Прямой метод решения интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью и его применение к задачам дифракции и гравиметрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 085.01.02

од

На правах рукописи УДК 517. 958:535.4

касымова мавлюда джамаловна

прямой метод решения интегрального

уравнения i рода с логарифмической

особенностью и его применение к задачам дифракции и гравиметрии

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе — 1995

Работа выполнена при кафедре вычислительной математики Душанбинского ордена Дружбы народов государственного педагогического университета им. К. Дасураева.

Научные руководители: доктор флзнко-математических наук, профессор А. С. Ильинский, профессор П. А. Пулатоз.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Г. Джангибеков, кандидат физико-математических каук, доцент Р. Мустафокулов

Ведущая организация: Самаркандский государственный университет.

Защита состоится * » декабря 1995 г. в -1Ъ часов на заседании Специализированного Совета К.065.01.02 по математике при Таджикском государственном университете по адресу: 734025 г. Душанбе, проспект Рудаки 17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

Автореферат разослан «

ив » ноября 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета к.ф.м.н.

Хооабеков О. X.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕКТОТКСИ РАБС?Ы

Актуальность. теш.ГТрякоЯ подкол к ропюкг ггрсогнз задач математической физики трчбуот исЗгп обцоэ рсгзшю дяХФзрсн-цпелытого урзнонпя.а ззтзм согласовать ого с дсшлкятэлыш-гст условия.«.Такой подход слоган,т.к. надо опродо.тлть гао-еоство реаепиз даЯоропциаяыгого уравнения,пз поторгх в ко-иочисм счотэ только одю прэдстпвлдзт кптзрос длл данной задачи. Этот недостаток шало . устрмшть, веля пригонять катод НИТОГрзЛЫЩХ уравпзшй.

Прл использования кггода ттогрзлькнх уравнений гут рэ-пэтая краевых задач ^ахоматичосхойбольшое' значение имэот способ евздэния креэвей задача к пнтаграяьному урзв-нэшзэ.Ряд задач электростатики, тоорт! упругости, гаоран акте н, ягфзакцйи, аородзяетка могло '• свода» к • Ектогрзлькмл уравнениям Сродголы«а I рода с логарфячеейоа. особенноетъп 'ядра.Так-'как кнтэгредшеэ' урзшэгсгэ '(Ерэдгбдьаа I рода с до' гзрг&ягчоскоа особенность», ядра пвткатсл нзкорроктпо поотов-лекпоа" задачей,разработка -.я сбсспо&аш)' тэдоз роезяга * таких уревнвквЗ яяляф^ся.ахтуаяш^ яррвязяоа.-•

■ СуЁэствуат.ряд'>«эйгпзк кэто-юарзшт лзгЕШйу* . зп-. дач,. когда®,аэ• к6тсрш вгзв! своп,'првзй®ё9отяэ «.¿^¿"тзткп. ■ : Разработай идас/йданяя 'рэпэаия'- йвтограл5>жято даяюег^- ерэй-:, гольча 1'рода .¿о .гаезезяй

■ та ;11пьпнс!?ого,А.С./Грз5з_гЕП:ова АЛ., ¿ор«321а З.В., \.

хо Ц.А.,Ствфзяа ¿(ЗгерЬзп '3)¿'Ваййа&Да-В.(1|вЬй1ай4,Я),"й дру^; пд,.в которых "обосновано пр:2<знйЖ9;!^локацхрншк- '¿•это- " * ■доведана оценка 'погрйоюЬта'•з.язе&доена ЧДОясДОтЪ«/ .V

••' :• Мв*од каадохаши •пркетмст-'аррсто^я рЦлйзедкя а эф- ,,

фективностью алгоритмов» "еезд2ЯЕйг ';па его, основа а ^поэтекду* анализ . возможностей • этого м&тодз ' .опредЬайёт -ш^влъность •• выбрайной темы. В нзстЬягй'й .;работо: даннш- ттол кркйойяотся:' д.'я решения задач дифракции и. гр9в:штрип. Разработка ирег- . рош и алгоритмов, реалазухеих. .получехзшо .Тв6рзглч4СЙкв. результата на ЭВМ. и. тзвмяша- реаать'когофеяаю'.раявчи,'тек--' щ являотся актуальней.. ':." -У' ''

Осзюезо^ тлью диссертации валяется развитие методов реаэнпя кра обой задача дафракцда путем редукции их к интегральная уравнении, разработка катодов реоеная интегральных ураввзрй наоснйве метода коллоивции.а также^создание набора програш,рэая1зуВДИх эти алгоритш на ЭВМ. :

Методика исследования. Задача дифракции, в стационарном случае, неэввасвко\:Ът ее отношения к 'тому или иному разделу ф^га^/аюрп-'.в^' ма*м«8*юм>с>ш. как краевая

задача для ураЕзэнияэллипточэского типа. Одним из наиболее но^авиёдаракщог' .чбл»тся-' метод интегральных. уравнения,В данной работерассмвтриваотся класс эа#от*тао^ да^тадяя.;кдорнй':сводится к сингулярному ин-

' •• особенностью

ядра; дли, рйввная«оборота гнойно" успешно гхрименять прямые штоды.осиовенацо накетоде коллокацни,; где решение интегрального урданэнад; ищется , в виде многочлена с неизвестными 1юввфвдю1тлз1&и;. «я^джщп/'Шют'отннх -коэффициентов требуется, ч-^оЗн розность правой илевоЯ частей интегрального уравнения равнялась нули в. точках с чебьшевркша распреде-лэшэа.Вкачэстсеточек согдаров^ 'ия выо;фаптся •чебыиевские узлы внутри иатераала.т.е. корни шопзЧ- эна Чебыиева степени п.Полученная ише2нвя системаалгеОраических уравнения порядка п решается лршш'г.Ьгодш.Данная методика позволяет избе: цать логоргфетюской особощюсти ядра. Приближенное решение '', шдаг^ашюго^грйзданая ицетсясреди многочленов степени п-1, а вкачоства точексогласовщшя выбираются узлы задан-иой сатгш. ВдиссертациитакЕб проведен сравнительный анализ рм различного выбора точек коллокацки. на различны* сетках и правых частях, даныроком&ндащш по выбору узлов коллокации.

Научная новизна. В работе развит метод интегральных уравнение для реоения нерегулярных задач теории дифракции волн различной природа. Ыегод основан на эквивалентности краезых задач теории дифракции и слабосингулярных интег-ральннх уравнений. При рассмотрении интегральных уравнения удается установить разревзоюсть задач дифракции и предложить аффективные до годы решния задач дафракцйи и гравимет-

рза.В'работе обоснован далий котод,пр2Еэдопа сцашш.скоРве • та схолплсста ,дены рэкоавш&цка ira п'Сору сагоз кояяошшпп.

Проктитасуся шгпгость ЕпСота.Прэдло'гш":Д татод теязг-гя on дач дифрпкцлл о л з ;; ï р о м о г т ¡hit. паль раи::соашил>Д ка 2ЕЧ в шдо програта, глогят бить асаольосва;« з хах раздэлах Физики,iroTopsB етеиг ¿зло с. полюшя ¿дашая::;!,. т.и.гадро-дгатокикэ, оку стгао .рэдко&шко, опшад, дггиамичэокол тэорш угт- . ругостп.теорт: зв-оя.грпгг.'этряи л друпа.Создшяг1*с ajirojaí-«а гогу? с®зккадао рззать гарокай круг крсещх задач «osa-, »„-ататовкеЯ <1гз;:ка рздуццрувкзх к »»огрэлыгоку ураггаяшя I рода о логпр:^',":пас::оЯ особонпосша о ядре,

Дгаро^зцяя работа. Оспоккэ результат» дкссартсгсо!. дсх-двдязались по роспубг^сгшгазпс мгаго-пршкпязксЕс koiîJok-î-

.голодах :г!.эш1х х са-эця?лпотоз гэдгйииязка a 1390 у ("зжЕПбад, 12-15 епр-чля), IS9I г. Курган-Тюба,IG-й! спрэлл), па рспубЪгяпнскоЗ кокфзрзшся " spffaesua

к гх прплопсндл г .Куляб, ,3-5 октября 19Э1г.,-:№ с:;згс;;;а:;Л паучноП кягфэрошет пр^эссорсхэ-пгогоддззтсгькаго '„-¿oTssn ДПЕГ Е.»л:.«Я.Язут52Эво,1Е:а ««»эузогской вшгЗзрижа: по яровгэ-5»укп в швгрекая з Т0ГЯол5Глчзскс:л задах-и®"9*® Tsrrzi-отстяна в IStM году > по- обьэдщиацк! ззсздгшн яг£>адр íVbk-цпоншапого спэтзз п д^ХОДдофшьбцх; зр&впззгз, люадвзте-чэсяогэ «галета и творт' кьгегаткгм п i¿cx?v¿-

веского ЙОДЭГ^ЗГПЙГЛ и епиигяся. *Э2И?щзе>гйЯсамят2с -него факультета Тадагссгссго wcjinwgStfKJTa з .I5SS г."

Публикация. Озяж&о рззультэги ргбот ойусяжягиз о чэткрох статьям.

Структура п обх-эа ссртглза. mr-ozjyzs на

ЗЭ страницам н состоит из пЕздок'.ш.двуг гл^ё^етош;, лрзлогэндагя списка лятэрзтури.ш^лпчвщэго 70

квашя ©щтймагз гавота '

Во ввзгокал npascsmai обсср putts'? пол^лтсз •тагов, обосповиваэтси яяауальнасть а рзучага взгззаа psöo-

Г

га.формулируется цель раЗоты и кратко излагаются все раодо-гш дисеэртацшг.

В первой главе рассматривается пироккй класс крассих задач математической физкш, родуцвругки к лнтегральнспу ураанашво Фрэдголша I рода с лзгаргфсичоской осоСокноссью й ядра к пр;тэдягея способа рогэшм дс:-того интегрального урзшойия. ■ :

В 51 раосиэтрэна постановка задач доЗравдка, элэктроота-И31И| «оорна упругости, райвздочноа гао^азкки, творил антен.

Задача $!£ракцдк олокгрокопштка вол! в обсзй поота-новко еоо?ш?" ь.'аггоздояиа рогеная уравнзшм Ияковолла.удов-«тзг-воршадк? шрэдэлокпым хфаевам уолавпям .услошю излучения И УСДОЬИЭ НЭ |»<$|㧻УсДОЕЦО КЗЛУЧВГСУ! (1ГО1 усяокм ЗОШрф>ЙЬ-дз) состсн-г в ши ЧЧй по я -анэргия, яслутсодея ксточиикоа ( расцолозкэннаа яа коиочно« ила сэскоаэчшм расстоянии ), дснвлш уходить в Оосианочиаа'ь. Условие на ребро (Гййкснора) состоит в том, что Сйоргая издучсиась только задании:.* ИСТОЧНИКОМ II 1.3 биг.о дакшшгм&йаго "Езлучеиия" от робор.

Родукщш крвэвой задали к .интегральному уравнению I рода с лотарЕфаиескоЯ оссОойкгвЗ'Ыэ посвящен в горой параграф первой тгаш дяссортацхи .Едась раоспла?рив.ьетиа способ рэдук-цда исходной краозой ьздачя к ш?с.т?аяькод;/ урагкэшш Фрод-гояша I рэда,осноБСШ2& ьп првяшании фркуда Грина к еднда-кэнтальному роиошш урашоюш Гольагольаа. Редукция краевой задачи к интоградьному уразизюш зависит от того, какое фун-дшшта-шюо ресзпиэ урааа&ния. используется при сведении.В работе приведен случай, когда фундаментальное рзаениэ выра-гшотся через функцию йшквля.

Мэтода рэвошш интегрального уравнения Фредгольиа I рода с логарп£шчаско2 особенностью ядра расскотрэш з ¡3. существуют рагягшыэ способа рзсокая интегрального уравнения I рода как метод регулярязацаи.свлорегуяяртгааща:, кэхышчоских квадратур и другие, В агоу еэ парах-рьфз приводится краткое оппзешю некоторых из них.

Нанболеа шроно кзгод интегральных уравнений испэлъз/от-

£

ся при роаеняп задач дсфрщсцпи п крпэвкх задач огэглродйпгуя-тш. При.'.зпоюш мэтода тгегр-шлптх уравнений к разотпэ тфпо-воЯ задачи дв^рокцил па полос о погогтг^пп вторая глава.

В 51 г.чпви II рзссиптрпзвотся одна г.з основшх задач теория ци®ракцпя элэктрочапгтгд пояоЯ за пэзйжпутих х'дч-алыю проводила поворхкостлх, ток"паташэная классическая задача дкфрвкции Е- и И-пояярлзсвппаого плоского полл ira полосе конечной пприш.

Токая задача на плоскостл для случая Е^-поляризецаи фор.г/лгруотся как задача опрвдэлопгя волнового поля u(z,y,, удоваэтвсрянзэго дзуиорнсглу уравнению Гольмгольцз :

AU + k*U-0 , if/Г , UêO(K3) ,

грахпчБСГлу условии

ус.:оп;ш пздучэпил на бзскояэчностп

lia -Jr (51 - ikû)=0 И yCUlOEÎïD Иэйкснэра па рэОрох полоси

J х (grad uftaôy < о .

Здось Г - цряколтгейянй отрззок у«0,-1<х<1,располо:коннцй из •оси ОХ. г- расстояние от источника до ¿оскопочио удалзшюй течки наблюдения.

Для Н-1то.1яр1:зацж! задача даЗракцяи состоит в спрэделокти классического роиоппя 7(х,у),удовлетворя,юэдго однородному уравнению _ Гольмгольца : ■ -

AV + Jr2V=o • К*/Г , 7CC(lf) ,

граничному 'условия • • -

21 =0 ,<х,У)€ Г ,

Оу

?

уелосияу сслучоная по Сосксдочносгп

11щ -!г {£1 - 1Ш=о ,

• Г-ЬЗ (Зг

и условта .»ЬШгсяюра на ребрах полосы j j (g^ad v)adx£ly < о . •

Дял рассьатрешшх случаов Е- u Н -поляризации в задаче дифракции пр'.кэняотся штод интегральных -уравнений, т.о. построены ыиогралышэ уравнения, оквивал&птнио исходам краошм задачам. Свэдонло краевой задачи к кнтогралъинл: уранпэншм.кшг в случае Е-,так и Н-поляразоцш! осуцзствлэн-Н9 о поиогуд фор»мул Гглпш, приме пеших к фундитонтальному раашго урт«-.пония Гвльнгольцэ в задаче дв|ркадга.

Для случая Е-поляркзадаи получено интегральное уравнение в виде:

JV(P)a(Fo,p)anp-=-VoCJ) РоС г^ г ' '

гдо V(P) - неизвестна.-! фушцля.Ядро интегрального ураЕнония определяется поведанном фуккщш Хашселя нулевого порядка I рода

и имеет особенность при совпадении аргументов.

й случае Н-поляризацш шоет место соотношение

он!

( SL + if) w(zo)=Si —

Охг " % о у„

у-о

где

$

3 (г) плотпооть полного гока.ншюджого па полосу полагать ■ адоктрогагннтанм полэк,которая ссрг^згс.Ти нуль п.т концах хюссматрзваеьюй палосн.т.о. ^

, о.

Общое решение интегрального ур.таяозш а случае Н-полл-рпзадкл жеот гад:

57 (X }=ф (2 }+0 ОоеЮ: .С1п\а

о ^о о 1 о г о

ГДО С,.Сг - ПрОИЗГЛ.ГП/.КО НОСТОШ1ЖЮ,Оа(Х0}-ЧПСТНОО ропокио.

Тазом образе;.", в §1. глася II задача дпфрякдаи сводится к интегральному уравкшкпэ I рода с логарг£.ппоской особенность».

Параграф 2 главы II поснящен реиэниа ¿шейного с;шгу-лярпого интегрального уравнения с логррифмческой особоп-постью а ядро,полученного в параграфе I для Е-поляризацип в вяде:

I -I

гдо <р(4 ^неизвестная функция пропорциональна плотности тока, наводимого падащим полем на полосе нз достаточно гладкого класса,ЩхД) - фунз'сцця.произЕодшэ которой; являются нэпро-рыЕныма. Реиешю ищется з виде разложения, в ряд'по системе ■ Оазисных функцйй.В качестве базиешх фузжшй! шбрппы многочлена Чэбшова.а в качестве заданной системы точек согласова-пия корни многочлена Чэоакэва степени п,В- результате методом коллокацпп получена систока "лнноЯных' алгебраических уравнений относительно неизвестна ноЕффихшэнтов разложения и ряд, ко-\ торая решается прямым методом.

• Данный способ с' пэболызой кодифтаздтой применен для решения интегрального уравнения в случао Н-полярязащш в виде:

гко С4 н Ог-постояап!0, которые. опрэдоляются из полученной опошли уравнений относительно неизвестных коэффициентов.В о тс;,: случае число. урашэний будет равно п+1.

Б §3 дано обосновал» ызтода коллонацпи для интеграль-. кого: уравнения Сродголы/.а I рода' о логарифмической особенность» ;ядра.Рассматривая интегральный оператор как оператор из у?*2, попользуй оценку: сэгрогазсти катода коллокации и оценку остаточных Члзтв . р;жз Фурье-Чебшзэва, в работа приводится оценка сгода^сет нраОлзоаднного решения к точному..

В¡4] иксаан ^рэаузялази. гачаслптельного експоркмэнта,

проведанного;еси2 с; испольаозаЕКЗ!.1 метода коллокацнп. .Твкга приведена результата' расчета некоторых конкретных задач теории да4ракцви к разпэдочЕоЗ геофизики,дсаа оцошеа аффектив-еостз • прэ'длзконого метода. -Изучалась заваотлэоть погрокноати от числа етчек '1»ллокашп н а их'выбора,и частности,привэде-ш результат!; ^счетов для п=2к+1 ,к=1.... ,9.при различном выборе узлоз 'коллзлацаа (йулп гаяянска Чзбкпова, узлы разномерной сетки). - .

В закдкчэштп кзлоеткы'основные положения ' диссертации.

В прилог-экка прагэдош табязи к граней, голучоннаэ в ходе Вачислитольного акензрамэпта. .

ОСНОЫШ. РЕЗУЛЬТАТЫ. ДОССЕРШИЙ

I.Разработан эффективная мэтод рэкэния краавых задач,редуци-руокых к интегральным уравнениям I рода с логарифличосхоа особенность*» в ядре,для ресеняя которых используется метод коллокащш.Получекз оценка для скоростисходимости разработанного, метода,'.". 2 .Предложено решение двумерной задаст дифракцта для идеально проводящей ограниченной полосы .Проведен сравнительный анализ результатов для различного. выбора узлоз коллокации на различных сетках. : ; ;-

3.Разработан к реализован на-ЭВМ набор алгоритмов, и программ для решения интегральных.уравнений с логарифмической осо-. беянсстья ядра прямым,методом,которая' можно ' применять как

не

для pecoima задачи теория гоофг *,

та:: п для роЕопяя чисто ккогшгоэс&сс Рйдач.

ССИОППЙЗ ПОШ£Ш ЕЭТСЕРШ&П СПШТЛОВАШ 3

РЯЭТКй {

к

1. Иесимопэ И.Д. ГЛ'тод коялэкодш для гагегралыйгг уравшнй! I родо о логар-црсяескоЗ ocotferatc'»» п?ра. - Натертая! pacnyövSßtG-fcraia пгу'шо-пргдткчэаэтД гсагЬ^р-'гиш учзгшх и спэцчплиотов Тадзкской ССР. - ,7г1.2пзбэ.ч, I09Q. С.62-С5.

а. Кгсьмовз М.Д. О psüojsra шгсвгралышх урспиог. к i рода о жгзр-лГкичэааоа особагаостьч нубачэсгис® сшиг&ясл!. Тзег.с:; рсзруЗлясасксЗ псучпо-1гра:кзг:ос:'.с.Ч кэорэрсн:;.": г юродах, ученых я спзидаявотов Т^десдетсЯ ССТ'.-Кургел-Тг.'С5-). 199-..С.1Б7-1ЕЗ.

3. UaoiziODa И.Д.Об одном мзтодэ роезкая зада фэрвнцвальшо п кпгегрзлыш яразаоюм и пх ирг.хазтхи-й сб. ноу так трудсз.-Дуж-пбв I90I.C.<i3-iQ.

4. Илышсшй к.С., Кг'лагопа К.Л. рег.экко шм»?-рольного ур?гпсння а рода с огзрг^-чотеадЯ ессСгггсетъя в ядсэ.-Тс-зчеа россублгганисоД цзучь'ой 1ут£гргвиз ■;-*,*•')-^орггаг-'.злькгм ура-ис-кгггл л ж ^л^зэ^гггг.-Пулг.бсгг'Л г-.'? -пэдт-зстлтут. -К^ЛЗб , . 0.

■н