Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

м С ...

РдЕНА .ЕНИНА ОРДЕН/. ОКТЯЕРЬСКОК РЕБО:Х

ТЗЗЯЙК* гпккккпг: • ¡..¿.¿.х*,!

Иь правах рукоингг

^Дг. С- ' . ~

ПЕКАРСКИЙ Александр Антонович

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ

рш'ональиоя алпроксшц®

/01.0г.01 - иптвматический анализ/

А п т о р г 1 <'■ г.. а ■:• диссертации на соисканис уио-нс;Е степгнг доктора фкз1;ко-математичеглс:« яау

Москва - 1990

/

и Л <г/У;>

Работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я.Купалы

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.ТИХОМИРОВ

доктор физико-математических наук, профессор Е.А.РАХМАНОВ •

доктор физико-математических наук Е.А.СЕВАСТЬЯНОВ

Ведущая организация - ленинградское отделение Математического института им. Б.А.Стеклова АН СССР

Засита состоится <£?-/сА 1350 г.

в Г5 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета по математике # I /д.053.05.04/ при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119699, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 15-24.

С диссертацией мочено ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета М1У /15 этаж/.

Автореферат разослан ^¿-о-у1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.04 лри МГУ,

до цент З^аСи^ Т. П. Лукашенко

- . < ОВШ. XAPAKTEPîîCTIiHA РАБОТЫ

• '.U-". [ Актуальность теш,:. G сно во полагающими результатами теории ап-~:_П?ск.сииацхи функций являг-тся прямая теорема Д.Джексона к обрат-наг теорека С.Н.Бернлтекна. полученные соответственно в 191: 'SZli годах. Dir. ; ворса устшаалавзвт сагаь кееду наилучг.яа/!к ггрисл'.глсни.гт.'и фуккци1' поликомоги к ее афференпкалькьми свойствами. Поело работ Д.Джексона и С.Н.Бергатейна пряла® к обра:-кал теорк:,:н полиномиальной аппроксимации неоднократно уточнялись j: обобщались в различна направлениях.

Изучение наклу-глих рациональных приближений функций в стил-.; теории Д.Джексона и С.Н.Ееркштейна начато в 50-х годсх по инициативе А.Н.Колмогорова и С.К.Мергеляна. Первые результаты в указанном направлении получили A.A.Гончар и Е.П. Долкенко. 3 настоящее время рациональнее приближения являются одним из наиболее актуальных и интенсивно развивавшихся разделов математического анализа.

Через fâ, и && обозначим соответственно множество алгебраических полиномов и рациональных дробей степени не вызе tV;

jL^(K) - подынокество Л»4. , состоящее из дробей с пояр-сами лишь вйе fC , К - Лусть X - некоторое квазинор-

шфозакное пространство функций, определенных на подходяще« подмножестве ù . Введем наилучже полиномиальные и рациональные приближения функции £ с Л " :

К (') - s 4rf - ù4- 1 *t-*h •• *6 я*) -

Поскольку ¿M c &H, , ТО Ея. (/, WS

всех К. « <?, А,.£, ... « А.А.Гончар/1955 г./, рассматривал аппроксимацию э пространстве ^ С (Г) , Т ^ <

ев? построил примеры функция для X070pï& последовательно ст;-;

2 и [ Сн.С^,Х>7«Гс имеет существенно различ-

ный порядок стремления " кула. lïosie Д.Ньюмен /1364 г./, А.А.Гончар /1957 г./ к другие математики показали, что этим сгэйстном обладают кчоги« элементарные и некоторме другие функции. С другой стороны, Е.Я. должекко /1967 г./ построил пример* функций с

заданной гладкостью такие, что )•» для бесконечного

числа номеров ^ • Эти результаты показывают, чгс задачи описания множества функций с заданной скоростью наилучших полинсми-алнод и рациональных приближений существенно отличастся. Одна и:-« причин этого заключается ь ток, что множество fi-ц,, ь отличие от , нелинейно.

Ььчикея с 50-х годов, усилиями A.A.Гончара, Е.П.Долеснко, Z.А.Севастьянова, Б.И.Данченко и некоторых других авторов были получены обратные теоремы теории рациональной аппроксимации, которые в определенном смысле имели окончательный ввд. Например, п.А.Гончар показал, что если ^ €. C(t) п ? С) ±

■= 0(И~К~*~ Для некоторых к е. Of, oi € CotüJ к

Ь > С , то для любого £■?•<? существует фун^цил ^ , »

класса (l) такая, что ({зсьГ: f(x) » < £ •

С другой стороны, согласно теореме Джексона, для функции / класса (I) имеем RnJ', О = . Результат

Д.Ньюмена /1964 г./ о рациональном приближении функции t I на I способствовал появление работ Г.ФроЙда, Е.П.Долженко, А.А.Аб-дугалпарова, А.П.Буланова, Е.А.Попова, П.П.Петрушева, А.Хатаыоьа ;; других математиков, посвященных прямым теоремам теории рациональной аппроксимации. Каждая из этих теорем доказывалась отдельно и, как правило, технически сложно. В результате, к концу 70-х годов, в теории рациональной аппроксимации были получены различные прямые и обратные теоремы, которые, однако, не соответствовали одна другой, как в полиномиальной аппроксимации. Возникла необходимость в обобщении известных результатов и б получении полного описания множества функций с заданной скоростью нацлучвих рациональных приближений.

Цель работы: получение новых прямых и обратных теорем теории рациональной аппроксимации функций со свободными полюсами и описание на их основе множества функций с заданны)»: порядком наилучших рациональных приближений.

пульна?; новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, еледувшие: I) Неравенства типа Бернптейна для производных рациональных функций; 2) Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации ъ пространствах Hp , Lp (7), Сд , C(T)v. С (l), Ъ) 2-у.творения истцу н&млучаиии рационьлыгыик и кусочко-палино-приближениями; 4) Псрядксгь'е овенкк для н:.к"учзкх ра-

циснальнюс приближений функций с заданными д^рференцкальн:к и свойствами; 5) Связь меяду порядком наллучаей рационально дп-прокс:е<"*цин функции и вогмозскостьп представления .-тотснаиа-лсм К-.'-.!! от г.пэцпальисй плотности.

Все перечисленные результаты являются нотами.

Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. ¿1 г-:— зультаты могут найти применение з исследованиях по тесс::л ;ун:--ций, прозсдимих в Московском, Белорусском, Гомельском ! Гсодн-н-ском университетах, Математическом институте АН СССР и Институт?

математики АН УССР.

Аггосбзгия. По мере получения, результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах: I) Пятой Республиканской конференции математиков Белоруссии /Гродно, 1960 г./; 2) Международной конференции по комплексному анализу /Варна, 1981 г./; 3) Международной конференции по теории аппроксимации /Киев, 1933 г./; 4) Всесоюзных: знолах по теории функций /Саратов, 1986 г.; Иркутск, 1987 г.; Ереван, 1987 г./; 5') па семинаре по теории функций комплексного переменного в МИАН СССР, руководитель академик АН СССР А.А.Гончар /1965 и 1968 г.г./: 6) На семинаре по теории аппроксимации в МИАН СССР, руководитель профессор С.Б.Стечкин /1985 г./; 7) На семинаре по тригонометрическим рядам в МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители члены-корреспонденты АН СССР Д.Е.Меньшов и П.Л.Ульянов /1984 и 19се г. г./; 8) На семинаре по ортогональным рядам з МГУ им. М.З.Ломоносова, руководители профессора К.И.Осколков и Б.С.Козин /19сС год/; 0) На расширенном заседании семинара по теории функций действительного переменного, руководитель профессор З.А.Чанту-рия, института математики и механики АН ГССР /Тбилиси, 1965 г./'; 10) На семинаре по теории линейных операторов и теории функции, руководители профессора З.П.Хавин и Н.К.Никольский, в Ленинградском отделении МИАН СССР /1984 и 1986 г.г./; II) На семинаре-рациональной аппроксимации в МГУ юл. М.В.Ломоносова, руководители профессор Е.П.Догкенхо и доцент Н.С. Вячеславе а /1955 Г9сз г.г./; 12) На семинаре по теории аппроксимации з ¡.'¡гу л:л. М.З.Ломоносова, руководители профессор В.М.Тихомпроз и доцент С.Е.Мс-нягин /1968 г./; 13) На семинаре по теории аппроксимации в Еел-госуниверситете им. В.И.Ленина, руководитель досей? 2.л.Русак /Минск, 1975 - 1988 г.г./.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з 13 работах, список приводится в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, нести глав, дополнения и списка литературы. В дополнении приводятся основные обозначения, понятия и некоторые утверждения, используемые в работе. Список литературы состоит кз 136 названий; работы автора по теме диссертации с 61 по 73. Общий объем диссертации 223 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Как и в полиномиальной аппроксимации, доказательство обратных теорем рациональной аппроксимации основано на специальных неравенствах (неравенствах типа Еернштейна) для производных рациональных функций. Получению таких неравенств и посвящена первая глава диссертации.

Впервые к задаче об оценке производной рациональней функции обратится а.а.Гончар /1955 г./. Сн, в частности, показал, что, если £ С ¡1) , к.ъ-2. , то при любом Л > О

|{*ег. [г'М>ЛП < с . (1)

Л ^«.(Г/

Е.П.Долленко /1962 - 63 г.г./ при тех же условиях для, функции 5 с вещественными коэффициентами получил неравенство

1*\гг) • ' (2>

Очевидно, из (2) следует (I) с множителем И, шесто И, ¡V. Е.А.Севастьянов /1573 г./, развивая подход Е.П.Долженхс, по-

лу-:ил следугпее усиление и обобщение неравенства (I):

£

/{-«г- \%(3,(*Н>Л}[*с<е,г)Л~. ¡НИ* (3)

Л г

ГХЗ 5<=/1У , 0< Р * со , Г-0 + 1 и Л УО.

(2) £. А.Севастьянов подучил, что при лис см я, е (о> \Гу

■

'Y1

Согласно (2), г неравенстве (4) пси и s -1 кстно г/

ложитъ (в данном случае i ). С другой сторон--.,

те-йзке примеры показывают, что в ií"1 нельзя полокгть G" , г ->лучар 2/р £ /У неравенство (4? не выполняется и при fy Б связи с с-гим вссннк вопрос: при каких р и s б (4) моте-:г заменить 9/ на 5" ? Полуденная нами теорема 3.5 лает положительный oteo? для всех р е (i, и S« .

Е.П.Долженкэ /1966 г./ получил так»:э неравенства, аналогичные (2), для круга ЧЬ £ 2 € С : <LJ и округлости __ fte О 3> , Именно, он показал, что если iir £ fi. 7' о , то

. $щ/(г)Ц&г\ ¿mil<ь(1с(т) , (5)

Доказательства неравенств (5) и (6), как и неравенства (2), ике-от геометрический характер. Это обстоятельство не давало возможности обобщить неравенства (¡j), (5) и (6) на высшие производные и на интегральные метрики. При обобщении неравенств (5) и (6), как и при обобщении неравенства (2), также возникает критический показатель б" . Принципиальная возможность получения таких неравенств с критически показателе:»' была установлена В.К.Двь-ченко /19?3 г./.

Важность неравенств вида (6) для теорга рациональной аппроксимации стала ясна после работы Е.З.Пелтера /1980 г./. Введем необходимые для дальнейшего обозначения. Пусть функция £ а.ч&-литична в круге {4 е- А(%)) » А \ Kt* Í, ) -ее коэффициенты Маклорена и d о . Тогда функция

= X ¿K

называется производной функции f порядка в cuucxe Вейля. (Цр р й «»р - классическое прострсястзо Херди функций

га <4(£>/ , н Hf ( d ЪО . О <f*s*3 ) - пространство Хердя-

Соболева функций из ¿fo) . Именно, / кэ 4(9) принадлежит гГг . если := Üíífíp < . Через В^ (rf ^ <?

< Р é.

у ) обозначаем пространство Хардк - Бе-

соБ£. функций из : Брд. если (с естественно!' у.одкЬ'

кадим: при у, =<*> )

Для краткости полагаем также 6р,р * В р • - простран-

стве функций из А (&) ограниченной средней осцилляции. Как известно, (-¡^ о- BñCfi Н^ ДР*1 БОй: Р4"*3 ■

Упомянуты!: выше результат а.Е.Пеллера заклхг-иетсл ъ еледутаас-м;

<=» X ГRк.Г, (?)

»/* = О

Этот результат был получен с использованием связи между навдучлп-мг. рациональными приближениями в пространстве В М О А с ганкеле ьы<.гг операторами.

И:' (7) следует неравенство

тц и * сы) rS /'«aBMÍ,A , <а>

® VC

где U- £ JZn-1 ( ») , , и ^ с (CJ' ^ . Это неравенст-

ве^ обобшает к усиливает неравенства (Б) и (6).

Основные результаты первой главы - теоремы 2.Z, £■•(• г 2.:> обоОсают неравенства (2), (5), (6) к (В).

2.5. I с о р е м а. Пусть oí > с , ¿ л р ^ , - + ?-.//')""> и, fe 4/ 1: е- (%>) • То:1Да справедливы следующие не-

равенства

/н1 * С(*,г)П*ЦШ1н ; (9)

!! nil g< ¡iu,tiM0A ■

Пространства О.Б.Бесова 3 p,^ (f) и ! i '

ллются, как обы~"но. с помощью модулей гладкости. При 'этом. :-:апг.;-мер, вместо В р(Г) мы пгаем S % ( Г) .

¿.в. Теорем а. Пусть d > О , / , -Я^Г1 ,

д. Ь /У Л и,*. Я.*- i IT) . Тогда

3.5. Т е о р е м а. Пусть t 6 3h.ll) , {-.р и 5*-(5 tl/p)-1 . Тогда

» '

, Sc.^ ,

(14)

Доказательство этих теорем основано на интегральном представлении производной рациональной функции с помоть:э ядер, содержащих произведения Бляшке. Подобные представления для саглсл рациональной функции использовали ранее М.М.Джрбашян /1567 г./ ; З.Н. Русак /1979 г./.

Утверждение * из (7) З.В.Пеллер /I960 г./ получил для всех <¡iy о ■ Утверждения *<£=■ " из (7) для ? о получили одновременно и независимо З.В.Пеллер /1963 г./, С.Cernee /Í9Ü4 г.,' и мы /1984 г./. Доказательства Е.З.Лзллера и С.Лммеса оскозань. на связи наилучших рациональных приближений з пространство fyic^ с ганкелевыми операторами. Чале доказательство ословэко «а vsca-зенстве (12). 3 связи с этим отметим eos, что 3,л.Русаком /19-CL-. и 1969 г.г./били получены неравенства типа Еернцт^ипч. дл.т :г;о;с— зодней рациональной функции и ей сопряженной. Ус эт:?х Kscaawrr"» легко полупить (II) для << -= 1 . Мною /I9F/¡ т./, с испслъ^озян;:-?м упомянутых результатов З.К.Русакэ, были получены пераагнетпа. равносильные (II) для <<■» ¿ 3,.., , а гагсхэ нчпавенст?а •; Л» г.лт S"£f¿t... и р = о® . 3 полном объеме геэремн 2.5 я Я. о получены з IS84 году, а теорема 2.5* - з [966 году.

Геер^ма 3.5 з петззей главе тазимчня*?гя для д^аза"^'"-:0'::. од-•-•:Л "кратной теоремы. 3 формулировке д:ш ".ункппн ¿ -тел >£ - ¿.»-модуль nyvF.ii- - я,: г- д.-, J , м--

но, если £><р£~> , и ^-Сз+г!?)-'-,

то

I Сс.1 (ь

4.3. Теорема. Пусть I р ± <*> , 2 ъЛ? , ,

<у-_ 1 и /«¿/»Д) • Тогда

Различные характеристики функции типа

зсттзе-

чаится во многих работах по теории функций. Например, в 1974 году подобные характеристики применялись в работах З.А.Чантурии, Е.А.Севастьянова, В'.А.Попова, Х.Г.Бурд/сардта - Д.О.Халле и П.Берга - Я.Петре. Теорема 4.3 для и 3 = 1 была получена В.А.Поповым.

Вторая глава диссертации посвяшена доказательству прямых и обратных теорем рациональной аппроксимации в пространствах Нр и ^р(Г) при рл— . Для сокращения записи многие теоремы мы формулируем с поыоаяыо вложений. С этой цельа введем слпроиси-мациснное пространство % ФутЗД*® / 113 X : £ € ^^ р ( Ы. ^О , о А 9, б«*»), если (с естественной модификацией при л =

злагаем таюке ^ = ^ Р,V ' ^ БМОА,^ = %

V

О И т.д.

к

ад отмечалось выпс- долгое время неясно пкло с почогьг как;»: вольных пространств мс-шо описать мнохзство функций с за-..корсстью наилу-гдлс ряционяльных тх/блжений. Ю.А.Ерудаий "Г '2' :./ г.г.рв'-'м гь.сказ ад предположила, -то а качоетзе таких гг-.-.тр^г.тг» «ггно азлть дрэстраист^й С.З.Е^сог-.. '.¿'■»■¡ко, О.^.Бру;

кым без доказательства были сформулированы прямая и обратная теоремы, которые равносильны следуишим вложениям:

ic „ fI) ГчГ ' г)

- р.С* I J -><Г\, с*. (. ), .....

, Ы.>0 , <S-a(»i -Ц !//>_) f \\

<У* - w-мь- f i. f с) . Разрыв между этими вложениями также велик. Действительно, ф ¡_,j,(I) , а единичный шар пространства ff) является компактом в Lp fl). (Из результатов А.А.Гончара /1955 г./ следует, что шояество функций с заданным яоредком наилучших рациональных приближений не является компактом относительно пространства, в котором осуществляется ал-роксималия.) Результатам Ю.А.Брудного (15) и (16) предшествовали близкие по содержанию результаты М.Ш.Бирмана - М.З.Ссломяка /1966 г./ и й.Берга - Я.Петре /197-1 г./ для сплайн-приближений. Значительную роль сыграли так» результата Г.ФроЙда, Е.П.Доренко, А.А.Абдугаппарова, А.П.Буланова, В.А.Попова и многих другк авторов по изучению скорости рациональной аппроксимации конкретных классов функций. Важную родь сыграли тг<см результаты Е.П. Долженко и Е.А.Севастьянова по«обратнш ?сорс!.:к.<. рациональной аппроксимации. В частности, вложение (IS) при р~ и L получено Е.П.Долженко /1966 г./; для и ct £ (о, i) - Е.А. Севастьяновым /1975 г./. Отметим еп;е следувдс-е вернее вложение, принадлежащее Е.П.Доляенко /1962 г./:

Kt,Jr) с> АС(Г), (17)

где Г - отрезок X или окрукяоеть 7' , а АС{")~ мн- «ест-го абсолютно непрерывных функций на Г7 .

Первый пример полного обращения придай и обратной теорем рациональной аппроксимации принадлежит В.Ц.Пеллсру (м>.- все (7) ). После результатов Ю.Л.Ерудного (15) - (16) ;; В. В. Л сл.-ер а (7) специалистам по теории аппроксимации стало ясно, в каком виде следует искать теоремы типа Джексона и тж БернштеЛнк. для наилучших рациональных прй&товй. Для пространств Ир и LpfT) при t «■«•<» отг?т содержится в следующей теот^ае 5.1, кото-

cur «клястся ошошой в главе 2,

¿ТО, i <os , (ti^i^yi.

^ «r > (Ig;

S.m^d,^ ° . (20)

Доказательство "обратных теорем" из (18) - (20) осковгнс на ресультатах первой главы. Доказательство "пряла теорем'- кк (13)- (2Э5 основано на представлении при5лщсае&-.йй функции потенциалом Коле со специальной плотностью с последуезик' разбиением носителя плотности на области тгаа квадратов Уитки и аппроксимации потенциала Ковш, откосктельнс кедзой такой о&ластк, частичной суммой ряда Лорана.

Следующие теореш 7.2 к 7.3 утверкдевт, что влогсениг, (20) ляотся точными,

7Теорема. Пусть ei > С , i < к <Г= (V-u/p/*. Тогда для любой последовательности {û-kIs*j такой, что ССК г=

Ыа^оч 2 £ (к * 'К - .

существует функция ^ С Ир \ И с , для которой

7.3. Теорема. Пусть d > О , 1-ср <«* к (<*+

Тогда для любой последовательности такой, что

а* * л*,* ^ ¿> Йс е Л/. и Г е fK" cl^^U , су-шествует функция -f с. H о- . для которой = R-n, Ц, Mf) •

Соотношения (16) - (20) получены нами в 1Э55 году. Аналог равенства (18) для отрезка получили П.Д.Петрушев к В.В.Пе'лдер в 1987 году. Именно, они показали, что для Ы > О . -± л. р и С= ("oi 4i/p)~£ справедливо равенстю

Яр%п) - в; m .

Теорем а. Пусть

Тогда

Я

Р-.е-

Для доказательства (£1) Д.П.иетрупез получил сначала .иилсг зтого равенства для кусочно-полиномиальных приближении, г зослсльзавадса соотношениями метду наилучшими рацидна^ким;:- л нусс'-кс-полквгтальнши приближениями. В связи с этим смстрпг-такзе теоремы 16.1 и 16.2. Доказательство В.Б.Яелдчса зяклзчаст-ея в том, что ок, используя преобразования Набора, показел раг-носильность равенств (13) я (21).

Глава 3 пэезяаена чес'ькпезсккм рациональным приблтаеннлм з пространствах С(1), С (?) и с/: = С (Ю П .4('2>) • Злакыви <с_> •« аа (гд) > (тд) л лззое влотение из (20) сохраняя? с л '' при . Неизменным также остается га доказательство. Ситуация обратным вложением (т.е. с прямое теоремой) здесь значите ль слстсне». первое, что следует отметить, ото исключительность лс-.{зэателя ^ ^ £ . й^енно при пространства £

Н л/*. злояены з С_4 , а при О <<< <1 они содержат неограниченные функции.

Больная часть третьей главы поезяяена доказательству сле^гз-!дей теоремы 10.6.

10.6. Теорема. Пусть функция ? и .Д - ее сопряженная абсолютно непрерывны на окружности Т • Тогда при любем /2-?- ± справедливо неравенство

С- г

Доказательство теоремы 10.6 основано на применении атомического разложения пространства Ке Н1 ■ построенного Р.Хойфма-ном /1974 г./, и рациональных оператороз типа Джексона, введенных В.Н.Русаком /1974 г./. ,

Дтя получения аналога теоремы ГС.6 для класса чь пред-

варительно доказываем следующую теорему 10.7, представлятсзую самостоятельный интерес.

10.7. Теорема. Если £ £ С д , то при ляс'ом справедливо неравенство

Лазер .-«павеяство (22), ззвду принципа максимума «одулл -ктическпЛ функции, очевидно. правой сценке

тг> г, *

Г4

результат А.А.Гончара - Л.Д.Григоряна /1976 г./, в котором вместо множителя 3. был множитель 7& .

10.8. Теорема. Если ^ с И^ .то при любом имеет место неравенство

Оценки в теоремах 10.6 и 10.8 являются точными з смысле порядка при каждом фиксированном И- . Для индивидуальных функций при И- ->— здесь имеет место эффект "<»". Например, если/еН*» то КиЛ!>^а) ** ЧН') - Теоремы 10.8 и 10.б даат (соответственно) обращение результатов Е.П.Долженко /1966 г./ и Е.А.Севастьянова /1978 г./, согласно которым выполняются влоаения

^ ^ н 5. и

(г) * Ассг).

(23)

В связи с теоремой 10.6 и вложением (23) несомненный интерес представляют примеры, построенные впервые Е.П.Долженко, которые показывают (ср. с 117) ), что для .^сД£ последовательность

[Кп.может сходиться к нулю как угодно медленно.

Основные результаты третьей главы заключены в следующих теоремах 11.1, II.2 и 11.7.

ПЛ. Т е о р е м а. Имеют место вложения:

^ ^ С.- ' - (24)

(25)

в,1 ^ С,- ' (26)

1 A

II.7. Теорем а. Пусть $ = Г от 5 = 1 • Тогда

Bj(s)o. (S), ,,r

Очевидно, для fsCД при любом It, справедливо неравенство

U, SMOA) ^ Rvt. £ Д ) .3 связи с этил теорему II. Г интересно сравнить со следующей теоремой II.S.

II.8. Теорема. При о1~>0 имейт место соотношения:

^ Л ^JL

** Hi/л ** • (34}

Правое вложение (24) это, очевидно, наша теорема 10.6. Другие неравенства типа Джексона, содержащиеся в теоремах II.I, II.2, II.7, также принадлежат нам /1987 г./. Левое вложение (24), как уже отмечалось, получено Е.П.Долженко. Им же било получено злс-жение <=» ^ , которое близко правому вложению (ЗС)

гтри и - If . Левое злсжекке из (25) и вложение (28) принадлежат нагл /I960 - 84 г.г./. Левое вложение (26) и правое вложение (30 ■ принадлежат В.В.Пеллеру /1950 г./. Вложение "с*" из (<.7) иолу«;,;-ли независимо В.Е.Пеллер /1983 г./, С.Семмес /1984 г./ и мы /1984 г./. Равенство (33) мы обсудили Еъше (сл. (7) ). Вложения (34) получены нами /1984 г./.

Слэдуютае теоремы 12.3 и 12.4 указывай? на точность теорем П. I. II.2. 11.7 ¡г Н.Э.

.'2.3. I -э о ? з и а. Пусть oi>t? . Тогда для •srto'* -зс-л.-сс-.-<?А;;ъгост"л « s j такой. чтс 7 t -

Г). „ „ , Г

н^ - О и ¿Г < [ к ) - 130 . сущест-

вует функция / из Сд V Н 1/оС. > Длк которой -д) =

12.4. Теорема. Пусть »¿>с? . Тогда для любой последовательности 1сСк},с-=1 такой, что ¿X* + 1 $/¿/'

? ч . л

и ( К ¿2-«.) -с«-, существует функция £ из

С.4 п . да которой а^ - £„.{7, 5/Ш),

В диссертации доказана также точность .правых алоаений (24),

. -и' л 1.

отметим. что теотзема 12.3 при - 1 ."¡случена З.П.-Цс.тгенко

Г./.

прямые и обратные теоремы из глав 2 и 3 в главах 4 и 5 гпэиме-

чяются к более конкретным задачам, а в главе о дается их осс6~е-,

3 глазе а рассматриваются несколько отдаленные друг от друга "опросы: национальная аппроксимация и сопрстэтпше функции; аппроксимация в Нр при р^ 1 ; интерполяционные пространства и кусочно-полиномиальные приближения.

А.А.Гончар и Л.Д.Григсрян /1976 г./ дополнили результат Е.Я. Долженко (17) доказав, что если & Т) , то

£ & С (Т) • Позже Е.А.Севастьянов получил утверждение (23). Он же показал, что если ^ 1-> вообще говоря,

/ф (Т) • 3 связи с этим возникает вопрос о соотношении

м-* ь

«ИД7 к л) и _13Л. Теорем а. Пусть / е К Л 1 ( Т) ■ Тогда £ ■£. С(Т) и при любом ц , Я ,

М?,с) * х ял/,С).

1 п. ¡СТ-И/Л

Оспргенные функции используется также в утверждениях 13.3 и

"*' .3. г з с т. д е н и е. Пусть I £ ЙС(Т) и ,

г. гпсг.см ?(.имеет ,/естс уыагенстьс

гъ- " 1 ' -

"ИЧЬЫО '."Т-

нергления справедлив* к хх* £ ■

То.4. ? у р л с и и е. ^■•Н'гпиг- Ч £ -

• -с-д» гпг лггок зжг:-: кггг

кроме тоге, (¿п. ($> ~ ) ~ /«•) пун --

¡Ьостэанство является гжетрекшшнш эдгеь. Ьолри-.ср.

справедливо сдедушее утЕертдение.

'73.0. У т в е р г. д е н и е. Пусть для любой функции такой, что $' принадлежит пространству Орлича 'Т'(Ь) - выполнено соотношение / б, £} - Тогда

* О ,

15. С. Угвераден и е. Пусть /' £ С Г?7} к функция 1 {' {£ ""9 ) является четной на - 2 и выпуклой на < Тогда для любого 1 выполняется неравенство

МАО * .

При «.•*«- кмеем также « 0(1/м,) . Крэке теге,

2" £ С ГТ) и аналогичные соотношения еяраеоцзию и длг. Отметик, что иалгг этого утверждения длг. ауикшп-. Г •:->-получили Б.А.Попов к П.П.Петруяес /19"' : .Л Епсряь'.- .. даче пргблмпепкг выпуклых функзкй, бег: квки*-/ибо огт-вииченс»: па гладкость, обратился Д.П.Еуленгг. .-'19СС г./.

Простейшие примеры показывает, что ""оиремр не миге-; & от.': длг р « 1 , по крайне.': мерз, когле 1/р . ¿л-, р-.ггг.- • рсне'г'г.л ее на случаР с й £ мы вместо /V", ^.-р-.-

где 1«. « /Уи?^} и определяется из уеловкя •-.' .

глпроксигшсиенное пространство ое^гяачьск чег'-: А, о, Пс^'Чс-'яйя а диссертации теорема 14.1 утвергдесг» ^тс госЬт:.дгс;»ч!<. СЮ' у. ■<■01 сохраняются и для Р & 1 . если К ».г-

г

заменить на К, р)С- .

Пусть ('т- интерполяционны?: функтор Я.Петре. В.В.Бел-лет /1980 - 83 г.г./ показал, что если о , О < & и. г

е>. в$ . ТО

2 этом равенстве пространство ВЛ10/5 , вообще говоря, нельзя пленить на Сд .Действительно, если Б >1 . то (С/) , ^ > однако ф. С^ при и с (0,1) .Б теореме 1£.1,'в

частности, указан случай, когда в (37) пространство ВМС А

>,<с~но заменить на С д .

15.1. Теорема. Пусть Б > 1 , О ¿-9 <£ уЫ ** 6? £ > 1 .

Тогда

Рациональные и кусочно-полиномиальные приближения являются нелинейными. Поэтому следует ожидать, что меяду ними существует определенная связь. На это неоднократно указывали Ю.А.Брудный, Я.Петре, В.Л.Попоб и другие математики. Следующие теоремы 16.1 к 16.2 показывают, что эта связь наиболее ярко проявляется б случае и р -аппроксимации при í ^ р * °° .

Пусть к с. ЛИ , 5 £ Л/ и функция У определена на £а , /х . Говорим, что '«¿о £ « еслк существует разбиение

<-отрезка С Л, ¿2 такое, что при всех К , > функция V на (Хк , Х.*^) совпада-

ет с некоторым полиномом степени не выше Б-1 . Пусть X означает пространство или ССч, • Для полазаем Е X) ~ Ш] , а при £

= ЬЦМ-Шх •• V с п? С«, О/

:б.Г. Теорем а. Пусть I & а (Г) . { - ? - --, 5 - натуральные оисла н (5~ - (■

16.2. Теорема. Пусть £ £ Ь р (£) , р и уз - положительные числа, а, -я пин- (1,р) , К- и 5 - натуральны? числа, причем .•£..> 5 . Тогда

Георема 16.1 для 5-1 и /о»»® получена В.А.Яопозкм /15?4 год/', а го асех остальных случаях нами /1980 - 86 г.г./. Теорема 16.2 получена нами з 1566 году; для 1 она получена

неэазчскмо П.П.Петруленкм в 1987 году.

Теорема 4.3 и следутая теорема 16.9 показывают, что в качестве удобной характеристики для наилучших рациональных приближений можно взять Ьр -модули изменения.

16.9. Теорема. Пусть О р <. , и 5 ■

Тогда для имеет место неравенство

Глава 5 диссертации посвяшена изучении скорости рациональной аппроксимации некоторых классов функций с заданными дифференциальными свойствами.

Теорема 16.9 не тлеет места для р = <*> . Например, условие

со,1 •= О (С) означает, что / есть функция ограни-

ченной вариации. Однако, ухе для абсолютно непрерывных .функций (как отмечалось вкге), наилучшие рациональные приближения могут стремиться к нулю как угодно медленно. Для получения аналога т-з-оре'гы 15.3 з случае р»«*> в качестве дополнительно!! характеристики функции мы берем модуль гладкости.

17.1. Теорем а.-. Пусть , 3<=// , ^•) =

(',1) « ГО « Г', О - '«аул глухости порядка ? функции 4- • Тогда при .тюбом ,4.^-5

Я, ((,С) Г ± (± ±\)1

Из теоремы 17.1 можно получить аналог теоремы 16.2 для р = ио . Теорема 17.1 в общем зеде получена нами в 1987 году. Для 5= I она была получена нами еше в 1978 году; незазисимо и б другой форме также для $-1 она была получена П.П.Петрушевым в 1277 году. Этому предшествовали результаты Г.пройда /1966 г./, А.А. абдугаппарова - Е.П.Должечко /1966 г./ и А.Д.Буланова /1975 г./ по рациональным приближениям функций ограниченной вариации. При исследовании точности теоремы 17.1 особое внимание уделено случав и — 1 .3 частности, рассматриваются аппроксимации функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций с заданном модулем непрерывности.

Ь следующей теореме 15.1 дается обооиениз утверждения 13.4. ¿imsh.ho, для неотрицательной суммируемой функции Л на г , ы>о и мы вводш класс /£/(Д). По определению функция / из

С (Т) принадлежит /{/¡(Я.) » ес:™ для любого отрезка , Г> заполняется неравенство

д

Например, если Л -Спь^Ь , то //$ (Я) совпадает с классическим пространством ; если £ с /4С(Г) , тс ^ & А/^(¡{'I функция ОС ГЭС / принадлежит / / ~ 1 + ) 1ТРИ всех и >0 •

19.1. Теорема. Если / С А/^СЛ) V, J й. L ¿с*¿ ,

то при люб од! Я >5 справедливо неравенство

< ^ . . '.

Для формулировки следующих теорем 20.1 и 20.2, через V(X ) обозначим множество функций £ , определенных на I , имевших ог'ран'лчекнос полное изменение; Ф(- полное изменение £ .

V- ( I) для обозначаем множество 5-кх первеоб-

У^ь. $ из У(1).

о 6/1/ и (е. '/,(1) , то

Е*.|а{,СЩ * Ср/

о с у а. '¿ели

< Г)

е.1

Г.0.2. Т о р с ы а. Если С<£, I/ [I) , то при лрСоу О х. р ^ от справедливо неравенство

г).

ОС!

20.3. Т е о Р е м а. Пусть £ /'/\ О } \ О,^ ^ Г, -погледоэагел'-ность чисел, удовлетворяющих условиям: ЪО Ксе ИК к 21 £ (к^СЬс)*'***' ТоГД£ существует функция ^

класса С^^^Т) такая, что при всех р & (о} «о_7 справедливы неравенства

Кз теоремы 20.1 следуют, в частности, результаты В.а.Попова I ./ и Л.П.Петрушева /1972 г./, согласно котеркм для

14 (I) имеем соответственно * И'$'1' 1')

при К-?." и О = при И.-*»® . Указанный

результат 3.Л.Попова следует такке из теоремы 19.1.

Закдкчктйльная шестая глгра диссертации посвящена обобщению результатов глав 2 к 3. Именно, описание мнокества функций с заданной скоростью наклучпих рациональных приближений мы ег-язкваек о лсэкокностью представления зтюс функций потенциалом. Кож от некоторой меры. Для понижения основных результатов дашой гдлва -теорем 21. Г - 21.3 необходимо ввести некоторые обозначен»!!-- и по-

•!5ггяп.

Пусть К. - континуум £" С и /Ч - комплексная бегелепг-г.ал икра п « удовлетзоряютл у'^от«®

:-дс р; /У) - оек.-;!Щоро рооето«ике- мез«г V А/ ' к::' С • Чсрг? /Ц*) , Я £ , обознлч!-

¿тг-:-! .

С^ССГП'.'.'.'И /М >'

у поючи'а.г К.'—

»/ í ( ¿fifí)

Зафиксируем некоторое разбиение области на односвкз-

ные области <2 к. ( К* í, íj ••* } с кусочно гладкой границей, удовлетворявшие условиям:

(а) - £ j

(б) и QK

K-í * '

(в) ~ 4 при к -ф

(г) существует постоянные и { ± ) такие, что при лвбом tí •4- К«*

Qk) * <¡*(QK) ±¿Ш оа-^СКА),

r\K dio (В) к d.(E) - внутренний и внешний диаметры мно-ксства £ ;

(д) существуют постоянные и О-ц ( ° -такие, что при любом Je'í к ^

Для меры м в С\Ц , удовлетворяющей условию (33), и р ^ ( ¿ ^ ¿o J полагаем

г, - (ка., w)^ ^ f«- V..).

Через Л обозначаем множество невоврастаяцих функций Л Л : L Í (°> е°) » таких, что ¿ ¿ •

JE,_ , S-S -f^ ■

~ ¿Ti J^-J a:*-»

Ер = Ер (.&) , » - .пространство В.Л.

Смирнова функций ^ , аналитических в односзязнсй области Q .

Спрямляемую кривую Р о $2 называем регулярной, если существует постоянная С такая, что для лло'сго i>0 и любого круга радиуса Т, длина части кривой f . г.опавией з этот круг, не презшает С .

„ Г - —

Если lu-ibfit-t - оесконечно малая неотрицательная последовательность, то через {&.£ JhTi обозначаем -?-э перестань?.-:у з невозраставщем порядке.

21.1. Теорема. Пусть tr - одкосвягная область, огрс.-глченная замкнутей регулярной кривей, i р г.»» , 2 С'*}

а ¿«И . Тогда kyi-^lBp) -iOO | W ч

только з тем случае, когда существует мера р з С \ Q

что / -fi ^ C^t л %.*(?,/*) & Яг-^Ми) ■

21.2. Теорем а. Пусть Г - простая регул- ;.:• • • сиаап.

i^p^- , з .U/1 . Тогда (1,1?)

£ 2.(vi) V». fe/V з тем и только з том случае, когда существует мера в С\ Г такая, что 4 ~

T^OV«) ^«-"^ЛЛО f«.«^,

3 следующей теореме полагаем £ С^) ^ & (К / ,

где К- - множество внутренних точек континуума jC . Причем, если ¡С ф , то Сд (К С ) . Под континуумом Ja-бера подразумевается континуум с ограниченным оператором ¿ас.;ра. В частности, области с достаточно гладкой кривой (например, ля-пунсйсксй) и континуумы с ограниченным Брашением являются кенги-нуглами Шабера.

21.3. Т е о р е м а. Пусть ^ - континуум iaCepa,

и ЛеД . Тогда ß)t-t(£C) 5 &'1Л(Н-) V)te/1/ в тем и только я том случае, когда существует мера /< з такая, что / = и ±

Основные результаты диссертации опуоликозаны в работах:

I.Пекарский A.A. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданными модулем непрерывности я модулем измене:-;'¡л // П'пз. АН БССР. Сер. фаз.-чат. н. - 1973. - Ъ. - С. 24 - 39.

2. Пекарский A.A. Рациональная аппроксимация сингулярных функций. // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1980. - $ 3. - С. 32-40.

3. Пекарский A.A. Оценки высших производных рациональных функций и их приложения И Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1950. -» 5. - С. 21 - 29.

4. Пекарский A.A. Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича // Матем. сб. -1982. - Т. 117. - С. 114 - 130.

5. Пекарский A.A. Оценки производной интеграла типа Коти с меро-морфной плотностью и их приложения // Матем. заметки. - 1982. - Т. 31. - * 3. - С. 389 - 402.

6. Пекарский A.A. Неравенства типа Еернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональней аппроксимации // Матем. сб. - 1964. Т. 124. - Ъ 4. - С. 571 - ¿¿8.

7. Пекарский A.A. Классы аналитических функций, определяемые наилучшими рациональными приближениями в Нр // Матем. сб. -1985. - Т. 127. » I. - С. 3 - 20.

8. Пекарский A.A. Рациональные приближения выпуклых функций // Матем. заметки. - 1985. - Т. 38. - JP 5. - С. 679 - £9С.

9. Пекарский A.A. Оценки производных рациональных функций в ijp С-1.1Л // Матем, заметки. - IS85. - Т. 39. - $ 3. -С. 388 - 394.

ТО. Пекарский A.A. Соотношения между наилучшими рациональными и кусочно-полиномиальными приближениями // Изо. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1986. - № 5. - С. 36 - 39.

11. Пекарский A.A. Чебызэвские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке // Матем. сб. - 1987. - Т. 133. -,7> I. - С. 86 - 102.

12. Пекарский A.A. Скорость рациональной аппроксимации и" дифференциальные. свойства функций ¡/ЬмЯ^Ц Maik-

13. Пекарский A.A. Наилучшие рациональные приближения б комплексной области // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1989. - Т. 190. -

".' „:п:;еяно в печать Тб.:С.Г990 г.

. ?3 T:ir.jir. 120 экз.