Простые плоские волны в композитных материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НЛШ0НЛЛЫ1Л АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇИІІ

ЦУРГІАЛ Сштлапя І/іаніина

ПООДИНОКІ ПРОСТІ ПЛОСКІ ХШШІ

д;тшоіюдіьиоі форми

II КОМПОЗИТНИХ МАТЕРІАЛАХ

01.02.01 - механіка деформішюго твердого тіла

дисертації на здойуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

■*о

’і

Інститут механіки ім.С.Л.Тіімоіішнка

Па правах рукопису

го

сх;

АВТОРЕФЕРАТ

Київ - 10%

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім.С.ГІ.Тнмошенка

Національної академії наук України

Науковий керівник доктор фізмко-матсматнчшіх наук

член Нью-Иорксі.кої академії наук

■ професор Рушішькнй ІІ.Я.

Офіційні опоненти: ліктор фізпко-мптематмчннх наук

' член Академії технологічних наук України

професор Селезои І.'Г.

доктор філіко-математнчних наук . член-кореснондент Міжнародної академії

. комп’ютерних наук га систем

' Маслои Б.І1. .

Иропідна установа - Національнії!'! університет .

' ім. Т.Г.Шевченка

Захист відбудеться -<#“ 1996 р. о годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.03.03 при Інституті механіки ім.С.Н.Тимошенка Національної академії наук України за адресою: 252057, Київ, вул.Нестсрова, 3 ; факс - (014)11603 19.

З дисертацією можна ознайомитись в (ї/Сл/огпіі Інституту механіки ім.С.П.Тимошснка ПАН України ( Київ, вул.Нестсрова. З ).

Реферат розіслано “$і“ !! р.

ІІчешііі секретар .

спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук, професор

'І.С.Чс -рмпілемко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОІ.ОТИ

Предметом дослідження її дпсгрі.шіішпі роОоті к прост і плоскі хвилі и ком і к >:>і і ти 11 \ матералах. Нішчалася простії хііиля дшінпіттіГитї <)к>рми н ра мкнх rjti.ov характерних дли (.'millennium матеріали! мікроструктурних тс-орііі - шадратичіш ікмі.ііііпіої тшірії ефектніших макроскопічних сталих, ліпііішії мікростру ктурної теорії -суміші та кішрнтично пеліиііііюї мікро-структурної теорії суміші. '

Аша^ишть„і__£Ц!!ііі!;_д»>аіі;і^м»;«;т:і. .тгаатиу» дисертації.

Як іі|юі:ті мш лі, так і композитні матеріали ііінічаютьси на протязі долгого часу Гііігатіліа поколіннями іічєшіх-мсхішікін і кожен зокрема к.так Гін мошпті, кмасіі'іи и м оП'ектом унаги. .

11 jки: і і хіні.і і як фізичне поняття «перше почали шшчппк я в мехапіпі рідин та газів ше на початку минулого сголіпіі. Точниіі рпзімізпк рінняш. руху нгіпізкої pUiuiii у шііїілдІ простої плоскої хші.іі знаШшю Пуассон (Poisson S.D.)n ШО!) ропі . Після Пуассона у магу до простих хшіль нроїш-лялії Птокс (Stokes G.O.) (І !МЯ), Міфі (Аугу G B ) 111! І1)), lpHiiioy(Earnshoiv S.XIM)). ‘ •

І) ІШіОроці Пула опублікчінана праия Рімашіа fRiemann В.).н> fiyn отри машііі рози’іізок одношіміріюї задачі /їла її іродшіамічіїпх jiiiiiiiini,, коли збу рсіІІІМ И.тнгке І рІШПІІІНИ стану Г. ДОЦІЛЬНИМ (]іуш.'||і(іц;ілі,шім зн'язком між тиском і,і густинокі.Цеіі результат шікладастьсп н риПогі на кількох сто рііік.А її її. Я2.1. Тут .піше зазначим», то н спїпшііі iiajKouiii літературі наііоільш яскраію результат І’іманпа прокоиеітшашпї Лаіітхіл.іо.м н ііого широкії иі іомііі монографії з теорії хшіль. Лаіітхілл пише так:

Гчиск\ че математичне відкриття, гроблено І’і.нашіом - одним з иаіі:інпчніших математиків середини 10 століття - заклало оспину «сієї наступної роботи :і нелінійної ніеорії плоских- звукових хвилі,. Це відкриття, рівносильне перетворенню рішить руху до «огляду, якиіі чудова легко надається для вииченнп хшіль будь-якої а мплітуди, привело в свій час'до прекрасного рівня розуміння пре дмеш у. ‘ '

.1 іншого боку, блискуча пишність математичної ніехніки. яка була віші/іистана для цього первісного перетиорення.иа протям довгого часу створювала гіпнотичний пилин па акустиків. Це »/ с в'-.ю до деякого мстою и нелінійній теорії муку, зв'їшаногч :і .яага

льним переконанням. що весь успіх в розумінні предмету залежав nig первісного математично блискучого перетворення. На протязі багаті,ох десятиліть не перешкоджало узагальненню результа-тіа на будь-які інші умочи поширення хвиль. і в тому числі на важливий випадок одномірного поширення в трубах або каналах з поступово змінними фізичними характеристиками рідини і попе . речішм перепитом, тому що п цих випадках неможливо знайти перетпоренпй з подібними властивостями. . .

I) цілому. міг ц Ш) пх роках її шпоплііііі моїюі 'рафії .’Іайтхілл засвід-ЧІІВ ЇІІДС.УПІІСТЬ прогресу 11 ЛОСЛІДЖСІІІІІ простих ХВИЛЬ.

'.^значимо. що спроба детально викласти сучасне розуміння прості хіш.іі іі:і (ніііоііі стін відомих книг :і пирії хпн.ть ( її інших ш: менш піди-ммх книгах :і теорії хпи.ть прості хвилі зга.пюті.ся лише побіжно ) оіш слна itК. Ні І. Туї же опишемо класичне означення простої млілі, яке дасться к мі.іручітку з механіки суцільного середовішіа Се кта. 'Гака хвиля іітилім л як нешшй розв'язок нелінійної системи ріишіш. ії і|мшела піки. і'.іііі‘{),іж} і:іі,і:п. шо така систем» /іжг не мас розв'язків тішу Д'А.тям бера класичного хвильової о рішиш ті. залежних тільки віл X ± tlul І тут

фгоя паї;псується через постійну фазову пінії ікісті. ). Ллє можім зна/іш розв'язок системи. який inline собою плоску мшлм і с >з;н алміенпяч (кіл . в'язків тішу Д'Лпімбгра /(.г ± а„і) лінійної теорії. Це такі частіші |мо-в’язки СІІСТСМП.ЛЛЯ ЯКИХ ШШІІКІСП. и є ф.\ ПКІІІСЮ тільки г; СТІННІ р. тоГі то

и-н(р) р~р(х.і)

' Такі розв'язки ('слон на;ишас розв'язками І’імашіа і рухи.шо підмивідають цим розв'язкам. називаю п, хвилями І’іманна або простими хвилями.

Сучасне означення прості хвилі дасться в книзі Мажена з механіки електромагнітних середовищ. Нона прнді.іяс окрему .мину ньому означен ню. ІІрапда. означаютьсл хвилі д ія електромагнітних середошнн. ("початку вводиться іюппттл однорідних. які не змінюються .1 часомхтаиіп - розв'язків консервативної системи рівнин ь.Розв'язком такої системи є вектор, всі компонент якого іімстіііш в деякій області простору (.V,/). Пасту п. ними за складністю автор ішажне прості хвилі, які означаютьсл так:

. ЯСНОСТІ/ІНШІ Ш'ЛерерВЛО ЛИфереШІІІІОІШНІІ розв’язок К ІІ|Х)СТОЮ хвилею в

■ області R простору (дякщо всі його компоненти постійні вздовж лі

иііі з илііоЯпрписгріешої родини, які нокрнгають всю область R.

JJe.xail 7(a): .r = с(а)/ + <т(ст), oB\ot;o2] с лініями вказаної о.^/іоііараметріїчної родини ліній {/((/)} з параметром

а. Функції r(a),a(cr) ііопшші бути дифереішійошіим. Щоб розв'язати попереднє, рііпишші відносно а і отримати а => o(x,t). необхідно, шоб шг кону задаси умова Д (cr,/) - с (a)t + а (а) * 0 , ст (rj <т,; ач |. Умшіа Л(ст,/) = 0 означає., то родина ліній {/(о)} мис огинаючу. Починаючи з нього монешу, (нмн'язок у вигляді щмісгої хнпді ажо нспіршпі. Ііиго продовження реаліз) с.ті.ся у «игладі ударних міни,. К jmcopnmmmii робіні проста хшти розуміється саме іак.нк ції тільки шо записано.

. ((кажемо тут ангорі» сімох фундаментальних книг з рі.шич розділів фі зики.про які її ас згадувалося раніше; І.-Іііногра.іонн,|\удеііко,('ухорукт)іі;

2, Знрсмбо.ІСрнсільпікоя; З.Лойїшіскін; 4. (Ієдов; 5. Лнйтхілл; 6. Мажен; 7.Уізем. .'іншісппі п ші\ книгах міркгун>иіші та означення практично є)ш‘ре чать о лип одному лише н питанні. чи підносиш хнпді Д'Л.шмбера до нрос тиV чи ні. Однак добре доповнюють один одного і створюють картину,яку можна б назнати вступом до теорії простих хвиль.

Одним з висновків, які можна зробити мри легальному знайомиш а теорією простих ХВИЛІ,, к відсутність .послі іжевь таких VIIIUI. II ТВерДИХ тілах ( матеріалах ) а внутрішньою мікроструктурою,,!» яких, зокрема.ні.і-носяті.ся композитні матеріалп.1 Іеперервпі нелінійні .хвилі в твердих тілах (механічні хшілі н матеріалах) взагалі значно .менше досліджені порішиш» з нелінійними хвилями,які вивчаються в інших розділах фізики. Пояснити таку ситуацію можна двома особливостями, з яких одна .мас загальний характер, а друга стосується' лише композитних матеріали).

Перша особливість пов’язана зі складністю систем рівнянь нелінійної теорії деформування матеріалі» і пзакмозв’язапістіо иоздовжних і попереч них хвилі,. Якщо зосередитися на простих хвилях ( оскільки нони с нред мегом уваги н дисертації ),то спостереження Лаіітхілла про неможливість перетворення таких систем так, як це зроби» І’імаїш. тут повністю застосовне, Друга особливість полягав в тому, шо хвилі в композитних матеріалах здебільшого описуються за допомогою мікроструктуріиїх теорії! лру і'ого порядку. Цс звичайно лінійні теорії і математично воші зводяться до більш складних рівнянь, ніж класичні рішишня теорії пружності. Ліс правило, хвильовий рух н таких теоріях вже не описується класичним хшільо штм рівнянням. Тим самим створюється .знову ситуація, КОЛИ перетворенії!!, подібні ріманношім. не знайдені і вивчаються лише, дисперсійні гармонічні хшілі.Узйі альїіенни чікроструктурвих теорій на випадок фізичної та геоме тричної нелініиностей віє більш усклв/шюс системи рівнянь,які описують хвильовий рух. Таким чшіоуі, були створені певні об'єктивні причини, які не спонукали до вивчення простих хвилі, в композитних матеріалах.

І) дев'яностих роках з'явилися роботи , в яких саме прості хвилі н тїм—

■ 5 ■

рднх пружних тілах сталії предметом аналізу ( Кделен.Фу і Скотт.І’уши-аькіїіі KJIi роботи iibnirp.iiuil. иш теорія простих хші.іь и матеріалах не с достатньо дослідженою. Оіже, залачи про поодинокі проі;ті хвилі її композитних матеріалах г. актуальною з тички зору подальшого розпитку теорії ік-і армонічннх неперервних хвиль її матеріалнх.Такої о ролу хішлі раніше, нчешімії-мехнніками пг розглядалися.

Па мг.ту п дисертаційній роботі було вибране вивчення плоских щіостнх хвиль л шінонодібної форми її гранульованих комнозиінпх маїері-алах. Основний механічнії» ефект, який шіячасться. полине в сполюїіії хішлі і спотшіреіші початкового профілі! хвилі шьчелі.юк пні еполюпії.Ио-стнилена мета включала постановку задачі про сііогшіренші саме лзвівоно дібної \ пі її і в рамках трьох характерних лля композитних матеріаліп мік-росірукі.урних тео|)ііі- кікілратії'їно ііелііііііної теорії ефектніших макроскопічних сталих, лінійної чікростру ктурної теорії суміші та квадраіично нелінійної чік(і<«:т[>\к п jUii'J теорії суміші. Далі стішилася за тача про отримання простих аналітичних розв'язків через лзішпиіолібну функцію та числовий аналіз ( математичне молелюяаш/я ) їм кі/чі/'к/ігрі єііо.імлііі мій лі. Для кожної з вибраних трьох моделей задача про еволюцію мас гімни снешіфіку.однак їх об'слпус спільна мета отримати нрелсіаіілешш розв'язку через дзпіноноліоііу функцію.ТоГіто.така мета - хоча б на якійсь обме женііі відстані поширення або. шо те ж саме, за якийсь оГімежешііі поча ткошііі промі 'чік часу описати профіль хішлі, яка поширюється н композитному матеріалі, за допомогою д.іпіиопо дібної функції. Ця меіа подібна до тікї.яку ставив І’іманп для нелінійних рішішіь гіт|іо.ііінамікті. Л іс отрп-маїпііі розп'язок уже не Пуле точним, а наближеним.

ІІаукоча иопизна і значущість результатів роботи полягають п тому. Що іінерше:

- ішнчепі еволюція та спотворення НОІЧШІОКІІХ ІірОСІІІХ хвиль ДЗІІІІІОІІОДІП Лої форми: проведений теоретичний ти числошііі аналіз еиолюпії плоскої поодинокої хішлі за класичною схемою иелініііної акустики: вивчений мі-кроструктуріїиіі механізм спотворення плоскої лзпіпонолібної хішлі за схемою лініііної теорії су міші: побудований новий ііаблііжеішії розв'язок у іш глялі лзпіпшюдіПлої хвилі і обгрунтована справедливість такого розв'язку: Зробленій і комп'ютернії!) аналіз спотворення хвиль: проведений теоретичний та числошііі аналіз спотворення плоскої поодинокої хвилі.'який прахо вус як класпчніні.тпк і мікростру ктурний механізми спотворення хвилі; отриманий розв'язок нелінійної системи хвильового руху метолом ПОПІЛЬНО змінних амплітуд: постанов ієна і проаналізована задача про синхронізм

трьох лзвіноподібних хвиль, де отримано новий результат, шо мри певних резонансних умовах дві поодинокі хвилі взаємодіють і породжують третю поодиноку хвилю.

Достовірність одержаних в дисертації результатів та висновків забез почується коректністю постановок задач,обірунтоиапіг.тю використовувано го математичного апарату, погодженістю результатів між собою і несуне речлішістю встановлених закономірностей з загальними міркуваннями фізи чної природи.

Теоретичнії значення та практична цінність одержаних о роботі результатів полягають:

• у розвитку теорії простих поодиноких хміль дзіїінонодібної форми, ІІКІ поширюються в композитних матеріал,тх,а саме п теоретичному та комп’-юте(шому аналізі еволюції та спотворення поодиноких простих хвиль дзві ноподібної форми-в гранульованих композитних матеріалах в рамках трьох мікроструктуршіх моделеіі композитів;

- і) знаходженні нових розв’язків ріїшянь ХВИЛЬОВОГО руху;

- в знаходженні нових тривимірних форм графічного представлення еволюції дзвіноподібних хвиль; .

- у виявленні новою механізму взаємодії поодиноких хвиль.

Реалізація та внропацження результатів, отриманих в дисертації,

Наукові дослідження виконувалися в рамках робіт, передбачених програмами та планами ІІДР ІІДІІ України.Результати дисертаційної роботи уві йшли до звіту теми фундаментальних робіт №1/227 "Розробка тривимірних структурних .моделей механіки композитів”.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповіла лися і обговорювалися на семінарах відділу динаміки поліагрегатшіх сере ловиш Інституту механіки ПАН України (1995-1996); пауковому семінарі за напрямком “Теорія коливань" при Інституті механіки НАМ України (1996); науковому семінарі з механіки лшхаліко-маїемаїпчиого факультету Національного університету України (1996); науковому семінарі з теорії нелінійних хвиль при Інституті гідромеханіки ПАН України (1996); 5-й міжнародній науковій конференції з математики пам’яті академіка М.Кра-вчука (1996). Важливі результати з дисертації доповідалися на 31-й Польській конференції з механіки (1996), 18-ому міжнародному симпозіумі "Vibrations in Physical Systems" (1996).

ПубліканіІ.По результатах дисертації опубліковано 5 наукових прань Основний зміст роботи відображено u публікаціях [1-5].

В працях, написаних з науковим керівником, ироф. Рушииькому fl.fl. нале-

я-і'ЗЄй- 7 '

житі, ідея д<>сліджень.загальпа постановка задач та вибір методів аналізу. Ст.на> кл:піпр. канд.фіз.-мат.наук Коваленку Л.ІІ. належить вибір способів комп'ютерного моделювання. Доценту к-анд.фіз.-мат.паук Кргашепу Іі.іі. на лежить шип пікніка задачі. Співавторам також належнії» участь в обгчшо-річнії та аналізі результатів.

Структура роботи. Дисертаційна робота склалактьг.я :і чотирьох • г.іаи, висновків та списку літератури.І’обота никладена її» 152 сторінках, включаючи шість таблиць та 10 рисунків. Ьібліографічниіі список налічи: ІЗ6 назв. .

КОРОТКИЙ ЗМІСТ ГОІ.ОТИ

І) тонші главі (вступі) подано огляд сучасного стану проблеми простих хвиль взагалі і в твердих тілах :>окрема.опнсане місце даної робо ти серед проведених раніше досліджень. сформульована мета р< Лоти. обгрунтовано актуальність та новизну результатів.тсоретнчне значення і ира ктнчіїу цінність |иЛ)іті. а також коротко викладені гклюшіі результати і обгрунтована їх достовірність. Сформульовані положення, що виносяться ііп'мміст. Стисло викладений зміст і иш.

Друга глава містить необхідні факти з застосованих в дисертації теорій дс(|юрмуваінія комнозитшіх матеріалів, а саме - класичної теорії ма кроскопічішх сталих, класичної теорії нелінійної пружності та лінійної теорії твердих сумішей, ('початку ішкладаються необхідні факти з класичної механіки суцільного середовиша та теорії мак|х>скопічніі\ сталих, де робиться наголос на композитних матеріалах, для яких навіть сам матері-аль/шіі континуу м вволиться по-сіиіему^|а-їі послідовно описуються ті положення з класичної нелінійної теорії иружності.пкі стосуються ГІІН'рііру жипх середовищ. Пагаласмо.іШ) иоилття гіиерпружних середошіш ввів Тру еделл для позначення таких середовиві, для яких існує потенціал накопиченої енергії. Детально викладається необхідна в подальшому класична кпа.щрі'Ш нелінійна тгорі«.основана на потенціалі Мериагана. Як відомо, цей потенціал означає нелінійно пружний ізоі|к>ннии матеріал.якийЛарак гартується двома яружними постійними дру гого порядку >, ц (ностнініг , ми Дяче) та трьома пружними постійними третього порядку АДС | постій

ними Мирнагана). Записуються рівняння нелінійної акустики.для чого вшг дпться тензор напружень Птли-Кір.хгоффа 1яп. і описується задача про

вмвмодік) гармонічних акустичних .хвиль. Особлива увага приділена трьом стшіщпшім задачам взаємодії позловжішх та іюііерсчпнх хвиль з одііакіг пою частотою. Наприклад, перша така: 1. Коли на вході в середовище за-

дається тільки поздовжна хвиля. П термінах механіки це означас. ш<> па

границі нішілошиші х=0 за-дакться колнианнл и ноздонжному напрямку з заданою частотою иі. Останній, третій, параграф иісї глави присвячений ліпііїнііа теорії двофазної суміші як мікросіруктурній теорії композитних матеріалів. Викладаються. основні положення теорії, далі аналізуються хвилі » сумішах. Суміш є диспсрсйшшм середовищем і тому гармонічні • хвилі в суміші дііснсрсшші. Детально аналізуються плоскі хвилі. Хвильо ііііГі рух описується трьома неюасмози'лзаішмн системами рівнянь

Отримані системи описують незалежне іюшнрсшія трьох шліц хвиль - по-здовжпої (Я-х»йлі),поперечної горизонтально? (5/-/-х»іі.чі) і поперечно? вертикально? (5У-хшілі). Системи Щ мають розв'язки у вигляді двох хвиль'

дві моди являють собою суттєво лшліерсінші хііиліі 3) одна :і мод фільтру кться суміїншю.шша запирається для низьких частот,починаючи з частоти яку називають частотою запирання ( частотою відсікання ); 4) в кожній фа зі поширюються обидві моди зі своїми амнлітудамн.матрпш розподілу амі)

хипль. стосовно двофазних сумішей. Показані особливості побудови нелінійної теорії двофазної суміші взагалі і квадратично нелінійної теорії, зокрема. Записані основні факти з квадратично нелінійної теорії плоских пірмо нічних хвиль,тут підкреслено перш за все прямий зв’язок ніс? теорії з кла сичною теорією нелінійної акустики. Тут записано узагальнення потенція лу Мернагана на випадок пружних сумішей. Повий потенціал включає тільки сім пружних «остійних другого порядку (л4 ,/і, ,/і) і сі.м пружних постійних третього порядку (Аа,8а.са,{}') . Нін оінісус-иластіпиісіі не-

2,3)

(1)

(2)

Особливості розв’язку (2) такі : 1) одночасно існують дві моди, які відрізняються хвильовими числами (індекс а фіксує номер моди); 2) обн-

літуд задаються коефіцієнтами, зі зміною частоти енергія переномновуєть ся з однієї мо;йі до іншої моди.

II третій главі описується теорія нелінійних хшіль та теорія простих

ЛІНІЙНОГО .1(!(|К1|)М.УЮІІІІІЯ І П.ІКСТІШОСТІ ;|(‘(]м)рМУІ!!!І]]ІІІ суміші ЯК МІКрІХЛ'руК-турного <.с|н'доі>ііша.ІІоширсніш плоских хвиль описується такими взаємозв'язаними не.п'нпїііими системами рівнянь

трьох стандартних умни. Детально описується перша стандартна задача, яка описує еволюцію ноздонжної хвилі. оскільки її наступній главі ші за-

плекти фізичних сталих для раду реальних гранульованих пнернружніїх

ти елемент теорії простих хіні ті., ку пі Ґї »\ оліїли як І(Л(іричні аспект, так і сучасні уявлення. Акцентована увага на міркування .'Іаіітхіл.ш інодо трудовії Г'імпшіом простих мшль. тому шо па них Пазується оґігруитуван ця достовірності отриманого п роботі нового ішГі.шжччіого розв'язку у вигляді простої ХІНІЛІ .мвінонодібікїї форми.

І? четвертій главі викладені результати дослідження спотворення простої плоскої лзві/іоподіПної хвилі в композитному матеріалі, якийопнсуєть ся трьома різними мікроструктурннми моделями. Дія кожної з трьох теоретичних схем використовується спі/і метол. Чому глава скла дається з трі.ох великих 'Частіш, відмінних між- собою лосііті. суттєво у всьому, крім умовно кажучи, початку і кінця. ТоГітп. завжіи н постанови! задачі залається і досліджується лзвіноноліРна хвиля і завжди в кінні отримується рс зультат. шо така хвиля при проходженні через композитний матеріал сію творюєіься. Перший параграф містить результати вивчення еволюції нлос кої хшілі. ко.іи матеріал описується класичною моделлю макроскопічнім сталих і враховується таким чином класпчіїніі механізм нелініііноТ еволюції хвиль. Оскільки лзвінопо.тіґчіа хвиля є хвилею з профілем, який опису

; ’ _ _?/ . _ ' ' ється функцією ЧеРишова Ерміта Vіл( = е . ЦД~) .нульового інлек-

■ ' . У/ ' "

су гр{,(х)-е . : (її)

Лялі записуються отримані методом Іршноу розв'язки систем (3). ( І) для

лача суттєво узагальнюється. Вперше принедені і надалі використані ким

композитних матеріалів. І! .другій частині глави зроблена спроба ініклаї:

И)

то викладені відомості про функції 'ІсПііпки'л-І'.рміта і також нарисовані графік» перших шести функцій, з яких пилю, шо ці: функції з фінітною вагою і ним» функціями можна описати профілі поодиноких хвиль, Тобто, профілі, має оліїм або кілька “горбів", зосереджених біля нуля.' і лялі амплітуда нрофіля практично є нулем.

Далі проаналізована еволюція простої иліх.кої хвилі (5) за класичною схе мою нелінійної акустики.Розглядалася задача про шінромінеїшя п і інериру жне середовище тільки поздопжної хвилі. Хвильовий рух и ньому вішалку описується таким рішіяішим

іл -> \( і У, Л/Л(?2н. „ . '

р—г--(Л +2и) І +-—і--------------------Ч—^-0 . 6

' ді2 ' А дл,) дх{

Підступимо «ід класично! постановки і розглянемо неперіодичний ночатко шііі імпульс у ішглгмі функції '/ебіишжл-Кіімгга нульового індексу (її)

"А ' '

М|(.ї,0)~яо Є .(іотрактусмо у ріпішшіі «іІ нецілому нелінійну функ-• (і дЧі)^ ■ ■ ■ ■

шю V, І + а----------- як місцеву швидкість хші.и н момент часу і і в

І дх\)

точні X .тобю як вені тому фазову швидкість хвилі. Ця ішшлкість с нелі-нШіюю функції:*» самого розв'язку. Огає.мііжн.і ностушпії так, як ш: оті (>іно . Іайпіллом для хвилі І'іманна .• тукати розв'язок задачі (6) у нагляді простої миі.іі ніби задача .іініііііп

-<'2/

и,(.х,0- а0 е гг о-х~у,і . (7)

Такий розв’язок знай іешііі, він має шіглл і

і 7( kt-ctf'/

u{(xsj)-a(,e . /2 -~ac,f(x-c,() І/2

(8)

Стру ктура розв'язку та ж. шо і класичного, коли хвилі гармонічні. І1ер: ший доданок справа ошісує хпилю.лкя може бути нотрлктовзиа так: Иочя ткоиші лзвішніодібний профіль рухається бел будь-яких спотворень з постійною фазоііою ШВИДКІСТЮ ІІГШОПЖНИХ ХВИЛЬ її лінійно пружному тілі.

...«(tг,,/) = </,/■ п --ас-Д-г-с,/) lave ! . (9)

Структура розв’язку та ж. шо і класичною у ішглялі гармонічних хвиль. Перинні долано* справа описує хвилю.нка може бути іютрактгжша так: початковий дівіїїопоіібніїіі профіль рухається без будь-яких спотворень з постійною фазовою ннш ікіотю позловжинх хвиль в лінійно пружному тілі. Ця хвиля може бути гсж названа першою гармонікою. Але толі виникає

шпішші. то такс гармоніки для дзвіноподібноі хвилі взагалі. Мабуть тут такий термін слід використовувати умовно, Якщо ііршішші, іцсі наступні після першої гармоніки відрізняються піл іи:ї множтіком-простим числом перед фазою і це число лак номер гармоніці, то ші]ш її дужках з другого доданка (10) є другою гармонікою. Але ношитя гармоніки все-таки зн’изу-ють з гармонічним Аналізом.осіюнаїнім на шшпоії системи функцій- гермо пік. Тоді такс по викопується для лзніирнпдібннх фу нкцііі. Для них писа. -<дгт<у)У .

тішемо, ііш “шута гармоніка" дме тп.інл е .а "друга ■ гармоні.

ка“ така .(Уншіі нони к «рослими хшілимії її розумінні Д’Алям-

бера, оскільки швидкість їх поширення иист ніші.

ІІаіа.іжлт.ііш особливістю еволюції іархіолічіп») хвилі є такий характер ' спотворення ирофідя хвилі: наскільки передній фронт стає крутішим, настільки задній фронт стас пологішим. Профілі, простої хшілі <10) спотворюється по-іншому. “Друга гармоніка" завжди Днс під ємну добаііку.Отже, “д:шііГ н оешшиііі сноїіі частині стак тоншим, схили “дзвона" стають кру-тішими.З мстою більш повного аналізу еволюції були проведені числені розрахунки. Розглядалися композитні матеріали.ошісані н и.З.ЬЗ. Почат-кока амплітуди тбщииш:я у псі»; ішіішіїсак рішшю аи — 1.0-і0~3/п .Для ; кожного матеріалу будувалися три просторіші комп'ютерні графіки, які показують (‘полюцію пріїфіля хшілі на фазовій площині при її поширенії) вздонж харак'гсристичішх прямих. Перший графік .зображає иесиотворепу хвилю так.як нона поширювалася б в лінійно пружному середошнні.Пасту ній два графіки показують еволюцію "другої гармоніки". Другий демшют руе еволюцію “другої гармоніки" за досить трішалиіі відрізок часу. Третій теж зображук "другу гармоніку", але за короткий початковий момент ча-су.тобго він є фрагментом в більшому мірилі з другою рисунку.Три хара ктерних рисунки зображені иід-ІУ'І її кінні автореферату. Основний внено кок тут піки і і - еволюція с суттсвою і (іона зрсклас з часом поширення ' хшілі. . '

0 другому параграфі описаний розв'язок* задачі про спотворення хшілі (5).' в рамках іншої теоретичної едощ -лінійної пирії днофазиої суміші.У пі»о . му вшіліку новпнеи ирошнгшаї ішши'і механізм іжітіртши хвилі - мікро структурний. Фактично. не теж нелінійний .механізм спотворення, але піп ііии'ітшиі.я ішак рсіїтістні хшіль, як гшслідіедаї врахування в теорії .м.ікро структури. Тут фазова швидкість нелінійно залежить під частоти, але це споріднений :> класичним механізм аіотиоретшя. ,

Розглядається перша стандартна задача для лінійної двофазної .теорії сумі'.

-- ' ' • 12 ' ■ '. V

ші. її якііі рух нозлонжиої хвилі описується системою рівнянь Ц). Система ця .ііііШші. вона мак неріоличнпіі розв'язок у і|х>рмі гармонічних хвиль (■1). Початковий імпульс вибирається так же.як і и номере, ні ьому параграфі - як лзвітшолібна функція (2).- •

.?« винятком невеликої області пайко ю частоти :іп/ш/кіішя онти чної мори, дііглісі>і:іі(іністі, сг/нч/опі/щп (композита) слпбкп. Отже, імпульс будр спотворюватися повільно. Точі виникає питання: чи ш: можна описати профіль хиилі, яка поширюється, (хоча б па якійсь обмеженій відстані, або, то то ж само, за якийсь ‘ обмежений початковий проміжок часу ) за допомогою тісі ж функції 'Іобишопа-Крміта (/'„(с) подібно до розв’язку Д'Ллямбс

ря лля класичного хвильового рівняння ?

Розв'язок системи форчп.тьпо може Пути записаний у такому шитті

П|*>стота п записі розв'язку лосяі нута лвома суттєвими ускладненнями -

■ ИОЛГІШЯ ІІСИОІЧІОЇ ІЛНПГМИ (М.

Перше ускладнення іііГмі перетвори*: хвилю в просту. 1$ ньому но.іягдв заДруге потребує додаткового дослідження. Це ускладнення виникає при нілсіаношіі пре(ставлення ІІП) » (І) і обчисленні других частинних по .хілннх.Обіруїіту вашій справедливості побудови нового наближеного розв'я зку основане на аналізі графіків фазових шічі ікостеіі отртіаннх простих хвиль. И теорії сумішей ноші мають неону характерну <|кірму. спільну лля всіх твердих сумішей ( матеріалі» ). Для підтвердження нього лля групи матеріалів, які вже згадувалися раніше. Пули побудовані графіки фазових шви ікостеіі обох мол (лив. рис.2 в кінні автореферату).

Дове ієно, що для вибраного класу композитних матеріалів опис ноши ренті імпульсу.у вигляді простої хвилі лопусінмніі на достатня великому вочаїковочу етапі егюлюнії хвилі. . . .

Співставимо тепер класичшііі та попий розв'язки. Перелічені раніше основ ні властивості класичного розв'язку зберігаються і лля простих хвиль лзві иоіюлібної форми. Діісперсипш'сть гармонічної хвилі трансформується в по пій п нелінійну залежність фазової штикості віл фази. Тобто, хпилі (10) мають основні ознаки простих, оскільки характеристиками тут є прямі лі

Пропонується новий шлях побу вши розв'язку у ШІГЛЯЛІ ХШІЛІ.

(10)

нелінійною залежністю фазової шішлкості віл фази і наближеністю зало-

«її, вздовж яких амплітуда хни лі [н<а)(.с,о| постійна. Дві моди теж тут

зберігаються. і відмінність між фазовими швидкостями мол -суттєва. Збсрі гається і сама процедура опису розподілу амплітуд між фазами -формули для і /И'0 подібні. Ллє розбіжності між класичними і ииилижічш ми досить суттєві. Перш за всі:, через суттєву різницю між класичними гармонічними дшліерсшшнми і неперіодичиіеимн простими хвилями. Отриманий наближений розв'язок у ииглнді відомого дзніноподібнот (лі)' палу описує зручним функціональним записом черги функцію Чебишоші' Іірміга поодиноку хшілю з одним горбом. Отже, в твердих тілах одночасно з гармонічними (періодичними) класичними хвилями можуть існувати прості поодинокі (неперіодичні) хвилі.

Оскільки наближеним розв'язок у ішгляді (II) справедливий на початковій сталії поширення хвилі, але цс лля вибраних матеріалів ншншлися досить значні відстані,рііші кільком леї ликам відстаней "пілотки дзвона", то на цих відстанях цілком можливо були б очікувані певних спотворень початкового пр<н|>і.і» “дзвона". Для матеріалі» з лі. 3.1.3 були обчислені просторові профілі хвиль.Такого роду графіки вже будувалися нами в попередньому параграфі. Пришиємо на рис.З характерні два графіки для одного з матеріалів, де демонструється еволюції! початкового профілі) хвилі І'люлюція досить суттєва і відбувається нона порівняно швидко.

Третій параграф присвячений простим позловжшім плоским хвилям. Композитний матеріал моделюється нелінійною сумішшю. Ііїш'іасться суто 'нелінійне явище - генерація нових хвиль та спотворення у зв'язку з ним початково заданих хвиль. Оскільки хшідм ми вибираємо ітзлонжпу.то вивчається самогенернцін і таким чином енолкшін та спотворення ирофіли • простої хвилі, який заданий в початковий момент часу. Піі відміну від попередніх двох параграфів,де вивчалися дна відмінних між собою механізми спотворення кожен зокрема,!) ньому параграфі описана задача, в якій о5и два механізми ( класичний нелінійний та мікроструктурішй ) діють олиоча сії о та хвиля мак такий же.як і раніше, дзіпнополібшйі ирофіль.І’ух хвилі оіпісусіься такою нелінійною системою рівнянь

д'и{а) - <?2//п) д2и(6) ,

<Аа+2Я„)—5—(Я3+2^)-^-- \

п..(а) ‘

-р{чт - иІА)) ~ ІУ,(а> ------ . . , - (12)

ІІХдХ : ■

Взаємодія хвиль вивчається методом повільно змінних амплітуд. Суглсішм моментом в методі с знання розв'язку лінійної системи, яка отримана з не-

лінішіпї нсхтунанням ііі'лішііііості. Отже, ниісоріїстоііусться ртов'дао* 12).

Зсі мкі з чпшом.ріш'яіок' псліішітЛ системи (12) інукаппіечо нрп у чопі. шо ачи.іітули псіх хіш.іь є ііоін.и,ін> змінними :і часом поширення простої хішлі в пр. :торі. Якщо ;і.ш гармонічної хіііі.іі попільність роїумі-сться п нортнянні :> іонжишно хпнлі (:»;» час- поширення хіііі.іі на цю пі.іс-тинь зміна амплі іу.іи іаг.а мала; шо нею нехтують;. то ;ілл прості хіііі.іі лімітно іігіцої форми поняті тміжтін хіиі.іі нітсутнс, тому ноиі.тміісіь розумі пімгчо так - за час поширення ця ні.к.тань. |>іішу іх.ікші "лліона“ їх ш 4, і

|.г /^(4) ) ;ім|, )ііу.іа зчіїїюсп.си незначно.

Зупинимося ла.ті на олному тппі іплсхю .тії - пзасчо.іії лнох мо ї нозтомж--ікії црпсіої хіііі.іі. її результаті чині пшшкис третя ноз.іонжіт \ніі:ііі того Тішу. Оіжс. розглянемо ситуаііімлолн н суміші оніочасно існують три хші.іі які к розн'л.лнми рішмш, 02). ^астосуііапшг нроиелурп пап ;іер Поля дас спочатку нкорочсні ріпиншої. а .талі енолюїііііііі ріішшмш і.ія трьох ішшмкін нзасчо.іії: 1-а мо.іа +1 -а мо.іа, 1-а мо.іа +2-а мо.іа, 2-а міма +2-я мо.іа.Н кожному іііша їку н ссре.іошіші шшіікають лші трииліпті. гполмнія пкпу нео.ішшша. .Чашіїнемо сиолюіііііііі ріішншія л.ія першого ірші.іету у інші: іку 1-а чола +2-а моїа

(ІЛ\" Цаа>) „ ,г>

ЛШ2 ’

_І!_____________:___1______у (I II

сі, 2рІ1,>'г')/(а,:і)Л|їг ' Л ’ < 0

Л 2 ри у-1

Ще раз зазначимо. шо еію.іюпія ноиої. третьої. хни.ті її кожній фазі Пуле сиол і но'іатмяіо зГіулжепі хшілі ітіо.тюнтпують » різних фазах по-різному. (Угріїчпні гполичііині {ншіпітя, пк і п інших ро.хіі.тах фі:шкп. зяють змогу розглянути за.тачу про синхронізм трьох простих лшіїїопо.тіГішіХ хшіль. От же, пгхаіі третя хіш.тя почаїкояо ш: зГїу.іжусться і шіігшчо ситуацію про генерацію .нючіі хвилями третьої., Іотмепо. шо ирн нпшііі умопі узішже-ності фаз

Аа(т)~(ао>)2 + (сг<2')2-(а0>)2 =0 . (15)

яку з оглялу па класичні терміни частотного і просторожло синх[мшЬчу МОЖІМ ил.шати умоппк» фя:и>вого гішхролпму. лні прості хішлі лоролжуют?»

т/’.епо і лова заПирас иід них ішергйо.ОсоПлшіістю результату в те.шо підмінні МІЖ СОПОК) моли можуть породжувати ЯК Першу, ТіІК і другу МОЛІІ. і) частішому мішалку двох однакових хвиль задача оішсус самогеїнфацію П|м>«:тсЛ дзвіноподібноі хвилі. Амплітуда самогаїероїшіої хшілі більш скла дно, ііїж' її класичній задачі, залежить під фази. Отримана формула для ші рахувавші амплітуді! дозволяє простежити еволюцію та спотворення хвилі її окремих фазах. '

«>я» лючіїа частина (Инсновки) містить н першій сіиїїіі частіші розширене формулювання основних результатіи.оіріімаїїііх її дпсерганії.І5 другій частіші система ішонані висновки, які ішнлшюють з аігі.шу резульга тій дисертації. ' .

I. Таким чишщ, її поданні на захист дисертаційній роботі досліджені прості плоскі хвилі спеціальної дзвйшіїодіоїшї форми, якіЛіоширююи.са в композитних матеріалах. Такі прості хвилі, як і (іудь-якої іншої форми, раніше не вивчалися і дисертація започатковує иоииіі напрямок її дослідженні хвиль и матеріалах. Проведене дослідження иключас:

1. Постановку задачі про поширення простих плоских поодиноких дані

ноіюдіГшпх хвиль к композитних матеріалах і постановку задачі про еволюцію таких хшілі, о райках т|>ьох відомих моделей композитних матеріалів. . . ■

2. Отримання аналітичних розіГязкіїї поставлених задач і математичне моделювання на комп'ютері процесу еволюції дзнішжодШішх поодиноких простих хшіль.

3. Теоретичне засвідчення нових механічних ефекті», полизаних з івдємо дісю простих хвіілі. вибраної форми.

II. Основні результати роботи такі:

А. Іїиячені шюлюнія та і.потвореній! поодиноких, простих ХВИЛЬ ДЗНІНОНО дібиої форми; Б. Проведений тсорепшшіі та числовий аналіз еволюції іию скої поодинокої хвилі за класичною схемою нелінійної іікустикіі;1). Іітіче-ішГі мікроструктурний механізм сиоіворсина плоскої дзвіноію.іібної хвилі за схемою ліиіііної теорії суміші; і1. І Іобудоімішіі новиіі наближений розв’язок у вигляді дзвіновотіПіюї хвилі і обтрушуванії, справедливість такого розв'язку; Д. Зроблений комп'ютерний аналіз спотворення хвиль для всіх трьох прийнятих моделей композитного матеріалу; Е. Проведений теоретичний та числовий аналіз спотворення плоскої поодинокої хвилі, який враховує, як класичшйілак і »пкр<>сірхкі'уріііій механізми спотворення хни лі; Є. Оіримашііі розв’язок нелінійної системи .хвильового руху методом

попі;»,іи) змінних амплітуд: Ж. Постаплгші і ироаналізоішил задача про синхронізм трьох д:шінонодіПпіі\ хіш.іь, де отримано ііошііі результат. /ні) IIJHI ІІЄРШІ.Ч рГЗОШІНСНИХ уМПІШ ДНІ ІІООЛІШОКІ МШЛІ ІМСМОДІЮП, і ПороЛЖ)'

юті, третю поодиноку хнилк>. '

Ш. U отриманих результаті» можна .іроіїнтн тик і шіснопки:

1. Псі три яикирнстані її дисертації теорії описують епо.ікшію простої дміііоііо.тіПі/ої мні.ті. І ІоПудогані комп'ютерні тривимірні графіки нрофіля

ХШМІ ( ІІІЛ'ІІПЇ., ШО ДЛЯ ріІЛУ КОМПОЗПІІН НЛ ЄІІО.ІЮІІІІІ СУПСПа.

2. II першій ігорі? (класична нелінійна теорія пружного деформ.> плішя) ешлюпіл простої \ішлі відбувається за рахунок класичного механізму не-' лініііиості.якіпі теж нідношладі.ітіі за класичну «тиілюііію гармонічної хвилі.

3. І) другім теорії (ліпшім тгорія пружної суміші) еволюція спричинена мікроструктурою. яка иородж^с лиснері шшість-Днілігрі:г*’*ні»;ті> » якомусь ртоумішіі теж f. ІН'ЛІНІПІІІСТЮ. Отжі'. ІІрІІЧІПКІЮ ЄІІОЛЮІІІЇ С III ЛІНІЙНІСТЬ.

). В третій теорії (нелінійна теорія пружної суміші) еволюція породжу гті.сл ofiiiлиачи типами нелінійності. У ньому випадку можна описати за-ла'іу про синхронізм хвиль. Оірнмаїшіі результат теоретично передПачас МОЖЛИВІСТЬ ЗЛІІТТЯ НЮХ ДЗВІПОЦО ІІПНИХ ХІШЛІ.-Ц ошу, яка зосередить у со-ПІ енергію ЛИОХ ІіеріІІІНШІХ ХШМІ..

Основний зміст дисертаційної (иЛпіг викладено в таких праних:

1. (лютнорешія простої хшілі лзпінополіОиої форми при її поширенні n дші-

■ Фазному матеріалі//,'іоііоііілі МАМ України.-19%.- .V 7,- (',.Г>Н 6'І (Спіікія-тори І’у ішшькиіі il.fl.. Коналенко А.і!.).

2. Генерація попої простої хвилі ноздопжною простою хвилею в гіиерируж іншу двофазному сере.тошіші //Доповіді ПАН України.-У' 8,- G.51-Г>| If'пікитір І’уїшціькіііі Я.Я.).

3. Понос решети? i)fii.Gn»eiiiioro ураішении Кляііиа-і'орюна н ujf.it; олшюч-іюіі типи колоколооСірязнои г|*>рні,і //Тезисі) докладон 5 іі меж лупарол. юшференини намитії акад.і1.к'раітка.-Кие,ч:ІІаи.тс\іі.унішерс.Ук'раіші,і "Кненскніі по. мітел. инстнтут". І175.

1. ІЬіну.іьснля пзіру.жа круглий труґіьі т композитного магернпла // Тезиси доклатії 13 іі иа> чітіі конференцій) чолодьіх ученьїх-ІІнститута мехаиикп. if неп. 1(*У0. С.17. ({ліімлтор Нріашев Ii.fi.).

5. ІІестаїїиоиярньи: ко.теСашш коинозитноіі труби нрн импульгліом наїру жеіши // Трудм І-іі всесоюзної! на) чи. конф. "-Гехиол,ііроГілемі.і ирочно-сти ііеїлганх конструкції»". Заїтрожье. І9УІ. Г.^62. (Снінаятр Ерпішев

Tsurpal S.I. Simple plane waves in composite materials.

Dissertation for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences in Speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid, S.P.Timoshenko institute of Mechanics of il it* National Academy of Sciences of Ukraine, Kyi v, 1996.

Five papers containing results of theoretical and computer investigations of simp le plane waves of the bell-shaped form, which propagate through composite mate rials, are defended. Three different well-known models for composites are used. The evolution of such waves is studied. Two mechanisms of the distorsion of initial wave profile are described. In the case when special resonant conditions are fulfilled the interaction of solitary bell-shaped waves is fixed.

ІЬ'1'ііа.і Г..1І. Простые плоские иолны в композитных матери* лах.

Дж :се|шшші на соискание у чаїнії стонам кандидата фнзнко-дштмштнчес ких паук ни сшншалыкхли 01.02.01 - механика деформируемого твердого тела. І інститут механики нм.С.П.Тимошенко Национальной академии наук Украины. Киеп, Н)%.

Лмишшастсп 5 научных работ, которые содержат результаты теоретнче см їх ксслелоиашш її компьютерного июлелнроиа/шя простых плоских иол» колоколооі)|шиоіі формы, коїорме распространяются в композитных материалах. Ис.ііолмуюіси три и.нюспше модели композитов. Научена зво люция таких полн. Описаны дна механизма искажении начального профили «олны.И случае,когла выполняются специальные резонансные условия, отмечено гошшолейслше гшшоклх колоколообрашшх НОЛЛ.

Климіші слона: (тоста плоска хшілп. поодинока дшииішлЮин хвиля, eno-люпіл та сіютиорешіп хшілі, комінннпниі матеріал, мікроструктура, нелі-ніііиісп,, теорія суміші.

і К

Підгі. до друку //. Ц. Формат 60Х84‘/і«»

Папір друк. № і . Спосіб друку офсетний. Умови, друк, арк

Умови, фарбо-відб. ^Оу . Обл.-внд. арк. / р . '

■ Тираж о . Зам. № ?

Фірма «ВИІОЛ»

252151, КиТа, вул. Волинська, 60.