Прямая и обратная задачи теории кинетических коэффициентов в изотропном приближении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НЕУПРУГОМ РАССЕЯНИИ НОСИТЕЛЕЙ НА ОПТИЧЕСКИХ ФО-НОНАХ.

§ I.I. Линеаризованное кинетические уравнение

§ 1.2. Аналитические методы решения.

§ 1.3. Численные методы решения.

Глава 2. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТЫ В ИЗОТРОПНОЙ МОДЕМ.

§ 2.1. Система линеаризованных уравнений Болъцмана.

§ 2.2. Изотропная модель.

§ 2.3. Кинетические коэффициенты.

§ 2.4. Приближения слабого и сильного магнитного поля

§ 2.5. Свойства оператора R и кинетических коэффициентов

Глава 3. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ПОЛЯРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ р -ТИПА.

§ 3.1. Механизмы рассеяния и вероятности переходов.

§ 3.2. Аналитические решения.

§ 3.3. Определение параметров механизмов рассеяния в р- &аА$.

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И МШИТОПОЛШЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

§ 4.1. Интегральное представление и дисперсионные соотношения.

§ 4.2. Магнитополевая обратная задача теории кинетических коэффициентов.

§ 4.3. Примеры спектральных функций и эффективные времена релаксации.

Экспериментальные и теоретические исследования явлений переноса тепла и заряда являются традиционными методами изучения свойств полупроводников. Относительная простота и доступность позволили явлениям переноса стать основным методом контроля электрофизических свойств полупроводниковых материалов.

С другой стороны, изучение механизмов, определяющих явления переноса тепла и заряда, представляет также самостоятельный практический интерес, так как работа почти всех полупроводниковых приборов основана на использовании этих явлений.

Важное теоретическое и практическое значение имеет частный случай явлений переноса - линейные кинетические эффекты в однородных полупроводниках в присутствии классического (не квантующего) магнитного поля. Теория таких эффектов основана на линеаризованном кинетическом уравнении Больцмана. Это уравнение является достаточно сложным интегро-дифференциаль-ным уравнением, точное решение которого в общем случае неизвестно.

В определенных частных случаях (например, упругие механизмы рассеяния) интеграл столкновений в кинетическом уравнении сводится к умножению неравновесной добавки к искомой функции распределения на известную функцию, являющейся обратным временем релаксации. Такая ситуация с хорошей точностью реализуется в атомных полупроводниках, таких как германий, кремний.

Нарушение условий применимости Т -формализма происходит при рассеянии носителей на поляризационном потенциале оптических фононов. Этот механизм рассеяния характеризуется неупругостью взаимодействия и присутствует в полупроводниковых соединениях, имеющих различные атомы в элементарной ячейке. Широкое практическое использование полупроводниковых соединений делает актуальной задачу теоретического описания явлений переноса в них.

Теория кинетических'эффектов при неупругом рассеянии развита, в основном, для полупроводников П -типа с одной изот

О О "ГЧ ропнои зоной. В этом случае известны как аналитические решения в некоторых предельных ситуациях, так и численные расчеты различными методами. Более подробно этот вопрос рассмотрен в главе I. Здесь отметим обзорные работы 5].

В более сложном случае полупроводника р -типа необходимо решение системы двух кинетических уравнений для функций распределения в зонах легких и тяжелых дырок. Решение этих уравнений с учетом несферичности изоэнергетических поверхностей является достаточно сложной задачей даже в случае только упругих механизмов рассеяния. Для описания гальвано- и термомагнитных эффектов в р- бе в работах Вира, Нор-мантаса и Пикуса L 4, 5J была предложена модель двух изотропных параболичных зон (ДИПЗ) с разными эффективными массами. После усреднения вероятностей переходов (как внутри-, так и межзонных) по всем ориентациям относительно осей кристалла задача становится изотропной. Результаты применения такой модели к полярным полупроводникам р -типа суммированы в обзорах

Следует отметить, что в известных нам работах основное внимание уделяется анализу температурных зависимостей подвижности в различных полупроводниковых соединениях. При этом для упрощения расчетов обычно используется правило сложения обратных подвижностей, соответствующих отдельным механизмам. Очень редко приводятся результаты расчетов полевых зависимостей гальваномагнитных эффектов и практически отсутствует анализ термомагнитных эффектов.

В то время как хорошо известно, что именно гальвано- и термомагнитные эффекты наиболее чувствительны к деталям механизмов рассеяния и зонной структуры и, поэтому, их анализ может дать более полную информацию.

Можно предположить две причины такого несоответствия между потенциальными возможностями и практическим использованием аналитических свойств полевых зависимостей кинетических коэффициентов. Первой причиной является относительно большая сложность теоретического расчета гальвано- и термомагнитных эффектов по сравнению с расчетом подвижности. А второй - отсутствие теоретического анализа и практических методов решения магнитополевой обратной задачи, то есть задачи определения параметров механизмов рассеяния из зависимостей кинетических эффектов от магнитного поля. Таким образом, актуальными являются постановка и поиск методов решения обратных задач теории кинетических коэффициентов.

Учитывая изложенное, в работе поставлены задачи:

1. Разработать простой и удобный формализм для описания кинетических эффектов при неупругом рассеянии носителей заряда на поляризационном потенциале оптических фононов.

2. Применить предлагаемый формализм для анализа основных особенностей неупругого рассеяния в полупроводниках р--типа и для определения параметров механизмов рассеяния в р- GaAs.

3. Провести анализ общих свойств полевых зависимостей кинетических эффектов, постановку и поиск решения магнитопо-левой обратной задачи.

Настоящая диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе проводится обзор известных методов решения кинетических уравнений при неупругом рассеянии. Сначала кратко сформулировано линеаризованное кинетическое уравнение и рассмотрен вид оператора релаксации при рассеянии носителей на поляризационном потенциале оптических фононов в полупроводнике П -типа. При этом использованы, в основном, обозначения и подход, принятые в известных книгах Ансельма А.И.

SJ и Аскерова Б.М. C9J , а также, в некоторой степени, подход и структура выражений, развиваемые во второй главе.

Затем рассмотрены известные аналитические решения в приближениях высоких и низких температур. Особое внимание уделено методу Давыдова и Шмушкевича C1Q3 , который часто неправильно интерпретируется и используется. Анализируются также численные методы решения, необходимые для расчетов при промежуточных значениях температур или смешанных механизмах рассеяния.

Проведенный обзор не претендует, конечно, на полноту охвата материала. Мы старались отметить только наиболее важные и интересные моменты.

Во второй главе рассмотрена теория кинетических эффектов в однородном полупроводнике с двумя вырожденными при к =0 изотропными и непараболичными зонами в классическом (не квантующем) магнитном поле. Выбор используемой модели зонной структуры объясняется тем, что частные случаи такой модели применимы как к полупроводникам П. -типа с одной изотропной и непараболичной зоной, так и к полупроводникам р -типа в изотропном приближении.

Получены общие выражения для кинетических уравнений и коэффициентов в рассматриваемой изотропной модели. В пределах слабого и сильного магнитных полей получены выражения для кинетических коэффициентов через матричные элементы степеней оператора рассеяния. Показано, что эрмитовость оператора рассеяния позволяет, как минимум, в два раза сократить вычислительную работу.

В третьей главе дан пример конкретного применения формализма, предложенного во второй главе. Во-первых, проведен анализ механизмов рассеяния дырок в полярных полупроводниках и получены выражения для операторов рассеяния на деформационных потенциалах продольных и поперечных акустических и оптических фононов и на ионах примеси. Во-вторых, дано обобщение известных для П -типа приближений высоких и низких температур на случай полярного полупроводника р -типа. Выявлен новый предельный случай, в котором возможно получение конечных выражений для кинетических коэффициентов, а тленно, предел сильного шгнитного поля. В этом пределе проанализированы особенности неупругого рассеяния в полупроводниках как п.-, так и р -типа. В-третьих, на основании проведенного анализа выбран метод численного решения кинетического уравнения и составлена программа, реализующая этот метод. Проведен анализ температурной обратной задачи, то есть задачи определения параметров механизмов рассеяния по температурным зависимостям проводимости и эффекта Холла. Используя литературные данные проведен подбор и анализ параметров механизмов рассеяния в р- Go. As.

В четвертой главе предложенный формализм используется для анализа общих свойств магнитополевых зависимостей кинетических коэффициентов. Используя спектральное представление оператора рассеяния показано, что все комплексные кинетические коэффициенты являются аналитическими функциями магнитного поля. Следовательно, для реальных и мнимых частей этих коэффициентов справедливы дисперсионные соотношения по магнитному полю, впервые полученные для электропроводности Аванеся-ном и КагановымСЗ^.

Проведенное рассмотрение позволило впервые корректно сформулировать и показать существование и единственность решения магнитополевой обратной задачи, то есть задачи определения спектральной функции по известной зависимости от магнитного поля соответствующего коэффициента. Предложен простой метод решения этой задачи.

Рассмотрен ряд примеров конкретных спектральных функций, позволяющих выявить основные особенности зависимостей от магнитного поля кинетических коэффициентов, обусловленные неупругостью рассеяния и наличием двух зон. Рассмотрен вопрос о возможности и однозначности интерпретации полевых зависимостей при помощи эффективных времен релаксации.

На основании проведенных в работе исследований и анализа результатов на защиту выдвигаются следующие основные положения:

1. Предложен простой и удобный формализм для описания явлений переноса в полярных полупроводниках в изотропном приближении, отличающийся последовательным операторным подходом и использованием комплексных кинетических коэффициентов.

2. Дано обобщение известных для П. -типа приближений высоких и низких температур на случай полярного полупроводника р -типа.

3. Найден новый предельный случай, в котором возможно получение конечных выражений для кинетических коэффициентов, а тленно, предел сильного магнитного поля.

4. Проведен анализ температурной обратной задачи и предложен метод ее решения.

5. Показано, что не только электропроводность, но и все остальные комплексные кинетические коэффициенты являются аналитическими функциями магнитного поля, а для: их реальных и мнимых частей справедливы дисперсионные соотношения по магнитному полю.

6. Установлено, что решение магнитополевой обратной задачи существует и единственно. Предложен простой метод ее приближенного решения.

7. Выяснено, что основные особенности зависимостей от магнитного поля кинетических коэффициентов как в случае полупроводника р -типа, так и при неупругом рассеянии, обусловлены существованием двух групп носителей с резко различа-ными значениями подвижноетей.

Научная новизна результатов.

1. Впервые получены аналитические решения кинетического уравнения в полярном полупроводнике р -типа при неупругом рассеянии дырок на поляризационном потенциале оптических фо-нонов в приближениях высоких и низких температур.

2. Впервые рассмотрено решение кинетического уравнения в пределе сильного магнитного поля при неупругом рассеянии -носителей. Получены выражения для магнитосопротивлений насыщения как электронов, так и дырок при рассеянии на поляризационном потенциале оптических фононов.

3. Впервые показано, что все особенности магнитополевых зависимостей кинетических коэффициентов определяются соответствующими спектральными функциями: Ре(К), Лпл) и Jtca) , которые в свою очередь связаны соотношением .

4. Впервые произведена корректная постановка магнитопо-левой обратной задачи.

5. Впервые показано существование практически бесконечного множества эквивалентных с точки зрения магнитополевых зависимостей эффективных времен релаксации.

Практическая ценность.

1. Разработаны и реализованы алгоритмы численного решения кинетического уравнения и расчета кинетических коэффициентов в полярных полупроводниках р -типа в изотропном приближении при неупругом рассеянии носителей на оптических фо-нонах.

2. Предложен и реализован простой и эффективный метод решения температурной обратной задачи.

3. Проведен анализ механизмов рассеяния в р-&аА$. Определено значение константы деформационного потенциала оптических фононов do = 90 эВ.

4. Предложен метод решения магнитополевой обратной задачи, который может быть полезен при анализе зависимостей кинетических коэффициентов от магнитного поля.

В целом можно сказать, что развитый в работе формализм и полученные с его помощью результаты полезны как для теоретического анализа явлений переноса в полупроводниковых соединениях, так и для решения обратной задачи, то есть определения параметров модели из экспериментальных данных.

• Основные результаты диссертационной работы докладывались на X Научной студенческой конференции (Новосибирск, 1972), Ш Совещании по исследованию арсенида галлия (Томск, 1974), а также на семинарах Отдела кинетических явлений и теоретической лаборатории Института физики полупроводников СО АН СССР.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Кравченко А.Ф., Морозов Б.В., Половинкин В.Г. )Гальва но- и термомагнитные коэффициенты в п- ОаАь . - Тезисы докладов Ш совещания по исследованию арсенида галлия". Томск, 1974, с.9.

2. В.Г.Половинкин, Э.М.Скок. К теории кинетических коэффициентов при неупругом рассеянии на оптических фононах. -ФТП, 1974, 8, Jfc 6, с. II34-I940.

3. В.П.Драгунов, А.Ф.Кравченко, Б.В.Морозов, В.Г.Половинкин. Анализ подвижности дырок в германии. - Микроэлектроника, 1974, т.З, й 5, с. 463-465.

4. А.Ф.Кравченко, Б.В.Морозов, В.Г.Половинкин, Э.М.Скок. Гальвано- и термомагнитные коэффициенты в п- . - Ар-сенид галлия. Вып.4, с. 21-26, ТГУ, Томск, 1974.

5. A.F.Kravchenko, S.Kuhalkova, B.V.Morozov, V.G.Polo-vinkin, E.M.Skok. The Peculiar Behaviour of Transport Coefficients in the Presence of Inelastic Scattering by-Optical Phonons . - Phys, Stat, Sol. 1975, 72, 221-228.

6. В.Г.Половинкин. Прямая и обратная задачи теории кинетических коэффициентов в изотропном приближении. - Препринт, 9-84, ИШ СО АН СССР, Новосибирск, 1984.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное в работе исследование и полученные результаты позволяют сделать следующие основные выводы:

1. Предложен удобный формализм для описания явлений переноса в полярных полупроводниках с одной или двумя возможно непараболичными изотронными зонами при неупругом рассеянии носителей заряда.

2. Получены выражения для кинетических коэффициентов в пределах слабого и сильного магнитных полей через матричные элементы оператора рассеяния. Показано, что эрмитовость оператора рассеяния, являющаяся следствием принципа детального равновесия, позволяет как минимум в два раза сократить вычислительную работу при расчете кинетических коэффициентов.

3. Предложено обобщение известных для И -типа приближений высоких и низких температур на случай полярного полупроводника р -типа.

4. Обнаружен новый предельный случай, в котором возможно получение аналитических выражений для кинетических коэффициентов, а именно, предел сильного шгнитного поля.

5. Проведен анализ и выбран метод численного решения кинетического уравнения. Составлена программа, реализующая этот метод.

6. Проведен анализ температурной обратной задачи и предложен хорошо показавший себя на практике метод ее решения.

7. Используя литературные данные по температурным зависимостям проводимости и эффекта Холла проведен подбор и анализ параметров механизмов рассеяния в р-GaAs . Получено значение константы деформационного потенциала при рассеянии дырок на оптических фононах.

8. Показано, что в рассматриваемой изотропной модели все комплексные кинетические коэффициенты являются аналитическими функциями магнитного ополя, а для их реальных и мнимых частей справедливы дисперсионные соотношения по магнитному полю.

9. Показано, что решение магнитополевой обратной задачи существует и единственно. Предложен простой метод ее приближенного решения.

10. Установлено, что основные особенности зависимостей от магнитного поля кинетических коэффициентов как в случае полупроводника р -типа, так и при неупругом рассеянии в полупроводнике п -типа, обусловлены существованием двух групп носителей с резко различными значениями подвижностей.

1. D.L.Rocle. Theory of Electron Galvanomagnetics in Crystals. - Phys. Stat. Sol. (Ъ). 1973, v.55, 687-696.

2. D.L.Rode.Low-Field Electron Transport. Semiconductors and Semimatals. New-York A.P. 1975, v. 10, ch.1.

3. P.C.Mathur, R.Shyam, S.Jain. Transport Phenomena in III-V Compound Semiconductors. Phys. Stat. Sol. (a), 1978, v.50, 11-40.

4. Г.Л.Бир, Э.Нормантас, Г.Е.Пшсус. Гальваномагнитные эффекты в полупроводниках с вырожденными зонами. ФТТ., 1962, т.4, II80-II95.

5. Э.Нормантам, Г.Е.Пикус. Термомагнитные эффекты в полупроводниках с вырожденным зонами. ФТТ., 1962, т.4, 2692-2707.

6. D.Kranzer. Mobility of Holes of Zinc-Blende III-V and II-VI Compound. Phys. Stat. Sol. 9(a), 1974, v.26, 11-52.

7. J.D.Wiley. Mobility of Holes in III-V Compounds Semiconductors and Semimetals. New-Yoik, A.P., 1975, v.10, ch.2.

8. А.И.Ансельм. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.9» Б.М.Аскеров. Кинетические эффекты в полупроводниках. М.: Наука, 1970.

9. Ю.Б.Давыдов, И.Шмушкевич. Электропроводность полупроводников с ионной решеткой в сильных полях. ЖЭТФ, 1940.

10. Б.P.Lev/is, E.H.Sondheimer. The Theory of the magnetho-resistance effects in polar semi-conductors. -Proc. Roy, Soc. 1955, v. A227, p. 241-251.

11. D.J.Howartsh, E.H.Sondheimer. The theory of electronic conduction in polar semi-conductors. Proc. Roy. Soc., 1953, v. A219, 53-74.

12. К.С.Шифрин. К теории электрических свойств полуметаллов. ЖЭТФ, 1944, т.14, с. 49-69.

13. В.Л.Гуревич, Ю.А.Фирсов. К теории электропроводности полупроводников в магнитном поле. ЖЭТФ, 1961, т.40, 199-213.

14. Л.Л.Коренблит, В.Е.Шерстобитов. Явления переноса в вырожденных полупроводниках типа n-inSb при неупругом рассеянии носителей тока. ФТП, 1968, т.2, с. 688-698.

15. В.Durnuy. Electronic Conduction in Polar Semiconductors. Proc. Phys. Soc. 1961, v. 78, p. 13841392.

16. A.D.Boardman, W.Fawcett, H.D.Rees. Monte Carlo Calculation of the Velocity-Field Relationship for Gallium Arsenide. - Sol. Stat. Com. 1968, v. 6, p. 305-307.

17. C.Canali, C.Hacoboni, F.Nava, G.Ottaviani, A.Ale-rig-Quaranta. Electron drift- velocity in Silicon. Phys. Rev. 1975, v. B12, p. 2265.

18. H.Ehrenreich. Transport of Electrons in Intrinsic InSb. J. Phys. Chem. Sol. 1959, v.9, 129-148.

19. D.L.Rode. Electron Mobility in Direct-Gap Polar Semiconductors. Phys. Rev. 1970, v. B2, 1012-1024.

20. B.R.Hag, D.Chattopadhyay, G.M.Dutta. Low-Field Galvanomagnetic Transport in n-Type Gullium Arsenide. -Phys. Stat. Sol. (a), 1972,, v. 12, 533-537.

21. B.R.Uag. Electron transport in compound semiconductors. Berlin, SpriEg.er, 1980.

22. R.T.Delves. Theoretical Transport Coefficients for Polar Semiconductors. Proc. Phys. Soc., 1959, v. 73, 572-576.

23. Н.Н.Григорьев, И.М.Дыкман, П.М.Томчук. Функция распределения и температурная зависимость подвшнооти в поду-проЕоднриказс <1>ТТ., 1968, и?. 10, ±058-1064.

24. К.Fletcher, P.Н.Butcher. An exact solution of the linearized Bolzman equation with application tothe Hall mobility and Hall factor of n-GaAs. J. Phys. C.: Sol, St. Phys., 1972, v.5, p. 212-224.

25. Г.Корн, ТЛСорн. Справочник по математике. M.: Наука, 1У73.

26. J.D.Willey. Polar Mobility of Holes in III-V Compounds. Phys. Rev. 1971, v. B4, 2485-2493.

27. D.Kranzer. Hall and drift mobility of polar p-type semiconductors; I. Theory. J. Phys. C.: Sol. St. Phys. 1973, v. 6, 2967-2976.

28. Г.И.Марчук. Методы вычислительной математики. -Новосибирск: Наука, 1973.

29. D.E.Hill. Activation Energy of Holes in Zn-Doped GaAs. J. Appl. Phys. 1970, v. 41, p. 1815-1818.

30. Н.Иешпапп, N, V.Ham. Electrical Properties of p-Type GaAs. Krist. und Technik. 1978. Bd. 13, 211-220.

31. Г.Г.Аванесян, M.И.Каганов. О соотношениях между холловской и диссипативной частями электропроводности в магнитном поле. ЖЭТФ, 1975, т.69, §J£ 3, 999-1006.

32. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

33. А.Н.Тихонов, А.В.Гончаровский, В.В.Степанов, А.Г.Ягола. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

34. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.