Транспортные модели в теории переноса электронов средних энергий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

Г6 од

• 1\ ДПР 1331»

' МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯбРЬСКОИ

РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ы. В. ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ На правах рукописи.

ОЮЛЯР Владимир Алексеевич

ТРАНСПОРТНЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИЙ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНОВ СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ У

Специальность 01.04.04 - физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора £изико-*атеыаткческга. ваук

Москва - 1994

Работа выполнена в Волгоградском государственном педагогическом университете и Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко

Научный консультант доктор физ.-матем. наук, проф., академ!

АН Украины Находкин Николай Григорьев» (Киевский госунивврситет).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Фирсов Олег Борисович (Российский научный центр Курчатовский институт);

доктор физико-математических наук Латышев Анатолий Васильевич (Московский государственный педагогиче университет);

доктор физико-математических наук

Чайка Георгий Евгеньевич

(Киевский филиал Одесской академии св;

Ведущая организация Московский энергетический институт.

Защита сотоится "УЬ » &м5\—л 994 года в часов

на заседании Специализированного совета Д 053-05.42 в МГУ.

Адрес: 119899, Москва, Ленинские гор«, НИИЯФ МГУ, 19-й корпус, ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан " & ^ ^ 1994 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета Д 053уэб.42

доктор физ.-матем. наук //т— ■ /'Страхова С.И.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ

Прогресс в создании новой элементной базы современной микро-ектроншси стимулировал интерес к исследованию транспорта электро-в при бомбардировке образцов, часто имщих сложную структуру, чком электронов средних энергий (ю - 100 кэВ). Успехи электрон--зондовых методов исследования поверхности и электронно-пучковых хнологий определяются исследованиями обратного рассеяния и прони-овения электронов средних энергий в вещество. Развитие локального нтгеновского микроанализа обусловлено разработкой быстро работа-их алгоритмов вычисления характеристического излучения, возбузда-ого электронным зондом в объеме образца. Технология электронной тографии при создании больших интегральных схем потребовала дельного знания распределения поглощенной энергии в резнете, напевном на полупроводниковую подложку. Такой интерес к переносу ектронов связан не только с потребностями современных технологий, и с необычайной сложностью процессов проникновения быстрых ектронов в вещество, что-создает вызов науке в этой области зная.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ:

- В построении моделей транспорта электронов, описывающих про-сс проникновения, обратного рассеяния и прохождения электронов, дапцих по нормали на образец, комплексно, единым образом и мате-тически замкнуто, без использования эмпирических подгоночных па-метров.

- В исследовании различных свойств транспорта электронов для шеней различного состава, а также многослойных мишеней с различ-й толщиной и числом слоев.

НОВИЗНА полученных результатов состоит в следующем. В данной боте ВПЕРВЫЕ:

- Модифицирована модель Бете с центром диффузии и показано, о такая модель пригодна для описания интегральных характеристик реноса в мишенях толщиной большей глубины полной диффузии.

- Построены транспортные модели кинетического уравнения элек-онов, не содержащие подгоночных параметров и основанные на рас-плании исходного уравнения методом аппроксимации сечения упругого

рассеяния в столкновительном интеграле суммой малоуглозого и иг тройного компонентов и, соответственно, декомпозиции плотности I тока электронов.

- Обобщен на случай граничных условий третьего рода метод с раквний для получения функции Грина в математической теории дифЗ зки.

- Получено аналитическое решение задачи о бомбардировке шк тины в модели с центром диффузии.

- Реализовано в пакете программ решение задачи о бомбардаро! пучком электронов многослойной шшени в транспортной- б и трав портно-малоугловой моделях.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается исполье ванием в работе обоснованных математических методов расчета и а; ватных физических моделей и упрощавдих предположений, а также пер :;одом обобщающих результатов к ранее известным результатам и пс тверждением полученных в модельных расчетах характеристик транспс та электронов при широком сопоставлении с опубликованными экспвр ментальными данными и расчетами методом Монте-Карло. .

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы заключается в следу

щем:

- Конечным результатом теории являются аналитические выраген для наблюдаемых характеристик транспорта электронов или вычисл тельные алгоритмы, если решения должны находится численно.

- Предлагаемый метод расщепления кинетического уравнения д электронов средних энергий, по-видаюму, моквт быть применен в о ласти релятивистских' энергий и стабулирует теоретическую работу &том направлении.

- Предлоаенный быстро работающий алгоритм вычисления характ ристик транспорта электронов стимулирует разработку прикладных пг грамм для расчета многообразных эффектов, связанных с электронн зондовыми методами исследования и электронно-пучковыми технол гиями.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной рабо докладывались на:

- XVI,.XVII, XXI, XXII конференциях по эмиссионной влектрони (1976, 1978, 1991, 1994гг.);

*

- 2-й Мэндународной конференции по электронно-лучевым технолога« (Варна, Болгария, 1988 г.);

- 11 International Vacuum Congres, 7 International Conference Solid Surfaoe (Koeln, PRO, 1989);

5-й Чехословацкой конференции по микроэлектронике ратислава, Чехословакия, 1989 г.);

- конфэренщш по технологическим проблемам микроэлектроники еркасн, 1988 г.);

- научишс семинарах кафедры криогенной микроэлектроники Киев-ого гос. университета (1981 - 1990 гг.);

- научных семинарах кафедры математической физики и кафедры тематики Киевского гос. университета (1989, 1990 гг.);

- научных семинарах отдела 574 Института кибернетики АН раины (1985 - 1989 гг.);

- научных семинарах Института микроэлектроники Российской АН 989 - 1990 гг.);

- научных конференциях Волгоградского гос. пединститута (1971 1993 гг.).

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИЙ:

Диссертация состоит из введения, семи оригинальных глав, зак-чения, шести приложений и списка литературы.

Объем диссертации составляет 260 стр. машинописного текста, лычая 29 рисунков и библиографию из 150 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ава 1. ИСХОДНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Одно из первых кинетических уравнений для электронов записано работе Г.Бете И др. t1] - это "...the Boltzman equation whioh goma the development in time of a given initial electron distribu-on in epaoe and direction of notion", в котором кинетическое

авненда записывается для f(x,0,t) - плотности электронов в фазо-м пространстве координат и направлений движения в момент времени однозначно связанный с пройденным путем в, и имеет вид

di di - oí r -» - - г .. i

_ --- - fl— + J di)' w Лт.О'.П) í(x,0',t) - f(x.fi.t) , (1

as vat ax J el 1 J

где v - скорость электронов.

Это уравнение было интерпретировано Спенсером [2] в фазо! пространстве координат, направлений движения электронов и остате ных пробегов н(Е), однозначно связанных с энергией электронов. I этом Льюис [33 и Спенсер постулировали кинетическое уравнение

3N •* ÔN г - г _ ^ т

--+П. — = J <Ю' w (R,Q' •£))! N(X,fi' ,R) - N(X,0,R) . (£

3R di el L , J

Это уравнение, хотя и совпадает по математической форме с ураш

1шем Бете (1), записанным для платности электронов í(з,П',R(t]

там не менее зяписано для функции N(x,Q,R)dx dQdü с иным физиче Kffl.i содержанием (и иной размерности), которая представляет сос "the flux of electrons ... with reeidual range between R and. R + " (слово flux выделено Спенсером).

Попытка Спенсера [2] решить уравнение (2), расщепив его систему зацепляющихся уравнений методом разложения по пространс ввнно-угловым моментам, не привела к успеху, т.к. не удалось вс етановить фазовую плотность. B.C. Галишев показал, что разложеЕ уравнения (2) по модифицированным полиномам Лежандра не приводит разумным результатам в двойном приближении, и необходимо уде живать в разложений значительно больше членов Í4Í.

В уравнениях <1),(2) постулируется однозначное соотввтсте между пробегом по траектории и энергией электронов и не вводом интеграл по неупругим столкновениям. В приближении непрерывного з меднения интеграл по неупругам столкновениям после разлозения в f по малому параметру - переданной энергии - и удержания линейного переданной энэргии члена разложения примет вид •

а г -» т

^n-i- -[e(E)N(x.n,E)J. (3

где N(x,Q,E) - плотность потока электронов в точке х с энергией ï направлением движения Q, 1(E) - средние потери энергии электрона

б

инице пути. Заменив интеграл неупругих столкновений дифференци-ьной формой (з) получим

— Гё(Е) N(3,0,Е)1 + 0ЛШ(Х,0,Е) =

ЭЕ

| <Ю' *е1(Е,П' •П)[и(Х,а' ,В) - Щх.П.Е)], (4)

э яе1(в,П'.0) - частота упругих рассеяний электрона с энергией Е

единице пути из направления П' в направление П. Это кинетическое авнение в фазовом пространстве координат, направлений движения и вргий электронов было записано нами [1] независимо от Ван дер Ми, горый записал интеграл по неупругим столкновениям в виде (3), ру-

водствуясь соображениями математического удобства [5], вместо -»

в)Ш(х,П,Е)/5Е, как, например, в работе Г.Е.Чайки и В.Г.Левандов-эго [12].

Плотность потока электронов в единичном интервале энергий свя-аа связана с плотностью потока в единичном интервале пробегов со-аошением

х,П,Е)(1Е = Н(х,П,ЮсШ. (5)

Кинетическое уравнение (4) является исходным при построении лих транспортных моделей наряду с кинетическим уравнением Льюиса Спенсера (2).

Транспортное сечение определяют выражением

г(Б) = *0(В) - *,(В), (6)

э *0(В) и 1г (в) - нулевой и первый коэффициенты разложения функ-

ъ уг ,(в,П'П) по полиномам Лежандра. Подстановка этого сечения в

аетическое уравнение вместо *ге1(Е,£)'П) дает стандартное транс-ртное приближение кинетического уравнения.

Частоту упругого рассеяния на единице пути в траяспортном-0 иближении аппроксимируем выражением

8 (В,О' - — [»-(В) - *,(В)] + — ПАЮ 8(1 - О' .0). (7)

4* 2*

т

При этом нулевой и пврвий коэффициенты разложения функщ л

w(E,fl'»П) по полиномам Леаандра совпадают с соответствующие

—►

коэффициентами разложения ф!ункции wel(E,Q'-О).

Предложим теперь новое прибликение транспортного типа, отличг ющееся от ТО тем, что Q-образный компонент заменяется гауссианом с малой угловой дисперсией. Транспортно-малоугловое приближение сос

ч ч

тоит в замене сечения wel (Е,П' >П) на функцию

тм 1 Г Т А03) Г -5 v

w (Е,П' -П) = — W.(B) - А(35)I + -ezpf-eVe* 1, (а)

0 1 .it в* 01

где 9=arooos(£]' -Q). Параметры а(е) и выберем так, чтобы первый

второй коэффициенты разложения функции w™(E,0' •£)) по полиномам Ле иандра совпали с соответствующими коэффициентами разложения функци

ч ч

wel(E,fl' «П). Нулевые коэффициенты совпадают при любых А(Е) и в^.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ

Идея двухкомпонентной модели транспорта электронов была пред логвна Г. Бете в 1938 [1] и начиная с 70-х годов после безуспешны попыток выделить как основной механизм либо однократные рассеяния либо диффузию стала общим местом. Эта идея была воплощена различны ми способами в работах Zheng Ming [6,7] и в наших работах. В обои этих способах поток электронов рассматривался как суша двух компо нентов: сохраняющего направление падающего пучка и диффузионного Различив состоит в методах расщепления исходного кинетического ура внения и в самих исходных уравнениях. Zheng Ming исходил из уравне ния Льюиса-Спенсера и применил условия разделения, включающие набо; направлявдих косинусов больших углов, которые выбирались в ■ нвкото ром смысле произвольно. Однако уравнение Лъшса- Спенсера непригодно для многослойных образцов, так как в таких средах нет однознач ного соответствия между анергией и пробегом электронов. Поэтому модель, предложенная Zheng Ming, неприменима для многослойных мишеней, хотя это было им сделано в работе [7].

Нами построен ряд математических моделей кинетического уравнена для пучка электронов в мишени: модифицированная модель Бете с энтром диффузии , транспортная-6 модель с разделением электронов а группы нерассеянных и диффундирующих; транспортно- малоугловая эдель с группой электронов, рассеянных на малые утлы, и группой иффундирувдих электронов. Эти модели не включают эмпирических подоночных параметров и строятся на расщеплении исходного кинетичес-эго уравнения с помощью аппроксимаций сечения упругого рассеяния 6)» (7) и (8).и декомпозиции потока электронов на группу керассе-нных П^. (или рассеянных на малые углы) и группу диффундирующих лектронов

(х.П.Е) - ^(х,П,В) + н^х.О.Е). (9)

В модели, преджженной Г.Бете [1], перенос электронов описыва-гся уравнением диффузии с источником, помещенным на "глубину полой диффузии", причем предполагается, что потерями энергии и откло-зниями электронов от первоначального направления на пути от повер-яости до глубины полной диффузии можно пренебречь, а плотность лектронов на границе со свободным пространством должна быть равна улю.

Естественным усовершенствованием модели с центром диффузии яв-яется двухэтапная модель переноса электронов, когда проникновение лектронов в мишень разделяется на последовательные этапы и уравне-ие переноса решается сначала в приближении "прямо вперед'', а затем диффузионном приближении и при этом учитываются потери энергии лектронов до начала диффузии и, кроме того, нулевое условие для лотности на границе, принятое Бете, заменяется на условие Маршака, изический смысл которого состоит в требовании отсутствия потока лектронов извне иного, чем падающий поток. Заметим, что существен-ым различием между диффузионной моделью Бете и предлагаемой здесь иффузионной моделью является также и то, что исходными кинетичес-ими уравнениями в нашей модели являются уравнения (2) или (3). .е. мы включаем в фазовое пространство пробег или энергию.

Пусть на поверхность полубесконечной среда в точку х0=о падает эток электронов единичной интенсивности с энергией в0 в направле-

нии П0- Тогда кинетическом уравнение (3) следует решать с допо. тельным условием, описывающим падающий поток электронов

N(0.0,í) = etfpjo«^- Н)б(Е0- Е), (■

где - вектор поперечного смещения перпендикулярный к í)Q.

В приближении "прямо вперед" пренебрегает столкновительным i тегралом в (з) и получают решение в виде

Nf(X,fl,E) = а(П0- П) - (R0- й)П0]/ё(Б), С

где rq и R(E) соответственно начальный и остаточный пробеги эж тронов.

Далее, как и в диффузионном приближении Бете [1], полога что, пройдя без рассеяний путь srf на первом этапе, электроны и: тропно рассеиваются, и падащий шток преобразуется в изотрохп точечный источник электронов с пробегом Rd = R0-sd и соответств; щей энергией Ed

Qv(Í,E) = ü(i - nosd) 6(Ed- E). (•

Далее перенос электронов, испускаемых источником (12), опи< вается уравнением диффузии для нулевого углового момента плотно« п-л'ока N (х,в), к которому сводится кинетическое уравнение (3) J

еле замены в нем wel(B,0' >0) на t»tr(B)

- — Гё(Е) N (х,Е)] = v f —í-v Н.0(х,Е)1 +

ЗЕ ^ J L 3wtr(E) d0 . J •

0(2 - n08d) e(Bd- E). * (■

Замена переменной

Eo

t(E) - J i/(wtr(B')e(B')> dE«. (■

3 E

приводит уравнение (13) к более простому виду о постоянными коэф; циенташ и позволяет решать его аналитически.

ю

В транспортном-О и транспортно-малоугловом приближениях сече-га упругого рассеяния аппроксимируется суммой двух компонентов, в эответствии с формула® (7) или (8). Это позволяет выделить в по же электронов группу нерассеянных (или группу рассеянных на малые плы) и группу диффундирующих электронов и в соответствии с этим встроить модель переноса, в которой исходное кинетическое уравнена расщепляется на два связанных мевду собой уравнения для этих зупп.

Дусть острофокусированный поток электронов с энергией Е0 пада-р на мишень по нормали к поверхности. В соответствии с геометрией здачи запишем это уравнение в цилиндрических координатах, выбрав зь и в направлении падающего пучка. Решив уравнение (4) с условием ю) в приближении "прямо вперед", получим поток нерассеякных элек-ювов в ТО- модели:

р(а,р,0,В) « (1/2*) 0(р) О(п-О) 6(Н0-2-й(Е))/е(Е) х-

г Е° 1

ехр(- / *Ъг(Е' )£1Е'/6(Е')], (15)

Е

це й - внутренняя нормаль к поверхности слоя.

Подставив (15) в (9), а затем в исходное уравнение (4). полу-вд кинетическое уравнение для электронов второй группы

~[ё(В) Ий(2,р,П,В)] + 0-? ^(г.р.П.Е) =

— / Л^тГя^я.р.О.В) - Кй(2,р,0',В)] +• (16)

81^ё(Е) 0(йо"2_Н(Е)) *Чг(Е) ехР( "/\г(В')(1Е'/ё(Е')),

)торое можно решать в диффузионном приближении, т.к. ядро в ггеграле столкновений и источник электронов изотропны.

Из <15) и (16) видно, что поток электронов первой группы экс-зненциально уменьшается по мере продвижения электронов в глубину плени, а электроны второй группы появляются в результате изотропию рассеяния электронов первой группы.

и.

Транспортно-малоугловая модель, объединяет преимущества транс портного и малоуглового приближений. Исходное кинетическое уравне ние (3) в этой модели расщепляется не два связанных между собо уравнения для плотностей потоков электронов отклонившихся от перво начального направления на малые углы и для изотропизированных элек тронов либо в результате однократного рассеяния на большой угол либо в результате многократных рассеяний на малые угли. При нор ыалъноы падении пучка электронов с начальной энергией Е0 уравне ниэ (4) сводится к двум связанным между собой уравнениям

~~ Сг(В) " *1:г(В)Н<= + в(а)й(гх)в(в)б(В0-Е), (17

4* '

1 1 ' »1

— «»(в.В) -езф[--Н,(а,? ,0* ,В). (18

4* 1г «2(в) I 02(г); * А

Здесь *1г(Е), »м (.г(Е) - транспортное сечение и его малоуглово) компонент, вычисленные в соответствии с (8) и (6), Де- операто]

Лапласа по вектору 8, который определяется выражением 8 = О'- О

-

|8|«1, вектор поперечного смещения г± перпендикулярен к оси г, о. - дисперсия в поперечном направлении электронов, рассеянных на малые углы.

Глава 3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНОВ ПО МОШНАМ

Нами получены в явном виде формулы пространственно- угловые моментов по рекуррентным соотношениям Спенсера и Льшса и соответствующе модельные моменты. Их прямое сопоставление позволяет оценить точность предлагаемых модельных уравнений в смысле близося интегралов от решения, некоторые из которых имеют простой физичес-

ий смысл, например, среднее смещение, средний квадрат смещения, редний косинус угла отклонения от первоначального направления. Двойные пространственно-угловые моменты определяются формулами

•к» 1

1п(г) = 2% I и" (12 | Р^су 11(2,02,Г) <Юг; 1,п = 0,1,2..... (19)

-00 -1

ереход в уравнении (5) к двойным моментам в бесконечной среде с огрукенным в нее моноэнергетическим мононаяравленным плоским ис-очником приводит к системе зацепляющихся дифференциальных уравне-ий с решением в виде реккурентной формулы [2]

1 г'

1П(Г) = ]■ е*р(- / (г" )<*") |^_[(1+1т1+1>п_1(Р') + г г ^

7 +вП0в<1-*'>} Г- (20)

це

1

и (г) = 2% ] [1 - ?! СП.П')] «е1 (г.П-О' ) еКП-О'). (21)

-1

цесь Рх(П-П') - полиномы Лежандра и координата ъ и остаточный про-эг измеряются в единицах начального пробега н0.

Формулы для модельных моментов получаются из формул (19), (20)

зменой в них 1?в1(г,П«0') соответственно на *Т0(г,1М)') и

гм(г,П«0'). Формулы для моментов Н01(г) и н10(г) содержат только } и Б1. Эти моменты совпадают с точными, т.к. совпадают соответ-гвувдие коэффициенты разложений по полиномам Лежандра. По определяю приближений (7) и (8) имеем

.М<г> и "Г(г>' (23)

Из сопоставления моментов следует, что наилучшее приближение 1вт транспортно-малоугловая модель, в которой зависимости от ос-Iточного пробега среднего смещения, среднего косинуса и среднего

квадрата смещения электронов в продольном и в радиальном направле ниях совпадают с соответствующими точными зависимостями. ТО- прв ближение совпадает с ТМ- приближением для широкого пучка электрс нов, когда задача сводится к одномерной в координатном прострав стве, но Тй- приближение плохо описывает радиальное рассеяние узко го входящего в вещество пучка электронов вблизи поверхности.

Глава 4. МЕТОД ОТРАЖЕНИЯ В ДИФФУЗИОННЫХ МОДЕЛЯХ

Нами получены аналитические решения ряда задач кинетики элек тронов в диффузионном приближении, основанные на обобщении очен простого и наглядного метода отражений, который ранее применяло лишь только в случаях либо полного отражения, либо полного поглоще ния на границах [а]. Функция Грина для пластины и составного полу бесконечного тела с граничными условиями третьего рода получена : виде быстро сходящегося ряда, вычисление суммы которого сводится : использованию рекуррентной формулы для кратных интегралов вероятно сти.

Замена переменной (14) приводит уравнение (13) к более просто му виду с постоянными коэффициентами и позволяет решать его авали тически. Для широкого падающего пучка электронов получаем

9 пм{*,х) О к*0(2,1)

эх ------а2*—" + в(в«~я) (24

где возраст начала диффузии, соответсвувщий энергии электронов, достигших глубины полной диффузии Граничные условия тиш Маршака имеют вид

ко*2-*) - г-гт д-г Ио««^)] • (25;

где угловые скобки < > означают усреднение по возрасту электронов. Ряд отражений дает функцию Грина задачи (24), (25) в виде

н«ю<*»*> - + 2 + нЗ°о(а,п'к>]»

«.„■ - 1г.п - 551- = {"1)П I 2В(п/2)(Ь-а) +

2ьп " Кп" «I» 2ьп " М)П+1[ 2В((п+1 )/2)(Ъ-а) - (26)

э t=г-/^:d - сдвинутый возраст, Е(х) - целая часть х. Оператор и ределен выражением

э I оператор отражения в себя, а ь - удвоенный оператор Лапласа-рсона с параметром а=2/(з<1»1г>), так что

00

- Ь)°о<*хп'*> " 0О<Вхп'*> " 2а °0<*хп+ №

О

Повторные отражения от границ с помощью оператора и (и" -«ратный оператор отражения) приводят к появлению в решении крат-I операторов Лапласа вида

[ 0о(2хпД)] = а" и^Т-)"-1 ехр[сЛ + а ахп1 х

. г _ 2хп »

I"'1 егГо|аУгТ~ + - , п = 0,1,2,... , (29)

1 2У"Т* >

> (пегГо(х) - п-кратный интеграл вероятности.

Таким образом, вычисление ряда отражений в решении (26) ево-гся к применению рекуррентной формулы для кратных интегралов.

та 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ПЕРЕНОСЕ ЭЛЕКТРОНОВ В МОДЕЛЯХ С ЦЕНТРОМ ДИФФУЗИИ

Аналитические решения для полупространства и пластины можно [учить в рамках всех'предлагаемых моделей, однако мы ограничимся (елью с центром диффузии ввиду простоты и наглядности получапцих-решений.

В модифицированной модели Бете поток проникающих в миоень «тронов имеет вид

КДи.О.г) = — в(1-0 ) 6(1-и-г), О < в < в . С

* г 2* 2

Это означает, что на глубине г электроны имеют определен! пробег- г = 1-а и энергию Е(г).

Решение задачи (24), (25) для подубесконечной среды в соотв* ствии с (26) (отражение происходит только один раз от границы z■■ имеет вид

1 Г Г <2-а«)2Т Г 1

= Ш IЧ1Г-]+ Ч —] ] -

(2+2сЛ

аУТ + . (:

Для пластины толщиной большей глубины полной диффузии га решв! дается рядом отражений (25). Модель с центром диффузии нвпримаш для мишеней, толщина котрых меньше ъ^.

Коэффициент обратного рассеяния электронов от полубесконеч! мишени с возрастными параметрами, лежащими в интервале от о до (или соответсвенно с энергиями в интервале от Е0 до Е(1;)) соглас граничному условию (25) и решению (31) имеет вид

г

Р(Е) = егГо'

С—I -

12

|ехр(а21;(Е) + а^) егЦаУГЩ + (3

Полный коэффициент обратного рассеяния получим, подставив (32) возрастной параметр остановившихся электронов 1;0. Выраже* (32) отличается от полученного Бете [1] членом, стоящим в квадре 1ШХ скобках, и сдвигом возраста на г . Коэффициенты обратного ре сеяния, прохождения и поглощения для пластины получены аналогично помощью граничных условий (25) и решения (26). Из рис.1 видно, ч зависимость коэффициента обратного рассеяния от атомного номера н тени, вычисленная по этой формуле (как и другие интегральные харе

Рис.1. Зависимость коэффициента обратного рассеянна от атомного номера 2: I- по теории Бете;

2- по модифицированной иодепи с ценрои диффузии;

3- по модели Арчарда, модифицированной Капауо К., Окс^ата 3. П 41; экспериментальные данные собраны в обзоре [16].

теристики), значительно лучше согласуется с экспериментом, чем и ходная модель Бете или получившие широкое распространение феномек логические модели Арчарда [9] и Заерхарта [Ю].

Глава 6. МНОГОСЛОЙНЫЕ МИШЕНИ, ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ В ТРАНСПОРТНО-МАЛОУГЛОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Уравнение Льюиса-Спенсера (2) не справедливо для неоднорода рассеивающей среды, например, для многослойной мишени, т.к. в эт случае нет однозначного соответствия между энергией электрона и е остаточным пробегом и кинетическое уравнение следует записывать д плотности потока в фазовом пространстве, включающем энергию, как это сделано в (3).

Заметим, что оба уравнения - для малоуглового потока электр нов (15) и для диффузионного компонента плотности потока (16) определены во всем фазовом пространстве, а не в некоторых огран чэнных его областях. Это устраняет необходимость сшивания решен на границах областей в отличие от стандартного повода к пробле расщепления исходного кинетического уравнения, когда фазовое пр странство разделяется на области, в которых справедливы те или ин приближения, и затем на границах решения сращиваются {113.

В транспортно-малоугловом приближении мы имеем только д уравнения в одной области - это предельные случаи малоуглового изотропного упругого рассеяния, связанные не через процедуру сращ вания решений на границах областей, а через поглощение - инжекц электронов: изотропизация приводит к переходу электронов из груп рассеянных на малые углы в группу диффундирующих электронов.

В случае многослойной мишени ё(Е), кг1г(Е), и 1г(2) в (17 и (18) должны быть заменены на ё(Е,г), и^Е.г) и "^'^(в»*) -скачками на границах раздала слоев: '

ё(Е,а) = £ % (Е)ёа>(Е), (3

1=1 1

..tP<«.»> = E Xiff^tr'«* (35)

зсь %t(E) - характеристические функции отрезка [Е^.Е.]

(Е) = ЩЕ-Е.ЖЕ^-Е), (36)

, Е. - энергии электронов, движущихся вдоль оси z на правой и зой границах i-того слоя соответственно, и(х) - функция Хеви-1да.

Тогда решение уравнения (17) можно представить в компактной

эме

[z.r.B.E) = 0(z-s(E,z))(1/e(E,z))x

exp(-(e202(z)- r2C0(z)+ 2?9 О^гПЛ^ЫЭЛто2^))* Eo

J dE'wtr(E',z)/£(E',z), (37)

Е

)

[г) = Со(г)02(г) - С2(а). (38)

Ео

[г) = г\ аЕ'«ва>1;Г(Е'.а)(2-а(Е',2))к/ё(Е',г) , к=0,1,2. (39)

Е

5,г) - длина пути электрона вдоль оси г при уменьшении его энер-I от Е0 в точке падения до е.

Используя стандартное диффузионное приближение

;г,р,е,Е) = (1/4*)(И{10(г,р,Е) + 3 оовв ^(г.р.Е)). (40)

^г.р.Е) = -(1/"1:г>1(В)) ¡^(я.р.В)!, (41)

1учим уравнение для нулевого момента диффузионного компонента >тности потока

-а/аЕ(ё(Е,г)Ыс|0) = в/дг1{1/*ь-г(Ъ.а)д/дъ(Яао)] + (1/р)а/ар[(р^г(Е,г)а/вр(мсЮ)] +

(б(р)/(21ф))(*Ьг{1Е,г)/е(М)й(2.-в(1Ё,г)) х

Г Е° 1

ехр ,г)/Ё(Ъ',г) • (4

Здесь ре |, в - полярный угол между осью г и направлением да кения электронов, и Ис)1 - нулевой и первый моменты (коэффид енты разложения по полиномам Лежандра) диффузионного компонеь плотности потока.

Граничные условия для системы уравнения (42) на лицевой и ч ловой поверхностях мишени - это обычные условия Маршака

(Н^ф.р.Е) - (2/^,.(В,а=0))в/вШао(0.р.Е))) = О, (4

(И^^.р.Е) + (2/*^(Е,2=Ь))а/а2(Ы£Ю(Ь,р,Е))) = О. (4

Граничные условия по координате р - нулевые условия для решения бесконечности и для первой производной на оси симметрии:

а/аро^^.о.Е)) = о, (4

Кй0(2,о,,Е) =о. (4

Решение задачи (32) - (46), было получено численным методо При вычислениях использовалось стандартное сечение для упруг столкновений - формула Резерфорда с учетом экранирования

2*Ж(Г,е) = (3/4) (2+1) (Идф^/А) (Т+1 )2Т"2 (Т+2 Г2 (1 +2Т)-оовв) ~2, (4 стандартная формула для тормозной способности

Ш/т = (з/4)(Кдфог/А)В М-^+О-2]"^ (4

аппроксимация Спенсера для коэффициентов разложения, определяемых эмулой (19), имеющая вид

(г) = й/г (49)

зправедливая, если начальная энергия электронов меньше приблизи-пьно то2. Здесь = в/то2 - кинетическая энергия электрона изме-зная в единицах энергии покоя электрона, ЯА - число Авогадро, - атомный вес, ф0 = (8тсе*/Зт2о4), т) - постоянная экранирования, = 1п[1.166Т/Лг)] - ионизационный логарифм и «Г(г) = 13,5г/то2 -здний ионизационный потенциал атома.

Тождество

3) + а^ (Е) + (Е) + ай(В) + 7Й(Е) я 1, (50)

) р, а и ] - доли обратнорасг-еянных, поглощенных и прошедших зктронов, должно быть справедливым для всех энергий Ее(0,Ео].

Обратное рассеяние, прохождение и поглощение, вычисленные в энспортно-малоугловом приближении, хорошо согласуются с опублико-сшми в литературе данными [15, 16] при любых толщинах мишени, { можно видеть из рис.2, и ошибка баланса не превышает нескольких эцентов. Угловое и энергетическое распределения обратно рассеян-с и прошедших электронов сильно зависят от толщины слоя и от много номера рассеивающего вещества. Этот факт находит объясне-з в рамках транспортно-малоуглового приближения в том, что в от-ше от обратно рассеянных электроны, прошедшие мишень, состоят зтично из сохранивших направление вперед и частично из даффунди-завших, и важно, что эти компоненты зависят от толщины мишени 5личным образом. Для очень тонких слоев прямой компонент почти шостыо преобладает и соответственно он определяет угловое (и фгетическое) распределение прошедших электронов, а при увеличе-I толщины доля диффузионного компонента возрастает и для тяжелых юней раньше, а для легких - позже он становится преобладающим и, :вою очередь, определяет вид распределений по углам и энергиям.

Угловое распределение обратно рассеянных электронов и дифф}зи-щй компонент прошедших электронов определяются диффузионной ап-жсимацией плотности потока (40) и граничными условиями (¿3),

Рис.2. Зависимость коэффициентов поглощених, обратно рассеянна и прохождения от толщины слоя меди при начальной энергии электронов 10 кэВ. Сплошные крив] 1— поглощение, 2- обратное рассеяние, 3- прохождеш Штриховые кривые: й- диффузионный компонент прохо: дения, ^ рассеянный на малые углы. Эксперимент — точки [153.

Film thickness (nm)

3ис.З. Коэффициент обратного рассеяния от тонкого тоя серебра на алюминиевой подложке в сравнении ¡о свободной шгенкой серебра ири энергии электронов: О - 20 кэВ, 4 — 40 кэВ. Сплошные кривые - пычис-гениа, точки — эксперимент ¡1163.

(44). Зависимость диффузионного потока Jrf(6) от углов не гаш как это можно видеть из разложения (40), и влияние атомного Hot рассеивающего вещества также выражено гораздо слабее, чем для i мого компонента. Угловое распределение обратно рассеянных элею нов определяется только диффузией, и в этом состоит ограничь транспортно-малоугловой модели - для очень тонких свободных пле1 когда обратное рассеяние происходит за счет однократных столкж ний и распределение по углам дается формулой Резерфорда. В е случае транспортно-малоугловая модель дает правильную вели1 интегральных коэффициентов обратного рассеяния и прохождения, од ко распределение по углам обратно рассеянных электронов по-прекЕ описывает как диффузионное. Напротив, угловое распределение проп ших электронов сильно зависит от толщины и атомного номера миле Эта зависимость обусловлена двумя компонентами - малоугловым и i фузионным, которые зависят от толщины существенно различным ос зом.

Распределение по энергиям прямоидущих электронов на выходе мишени найдем, учитывая хорошо известный разброс по энергиям ы тронов, прошедших один и тот же путь в мишени. Это распределе имеет нормальный вид с центром Eh - средняя энергия электронов, хранящих, первоначальное направление на тыловой стороне мишени, дисперсией, даваемой формулой, которая в случае многослойной мил имеет вид

Ео _

С2 = J dE'e2(E',z)/e(E',z), (5

Eh

где e2(E,z) - средний квадрат потерянной энергии на единице п электрона, определяемый в многослойной мишени аналогично (э Тогда энергетический спектр прошедших электронов имеет вид

J(h,E) = T^/eiE.h) [1/(CV2«)] exp[-(Eh-E)z/(2C2)] + 00

(1/2)Г (21Cp)dp N._(h.p,E). (5

о

Рис.4. Распределение по энергиям электронов, неупруго отраженных от двухслойной мишени Ве - Аи, при различных толщинах слоя Ве (пт): 1 - 16; 2 - 31; 3 -46; 4 - 73; 5 - 1Т4: 6 - 140.

Энергия электронов 6 кэВ. Слева - вычисления, справа - эксперимент [181.

г (пт)

Рис.5. Радиальные профили поглощенной энергии для гауссова пучка с дисперсией 250 ни падающего на сл реэиста (ПММА) толщиной ООО ни на подложке из крег ния вблизи поверхности (кривые 1) и вблизи подложк кривые 2). Сплошные кривые — наши вычисления, шт^ ховые - вычисления методом Монте-Карло [19].

В настоящее время дискутируется вопрос о теоретическом, или оменологическом описании толщинного контраста, который имеет то, например, при сканировании в электронном микроскопе само-держивающейся пленки с локально различной толщиной [17]. Анало-кый эффект наблюдается также, когда тонкая пленка наносится на юрхность толстой подложки с отличающимся атомным номером. Из |.3 и рис.4 видно, что предложенные модели позволяют и для таких »уктур успешно рассчитывать как интегральные характеристики, так нергетичеение распределения.

Таким образом, предложенные нами транспортная-б и транспорт)-юугловая модели кинетического уравнения позволяют получить замк-■ое решение задачи о бомбардировке пучком электронов многослойной юни и вычислять любые характеристики транспорта электронов: уг-¡ые и энергетические распределения обратно рассеянных и прошедших «тронов, распределение выделенной энергии и инжектированного заде - с достаточной для многих приложений точностью без введения •еорию эмпирических подгоночных параметров.

юа 7. ЭНЕРГОВЫДЕЛЕНИЕ ОСТРОФОКУСИРОВАННОГО ПУЧКА ЗЛЕЮТ ЭНОВ

Энерговыделение пучка электронов в мишени заслуживает отдель-рассмотрения ввиду важности для многих приложений. Локальный игеновский микроанализ, электронная литогра^я, расчет темпера-шых полей базируютсл на знании пространственного распределения фгии, выделенной О-образным (точечным) пучком электронов в ис->дуемом образце. Обычный метод решения этой задачи - математиче->е моделирование траекторий электронов методом Монте-Карло - придет к громоздким вычислениям, а результаты таких вычислений зави-' от выбранных методик и отличаются V разных авторов.

По определению, плотность энерговыделения вычисляется по фор-

. В СТРУКТУРЕ РЕЗИСТ-П0ДЯ0ЖКА

19

Е.

О

(ч 3)

Подставим в (53) выражение для плотности потока электронов расс ных на малые углы (38), получим

г Е° 1

И^.р) = - / аЕ^Ьг(Е',а)/ё1(Е',г)|х

[1/ТС02(а)3 ехр[-р2/02(2)] б(Е*,я) ^ {

где Е* - энергия электронов этой группы на глубине г в ¿-том сл

Из (53) видно, что плотность энерговыделения испытывает ра на границе раздела слоев, обусловленный скачком средней потери ргии на единице пути. Убывание плотности энерговыделения в глу мишени обусловлено первым экспоненциальным множителем и радиал гауссовым уширением пучка. Решение уравнения (42) с граничными ловиями (43), (44) находилось численно, и энерговыделение диффу рувдих электронов вычислялось затем по формуле (53).

Из рис.5 видно, что имеется резкий максимум энерговыдел вблизи точки входа пучка в мишень, который отчетливо выделяется фоне медленно спадающего в глубину и в радиальном направлении фузионного компонента, видно также хорошее соответствие с расче методом Монте-Карло [19]. Для эффективного расчета эффекта близ необходимо достаточно точно вычислять плотность выделенной эне обоими компонентами. Предлагаемая модель позволяет иметь практ ски лкУ5ое пространственное разрешение для первой группы и, ¡вмес тем, вычислять далекие диффузионные "хвосты", перекрывая диап величины плотности энерговыделения 8-ю порядков, что явля трудной проблемой в методе Монте-Карло.

ОСНОВНЫЕ ЗАЩИЩАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Модифицированная диффузионная модель Бете позволяет вы лять интегральные характеристики переноса электронов в пласт толщина которой больше глубины полной диффузии: коэффициенты об ного рассеяния, поглощения и прохождения электронов через плас - с точностью, достаточной для многих приложений, без введени теорию эмпирических подгоночных параметров.

2. Новый метод расщепления кинетического уравнения для элек-да, основанный на аппроксимации частоты упругого рассеяния сум-геотропного и малоуглового (или б-образного) компонентов и де->зиции плотности потока электронов на малоугловой и диффузион-сомпоненты, объедининяиций достоинства малоуглового и диффузи-чэ приближений и не содержащий эмпирических подгоночных пара->в.

3. Транспортная - ö и транспортно - малоугловая модели пра-ю (в смысле исходного кинетического уравнения Льюиса-Спенсера) шают средчее смещение и средний косинус угла рассеяния во всем звале изменения остаточного пробега, а транспортно - малоугло-юдель, кроме того, хорошо аппроксимирует такую зависимость и :реднего квадрата поперечного смещения электронов.

4. Метод отражений, обобщенный на случай граничных условий >его рода, и полученные обобщенным методом отражений аналитиче-решения в модифицированной модели Бете для полубесконечной i и пластины.

5. Решения задачи о переносе электронов при нормальном падении I электронов средних энергий на мишень (в том числе многослой-

полученные в транспортной-ö и транспортно-малоугловой моделях 'ических уравнений Льюиса-Опенсера и Ван дер Ми.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ

РАБОТАХ:

!моляр В.А. Определение толщины области пространственного (а у поверхности раздела металл - CdS в режиме ТОПЗ методом •ронного зонда /./ Проблемы физики соединений A"BV1. Вильнюс, Т.2. С.174-179.

>дорубова Н.Г., Смоллр В.А. Пространственное и энергетическое ¡еделение ускоренных электронов в полубесконечной мишени // xv )юзная конференция по эмиссионной электронике: Кр. содерж.

Киев, 1973. Т.1. С.166-167-юляр В.А. Обратное рассеяние и проховдение ускоренных элек-® через слой вещества // XVI Всесоюзная конференция по эмчс-

сионной электронике: Кр. содсрж. докл. . Махачкала, 1976. Т. С.163-164.

4. Смоляр В.А. Диффузионная теория обратного рассеяния и проникн вения электронов в полубесконе'шую мишень, не содержащая подгоно ных параметров // Радиотехника и электроника. 1979. Т.24, С.1812-1819.

5. Смоляр В.А. Зарядка диэлектрика пучком киловольтовых электр нов // Фундаментальные основы оптической памяти и среда: Респ. « дувед. науч. сб. Киев, 1981. Вып. 12. с.28-34.

6. Смоляр В.А. Оценка параметров переноса электронов с энерга порядка килоэлектронвольт в мишенях сложного состава по эффектам му атомному номеру //Укр. физ. курн. 1982. Т.27, Jfeiо. с.1537

1542.

7. Смоляр В.А. Обобщение метода изображений в теории теплопровод] ности и диффузии на случай граничных условий третьего рода // Д ференциальные уравнения с частными производными в прикладных за чах: Сб. науч. тр. Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 19 С.128-131.

а. Смоляр В.А. Диффузионная теория энергетических потерь элем нов, бомбардирующих мишень // Радиотехника и электроника. 1983. Т.28, J610. С.2034-2036.

9. Смоляр В.А. Обратное рассеяние, прохождение и энерговыделение в пластине, бомбардируемой пучком электронов //Радиотехника и а: гроника. 1985. Т.30, Вып.11. С.2221-2228.

10. Михеев Н.П., Смоляр В.А. Транспортно - диффузионное приближо в теории переноса электронов //Укр. физич. журн. 1985. Т.30, С.140-143.

11. Смоляр В.А. Транспортно-малоугловое приближение в теории nej носа электронов средних энергий // Seoond International Conféré on Electron Beam Teoxhnologies EBT - 88. Varna, Bulgaria. 1S P.55-60.

12. Смоляр В.А. Транспортно-малоугловое приближение в теории пе носа электронов средних энергий// Укр. физ. журн. 1988. Т.зз. tfî с.1072-1077.

зо

Макарова Е.Л., Смоляр В.А. Оценка точности транспортно - мало-)вого приближения по моментам сечения / Деп. ВИНИТИ N 1193-В89 >2.02.89 // Депонированные научные работы 1989. N6, б/о 186. Смоляр В.А. Вычисление обратного рассеяния, проникновения и эления энергии на основе решения кинетического уравнения для стронов в транспортно-малоугловом приближении // 5. Celo^utna rerencia míkroelektronuca, Bratislava. 1989. p.52. Smolar V. Electron' backscattering and penetration in the Ll-angle and transport appprorimaton model // Vacuum. 1990.-I, N7-9. P.1713-1720.

■Смоляр В.А. Обратное рассеяние, прохождение и поглощение пучка стронов средних энергий в многослойной мишени // XXI Всесоюзная Ееренция по эмиссионной электронике: Кр. содерж. докл. Ленин-I, 1991. с.108.

Смоляр В.А. Перенос электронов в многослойных мишенях в транс-то - малоугловом приближении // XXII конференция по эмиссионной стронике: Кр. содерж. докл. Москва, 1994. 0.166-168.

сруемая литература:

Sethe Н. et al. //Proo. Amer.Phil. Soo. 1938. V.78, N4. Р.573-

Зрепсег L.V. //Phys. Rev. 1955. V.98, N6, P.1597-1616. bewis H.W. //Phye. Rev. 1950. V.78, N5. P.526-529. Галишев B.C. Метод модифицированных сферических гармоник в тео-многократного рассеяния частиц. М.: Атомяздат, 1980. 132 с. fan der Мее O.V. // J. Math. Phys. 1989. V.30, N1. P.158-165. Seng Ming L. // Phys. Rev. В. 1985. V.32, N2. P.812-823. Zeng Ming I,. // Phys. Rev. В. 1985. V.32, N2. P.824-836. íaporoy Д., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 4. с.488.

Orchard G.В. //J. Appl. Phys. 1961. V.32, N8. P.1505-1509. Everhart Т.Е. //J. Appl. Phys. 1960. V.31, N8. P.1483-1490. Бакалейников Л.А., Тропп Э.А. //ЖТФ. 1986. Т.56, j61. с.16-25. Левандовский В.Г., Чайка Г.Е. //Укр. $мзич. журн. 1975. Т.20, С.717-722.

13- Находкин Н.Г., Остроухов A.A., Романовский В.А. //ФТТ. 19 Т.7, Н. С.210-216.

14. Капауа К. Okayaraa S. //J. Appl. Phys. 1972. V.5» N1. Р.43

15. Cosslett V.E., Thomas R.ü. //Brit. J. Appl. Phys. 1964. V P.883-907; 1964. V.15. P.1283-1300; 1965- V.1fi. P.779-796.

16. Niedrig H. //J. Appl. Phys. 1982. V.53, N4. P.R15-R49. 17- Afanas'ev V.P., Naujoks D. //Z. Phye. B-Condensed Matte: 1991- V.84. P.397-402.

18. Находкин К.Г., П.В. Мельник, Крынько Ю.Н. // Укр. физич. з 1967. Т.12, №3. С.509-511.

19- Hurata К., Homura Е., Nagami К., Kato I.//Jpn. «J. Appl. PI 1978. Y.17, N10. Р.1851-1860.