Прямая и обратная задачи со свободной границей в теории равновесной плазмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

„.. п Механико-математический факультет

п ■) 0/1

; } ; На правах рукописи

УДК 517.951+532.22

ПЕТРОВА ВАЛЕНТИНА ВЛАДИМИРОВНА

Прямая и обратная задачи со свободной границей з теории разновесной плазмы

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА, 1994

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцеи? А.С.Лемидоь. Официальный оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Е.В.Радкевич, доктор фкзико-математнческиг наук, доиент Г.А.ОмельяноЕ. Ведущая организация - Российский Исследовательский

центр "Институт Курчатова".

Зашита состоится

•А.-. /ЖХРЯ}^- 1994 г. в ж: . час. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 по математике при Московском государственном университете им.М.Б.Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, вуд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механкко-ыатематического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 004 г.

Ученый секретарь

специализированного совета по математике

Л. 053. 04 при МГУ

доктор, физико-математических

наук, профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Как отмечалось в работе Л.А.Ариимовича и В.Л.Шафранова [1) (см. также [2]) в установках "ТОКАМАК" (= ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками) можно существенно улучшить ряд важных характеристик, если перейти к вытянутым вдоль оси симметрии токамака сечениям плазменного шнура. Обеспечение равновесия является одной из основных проблем в таких конфигурациях. Уравнение равновесия Грэда-Шафранова (см., напр., [3]) в цилиндрическом приближении имеет следующий вид:

где 5 - сечение камеры (в данном случае - цилиндра) с границей Г = дБ. Здесь функция и - ¿-компонента векторного потенциала магнитного поля, а функция Г ^ О характеризует ток в плазме. Известно, что •)) = 0 в "вакуумной" области П, лежащей вне

плазмы, т.е. между кожухом токамака Г, где ы = 0, и искомой свободной границей 7, ограничивающей плазму и характеризующейся условием: и = —Л/, где М - величина магнитного потока между Г и 7. Так как Г ^ 0, то и ^ 0 в "плазменной" области 5 \ П. Однако при « ^ 0 функция реально неизвестна. Поэтому в теории равновесия интерес представляют две задачи: прямая и обратная.

Прямая задача - это краевая задача для уравнения (1) для той или кной модельной функции F. Обратная задача состоит в получении информации о функции Р по данным магнитной диагностики в окрестности кажу х а токамака. Одним из важных вопросов в этих задачах является вопрос о разрешимости (ила неразрешимости) в априори заданном топологическом классе хри-вых 7. Случай, когда кривая 7 = 71 гомеоморфна окружности, соответствует односвяэной плазме. Разрешимость же для кривой 7 = 72, гомеоморфной объединению двух окружностей (каждая из которых является внешней по отношению к другой), соответствует распаду плазмы на две компоненты связности.

[1] Арцимович Л.А., Шафранов В.Д. Токамак с некруглым сечением плазменного шнура., Письма в ЖЭТФ, 1972, т.15, .4*1, сс.

[2] Laval G., Pellat R. Tokamacs with non-circular cross-section. B: Proc. of 6th European Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys., v.2, Moscow, pp. 64-80.

[3] Шафранов В.Л. Равновесие плазмы в магнитном поле., В сб.-.Вопроси теории плазмы под ред. М.А.Леонтовича, вып. 2, М., Госагомиздат, 1963, сс. 92-131.

£Рч 05и

= F(u), u = u(z,y), (r,y)€5@a2, (1)

72 - 76.

В связи с работой [1] Е.П.Велихов поставил вопрос: макет ли прямая задача быть разрешимой как при 7 = 71, так и при 7 = 72 при одних и тех же Г, Г и М1 Ответ на втот вопрос, как показал А.С.Демидов в [4, 5], положительный. Тем не менее, можно дать достаточнее условия (см., напр., [4-9]), при которых прямая задача разрешима для 7 = 71, но неразрешима для 7 = 73. Этому же вопросу посвящена одна из глав диссертации. Интересные результаты (см., напр., [10-12]) получены и для некоторых задач, близких по постановке.

В отличие от прямой задачи, достаточно хорошо изученной теоретически для тех или иных модельных функций ^ (см., например, [4-9], [13-19]), обратная'задача, представляющая наибольший интерес для физиков, до сих пор изучалась лишь численно (см., например, [20]).

Цель работы.

1) По прямой задаче - получение теорем существования, несуществования и гладкости свободной границы заданного топологического типа без предположения двойной осевой симметрии поперечного сечения кожуха токамака.

2) По обратной задаче — доказательство теорем существования и гладкости решения, выяснение степени его неединственности и получение двусторонней оценки нормальной производной искомой функции на свободной границе.

[4]. .Демидов А.С., Захаров J1.E. Прямая и обратная задача в теории равновесной плазмы. Успехи мат. наук, 1974, №6, с.203.

[5]. Demidov А The form of a steady plasma subject to the skin effect in a tokamak with non-circular cross-section. Nuclear Fusion, 1975, v.15, pp. 765-768.

[6]. Demidov A.S. Equilibrium form of a steady plasma. Physics of Fbids, 1978, v.21, pp. 902-904.

[7]. Демидов A.C. Об одной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. Труды семинара им.Петровского, 1978, т.4, сс. 6S-72.

[8]. Demidov A.S. Configurations du plasma stationnaire équilibré. Proceedings of a seminar held in Pavia, 1919. v.l, Roma, 1980, pp. 467-485.

[9]. Бадасади А., Демидов A.C. Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Мат. сборник, 1983, т.122(164), №1(9), сс. 64-81.

[10]. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, Наука, 1977.

[11]. Радкевич Е.В. Задачи со свободной границей. Изд. ФАН, Ташкент, 1991.

Методика исследования.

Используется метод, развитый в работах {7-9], с применяем теории степени отображения Лере-Шаудера и методов теории уравнений с частными производными и функций комплексного переменного.

Научная новизна.

1). В прямой задаче в случае выпуклого поперечного сечения кожуха токамака Г приведены условия существования свободной границы 7, гомеоморфной окружности (иными словами, даны условия существования плазмы с одной компонентой связности). В случае, когда Г обладает одной осью симметрии, приведены условия несуществования 7, симметричной относительно оси симметрии Г и гомеоморфной объединению двух окружностей (т.е. даны условия, при которых плазма^мажет распадаться на две компоненты связности). Доказана аналитичность свободной границы. Получены условия, гарантирующие выпуклость свободной границы.

2). Дана математическая постановка обратной задачи. Получена теорема существования решения, изучена степень его неединственности. Доказана аналитичность свободной границы. Получена двусторонняя оценка нормальной производной искомой

[12]. Maslov V.P., Omel'anov G.A., Tsupin.V.A. Reynolds equations in some problems of MHD. Russian J. of Comp. Mec., 1993, v.l,

pp. 71-84.

[13]. Demidov A.S. Sur la pertubation "singulière dans un problème à frontière libre. Proceedings of the Conference held in Lyon, 1976, Led. Notes Maih., 1977, v.594, pp. 123-130.

[14]. Temam R. A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Ration. Mtch., 1975, v.60, pp. 51-73.

[15]. Kinderlehrer D., Nirenberg L. Regularity in free boundary value problems. Ann. Sea. Norm. Sup. Pisa, 1977, v.4, №4, pp. 373-391.

[16]. Berestycki H., Breziz H. On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal Theory Methods Appl, 1980, v.4, pp. 415-436.

[17]. Acker A. On the convexity of equilibrium plasma configurations. Maih. Methods Appl Sci., 1981, v.3, pp. 435-443.

[18]. Caffarelli L.A., Spruck G. Convexity properties of solutions of some classical variational problems. Commun, tn P.D.E., 1982, v.7, pp. 1337-1379.

[19]. Y.Liu. The equilibrium plasma subject to skin effect. Ilpenpunm. AMS Mltf, 1993, 29 cip.

функции на свободной границе, что в определенаой степени характеризует искомый ток в плазме.

Апробация работа*.

Основные результаты работы докладывались на семинаре Б.Л.Шафранова в Российском исследовательском центре "Институт им.Курчатова"; на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы' (19-22 января 1993, Москва, МГУ); на семинарах М.И.Вишика, М.И.Зеликина -В.М.Тихомирова - А.В.Фурсикова, А.И.Прилепко на механико-математическом факультете МГУ; на семинаре А.М.Попова на факультете ВМиК (МГУ); на семинаре Л.М.Дегтярева в ИПМ им.Келдыша; на семинарах В.П.Михайлова и С.И.Похожаевь в МИАН им.Стеклова,

Т еорехкче.ск&я st практическия ценность.

Работа имеет теоретический характер и мажет представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными проиэ-вешшми и специалистов в области физики плазмы. Примененный в работе подход к изучению обратной задачи, по-видимому, может быть обобщен и на модели равновесия, учитывающие как торои-дальиость плазменного шнура, так и наличие управляющих токов.

Структура работы.

Диссертация объемом в 55 страниц состоит из введения и трех глав, снабжена оглавлением и общим списком литературы, включающим 38 наименований.

Публикации.

По теме диссертации автором написаны четыре работы. Их список приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, приведены постановки изучаемых в диссертации задач и основные полученные результаты.

Глава 1 имеет вспомогательный характер. В ней можно найти основные определения, список обозначений, а также формулировки фундаментальных теорем, используемых в диссертации.

[20]. Вабшцевич П.Н., Дегтярев Л.М., Пошехонов Ю.Ю. Численное решение прямой и обратной задачи МГД-равновесия с поверхностным юкоы.Журнал вычислительной математики и математической физики, 1980, т.2, №2, сс. 491-500-

Глава 2 посвящена следующей прямой задаче.

Пусть - окружность единичной длины, а А'з - объединение двух непересекающиеся окружностей суммарной длины единица, каждал из которых является внешней по отношению к другой. Задана спрямляемая кривая Г С К2 длины |Г| = 1, гомеоморфная К1. Задается также полокительнгл константа М н функция q 6 С(Л^), з = 1,2, такал что

?>0; 1Я(г)<1г=1. (2)

Ставится вопрос о существовании (соотв. о несуществовании) спрямляемой кривой у = у\, гомеоморфной (соотв. 7 = 7г> гомеоморфной К2) и лежащей внутри Г, для которой в области О С К2, расположенной между Г и 7 = 71 (соотз. 7 = 72), разрешима задача:

Да = 0 а П, и = 0 на Г, ы = — М на 7,

== для ре7- (3)

Здесь: и - внешняя единичная нормаль1* к кривой у, ¡7| - длина (заранее не заданая) кривой у, г(Р) = ¡ОР|/|7], где ¡ОР| - длина дуги ОР кривой 7, которая определяется ниже как для случая 7 = 71, так и для случая у = 73.

В случае у = уг в качестве точки Об у взята та точка кривой 71, которая имеет максимальную ординату среди всех точек с максимальной абсциссой, а дуга ОР откладывается в положительном направлении.

В случае у = у2 обозначим через 721 и 722 Дзе ее компоненты связности, причем через 721 - ту компоненту, которой принадлежит точка, имеющая максимальную ординату среди всех точек кривой 7 с максимальной абсциссой. Обозначим через седлозую точку функции и (в случае 7 = 72 она существует И единственна). Через точку С} в области проходит единственная линия, которая соединяет кривые 721 и 722 и ортогональна линиям уровня функции и. За начала отсчета на 721 и 722 принимаются соответственно концы этой линии 0\ и Оз. Луга ОР — 0\Р\ при Р — Р! 6 721 откладывается в положительном направлении и |ОР1 = 101^1. Если Р = Р2 € 7. то \ОР\ = |721| + \ОМ где ОгРг откладывается в положительном направлении.

В данной постановке прямой задачи вместо модельной функции Р (см. (1)), характеризующей то или иное распределение тока в плазме, задается посредством функции <} и условия (3).

^ В силу спрямляемости кривой нормаль к ней определена почти всюду.

Отметим, что условие (2) эквивалентно условию

JJ F{u(T,y))dxdy=l,

S

т.е. условие (2) означает, что задан полный ток в плазме и он равен единице.

Отметим, что если <r = const (см. напр. (4-8, 16, 21]), то данная задача может рассматриваться как задача о конфигурации скини-рованной плазмы с плотностью поверхностного тока, равной qj\y\.

Случай q ф const в предположении симметрии области ß относительно координатных осей был рассмотрен в [9], где были, в частности, даны условия на q и геометрию Г, при которых прямая задача разрешима (неразрешима) для -у = "ц. В главе 2 диссертации представлены полученные автором в [21, 22] достаточные условия разрешимости (соответственно, неразрешимости) прямой задачи при 7 = 7i (соответсвенно 7 = 72) без каких либо предположений о симметрии области П (соответственно в предположении наличия лишь одной оси симметрии области ft).

Получены ,'В частности, следующие результаты.

Теорема 1.

Iе. Если q € C*(ATj), т ^ 2, j = 1, 2, (соотв. q аналитическая), то 7 € Ст (соответственно - аналитическая).

2 . Если Г выпукла « q удовлетворяет условию

q(r)q"{r)^2{q'(r))\ г£Къ то прямая задача разрешима Ьля 7=7^ 7 является выпуклой.

Теорема 2.

Пуст* Г - выпуклая кривая, имеющая одну ось симметрии, функция q удовлетворяет условию симметрии: 4(1 — г) = q(r) и

g(r).s"(rK2(i'(r))\ г€Л'2. Тогда прямая задача неразрешима для кривой 7 = 72, симметричной относительно ось симметрии Г.

Доказательства, так же как и в [4-9], проводятся по следующей схеме. В J1 с помощью аналога преобразования Кирхгофа

tu w In dzfdw, где z = z + iy, w = u + iv, dw/dz = 0, (4)

определенного в прямоугольнике G = „{—M < иi < 0, 0 < v < 1}, выводятся необходимые условия разрешимости прямой задачи

[21]. Петрова В.В. Об одной задаче со свободной границей. Материалы XXVI Всесоюзной студенческой конференции, сер. Математика, Новосибирск, 1988, сс. 61-65.

[22]. Петрова В.В. Прямая задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Рукопись den. в ВИНИТИ №2529-В93 от 07.10.93, 22 стр.

в терминах разрешимости соответствующей, нелинейной задачи Римана-Гильберта в области й для подходящей ветви функции Ьп{dzfd.iv). Анализ полученных необходимых условий приводит к теореме о гладкости свободной границы (п.1° теоремы 1 = теорема 1.1 §1) и к теореме о неразрешимости исходной задачи ллл 7 = 72 (теорема 2 = теорема 2.2 §2). В §2 доказывается разрешимость соответствующей случаю 7 =71 задачи Римана-Гильберта. При этом сперва с помощью теории степени отображения Л ере-Шаудера доказательство проводится для полигонального контура Г, а затем (предельным переходом) и в общем случае спрямляемой кривой Г. Доказательство теоремы 1 завершается проверкой однолистности отображения г ^ ш. > -

Глава 3 посвящена обратной задаче. Она формулируется следующим образом.

В Е2 задана спрямляемая кривая Г, гомеоморфная окружности. Ее длина |Г| равна единице. На Г отмечены п точек Р^... ,РП. Задаются положительные постоянные М, е и числа <т;- > е, где ] = 1,...,п.

Ставятся три вопроса.

Первый вопрос о существовании спрямляемой кривой 7, гоме-оморфной окружности, расположенной внутри Г и такой, что в области О, заключенной между Г и 7, найдется такая функция и, что

Ди = 0вЙ, и = 0 на Г, и = —М на 7, ~ > 0 на Г,

ОУ

I-'д*

з = п. (5)

Здесь V - внешняя единичная нормаль к Г.

Второй вопрос касается степени неединственности решения обратной задачи.

Третий вопрос - основной. Это вопрос о равномерной двусторонней оценке ^—[у (позволяющей в определенной степени судить о функции Р, характеризующей распределение тока в плазме).

В диссертации рассматривается только случай аналитического контура Г.2) Ответы на поставленные вопросы дают следующие теоремы 3-5 (результаты опубликованы в [23, 24]).

Теорема 3. „

. 1°. Если обратная задача разрешима, то у - аналитическая кривая.

2) Общий случай рассмотрен в совместной с А.С.Демидовым работе "Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы" (принята к печати в журнале Дифференциальные уравнения), результаты которой в диссертацию не включены.

2°. Пусть Г - аналитическая кривая. Тогда существует такая положительная постоянная АР, что для любого М е]0;М'{ обратная задача разрешима.

Следует отметить, что теорема 3 остается справедливой при более жестких условиях, а именно при замене условия (5) на условие:

|^(Р)-а(Р)К£, Ре г,

где с - заданная положительная непрерывная функция на Г.

Определение. Пусть С и L - положительные константы. Скажем, что определенная на Г аналитическая функция / принадлежит классу % = %lcti(eri,...,o-n,Pi,...,P„), если

<г--е ^J + |/(Pj)-^|< е, j = l,...,n,

|/(*>(Р)| < VP € Г.

Здесь (Г_ = minj «г,-, <г+ = шах;- a.

Замечание 1. Легко видеть, что 21c.L Ф 2>> если Си! достаточно велики, причем / 6 2lc,L тогда и только тогда, когда

/(s) = ELo(q"> sin 2irms + Ä>» cos2Trms).

Замечание 2. Очевидно, что для любых Pj, Cj (j = l,...,n) при достаточно больших С и £ класс 2lc,l содержит функции <г, удовлетворяющие условию cr(Pj) = cry. Поэтому существуют С и L, при которых обратная задача имеет (как минимум при малых М (в силу теоремы 3)) такое решение, что ди/дj/jr 6 2L.

Теорема 4.

Пусть Г - аналитическая кривая и ди/ди|г £ 2t3). Тогда существует такая положительная постоянная - М'т = Л/**(21), что для любого М б]0;М**[ кривая .у распаюжена между аналитическими кривыми 7+ и у~, которые определяются однозначно как кривые, удовлетворяющие условию: в области заключенной между Г

[23]. Петрова В.В. Об обратной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. Успехи мат. наук, 1993, Т.48, вып.4(292), с. 191.

[24]. Петрова В.В. Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Рукопись den. в ВИНИТИ №2530-В93 от 07.10.S3, 17 стр.

Включение ди/ду|г € 21 = 2lc,L означает, что рассматриваются^ лишь те кривые у, дающие решение обратной задачи, для которых это включение выполнено. В силу теоремы 3 и замечания 2 такое условие реализуется, во всяком случае, тогда, когда С, L и 1/М достаточно велики.

в т4 разрешима задач*

Ди±=ОвП±, 1Г=0на Г,

и1 = -М на у±, —— = о-±±е на Г. ау

Теорема 5.

Пусть Г - аналитическая кривая. Пусть обратная задана разрешима и ди/ди|г € И. Тогда на у справедлива следующая оценка:

(«г_ - г)+ехр(-Мх) < ди/ди| < (<г+ + е)ехр(2т + Мх), где ди/д^^ - производная функции и по внешней нормали к кривой

у, х = 0 - константа, определяемая по данным задачи, а

{а- - £)+. = тах{0,(сг_ — с)}.

Доказательства теорем 3 и 4 опираются на теорему Коши -Ковалевской и принцип максимума для гармонических функций.

Заметим, что в силу аналитичности Г и гармоничности и в £2 нормальная производная функции и на Г является аналитической функцией. Следовательно, применение теоремы Коши-КовалевскоЙ не сужает класс возможных решений.

Доказательство теоремы 5 основано на представлении

ди/ди

= dujdv

f.er

—(pH

где pv и Р» - точки пересечения 7 и Г с линией уровня v = Цг, у) функции v (см. (4)), а В = Arg (dz/dw). При оценке интеграла используется конструкция мажоранты в доказательстве теоремы Коши-Ковалевской и теорема об искажении в теории аналитических функций.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту А.С.Демидову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Петрова В.В. Об одной задаче со свободной границей. // Материалы XXVI Всесоюзной студенческой конференции, сер. Математика, Новосибирск, 1988, с. 61-65.

2. Петрова В.В. Прямая задача со свободной границей в теории равновесной плаз\а>1. // Рукопись депч в ВИНИТИ №2529-В93 от 07.10.93, 22 стр.

3. Петрова В.В. Об обратной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. // Успехи мат. наук, 1993, т.48, выл.4(292), с. 191.

4. Петрова В.В. Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. // Рукопись деп. в ВИНИТИ №2530-В93 от 07.10.93, 17 стр.