Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов

Калужина, Наталья Сергеевна

Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Калужина, Наталья Сергеевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов»

Автореферат диссертации на тему "Спектральный анализ функций и асимптотическое поведение полугрупп операторов"

На правах рукописи

Калужина Наталья Сергеевна

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛУГРУПП

ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

З ОКТ 2013

Воронеж - 2013

005533900

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Курбатов Виталий Геннадьевич, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, профессор кафедры Высшей математики и статистики доктор физико-математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич, Воронежский государственный технический университет

зав. кафедрой прикладной математики Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоится 22 октября 2013 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22 д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертация посвящена некоторым избранным вопросам спектральной теории функций и ее приложениям к изучению асимптотического поведения ограниченных полугрупп операторов.

Впервые термин "спектр функции" начал использовать Н. Винер в своей монографии, изданной в 1933 году1, объясняя введенное понятие аналогичным термином, используемым в физике. В 1945 году была опубликована статья А.Берлинга2, в которой было дано определение спектра существенно ограниченной на вещественной оси К функции как совокупность тех вещественных A G К , для которых функция t i—> егА< : M —» С принадлежит ¿1(Ж)-замыканию линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции. Затем Карлеманом было дано свое определение спектра функции, использующее се преобразование Лапласа3.

Начиная с работ А.Г. Баскакова4 5 е, спектральная теория функций стала систематически применяться в вопросах изучения качественных свойств ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Основное внимание было уделено спектральным критериям почти периодичности ограниченных решений, определенных на всей оси М. Для случая полуоси М+ = [0, +оо) наиболее возможным свойством поведения на бесконечности решений дифференциальных уравнений яв-

1 Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications / N. Wiener // Cambridge, England: the University Press. - 1933. - 201 p.

2Beurling A. Un theoreme sur los fonctions borness et uniformément continues sur l'axe reel / A. Beurling // Acta Math. - 1945. - У- 77. - P. 127-136.

3Данфорд H. Линейные операторы / H. Данфорд, Дж. T. Шварц// - M.: Мир. - 1974. - Т.З. - 0G3 с.

4Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций / А.Г. Баскаков // Дис. канд. физ.-мат. наук. - Воронеж: ВГУ. - 1973.

5 Баскаков А.Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений / А.Г. Баскаков // Мат. заметки,- 1978.- Т.24,- №2,- С.195-200.

6Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А. Г. Баскаков // Матсм. сб. - 1984. - T.124(lGß). - >1(5). - С. 08-95.

ляется их почти периодичность, включающая их возможное убывание, а также их стабилизацию на бесконечности.

Одними из первых работ в исследованиях по качественной теории уравнений параболического типа стали работы А.Н. Тихонова, А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискупова. В статьях В.Д. Репникова и С.Д. Эйдельмана7, В.Н. Денисова и В.В. Жикова8, А. К. Гущина, В.П. Михайлова и Ю.А. Михайлова9, Ф.Х. Мукминова10 изучались вопросы стабилизации решений при £ —> оо (поточечной и равномерной) параболических уравнений.

Результаты о стабилизации решений, как правило, были получены при условии существования равномерного среднего у начальной функции. Актуальной является проблема описания асимптотического поведения решений без наличия этого условия. Именно этой проблеме посвящены многие результаты из глав 2 и 3 диссертации. Заменой свойства стабилизации является медленное изменение на бесконечности решения рассматриваемого параболического уравнения.

Для изучения медленно меняющихся на бесконечности функций возникает потребность использования спектральной теории функций.

В статье А. Берлинга 1945 года был получен результат относительно спектральных свойств равномерно непрерывных ограниченных на веще-

7Репников В. Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности / В. Д. Репников, С. Д. Эйдельман // Матем. сб. - 1907. - Т.115. - №1. - С. 155-159.

8Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнении / В.Н. Денисов, В.В. Жиков // Мат. заметки. - 1985. - Т.37. - ,\«6. - С. 834-850.

9Гущин А.К. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка / А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов // Матем. сб. - 1985. - Т.

170. - № 2 (10). - С. 147-168.

10Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка / Ф. X. Мукминов // Матем. сб. - 1980. - Т. 153. - .\Ч. - С. 503-521.

ственной оси функций. Далее последовала попытка С. Годемана11 доказать теорему Берлннга для существенно ограниченных комплексных функций, но в 1966 году в статье12 П. Кусис установил ошибочность утверждения С. Годемана, а также заметил, что теорема Берлннга перестает быть верной для непрерывных ограниченных функций, и указал схему построения соответствующего примера. Обобщение теоремы Берлннга на функционалы из сопряженных пространств к некоторым классам иолупростых коммутативных банаховых алгебр было получено Н. Домаром13. Им же было введено понятие "узкого"снсктра функционалов. Исследования диссертации тесно связаны с вопросом обобщения теоремы Берлннга на более широкий класс функций. В частности, одним из результатов диссертации, полученном в главе 2, является теорема 2.2, которая обобщает теорему Берлннга на функции из однородного пространства, обладающие непустым существенным спектром. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.

Цель работы состоит в получении обобщения теоремы Берлннга для функций из однородных пространств, имеющих непустой существенный спектр. Также целью является приложение полученных результатов к стабилизации решений параболических уравнений.

Методы исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые резуль-

"Godemcnt S. Theorems tauberiens et theorie spectrale / S. Godcment // Annales de l'Ecole Normal Supérieure. - 1947. - № 04. - P. 119-138.

12Koosis P. On the spectral analysis of bounded functions / P. Koosis // Amer. Math. Soc.- 1900. - № 10. - P. 121-128.

,3Doniar Y. Some results on norrow spectral analysis / Y. Doniar // Math. Scand. - 19G7. - № 20. - P. 5-18.

таты:

1. Доказано совпадение различных определений спектра и изучена взаимосвязь между различными подходами к определению спектра функции.

2. Обобщение теоремы Берлинга для специального класса функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абелевой группе. Установлено, что если непрерывный унитарный характер (экспонента, если группа совпадает с группой вещественных чисел К) является существенной точкой спектра функции, то характер является с-пределом линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции.

3. При исследовании асимптотического поведения полугрупп операторов вводится специальный класс функций, называемых медленно меняющимися на бесконечности функциями. Изучены свойства таких функций и получено приложение к теории стабилизации слабых решений параболических уравнений.

4. Изучены качественные свойства слабых решений задачи Коши уравнения теплопроводности, а также слабых решений задачи Неймана для уравнения теплопроводности.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты могут быть использованы для изучения качественных свойств решений параболических уравнений, а также асимптотического поведения полугрупп операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2011, 2013, на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI»

2010, на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 — 17]. Из совместных работ [1,2] в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором. Работы [1, 9, 15] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 68 наименований. Общий объем диссертации 91 страница.

Содержание диссертации. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории топологических групп, банаховых модулей и представлений групп. Рассматриваются различные подходы к определению спектра функции и исследуется взаимосвязь между ними.

В статье 1945 г. А. Берлингом было дано следующее понятие спектра функций из £°°(М).

Определение 1.10. Спектром функции х е называется мно-

жество А(х), состоящее из таких чисел Дц 6 К, для которых функция (характер) ед0(£) = ехр^Х^,), ( £ 1, содержится в ¿^замкнутом подпространстве, порожденном сдвигами функции х.

Пусть б - локально компактная абелева группа, (5 - двойственная группа унитарных непрерывных характеров группы б.

Будем считать, что X - комплексное банахово пространство, которое является невырожденным банаховым ((7)-модулем, структура которого ассоциирована с некоторым изометрическим ограниченным представлением Т : б —» ЕпйХ. Введем теперь определение спектра Берлинга вектора

х из банахова Ь1 (С)-модуля (Х,Т).

Определение 1.13. Спектром Берлинга вектора а: из банахова модуля (X, Т) называется множество А(х) = А(х, Т) характеров из группы (5, являющееся дополнением к множеству

{-у & С! : существует / € ¿ЧС?) такая, что /(7) ^ 0 и /х = 0}, или, что эквивалентно,

А(а;) = {7е6: /ж ф 0, для любой / € Ь\в) с /(7) ф 0}.

Заметим, что определение 1.13 эквивалентно определению 1.10 для функций из Ь°°(Ш).

К множеству пробных функций £(К) отнесем все непрерывно дифференцируемые бесконечное число раз функции на М, убывающие при £ —► оо вместе со всеми своими производными быстрее любой степени |£|-1, т.е.

Ит = 0 для любого т € N. Множество всех обобщенных функ-

Ш->00

ций медленного роста на обозначим через £'(М).

Пусть х € Сь(М) является функцией медленного роста на бесконечности. Тогда х определяет регулярную обобщенную функцию медленного роста F £ £'(М) по формуле

< Р,<р >= J х{Ь)ф)(И,(р е £(К). (1.5)

Заметим,что поскольку X € О,(К), то имеет смысл говорить о ее спектре Берлинга А(х) (см. определение 1.13). В первой главе диссертации доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть х £ Сь(К) является функцией медленного роста на бесконечности, а обобщенная функция Р € £/(К) определяется по формуле (1.5). Тогда спектр Берлинга (см. определение 1.13) функции

х совпадает с носителем обобщенного преобразования Фурье функции і7, т.е. справедливо равенство:

А(х) = виррр.

Во второй главе диссертации получено обобщение теоремы Берлинга на специальный класс функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абелевоЛ группе, имеющих непустой существенный спектр. Основные результаты главы 2 получены для классов функций из следующего определения.

Определение 2.1. Банахово пространство ^(Є, Е) функций, определенных на группе С, со значениями в комплексном банаховом пространстве Е, называется однородным пространством функций, если выполнены следующие условия:

1) 3(С!,Е) содержит пространство Сь,и{С,Е) и содержится в пространстве Б1 (С, Е), причем вложения

сї(<?, Е) с 51 (<?,£)

инъективны и непрерывны (инъективпость означает инъективность оператора вложения);

2) в З^С, Е) определена и ограничена группа Б{д), д Є Є, операторов сдвигов функций

(в) = х{8 + д), в, д є <3, ж є Е);

3) для любых функций / Є Ь1{С), х Є 1{С,Е) их свертка

(/**)Ы= / Лт)х(д-т)йт = I /{т)(8(-т)х)Шг с в

принадлежит Е) и ||/*Ж|| < ||/||і||а:||;

4) ipx £ E) для любой x € 3{G, E) и любой функции ip e Cb(G) с компактным носителем supp (/>, причем < IMIooll3-!! 11 отображение g t-> (pS(g)x : G —> 1{G, E) непрерывно.

Ясно, что банаховы пространства Cb,u{G,E), Cb{G,E), SP(G,E), p e [l,oo), являются однородными пространствами.

Если Е = С, то символ Е в обозначении пространств будем опускать.Также предполагается, что группа G удовлетворяет условиям следующего предположения.

Предположение 2.1. Существует нредкомпактное измеримое множество V из группы G и дискретная подгруппа I из G такие, что выполнены условия:

+ 9i) п (У + 5г) = 0 Для любых дх ф д2 из J;

2) U (V + g) = G.

gel

Для того чтобы сформулировать теорему Берлинга, нам потребуется определение особой сходимости, которая используется в его теореме, а именно, с-сходимости.

Определение 2.2. Пусть Q - некоторое направленное множество. Направленность функций (ха), а G Q, из однородного пространства 'J(G, Е) называется с-сходящейся к функции xq € 3~(G, Е), если она ограничена

и \\т\[<р(ха — жо)|| = 0, для любой функции <р е CbU(G,E) с компактен '

ным носителем. Если, к тому же, lim ||a:Q|| = ||а:о||, то направленность (ха)

называется узко сходящейся к хо-

"Следующим результатом в спектральном синтезе был оригинальный и действительно поразительный результат Берлинга."14

Теорема 1.1. Пусть х 6 C(,,U(R) их/ 0. Тогда существует число До £ R и последовательность (хп) линейных комбинаций сдвигов функции

14Росс К. Абстрактный гармонический анализ / К. Росс., Э. Хьюитт// - М.: Мир, Т.2. - 1975. - 8U9 с.

х, которая узко сходится к функции (характеру) е\а.

Определение 2.3. Пусть Q - некоторое направленное множество и 7 6 G. Ограниченная направленность (fa), а £ П , функций из алгебры Ll(G) называется 7-направленностью, если выполнены условия:

1) fa(l) = 1 для всех а £

2) lim fa * / = 0 для любой функции / 6 Ll{G) с /(7) = 0.

Определение 2.5. Характер 70 £ G отнесем к существенному спектру Aess (ж) вектора х из банахова ¿1(С)-модуля (X, Г), если существует 7о-направленность (/„) из алгебры L1(G), для которой выполнено условие

Йт||/0ж|| > 0.

Следующая теорема является основным результатом главы 2 диссертации.

Теорема 2.2. Пусть G = M"xZ"lxK, где k,m£ NU{0}, К - компактная группа, и пусть функция х принадлежит однородному пространству 7(G), а характер -у0 £ G принадлежит существенному спектру функции X.

Тогда существует направленность (хп), составленная из линейных комбинаций сдвигов функции х, которая с—сходится к характеру 70.

В третьей главе вводится специальный класс функций, называемых медленно меняющимися на бесконечности, и исследуются свойства таких функций. Также, в третьей главе, получено приложение результатов диссертации к стабилизации слабых решений параболических уравнений, в частности, доказано, что каждое слабое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией из однородного пространства является медленно меняющейся на бесконечности функцией.

Через 3>(G, Е) обозначим замкнутое подпространство из 3"(G, Е) вида {х € ~F(G, Е) : функция g н-> S(g)x : G —> 2F(G, Е) непрерывна}, а через

?o(G, E) - наименьшее замкнутое подпространство из CF(G, Е), содержащее все функции ¡рх, х G J(G, Е), (р € Cb(G), suppip - компакт.

Определение 3.1. Функция х G 3c(G, Е) называется медленно меняющейся на бесконечности функцией, если для каждого а е G выполнено S(a)x — х G ^(G, Е).

Множество всех медленно меняющихся на бесконечности функций из ^(G, Е) будем обозначать через iFs;(G, Е).

Функцию х, принадлежащую банахову пространству Сь,и(М+, Е) равномерно непрерывных на Е+ = [0, оо) функций со значениями в банаховом пространстве Е назовем медленно меняющейся на бесконечности, если S(t)x - х принадлежит Go(M+,£) = {16 Сь,и(1&+,Е) : lim х(т) = 0}

г—+оо

для любого t 6 R+. В этом случае множество медленно меняющихся на бесконс шости функций будем обозначать символом С.,/, Е^.

Лемма 3.7. Для того чтобы функция х £ JC{G,E) принадлежала пространству iFs/(G, £), необходимо и достаточно, чтобы / * х — х е 3"o(G, Е) для любой функции / е Ll{G), удовлетворяющей условию /(0) = 1.

Теорема 3.1. Если х € Э^/(G, Е), то множество Л(х)\{0} содержится в непрерывном спектре функции х и Aesa(x) С {0}.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией хо из однородного пространства

^ = Лт dt

x(0,s) = ac0(s), s G '

(3.6)

где (A x)(s) = , s = (sj,..., sn) e R", t e M+. Классические реше-

¿=1

ния этого дифференциального уравнения описывает полугруппа оиерато-

ров и : М+ End3(Rn) вида

(U(t)x)(s) = (ft * x)(s), s € Г\ teM+,x€ ?(Rn),

f= |s|2 = £ |Si|2.

Функцию x(t, s) = (C/(i)a-o)(s), s € R", t > 0, назовем слабым решением задачи (3.6).

В следующей теореме слабое решение x(t,s), t € R+, s € К", задачи Коши (3.6) с Хц € Э"(К"), рассматривается как функция первого аргумента со значениями в Э^Ж"), т.е. рассматривается функция

х:Ш+-> У(КП), (x(t))(s) = x{t, s), t e M+, s e ?(M").

Теорема 3.12. Каэюдое слабое решение х задачи Коши (3.6) с хо G З^К") = iFc(]Rn) является медленно меняющейся на бесконечности функцией (элементом пространства CS/(M+,З^М™)).

Пусть Я - комплексное гильбертово пространство, EndH - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Я. Рассмотрим задачу Коши (3.8)

f = Lu + f(t),t>0,

(3.8)

и{ 0) = 0,

где / е £,1(М+, Я) П С0(К+, Я), и € Сь(®+, Я), оператор L : D{L) С Я Я имеет дискретный спектр и является самосопряженным. Пусть L < 0, т.е. (Lx,x) < 0, Vx G D(L), и 0 - изолированная точка спектра <r(L), которая является собственным значением кратности 1 (т.е. размерность ядра dimKerL = 1). Отметим, что оператор L является генератором некоторой С0-полугруппы (T(t)), t > 0.

Определение 3.5. Функция и £ СЬ(М+, Я) называется слабым ре-

шением задачи (3.8) (mild-solution), если она иредставима в виде

Теорема 3.13. Каждое слабое решение задачи (3.8) является медленно меняющейся на бесконечности функцией (элементом пространства

Список публикаций по теме диссертации

[1] Баскаков А.Г. Теорема Берлинга и стабилизация решений параболических уравнений / А.Г. Баскаков, Н.С. Калужина// Мат. заметкн.-2012.- Т.92,- №5,- С.3-21.

[2] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова с дискретным спектром / Н.С. Калужина, С.Б. Марюшенков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. - 2008. - №2,- С. 55-59.

[3] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций / Н.С. Калужина// КРОМШ-2008. Тезисы докладов. - 2008,-С.23.

[4] Калужина Н.С. Теорема Берлинга и се приложения / Н.С. Калужина// КРОМШ-2009. Тезисы докладов. - 2009. - С.ЗО.

[5] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для функций из однородных пространств / Н.С. Калужина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ- 2010.- С.73-

Csl(R+,H)).

[6] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и их свойства / Н.С. Калужина// Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы 'Понтрягннские чтения XXI'. -Воронеж: ВГУ. - 2010. - С.45.

[7] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции / Н.С. Калужина// КРОМШ-2010. Тезисы докладов. - 2010. - С. 20.

[8] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для функций с дискретным спектром и стабилизация решений параболических уравнений / Н.С. Калужина/ / International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.-2010. - V.20. - C.145-149.

[9] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции, периодические на бесконечности функции и их свойства / Н.С. Калужина/ / Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВГУ. -2010. - №2,- С. 97-103.

[10] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и их приложения к стабилизации решений параболических уравнений / Н.С. Калужина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ,- 2011,- С.43-44.

[11] Калужина Н.С. Теорема Берлинга и стабилизация решения уравнения теплопроводности / Н.С. Калужина// КРОМШ-2011. Тезисы докладов. - 2011. - С.25.

[12] Калужина Н.С. Качественные свойства слабых решений задачи Копій / Н.С. Калужина// КРОМШ-2012. Тезисы докладов. - 2012. - С.29-30.

[13] Калужина H.С. Качественные свойства слабых решений дифференциальных уравнений / Н.С. Калужпна/'/ Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2013. -С.52.

[14] Калужина Н.С. Медленно меняющиеся на бесконечности функции и последовательности / Н.С. Калужина// Вестник факультета ПММ. -Воронеж: ВГУ. - 2010. - №8.- С. 209-214.

[15] Калужина Н.С. Качественные свойства слабых решений задачи Ко-ши / Н.С. Калужина// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. - Саратов: СГУ. - 2013. - Т.13 - №1,- С. 8-13.

[16] Kaluzhina N.S. Stabilization of solutions of parabolic equations / N.S. Kaluzhina // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.- 2011,- V.21.-P.177-180.

[17] Kaluzhina N.S. Asymptotic properties of solutions of differential equations / N.S. Kaluzhina // International Scientific Journal: Spectral and evolution problems.- 2012.- V.22. - P.172-174.

Работы [1],[9],[15] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых

научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнаукн РФ.

Подписано в печать 14.09.13. Формат 60*84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 891.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издатсльско-иолиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Калужина, Наталья Сергеевна, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАЛУЖИНА НАТАЛЬЯ СЕРГЕЕВНА

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А. Г. БАСКАКОВ

Воронеж - 2013

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

1 Спектральный анализ ограниченных функций 16 §1.1 Введение в топологические группы. Локально компактная

абелева группа..................................................17

§1.2 Банаховы модули и представления групп....................18

§1.3 Определение спектра функций................................23

§1.4 Спектр Берлинга векторов в банаховых модулях............27

§1.5 Носитель обобщенного преобразования Фурье ..............29

§1.6 Спектр Карлемана..............................................36

§1.7 Локальный спектр векторов....................................37

2 Теорема Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств 41

§2.1 История вопроса и постановка задачи........................41

§2.2 Доказательство теоремы Берлинга для функций с существенным спектром из однородных пространств............49

3 Медленно меняющиеся на бесконечности функции и стабилизация решений параболических уравнений 54

§3.1 Понятие медленно меняющейся на бесконечности функции 54

§3.2 Свойства медленно меняющихся на бесконечности функций 58

§3.3 Определения Р. Шмидта и Ю.Л. Далецкого - М.Г. Крейна 64 §3.4 Приложение к стабилизации решений параболических

уравнений........................................................67

§3.5 Качественные свойства слабых решений задачи Коши ... 75

§3.6 Задача Неймана для уравнения теплопроводности в Ь2[0,1] 78

Список обозначений

М - поле вещественных чисел;

М+ - множество действительных чисел [0; +оо);

С - поле комплексных чисел;

Т={АеС:|А| = 1} - единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице); X - комплексное банахово пространство; Н - гильбертово пространство;

Еп(1Х - банахова алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства X; С - локально компактная абелева группа;

О - двойственная локально компактная абелева группа непрерывных унитарных характеров группы С; Z - группа целых чисел;

Т : (7 —> Епс1Х - Представление локально компактной абелевой группы (7 операторами из ЕпёХ] Е - некоторое банахово пространство;

-/7(6?, Е), р € [1, сю) - банахово пространство определенных на локально компактной абелевой группе С измеримых по Бохнеру относительно меры Хаара на С (классов) функций со значениями в банаховом про-

странстве Е, суммируемых со степенью р (с отождествлением классов эквивалентности), с нормой ||х||р = I / Нх^Н^в

Е) - банахово пространство существенно ограниченных функций, определенных на локально компактной абелевой группе со значениями в банаховом пространстве Е, с нормой ||:г||оо = г>гагэир Цх^)!!^;

дев

Сь(С,Е) - подпространство непрерывных функций из Е)-,

Сь,и (С, Е) - подпространство равномерно непрерывных функций из

Со (С?, Е) - подпространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности, из Ё)\

АР{С1, Е) - подпространство почти периодических функций Бора из

Е), где р Е [1,оо) - пространство Степанова измеримых на

С локально суммируемых функций, для которых конечна величина ( \1/Р

ЦгеЦ^р = вир / ||ж(5 + д)\\рЕ с1д ) , где V - некоторая компактная

56 в Чг )

окрестность нуля группы С.

Введение

Диссертация посвящена некоторым избранным вопросам спектральной теории функций и ее приложениям к изучению асимптотического поведения ограниченных полугрупп операторов.

Впервые термин "спектр функции" начал использовать Н. Винер в своей монографии, изданной в 1933 году [68], объясняя введенное понятие аналогичным термином, используемым в физике. В 1945 году была опубликована статья А.Берлинга [55], в которой было дано определение спектра существенно ограниченной на вещественной оси М функции как совокупность тех вещественных Л € К , для которых функция £ н-» егХЬ : М —» С принадлежит Ь1(М)-замыканию линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции. Затем Карлеманом было дано свое определение спектра функции, использующее ее преобразование Лапласа [17].

Начиная с работ А.Г. Баскакова [2], [3], [4], спектральная теория функций стала систематически применяться в вопросах изучения качественных свойств ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Основное внимание было уделено спектральным критериям почти периодичности ограниченных решений, определенных на всей оси М. Для случая полуоси М+ = [0, +оо) наиболее

возможным свойством поведения на бесконечности решений дифференциальных уравнений является их почти периодичность, включающая их возможное убывание, а также их стабилизацию на бесконечности.

Одними из первых работ в исследованиях по качественной теории уравнений параболического типа стали работы А.Н. Тихонова,

A.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова. В статьях

B.Д. Репникова[21], [49] и С.Д. Эйдельмана [51], В.Н. Денисова и В.В. Жикова [19], А. К. Гущина, В.П. Михайлова и Ю.А. Михайлова [15], Ф.Х. Мукминова [46] изучались вопросы стабилизации решений при £ —> сю (поточечной и равномерной) параболических уравнений.

В статье А. Берлинга 1945 года [55] был получен результат относительно спектральных свойств равномерно непрерывных ограниченных на вещественной оси функций. Далее последовала попытка С. Годема-на [57] доказать теорему Берлинга для существенно ограниченных комплексных функций, но в 1966 году в статье [63] П. Кусис установил ошибочность утверждения С. Годемана, а также заметил, что теорема Бер-

линга перестает быть верной для непрерывных ограниченных функций, и указал схему построения соответствующего примера. Обобщение теоремы Берлинга на функционалы из сопряженных пространств к некоторым классам полупростых коммутативных банаховых алгебр было получено Н. Домаром [56]. Им же было введено понятие "узкого"спектра функционалов. Исследования диссертации тесно связаны с вопросом обобщения теоремы Берлинга на более широкий класс функций. В частности, одним из результатов диссертации, полученном в главе 2, является теорема 2.2, которая обобщает теорему Берлинга на функции из однородного пространства, обладающие непустым существенным спектром. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.

Цель работы состоит в получении обобщения теоремы Берлинга для функций из однородных пространств, имеющих непустой существенный спектр. Также целью является приложение полученных результатов к стабилизации решений параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

2. Обобщение теоремы Берлинга для специального класса функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абеле-

вой группе. Установлено, что если непрерывный унитарный характер (экспонента, если группа совпадает с группой вещественных чисел К) является существенной точкой спектра функции, то характер является с-пределом линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции.

В статье [55] А. Берлингом было дано следующее понятие спектра функций из Ь°°(Ш).

Определение 1.10. Спектром функции х 6 называется

множество А (ж), состоящее из таких чисел Ао 6 К, для которых функ-

ция (характер) e\Q(t) = exp(i\ot), t £ R, содержится в ¿^-замкнутом подпространстве, порожденном сдвигами функции х.

Пусть G - локально компактная абелева группа, G - двойственная группа унитарных непрерывных характеров группы G.

Будем считать, что X - комплексное банахово пространство, которое является невырожденным банаховым L1 (С)-модулем, структура которого ассоциирована с некоторым изометрическим ограниченным представлением Т : G EndX. Введем теперь определение спектра Берлинга вектора [5] х из банахова Ll{G)-модуля (Х,Т).

Определение 1.13. Спектром Берлинга вектора х из банахова L1 (С)-модуля (Х,Т) называется множество А(ж) = А(х,Т) характеров из группы G, являющееся дополнением к множеству

а ' а

{7 £ G : существует / £ L (G) такая, что /(7) ^ 0 и fx = 0}, или, что эквивалентно,

А(х) — {j G G : fx ф 0, для любой / е Ll{G) с /(7) ф 0}.

Заметим, что определение 1.13 эквивалентно определению 1.10 для функций из L°°(R).

К множеству пробных функций отнесем все непрерывно

дифференцируемые бесконечное число раз функции на R, убывающие при t —> 00 вместе со всеми своими производными быстрее любой степени |i|-1, т.е. lim |:r(i)||£|m = 0 для любого m 6 N. Множество всех обоб-|—>-00

щенных функций медленного роста на j£f(R) обозначим через j£?'(R).

Пусть х G Cfc(R) является функцией медленного роста на бесконечности. Тогда х определяет регулярную обобщенную функцию медленно-

го роста Р 6 (К) по формуле

< р, (р >= J х(г)<р(г)(И, (р е (1.5)

Заметим,что поскольку X € Сь(М), то имеет смысл говорить о ее спектре Берлинга А(х) (см. определение 1.13). В первой главе диссертации доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть х 6 С&(М) является функцией медленного роста на бесконечности, а обобщенная функция Р 6 Л?'(Ж) определяется по формуле (1.5). Тогда спектр Берлинга (см. определение 1.13) функции х совпадает с носителем обобщенного преобразования Фурье функции Р, т.е. справедливо равенство:

А (ж) = виррЕ.

Во второй главе диссертации получено обобщение теоремы Берлинга на специальный класс функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абелевой группе, имеющих непустой существенный спектр. Основные результаты главы 2 получены для классов функций из следующего определения.

Определение 2.1. Банахово пространство ^"(С, Е) функций, определенных на группе С, со значениями в комплексном банаховом пространстве Е, называется однородным пространством функций, если выполнены следующие условия:

1) ¿^"(С, Е) содержит пространство Сь)И(С, Е) и содержится в пространстве ¿^(С, Е), причем вложения

Сь,и(С,Е)с^(С,Е)с31(С,Е) 10

инъективны и непрерывны (инъективность означает инъективность оператора вложения);

2) в ¿^"((7, Е) определена и ограничена группа 3(д), д £ С, операторов сдвигов функций

(ЗДх) (в) = ф + д), з,д Е <Я х 6 ^(С, Я);

3) для любых функций / £ гс е «^(С, Я) их свертка

(/**№) = 1/(т)х(д-т)<1т = I ¡{т){8{-т)х){д)ат в в

принадлежит и ||/*:г|| < Ц/ЦхЦхЦ;

4) <рх £ Е1) для любой х е <^"(<2, Е) и любой функции у? е О, (С) с компактным носителем вирр </?, причем ||у>я|| < 1М1оо|М| и отображение д I-)- (р8(д)х : —> <^"((2, -К) непрерывно.

Ясно, что банаховы пространства Е), Сь(С, Е), 3Р(С, Е),р Е

[1,оо), являются однородными пространствами.

Если Е = С, то символ Е в обозначении пространств будем опус-кать.Также предполагается, что группа С удовлетворяет условиям следующего предположения.

Предположение 2.1. Существует предкомпактное измеримое множество V из группы С? и дискретная подгруппа Л из С такие, что выполнены условия:

1 )(У + д{) П (V + д2) = 0 для любых ф д2 из I;

2)11 <У + д) = С.

де$

Определение 2.2. Пусть О - некоторое направленное множество. Направленность функций (ха), а G из однородного пространства JP(G,E) называется с-сходящейся к функции хо G <^(G,E), если она ограничена и \im\\cp(xa — жо)|| — О? Для любой функции ф G Cbu(G,E)

а '

с компактным носителем. Если, к тому же, Нт||:га|| = ||жо||, то иаправ-

ленность (ха) называется узко сходящейся к xq (см. [63]).

Следующим результатом в спектральном синтезе был оригинальный и действительно поразительный результат Берлинга (цитата из [53, гл.10, §40]).

Теорема 1.1 (Берлинг [55]). Пусть х G C&)U(R) их ^ 0. Тогда существует число Ао G К. и последовательность (хп) линейных комбинаций сдвигов функции х, которая узко сходится к функции (характеру) е\0.

Определение 2.3. Пусть - некоторое направленное множество и 7 G G. Ограниченная направленность (fa), а G О , функций из алгебры Ll(G) называется 7-направленностью, если выполнены условия:

1) /а(7) = 1 Для всех ск G П;

2) Нт/а * / = 0 для любой функции / G Ll(G) с /(7) = 0.

Определение 2.5. Характер 70 G G отнесем к существенному

спектру Aess(:r) вектора х из банахова 1/1(С)-модуля (.X, Т), если существует 7о-направленность (/„) из алгебры L1 ((?), для которой выполнено условие

Ш\\/ах\\ > 0.

Следующая теорема является основным результатом главы 2 диссертации.

Теорема 2.2. Пусть G = W1 х Zm х К, где k, т Е N U {0},

К - компактная группа, и пусть функция х принадлежит однородному пространству а характер 70 6 С принадлежит существенному

спектру А.езз(х) функции х.

Тогда существует направленность (ха), составленная из линейных комбинаций сдвигов функции х, которая с—сходится к характеру 7о-

Через Е) обозначим замкнутое подпространство из ^"(С, Е)

вида {х £ ¿Р(С,Е) : функция д 3{д)х : <2 —¿Р(С,Е) непрерывна}, а через ¿^о(О, Е) - наименьшее замкнутое подпространство из ¿^"(С, Е), содержащее все функции (рх, х £ ^"(С?, Е), (р £ Сь(С), виррср - компакт.

Определение 3.1. Функция х £ <^с(С,Е) называется медленно меняющейся на бесконечности функцией, если для каждого а £ С выполнено 3(а)х — х £ ¿^о(О, Е).

Множество всех медленно меняющихся на бесконечности функций из с?(С,Е) будем обозначать через <^/((7, Е).

Функцию х, принадлежащую банахову пространству Сг,,и(М+, £7) равномерно непрерывных на М+ = [0, оо) функций со значениями в

банаховом пространстве Е назовем медленно меняющейся на бесконечности, если S(t)x—x принадлежит Co(R+, Е) = {х G Е) : lim х(т) = 0} для любого t G R+. В этом случае множество медленно

Т—¥ ОО

меняющихся на бесконечности функций будем обозначать символом Csi(R+,E).

Лемма 3.7. Для того чтобы функция х G Е) принадлежала

пространству Е), необходимо и достаточно, чтобы f * х — х G

J^o{G,E) для любой функции / G Ll(G), удовлетворяющей условию

/(о) = 1.

Теорема 3.1. Если х G Е), то мноэюество Л(а;) \ {0} содер-

жится в непрерывном спектре функции х и Aess(x) С {0}.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией хо из однородного пространства J£"(R"):

I дх _ д

84 ' (3.6)

[а;(0,«) =®о(«)< s 6 К",

где (Arc)(s) = Y^ s = (sb --ч sn) £ t G R+. Классические решения i=1 i

этого дифференциального уравнения описывает полугруппа операторов U : R+ End&{\Rn) вида

{U{t)x)(s) = (ft * x)(s), s eRn, t e R+, x G ^(Rn),

гДе ft{s) = , £ > 0, s G R", |5|2 = £ Ы2.

Функцию ic(i, s) = (t/"(i)xo)(s), s G Rn, i > 0, назовем слабым решением задачи (3.6).

В следующей теореме слабое решение x(t,s), t G R+, s G Rn, задачи Коши (3.6) cio £ c^"(Rn), рассматривается как функция первого

аргумента со значениями в ^"(Rn), т.е. рассматривается функция

Теорема 3.12. Каждое слабое решение х задачи Коши (3.6) с хо Є сР(Кп) = является медленно меняющейся на бесконечности

функцией (элементом пространства С5г(М+,

Пусть Я - комплексное гильбертово пространство, ЕгмІН - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Я. Рассмотрим задачу Коши (3.8)

где / Є L\R+, #)nC0(R+, Я), и Є Сь(Ш+, Я), оператор L : D(L) С Я

Я имеет дискретный спектр и я