Процессы рассеяния быстрых цветозаряженных партонов на мягких бозе- и ферми-возбуждениях горячей кварк-глюонной плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

оочы 1724

МАРКОВА Маргарита Анатольевна

ПРОЦЕССЫ РАССЕЯНИЯ БЫСТРЫХ ЦВЕТОЗАРЯЖЕННЫХ ПАРТОНОВ НА МЯГКИХ БОЗЕ- И ФЕРМИ-ВОЗБУЖДЕНИЯХ ГОРЯЧЕЙ КВАРК-ГЛЮОННОЙ ПЛАЗМЫ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

Иркутск-2010

004611724

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН И.Б. Хриплович

доктор физико-математических

наук, профессор Э.А. Кураев

доктор физико-математических

наук, профессор А.Е. Калошин

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 11 ноября 2010 г. в 10 часов на заседании специализированного совета Д 212.074.04 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, бульвар Гагарина, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета.

Автореферат разослан 23 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Б.В. Мангазеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение сильно-взаимодействующей материи представляет собой одно из главных направлений исследований в современной ядерной физике и физике элементарных частиц. Особый интерес представляет фазовый переход между адронной материей и кварк-глюонной плазмой (КГП), подобный переходу, который, как предполагается, имел место в ранней Вселенной в пределах временного интервала t ~ Ю-6 —Ю-5 с после Большого взрыва. В настоящее время такой переход может существовать при сильном гравитационном сжатии в центре нейтронных звёзд, чёрных дыр или при коллапсе обычных звёзд. В лабораторных условиях кварк-глюонную плазму надеются получить путём столкновения ультрарелятивистских тяжёлых атомных ядер с энергией в центре масс, на единицу сталкивающейся нуклонной пары, много большей массы покоя нуклона y/s/A А4дг. Если энергия, запасённая в зоне реакции, является достаточно большой, само понятие сильно-взаимодействующей среды становится оправданным, несмотря на её весьма скоротечную природу (~0.8 фм). Правомерность использования этого понятия убедительно подтвердилась в экспериментах по столкновению ядер на протяжении почти 25 лет на ускорителях Super-Proton-Synchrotron (SPS, CERN) и Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC, BNL). В настоящее время исследование этого нового состояния материи будет продолжено на ещё более мощном ускорителе Large Hadron Collider (LHC, CERN), поэтому актуальность и большой интерес к данной проблематике не вызывают сомнений.

Процессы, происходящие в ядерной материи, описываются в рамках кван-тово-статистического подхода к системам многих частиц, взаимодействующих по законам квантовой хромодинамики (КХД). Наиболее трудной областью в описании различных свойств горячей и плотной ядерной материи является область перехода конфайнмент-деконфайнмент, т.е. перехода от адронной материи к собственно кварк-глюонной плазме. В данной переходной области константа взаимодействия g не является малой, что требует использования существенно непертурбативных методов исследования. Ввиду чрезвычайной сложности данной проблемы был предложен весьма широкий спектр различных подходов к описанию фазового перехода: прямые решёточные вычисления; модели статистического бутстрапа R. Hagedorn; модели кластеризованных кварков; струнные потенциальные модели; подход, основанный на решении уравнений Швингера-Дайсона в КХД при конечных температуре и кварковом химическом потенциале, и ряд других подходов.

Однако в области асимптотически высоких температур (что имело место в ранней Вселенной и, возможно, будет наблюдаться на LHC), в которой g <С 1, справедлив обычный пертурбативный метод исследования. В этой области, в отличие от переходной, нет такого 'изобилия' моделей и подходов. Практически весь анализ укладывается в рамки стандартной теории возмущений лишь с известными модификациями, характерными именно для высокотемпературного случая - так называемого приближения жёстких температурных петель (HTL-приближения). Данная эффективная теория горячей КХД материи была создана усилиями ряда авторов: R.D. Pisarski, Е. Braaten, J. Frenkel, J.C. Taylor, S.M.H. Wong и др., а затем получила свое дальнейшее развитие в многочисленных работах и приложениях к вычислению конкретных физических процессов.

Если кварк-глюонная плазма формируется при столкновении релятивистских тяжёлых ядер, то каковы экспериментальные сигналы этого нового состояния материи? Были предложены различные кандидаты на роль пробников КГП: немонотонности в импульсном распределении вторичных частиц, отражающие свойства фазового перехода адроны - кварк-глюонная плазма; отношение выходов странных частиц к нестранным (К/л), различное для ад-ронизации адронного газа и КГП; регистрация жёстких фотонов и лептонов, образованных внутри объёма ядерной материи; выход частиц, содержащих тяжёлые (с и 6)-кварки и, в частности, подавление выхода частиц, содержащих скрытый чарм - явление, известное как плавление ■//^'-резонанса, впервые предсказанное T. Matsui и Н. Satz в 1986 г.. Среди жёстких пробников КГП особое место занимает регистрация струй с большими (р± > 2 ГэВ) поперечными импульсами, которые весьма чувствительны к потерям энергии жёстких партонов до своей адронизации при распространении последних через горячую кварк-глюонную плазму. Этот эффект затухания, или гашения струй (jet quenching) был предсказан M. Gyulassy, M. Pliimer, M. Thoma и X.-N. Wang почти двадцать лет назад в рамках модели, основанной на квантовой хромодинамике, и в настоящее время наблюдается на RHIC.

За время работы коллайдера RHIC был накоплен огромный опыт, как теоретического, так и экспериментального характера, анализа потерь энергии быстрых партонов в сильно-взаимодействующей среде. Ввод в действие значительно более мощного ускорителя LHC стимулировал дальнейшие усилия теоретиков в более детальном анализе уже изученных механизмов потерь энергии или их альтернативных формулировок, а также в поиске новых. Од-

ним из таких новых механизмов могут служить потери, связанные со спонтанным рассеянием релятивистского партона на мягких фермионных возбуждениях КГП, а также радиационные потери, связанные с тормозным излучением мягкого кварка. Данные механизмы потерь энергии, значительно более тонкие, по сравнению с общеизвестными, ранее в литературе не рассматривались.

Цели работы. Развитие единого подхода к описанию процессов нелинейного взаимодействия мягких ферми- и бозе-возбуждений кварк-глюонной плазмы с жёсткими термальными или внешними цветозаряженными парто-нами с целым (глюон) или полуцелым (кварк или антикварк) спинами. Построение математического аппарата, позволяющего в рамках квазиклассического приближения последовательно вычислять матричные элементы для максимально широкого круга возможных типов взаимодействия в горячей КХД среде, с участием произвольного числа жёстких и мягких кварковых и глюонных возбуждений. Применение развитой техники к задаче вычисления принципиально новых видов потерь энергии быстрых цветных частиц при их распространении через КГП.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы кинетической теории и неравновесной статистической физики; эффективная теория Вгаа1сп - Р1Багвк1 для высокотемпературной неабелевой плазмы (так называемое приближение жёстких температурных петель), методы общей теории потерь энергии быстрых заряженных частиц в плазме и плазмоподобных средах; кинетическая теория флуктуаций Б.Б. Кадомцева; методы построения классических уравнений движения заряженных частиц во внешних калибровочном и фермионном полях с учётом их внутренних степеней свободы; теория тормозного излучения мягких глюонов, предложенная Л.Р. Сишоп и в. ВсйбсЬ; техника вычисления флуктуационно-диссипационных соотношений для статистически-равновесных систем.

Научная новизна.

• Впервые получено выражение для радиационных потерь энергии быстрой цветной частицы при её прохождении через КГП, которое учитывает одновременно эффективную температурно-наведённую массу испущенного тормозного глюона и массу быстрой частицы. Впервые проведен анализ вклада в общий баланс потерь энергии, обусловленный эффективной трёхглюонной вершиной, наведённой горячей КХД средой.

• Впервые выведена система кинетических уравнений типа Больцмана, описывающая простейшие процессы упругого и неупругого рассеяния мягких бесцветных кварковых, антикварковых и глюонных возбуждений без обмена энергией с жёсткой составляющей КГП. Представлена оригинальная итерационная процедура вычисления калибровочно-инвариант-ных матричных элементов высших процессов нелинейного взаимодействия мягких фермионных и бозонных возбуждений.

• Впервые предложена расширенная (псевдо)классическая модель для единого описания широкого спектра процессов взаимодействия мягких и жёстких возбуждений КГП, подчиняющихся как ферми-, так и бозе-статистикам, представляющая собой прямое обобщение известной классической теории кварк-глюонной плазмы, предложенной более двадцати лет назад. В рамках этой модели впервые получено выражение для поляризационных потерь энергии быстрой частицы, обусловленных процессами 'неупругого' рассеяния на жёстких термальных партонах среды через обмен мягким виртуальным (анти)кварком.

• Впервые предложено принципиально новое понятие - тормозное излучение мягких кварков и антикварков, дополняющее общепринятое понятие тормозного излучения мягких глюонов в КГП. Впервые, в рамках квазиклассического приближения, предложена итерационная процедура вычисления эффективных токов и источников, индуцирующих процессы тормозного излучения произвольного числа мягких фермионов, и определены формулы для новых возможных каналов радиационных потерь энергии быстрых частиц в КГП.

• Впервые показано, что потери энергии быстрого партона, обусловленные рассеянием на ультрамягких глюонных флуктуациях, имеют непертур-бативный характер даже в случае малой константы взаимодействия.

• Впервые найдено наиболее общее выражение для корреляционной функции случайного источника в эффективной теории Б. Вбс1екег ультрамягких неабелевых полей, обобщающее известное в кинетической теории флуктуаций выражение Б.Б. Кадомцева.

• Впервые доказана флуктуационно-диссипационная теорема для мягких ферми-возбуждений кварк-глюонной плазмы.

Научная и практическая ценность. Проведённое теоретическое исследование продемонстрировало высокую эффективность и чрезвычайную плодотворность новой расширенной модели квазиклассического описания кварк-глюонной плазмы, позволяющей в рамках единого подхода описать самые разнообразные процессы взаимодействия мягких возбуждений и жёстких термальных частиц кварк-глюонной плазмы различных статистик. Предложенный обобщённый подход позволил предсказать ряд новых возможных каналов потерь энергии быстрого цветозаряженного партона, распространяющегося в горячей КХД среде, неучтённых ранее другими авторами, что имеет весьма важное значение в проблеме диагностики КГП в современных экспериментах по столкновениям ультрарелятивистских тяжёлых ядер на коллай-дерах RHIC (BNL) и LHC (CERN).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Все выносимые на защиту научные положения разработаны соискателем лично и не затрагивают интересы других авторов. В большинстве работ, выполненных в соавторстве, автору принадлежит существенный вклад в постановке задач и разработке методов их решения. Автором проведены анализ и обобщение результатов исследований, определены отличительные особенности и место развитого подхода в указанной проблематике. Следующие результаты являются неделимыми: вывод формулы для эффективного тока, порождающего процесс тормозного излучения двух мягких глюонов; вывод наиболее общей формулы для мощности излучения мягких ферми- и бозе-возбуждений в КГП; вывод эффективных токов и источников третьего порядка, порождающих процессы индуцированного рассеяния мягких ферми-возбуждений на термальных партонах КГП; вывод формулы потерь энергии быстрой цветозаряженной частицы, наведённых рассеянием на ультрамягких глюонных флуктуациях; вывод флуктуационно-диссипационной теоремы для жёсткого источника.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Подход к исследованию процессов тормозного излучения произвольного числа мягких глюонных возбуждений (продольных и поперечных) при рассеянии быстрых цветозаряженных частиц на термальных партонах горячей кварк-глюонной плазмы. Выражение для радиационных потерь энергии в лидирующем приближении по константе взаимодействия, учитывающее эффективную температурно-наведённую массу тормозно-

то глюона, конечность массы быстрой частицы (тяжёлый кварк) и эффективную трёхглюонную вершину взаимодействия, наведённую КХД средой.

2. Метод вывода системы кинетических уравнений типа Больцмана, учитывающих наиболее простые процессы нелинейного взаимодействия мягких фсрми- и бозе-возбуждений: упругое рассеяние мягких (анти)квар-ковых возбуждений на мягких глюонных и кварковых возбуждениях и аннигиляцию мягкой кварк-антикварковой пары в два мягких глюонных возбуждения. Итерационная процедура вычисления калибровочно-инвариантных матричных элементов дня высших процессов взаимодействия мягких мод КГП.

3. Подход к построению общей теории процессов рассеяния мягких (ан-ти)кварковых возбуждений на жёстких термальных или внешних частицах, основанный на нелинейной системе динамических уравнений, описывающих эволюцию обычного (коммутирующего) классического цветного заряда, а также цветных зарядов грассмановой природы во внешних случайных калибровочном и фермионном полях. Данный подход позволил предсказать и аналитически проанализировать новые механизмы потерь энергии быстрого цветного партона в неабелевой плазме.

4. Метод построения матричных элементов для процессов тормозного излучения произвольного числа мягких (анти)кварковых возбуждений при столкновении ультрарелятивистской цветозаряженной частицы с частицами КГП. Вывод замкнутого выражения для радиационных потерь энергии быстрой частицы в лидирующем порядке по константе взаимодействия, обусловленных тормозным излучением мягкого кварка.

5. Подход к исследованию процессов рассеяния и связанных с ними потерь энергии быстрой цветной частицы на ультрамягких флуктуациях горячей чисто глюонной плазмы. Основой подхода является предложенный метод построения калибровочно-ковариантного эффективного тока, порождающего данный процесс взаимодействия.

6. Точное выражение для корреляционной функции случайного источника в эффективной теории ультрамягких неабелевых полей.

7. Вывод флуктуационно-диссипационной теоремы для мягких ферми-возбуждений кварк-глюонной плазмы.

Апробация работы. Все основные результаты докладывались и обсуждались: на семинаре "Физика адронов" ОИЯИ, Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова, на международном семинаре "Workshop on the Physics of the Quark-Gluon Plasma" (Ecole Polytechnique, Paris, 2001), на международной конференции по квантовым проблемам (Дубна, 2003), на школе-семинаре 'Workshop on high-energy heavy ion physics" Brookhaven (RHIC, BNL, 2004), на семинаре отделения ядерной физики университета Stony Brook (USA, 2004), на семинарах и зимних школах ИГУ, на семинарах и конференциях ЙДСТУ СО РАН (Иркутск), на Байкальских летних школах по физике элементарных частиц и астрофизике (Дубна-Иркутск, 2007-2009).

Исследования по теме диссертационной работы поддерживались шестым конкурсом-экспертизой научных проектов для молодых ученых РАН - 199980, грантами РФФИ (проекты 97-02-16065-а, 03-02-16797-а, 09-02-00749-а), INTAS - 2000-0015, грантами Президента РФ НШ (5362.2006.2, 1027.2008.2, 3810.2010.2, рук. ак. РАН Д.В. Ширков, ОИЯФ, Дубна).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения и списка литературы из 255 наименований. Объем работы составляет 355 страниц, включая 42 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится мотивировка данной работы, обсуждается постановка задачи и её актуальность, формулируются цели работы, и даётся краткая характеристика её содержания.

В Главе 1 в рамках квазиклассического приближения представлен общий формализм вывода эффективного тока, порождающего тормозное излучение произвольного числа мягких глюонов при рассеянии быстрого партона на термальных частицах горячей КГП. Для модельного случая статических цветных центров получены выражения для радиационных потерь энергии с учётом температурно-наведённой массы тормозного глюона, конечной массы быстрого партона и эффективной трехглюонной вершины.

В разделе 1.1 выписано основное нелинейное интегральное уравнение для калибровочного поля в импульсном представлении

*T>~ltiV(k)Aav(k) = -f£[A]{k)-j%[A](k)-j%[A](k). (1)

Здесь [Л](к) - нелинейный цветной ток, наведённый средой, a j°Q¡2[A}(k) - цветные токи жёстких частиц 1 и 2. В рассматриваемой задаче модифицированный средой глюонный пропагатор выбран в кулоновской калибровке.

Общее решение уравнения (1) имеет следующий вид:

где представляет собой некоторый эффективный ток, порожда-

ющий тормозное излучение (Ьгеяш<гаЛ/ипд) мягких глюонов. Общая структура этого тока может быть определена в виде функционального разложения по степеням свободного поля Лд°\к):

= '/¿(к) + з^(к) + К;( уь у2; Хю, Зоъ к) +

00 „

«=1 1 п

х ... А^^кп)

.5=1

Здесь

= 9/(2<№,2<2гК2 • к) ег1сХо1'2

- исходные токи быстрого партона 1 и тестового термального партона 2, соответственно. Коэффициентные функции п = 0,1,..., представляют собой бесконечные суммы в разложении по начальным значениям цветных зарядов фи и (¿ю- Так, например, функция уи у2;..., (¿оь <2ог| к) имеет следующий вид:

К;{лги у2; хоь х02, Яоъ Яог\ к) = К^ь Ч Щи х02| к)дь01Яст + (3) + V,;хоьХо2| +

+хоь хоо| ад^д^} + .... Первая коэффициентная функция в (3) определена выражением

1, у2; ХО!, хо2| к) = - ^ (Та)6сКДу1, V,; Хць хо2| к), (4)

где

^(Уг,уг;Хог,хо2|к) = ^/СДу^'М) е^-^е^Щь, • (к - д)Щу2 ■ д)йд и, в свою очередь,

у2| д) = ^ Ол/Е^М - ~ <?Ы +

+ *Гми\(к, -д, -к + дУЪ%'(д)ь2и,*Т>хсх'(к - ^и-- (5)

Эффективный ток К^Ьс(уь у2; ХоьХо2| /с) порождает наиболее простой процесс тормозного излучения мягких глюонов. Диаграммная интерпретация членов в правой части выражения (5) представлена на рис. 1.

Рис. 1: Процесс тормозного излучения мягкого глюона, порождаемый цветным эффективным током (4), (5). Черная точка означает НТЬ-ресуммирование, двойные линии обозначают жесткие частицы. Здесь не изображены процессы, в которых мягкий глюон излучается до одноглюонвого обмена.

Вид двух других коэффициентных функций К£Ьс1С2(Ух,\2-,Х0\,Х02\к) и К^'1 Ь2С(VI, у2; хщ, Х()21 к), входящих в (3), приведён в разделе 1.5 и там же проанализирован их физический смысл.

В разделе 1.2 выписано выражение для интенсивности тормозного излучения мягких глюонов. Энергия поля излучения, наведённого эффективным током (2), определена следующим выражением:

Ж(Ъ) = -^[¿ксЬ^д^^Ы(Ь)), (6) где ^

лзм,2=п ^01,2 тал - Ф2))

Ь= 1

— мера интегрирования по цветному заряду с постоянной Казимира второго порядка С'2'2^ для цветных частиц 1 и 2; ¿д = — 1 - размерность группы 5'{/(Лгс); Ь - двумерный вектор, ортогональный относительной скорости двух жёстких частиц VI — У2, играющий роль прицельного параметра. Используя основную формулу (6), выражение для интенсивности тормозного излучения мягких глюонов при прохождении высокоэнергичного партона 1 через среду, состоящую из жёстких термальных частиц 2, записываем в следующем виде:

Е (7)

С=<эДС>/ \ / \ /ь

где суммирование проводится по жёстким термальным кваркам (С^), антикваркам и поперечным глюонам (С). В предельном случае "замороженных" частиц среды (уг = 0) формула (7) будет определять выражение для потерь энергии быстрого партона 1: Х|у2=о = —йЕ/сИ.

Выражение для интенсивности излучения, наведённой наиболее простым процессом тормозного излучения глюона, получается путём подстановки эффективного тока (4), (5) в энергию поля излучения (6), а затем в (7)

/ДУ(Ь)\

\ dt /ъ

oft

Е

С= Q.Q.G

(8)

[/dJt Е /dq I е\к v2| fc, g)|

on-shell

-I 9°=(У2-Ч)

В разделе 1,3 проведён детальный анализ выражения для интенсивности излучения мягких глюонов (8) в наиболее простом случае, когда термальные партоны моделируются статическими (т.е. у2 = 0) экранированными потенциалами при условии, что можно пренебречь НТЬ -поправкой 5Тзд к голой трёхглюонной вершине. Рассмотрен наиболее важный случай излуче-. ния мягкого поперечного тормозного глюона. С учётом ряда аппроксимаций выражение для потерь энергии партона 1 может быть представлено в виде

-f

X Е Jdx Jdk-i J dq±

£

<=Q,Q,G

(9)

kl + m2 + x2M2

+

(ql+ml + lfY (viq - k)j.

(k-q)i+m2 + z2M2

Здесь n^ - плотность числа термальных партонов, qi - поперечная компонента импульса передачи относительно скорости vj, тд - дебаевская экранирующая масса, т9 - эффективная глюонная масса. Далее, Е и М - энергия и конечная масса ультрарелятивистской частицы 1; х — ш/Е] lf = г-'хту, где г/ = 2w/(k2 + + х2М2) - конечное время формирования излучения. Приведены асимптотические выражения для общей формулы (9) в различных областях частоты ш испущенного тормозного глюона.

В разделе 1.4 рассмотрен вклад в радиационные потери энергии, связанный с существованием наведённой средой HTL-поправки <5Гз3 к голой трёхглюонной вершине. Показано, что потери энергии, связанные с тормозным

излучением мягких поперечных глюонов (а;£ ~ дТ) в приближении малых углов и плотности г№ ~ Т3 по порядку величины равны

Несмотря на то, что по константе взаимодействия мы имеем более низкий порядок, чем при обычном тормозном излучении (9), полученное выражение сильно подавлено лоренц-фактором 7 = Е/М. Таким образом, потери энергии данного типа дают пренебрежимо малый вклад по сравнению с обычным механизмом потерь энергии для быстрого партона. Основная часть потерь энергии, как можно ожидать, здесь связана с излучением мягких глюонов при больших углах в 7-1.

В разделе 1.5 дан краткий анализ простейших недиагональных вкладов в энергию поля излучения (6), а именно:

(?$а(к, byv^(k)jgla(K Ь)> + (Г£)а(к, ъ yv%(k)j$la(k, Ь)), (10)

где

Ь) = Q&iAvi + Q>2Av> ■ к) eik b (И)

- исходный "голый" цветной эффективный ток, а jQ^(k, b) - эффективный ток следующего, более высокого порядка по константе взаимодействия, по сравнению с jq^a(k, b) (= K°bc(vi, v2; b| tyQ^Q^), Единственный нетривиальный недиагональный вклад в энергию поля излучения в лидирующем порядке возникает из второго и третьего членов в правой части уравнения (3).

Получено явное выражение для недиагонального вклада в радиационные потери энергии высокоэнергичной цветной частицы 1 в рамках статического приближения (v2 = 0). Показано, что учёт данного вклада в общий баланс потерь энергии важен ввиду того, что он сокращает сингулярности в основном диагональном вкладе при тормозном излучении мягких глюонных возбуждений, не лежащих на массовой поверхности.

Разделы 1.6 и 1.7 посвящены анализу процесса тормозного излучения двух мягких глюонов при рассеянии цветной частицы 1 на жёстком термальном партоне. В высокочастотном приближении, приближении малых углов и в рамках статической модели явно вычислено выражение матричного элемента К?"^!, 0| к, ки q) e'(k, С) en(ki, (1) двухглюонного тормозного излучения, которое может быть использовано при числениом моделировании пар-тонного каскада, т.к. оно позволяет включить в рассмотрение, в дополнение к дд ддд, более нетривиальные неупругие дд ^ дддд КХД процессы.

Глава 2 посвящена построению эффективной кинетической теории для мягких бесцветных кварковых и глюонных возбуждений, распространяющихся в горячей кварк-глюонной плазме.

В разделе 2.1 даны предварительные замечания относительно общей структуры кинетических уравнений больцмановского типа, которые описывают пространственно-временную эволюцию плотности числа бесцветных мягких кварковых п^ (/ = ±) и мягких глюонных (Ь = Ь, I) возбуждений

^+ ■ ^= +(1 ~П№(/Нм

+ ^ • ^ = № + (1 + М^Г^, А*'], (13)

где лг^ = диф/дц. и V® = д'^/дк - групповые скорости мягких фермии бозе-возбуждений, соответственно. Символы ± обозначают нормальную и плазминную кварковые моды, а - поперечную и продольную глюонные моды. Обобщенные скорости распада Г^' ^ и обратные скорости регенерации Г^ определяются в виде функционального разложения по степеням чисел заполнения мягких глюонных и кварковых возбуждений

оо

(14)

П=1

Выписаны наиболее общие выражения для фермионных и бозонных скоростей распада и регенерации в низшем порядке по нелинейному взаимодействию (п — 1 в (14)). Эти выражения принимают во внимание все возможные каналы перехода из начального двух-квазичастичного состояния в различные типы их конечных двух-квазичастичных состояний: упругое рассеяние мягких (анти)кварковых возбуждений на мягких глюонных и кварковых возбуждениях, рождение пары мягких кварк-антикварковых возбуждений путём слияния двух мягких глюонов, аннигиляция этой пары в два мягких глюонных возбуждения.

В разделе 2.2 приведена система самосогласованных полевых уравнений, являющаяся исходной в построении эффективной кинетической теории для мягких возбуждений КГП: уравнение Янга-Миллса для калибровочного потенциала АаЛк)

и уравнение Дирака для мягкого кваркового поля

ХрШЪМ^-ч^ЧАШ-^НААЖЯ)- (16)

В правой части уравнений (15), (16) в разложении наведённых токов и источников оставлены члены вплоть до третьего порядка по взаимодействующим полям, содержащие всю необходимую информацию об интересующих нас процессах рассеяния. Члены разложения наведённых токов ^"(к) и ^"(к) и наведённых источников Ла^Чч) в НТЬ-приближении представляют собой разложения по степеням взаимодействующих полей АЬи(к1),ф1а(—д!) и

Щ<ь)-

Система (15), (16) решается методом последовательных приближений. В общем случае решения могут быть представлены в виде ряда 00 00 А%к) = А^(к) + £ А^а(к), = Ф{»Чя) + Е ^'(9). (1?)

я=1 .5=1

где А$а(к) и

(д) - решения для свободных полей, а вклады порядка дв в мягкие глюонные и кварковые взаимодействующие поля. Прямым вычислением найдены в явном виде решения в случае в = 1, 2.

В разделе 2.3 предложен подход, позволяющий практически полностью автоматизировать процедуру вычисления эффективных амплитуд при любых значениях в = 1, 2, 3,____Главной идеей, лежащей в основе данного

подхода, является тот факт, что полный наведённый ток + и наведённый источник т)га имеют два представления: через взаимодействующие и свободные поля, которые должны быть тождественно равны друг другу.

В разделе 2.4 получено кинетическое уравнение, определяющее изменение плотности числа бесцветных мягких кварков, порождаемое 'спонтанными' процессами упругого рассеяния мягких кварков и мягких глюонов друг на друге и процессами аннигиляции мягких кварк-антикварковых пар в два глюона.

Получен явный вид вероятности упругого плазмин-плазмонного рассеяния 6:>1т[дЬдд1\ч,к1',(11,к2). Вероятности других процессов упругого рассеяния: Аз^яРЫ, ки Чь кг), 1 (<1, ки Чь к2) и т.п. можно получить из предыду-

щей вероятности соответствующими заменами глюонных и кварковых волновых функций.

Определены также вероятности простейших неупругих процессов: аннигиляции плазмина и антиплазмина в два плазмона и аннигиляции обычной кварк-антикварковой пары в два мягких поперечных глюона ги^'дд\

В разделе 2.5 выписано выражение для спонтанной части столкнови-тельных членов, порождаемых процессами упругого рассеяния мягких квар-ковых возбуждений на мягких кварковых и антикварковых возбуждениях:

■ь/2,Л = ±1'/

(18)

пУ3' +

42 43 т

+ 2г^Л)(4, «ь, *) (1 - й£>)й£>,#>| •

Найдены вероятности для данных процессов упругого рассеяния и показано, что они могут быть представлены в виде суммы двух независимых частей

41! 42, 4з) = «^„(ч, 41! 42,4з) + 4г; 4г, 42),

т.е. данные процессы рассеяния протекают через два физически независимых канала, определяющихся чётностью конечного состояния системы двух мягких кварковых квазичастиц.

В разделе 2.6 получено наиболее общее выражение для мощности излучения, которое учитывает существование в КГП фермионного сектора плазменных возбуждений. Данное выражение даёт возможность с минимальными усилиями вычислять вероятности рассеяния высших процессов нелинейного взаимодействия мягких фермионных и бозонных возбуждений. В качестве исходной выбирается следующая формула для мощности излучения:

1 = (19)

где

г/2

Хв=г}^Л / + (20)

-г/2 V

- 'бозонный' вклад в мощность излучения и

г/2

1 1

2>=

а т, к-ях) т

-г/2 V

(21)

- 'фермионный' вклад. Здесь V - объём интегрирования. Формула (19) есть прямое обобщение известного выражения для мощности излучения в обычной

г/2

электродинамике. Показано, что предложенные выражения для мощности излучения (20), (21) правильно воспроизводят вероятности рассеяния, полученные в предыдущих разделах другим методом, и дают возможность более простым образом вычислять вероятности для высших процессов рассеяния.

Глава 3 посвящена построению общей теории рассеяния мягких (анти)ква-рковых возбуждений на жёстких термальных частицах горячей КХД среды.

В разделе 3.1 уравнения движения для мягких глюонных и кварковых возбуждений (15), (16) обобщаются на случай наличия в системе цветного тока, порождаемого жёсткой тестовой частицей с полуцелым спином, проходящей через горячую неабелеву плазму:

^(к)Аа\к) = А)(к) )«(А А,А)(к)-^2>(ф,ф)(к)

~ ф, ф)(к) - - $;(А)(к) - $;(А, лт = (22)

^-¡ШМ = - ФКя) - ^2Д)ЧА Л, ФМ - (23)

-Л) - л№(Л)(д) - г,?*(А,А)(д) = -гйА,ФЛМ -Здесь в правых частях /¿¡"(х) = ди11(~)я(к)6<У(х — VI) - обычный цветной ток точечного заряда, г}\а(х) — дбг(£)ха<5'3)(х — - грассманов цветной 'ток' (далее называемый грассмановым цветным источником), Ха ~ спинор, не зависящий от времени. Грассмановый цветной заряд в1 подчиняется следующему эволюционному уравнению;

+ гд «М» ) =0, вЪ = в\Ь) | ^. (24)

Члены разложения грассманова источника г]гва(х) следуют из уравнения (24).

Для решения системы (22), (23) был использован более простой подход, основанный на требовании тождественного выполнения следующей системы уравнений:

¿1[А, Ф, ф, <Зо](/с) = з1[А(0\ ф(0\ ф{0\Яо,в1, в0](к), (25)

Ш Ф, в0](д) = ф(°\ С?о, в0](д), (26)

где в левой части стоят точные исходные ток и источник в терминах взаимодействующих полей А^,ф%а и фа, а в правой части - эффективные ток и источник как функционалы свободных нолей

АТа, № и (и начальных значений цветных зарядов и вг0). Эффективные ток и источник

определяют решения системы (22), (23) в виде

А%к) = А^(к) - Щш(к)^(к) - ^(к)Г\А{0\ Ф{0\ Ф{(>\ Яо, 91л}(к),

Ш = Л) - ЗД) т- Яо, во}(д). (27)

Для получения явного вида эффективных токов и источников, уравнения (25), (26) варьируем относительно свободных полей 4°", </40)\ ф^ и начальных значений цветных зарядов Яд, и О^1 с учётом (27). В конце вычислений полагаем А$)а = ф<£){ = = Яа0 = 0\{ = = 0.

В разделе 3.2 на основе вышеприведённой схемы, в качестве примеров вычислены эффективные источники низшего порядка: г]а^{Ф^0\Яо){я} и &о)(я)- Первый эффективный источник порождает наиболее про-

стой процесс упругого рассеяния мягкого кваркового возбуждения на жёсткой тестовой частице, т.е. процесс рассеяния, происходящий без изменения статистики мягких и жёстких возбуждений, в то время как второй - порождает уже несколько более сложный процесс рассеяния мягких кварковых возбуждений на жёстких термальных частицах, происходящий с изменением статистики жёстких и мягких мод.

В разделе 3.3 определён дополнительный ток, который необходимо добавить в правую часть уравнения Янга-Миллса (22) для восстановления калибровочной инвариантности коэффициентной функции, входящей в выражение эффективного тока ф(°\ Яо,#о>0а]{к), а именно:

л» - дьф»тау¥м + - V*),

где

х г

П'Ц) = -гдIИ) (хаЧ^'М'))в£, 0=Т ехр^-гд|г,ут))^г| и V

Кроме того, доказано, что существует, в принципе, неограниченное число других высших калибровочно-ковариантных токов и источников, которые необходимо добавить в правые части уравнений Янга-Миллса и Дирака. Приведён явный вид нескольких первых из них, что позволяет вычислять полные калибровочно-инвариантные выражения для амплитуд рассеяния мягких мод КГП на термальных частицах вплоть до третьего порядка по амплитудам свободных мягких полей и начальным значениям цветных зарядов.

В разделах 3.4 и 3.5 приведены примеры нахождения эффективных токов и источников следующего, после лидирующего, порядка по константе взаимодействия д.

Получены также выражения для эффективных токов и источников, порождающих мягкие глюонные и кварковые однопетлевые поправки к древесным амплитудам рассеяния.

В разделе 3.6 на основе принципа соответствия В.Н. Цытовича представлена общая схема вывода вероятностей рассеяния мягких ферми-возбуждений на жёсткой тестовой частице. В качестве примера вычислены в явном виде вероятности процессов 'упругого' и 'неупругого' рассеяния мягкого кваркового возбуждения на жёсткой частице. В частности, для последнего имеем

а = ± £=1,2

(ч 1/2 / \ 1/2

2) Х ^^

xf^^A^PKxI^-^eXk^)]

L J on—s.

shell.

В разделе 3.7 проведён детальный анализ структуры полученной вероятности рассеяния (v; q,k), и определено точное значение неизвестной постоянной Cg (= 9q610).

В разделе 3.8 приведены общие формулы, определяющие потери энергии высокоэнергичного партона, распространяющегося в горячей КХД среде, наведённые рассеянием на мягких кварковых возбуждениях.

В качестве основной формулы для потерь энергии партона на единицу длины пути, порождённых эффективным током j*a(v,x; Яъ,Ой[к) и эффективным источником 7j^(v, х', Qo, ва\ <?)> использовано следующее выражение: dE { dE\ fdE\

dx \ dx \ <1х )-р

При подстановке грассманова источника ^„'(<?) = д/(2тг)30оХ«<5(^ • ч) в выражение для "фермионной" части получены потери энергии в нулевом порядке по степеням мягких фермионных полей, определяющие так называемые 'неупругие' поляризационные потери быстрого партона, связанные со столкновениями на далёких расстояниях.

Определено также выражение для потерь энергии в следующем, после лидирующего, порядке. Оно представлено в виде суммы двух различных по структуре (и физическому смыслу) частей:

= + (29)

. )г~ \ ¿х V ёх '

Указано, что в случае рассеяния жёсткого быстрого партона на мягких квар-ковых и мягких глюонных возбуждениях, находящихся как на массовой поверхности, так и вне её, диагональная часть в (29) отлична от нуля. Недиагональная часть отлична от нуля только для процессов рассеяния частиц на мягких плазменных возбуждениях, находящихся вне массовой поверхности.

Разделы 3.9 и 3.10 посвящены анализу недиагонального вклада в потери энергии в выражении (29). Показано, что подынтегральное выражение данного недиагонального вклада содержит особенности при условии, когда частота и импульс плазменных возбуждений приближаются к "черенковско-му конусу"

(«•?)-> 0, (ь-к)-> О,

что приводит к расходимости интеграла. Доказано, что эти особенности при вполне определённом выборе свободных параметров в точности компенсируют аналогичные особенности в основном 'диагональном' вкладе для возбуждений, не лежащих на массовой поверхности.

В Главе 4 в рамках квазиклассического приближения развит общий подход к вычислению эффективных токов и источников, порождающих процессы тормозного излучения произвольного числа мягких кварков и глюонов при рассеянии ультрарелятивистской цветозаряженной частицы на термальных партонах горячей неабелевой плазмы.

В разделе 4.1 приведены примеры вычисления эффективного тока и эффективного источника низшего порядка по константе взаимодействия, которые порождают процессы тормозного излучения мягкого глюона и мягкого кварка.

В качестве исходной выбрана система уравнений (22) и (23), в правую часть которой добавлены все дополнительные токи и источники $ , т]гдВ и г}\1а, найденные в предыдущей главе, и учтён тот факт, что для того, чтобы процесс тормозного излучения имел место, необходимо взаимодействие, по крайней мере, двух жёстких цветозаряженных партонов (которые мы метим индексами 1 и 2 у цветных зарядов, скоростей и т.п., как это было сделано в главе 1).

Эффективные ток и источник, порождающие процессы тормозного излучения в лидирующем порядке по константе взаимодействия, получены согласно общей схеме, изложенной в разделе 3.2, путём нахождения вариации второго порядка от правых частей расширенных уравнений (22), (23) по грас-смановым и цветным зарядам.

В разделе 4.2 в предположении предыдущей главы в качестве формулы для интенсивности тормозного излучения мягких глюонов выбрано выражение (7), а в качестве аналогичной формулы для тормозного излучения мягких кварков использовано следующее выражение:

£ Ш , (5Ш4)

С — Q^Q

(30)

где

\¥{Ъ) = -%- ^^^сфдМг (гГ:(-7;Ь){\9(-<7) + *5(д)}г?(д;Ь)} (31)

- энергия поля излучения мягкого кварка. Приведена формула для интенсивности излучения мягкого кварка.

В разделе 4.3 проведён анализ формулы (30), (31) для интенсивности излучения мягкого кварка. Полагая 1т *Д+(д) ~ — тг Z+(q) <5(д° — Z+(q) ~ 1, ~ дц = ш и Е2 ^ | рг|, с учётом ряда аппроксимаций в статическом пределе (у2 = 0) получено выражение для потерь энергии партона 1, наведённых тормозным излучением нормальной кварковой моды

Особенностью последнего выражения является инфракрасная расходимость подынтегрального выражения по частоте и мягкого тормозного кварка, а также отсутствие фактора подавления 1/Е\, как это имеет место, например, в поляризационных потерях.

В разделе 4.4 рассмотрение процессов тормозного излучения обобщается на случай рассеяния быстрого партона 1 на двух термальных частицах 2 и 3, движущихся со скоростями у2 и Уз, соответственно.

В рамках квазиклассической аппроксимации при наличии в системе фер-мионной степени свободы найден более сложный по структуре эффективный ток, определяющий процесс тормозного излучения мягкого глюона в случае двух рассеивающих термальных партонов.

Выписаны также выражения для двух эффективных источников, общая структура которых была представлена в виде разложения по обычному и

грассмановым цветным зарядам. В процессах тормозного излучения мягкого кварка, наведённого первым эффективным источником, изменяется статистика одного из трёх жёстких партонов, во втором - статистика всех трёх жёстких партонов.

В разделе 4.5 рассмотрен наиболее простой недиагональный вклад

+ <7;(2^;Ь)ХШ0}а(*;Ь)) (зз)

в энергию поля мягкого глюонного излучения, и проанализирована его роль в общем балансе потерь энергии поля излучения системы. Здесь ^а,1(к;Ъ) -исходный ("голый") цветной ток, определяемый выражением (11), аЬ) - некоторые эффективные токи второго порядка. Показано, что существуют два типа эффективных токов второго порядка, которые дают нетривиальный вклад в (33).

В статическом пределе выражение для недиагональных вкладов в потери энергии, наведённые одним из рассматриваемых эффективных токов, можно представить как сумму двух различных по структуре (и физическому смыслу) выражений

~У =А1 + Л, (34)

Диаграммная интерпретация различных членов в Л1 и Лг представлена на рис. 2.

Проанализирован физический смысл функций Л1 и Лг. В частности, показано, что учёт функции Л1 необходим для того, чтобы скомпенсировать особенности в главном 'диагональном' вкладе, когда частота и импульс плазменных возбуждений приближаются к "конусу Черенкова" (см. раздел 1.5):

{V ■ к) 0.

Вторую функцию Л2 можно отчасти интерпретировать как вклад, учитывающий изменение дисперсионных свойств среды, порождаемое процессами нелинейного взаимодействия мягких возбуждений КГП между собой.

Раздел 4.6 посвящен анализу недиагональных вкладов

(И10Ч-Я; Ъ) {*5(-д) + ^'(д; Ь)> + + Ъ) {*5(-д) + *5(д)} ^(д;Ь)> 1 }

в энергию ноля излучения мягкого кварка. Здесь

Ъ) = —у 4X1* ¿(«1 • 9) + Щз 0О2Х2а 6(У2 ■ Ч)

" /1

А, =

2=2

а-к

* я

< кллЬчлУ

пГ\

ш

0,0,в ч,йШО

А, =

е ^

х

аас? у=0й&с?

и,а,о „ =0 аав

Рис. 2: Диаграммная интерпретация членов, определяющих 'недиагональный' вклад в радиационные потери энергии. Пунктирная линия обозначает термальную частицу, поглощающую виртуальный тормозной глюон, а q - трёхмерный вектор.

- исходный ("голый") цветной источник, а т/^'(д;Ь) - некоторые эффективные источники второго порядка. Показано, что как и в бозонном случае здесь также существуют два типа эффективных источников второго порядка, которые дают нетривиальный вклад в выражение (35).

Для этих эффективных источников выражение для недиагональных потерь энергии, наведённых тормозным излучением мягкого кварка, можно представить в виде суммы двух различных по физическому смыслу выражений, аналогичных (34),

<1Е1 V ¿х

= Лх + Л2-

(36)

ой—

В разделе 4.7 проведён анализ недиагонального вклада (36) в общий баланс потерь энергии. Показано, что основная роль члена Ах сводится к сокращению особенностей в главном диагональном вкладе в потери энергии, обу-

словленные тормозным излучением мягкого кварка. Требование сокращения особенностей приводит к системе алгебраических уравнений, связывающих между собой различные цветовые факторы. Следствием этой системы является определение неизвестного цветового фактора Сд*® ^ {б\^а602)^02^01) (входящего, в частности, в выражение для интенсивности излучения мягкого глюона):

' -.(1)^(2)'>

■Л1;2) __/'?/ С<> Се Nc

Роль функции Â2, как и функции А2 из раздела 4.5, сводится к учёту изменения дисперсионных свойств, порождаемого процессами нелинейного взаимодействия мягких коллективных возбуждений в КГП.

Раздел 4.8 посвящён рассмотрению высших радиационных процессов, а именно: тормозному излучению двух мягких глюонов и мягкого глюона и мягкого кварка при столкновении двух жёстких цветозаряженных частиц.

Выписана общая структура эффективного тока, порождающего процесс тормозного излучения двух мягких глюонов. Также получено выражение для эффективного тока ^"[боь^ои^ог^ог^оь'Эог,^®,1/'^!^), порождающего более сложный, но в то же время, более интересный процесс тормозного излучения мягкого глюона и мягкого кварка.

Глава 5, состоящая из двух разделов, посвящена построению эффективной теории нелинейного взаимодействия быстрой цветной частицы с ультрамягкими глюонными флуктуациями.

В разделе 5.1 предложена процедура вычисления эффективного тока, порождающего данный процесс взаимодействия, и рассмотрен вопрос его калибровочной инвариантности. Дано приложение развитой теории к задаче вычисления потерь энергии быстрой цветной частицы, распространяющейся через горячую чисто глюонную плазму.

В пункте 5.1.1 рассмотрена исходная постановка задачи. Выписано уравнение Больцмана-Ланжевена

[и ■ D(x), W(x, v)] = - v • E(œ) - C[W](z, v) + u(x, v), (37)

которому удовлетворяют ультрамягкие цветные флуктуации плотности глюонов W(x, v) = Wa(x, v)T° на пространственно-временной шкале х (дТ)~1. Здесь v — р/|р|, р - импульс жёстких термальных глюонов; E(z) = W(x)Ta - хромоэлектрическое поле и C[W] - линеаризованный интеграл столкновений. Функция v) = va(x,v)Ta является ланжевеновским источником,

двухточечный момент которого задан выражением

от

V)»1\х', у')» = — С(У,ч')5аЬ5^\х - х'). (38)

тв

Цветной ток представлен в виде суммы двух частей:

Ш = <! V) -I Щх, у)) = ^(х) + Цх), (39)

где ШтЛ(х, у) - решение уравнения (37) в отсутствии ланжевеновского источника и у) - флуктуационная часть, удовлетворяющая уравнению (37) в отсутствии первого члена в правой части. Функция (¡¿(х) есть флук-туационный ток, представляющий собой источник Ланжевена в уравнении Янга-Миллса

[Щх), ЗД] + = + Ш- (40)

В пункте 5.1.2 предложена процедура построения эффективного тока, порождающего нелинейное взаимодействие быстрой цветной частицы с ультрамягкими глюонными флуктуациями. С этой целью в правую часть уравнения Янга-Миллса (40) добавлен цветной ток жёсткой частицы jи затем это уравнение переписано в импульсном представлении:

*^(к)А^(к) = »¡(к), (41)

где под полным током в правой части понимается выражение

А\(Р) " 3^а[А](р) + ЗЬ»Ш) + СИ, и\{к). (42)

Наиболее общая структура решения уравнения (41) может быть представлена в следующем виде:

ЛЦк) = «<>](*), (43)

где полный эффективный ток есть

00 со

П=0 71—1

Здесь = /^{к) - начальный ток быстрого партона и =

С^'Ж/с) - флуктуационный ток, порождаемый (в линейном приближении) только ланжевеновским источником. Последняя сумма не зависит от цветного заряда £¿0 и описывает процессы самовзаимодействия ультрамягких плазменных флуктуаций.

Следуя общему подходу к вычислению эффективных токов, изложенному

в предыдущих главах, получены общие выражения для поправок первого и второго порядков ](ЦаН{к) и ]^а[и\(к).

В пункте 5.1.3 с помощью эффективных тождеств Уорда для ультрамягкой трёхглюонной амплитуды доказана калибровочная инвариантность (в слабом смысле) коэффициентной функции Т1^(к,)с'; и, г/), входящей в выражение для поправки первого порядка {к) к начальному току в классах ковариантной и А0 -калибровок.

В пункте 5.1.4 как приложение развитого в предыдущих разделах формализма рассмотрена задача вычисления потерь энергии быстрого партона, наведённых процессом рассеяния на ультрамягких глюонных возбуждениях среды.

В качестве основной формулы для потерь энергии использовано следующее выражение:

I йх I |у| т-юо т

\ / иЬой ' '

где «С • » - усреднение по случайному источнику, з^(к) = —

Х^о •Лз^И ~ эффективный цветной ток жёсткого партона в линейном приближении по цветному заряду <3о и *Т>'^(к) - глюонный пропага-тор (в Ао-калибровке), определённый на ультрамягкой импульсной шкале (ко ~ |к( - д2Т).

Путём подстановки соответствующих токов Зо^Щ в Фор-

мулу (44) получены выражения для потерь энергии быстрого партона, используя которые даны оценки их порядков по константе взаимодействия:

/ и1.воа V ах /иЬоЙ \ ах /ч1.50Й

Тем самым показано, что хотя на ультрамягкой импульсной шкале потери энергии сильно подавлены для а, < 1 по сравнению с потерями энергии, наведёнными рассеянием быстрого партона на глюонных возбуждениях на мягкой импульсной шкале (см. главу 1), полное вычисление потерь энергии ((1Е/<1х)п1&0ц оказывается непертурбативным.

В разделе 5.2 на основе кинетической флуктуационной теории Б.Б. Кадомцева получено выражение для корреляционной функции ланжевеновско-го источника

<уа( р,*)г/ь(р'У)»= (46)

, g4N2cT dN(ep) dN(ep>)

Здесь Лг(бр) = 1/(ехр(бр/Т) — 1) - распределение Бозе, где ер = |р|, а функция у(р, х) = уа{р, х)Та связана с источником v{x,v) следующим соот-

ношением:

00 СХ)

Jp2d\p\y(p,x) = -gv{x,v) J p2d|p|

dN(e p) dcp

В главе 6 представлен вывод флуктуационно-диссипационной теоремы (ФДТ) для мягких ферми-возбуждений в горячей кварк-глюонной плазме. Приведено два способа получения ФДТ и показано, что учёт всех особенностей, которые присущи рассматриваемой фермионной системе, приводит к полному совпадению флуктуационно-диссипационных соотношений.

В разделе 6.1 в качестве предварительного рассмотрения дан вывод ФДТ для мягких бозе-возбуждений неабелевой плазмы. Представлены два подхода к получению флуктуационно-диссипационных соотношений для бозе-возбуждений. Первый из них основан на классической модели КГП, предложенной U. Heinz, в то время как второй подход базируется на стандартной технике вычислений ФДТ для термодинамически равновесных систем с минимальным обобщение на цветовую степень свободы. Показано, что два таким образом полученных выражения будут в точности совпадать, если в процедуре усреднения при вычислении корреляционной функции (Л*а(/с)Л^(А;')) вместо классического статистического фактора использовать квантовый согласно правилу:

/"п2Ж)4р1

J Р ;Н 2тг2

а в качестве кварковой и глюонной постоянных Казимира второго порядка понимать

= 1фча) = тРаА, = ^(тата) = сАлА-

В разделе 6.2 представлен вывод ФДТ для мягких фермионных возбуждений, основанный на обобщённой (псевдо)классической модели в описании КГП, предложенной в третьей и четвёртой главах диссертационной работы.

В рамках этой модели получено выражение для корреляционной функции флуктуаций спинорного поля

ШчЩЫ)) = - 1% (47)

где

т

6(Ч2-и2)

- спектральная плотность для мягких кварковых флуктуаций и шо - ферми-онная плазменная частота.

В разделе 6.3 определено флуктуационно-диссипационное соотношение для флуктуаций жёсткого грассманова источника г(а.

В разделе 6.4, используя ФДТ для жёсткого грассманова источника и факт взаимности между флуктуациями обобщённых сил - жёстких цветных источников т]га и и стационарных однородных мягких фермионных полей ф1а и ф1а, получено флуктуационно-диссипационное соотношение для мягких фермионных флуктуаций

х{ ~ ё){н+та*л+(9)|2++*л-(?)12} Показано, что для того, чтобы получить полное совпадение двух таким образом найденных выражений для фермионных спектральных плотностей (48) и (49), в процедуре усреднения при вычислении коррелятора (47) необходимо принять во внимание тот факт, что рассматриваемая система является системой с переменным числом частиц и античастиц. Учёт этого обстоятельства влечёт появление в правой части (48) множителя вида

+ СС +СО 1

£ (_1)= 1 + 2 £ (-1) = Дх),

ЛГ=-оо лг=1

что приводит к полному совпадению полученных флуктуационно-диссипаци-онных соотношений (48) и (49). Это даёт не только веский аргумент в пользу справедливости предложенной в диссертационной работе псевдоклассической модели в описании КГП, но и уточняет некоторые моменты в её построении.

В Приложении приведены: выражения для НТЪ-наведённых вершин между парой кварков и двумя глюонами и их свойства; вид коэффициентных функций, входящих в выражение сопряжённых эффективных токов и ис-

точников; вид функции К^^а2'^(V, V, х| Я', — ку, ~^2); анализ особенностей однопетлевых графиков; вывод кварковых петлевых поправок к процессам упругого рассеяния мягкого глюона и мягкого кварка; разложение вершинной функции Тг(к\ /, -д); вид коэффициентной функции ь у2; ... | я, -к);

вывод меры интегрирования по грассмановым цветным зарядам.

В Заключении кратко перечислены основные моменты представленного в работе подхода и намечены возможные пути их дальнейшего развития.

Основные результаты и выводы

1) В рамках квазиклассического приближения представлен общий формализм вывода эффективного тока, порождающего процесс тормозного излучения произвольного числа мягких глюонов при рассеянии ультрарелятивистской цветозаряженной частицы па тестовом термальном партоне высокотемпературной кварк-глюонной плазмы.

2) Выведена формула для интенсивности тормозного излучения мягкого глюона, наведённого наиболее простым радиационным процессом. Полученное выражение проанализировано для модельного случая статических цветных центров в условиях, когда можно пренебречь температурной поправкой к голой трёхглюонной вершине Гз5.

3) Проведён детальный анализ потерь энергии, связанных с процессом тормозного излучения, определяемого эффективной температурно-наведённой трёхглюонной вершиной ¿Гз5. Показано, что в приближении малых углов излучения вклад данного типа потерь энергии сильно подавлен фактором Лоренца по сравнению с потерями энергии, наведёнными обычным тормозным излучением, но становится доминирующим при больших углах излучения.

4) Рассмотрена роль 'иедиагональных' вкладов в радиационные потери энергии, и выявлена их связь с двойным борцовским рассеянием.

5) Вычислен эффективный ток, определяющий тормозное излучение двух мягких глюонов при столкновении двух цветозаряженных частиц. Приведено общее выражение для интенсивности излучения. Для матричного элемента тормозного излучения двух глюонов получено приближённое выражение в пределе малых углов излучения в рамках статической модели КГП.

6) Выведена система кинетических уравнений больцмановского типа, учитывающих наиболее простые процессы нелинейного взаимодействия мягких фермионных и бозонных возбуждений горячей КХД плазмы между собой.

7) Представлен общий формализм вывода эффективных токов и источников, порождающих процессы нелинейного взаимодействия мягких ферми- и

бозе-возбуждсний кварк-глюонной плазмы друг с другом, без обмена энергией с жёсткими термальными партонами.

8) Получена наиболее общая формула для мощности излучения мягких фермионных и бозонных возбуждений КГП, с помощью которой, в рамках принципа соответствия В.Н. Цытовича, вычислены вероятности различных процессов нелинейного взаимодействия мягких плазменных мод.

10) Выписана самосогласованная система нелинейных интегральных уравнений на калибровочный потенциал и кварковую волновую функцию Ф'Лч)' учитывающих наличие в среде цветного тока и цветного грассманова источника, наведённых жёсткой тестовой частицей. Введены понятия эффективных токов и источников, и даны конкретные примеры вычислений наиболее простых из этих эффективных величин.

11) Предложены обобщённые (псевдо)классические динамические уравнения, описывающие эволюцию вектора обычного (коммутирующего) цветового заряда и грассмановых (антикоммутирующих) цветовых зарядов (?(£), #*'(£) жёсткой тестовой частицы, взаимодействующей как с мягкими глюон-ными, так и с мягкими кварк-антикварковыми полями неабелевой плазмы.

12) На основе принципа соответствия В.Н. Цытовича, с использованием найденных эффективных величин, вычислены калибровочно-инвариантные матричные элементы различных процессов рассеяния мягких ферми- и бозе-возбуждений КГП на термальных партонах среды.

13) Приведены выражения для потерь энергии быстрой цветной частицы, распространяющейся через КГП, наведённых процессами рассеяния последней на мягких плазменных возбуждениях, переносящих полуцелый спин. В частности, получено выражение для так называемых поляризационных потерь, определяемых далёкими 'неупругими' столкновениями, с изменением статистики быстрой частицы.

14) Развита общая теория вывода эффективных токов и источников, определяющих процессы тормозного излучения произвольного числа мягких кварков и глюонов при рассеянии быстрой частицы на термальных партонах.

15) Полученные выражения для интенсивности излучения мягких глюонов и мягких кварков проанализированы в рамках потенциальной модели в условиях, когда можно пренебречь температурной поправкой к голой кварк-глюонной вершине. В приближении малых углов излучения найдена приближённая формула для потерь энергии быстрого партона, наведённых тормозным излучением мягкого кварка.

16) Найдены явные выражения, и дан детальный анализ различных свойств эффективных токов и источников, определяющих высшие радиационные процессы: тормозное излучение мягкого глюона или мягкого кварка при взаимодействии трёх цветозаряженных партонов и тормозное излучении двух мягких глюонов, мягкого глюона и мягкого кварка, мягкой кварк-антикварковой пары или двух мягких кварков при взаимодействии двух жёстких частиц.

17) В рамках эффективной теории ультрамягких глюонных мод рассмотрена задача взаимодействия быстрой цветной частицы с ультрамягкими флук-туациями высокотемпературной чисто глюонной плазмы. Предложена процедура вычисления эффективного тока, порождающего данный процесс взаимодействия. Вычислены в явном виде первая и вторая поправки к 'затравочному' току.

18) В качестве приложения развитого формализма рассмотрена задача вычисления потерь энергии быстрого партона, наведённых процессом рассеяния на ультрамягких глюонных возбуждениях среды. Выписаны первые три члена в разложении потерь энергии по степеням ланжевеновского источника и показано, что на ультрамягкой импульсной шкале (а; ~ д4Т, |к| ~ д2Т) все эти вклады имеют один и тот же порядок по константе взаимодействия, что дало основание сделать важный вывод о неприменимости пертурбативного подхода к вычислению потерь энергии в данной области импульсной шкалы чисто глюонных возбуждений.

19) В рамках кинетической флуктуационной теории Б.Б. Кадомцева предложено наиболее общее выражение для корреляционной функции ланжевеновского источника у(р,х) — уа(р,х)£а в горячей глюонной плазме.

20) Рассмотрено два независимых вывода спектральной плотности для мягких фермионных возбуждений в равновесной КГП, и получено полное совпадение конечных выражений. Указано на то, что этот результат можно рассматривать как достаточно серьёзное обоснование предложенного в данной диссертационной работе (псевдоклассического подхода к описанию динамики жёстких и мягких возбуждений горячей КХД плазмы, подчиняющихся различным статистикам.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Марков Ю.А., Маркова М.А. Калибровочная инвариантность декремента нелинейного затухания Ландау бозе-возбуждений в кварк-глюонной плазме, I // Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т. 124. - С. 110-135.

2. Марков Ю.А., Маркова М.А. Калибровочная инвариантность декремента нелинейного затухания Ландау бозе-возбуждений в кварк-глюонной плазме, II // Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т. 124. - С. 292-309.

3. Markov Yu.A., Markova М.А. Nonlinear plasmon damping in quark-gluon plasma // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. - 2000. - V. 26. -P. 1581-1619.

4. Markov Yu.A., Markova M.A. Nonlinear Landau damping of a plasmino in the quark-gluon plasma // Physical Review D. - 2001. - V. 64. - P. 105009(27).

5. Markov Yu.A., Markova M.A. Nonlinear dynamics of soft boson excitations in hot QCD plasma, I: Plasmon-plasmon scattering // Annals of Physics. - 2002.

- V. 302. - P. 172-205.

6. Markov Yu.A., Markova M.A., Vail A.N. Nonlinear dynamics of soft boson excitations in hot QCD plasma, II: Plasmon - hard-particle scattering and energy losses // Annals of Physics. - 2004. - V. 309. - P. 93-150.

7. Markov Yu.A., Markova M.A., Vail A.N. Nonlinear dynamics of soft boson excitations in hot QCD plasma, III: Bremsstrahlung and energy losses // Annals of Physics. - 2005. - V. 320. - P. 282-343.

8. Markov Yu.A., Markova M.A. Scattering of high-energy partons off ultrasoft gluon fluctuations in hot QCD plasma and energy losses // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. - 2005. - V. 31. - P. 1375-1390.

9. Markov Yu.A., Markova M.A. Problem of noise-noise correlation function in hot non-Abelian plasma // Physical Review D. - 2005. - V. 71. - P. 117501(3).

10. Markov Yu.A., Markova M.A. Nonlinear dynamics of soft fermion excitations in hot QCD plasma I: Plasmino-plasmon scattering // Nuclear Physics A.

- 2006. - V. 770. - P. 162-209.

11. Markov Yu.A., Markova M.A. Nonlinear dynamics of soft fermion excitations in hot QCD plasma II: Soft-quark-hard-particle scattering and energy losses // Nuclear Physics A. - 2007. - V. 784. - P. 443-514.

12. Markov Yu.A., Markova M. A., Vail A.N. Nonlinear dynamics of soft fermion excitations in hot QCD plasma: Soft-quark bremsstrahlung and energy losses // International Journal of Modern Physics A. - 2010. - V. 25. - P. 685-776.

13. Markov Yu.A., Markova M.A. On the fluctuation-dissipation theorem for soft fermionic excitations in a hot QCD plasma // Nuclear Physics A. - 2010. -V. 840. - P. 76-96.

Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134 Подписало к печати 29.06.2010 г. Формат бумаги 60x84 1/16, объем 2 п.л. Заказ 12. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

Введение

1 Процессы тормозного излучения мягких бозе-возбуждений в горячей КХД среде. Радиационные потери энергии

1.1 Эффективные токи для наведенного излучения мягких глюонов

1.2 Интенсивность тормозного излучения мягких глюонов

1.3 Приближение статического цветного заряда.

1.4 Тормозное излучение, наведенное эффективной вершиной

1.5 'Недиагональный' вклад в радиационные потери энергии. Связь с двойным борновским рассеянием.

1.6 Тормозное излучение двух мягких глюонов.

1.7 Тормозное излучение двух мягких глюонов (продолжение)

2 Кинетические уравнения больцмановского типа для мягких бесцветных кварковых возбуждений КГП

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Эффективные токи и эффективные амплитуды

2.3 Вычисление эффективных амплитуд.

2.4 Уравнение Больцмана для упругого рассеяния мягких кварковых возбуждений на мягких глюонных возбуждениях.

2.5 Вероятности упругого рассеяния мягких кварковых возбуждений друг на друге

2.6 Наиболее общая формула для мощности излучения мягких кварков в КГП.

3 Процессы индуцированного рассеяния мягких кварковых возбуждений на термальных партонах КГП

3.1 Уравнения для мягких полей.

3.2 Эффективные токи и источники низшего порядка.

3.3 Дополнительные цветные токи и источники.

3.4 Эффективные токи и источники третьего порядка.

3.5 Мягкие однопетлевые поправки.

3.6 Вероятности рассеяния

3.7 Структура вероятности рассеяния w^g. Определение постоянной Св.

3.8 Потери энергии быстрого партона.

3.9 'Недиагональные' вклады в потери энергии.

3.10 'Недиагональные' вклады в потери энергии (продолжение)

4 Процессы тормозного излучения мягких ферми-возбуждений в горячей КХД среде. Радиационные потери энергии

4.1 Эффективные токи и источники низшего порядка.

4.2 Интенсивность тормозного излучения мягких глюонов и мягких кварков.

4.3 Приближение статического цветного центра для тормозного излучения мягкого кварка.

4.4 Тормозное излучение мягкого глюона и мягкого кварка в случае двух рассеивающих термальных партонов

4.5 'Недиагональные' вклады в радиационные потери энергии. Связь с двойным борновским рассеянием.

4.6 'Недиагональные' вклады в радиационные потери энергии (продолжение)

4.7 Сокращение особенностей в тормозном излучении мягкого кварка

Тормозное излучение двух мягких глюонов и мягкого глюона с мягким кварком

5 Нелинейная динамика ультрамягких глюонных возбуждений кварк-глюонной плазмы

5.1 Процессы рассеяния быстрых партонов на ультрамягких глюонных флуктуациях и потери энергии.

5.1.1 Исходные уравнения.

5.1.2 Построение эффективного тока.

5.1.3 Калибровочная инвариантность к'] у, у')

5.1.4 Потери энергии быстрого партона, наведённые рассеянием на ультрамягких глюонных флуктуациях.

5.2 Корреляционная функция случайного источника в горячей неа-белевой плазме.

6 Флуктуационно-диссипационная теорема для мягких фермивозбуждений

6.1 Корреляционная функция для мягких бозе-возбуждений

6.2 Корреляционная функция для мягких ферми-возбуждений

6.3 Флуктуационно-диссипационная теорема для жёсткого источника г)га

6.4 ФДТ для мягких фермионных флуктуаций.

Изучение сильно-взаимодействующей материи представляет собой одно из главных направлений исследований в современной ядерной физике и физике элементарных частиц. Особый интерес представляет фазовый переход между адронной материей и кварк-глюонной плазмой (КГП), подобный переходу, который, как предполагается, имел место в ранней Вселенной в пределах временного интервала I ~10-(3 — Ю-5 с после Большого взрыва [1]. В настоящее время такой переход может существовать при сильном гравитационном сжатии в центре нейтронных звёзд, чёрных дыр или при коллапсе обычных звёзд [2]. Несмотря на то, что процессы с участием сильного взаимодействия к настоящему моменту достаточно хорошо описываются в терминах квантовой хромодинамики (КХД), два их основных проявления в окружающем нас мире - конфайнмент кварков и глюонов и иерархия адронных масс - всё ещё остаются объектом усиленных исследований.

Оба явления имеют место на шкале энергии импульса < 1 ГэВ2, где КХД константа взаимодействия весьма большая а3 > 0.3, и поэтому обычная теория возмущений не является надёжным аппаратом для количественных расчётов или, вообще, может быть неприменима. В горячей и плотной ядерной среде при достаточно высокой температуре Т и/или бари-онном химическом потенциале Цв ожидается, что адроны с конечным размером фм) распадаются на 'составные' части, которые образуют кварк-глюониую плазму, или говоря другим языком, конденсаты, ответственные за иерархию адронных масс, "расплавляются"1. Численные расчёты на решёт

1Более точно, по мере повышения плотности энергии ядерное вещество претерпевает, вообще говоря, два фазовых перехода [3]: деконфайнмент цвета (разрушение глюонного конденсата) и восстановление киральной симметрии (разрушение кварк-антикваркового конденсата). ках при конечной температуре показывают, что фазовый переход от адрон-ной к кварк-глюонной материи имеет место при "критической" температуре Тс ~ 140 — 200 МэВ [4]. Очевидно, что эта шкала является весьма малой для того, чтобы "пертурбативная" КГП реализовалась как газ (плазма) слабо-взаимодействующих кварков и глюонов, даже несмотря на то, что вычисленная плотность энергии соответствует идеальной (невзаимодействующей и безмассовой) КГП в пределах 20 процентов для Т > 1.2 Тс.

В лабораторных условиях кварк-глюонную плазму надеются получить путём столкновения ультрарелятивистских тяжёлых атомных ядер с энергией в центре масс, на единицу сталкивающейся нуклонной пары, много большей массы покоя нуклона л/s/A М^. Если энергия, запасённая в зоне реакции, является достаточно большой, само понятие сильно-взаимодействующей среды становится оправданным, несмотря на её весьма скоротечную природу (~0.8 фм). Правомерность использования данного понятия убедительно подтвердилась в экспериментах по столкновению ядер на протяжении почти 25 лет на Super-Proton-Synchrotron (SPS, CERN) и Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC, BNL). В настоящее время исследование этого нового состояния материи продолжатся на ещё более мощном ускорителе Large Hadron Collider (LHC, CERN), поэтому актуальность и большой интерес к данной проблематике не вызывают сомнений. Отметим, что возможность проявления субад-ронной (кварковой) степени свободы в релятивистских ядерных столкновениях была предсказана более 30 лет назад академиком A.M. Балдиным [5], который, в частности, также объяснил кумулятивный эффект как проявлению образования в сталкивающихся ядрах многокварковых капель - флукто-нов - фактически, первых прямых указаний на возможность существования КГП [6].

Как уже упоминалось выше, процессы, происходящие в ядерной материи описываются в рамках квантово-статистического подхода к системам многих частиц, взаимодействующих по законам квантовой хромодинамики. Наиболее трудной областью в описании термодинамических, кинетических и других свойств горячей и плотной ядерной материи является область перехода конфайнмент-деконфайнмент, т.е. перехода от адронной материи к собственно кварк-глюонной плазме. В данной переходной области константа взаимодействия д не является малой, что требует использования существенно непер-турбативных методов исследования. Ввиду чрезвычайной сложности данной проблемы здесь был предложен весьма широкий спектр различных подходов к описанию фазового перехода: прямые решёточные вычисления [7]; модели статистического бутстрапа R. Hagedorn [8,9]; модели кластеризованных кварков [10,11]; струнные потенциальные модели [12,13]; подход, основанный на прямом решении уравнений Швингера-Дайсона в КХД при конечных температуре и кварковом химическом потенциале [14]; метод вакуумных корреляторов, предложенный первоначально Ю.А. Симоновым и др. для описания спектров лёгких и тяжёлых кваркониев, глюболов и т.п. [15] и затем использованный для исследования динамики кварк-глюонной плазмы [16], и ряд других подходов.

Практически во всех вышеупомянутых моделях предполагается, что кварк-глюонная плазма и адронная фаза непосредственно соседствуют друг с другом или, другими словами, деконфайнмент цвета и киральный переход происходят одновременно. В работах E.JI. Фейнберга, И.И. Ройзена и О.Д. Чер-навской [17,18] была высказана гипотеза о существовании промежуточной (между КГП и 'обычным' адронным веществом) фазы, в которой определяющую роль играют массивные динамические кварки (валоны [19]). Такой подход является в некотором смысле альтернативным по отношению к 'стандартным' моделям и позволяет более точно объяснить ряд наблюдаемых экспериментальных данных [20,21].

В данной диссертационной работе нас интересует область асимптотически высоких температур, в которой постоянная взаимодействия является малой, т.е. справедлив обычный пертурбативный метод исследования. В этой области, в отличие от переходной, нет такого 'изобилия' моделей и подходов (см. выше). Практически весь анализ укладывается в рамки стандартной теории возмущений [22-24] лишь с известными модификациями-, характерными именно для высокотемпературного случая - так называемого приближения жёстких температурных петель (HTL-приближения). Данная эффективная теория горячей КХД материи была оригинально предложена в статьях R.D. Pisarski, Е. Braaten [25-28], J. Frenkel, J.C. Taylor [29,30] и R. Kobes и др. [31], а затем получила свое дальнейшее развитие в многочисленных работах и приложениях к вычислению конкретных физических процессов (см., например, [32-40]).

Естественным образом возникает вопрос: если кварк-глюонная плазма формируется при столкновении релятивистских тяжёлых ядер, то каковы экспериментальные сигналы этого нового состояния материи? Были предложены различные кандидаты на эту роль: немонотонности в импульсном распределении вторичных частиц, отражающие свойства фазового перехода адроны - кварк-глюонная плазма [41]; отношение выходов странных частиц к нестранным (К/тт), различное для адронизации адронного газа и КГП [42]; регистрация жёстких фотонов и лептонов, образованных внутри объёма ядерной материи; выход частиц, содержащих тяжёлые (с и Ь) - кварки и, в частности, подавление выхода частиц, содержащих скрытый чарм, -явление, известное как плавление «//-^-резонанса, предсказанное впервые Т. Matsui и Н. Satz [43]; регистрация струй с большими (pj > 2 ГэВ) поперечными импульсами, которые весьма чувствительны к потерям энергии жёстких партонов до своей адронизации при распространении последних через КГП; адронная интерферометрия; флуктуации множественностей вторичных частиц и т.п. Краткое описание адронных и жёстких проб можно найти в книге [44]. В данной диссертационной работе нас будет интересовать жёсткий тип пробника, связанный с потерями энергии быстрых кварков и глюонов в горячей КХД среде2.

За последние два десятилетия были изучены несколько возможных механизмов потерь энергии, а именно: (а) потери, обусловленные упругими столкновениями с конституентами КХД среды; (б) поляризационные потери или потери, порождаемые столкновениями на больших расстояниях; (в) радиационные потери. Два первых механизма часто объединяют в один - столкно-вительный механизм потерь энергии. Было показано, что упругие и поляризационные потери энергии [45-50] дают слишком малый вклад в подавление струй (dEei/dx< 0.5ГэВ/Фм) по сравнению с динамическими потерями в вакууме (dEd/dx~ 1 —2ГэВ/Фм), связанными с фрагментацией струи в адроны, в то время, как наведенные радиационные потери энергии оказы

2 В целях максимального упрощения рассматриваемой проблемы будем считать, что кварк-глюонная плазма занимает бесконечный объём. ваются достаточно большими, чтобы проявить себя в подавлении струй при столкновении тяжёлых ядер. По этой причине теоретические изучения потерь энергии партонов в КГП были сосредоточены в основном на глюоипом тормозном излучении и связанным с ним неабелевым аналогом известного эффекта Ландау-Померанчука-Мигдала (ЛПМ) [51-53]. Однако, как показали экспериментальные данные, эти традиционные подходы имеют определенные трудности в объяснении существенно более сильного, чем ожидалось, подавления струй, что явилось мощным стимулом как для более детального анализа уже изученных механизмов потерь энергии или их альтернативных формулировок, так и для поиска новых.

В первой главе представлен формализм, позволяющий систематическим образом вычислять вероятности тормозного излучения мягких глюонов3 в квазиклассическом приближении с учётом температурных эффектов. Данные эффекты проявляются не только в "одевании" глюонных пропагаторов, но и в "одевании" вершин взаимодействия температурными поправками. В настоящее время общепринятой моделью КХД среды, используемой для описания радиационных процессов, является модель, предложенная M. Gyulassy и X.-N. Wang [54,55]. Она представляет кварк-глюонную плазму как систему дебаевски экранированных статических цветных источников. Дебаевская экранирующая масса (id играет роль естественного параметра инфракрасного обрезания, позволяющего избежать инфракрасной расходимости, которая возникает при интегрировании по импульсу передачи q (см. раздел 1.3). Таким образом, в данном статическом случае практически весь эффект среды сводится к появлению единственного параметра /¿с> (если забыть на время о влиянии многократного рассеяния на тормозное излучение). Однако, вообще говоря, влияние среды не ограничивается только этим. Быстрый партон может рассеиваться не только на статическом цветном центре, но и на термальных партонах, которые образуют экранирующее 'облако' покоящегося заряда с последующим тормозным излучением мягкого глюона. В

3 На протяжении всей работы будем придерживаться следующих определений импульсных шкал, принятых в горячей неабелевой теории: жесткая шкала соответствует импульсу порядка Т и выше, мягкая шкала ~ дТ и ультрамягкая ~ д2Т. обычной плазме такой тип тормозного излучения был впервые рассмотрен A.B. Акопяном и В.Н. Цытовичем [56-58] и назван переходным тормозным излучением. Переходное тормозное излучение является чисто коллективным эффектом. В горячей КХД плазме в рамках квазиклассического приближения данный тип излучения порождается в лидирующем порядке по константе взаимодействия синхронной прецессией цветных классических векторов (изотопических спинов) термальных партонов, образующих экранирующее облако. Это явление эффективно описывается HTL-поправкой к голой трёхглюонной вершине Тз9 [194]. Таким образом, представление об "одетых" цветных частицах хорошо работает не только при описании столкновений и рассеяний, но также и в процессах излучения. Поскольку излучают термальные частицы поляризации, можно ожидать, что угловое распределение тормозного излучения данного типа не имеет узкой направленности, как это происходит в обычном тормозном излучении, и поэтому не будет подавляться при многократном рассеянии (эффект Ландау-Померанчука-Мигдала). Одна из целей диссертационной работы состояла в определении области частот и испущенного кванта, где HTL-поправки к вершинам могут дать заметный вклад в радиационные потери энергии. Как оказалось, данная область ограничивается частотами порядка дТ. В области ш дТ вклад в потери энергии, наводимые эффективной вершиной 6Гзд, подавлен по константе взаимодействия.

Несмотря на то, что данное рассмотрение ограничено в основном статическим приближением 'рассеивателей' среды, полученные исходные выражения для вероятностей тормозного излучения позволяют, в принципе, распространить результаты работы и на более общий случай движущихся частиц. Впервые такая более реальная с физической точки зрения ситуация была рассмотрена Р. Arnold, G.D. Moore и L.G. Yaffe [59-61], исходя из несколько иных исходных предпосылок. Мотивацией этого был тот факт, что термальные частицы сами движутся почти со скоростью света и поэтому они порождают динамически экранирующие цветные электрическое и магнитное поля. Эти поля формируют флуктуационное фоновое поле, в котором происходит тормозное излучение и проявляется ЛПМ-эффект. Отметим, что вопрос о важности учёта динамического экранирования магнитной части одноглюонного обмена в изучении радиационных потерь энергии поднимался в работе [62]. Формализм, развитый в [59-61] на основе конечно-температурной теории поля, имеет то преимущество, по сравнению с другими подходами (см. ниже), что он позволяет корректно описывать тормозное излучение и ЛПМ-эффект при частотах ш > дТ испущенного глюона (в отличие от стандартного, более жёсткого требования ш ^ Т). Это, в частности, даёт возможность изучать явления глюонного излучения в горячей КХД плазме, порождаемого столкновениями термальных партонов между собой. Оценка радиационных потерь энергии лёгких партонов в рамках подхода работ [59-61] была сделана S. Jeon и G.D. Moore [63].

Кроме того, предложенный в первой главе подход позволяет систематическим образом учесть так называемые двойные борновские амплитуды рассеяния [64-72]. В работах B.G. Zakharov [64-70] в рамках предложенного им подхода к анализу наведённого излучения, основанного на континуальном интегрировании, было показано, что взаимодействие быстрого кварка и излученного глюона с каждым цветным статическим источником будет описываться не только одноглюонным, но и двухглюонным обменом. Учёт интерференции между диаграммами двухглюонного обмена и диаграммой без глюонного обмена является важным для сохранения унитарности. В нашем подходе контактные двойные борновские члены возникают из так называемых 'недиагональных' элементов в корреляционной функции произведения двух эффективных токов (раздел 1.5). Эти члены позволяют в точности сократить расходимости, которые возникают в главных 'диагональных' вкладах в потери энергии, связанных с излучением квантов, не лежащих на массовой поверхности.

В качестве приложения изложенного в главе 1 подхода к тормозному излучению мягких глюонов рассмотрена задача потерь энергии высокоэнергичных цветозаряженных частиц в КГП. Исследование потерь энергии быстрых партонов представляет собой значительный интерес в связи с явлением затухания, или гашения струй (jet quenching), включающим подавление лидирующих адронов от фрагментации жёстких партонов благодаря их сильному взаимодействию с горячей и плотной КХД средой. Как уже говорилось выше, это явление служит в качестве одного из основных жёстких пробников образования КГП. Оно было предсказано почти двадцать лет назад [73-75] и в настоящее время наблюдается на RHIC [76-88].

Отметим, что в реальных столкновениях тяжёлых ионов очень трудно измерить потери энергии отдельного партона, поскольку из-за большой множественности сложно изолировать струю, в которую фрагментирует рассматриваемый партон. Однако потери энергии партонов связаны с потерями энергии лидирующего адрона, в которые они фрагментируют, что даёт возможность их косвенного определения.

В настоящее время имеются несколько хорошо развитых техник вычисления глюонного радиационного спектра и потерь энергии: континуальное интегрирование в терминах светоконусных переменных, оригинально предложенное B.G. Zakharov [64-70]; построение эффективного 2d-мерного уравнения Шредингера (или уравнения диффузии) [89, 90]; Opacity Expansion Framework [91]; разложение по коэффициенту непрозрачности в рамках функционального интегрирования [92,93], дополненное точным Reaction Operator Formalism [94], который является наиболее подходящим для многократного рассеяния в конечной по объёму системе и Twist Expansion Sériés [95-97]. Подробные обзоры этих техник можно найти в [98-100]. Подходы к приближённой оценке наблюдаемого 'смягчения' инклюзивного спектра частиц включают уменьшение поперечного сечения рассеяния жёстких партонов [101] или эффективное демпфирование функций фрагментации [102-105]. Дальнейшее развитие теории радиационных потерь энергии связано с учётом более тонких эффектов, таких как изменение шкалы обрезания и бегущей константы связи при переходе из вакуума в кварк-глюонную плазму [106,107]; влияние кинематических ограничений на наведённое глюонное излучение [94,108]; влияние модификации цветной диэлектрической проницаемости на глюонное дисперсионное соотношение (КХД-эффект Тер-Микаеляна) [109]; учёт конечности массы высокоэнергичного партона (эффект "мёртвого" конуса) [110]. Рассмотрим более подробно обзоры результатов работ, посвящённых исследованию двух последних вышеупомянутых эффектов, как наиболее близких к теме настоящей работы.

Эффект Тер-Микаеляна (или, как его иногда называют, эффект плотности в тормозном излучении) для конденсированных сред [111,112] или

КЭД плазмы [56,57,113] связан с уменьшением полной интенсивности тормозного излучения «в области частот ш «С wpi7, где и>р\ есть плазменная частота, а 7 = Е/М - лоренц-фактор для частицы с энергией Е и массой М. Тем самым, существование данного эффекта подразумевает учёт не только взаимодействия излученного кванта со средой (в частности, приобретение им наведённой средой эффективной массы4), но и учёт конечности массы быстрой частицы, излучающей этот квант. Для горячей КХД среды эффект плотности в тормозном излучении был впервые рассмотрен В. Kämpfer и O.P. Pavlenko [109] путём введения эффективной глюонной массы, зависящей от температуры системы. Было показано, что КХД-эффект Тер-Микаеляна приводит к подавлению наведённого излучения в области фазового пространства, отличной от той, в которой проявляется ЛПМ-эффект. Далее M. Djordjevic и M. Gyulassy [116] рассмотрели задачу о влиянии диэлектрических свойств горячей ядерной среды па динамическое излучение в нулевом порядке по непрозрачности и показали, что эффект Тер-Микаеляна редуцирует динамические потери энергии. Вопрос о модификации средой партонного каскада без обмена глюоном между быстрым партоном и термальными партонами также был изучен B.G. Zakharov [106].

В настоящее время изучение радиационных потерь энергии тяжёлых пар-тонов (с или Ъ кварков), распространяющихся через горячую КХД среду представляет собой самостоятельный интерес. Впервые на важность учёта эффекта потерь энергии тяжёлых кварков в А + А столкновениях указал Е. Shuryak [117] в контексте их влияния на рождение дилептонов с большой инвариантной массой при распаде тяжёлого кварка. Эти дилептоны могут выступать в качестве одного из пробников наиболее плотных стадий ядерных столкновений [118-123]. Далее в работе M.G. Mustafa и др. [124] была дана грубая оценка радиационных потерь энергии тяжёлых кварков и показано, что величина этих потерь больше, чем величина столкновительных потерь энергии [47,125-131] для всех энергий практической важности (см. од

4 Отметим, что в работе В.М. Галицкого и В.В. Якимец [114] (см. также [115]) был доказан следующий важный факт: кроме наведённой средой массы, эффект поглощения квантов той же средой также может приводить к сильному подавлению тормозного излучения в некоторой области частот. нако [132-137]). Эффект конечности массы был принят во внимание в [124] через кинематическое ограничение на максимальное значение импульса испущенного глюона без модификации, однако распределения по множественности испущенного глюона.

Вопрос о качественном отличии радиационных потерь тяжёлого кварка от потерь лёгкого кварка был рассмотрен Yu.L. Dokshitzer pi D.E. Kharzeev [110]. Это отличие связано с подавлением излучения на малые углы в силу, так называемого, явления "мёртвого" конуса [138]. Учёт конечности массы приводит к появлению в факторе гашения (quenching factor) [110,139] дополнительного, характерного именно для тяжёлых кварков, положительного члена, приводящего к уменьшению подавления ^-распределения тяжёлых ад-ронов по сравнению с распределением для лёгких адронов. Следующий важный шаг в изучении проблемы потерь энергии тяжёлого кварка был сделан в работах М. Djordjevic и других [140-142], где было дано обобщение разложения по непрозрачности (opacity expansion) для безмассовых партонов на случай тяжёлых кварков с массой М. Было показано, что общий результат (учитывающий плазмонный эффект Тер-Микаеляна для глюонов) получается с помощью одного универсального сдвига всех частот на величину Аш = (га2 + х2М2)/(2хЕ) в разложении Gyulassy-Levai-Vitev [91,94], где тд есть эффективная масса тормозного глюона, а х - отношение частоты тормозного кванта к энергии быстрого партона. Важность развитого в [140] подхода определяется возможностью дальнейшего его приложения к томографии тяжёлыми кварками горячей ядерной материи.

Наличие термальных кварков и антикварков в горячей КХД среде приводит к тому, что наряду с мягкими бозе-возбуждениями в системе существуют и мягкие ферми-возбуждения, которые необходимо также учитывать в общей динамике кварк-глюонной плазмы. Исследование плазменных возбуждений в КГП с фермионным квантовым числом было начато в работах [143,144]. На основе температурных функций Грина в технике Мацубара в [143] и в рамках формализма реального времени Келдыша в [144] был впервые вычислен калибровочно-инвариантный спектр фермионных возбуждений в пределе очень горячей плазмы (т.е. когда массы кварков и антикварков в КГП малы по сравнению с температурой). Было показано, что при конечной температуре и нулевом химическом потенциале кварковый пропагатор имеет два полюса, т.е. спектр элементарных кваркоподобных возбуждений состоит из двух ветвей и имеет оптический характер (т.е. в спектре есть массовая щель).

Обе ветви имеют положительную энергию выше светового конуса. Одна из них является стандартной модой с киральностыо, равной спиральности, которую отождествляют с обычными кварками и антикварками. Вторая ветвь, с 'неправильным' отношением киральности к спиральности, представляет собой чисто коллективное возбуждение, специфичное для лёгких фермионов в ультрарелятивистской плазме. Детальный физический анализ данной моды колебаний был сделан в работах [145,146]. Это коллективное возбуждение было названо плазмино [147,148] с целью подчеркнуть, что подобно плазмоп-ной моде, оно обязано своим существованием чисто коллективным эффектам плазмы. Ветвь, описывающая обычные кварковые возбуждения, возрастает монотонно с импульсом. Другая ветвь сначала убывает при малых значениях импульса, достигая абсолютного минимума, а затем возрастает. При нулевом импульсе колебаний эти ветви вырождаются, а при больших импульсах - приближаются к световому конусу.

В силу того, что жёстко-температурные эффекты в КГП имеют классический характер (все НТЬ'б являются ультрафиолетово конечными, а появляющиеся в конкретных вычислениях инфракрасные расходимости, имеющие чисто квантовое происхождение, устраняются введением экранирующей магнитной массы порядка д2Т), возникает принципиальный вопрос: можно ли вычислить спектр (а также декремент затухания) ферми-возбуждений, исходя, например, из квазиклассических представлений, на основе кинетических уравнений? Спектр бозе-возбуждений КГП, также как и декремент затухания, вычисляется, исходя из кинетических уравнений для жёстких и мягких возбуждений, соответственно, [149-151,194]. Одной из возможных причин отсутствия попыток вычисления, по крайней мере, спектра кварковых возбуждений, являлось представление о невозможности (квази)классически описать связную волну с фермионным квантовым числом.

Однако после работы Л.-Р. Blaizot и Е. 1апси [152] такой путь изучения процессов с ферми-возбуждениями был открыт. Они построили собственное описание жёстких температурных эффектов в КГП, основанное на редукции квантовых уравнений Швингера-Дайсона к системе уравнений на функции распределения жёстких частиц - кварков, антикварков и поперечных глюо-нов и уравнений на усреднённые поля, описывающих мягкие моды колебаний. Эта замкнутая система уравнений была получена на основе согласованного разложения по константе взаимодействия и, таким образом, учитывала все эффекты, связанные с НТЬ'я.

Для того чтобы допустить коллективные возбуждения с произвольными квантовыми числами, в этой работе были введены в рассмотрение не только бозонные усредненные поля, но и усреднённые фермионные поля. Функции Вигнера, удовлетворяющие кинетическим уравнениям, являются, в общем случае, недиагональными в цветовом пространстве и могут смешивать бозонные и фермионные степени свободы. Уравнения на средние поля - уравнение Янга-Миллса для глюонного поля и уравнение Дирака для кварк-антикваркового поля содержат в правых частях наведенные средними полями цветные токи, определяющиеся с помощью соответствующих функций распределения. Так, например, функция Вигнера, на основе которой вычисляется наведенный ток в правой части уравнения Дирака, определяется с помощью абиормалъного пропагатора (обобщённой одночастичной матрицы плотности), представляющего собой квантово-статистическое усреднение произведения операторов различной статистики: потенциала калибровочного поля Аа и волновой -г/'-функции кварка. Такой пропагатор отличен от нуля только в неравновесной системе. В первой главе данной диссертационной работы был использован лишь чисто бозонный сектор (т.е. когда мы пренебрегаем существованием мягких ферми-возбуждений) полученной 3.-Р. Blaizot и Е. 1апси самосогласованной системы уравнений. Во второй, третьей и четвертых главах показано, что фермионный сектор этой системы уравнений, дополненный соответствующими динамическими уравнениями на жесткую составляющую плазмы (см. ниже), содержит богатую информацию о динамике не только ферми-мод, но также и бозе-мод, с которыми они взаимодействуют. Вывод уравнения Больцмана, описывающего эволюцию плотности числа квазичастиц с полуцелым спином, рассматривался независимо А. Niëgawa [153]. В рамках формализма Келдыша-Швингера кинетические уравнения для нормальной и абнормальной ферми-мод определяются из требования отсутствия больших вкладов благодаря пинчевым сингуляр-ностям пертурбативной схемы, предложенной в [153]. Формализм, развитый А. Niëgawa, является вполне строгим и обладает значительной общностью, по крайней мере, для квазиоднородных систем вблизи равновесия. К сожалению, в этой работе не были приведены какие-либо конкретные выражения для столкновительных членов. В этом смысле подход, предложенный во второй главе данной диссертационной работы, имеющий более феноменологический характер, дополняет работу [153] примерами конкретных вычислений столкновительных членов в рамках эффективной теории Braaten-Pisarski.

В третьей главе мы сосредоточили своё внимание на изучении процессов спонтанного и индуцированного рассеяния мягких кварковых возбуждений па жёсткой термальной (или внешней) частице. Эта задача уже обсуждалась ранее в работе [195] с использованием несколько иной техники вычислений, чем представленная в данной главе. Здесь она рассмотрена более детально в рамках подхода построения эффективных токов и источников.

Предложенный метод основан на полной системе динамических уравнений ВЫгоМапси [152], дополненных уравнением Вонга [155], описывающим изменение классического цветного заряда С} = (фа), а = 1,., N¿—1 жёсткой цветозаряженной частицы, и динамическими уравнениями для грассмановых цветных зарядов в = (в1) и ^ = (¿^г), г = 1,., 7УС, во внешнем неабелевом поле. Последние уравнения были впервые предложены в работах [156,157]. Использование уравнений на грассмановы заряды является новым важным моментом развиваемой в диссертационной работе эффективной теории нелинейного взаимодействия жёстких и мягких фермионных и бозониых мод в горячей кварк-глюонной плазме. Введение в рассмотрение на равной основе с обычным цветным зарядом грассмановых цветных зарядов жёсткой цветной частицы позволяет ввести наряду с классическим цветным током также так называемый цветной грассманов ток (или источник, как мы его будем в дальнейшем называть) жёсткой частицы, переносящей полуцелый спин. Данный грассманов источник добавляется в правую часть уравнения Дирака для мягкого кваркового поля, подобно тому, как обычный цветной ток добавляется в правую часть уравнения Янга-Миллса [197]. Это позволяет получить замкнутое самосогласованное описание динамики нелинейного взаимодействия мягких и жёстких возбуждений, подчиняющихся ферми- и бозе-статистикам.

К сожалению, уравнение Вонга, а также уравнения для грассмановых зарядов в том виде, в каком они были получены в оригинальных работах [155157], недостаточны для определения полных калибровочно-инвариантных выражений для матричных элементов изучаемых процессов рассеяния. Причиной этого является то, что данные уравнения получены в предположении наличия в системе только (регулярного или стохастического) глюонного поля Аа^{х). В разделе 3.3 предложено минимальное обобщение этих уравнений на случай присутствия в системе также мягкого случайного кварк-антикваркового поля фга(х): гду^, V¿)(ТьГдс(£) + (0.1) у*)) - (Ш =0, = гду^А^ у*) (*а)+ гд (хаШ у*)) - 0, 0* = 9\€) о ' гд

СИ ' . ~ \ '4 ' V ' " ' ' 4=40

0.2) - - = 0, 0Ц = вЩ

И м.- V ■ " ~ ' -----/ " ' ' ¿=¿0 где Ха - некоторый спинор, не зависящий от времени Последние два уравнения позволяют в рамках квазиклассического приближения с необходимой степенью точности описать динамику жёстких цветозаряженных частиц со спином 1/2.

Эти обобщённые уравнения порождают новые калибровочно-ковариант-ные цветные токи и источники жёсткой тестовой частицы, которые необходимо добавить в правые части соответствующих полевых уравнений. Только с учётом этих дополнительных токов и источников можно вычислить полные калибровочно-ковариантные эффективные токи и источники, порождающие процессы рассеяния мягких кварковых возбуждений на жёсткой частице. Отметим также, что эффективные токи и источники, полученные в рамках предложенной вычислительной схемы, обладают удивительной симметрией относительно свободных мягких глюонных и кварковых полей, а также обычного и грассмановых зарядов. Данное обстоятельство наводит на мысль о существовании (супер)преобразований, нетривиальным образом затрагивающих как бозонную, так и фермионную степени свободы жёстких и мягких возбуждений рассматриваемой системы, переводящих эффективные токи и источники друг в друга.

Подход, предложенный в главе 3, используется для изучения распространения быстрого партона (глюона или кварка) через горячую КХД среду и потерь энергии, связанных с этим движением. Показано, что учёт мягких возбуждений, подчиняющихся статистики Ферми-Дирака, приводит к появлению новых каналов потерь энергии и, в частности, потерь энергии, связанных со спонтанным рассеянием быстрого партона на мягких фермионных возбуждениях КГП. Частным и наиболее простым случаем последних являются поляризационные потери, порождаемые далёкими 'неупругими' столкновениями, при которых изменяется статистика исходного жёсткого партона. Этот тип потерь энергии дополняет уже известные поляризационные потери, порождаемые далёкими 'упругими' столкновениями [46-50].

Заметим, что приближение, в рамках которого вычислялись поляризационные потери энергии, справедливо лишь при весьма низком уровне возбуждений мягких полей среды. На это обстоятельство было указано в работе [49]. Однако можно ожидать, что при столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов образовавшаяся КГП будет находиться в далёком от равновесия сильно-возбужденном состоянии, когда взаимодействие с мягкими коллективными возбуждениями может превалировать над эффектами столкновений с термальными частицами. При наличии интенсивного мягкого излучения в среде возникают дополнительные механизмы торможения (или ускорения) энергичной цветной частицы, связанные с процессами спонтанного и индуцированного рассеяния данной частицы на мягких кварк-антикварковых и глюонных возбуждениях. В предельном случае сильных полей ^ Я?3, \Ар(х) \ ~ Т) данный тип потерь энергии становится одного порядка по д с другими механизмами потерь энергии и поэтому может дать заметный вклад в общий баланс потерь. Именно здесь должна проявиться в полной мере неабелева природа взаимодействия жёсткой цветной частицы с мягким кварк-антикварковым и глюонным полями в КГП.

Первой работой, где была сделана попытка учёта взаимодействия энергичной (массивной) цветной частицы со случайным фоновым хромоэлектри-ческим полем на основе квазиклассических уравнений движения, является работа [158]. В ней использовался подход, развитый применительно к проблеме стохастического торможения и ускорения космических лучей в обычной плазме [159]. Однако здесь остался без внимания тот факт, что в случае плотной и горячей среды, какой является КГП, в процессе рассеяния плазма, окружающая энергичный цветной заряд, не остается безучастной. В ней возникают нелинейные поляризационные токи, существенно изменяющие физическую картину. В случае абелевой плазмы это было показано в [160]. Для учёта поляризационных токов необходимо использовать кинетическое уравнение, что в работе [158] сделано не было.

Наиболее близкой, в идейном плане, к теме данного исследования является работа [161]. В ней впервые был поставлен вопрос о влиянии эффектов индуцированного глюонного излучения и термального поглощения на потери энергии быстрого партона, распространяющегося в горячей КХД среде. Данный механизм потерь энергии важен в КГП с большой начальной глю-онной плотностью, что возможно, действительно имеет место ввиду наблюдаемого в экспериментах на RHIC сильного подавления спектра адроиов с большими поперечными импульсами [99]. Однако в [161] рассмотрены лишь излучение и поглощение жёстких термальных глюонов (энергия которых порядка температуры системы) с использованием методов пертурбативной КХД. При большой плотности мягкого глюонного излучения становится важен также учёт вклада в потери энергии излучения и поглощения мягких глюонов энергичным партоном. Данные процессы (пропорциональные плотности числа мягких возбуждений) в силу больших чисел заполнений мягких возбуждений можно адекватно описывать, используя квазиклассические методы, основанные на приближении жёстких температурных петель. Третья глава представляет собой прямое обобщение результатов работ [158,161] на случай, когда в системе кроме мягкого глюонного излучения присутствует также мягкое кварк-антикварковое излучение.

В четвёртой главе рассмотрен вопрос о тормозном излучении мягкого кварка (или антикварка) высокоэнергичной цветной частицей, наведённом столкновениями с термальными партонами неабелевой плазмы. В целях упрощения задачи жёсткие кварк-антикварковые возбуждения считаются безмассовыми. На протяжении всей главы используется понятие тормозного излучения мягких (анти)кварков на равной основе с общепринятым понятием тормозного излучения мягких глюонов (см. главу 1). Это позволяет добиться единой терминологической унификации радиационных процессов в горячей КХД плазме с жёсткими и мягкими возбуждениями различной статистики. Отметим, что само понятие излучения (или поглощения) мягких фермионных возбуждений не является новым. Подобная терминология уже использовалась, например, В. Vanderheyden и J.-Y. Ollitrault [162] при анализе вкладов мягкого сектора возбуждений среды в декремент затухания одночастичных возбуждений в холодных ультрарелятивистских плазмах с КЭД- или КХД-взаимодействиями.

Здесь хотелось бы отметить два направления исследований, где может оказаться полезным использование идей и представлений, изложенных в третьей и четвёртой главах. Первое из них связано с приложением к эффективной теории партонов с малым х (долей импульса нуклона, переносимой данным партоном), описываемых классическими уравнениями движения [163-165]. Сильные глюонные поля в этой теории порождаются классической плотностью цветного заряда ра, которая в свою очередь определяется валентными кварками внутри больших ядер-мишеней. В ряде работ [166-168] был развит подход, позволяющий выразить эту плотность в терминах плотности классических цветозаряженных частиц, движущихся в неабелевом фоновом поле. Цветные заряды Qa этих частиц удовлетворяют уравнению Вон-га. Считается, что такой подход справедлив в режиме большой плотности ядерной материи, когда ра является большим.

Далее в работе К. Fukushima [169] была сделана попытка принять во внимание некоммутативность плотности цветного заряда на операторном уровне для учёта квантовых поправок. Эти поправки могут быть уже существенными при низкой плотности. Однако эффекты 'некоммутативности' могут, в принципе, проявиться уже на классическом уровне, если предположить, что в рассматриваемой системе наряду с классическими глюонными полями А^(х) могут генерироваться (псевдо)классические (стохастические) кварк-антикварковые поля фга(х) и фга(х). Для описания этих эффектов необходимо будет ввести-наряду с обычным цветным зарядом Qa также антикоммутиру-ющие грассмановы цветные заряды and вг жёстких частиц. Кроме того, в этом случае уравнение движения для глюонного поля должно быть дополнено уравнением движения для кваркового поля, где в правой части последнего будет стоять цветной грассмановый ток (или источник, в нашей терминологии), выраженный в терминах 0-зарядов. Всё это может дать возможность исследовать более тонкие, например, спиновые эффекты в физике малых х уже на классическом уровне.

Второе направление, о котором хотелось бы здесь упомянуть, связано с изучением процессов взаимодействия струи со средой, при которых меняется тип струи, т.е. тип лидирующего партона. Так, в работах [170,171] было показано, что учёт эффекта конверсии между кварковыми и глюоиными струями при их прохождении через кварк-глюонную плазму является важным для объяснения некоторых экспериментальных данных, наряду с потерями энергии лидирующего партона. В нашем подходе процессы конверсии струй уже фактически заложены a priori в рассматриваемый формализм и являются его органичной частью. Кроме того, в отличие от подхода, развитого в [170, 171], где рассмотрены процессы изменения флейвера струи только через процессы рассеяния два в два типа gq —> qg, qq —> дд, ., которые являются просто дополнением к процессам потерь энергии, предлагаемый в данной работе формализм позволяет рассматривать более сложные процессы, где конверсия струй неразрывным образом связана с радиационными потерями энергии, наведёнными тормозным излучением мягких кварков или антикварков. Возможно, эти типы взаимодействия струи с горячей КХД средой могут дать заметный вклад в такой тонкий эффект как флейверная зависимость наблюдаемого явления гашения струй и в итоге, в её конечный адронный состав (jet hadron chemistry).

Пятая глава посвящена изучению нетривиальной задачи рассеяния быстрых цветных частиц на коллективных возбуждениях горячей глюонной плазмы, определённых на ультрамягкой импульсной шкале (ро ~ 94Т, |р| ~ д2Т). Как известно, [23,172], в горячих калибровочных неабелевых теориях цветные флуктуации, характеризуемые импульсной шкалой д2Т являются непер-турбативными. Их динамика представляет определённый интерес, так как они ответственны за большую скорость нарушения барионного числа в горячей электрослабой теории благодаря топологическим переходам слабых

SU(2) калибровочных полей [173-175].

Эффективная теория на ультрамягкой импульсной шкале описывается линеаризованным уравнением Больцмана-Ланжевена в форме, впервые предложенной D. Bödeker [176-178]. Исходя из бесстолкновительного неабелева уравнения Власова0, которое является результатом интегрирования по шкале Т [152], D. Bödeker показал, как можно проинтегрировать далее по шкале дТ в разложении по константе д. В лидирующем порядке по g им было найдено линеаризованное уравнение Власова-Больцмана для жёстких мод, которое кроме столкновительного члена включает также гауссовский шум, возникающий из тепловых флуктуаций начальных условий на мягкие поля. Столкновительный член описывает цветовую релаксацию, в то время как ланжевеновский источник служит для сохранения ультрамягких мод в термальном равновесиии. Это уравнение было затем получено рядом авторов на основе других подходов. Так, в работах D.F. Litim и С. Manuel [179,180] была использована классическая кинетическая теория в духе U. Heinz [149,150]. Предложенный подход обеспечил правильный вид не только столкновительного интеграла, но также и корреляционной функции случайного источника. Данный коррелятор был получен подобно тому, как это сделал D. Bödeker [176,177], непосредственно из микроскопической теории без использования флуктуационно-диссипационной теоремы. Несколько отличный подход, более феноменологического характера, для вычисления коррелятора случайного источника был представлен теми же авторами в работе [181], где использовалась хорошо известная связь между линеаризованным интегралом столкновений и энтропией. Далее J.-P. Blaizot и Е. Iancu [154] предложили свой оригинальный вывод уравнения Власова-Больцмана, исходя из уравнений Kadanoff-Baym. В работе [182] J.-P. Blaizot и Е. Iancu получили корреляционную функцию случайного источника в уравнении Больцмана-Ланжевена, используя флуктуационно-диссипационную теорему вместе с известной структурой столкновительного члена кинетического уравнения.

5 До тех пор, пока мы интересуемся коллективными возбуждениями с длиной волны ~ 1/дТ, можно пренебречь столкновениями между частицами плазмы в лидирующем порядке по g [152]. Однако эти столкновения становятся доминирующими для цветных возбуждений с длиной волны ~ 1 /д2Т.

Метод решения поставленных в пятой главе задач основан на общих идеях, которые были заложены в работе [197], посвящённой аналогичной задаче рассеяния релятивистских частиц на плазменных флуктуациях, определённых на мягкой импульсной шкале ро ~ <?Т, |р| дТ. Следуя идеологии работы [197], уравнение Больцмана-Ланжевена дополняется уравнением Вонга для классического цветного заряда быстрого партона, распространяющегося через горячую КХД среду. Этот процесс рассеяния порождается некоторым эффективным током, вычисление которого является основным моментом рассматриваемого формализма. Однако в отличие от [197] эффективный ток здесь представляет собой разложение не по степеням свободного калибровочного поля (которое на данной импульсной шкале сильно затухает из-за столкновений), а по степеням случайного источника иа(х, р) и начального значения цветного заряда быстрого партона. Здесь мы работаем в низшем порядке по цветному заряду, но во всех порядках по случайному источнику, так как внешний партон является истинно пертурбативным объектом, в то время как тепловые цветные флуктуации на ультрамягкой шкале д2Т являются непертурбативными, как уже говорилось выше.

Данный подход применяется к задаче потерь энергии быстрого партона, наведённых рассеянием на ультрамягких глюонных флуктуациях. Показано, что для малой константы взаимодействия этим вкладом в полный баланс потерь энергии можно пренебречь, хотя здесь существует некоторая неопределённость в точной оценке величины данного типа потерь. Она связана с тем, что обычный пертурбативный подход к вычислению потерь энергии в том виде, как он был определён в [197], 'не работает' на ультрамягкой импульсной шкале. Полное вычисление потерь энергии (с1Е/с1х)п 1.бой требует суммирования вкладов всех порядков по константе взаимодействия, что не может быть выполнено методами, развитыми в данной диссертационной работе.

В последнем разделе данной главы рассмотрен вывод наиболее общего выражения для корреляционной функции случайного источника ультрамягких бозонных флуктуаций. Здесь были использованы результаты известной работы Б.В. Кадомцева по кинетической флуктуационной теории [183] с минимальным обобщением на цветовую степень свободы. В частности, показано, что уравнение Больцмана-Ланжевена в той форме, как оно получено Х-Р.

ВЫгоЬ и Е. 1апси [154], является более общим, чем уравнение, полученное Б. Вбс1екег [176-178], если использовать корреляционную функцию ланжеве-новского источника, выписанную в разделе 5.2, и определены условия, при которых эти два подхода к описанию динамики ультрамягких полей становятся полностью эквивалентными.

В третьей и четвёртой главах был предложен подход к построению обобщённой (псевдо) классической модели для единого описания широкого спектра процессов взаимодействия мягких и жёстких возбуждений кварк-глюон-ной плазмы, подчиняющихся как Ферми, так и Бозе статистикам. Напомним, что одним из ключевых моментов в построении этой расширенной модели оказалось введение в рассмотрение, наряду с обычным (коммутирующим) цветным зарядом О1 жёсткой частицы, также грассмановых (антикоммути-рующих) цветных зарядов вг и Было приведено множество примеров конкретного вычисления вероятностей различных процессов рассеяния, включающих бозонные и фермионные жёсткие и мягкие моды, а также рассмотрены возможные приложения к задаче вычисления потерь энергии быстрых частиц, проходящих через горячую КХД материю.

Тем не менее, несмотря на разумность исходных предпосылок в построении упомянутой выше общей модели и также получение на их основе достаточно нетривиальных результатов, хотелось бы иметь некий независимый, физически прозрачный и одновременно простой способ проверки предложенного в этих главах подхода. Этот независимый взгляд должен быть основан на каком-либо фундаментальном, т.е. модельно-независимом физическом принципе. В качестве такого в шестой главе был выбран принцип, основанный на флуктуационно-диссипациопной теорелье (ФДТ), которая, как известно [184], допускает абстрактную формулировку, удобную для приложений этой теоремы к полям равновесных тепловых флуктуаций любой физической природы: электромагнитной, механической, температурной, энтропийной и т.п. ФДТ давно уже стала неотъемлемой стандартной частью в курсах по статистической механике [185-190] (см. также недавний обзор [191]).

Принципиальной особенностью рассматриваемой здесь задачи является тот факт, что внешнее возмущение, описываемое гамильтонианом Й}, меняет число частиц и античастиц в рассматриваемой системе, т.е., другими словами, оператор полного числа частиц N (более точно, разность между числом частиц и античастиц) не коммутирует с Щ (но коммутирует с гамильтониач ном самой многочастичной системы Щ). И хотя такой случай обсуждался в общей абстрактной постановке в ряде монографий (см., например, [187,190]), тем не менее, насколько нам известно, не было рассмотрено ни одной конкретной физической ситуации, где бы это обстоятельство играло существенную роль. Как следствие этого факта, нигде не было приведено конкретного выражения для флуктуационно-диссипационной теоремы, где бы эта некоммутативность проявилась бы явным образом. По этой причине мы сочли уместным провести детальный вывод флуктуационно-диссипационных соотношений в разделах 6.3 и 6.4 для рассматриваемой физической проблемы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Подход к исследованию процессов тормозного излучения произвольного числа мягких глюонных возбуждений (продольных и поперечных) при рассеянии быстрых цветозаряженных частиц на термальных парто-нах горячей кварк-глюонной плазмы. Выражение для радиационных по-" терь энергии в лидирующем приближении по константе взаимодействия, учитывающее эффективную температурно-наведённую массу тормозного глюона, конечность массы быстрой частицы (тяжёлый кварк) и эффективную трёх-глюонную вершину взаимодействия, наведённую КХД средой.

2. Метод вывода системы кинетических уравнений типа Больцмана, учи- -тывающих наиболее простые процессы нелинейного взаимодействия мягких ферми- и бозе-возбуждений: упругое рассеяние мягких (анти)квар-ковых возбуждений на мягких глюонных и кварковых возбуждениях и аннигиляция мягкой кварк-антикварковой пары в два мягких глюонных возбуждения. При этом предложена итерационная процедура вычисления калибровочно-иивариантных матричных элементов для высших процессов взаимодействия мягких мод КГП.

3. Подход к построению общей теории процессов рассеяния мягких (ан-ти)кварковых возбуждений на жёстких термальных или внешних частицах. Основой подхода является предложенная нелинейная система динамических уравнений, описывающих эволюцию обычного (коммутирующего) классического цветного заряда, а также цветных зарядов грассмановой природы во внешних случайных калибровочном и фер-мионном полях. Данный подход позволил предсказать и аналитически проанализировать качественно новые механизмы потерь энергии быстрого цветного партона в неабелевой среде.

4. Метод построения матричных элементов для процессов тормозного излучения произвольного числа мягких кварковых (антикварковых) возбуждений при столкновении ультрарелятивистской цветозаряженной частицы с частицами КГП. Вывод замкнутого выражения для радиационных потерь энергии быстрой частицы в лидирующем приближении по константе взаимодействия, обусловленных тормозным излучением мягкого кварка.

5. Подход к исследованию процессов рассеяния и связанных с-ними потерь энергии быстрой цветной частицы на ультрамягких флуктуациях в горячей чисто глюонной плазме. Основой подхода является предложенный метод построения калибровочно-ковариантного эффективного тока, порождающего данные процессы взаимодействия.

6. Точное выражение для корреляционной функции случайного источника в эффективной теории ультрамягких неабелевых калибровочных полей.

7. Выражение для флуктуационно-диссипационной теоремы для мягких ферми-возбуждений кварк-глюонной плазмы.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 355 страниц и 42 рисунка. Список литературы включает 255 наименований.