q. Almost periodic solutions of Volterra equations/V.Q. Phong. Differential and Integral Equations. 1994. V. 7, pp. 1083 1093.

99. Pruss J. Weakly almost periosity of convolutions/ J. Pruss W.M. Ruess// J. of Integral Equations and Applications. 1993. V.5, pp. 519 530.

100. Ruess W.M. Integration of asymptotically almost periodic functions and weak asymptotic almost periodicity/W.M. Ruess, W.H. Summers. Disser-tationes Math. 1989. V. 279, pp 151 237.

101. Ruess W.M. Asymptotically almost periodic solutions of evolution equations in Banach spaces/W.M. Ruess, V.Q. Phong// J. of Differential Equations. 1995. V. 122, p. 282 301.

102. Stepanoff V.V. Ueber einige Verallgemetrugen der fastperiodichen Funktionen/ V.V. Stepanoff//Acta Math. 1926. V. 95, p. 437 498.

103. Weech W.A. Almost automorphic functions on groups/W.A. Weech// Amer.J.Math. 1965. V.87, p. 719 751.

104. Wiener N. Generaliased Harmonic Analysis/ N. Wiener//Acta Math. 1930. V. 55, p. 117- 258.

105. Zhang'C. Integration of vector-valued pseudo almost periodic func-tions/C. Zhang// Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 121, p. 167 174.

106. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений разностных урав-нений/Д.В. Елисеев // ВГУ, Вестник ПММ. 2/2000. стр. 93 96.

107. Елисеев Д. В. Свойства неограниченных решений дифференциальных уравнений/ Д. В. Елисеев // ВГУ, Вестник ПММ. 3/2002. стр. 98 -113.

108. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений функциональных уравнений/ Д. В. Елисеев // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы, мат-лы международ, конф. (Воронеж, 22-27 мая 2000 г.). М.: Прогресс-Традиция. Т. 2. 2001. стр. 93 99.

109. Елисеев Д. В. Спектральные свойства функций предэкспоненци-ального роста/ Д. В. Елисеев // сб. Молодые ученые ВГУ. 2/2002. стр. 12 14.

110. Елисеев Д. В. Спектральные свойства обобщенных решений дифференциальных уравнений/ Д. В. Елисеев // Вестник ВГУ. 1/2002. стр. 127 128.

111. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений разностных урав-нений/Д. В. Елисеев // Международ, науч. конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, 15 20 мая 2000 г.: Тез. докл. Воронеж, 2000. с. 94 - 95.

112. Елисеев Д. В. О почти периодических решениях функциональных уравнений/Д. В. Елисеев // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XII", Воронеж, 3-9 мая 2001 г.: Тез. докл. Воронеж, 2001. с. 187.

113. Елисеев Д. В. Функции предэкспоненциального роста/ Д. В. Елисеев // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XIII", Воронеж, 3-9 мая 2002 г.: Тез. докл. Воронеж, 2002. с. 51.