Прямые и обратные задачи для конечных упругих и электроупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВ АРКАДИЙ НИКОЛАЕВИЧ

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ УПРУГИХ И ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена в государственных образовательных учреждениях высшего профессионального образования Донском государственном техническом университете и Ростовском государственном университете.

Научные консультанты: доктор физико-математических наук,

профессор

Белоконь Александр Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Александров Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Селезнев Михаил Георгиевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чебаков Михаил Иванович

Ведущая организация государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный университет, г. Краснодар.

Защита состоится "11" октября 2005 г. в 16-50 часов на заседании диссертационного совета Д 212 208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " 9" сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

г

Боев Н.В.

¿ооб -4

/3970

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модели линейно упругих и электроупругих тел конечных размеров находят широкое применение в исследовании элементов конструкций и приборов при изучении их статического и нестационарного напряженно-деформированного состояния (НДС), модальном и гармоническом анализе. Одним из важнейших направлений науки о материалах и ее технических приложений является создание и исследование электрически активных материалов. Электрически активные материалы составляют основу современной пьезотехники и все более вторгаются в области микро- и наноэлектроники. Промышленные применения этих материалов включают в себя разнообразные типы пьезоэлектрических, пироэлектрических и других преобразователей для гидроакустики, неразрушающего контроля, контроля уровня, параметров движения, защиты помещений и объектов от вторжения, различных элементов медицинской техники и диагностики и т.д. Функционирование пьезоэлектрических устройств, а также их конструирование приводит к задачам определения неравномерных по объему их свойств, в частности пьезомодулей. Важные в настоящей время проблемы мониторинга экологической безопасности функционирования промышленных объектов, опираются на возможность неразрушающего контроля качества соединения элементов конструкций, оценку их ресурса, который связан с появлением в них дефектов сплошности. Одними из возможных математических моделей идентификации граничных полей и внутренних дефектов в телах являются обратные задачи и неклассические краевые задачи теории упругости и электроупругости. Эффективность разработок в этом направлении можно существенно повысить за счет разработки новых методов решения классических и неклассических краевых задач теории

математического моделирования, создания новых программных средств и проведения на их основе широкомасштабных вычислительных экспериментов, заменяющих натурные.

Среди методов решения прямых задач для тел конечных размеров классический метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) и основанный на нем метод граничных элементов (МГЭ) хорошо зарекомендовал себя в задачах изотропной теории упругости. Однако для более сложных сред построение фундаментальных решений сталкивается с определенными трудностями, поэтому построение альтернативных МГИУ, не требующих знания фундаментальных решений, является актуальной задачей. Наряду с МГИУ основой расчета многих реальных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). В настоящее время имеется целый набор зарубежных коне :омплексов,

упругости и электроупругости, использования современных методов

позволяющих производить расчеты связанных полей в упругих телах, однако их полные версии с русскоязычной документацией настолько дорогостоящи, что лицензионное их использование является практически недоступным для широкого круга исследователей. В этой связи создание отечественного специализированного КЭ комплекса по расчетам пьезоэлектрических устройств представляется весьма своевременной и важной задачей. Обратные задачи по определению граничных волновых полей на участках, недоступных для непосредственного их измерения, и обратные геометрические задачи, в которых реконструируется неизвестная внутренняя граница (внутренние дефекты - включения, трещины), непосредственно не могут быть решены с помощью МКЭ. Построение методов решения задач такого класса, в том числе на основе МКЭ, представляет собой актуальную задачу, которой в настоящее время уделяется особое внимание в мировой литературе.

Эти соображения определяет актуальность диссертационной работы, в которой решаются обозначенные проблемы.

Цель работы состоит в разработке (на основе неклассических МГИУ, МКЭ, принципа взаимности) новых методов исследования прямых и обратных задач (фаничных, геометрических и коэффициентных) для упругих и электроупругих тел конечных размеров, а также в разработке алгоритмов и программ реализации этих методов.

Методика исследований основана

на сведении классических и пеклассических краевых задач теории упругости и электроупругости к новым типам ГИУ с помощью преобразования Фурье функций с компактными носителями, анализе характеристических многочленов соответствующих дифференциальных операторов;

на примеиении идей МГЭ и метода регуляризации А.Н. Тихонова при численной реализации систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами;

на проведении асимптотического анализа поведения решений краевых задач в окрестности особых множеств границы;

на применении симметричных алгоритмов при программной реализации МКЭ;

на анализе структуры НДС в окрестности внутренних дефектов и на численном построении в рамках МКЭ ядер интегральных уравнений в обратных граничных и геометрических задач реконструкции трещин;

на применении принципа взаимности в задачах идентификации трещин;

на применении метода линеаризации и итерационных методов при решении нелинейных интегральных уравнений в коэффициентных обратных задачах.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на использовании строгого аппарата математической теории упругости и электроупругости, на корректном сведении исследуемых прямых и обратных задач к интегральным уравнениям и их численном анализе; сравнении результатов модельных задач с построенными аналитическими решениями; сравнении численных результатов с расчетами, проведенными с помощью других методов и вычислительных комплексов. Научная новизна работы определяется:

• разработкой нового варианта неклассического МГИУ для краевых задач с эллиптическими операторами и его численной реализацией для анизогропных упругих и электроупругих тел конечных размеров на основе сочетания МГЭ и методов регуляризации;

• реализацией КЭ алгоритмов, в том числе кластерных, решения статических и динамических задач для составных упругих, элекроупругих и акустических тел в КЭ комплексе ACELAN и решении ряда практических задач;

• разработкой новых методов на основе неклассического МГИУ, МКЭ и принципа взаимности решения обратных граничных и геометрических задач теории упругости и электроупругости для конечных тел, в частности, по реконструкции дефектов (трещин без учета взаимодействия берегов, а также с его учетом) и численной реализацией этих подходов;

• разработкой методов решения обратных коэффициентных задач теории электроупругости об определении координатных зависимостей пьезомодулей для стержневых пьезоэлектрических преобразователей по АЧХ электрического тока и их численной реализацией. Практическая значимость результатов исследования состоит в

создании новых МГИУ решения динамических прямых и обратных задач теории упругости и электроупругости и тестирование их применимости; в программной реализации МКЭ в комплексе АСЕЬАЫ и решении в нем ряда практических задач; в разработке и численной реализации КЭ алгоритмов решения обратных граничных задач; в разработке методов идентификации дефектов в конечных упругих и электроупругих телах, в том числе трещин без учета и с учетом взаимодействия их берегов, а также в решении ряда обратных коэффициентных задач для стержневых пьезоэлектрических преобразователей.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Для эллиптических операторов (анизотропной теории упругости, электроупругости) разработан неклассический метод ГИУ первого рода с гладкими экспоненциальными ядрами, не требующий построения фундаментальных решений.

2. Разработаны методы численного решения полученных систем ПТУ 1-го рода, основанные на идеях МГЭ и методе регуляризации

А.Н.Тихонова. Осуществлена численная реализация предложенного метода ГИУ для решения плоских задач анизотропной теории упругости, электроупругости, составных анизотропных тел.

3. В рамках создания конечноэлементного комплекса ACELAN разработаны алгоритмы построения конечноэлементных объектов и осуществлена их программная реализация для решения задач статического, гармонического, модального и нестационарного анализа для составных упругих, электроупругих и акустических тел. Проведены расчеты ряда задач в ACELAN, результаты которых сравнены с расчетами в ANSYS, методом ГИУ, аналитическими решениями. Разработаны конечные элементы для электроупругих пластин. Разработаны и программно реализованы алгоритмы кластерных вычислений решения задач гармонического анализа в ACELAN.

4. Разработаны методы решения обратных граничных задач анизотропной теории упругости по восстановлению смещений и нагрузок на части границы тела на основе метода ГИУ 1-го рода и конечноэлементного подхода.

5. На основе ГИУ и МКЭ, принципа взаимности разработаны методы реконструкции интерфейсных трещин, трещиноподобных плоскостных дефектов в упругих телах.

6 Построен метод идентификации плоских трещин с учетом взаимодействия берегов; получены система трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости, содержащей трещины и явные формулы для ее внутренних точек.

7. Решены две коэффициентные обратные задачи теории электроупругости о нахождении закона поляризации стержневых цьезопреобразовагелей по АЧХ тока в цепи пьезоэлемента.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "Современные проблемы механики сплошной среды" (г.Ростов-на-Дону, 1995, 1997-2002г.), "Мачемагические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997), "Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании" (Минск, 1997), ."Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1998, 2000, 2004), "Математика в индустрии" (Таганрог, 1998), "Фундаментальные проблемы пьезоэлектрического приборостроения" (Азов, 1998, 1999, Тверь, 2002, Москва 2003), "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", (Украина, Донецк, 1999), "Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis" (Rostov-on-Don, 1999), "VI Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем" (Ростов н/Д. 2001), "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (Ростов-наДону, 2001),

"Математические методы в технике и технологиях-16", (Ростов н/Д. 2003), "Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений" (MPFP) на базе 41 Международного семинара "Актуальные проблемы прочности" (Тамбов, 2003), XXXI-XXXIIl Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (St.Petersburg (Repino), 2003, 2004, 2005), "III Всероссийская конференция по теории упругости с международным участием" (Ростов-на-Дону, 2003), на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-99" (г. Минск 1999), на VIII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-н/Д, 1999), на Восьмом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на I и III Школах-семинарах "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика" (Ростов-на-Дону, 2002, 2004), "International congress on mathematical modeling" (Dubna 2002), Международном Конгрессе "Механика и трибология транспортных систем-2003" (Ростов-на-Дону, 2003), Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций посвященная памяти профессора А.Н. Веспицкого (Нижний Новгород, 2004), XIV 1 Международной научной школе им. - Академика С.А. Христиановича

"Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (Украина, Алушта, 2004), XXI Int. Congr. Theor. And Appl. Mechanics (Warsaw, Poland, 2004), Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (Ростов-на-Дону, 2004), XV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам", посвященная памяти К.И. Бабенко (Дюрсо, 2004), II и III Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы механики > деформируемого твердого тела" (Украина, Донецк, 2003, 2005), V

Российской конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005).

В полном объеме результаты диссертационной работы обсуждались и ' были поддержаны на межкафедральном научном семинаре при

диссертационном совете Д212.058.03 в Донском государственном техническом университете, на научных семинарах кафедр математического моделирования и кафедры теории упругости Ростовского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 82 работы, 17 из них в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций (список основных публикаций приводится в конце автореферата). Часть приведенных в этом списке работ выполнена в соавторстве с коллегами.

В работах [-3], [15], посвященных разработке ГИУ для анизотропных упругих, электроупругих и составных тел, Ватульяну А.О. принадлежит общая идеология получения систем ГИУ, диссертанту принадлежат вывод различных вариантов систем ГИУ, составление программ и проведение расчетов при решении конкретных краевых задач, Ковалеву О.В. принадлежит разработка граничноэлементной реализации на основе аппроксимаций высокого порядка.

В работах [7], [8], [11], посвященных решению обратных граничных задач динамической анизотропной теории упругости, Воровичу И.И. принадлежит общая постановка задач об идентификации нагрузок, Ватульяну А.О. принадлежит сведение исходной задачи к задаче Коши для эллиптического оператора и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежат формулировка систем ГИУ и их исследование на основе сочетания граничноэлементных, конечноэлементных аппроксимаций и метода регуляризации А.Н.Тихонова, а также проведение численных экспериментов.

В работах [23], [27], посвященных решению обратных задач реконструкции интерфейсных дефектов в упругих и электроупругих телах, Ватульяну А.О. принадлежит общая постановка задач и обсуждение результатов, диссертанту принадлежат разработка методов выявления интерфейсных дефектов и их численная реализация на основе ГИУ и МКЭ.

В работах [19], [21], [22], [26], [29], [30], [32], посвященных решению обратных задач реконструкции трещиноподобных дефектов в упругих и теплопроводных телах, Ватульяну А.О. принадлежит построение разрешающих уравнений по определению параметров прямолинейных трещин на основе идей неклассических ГИУ, диссертанту принадлежат введение функционала невзаимности, введение пробных решений и построение на их основе разрешающих уравнений относительно параметров прямолинейных трещин без учета взаимодействия берегов и с его учетом, а также проведенный численный анализ по определению параметров трещин.

В работах [1,2], посвященных определению законов неоднородной поляризации стержневых пьезоэлементов, Ватульяну А.О. принадлежит формулировка разрешающих интегральных уравнений и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежит разработка численных схем решения нелинейных интегральных уравнений и их численная реализация, выбор оптимальных частотных диапазонов, численное решение конкретных задач.

Работы [4]- [6], [9], [10], [13], [14], [17], [20], [24], [28], [31] посвящены проблемам, связанным с разработкой КЭ комплекса АСЕЬАЫ, в них диссертанту принадлежит разработка и программная реализация "решателей" комплекса, обсуждение принципов разработки оболочки, визуализации результатов и интерфейса между "решателями" и оболочкой,

руководство программной реализацией всего комплекса, а также проведенные расчеты в ACELAN для конкретных задач статического, гармонического, модального и нестационарного анализа составных упругих, электроупругих конструкций, в том числе, нагруженных на акустические среды; разработка алгоритмов распределенных вычислений, их программная реализация и проведение расчетов в задачах об установившихся колебаниях, в частности, построения АЧХ в задаче о колебании многослойного контейнера при нарушении его сплошности.

Структура и объем работы. Диссертационная pa6oia состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 359 наименований и приложения общим объемом 296 страниц машинописною текста.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ, коды проектов 97-01-00633а, 00-01-00545ö, 02-01-01124а, 03-07-90411«, 05-01-00734а, 05-01 -00690а.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Здесь приводится краткий обзор литературы по научной тематике диссертационной работы, излагаются основные результаты работы, которые выносятся на защиту, а также приводится разделение результатов, принадлежащих автору диссертационной работы и другим соавторам в совместных публикациях.

Основными научными направлениями диссертационной работы являются разработка методов решения прямых задач теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров - неклассические ГИУ и реализация МКЭ в комплексе ACELAN; разработка методов решения обратных граничных задач теории упругости и обратных геометрических задач по реконструкции тренщноподобных дефектов в упругих и электроупругих телах на основе неклассических ГИУ, МКЭ и их сочетания, а также решение обратных коэффициентных задач электроупругости по определению законов поляризации стержневых пьезоэлементов. Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесен ведущими российскими и зарубежными исследователями -Б.Л. Абрамяном, O.K. Аксентян, В.М. Александровым, А.Е. Андрейкивым, В.А. Бабешко, A.B. Белоконем, Ю.И. Бобровицким, Н.В. Боевым,

B.Г. Борисковским, А.О. Ватульяном, Л.П. Вовком, И.И. Воровичем, И.П. Гетманом, Е.В. Глушковым, Н.В. Глушковой, В.Т. Гринченко, Р.В. Гольдштейном, A.M. Денисовым, В.В. Зозулей, A.A. Ерофеевым,

C.А. Ерофеевым, Р.-Й.Ю. Кажисом, В.В. Калинчуком, С.А. Калоеровым, Г.С.Китом, В.А.Козловым, A.C.Космодамианским, Ю.А.Крамаровым, Б.А. Кудрявцевым, В.Д. Купрадзс, A.A. Ляпиным, В.Г. Мазьей, Л.Ю. Мажейкой, A.B. Манжировым, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозовым, A.B. Наседкиным, В.З. Партоном, А.К. Прейссом, О.Д. Пряхиной, H.H. Рогачевой, В.Г. Романовым, М.Г. Селезневым, В.М. Сеймовым,

A.C. Скалиухом, Б.И. Сметаниным, Б.В. Соболем, В.И. Сторожевым, М.А. Сумбатяном, А.Н. Тихоновым, А Ф. Улитко, Ю.А. Устиновым, A.B. Фоминым, М.И. Чебаковым, Г.П. Черепановым, Г.А. Шинкаренко, Е.И. Шифриным, Н.А Шульгой, И.Ю. Цвелодубом, В.Г. Яхно, К. Бреббиа,

A. Джорджем, Д. Колтоном, Р. Крессом, Дж. Лю, У. Мезоном,

B. Новацким, М. Секуловичем, A.B. Abda, J.D Achenbach, H. Andra, S. Andrieux, T. Bannour, M. Bonnet, H.D. Bui, A.H.-D. Cheng, D.T.Cheng, M. Eller, R. Gallego, M. Ikehata, M. Jaoua, H.H. Hilton, R. Holland, S.E.S Karlson, K. Kobayashi, S. Kubo, D. Lesnic, S.F. Ling, J. Mackerle, L. Marin, R.D. Mindlin, G. Rus, E. Schnack, M. Tanaka, H.F. Tiersten, J.R. Vinson, W. Weikl, S. Yi, M. Ying и другими авторами.

Глава I. Приводятся постановки основных прямых динамических краевых задач линейной теории упругости и линейной теории электроупругости для тел конечных размеров.

В настоящей главе для решения краевых задач теории упругости и электроупругости в случае установившихся колебаний предлагается альтернативный метод ГИУ первого рода с гладкими ядрами. Этот подход, основанный на предложенном В.А. Бабешко (Доклады АН 1985. Т. 284 № 1) в изотропной теории упругости способе формулировке систем ГИУ и далее обобщенный на анизотропный случай А.О. Ватульяном (Доклады РАН. 1993. Т. 333. № 3), базируется не на фундаментальных и сингулярных решениях, а на анализе характеристического многочлена оператора электроупругости. Произведен детальный анализ характеристического многочлена и па его основе сформулирован комплексный вариант системы ГИУ первого рода.

Пусть V с R", п = 2,3 - ограниченная односвязная область, звездная относительно некоторого шара, с кусочно-гладкой границей S. В области V рассматривается краевая задача для эллиптического оператора с постоянными коэффициентами:

L4¡U, = (аут1дтд1 +k\&q,)»j =0' С"»)

q,j = \,...,N, т,1 - , aq/ml,k,Xq sR S = SuuS, S = SuvS„ uq |Su = «J, tq= Мщи) |,Vr = avlmnlbmuJ = p°q (1.2)

n¡ - компоненты вектора внешней единичной нормали к поверхности S.

К краевой задаче (1.1)-(1.2) применяется преобразование Фурье с параметром а и находятся Uj (а) - образы Фурье неизвестных и/

К,(«,*) = ^(n^-ia^V,^-^

Po\aik) s

где pjq(a,k), р0(а,к) - алгебраические дополнения и детерминант

(характеристический многочлен) матрицы А = ((А ))

ЛС =аит1ата1 Через а^фД), « = 1,2,...,2ЛГ,

Р = (а1,а2,--,«л'-1) обозначаются многообразия нулей

характеристического многочлена.

Опираясь на свойства аналитичности образов Фурье функций, заданных на компактных носителях, показывается, что в случае различных многообразий ат(РД) краевая задача (1.1)-(1.2) эквивалентна системе операторных соотношений рХч (р, <х„ (р, к), к)¥ч (р, а„, (р, к), к) = 0 , р е С"~\ в = 1,2,...Д^ (1.3) В соответствии с краевыми условиями (1.2), на границе неизвестными являются ид, а на 5„ - . Для этих неизвестных формулируется система ГИУ

¡К® (р, х) tJ {х)с!5х - \р, *) к, {х)Ях ='Ог (Р) (1.4)

ре С"1, * = 1,2,...,2ЛГ где К™ф,х) = рХд®,ат®,к)Л)е,{а'х\

СДР) = \к1?($,х)и*{х)с1Бх -

5„ Я,

В качестве способа решения системы ГИУ (1.4) предлагается использовать идеи МГЭ, при этом граница аппроксимируется плоскими граничными элементами (отрезками прямых - в двумерном случае) на которых неизвестные ид и раскладываются по соответствующим

функциям форм (в частности, использовалось кусочно-постоянные и линейные формы). Разрешающие СИЛУ формируются с помощью поточечного удовлетворения равенств в соотношениях (1.4), один из вариантов выбора этих точек соответствует р е Я"-1 и приводит к плохо обусловленным системам. В качестве регуляризующего алгоритма при решении СЛАУ применен метод А.Н. Тихонова.

Численная реализация и сравнения с имеющимися точными решениями и решениями, полученными другими методами (МКЭ), проведены для антиплоских и плоских задач изотропной и анизотропной теории упругости и электроупругости для различных областей (круг, круговой сектор, прямоугольник, кольцевой сектор, эллипс и др.) В проведенных численных экспериментах исследовался вопрос численной сходимости метода в зависимости от числа граничных эелементов, как в задачах нахождения граничных волновых полей, так и в задачах определения резонансных частот. Изучен вопрос об эффективности использования аппроксимаций более высокого порядка (по сравнению с

кусочно-постоянной и кусочно-линейной) границы области и неизвестных функций. Численные эксперименты показали, что наиболее рациональными являются линейные элементы с кусочно-постоянной или кусочно-линейной аппроксимацией неизвестных. Однако при решении задач с "собственно" смешанными граничными условиями (например, в электроупругости, когда одна из плоских граней частично электродирована), более эффективно использование структурных аппроксимаций неизвестных, учитывающих их асимптотическое поведение в окрестности особых точек границы. Важным моментом в численной реализации метода является выбор точек коллокации Рр.

Оказалось, что рационально располагать их в а выбор этих точек на некоторых замкнутых многообразиях приводит к варианту этого метода, предложенного А.О. Ватульяном для анизотропной теории упругости (ссылку см. выше).

Так на рис. 1.1 представлены результаты нахождения безразмерных граничных значений напряжений в антиплоской задаче изотропной теории упругости в секторе кольца (рис. 1.1а - область АВСЛ, торцы АО и ВС закреплены, на дугах АВ и ВС задано перемещение, изменяющееся по синусоидальному закону с единичной амплитудой, безразмерная частота колебаний равна 9). На рис. 1.16 изображено решение на границе АВ, рис. 1.1 в - на СО, рис. 1.1 г - на йА. При этом сплошная кривая соответствует точному решению, кривая с темными кружочками - решению, найденному численно на основе неклассического варианта МГЭ и метода регуляризации А.Н.Тихонова (линейные граничные элементы с кусочно-постоянной аппроксимацией, на АВ -- 16 элементов, на остальных границах по 10, параметр регуляризации б0.2х10- , и г - полярные координаты с полюсом в точке (1;1)).

Рис. 1.1а. Рис. 1.16. Рис. 1.1в. Рис. 1.1г.

На рис. 1.2 представлены результаты решения (в безразмерном виде) задачи для квадрата из пьезокерамики PZT-4 {(х, ,х3) е [0,1] х [0,1]} на боковых сторонах, которого заданы условия гладкого контакта, а колебания возбуждаются разностью потенциалов на электродах, расположенных на верхней и нижней сторонах. На рис. 1.2а. представлены

комплексные многообразия а3 корней характеристического уравнения для действительных значений а,. На рис. 1.26 - графики смещений и нормальной компоненты вектора электрической индукции на стороне х3 = 0, кривая с номером 1 соответствует м, (х1,0), кривая 2 - и3 (л;, ,0) и кривая 3 - £>3(х,,0) На рис.1.2в для стороны х1 = 1 изображены графики смещения м3 (1, х3) - кривая 1, нормального напряжения стп(1,х3) -кривая 2 и электрического потенциала ф(1, зс3) - кривая 3, причем, на этих рисунках сплошными линиями отмечены точные решения; темными кружочками и прерывистыми линиями решение при 10 граничных элементах на каждой стороне. Также отмечается хорошее совпадение результатов численных расчетов ряда задач с аналогичными расчетами, проведенными по МКЭ в пакс1с АСЕЬАМ

Метод ГИУ первого рода распространен на кусочно-однородные анизотропные упругие тела. Рассмотрены различные способы стыковки однородных составляющих (идеальный контакт, сцепление с расслоением). В этом случае неизвестными в системах ГИУ являются компоненты НДС как на внешней границе тела, так и на внутренних границах. Рассмотрен пример численной реализации для составного анизотропного прямоугольника в случае идеального контакта.

Как отмечалось выше, что для решения задач с собственно смешанными граничными условиями необходимо построение структурных граничных элементов, учитывающих поведение решения в окрестности нерегулярной границы. С этой целью здесь же строится асимптотическое решение плоской задачи теории электроупругости в окрестности нерегулярной точки границы (угловая точка и точка смены типа граничных условий). Рассматривается численный пример определения показателя степени в асимптотическом решении для трех типов граничных условий, наиболее часто встречающихся на практике. Так, если начало координат Ох1х3 выбрано в угловой точке, а смещения м1(х1>*з)> из(х1>хз) и электрический потенциал ф(х,, х3) искать в виде

о 0.2 0.4 0.6 0.8 X,

Рис. 1.26.

о 0.2 0.4 0.6 0.» х}

Рис. 1.2в.

Рис. 1.2а.

Щ(х1,хг) = А(х1 +У*3)\ щ{х],хг) = В{х\ +УХ3)\

ф(*1 > )= С(х\ + (1.5)

то для А. получено трансцендентное уравнение. В работе исследовано поведение наименьшей действительной положительной части его корней в зависимости от а (2а - угол раствора области) для разных комбинаций граничных условий.

Глава II посвящена разработке некоторых алгоритмов в технологии построения конечно-элементных объектов и их программной реализации в специализированном КЭ комплексе АСЕЬАЫ, который в течение последних лет разрабатывается коллективом кафедры математического моделирования РГУ под руководством А.В Белоконя. Комплекс АСЕЬАЫ предназначен для расчета пьезоэлектрических устройств, нагруженных на акустические среды. Математической моделью работы таких устройств являются динамические задачи для составных упругих, электроупругих и акустических сред.

Постановки краевых задач в этой главе отличаются от постановок главы I добавлением уравнений движения акустических сред (относительно давления р и потенциала скоростей а также учетом демпфирования в электроупругих средах по методике, разработанной А.В. Наседкиным.

В настоящее время в АСЕЬАЫ возможно проведение статического, гармонического и модального анализа, а также решение задач нестационарного анализа для составных упругих электроупругих и акустических тел в плоской и осесимметричной постановке и некоторые виды анализа для тел обобщенной цилиндрической формы.

Отмечается, что комплекс АСЕЬАМ, как и большинство подобных программных продуктов имеет три основных блока: препроцессор, решатели и постпроцессор, которые встроены в управляющую оболочку. Собственные разработки автора диссертационной работы в этой работе заключаются в разработке алгоритмов и программной реализации "решателей" (разработка и программная реализация - формата входных и выходных данных решателей, алгоритма машинного представления графа геометрической модели и графа узловых неизвестных, алгоритма перенумерации узловых неизвестных на основе обратного алгоритма Катхилла-Макки, алгоритмов символической сборки матриц жесткости, масс, демпфирования и ансамблирований этих матриц, программных алгоритмов учета главных и естественных граничных условий, алгоритмов преобразования разреженных матриц и решение разреженных СЛАУ, программных алгоритмов решения задач на собственные значения, программных алгоритмов решения нестационарных задач, кластерных алгоритмов решения задач об установившихся колебаниях) Кроме этою автором работы осуществляется руководство программной реализацией всего комплекса АСЕЬАЫ

Здесь же разрабошны конечные элементы двухслойных пьезокерамических пластин.

13 последней части этой главы приведены алгоритмы кластерных вычислений в задачах об установившихся колебаниях составных упругих, электроупругих и акустических тел, осуществляется их реализация и приводятся результаты расчетов на компьютерном кластере задачи о многослойном контейнере с нарушением сплошности.

Также здесь приводятся результаты по решению ряда модельных и практических задач, проведенные автором работы в ЛСЕЬАМ, с целью тестирования комплекса (сравнения с точными, аналитическими решениями и решениями, полученными в других КЭ пакетах) и в исследовательских целях. Комплекс АСЕЬАК используется в последующих главах в качестве основного инструмента в решении прямых и обратных задач.

Глава ГП посвящена разработке методов решения обратных граничных задач при колебаниях упругих и вязкоупругих тел. Эти задачи моделируют ситуацию, когда часть границы тела недоступна для измерения граничных волновых полей и для их определения на другой части границы, например, на части, свободной от напряжений, измеряются компоненты вектора смещений. На основе результатов главы I построены системы ГИУ относительно неизвестных граничных волновых полей. Также на основе МКЭ построены алгоритмы по определению этих полей.

Рассматриваются установившиеся колебания упругого тела, занимающего область V, ограниченную поверхностью 5=5/ 1)52 и5^ (причем части Л=1,2,3 не пересекаются). Пусть поверхность 5/ доступна для измерения смещений, и на ней известен вектор напряжений (например, свободная поверхность). На поверхности задан один из возможных для классических краевых задач теории упругости тип граничных условий (например, задан вектор напряжений). На поверхности ни тип граничных условий, ни значения граничных нолей неизвестны. Такая задача описывается системой уравнений

а^=с1]к1ик<], / = 1,2,3 (3.1)

и граничными условиями:

«¿15, = и.о. = Ы82 = р$ (3.2)

на 5з условия не заданы.

Показывается, что неклассическая краевая задача (3.1)-(3.2) может быть сведена к задаче Коши для оператора теории упругости, при этом условием существования ее решения является согласованность (когерентность) граничных полей смещений и напряжений на 5г и имеет место теорема единственности.

Нсклассическая краевая задача (3.1)-(3 2) с помощью метода главы I сводится к системе ГИУ относительно неизвестных граничных полей (в пространственном случае п = 3, N — 3, в плоском п — 2, N = 2)

1К^ф,х)(у(х)с18х- ¡К(»ф,х)иу(х)с15х = Н,ф) (3.3)

где ЯДР) = ^(Э,*)« 0- \К^ф,х)1%\х)с13х ,

ядра (Р,х), К{^]ф,х) такие же, как и в (1.4); при этом следует положить ацт1 - сцЫ, к2 =<а2, =р.

Система операторных уравнений (3.3) представляет собой уравнения Фредгольма первого рода с гладкими ядрами, как и в главе I, соответствующий оператор является вполне непрерывным и его обращение требует регуляризации.

Численная реализация, основанная на идеях МГЭ и регуляризации А.Н. Тихонова, осуществлена для плоских задач анизотропной теории упругости для прямоугольных, круговых и эллиптических областей. Следует отметить, что на практике измерить смещение на границе 5/ возможно лишь в конечном наборе точек. В численных экспериментах изучается влияние па точность восстановления граничных полей и их интегральных характеристик (главный вектор, главный момент) различных параметров, среди них: число точек измерения, число ГЭ в аппроксимации решения, случайная погрешность измерений, относительные размеры областей измерений и восстановления, расположение области измерений, частота колебаний и др.

Так, на рис.3.1. представлены результаты восстановления полей смещений и напряжений на одной стороне орторопного квадрата, решение в котором выбрано в виде плоской волны. На рис. 3.1а представлены графики функций (х, ,0), м3 (Х) ,0) на границе х3=0 (кривые 1, 2),

светлыми точками соответствуют значениям, восстановленным численно. На рис. 3.16 представлены аналогичные зависимости для а,з (.*,,()), <733(х1,0) (кривые 1, 2). Расчеты производились при разбиении границы на 20 элементов. Результаты расчетов показывают достаточную точность (погрешность менее 10%) восстанавливаемых полей в рассмотренной задаче в диапазоне изменения безразмерной частоты от 0,1 до 5. На рис 3.2 представлены результаты (аналогичные рис. 3.1а) восстановления полей смещений в задаче для эллиптической области при отношении полуосей 5:3, при этом центральный угол, характеризующий границу Яз, составляет 5п /8.

Рис. 3.3.

г \

1а»«»ючявкг Я ш Ж 371 * * 4« > _

N 4 Г2 2 4 т

Рис. 3.4.

Рис 3.3 и 3.4 показывают зависимости погрешностей восстановления смещений и напряжений (кривые 1 и 2) в зависимости от числа ГЭ (рис. 3 3 слева), размера восстанавливаемой области (центрального угла) (рис. 3.3 справа), числа точек измерения (рис. 3.4 слева), размера области измерения (рис. 3.4 в центре), случайных ошибок (х 10т) входных данных (рис. 3. справа). Из анализа проведенных численных экспериментов следует, что смещения восстанавливаются несколько точнее напряжений, что существует некоторый наиболее рациональный размер порядка систем, что в рассматриваемой задаче восстановление происходит достаточно точно, если размер области измерений в три раза превышает размер области восстановления, что увеличение числа точек измерений лишь до определенного предела увеличивает точность восстановления.

Для изучения влияния диссипации на процедуру восстановления были рассмотрены неклассические краевые задачи теории вязкоупругости в рамках теории комплексных модулей. В проведенных в такой постановке расчетах установлено, что интегральные характеристики восстанавливаемых нагрузок такие, как главный вектор и главный момент восстанавливаются значительно точнее, чем компоненты НДС.

Здесь же на основе описанного в главе II КЭ комплекса разработаны некоторые КЭ алгоритмы решения задач восстановления нагрузок для составных упругих конструкций. Эти методы опираются на решение некоторых вспомогательных краевых задач, состоящих из уравнений (3.1)

и граничных условий

задача I. «,[, = <), к-0,/, = р\ъ) (3.4)

задачаII. ^ = 0, г, = |5з = Л(3) (3.5)

задача III. и, Ц - «,0, 1^ = 0,/, = 0 (3.6)

задача IV. Т^р™, = 0 (3.7)

Вспомогательные задачи являются прямыми краевыми задачами и допускают решение при помощи МКЭ. При этом после разбиения области на конечные элементы возникает естественное разбиение границы на некоторые ГЭ, на которых нагрузки выбираются в виде функций форм /,(*) или сосредоточенных сил в узлах КЭ сетки.

Выбор нагрузки в форме (3.8) приводит к серии задач типа I и II для

каждой пары г ,_/' (при этом Ру =1, если / = /*,_/'= у* и Р^ = 0 для всех

остальных номеров). Однако КЭ модели задач при этом не изменяется, а претерпевают изменения только правые части СЛАУ, что не приводит к большим затратам машинного времени. Решение исходной задачи (3.1)-(3.2) разыскивается в виде;

N N

и = иш + ХС,и] или и = иту + ХСуи|1 (3.9)

7=1 7"1

Неизвестные постоянные С] находятся из функциональных уравнений

"¿С^и^Ь-рЫ-с^п. Ц или Г^СХк^и'-^к (3-10)

при помощи метода регуляризации А.Н. Тихонова.

Численные эксперименты проведены по восстановлению нормальной нагрузки на стороне АВ, при колебаниях составной упругой конструкции рис. 3 5 (белый цвет - железо, серый - алюминий), распределенной по линейному и ступенчатому законам (рис. 3.6. - сплошная кривая).

/77777

Рис. 3.5.

Рис. 3.6.

Эти расчехы иоказали высокую точность восстановления в том случае, когда узлы конечно-элементной сетки выбирались в точках проводимых "измерений".

& '

л

\

Рис. 4.1.

Глава IV. Задачи идентификации дефектов соединения элементов составных конструкций являются важными элементами в системах мониторинга их качества и ресурса. В этих задачах внутренние поверхности - S3 (рис. 4.1), содержащие дефекты S± сплошности (включения, трещины) известны, неизвестными являются размеры, а также расположение дефектов. Математические модели реконструкции этих интерфейсных дефектов представляют собой обратные геометрические задачи теории упругости или электроупругости, в которых определяется геометрия дефектов по дополнительной информации на части границы. В главе разработаны два метода решения таких проблем, базирующиеся на анализе НДС в окрестности дефектов. При этом в первом метоле задача решается на основе неклассических краевых задач и методов их решения на основе ГИУ первого рода с гладкими ядрами, построенных в главе III. Если частота колебаний не обусловлена режимом функционирования конструкции, то первым шагом является численный эксперимент по нахождению резонансных частот тела без дефектов, соответствующим модам колебаний интенсивного раскрытия трещин (по отличию вычисленного и измеренного спектра можно сделать вывод о наличии дефектов и их типе). На основе этого анализа выбирается рабочая частота и вид нагрузки

На следующем шаге проводятся измерения векторов смещения и напряжений на границе и решается неклассическая краевая задача для подобластей тела - так, что восстанавливаются внутренние волновые поля смещений и напряжений на внутренних поверхностях вплоть до граничной поверхности £3. Структура этих найденных полей однозначно определяет геометрию области £± и характер дефекта.

Предложенный метод проиллюстрирован на примере реконструкции дефекта в составном прямоугольнике.

Рис. 4.2.

На рис. 4.2. представлены распределение полей смещений и напряжений ((а), (Ь), (с), (с!) - соответствуют щ,щ,а 13,(733) па деформированном виде области (расчеты проведены в АСЕЬЛЫ). На рис. 4 3, 4.4. представлены восстановленные поля на прямой, параллельной линии дефекта вблизи него

/

0,2

0,4

0,6

0,8 1X10

.-2

2

\ /

1

\

0,4

03 1 X 10

Рис.4.3

При этом рис. 4.3 соответствует неподвижному жесткому включению (слева смещения: Щ-кривая 1, Щ -кривая 2; справа напряжения: <Т]з-кривая 1, (?зз -кривая 2), а рис. 4.4. трещине.

V и^ "т"» V»« и и^ и,0

Рис.4.4.

Во втором подходе, в задаче о реконструкции трещин на интерфейсной границе (рис.4.1) с помощью принципа взаимности, применяемого для составного тела без дефектов и для тела У[, получены два интегральных уравнения : первое относительно компонент скачка вектора смещений

Г У; при

' { „О при где X/ — и, ¡^ на границе раздела.

- с,(а г, е о (4.1)

53

* т/ ** тг *

где и,, х е У\ и и1 , х е решение задач для составного тела с

граничными условиями

„(**) I _о Л**) | _„(*% I -о

«!Х = 0, ^¡,1( = а[;\.|,1( = 0 (4.2)

и условий непрерывности на Л3 и) ^ = и] , = ¡^.

Второе уравнение составлено относительно ^ - вектора напряжений на границе раздела

\щ (х, &!1} (£<КХ = Ъ (§) £ б 510 (4.3)

где и1 , х е V], решение задачи о гармонических колебаниях первого тела с граничными условиями

4 = Ъчп! ко = & ^ е (4

а также условиями отсутствия нагрузок на ^ ¡^ = О.

Операторы, стоящие в правых частях уравнений (4.1), (4.3), выражаются через граничные поля, измеренные на и решения

краевых задач для тел без дефектов с краевыми условиями (4.2), (4.3) -соответственно. В частности, вектор напряжений на ^д может быть выбран в виде

й*(х,§) = ^8(х-у, а (х,§) = /> 5(х-|) (4.5) Замечание 1 Уравнение (4.3) получено при условии, что тело ^ может обладать дополнительными свойствами связности полей, например, быть электроупругим.

Замечание 2. Ядра уравнений (4.1), (4.3) могут быть построены численно, в частности, в приведенном ниже примере ядро уравнения (4.3) построено МКЭ в комплексе АСЕЬА>1, описанном во И главе.

1 1

■

Чг- ~ 1 и

4 цц |

Рис.4.5.

0,03 0,04 0,06 4,08 х,

Рис.4.6.

Численная реализация метода проиллюстрирована на реконструкции интерфейсных трещин на основе ГИУ (4.3) в задаче обнаружения нарушения сплошности соединения в полупассивном биморфе, состоящем из двух прямоугольников (рис.4.5 - трещины КЬ и ММ).

На рис.4.6 изображены напряжения (^(х^О) ■ - кривые 1, 2 и

СТ|з(Х[,0).Ю-6 кривые 3, 4, причем кривые 2 и 4 представляют конечно-элементное решение прямой задачи в АСЕЬАМ, а кривые 1, 3 найдены из решения обратной задачи при 40 точках "измерения", расположенных на стороне ВС. Как видно из рисунка 4.6, концы трещин легко идентифицируются по экстремальным значениям напряжений решения обратной задачи.

Глава V. Предложены методы идентификации плоских трещин в анизотропной упругой теплопроводной среде, основанных на

использовании функционала "невзаимности", на нсклассическом методе граничных интегральных уравнений и принципе взаимности для неклассической модели трещин со взаимодействующими берегами. Для определения характеристик носителей трещин (плоскостей, прямых) получены некоторые трансцендентные уравнения и явные формуы.

Рассматриваются установившиеся колебания (с круговой частотой 03) анизотропного тела, занимающего конечную односвязную область V с границей 5, причем гело ослаблено системой трещин

г = иу=1гр(гр=г;иг;) (5.1)

которые моделируются разрезами (свободными от напряжений), расположенными в сечении области V, некоторой поверхностью П. В качестве меры несогласованности между волновыми полями для тела с трещинами и без них введен в рассмотрение линейный функционал

^Си*. <0) = /(V/ ФГ -Ч/ГФ,)Й® (5.2)

в

*

на множестве пробных решений и1, удовлетворяющих уравнениям V * ф

движения в области V без трещин. В (5.2) у,, фг и ц/г-, фг- - компоненты

вектора смещений, вектора напряжений исходной краевой задачи и пробного решения на границе 5 соответственно. Применение теоремы взаимности проводит к ГИУ относительно %г = и[ -и, | - скачков

перемещений на трещинах

^^^(гДш) (5.3)

г+

* I * I

где Ц, = 1г+ " компоненты вектора пробных напряжений на

берегах трещин. В случае отсутствия трещин функционал (5 2) тождественно равен нулю, это обстоятельство служит критерием их регистрации. При наличии априорной информации о плоскостном характере трещин (поверхность П - плоскость) выбираются пробные 1 решения в виде плоских волн

и*к-Ак ехр(/оХ3) (5.4)

где Х^ - координата новой системы координат, в которой уравнение плоскости П имеет вид Х^ = с =сопяг. Относительно интегральных скачков I, — Л + Х; с1Б перемещений и параметров плоскости ф, 0, с -углов Эйлера, расстояния от начала координат сформулирована система шести трансцендентных уравнений, из которой могут быть исключены /( В изотропном случае получены два уравнения для углов, после

нахождения которых расстояние до плоскости находится по явным формулам.

Проведены численные эксперименты по идентификации трещин в изотропном и анизотропном квадратах (на рис. 5 1 представлено распределение смещений найденное при решении прямых задач в

АСЕЬАК)

Рис.5.1.

На рис.5.2 представлены зависимости относительных погрешностей восстановления (в процентах) 5д,8с - угла и расстояния (темные кружочки и светлые квадратики) соответственно, в задаче о реконструкции трещины в изотропном квадрате (рис. 5.1 слева) в зависимости от Ь длины

трещины (слева) и случайных ошибок (х 10ш) входных данных (справа).

«,А в п «еА 26

1$ 5

г 0 —а—1 ° о а •

О идь ля 0015 ор "Д * г 4 - - -

т

Рис.5.2.

Колебания упругого тела V с трещинами Г = 1^=] Гр приводит его

локальному разогреву в области трещины, который связан: 1) с взаимодействием берегов трещины (фрикционное и ударное взаимодействие); 2) с диссипативными потерями в окрестности концов трещины (концентрация напряжений). При длительном воздействии (акустическом с частотой (0) тепловой режим можно считать стационарным и в случае относительно небольших трещин рассматривать сплошное теплопроводное тело с источниками тепла, распределенными в окрестности трещины. В этом случае задача реконструкции трещин может быть сведена к определению тепловых источников по температурному портрету на поверхности тела.

*.Ау = -^> и = 1,2,3. хеУ (5.5)

где ]У = IV(х) - неизвестные источники тепла, расположенные на неизвестной внутренней поверхности П. Постановка обратной задачи реконструкции Г предполагает следующие краевые условия на поверхности тела 5

ф = = -Л(© - ©о) и • ©и=Ч> (5-6)

*

Вводится линейный функционал на тепловом поле в для тела V без внутренних тепловых источников

)- ¡(ку@ /п1\\/-®*§)с18 (5.7)

который используется для регистрации трещин.

Применение принципа взаимности приводит к соотношению

=/'(©•) (5.8)

г*

Вводится система пробных решений

= 1» Е, = , £2 = , = Х3, (5.9)

—4 = *33*1*3 — ЬЛ > "5 = ^33Х2Х3 — к23Х3

где кц = а1ра/С)крС1, Х1 = ацх;, ац - компоненты матрицы перехода к

новой системе координат, в которой Х^ — с - уравнение плоскости П, содержащей трещины. Такой выбор системы пробных решений позволяет получить систему шести трансцендентных уравнений относительно шести неизвестных ф, 0, с и I]. /2, /3 (/, = ¡МХ, ¿/5, г = 1,2; 13 = с18,)

Г* Г*

/( = н,, г = 1,2,3; с13 - #4 , к33с1х - к'13с213 = Н5 (5.10) к*33с12 -к23с213 = Н6 , где Я, = F(Z''r_l), / = 1,2,...6 Неизвестные /], /2, /3 входят в эту систему линейно, что позволяет их исключить и для углов ф и 9 получить систему двух тригонометрических уравнений

Н4(к13Н1-к13НА) = Н5Н3 (5.11)

НА{к33Н2 -к23Н^)~ Н6Н3,

при этом расстояние с вычисляется по формуле

с = НА/ Н3 (5.12)

В случае одиночной трещины независимо от нахождения параметров плоскости можно указать координаты (х10,х20,х30) внутренней точки трещины, которая соответствует «центру тяжести» теплового источника

х,0, 1 = 1,2,3 (5.13)

Применяя различные схемы акустического облучения, или меняя частотуСО, по соотношениям (5.13) можно восстановить плоскость П без решения системы (5.11)-(5.12). Рассмотренные численные примеры (для плоского случая) показали высокую эффективность и устойчивость предложенного метода идентификации трещин.

Глава VI. Рассмотрены две задачи по определению закона неравномерной поляризации в рабочих элементах пьезоэлектрических устройств. Неравномерная поляризация возникает в результате действия сильных электрических или тепловых полей в процессе эксплуатации либо на этапе изготовления. В обратных задачах наиболее доступной в эксперименте является информация, снятая с показаний электрических приборов, включенных в электрическую цепь, однако такие постановки приводят, как правило, к нелинейным проблемам.

В первой части рассматривается поперечно поляризованный стержень прямоугольного сечения, противоположные боковые стороны которого электродированы. Пьезомодуль с1гх — с/3, (Х|) определяется по АЧХ тока. ''

Постановка задачи имеет вид

<1 = с_2о-ц + Р^З!^)^. <*иЦ"<У=0» (б-1)

/(/) = -~[\с11х{_хх)<5и(х{,1)с1х, + э^уда а о

В случае установившихся колебаний обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению относительно

/ е[/М, где Л/[0;1] - пространство положительных монотонно убывающих на [0;1] функций, что обусловлено физическими свойствами

А(Л=П//Щ/(л)зиАл-]/(т1)8шП(т1 ■-у)с1г\*тЩс1у = 0 0 о

= Л(П), Пе[П„П2] (6.2) «

а - выражается через АЧХ тока. Показано, что при П е (0, л)

решение (6.2) единственно в II.

Методом линеаризации по схеме Ньютона - Канторовича уравнение ->

(6.2) сводится к линейному уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром

>) + А'(/0)/и /о(У) ~ао+а\У При этом важным этапом решения является выбор а0,а1 в нулевом приближении, которые находятся из условия минимума неквадратичного функционала невязки. После этого искомое первое приближение /\{у) находится из получешюго интегрального уравнения, которое решается методом регуляризации А.Н. Тихонова.

Проведена серия численных экспериментов для различных типов зависимости / = /(>>) - экспоненциального, степенного, ступенчатого Результаты расчетов представлены на рис. 6.1-6.3. Номером 1 на этих рисунках отмечены точные зависимости входной информации (а) и искомой функции (б), номер 2 соответствует нулевому приближению, светлые кружочки - численное решение.

оз 0/> о а а» у

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

С 0,2 Л» ОМ у

Рис. 6.3.

Во второй части главы при продольной поляризации стержня с электродами на торцах находится распределение пьезомодуля с!зз = ¿/33 (х3). Постановка прямой задачи имеет вид

а

33

с (х3)а33 -Р^33(Х3)С, о

стззЦ-о./=0> стзз1/<0-°

533Э33

(6.3)

В случае установившихся колебаний обратная задача сводится к системе нелинейных ишегральных уравнений, относительно искомого распределения /(у) и функции У(у,£1)

У(у,П) = )к(у,1)[/(0-(\-кГ2ти,Пт< )/(у)Г(у,а)с1у=^(П) (6.4) о о

>>е[0,1],

I де функция выражается через АЧХ тока.

Предложена итерационная схема решения системы (6 4). На рис 6.4 изображены (жириые линии) для экспоненциального (справа) и ступенчатого закона распределения искомого пьезомодуля (слева), а линии с номерами 1,2, . - представляют численное решение, соответствующее 1 -ой, 2-ой, ... - итерациям.

Рис. 6.4.

В заключении результаты диссертации представлены в концентрированном виде.

Для прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров получены следующие результаты.

• Для эллиптических операторов разработан неклассический метод ГИУ первого рода с гладкими экспоненциальными ядрами, не требующий построения фундаментальных решений.

• Разработаны методы численного решения полученных систем ГИУ основанные на идеях МГЭ и методе регуляризации Л.Н.Тихонова.

• Разработанный метод ГИУ реализован для задач анизотропной теории упругости, электроупругости, составных упругих тел и осуществлена численная реализация предложенных подходов.

• В рамках создания конечноэлементного комплекса АСЕЬАЫ разработаны алгоритмы построения конечноэлементных объектов и осуществлена их программная реализация в "решателях" задач статического, I армонического, модального и нестационарного анализа для составных упругих, электроупругих и акустических тел. Проведены многочисленные расчеты в АСЕЬА>1, результаты которых сравнивались с расчетами в АЫЯУБ, МГИУ, аналитическими решениями. Разработаны конечные элементы электроупругих пластин. Разработаны и программно реализованы алгоритмы кластерных вычислений решения задач гармонического анализа в АСЕЬАЫ.

Разработанные методы решения прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для теп конечных размеров применены к решению ряда обратных задач Разработаны

методы решения обратных граничных задач, обратных задач теории трещин, коэффициентных обратных задач электроупругости.

• Метод ГИУ первого рода применен к решению обратных граничных задач по восстановлению волновых полей на части границы по известной информации о поле смещений и напряжений на другой части границы упругого тела.

• Разработаны конечноэлементные методы решения обратных граничных задач по восстановлению нагрузок на части границы тела, недоступной для прямых измерений.

• Разработаны методы на основе ГИУ и МКЭ реконструкции интерфейсных трещин, основанные на исследовании внутренних полей смещений и напряжений в окрестности дефектов.

• На основе принципа взаимности разработаны методы идентификации трещиноподобных дефектов в упругих телах; в случае системы плоских трещин сформулирована система трансцендентных уравнений относительно параметров этой плоскости.

• Построена модель, учитывающая взаимодействие берегов трещин на основе локального разогрева и разработан метод идентификации таких трещин, в случае системы плоских трещин получена система трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещинами и получены явные формулы для характеристики трещины в случае изотропного теплопроводного тела.

• Решены две важные с прикладной точки зрения задачи о нахождении закона поляризации стержневых пьезопреобразователей по АЧХ тока в цепи пьезоэлемента.

В приложение вынесены некоторые конечноэлементные объекты прямоугольных КЭ с 12-ю и 16-ю степенями свободы для двухслойных полу пассивных пьезоэлектрических пластин, разработ анных в главе II.

Пользуясь, случаем, автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, проф. А В. Белоконю и проф. А.О. Ватульяну за постоянное внимание и помощь в работе.

Так же автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за успешное сотрудничество и поддержку всем коллегам по разработке комплекса ACELAN и в особенности A.B. Наседкину, В. А. Еремееву, М.И. Карякину, Н.В. Курбатовой, К.А. Надолину, A.C. Скалиуху, О Н. Акопову, Р.В. 1 алкину, А А Никитаеву, А JI. Петушкову.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном способе определения пьезомодуля при неоднородной поляризации стержня // ПМТФ. 1999. 1. 40, №3. С. 204-210.

2. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение закона располяризации пьезоэлемента. ICIM - 98. "Математика в индустрии". Труды Междунар.конф., 29 июня-3 июля, 1998, Таганрог. Таганрог, ТГПИ, 1998. С. 70-71.

3. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений 1-го рода в электроупругости // ПММ. 1999. Т. 63, № 6. С.860-868.

4. Акопов О.Н., Белоконь A.B., Еремеев В.А., Надолин К.А., Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Конечно-элементный пакет ACELAN и статический анализ составных пьезокерамических конструкций. // Механика-99. Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике, 28-30 июня, 1999 г. Минск. Гомель 1999. С. 376.

5. Belokon A.V., Eremeyev V.A., Nasedkin A.V., Soloviev A.N. Block Finite Element schemes for dynamic problems of acousto-electroelasticity. // Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis:Abstracts of the Intemation Conf.,May 24-31, Rostov-on-Don, 1999. P. 8.

6. Белоконь A.B., Еремеев B.A., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач . акустоэлектроупругости //ПММ. 2000. Т. 64. № 3. С. 381-393.

7. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости. // ПММ. 2000. Т. 64, № 3. С. 373-380.

8. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде. // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 4. С. 451-455.

9. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Схемы нестационарного пьезоэлектрического конечно-элементного анализа в пакете ACELAN // Теоретическая и прикладная механика. Вып. 33 С. 45-51.

10 Белоконь A.B., Надолин К.А., Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев

А.Н. Симметричные алгоритмы в конечно-элементном анализе *

сложных пьезоэлектрических устройств // Математическое моделирование, 2001. Т. 13, № 2. С. 51-60.

11. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Граничные обратные задачи в динамической теории упругости и вязкоупругости. // Восьмой " всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов, 23-29 августа 2001, Пермь. С. 146.

12. Соловьев А.Н О некоторых алгоритмах восстановления поля в неоднородных упругих телах. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2001, № 3. С. 29-33.

13. Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьеЗопреобразователей. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 122-125.

14. Белоконь А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // ПММ. 2002. Т. 66, № 3. С. 491-501.

15. Ватульян А.О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии 2002. Т. 7, № 1. С. 54-65.

16. Соловьев А.Н. Обратные граничные задачи теории упругости и их применение в дефектоскопии // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды I Школы-семинара, Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002. г.Ростов-на-Дону: Изд-во "Новая книга", 2002. С. 55-67.

17. Belokon А.V., V.A.Eremeyev, K.A.Nadolin, A.V.Nasedkin, AS.Skaliukh, A.N.Soloviev. Finite element methods and algorithms for actual acoustopiezoelectric problems // M.:"JANUS-K" 5 International congress on mathematical modeling. Book of abstract, V. 1 September 30 - October 6, 2002. Dubna, Moscow Region P. 188.

18. Соловьев А.Н. Идентификация интерфейсной трещины // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 г. Т. 1. Ростов-н/Д: "Новая книга", 2003. С. 163-169.

19. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение ориентации плоских трещин в упругом теле // Теоретическая и прикладная механика. 2003. Вып. 37. С. 141-145.

20. Belokon A.V., Danilenko A.S., Nasedkin A.V., Skaliukh A.S., Soloviev A.N. New finite element models for composite and non-uniform polarization piezoelectric structures./ XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"/ June 22 - July 2, 2003, St.Petersburg (Repino), Russia/ АРМ 2003/ BOOK OF ABSTRACTS/ RAS/HM/GAMM. P.27.

21. Ватульян A.O., Соловьев А.Н. Реконструкция трещин в анизотропной упругой среде. // "Механика и трибология транспортных систем-2003" Сборник докладов Международного Конгресса 10-13 сентября 2003 Ростов-на Дону. РГУПС. Т. 1. С. 184-187.

22. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Идентификация плоских трещин в упругой среде. //Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества (ЧЭС) 2003. №1. С. 23-28.

23. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2003, № 3. С. 20-24.

24. Белоконь А.В., Петушков А.Л., Соловьев А.Н. О реализации кластерных технологий при конечно-элементном моделировании пьезоэлектрических устройств в ACELAN // Пьезотехника-2003.

»16 0 33 2006-4

Межд. научно-пракич. конф. "Фундамент, пробл. пы ~ приборостроения". Москва, 26-29 ноября. 2003г. Сб. да 13970 МИРЭА, 2003. С. 239-240.

25. Соловьев А.Н. Об одном полуявном алгоритме реконструкции интерфейсных трещин //III Всероссийская конференция по теории упругости с международным участием. 13-16 октября 2003г. г. Ростов-на-Дону, г. Азов. Изд. "Новая книга", 2004. С. 345-348.

26. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Принцип взаимности и его применение в задачах неразрушающего контроля. // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, 15-18 ноября 2004. г. Ростов-на-Дону: Изд-во "ЦВВР", 2004. С. 7-21.

27. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об определении дефектов в составном упругом теле. // Дефектоскопия. 2004. Т. № 5. С. 15-23.

28. Belokon A.V., Danilenko A.S., Nasedkin A.V., Skaliukh A.S., Soloviev A.N. New family of finite element models for composite and non-uniform polarization piezoelectric structures // XXI Int. Congr. Theor. And Appl. Mechanics. August 15 - 21, 2004, Warsaw, Poland. CD ROM Proceeding. Warszawa: IPPT PAN, 2004.

29. Ватульян A.O., Соловьев A.H. Обратные задачи теории трещин в твердых телах. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 74-80.

30. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции трещин с взаимодействующими берегами. // Дефектоскопия 2004. Т. № 10. С. 62-69.

31. Васильченко К.Е., Наседкин A.B., Соловьев А. Н. К расчету АЧХ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN // Вычислительные технологии 2005. Т. 10, №1. С. 10-20.

32. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин в анизотропном упругом теле. // ПММ. 2005. Т. 69. № 3. С. 552-561.

ЛР №04779 от 18.05.01 В набор 17.08.05. В печать^ 0Й05.

Объем 2,0 усл.п.л.,'/ ,5 уч.-изд.л. Офсет Бумага тип №3. Формат 60x84/16.

Заказ №321 Тираж 150.

Издательский центр ДГТУ.

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1.

ВВЕДЕНИЕ.

1 МЕТОД ГИУ ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ.

1.0. Основные краевые задачи.

1.1. Сведение краевых задач к системам ГИУ 1-го рода

1.2. Схемы дискретизация системы ГИУ.

1.3. Системы ГИУ 1-го рода для электроупругих тел.

1.4. Примеры реализаций ГИУ.

1.4.1. Антиплоская деформация изотропного тела

1.4.2. Антиплоская деформация ортотропного тела

1.4.3. Плоская деформация ортотропного тела.

1.4.4. Антиплоская деформация электроупругого 55 тела.

1.4.5. Плоская деформация электроупругого тела. 59 1.5.0 поведении решения плоской задачи электроупругости в окрестности нерегулярной границы.

1.5.1. Построение асимптотического решения системы дифференциальных уравнений электроупругости в плоской области.

1.5.2. Пример численного определения показателя особенности решения.

1.6. ГИУ для составных электроупругих, упругих и диэлектрических тел.

2 РЕАЛИЗАЦИЯ В ACELAN МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СОСТАВНЫХ УПРУГИХ,

ЭЛЕКТРОУПРУГИХ И АКУСТИЧЕСКИХ ТЕЛ.

2.1. Постановки задач. Конечноэлементные модели.

2.1.1. Краевые задачи акустоэлекгроупругости

2.1.2. Конечноэлементные модели.

2.1.3. Симметричные формы разрешающих уравнений.

2.2. Алгоритмы построения конечноэлементных объектов и их реализация.

2.2.1. Технология формирования конечноэлементных объектов.

2.2.2. Статический анализ.

2.2.3. Установившиеся колебания.

2.2.4. Нестационарный задачи.

2.2.5. Модальный анализ.

2.3. Конечные элементы для электроупругих пластин

2.3.1. Изгиб электроупругих пластин.

2.3.2. Изгиб биморфа. Потенциальная энергия.

2.3.3. Метод деформации для пластин.

2.4. Алгоритмы параллельных вычислений решения задач 121 об установившихся колебаниях в ACELAN.

2.4.1. Параллельные алгоритмы расчета АЧХ задач 123 об установившихся колебаниях.

2.4.2. Численный пример реализации кластерного 126 алгоритма.

3 ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ 131 ГРАНИЧНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ.

3.1. Постановка краевых задач 4-го рода.

3.2. Сведение к задаче Коши. Теорема единственности

3.3. Сведение к системам ГИУ первого рода.

3.4. Численная реализация систем ГИУ.

3.5. Численные аспекты задачи восстановления полей

3.6. Обратные граничные задачи для сред с диссипацией

3.7. Конечноэлементные алгоритмы решения обратных граничных задач.

3.7.1. Вспомогательные задачи.

3.7.2. Алгоритм решения задачи восстановления

3.7.3. Реализация алгоритмов идентификации на основе МКЭ.

3.7.4. Пример численной реализации.

4 ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ

ИНТЕРФЕЙСНЫХ ДЕФЕКТОВ.

4.1. Идентификация интерфейсных дефектов, применение ГИУ 1-го рода.

4.1.1. Постановка задачи и описание методики решения.

4.1.2. Решение задачи идентификации дефекта для ортотропного прямоугольника.

4.2. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин.

4.2.1. Постановка обратной задачи.

4.2.2. Вспомогательные задачи.

4.2.3. Вывод ГИУ с помощью решения задачи I.

4.2.4. Вывод ГИУ с помощью решения задачи II.

4.2.5. Частотное сканирование и регистрация трещин.

4.2.6. Численный пример реконструкции трещин

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ.

5.1. Модели трещин без взаимодействия берегов.

5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Функционал "невзаимности". Регистрация трещин.

5.1.3. Плоские трещины, выбор пробных решений, определение плоскости с трещинами.

5.1.4. Определение плоскости с трещинами при помощи ГИУ 1-го рода.

5.1.5. Примеры реконструкции трещин в изотропном и ортотропном телах.

5.2. Модели трещин с учетом взаимодействия берегов и тепловыделения.

5.2.1. Формулировка модели.

5.2.2. Регистрация трещин.

5.2.3. Выбор пробных решений, определение плоскости.

5.2.4. Асимптотические соотношения для определения размеров трещины.

5.2.5. Численные эксперименты.

ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ 230 ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ.

6.1. Обратная задача определения пьезомодуля при поперечной поляризации пьезокерамического преобразователя.

6.1.1. Постановка прямой задачи.

6.1.2. Формулировка обратной задачи и сведение ее к нелинейному интегральному уравнению.

6.1.3. Линеаризация, сведение к линейному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с гладким ядром.

6.1.4. Численные эксперименты.

6.2. Обратная задача определения пьезомодуля при продольной поляризации пьезокерамического преобразователя.

6.2.1. Постановка прямой и обратной задач.

6.2.2. Сведение обратной задачи к системе нелинейных интегральных уравнений.

6.2.3. Алгоритм решения системы нелиннейных интегральных уравнений.

6.2.4. Численные эксперименты.

Интерес к расчетам на прочность и колебания составных упругих и электроупругих тел продиктован многочисленными приложениями пьезоэлектрических преобразователей в различных областях. Прямые задачи для составных упругих, электроупругих и акустических тел моделируют функционирование разнообразных пьезоэлектрических устройств, широко применяемых в разных областях науки, техники, медицины и т.д.

Диссертационная работа посвящена разработке методов решения прямых и обратных задач теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров. Работа состоит из двух частей, первая часть включает в себя первую и вторую главы и посвящена разработке и реализации методов решения прямых задач. В качестве методов решения прямых задач в работе развивается метод неклассических граничных интегральных уравнений (ГИУ), а также метод конечных элементов (МКЭ), и в особенности его реализация в специализированном конечноэлементном комплексе ACELAN.

Интересом к разработке неклассических ГИУ, в частности в динамических задачах электроупругости, автор обязан своему научному руководителю кандидатской диссертации, научному консультанту проф. А.В.Бе-локоню и научному консультанту этой работы проф. А.О. Ватульяну. В работах [34]-[36], [164]-[167],[135], [136] авторами метод А.В.Белоконя [19] был обобщен на задачи электроупругости и построены ГИУ для тел ограниченных координатными поверхностями (прямоугольник), однако для тел более сложной формы прямое применение этих методов невозможно. Говоря о методах решения задач электроупругости, разработанных в ростовской школе механики, следует отметить первые в этом направлении работы Ю.А.Устинова и его учеников [131, 100]. Линейная теория электроупругости к настоящему моменту является широко используемой математической моделью с большой степенью адекватности в описании функционирования пьезоэлектрических устройств, в построение этой модели и изучение ее свойств внесли вклад многие отечественные и зарубежные исследователи, среди них: И.И.Ворович, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.П. Гетман, В.Т.Гринченко, В.В.Калинчук, С.А. Кало-еров, Б.А.Кудрявцев, Ж.Можен, А.В.Наседкин, В.Новацкий, В.З.Партон, О.Д.Пряхина, А.Ф.Улитко, Ю.А. Устинов, Г.А. Шинкаренко, Н.А. Шульга, R.Hollahd, Е.Р. Eer Nisse, R.D.Mindlin, H.F.Tiersten и другие. Несмотря на бурное развитие МКЭ, построению методов решения краевых задач, основанных на ГИУ и с дальнейшим применением метода граничных элементов (МГЭ) посвящается много работ в отечественной и мировой литературе. Этот интерес связан с тем, что применение метода ГИУ снижает размерность задачи, что особенно важно при решении трехмерных задач, а также возможностью применения ГИУ в проблемах, где прямое применение МКЭ и других численных методов невозможно.

Математическое моделирование различных явлений и процессов в естествознании во многих случаях приводит к описанию их с помощью краевых задач с эллиптическими операторами. К этому классу операторов относятся операторы Лапласа и Гельмгольца, операторы, описывающие равновесие и установившиеся колебания в анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоупругости и других моделях.

Для большинства краевых задач для этих операторов в случае достаточно сложной геометрии области точное решение построить не удается и возникает проблема эффективного численного анализа задачи. В настоящее время наиболее распространенными являются метод конечных разностей, метод конечных элементов, а также метод ГИУ и основанный на нем метод граничных элементов.

Родоначальником метода ГИУ можно назвать Фредгольма, который впервые свел краевую задачу для оператора Лапласа к интегральному уравнению по границе области, используя понятие фундаментального решения и теоремы о потенциалах простого и двойного слоев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах грузинской школы математиков, возглавляемой В.Д. Купрадзе. В этих работах построены и исследованы системы ГИУ для задач изотропной теории упругости и термоупругости [126, 127]. В 70-х и 80-х годах метод ГИУ в его дискретном варианте — методе граничных элементов (МГЭ - англ. ВЕМ) — стал бурно развиваться в западных странах, был распространен на некоторые классы нелинейных задач на основе метода последовательных приближений. Достаточно полное представление о методике и возможностях этого способа можно найти в монографиях [41, 37, 212]. В этой связи следует отметить замечательную обзорную работу [224], посвященную истории развития МГЭ.

Вывод ГИУ во всех этих случаях опирается на фундаментальные и сингулярные решения соответствующего дифференциального оператора, формулы Грина или Гаусса-Остроградского, основные теоремы, аналогичные теоремам теории потенциала. К сожалению, для многих операторов (анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоэлектроупру-гости) построить фундаментальные решения в явном виде не удается; возможно лишь построение их интегральных представлений, крупным шагом в этом направлении явились работы А.О.Ватульяна и его учеников [62, 51, 341, 61].

Обзоры зарубежных исследований в области построения и использования метод ГИУ, МГЭ и МКЭ можно найти в [225], а также в цикле работ J. Mackerle [285, 286, 287, 288], в частности, работа [286] посвящена сравнительному аналитическому анализу применения МКЭ и МГЭ в различных областях, а также информационным ресурсам и программным комплексам. Некоторый анализ публикаций последних лет, посвященных ГИУ и МГЭ, аос ТОО кл

I 500 I

Ъ 400 I эоо i

200

100 0 iilsiifiiiiiisiiiiiiiHHiliii

Veir

Рис. 1: В показывает, что исследования ведутся в нескольких направлениях: развитие новых вариантов этих методов - слабосингулярные и несингулярные [227, 202| (обзор имеется в [280]), граничные узловые методы (BNM)[344], бессеточныс методы (Meshless или MFree)[252], использование аппроксимаций высокого порядка, в том числе в описании границы [289, 358], сочетание нескольких методов, например МГЭ - МКЭ [328, 245, 243, 299] и другие модификации [343, 265, 255, 299, 346, 354, 306, 338J; многочисленные применения в решении прямых задач для тел с дефектами, включениями, полостями, трещинами, как в статических, так и в динамических постановках, с изучением условий разрушении и движения трещин [236, 290, 328, 345, 276, 235, 326, 249, 231, 355, 349, 316, 192, 319, 237, 313, 354, 268, 213, 241, 289, 356, 351, 238, 357]: применение и развитие для сред с усложненными физическими свойствами - термопьезоэлектрики, функционально неоднородные свойства (FGM), композитные материалы и контактные задачи [229, 228, 235, 304, 326, 327, 315, 249, 283, 318, 317, 282, 281, 356, 291, 324, 314]: применение в различных обратных задачах (обзор будет дан ниже).

Следует отметить (согласно [224]), что общее число публикаций, посвященных тематике ГИУ и МГЭ меньше, чем работ в областях МКЭ (в шесть раз) и конечно разностных методов (в два раз), однако их число продолжает возрастать (пик приходится на 1998, 1999 гг.), как следует из диаграммы, приведенной в той же работе (рис. 1:В). Этот рост связан, как с расширением областей применения, так и с построением новых вариантов методов. Одним из обстоятельств, инициирующих эти построения, является отсутствие явных представлений ядер интегральных операторов в получаемых системах ГИУ, в частности для анизотропных тел при дискретизации этот подход приводит к необходимости вычисления большого количества кратных нерегулярных интегралов, что в значительной степени снижает эффективность МГЭ. Поэтому в последние годы возрос интерес к построению систем неклассических ГИУ без использования фундаментальных решений. В связи с этим следует отметить работы В.А.Бабешко [15, 14], в которых предложен МГИУ с гладкими ядрами и работы А.О.Ватульяна и его учеников [44, 65, 45, 97, 66], в которых этот метод получил дальнейшее развитие. Среди работ этого направления отметим работу М.А.Сумбатяна [179], в которой для уравнения Гельмгольца в плоской области с гладкой границей предложен специальный проекционный метод, сводящий соответствующее ГИУ к корректной бесконечной алгебраической системе. Однако последний вариант этого метода невозможно было применить к операторам с нулевыми компонентами характеристического уравнения (операторы Лапласа, статической теории упругости, электроупругости), и в работах [58, 75, 59, 67, 74, 72, 70] предложена его модификация, в которой возможно решение перечисленных задач. Кроме того, для эллиптических операторов в последнее время ставятся неклассические краевые задачи, в которых по переопределенной информации на части границы требуется определить граничные поля на оставшейся части, их решение основано на сведении краевых задач к системам неклассических ГИУ [49, 78].

Первая глава диссертации посвящена построению неклассических

ГИУ и их численной реализации в краевых задачах с эллиптическими операторами. В п.1.1 рассматриваются конечные области, к дифференциальным уравнениям применяется преобразование Фурье и ГИУ формулируются на основе анализа характеристического многочлена и свойства аналитичности образов Фурье функций с компактными носителями. Следует отметить, что ядра полученных ГИУ являются гладкими функциями, а сами уравнения относятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода. Решение полученных ГИУ сводится к обращению вполне непрерывных операторов, а эта процедура в общем случае является некорректной и требует регуляризации. В п. 1.2 предлагается один из возможных способов решения сформулированных ГИУ на основе идей МГЭ и регуляризации А.Н.Тихонова. В п.1.3 развитая методика применяется к оператору электроупругости и формулируются соответствующая система ГИУ. П.1.4 посвящен некоторым частным реализациям предложенного метода и их численным реализациям для двумерного оператора Гельмгольца, задачам об антиплоских и плоских колебаниях упругого ортотропного и электроупругого тел. В приведенных численных примерах исследуется вопросы сходимости, сравнения с точными решениями и решениями, полученными МКЭ в ACELAN. В п.1.5 предложенная методика распространяется на случай составных упругих тел, рассматривается модельный пример.

Следует отметить, что наиболее универсальным методом решения линейных краевых задач для упругих и пьезоэлектрических твердых тел в настоящее время является МКЭ. Имеются общепризнанные и менее известные программные продукты на его основе, позволяющие производить расчет пьезоэлектрических устройств, среди них можно назвать ANSYS, ATILA, PZFlex, FlexPDE, COSMOS/M, Feapiezo, ACELAN. Интерес автора к проблематике МКЭ и его реализации в программном продукте в первую очередь связан с разработкой специализированного конечноэлементного комплекса ACELAN, которая ведется с 1997 года в РГУ под руководством А.В.Белоконя и А.В.Наседкина. В докторской диссертации А.В.Наседкина [147] можно найти достаточно полный обзор литературы и формулировку континуальных и конечноэлемептных моделей акустотермоэлектроупруго-сти.

Вторая глава работы посвящена реализации в ACELAN МКЭ для составных упругих, электроупругих и акустических тел. В п.2.1 приводятся постановки задач акустоэлектроупругости и их копечноэлементиые модели [147]. В п.2.2 разрабатываются алгоритмы построения копечноэлементных объектов и описывается их реализация в комплексе ACELAN. Рассматриваются статические задачи, задачи модального анализа, гармонического и нестационарного анализа. Приведены результаты расчетов различных составных упругих, электроупругих конструкций, нагруженных на акустические среды, и их сравнений, в которых обнаружено хорошее совпадение с аналогичными результатами, полученными другими методами, в частности, с помощью пакета ANSYS. Расчеты в ACELAN проведены автором, однако при этом использовались результаты коллег по разработке комплекса. В коллектив разработчиков в разное время входили О.Н.Акопов (препроцессор, управляющая оболочка), Р.В.Галкип (трехмерная триангуляция и визуализация), В.А.Еремеев (адаптация программ ARPACK), М.И.Карякин (трехмерная триангуляция), Н.В.Курбатова (подпрограммы учета механических граничных условий контактного типа, документация), К.А.Надолин (модули триангуляции), А.В.Наседкин (постановки задач, ко-нечноэлементные модели, симметричные алгоритмы), А.А.Никитаев (препроцессор, визуализация), A.JI.Петушков (управляющая оболочка, внутренний командный язык, пакетный режим, визуализация), А.С.Скалиух (локальные элементные матрицы жесткости и масс, подпрограммы учета естественных граничных условий и постпроцессора), А.Н.Соловьев (конеч-ноэлементные объекты, "решатели"статических задач, задач модального, гармонического и нестационарного анализа для плоских, осесимметричных и трехмерных составных упругих, электроупругих и акустических тел, обсуждение принципов построение оболочки комплекса, командного языка, препроцессора, постпроцессора и интерфейсов между оболочкой, решателями и модулями постпроцессора, разработка и реализация параллельных алгоритмов, а также руководство программной реализацией всего комплекса). В этой же главе в п.2.3 разработаны прямоугольные 12-ти-и 16-ти узловые конечные элементы для электроупругих пластин.

Современные КЭ пакеты предоставляют пользователю возможность вычислений на компьютерных кластерах. Некоторые разработки в этом направлении осуществлены в комплексе ACELAN. Так в п.2.4 представлены алгоритмы параллельных вычислений при построении АЧХ в задачах гармонического анализа. Получены оценки ускорения этого алгоритма, проведен асимптотический анализ этих оценок. Представлены результаты расчетов, проведенных автором в кластерной версии комплекса ACELAN, установленной на компьютерном кластере, созданном К.Е. Васильченко, в вычислительной лаборатории НИИМ и ПМ им. И.И. Воровича РГУ.

Вторая часть работы, состоящая из глав с третьей по шестую, посвящена постановкам и разработке методов решения обратных задач. Это граничные обратные задачи (глава 3), геометрические обратные задачи реконструкции дефектов в твердых телах (главы 4 и 5), методы применяемые в этих главах в основном опираются на результаты, полученные в первой части работы. Несколько особняком стоит шестая глава в которой решается ряд одномерных обратных коэффициентных задач электроупругости. Результаты этой части работы получены в тесном научном сотрудничестве с проф. А.О.Ватульяном и проводились в рамках выполнения грантов РФФИ. Среди опубликованных в этом направлении работ автору особенно дорога работа [49], выполненная в соавторстве с академиком РАН И.И. Во-ровичем, который в свое время являлся руководителем дипломной работы автора.

В обратных задачах теории упругости [274] (там же можно найти обзор ранних работ) можно выделить некоторые направления:

1) обратные граничные задачи, в которых на части границы восстанавливаются поля смещений и напряжений при известной границе;

2) обратные геометрические задачи, в них восстанавливаются внутренние (включения, полости, трещины) или внешние границы при известном типе граничных условий на них;

3) обратные коэффициентные задачи, в которых находятся свойства однородных или неоднородных тел;

4) всевозможные комбинации предыдущих направлений.

Следует отметить, что во многих подходах успех в решении обратных задач, в особенности по реконструкции дефектов, зависит от построения эффективных способов решения прямых задач с включениями, полостями, трещинами и в особенности с условием контактного взаимодействия их берегов; некоторые подходы в такого рода задачах развиты в [9, 10, 11, 15, 16, 101, 102, 103, 140, 159, 303].

Третья глава посвящена первому из выделенных направлений. В ней изучаются проблемы постановки и решения неклассических краевых задач теории упругости, сходных по постановкам с задачей Коши для эллиптического оператора. Некоторые задачи, возникающие в георазведке, мониторинге энергетических конструкций, требуют знания граничных механических и температурных полей на границах тел, недоступных для прямого их измерения. Задача восстановления поля в упругой среде является весьма важной задачей интенсиметрии, где определение потоков вибрационной энергии в конструкциях основано на измерении поверхностных значений вектора напряжений и вектора смещений на одной и той же части границы. Особенно важен с точки зрения приложений случай обращения в нуль компонент вектора напряжений на границе упругого тела, соответствующий измерению компонент векторов смещений на свободной границе тела.

В классической динамической теории упругости, как известно, имеется три основных типа краевых задач, для которых доказаны теоремы существования и единственности [151]. Развитие методик восстановления волновых полей внутри упругих тел на основе измеренных граничных волновых полей приводит к новым постановкам краевых задач в динамической теории упругости. Краевые задачи такого типа возникают при математической формулировке обратных граничных задач теории упругости. Отметим, что весьма важными аспектами при исследовании этих краевых задач являются вопросы единственности, корректности и построения алгоритмов восстановления неизвестных полей. В настоящий момент эти задачи привлекают возрастающее количество отечественных [157, 158, 39, 40, 121] и зарубежных исследователей. Подобного рода задачи для уравнений Лапласа и Пуассона рассматривались в [246, 226, 230, 253, 254, 321, 278, 234, 309, 302, 223], для уравнения Гельмгольца — в [215, 294, 296, 292, 295, 270, 301], для статической теории упругости и установившихся колебаний — в [352, 271, 293, 266, 310]. Отметим, что задачи такого типа, как правило, являются некорректными [181].

В разделе 3.1 приводится постановка краевых задач 4-го рода для установившихся колебаний анизотропного упругого тела, в которых на части границы тела граничные условия переопределены (известен, как вектор смещения, так и вектор напряжения), тогда как на другой его части, ни тип граничных условий, ни амплитудные значения граничных волновых полей не заданы. В разделе 3.2 задачи сводятся к задаче Коши и приводится теорема единственности, обсуждаются условия существования решения. Центральным в этой главе является раздел 3.3, где эти задачи с помощью методики, разработанной в первой главе, сводятся к системам ГИУ. Однако, полученные ГИУ могут быть классифицированы, как уравнения Фредголь-ма первого рода с гладкими (экспоненциальными) ядрами и процедура их обращения требует регуляризации. Разделы 3.4, 3.5 посвящены численной реализация предложенного метода для плоской деформации ортотропно-го тела на основе идей МГЭ и метода регуляризации А.Н.Тихонова. Здесь же приводятся результаты численных экспериментов по восстановлению граничных полей и обсуждаются численные аспекты погрешности восстановления в зависимости от числа точек измерения, размеров области измерения и других параметров. В разделе 3.6 методы предыдущих разделов распространяются на среды с диссипацией, которая учитывается с помощью общепринятых методик (введением сил, зависящих от скорости и в рамках модели вязкоупругого тела и комплексных модулей). Здесь представлены результаты численных экспериментов по оценке погрешностей восстановления в зависимости от параметров, характеризующих затухание.

Отметим, что в силу специфики краевых условий задач 4-го типа прямое применение к ним МКЭ невозможно, однако он может быть применен, если исходная задача сводится к решению ряда прямых классических краевых задач. Построенные на этой основе итерационные методы можно найти в [348]. В разделе 3.7 разработан метод восстановления граничных полей на основе сочетания идей МГЭ и МКЭ, в котором с помощью МКЭ строятся некоторые функции влияния. При этом МКЭ решается серия вспомогательных задач. Блочное представлении результирующей СЛАУ позволяет сохранить свойства симметричности и положительной определенности матрицы системы. Предложенные алгоритмы проиллюстрированы на задаче восстановления кусочно-линейной нагрузки для составного упругого тела, при этом прямые задачи решались в комплексе ACELAN, описанном во второй главе.

В четвертой и пятой главах рассматриваются проблемы идентификации дефектов в упругих телах. В качестве таких дефектов могут выступать трещины, жесткие или упругие включения, полости и т.д. Задача реконструкции трещиноподобного может быть разбита на несколько этапов. На первом этапе определяется носитель дефекта - поверхность, в частном случае плоскость, содержащая дефект. Если задача первого этапа успешно решена, то на втором этапе разыскивается интерфейсный дефект - трещина с известным носителем. Последняя задача представляет самостоятельный интерес — реконструкции разрыва сплошности соединения составных конструкций, которыми являются пьезоэлектрические устройства.

Интерес к задачам идентификации дефектов (полостей, трещин) в твердых телах в последние годы привлекает внимание все большего количества исследователей. Это связано как с практическими приложениями задач такого типа в дефектоскопии, сейсморазведке и геофизике, математической экологии, так и новыми постановками обратных задач для операторов в частных производных и разработкой более эффективных и совершенных методов их исследования. В НИИМ и ПМ им. Воровича И.И. ведутся исследования в этом направлении, в частности, геометрическую реконструкцию дефектов в твердых телах в коротковолновой области (в акустическом приближении) можно найти в [38].

В этих геометрических обратных задачах можно выделить следующие направления исследований:

1) оптимизация и проектирование формы изделия или конструкции;

2) идентификация дефектов;

3) определение неизвестной границы, в частности границы раздела фаз.

В рамках первого направления для упругих тел с помощью МГЭ и его разновидностей выполнены работы [347, 329, 211, 222, 331].

Второму направлению для упругих сред посвящено значительное число работ, в частности, в [263, 264] с помощью граничных измерений смещений, даны оценки размеров и положения дефектов в изотропном и анизотропных случаях; в [332] путем измерения деформаций и напряжений определяются трещины и дефекты в конструкциях; одиночные и множественные полости, а так же трещины и неизвестные граничные условия находятся в [333, 334, 335, 336, 210, 300, 267, 340] посредством измерения смещений в различных частях границы в статических и динамических постановках.

Наиболее значительные теоретические и численные результаты, относящиеся к третьему направлению, достигнуты для уравнения Лапласа. Так в работах [200, 208, 216, 260, 261, 262, 259, 312] с помощью граничных измерений и применения МГЭ, методов сопряженных градиентов, метода Левенберга-Марквардта и других способов решаются обратные проблемы, связанные с оператором Лапласа. В теории упругости этот вопрос гораздо менее изучен, здесь можно указать работы [209, 277, 298].

Среди дефектов в твердых телах особую роль играют трещины и расслоения на границе раздела разнородных материалов. Эти дефекты , возникающие как на стадии изготовления , так и на стадии эксплуатации, наиболее опасны с точки зрения механики разрушения, поскольку при нагружении инициируют значительные поля напряжений в окрестности края, что может приводить к их росту и глобальному разрушению конструкции [153]. Наиболее эффективными способами выявления дефектов в твердых телах являются акустические и тепловые методы исследования.

С математической точки зрения присутствие трещины в твердом теле обычно моделируется наличием скачков физических полей на некоторой двусторонней поверхности, причем в подавляющем количестве работ берега трещины не взаимодействуют и свободны от нагрузок. При этом прямые задачи в линейной постановке о расчете характеристик физических полей в теле с трещиной достаточно хорошо изучены как при помощи аналитических, так и численных методов (обзор по применению конечно-элементных технологий в неразрушающем контроле см. [284]). Одним из наиболее эффективных методов исследования прямых и обратных задач для упругих тел с дефектами в условиях установившихся колебаний является метод сведения к системам ГИУ, позволяющий понизить размерность прямых задач математической физики и сформулировать систему нелинейных операторных уравнений для решения обратных. На основании решения систем сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся подобные задачи, выявлена структура полей в окрестности края трещины. На основе анализа структуры полей у края обычно формулируются критерии развития трещины в зависимости от параметров нагружения [153]. В рамках изотропной теории упругости методом ГИУ получены решения широкого класса задач о колебаниях упругих тел с полостями и трещинами без взаимодействия берегов. Для трещин простой геометрии (плоские трещины в слоистой среде) были разработаны методы [16], позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной, а также тел с системой параллельных трещин в полупространстве, слое, и получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Если же трещина наклонена по отношению к прямолинейной границе, или же не является плоской, то единственно эффективным средством исследования прямых и обратных задач теории трещин является общий метод ГИУ, а при численной реализации - основанный на нем метод граничных элементов [41].

Отметим, что во многих случаях для построения адекватной модели отражения упругих волн от трещины необходим учет анизотропии, которой обладают многие реальные конструкционные материалы и сплавы,горные породы, что в значительной степени усложняет расчет отраженных от дефекта волновых полей. При этом экспериментальные данные свидетельствуют о том, что если полость является линейным дефектом, для которого справедлив принцип суперпозиции, то для трещин это не так [115]. Нелинейность их поведения при ультразвуковом зондировании невозможно описать при помощи классических подходов теории упругости, в которых трещина моделируется математическим разрезом, берега которого не взаимодействуют. В то же время учет взаимодействия приводит в очень сложным смешанным задачам теории упругости с переменной во времени области контакта, решение которых требует совершенно иных подходов,чем классические методы динамической теории упругости [359, 114], в частности, основывающихся на вариационных неравенствах. Обратные задачи о нахождении поверхности трещины по заданным (измеренным) физическим полям на границе тела в последние годы весьма интенсивно исследуются в различных постановках [201, 273, 46]. При этом отметим, что даже при линейной постановке прямой задачи обратные задачи существенно нелинейны и некорректны и требуют совершенно иных подходов при решении, чем классические прямые задачи математической физики. Одним из принципиальных вопросов в теории обратных задач является формулировка условий единственности реконструкции трещины. Многообразие постановок обратных задач теории трещин привело к различным условиям теорем единственности; при этом совершенствовалась и техника доказательств. Проанализируем основные направления исследований в этой области математической физики. Что касается процедуры определения конфигурации трещин в твердом теле по информации о физических полях на его границе, то в последние годы исследования ведутся в нескольких направлениях.

Первое направление связано с изучением обратных задач для уравнений Лапласа и Пуассона, для уравнения теплопроводности и моделирование процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами [201, 325, 196, 197, 244]. При этом сформулированы подходы, основанные на теории потенциала или на использовании некоторого функционала "невзаимности", так и иные.

В работе [323] рассмотрена задача об идентификации поперечной трещины в проводящем полупространстве при задании на всей границе нормальной компоненты магнитного поля. Задача сведена к исследованию обратной задачи для уравнения Пуассона. При априорных предположениях о том, что область трещины ограничена эллипсом, на основе детального анализа свойств интегралов типа потенциала, участвующих в представлении решения, получены явные формулы для его полуосей. В работе [193] исследован вопрос о единственности определения множественных трещин в электропроводном теле, который приводит к обратной задаче для уравнения Лапласа. Цикл работ выполнен коллективом авторов [201, 196, 197] на основе введения понятия пробного решения, удовлетворяющего соответствующему операторному уравнению и использованию теоремы взаимности. В случае плоских трещин оказалось возможным определить параметры плоскости, содержащей трещину по некоторым функционалам от граничных значений функции и ее нормальной производной. Так, в работе [186] доказана теорема единственности для обратной задачи об определении конфигурации трещин для нестационарной задачи телопроводности по известному полю температуры и тепловому потоку, заданным на всей на границе области. Основная идея доказательства носит конструктивный характер и основана на формуле Грина для оператора теплопроводности. Построен некоторый функционал несовместности, обобщающий результаты цикла статей [201] и позволяющий получить формулы для некоторых параметров трещины (или системы трещин) в случае, когда априорная информация состоит в том, что все трещины лежат в одной плоскости. В работе [187] развиты методы идентификации на случай неполного задания граничных полей для уравнения Лапласа.

В работах [198, 185] для обратной задачи статической теории упругости получены формулы для определения плоскости, содержащей трещины и выведены условия однозначной ее реконструкции по граничным полям векторов смещений и напряжений.

В работах [83]-[85] изложено обобщение аналогичных подходов для уравнений анизотропной теории упругости в случае установившихся колебаний; построены трансцендентные уравнения для определения параметров плоскости с дефектами, проведена серия модельных расчетов по реконструкции трещин для плоских задач изотропной и анизотропной теории упругости.

Второе направление связано с исследованием обратных геометрических задач для уравнений теории упругости в конечной области [248]-[89] или в области типа слоя [47, 48], полупространства, причем дополнительной информацией являются граничные поля перемещений на части границы [322].

При этом формулируются системы нелинейных операторных уравнений с компактными операторами, а нахождение неизвестной конфигурации трещины осуществляется из линеаризованной системы операторных уравнений; начальное приближение при этом находится из минимизации функционала невязки в классе трещин простейшей конфигурации (наклонные прямолинейные трещины). В работе [248] для статических уравнений изотропной теории упругости получены граничные интегральные уравнения для тел с малыми дефектами (полости, трещины) и предложено их использование совместно с генетическими алгоритмами для процедуры идентификации.

Третье направление посвящено реконструкции трещины в бесконечной среде по диаграммам направленности упругих волн [194, 273, 195] и формулировке систем нелинейных операторных уравнений первого рода с гладкими ядрами. Так, в работе [273] для плоской задачи теории упругости развиваются подходы, использованные ранее для дефектов типа полостей. Параметризация трещины приводит к системе нелинейных уравнений с компактными операторами относительно функций, определенных на [0,1].

К этому же направлению относится статья [221], которая посвящена исследованию обратных задач теории трещин для уравнения Гельмгольца в дифракционной постановке.

Четвертое направление связано с изучением расположения трещин, находящихся на границе раздела двух упругих материалов [87, 89, 348], моделирующих непровар или непроклей контактирующих материалов, и сочетающее как процедуру решения прямой задачи на основе метода конечных элементов, так и решение задачи продолжения полей. Особенностью задач такого типа является априорная информация о месте расположения дефекта; определение его размеров осуществляется при помощи либо минимизации функционала невязки, либо из аиализа структуры полей напряжений и смещений в окрестности трещины.

Одна из проблем, возникающих в динамических обратных задачах для сред с диссипацией — это формирование информативного акустического сигнала.по отклику которого идентифицируются дефекты, некоторые задачи реконструкции трещин в неоднородных анизотропных телах, в том числе в композитных материалов и при динамическом воздействии решены в [307, 256, 305, 322, 269].

В работах [240, 217] идентификация трещин основана на вейвлет-анализе и отображении областей с помощью преобразовании Кристоффеля-Шварца соответственно.

Различные априорные предположения о размерах трещин и частотах колебаний позволяют упрощать процедуру решения прямой задачи и совершенствовать постановки и методы решения обратной.

Заметим, что новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы и нейронные сети, также находят приложение в задачах идентификации трещин [248, 279, 218, 330, 257, 251, 308, 242].

Все перечисленные направления относятся к модели трещин с невзаимодействующими берегами. Значительно более сложным для исследования является класс задач математической физики, в постановке которых присутствует более адекватная модель трещины, чем математический разрез с невзаимодействующими берегами. Отметим, что постановка задач идентификации трещин в случае взаимодействия берегов при воздействии на объект короткими волнами (порядка сотен килогерц) является чрезвычайно сложной в силу переменной во времени области контакта и регистрация полей перемещений на свободной границе , как в задачах без взаимодействия, не позволяет сформулировать систему разрешающих операторных соотношений. В то же время для решения задачи об идентификации трещины по измеренным на границе тела физическим полям (например, тепловым) нет необходимости решать задачу с взаимодействующими берегами. Отметим, что в ходе экспериментальных исследований выявлено, что при интенсивном низкочастотном акустическом воздействии (в диапазоне от 20 до 40 кгц) в результате взаимодействия берегов трещины происходит диссипация энергии, индуцируя разогрев примыкающей к трещине области. Это изменение поля температур, достигающее даже десятой доли градуса, можно регистрировать на поверхности тела термовизором [111, 122]. Если относительные размеры трещины не слишком велики, то при постановке задачи идентификации воздействие трещины на распределение тепловых полей и полей напряжений внутри и на границе твердого тела в рамках модели термоупругости может быть приближенно заменено воздействием источников с неизвестными плотностями, расположенными на ее берегах. Таким образом, задача о реконструкции трещины может быть сведена к определению геометрического носителя предполагаемых источников возмущений, причем их интенсивность может оставаться неизвестной. Достаточно учесть тот факт, что при взаимодействии берегов часть энергии, подводимой к исследуемому образцу,трансформируется в тепловую. При этом тепловыми источниками являются берега трещины, хотя сам закон распределения функции источника неизвестен. В такой постановке достаточно решить обратную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности для изотропной среды в установившемся случае распределения температуры - это уравнение Пуассона) с источником на линии или па поверхности, заключающуюся в определении носителя источников. Наличие априорной информации о том, что трещина (или система трещин) расположена в некоторой плоскости, значительно упрощает процедуру их реконструкции и приводит проблему определения параметров плоскости к системе трансцендентных уравнений; в двумерном случае это предположение позволяет получить явные формулы. После этого реконструкция "источников-трещин "проводится аналогично схеме, предложенной в [201, 87] для обнаружения областей разрыва в компонентах физических полей.

Замечание. Подходы, опирающиеся на идеи теоремы взаимности, стали весьма популярны при решении различных задач математической физики [190]. Отметим, что во многих постановках обратных задач информация о полях задана лишь на части границы; именно поэтому для использования многих подходов, описанных выше требуется осуществить процедуру продолжения полей с части границы на всю границу. Эта некорректная задача на практике решается обычно или при помощи метода регуляризации А.Н. Тихонова, либо при помощи итерационной альтернирующей процедуры.

Четвертая глава посвящена разработке методов реконструкции интерфейсных дефектов. Рассмотрены неподвижные жесткие включения и трещины, представляющие собой разрезы без взаимодействия йх берегов. В разделе 4.1 разработана методика реконструкции дефекта, основанная на частотном анализе тел с дефектами и без них, а также на реконструкции внутренних полей в окрестности дефекта, по структуре которых определяется тип и положение дефекта. При этом продолжение полей внутрь тела осуществляется методами третьей главы. Приведен численный пример реконструкции дефектов в составном прямоугольнике, в численном эксперименте использовались результаты второй главы, при модальном анализе и моделировании процесса измерения граничных полей использовались полученные в ACELAN. В разделе 4.1 основой реконструкции трещин на границе раздела двух тел (одно из которых может и электроупругим) также служит структура внутренних механических полей на линии раздела. Однако способ нахождения этих полей отличается от применяемого в п.4.1 и основан на решении некоторых вспомогательных задач и получения системы ГИУ относительно смещений или напряжений на границе раздела, при этом ядра этих уравнений строятся с помощью решения некоторых прямых задач, которые предлагается осуществлять с помощью МКЭ. Приведен пример численной реализации предложенного метода по определению разрыва сплошности в полупассивном пьезокерамическом биморфе. В этом примере решение прямых задач проводится в ACELAN.

Пятая глава посвящена разработке методов определения носителей трещин, причем рассматриваются как классические модели, когда берега трещин не взаимодействуют между собой, так и модель учета этого взаимодействия с помощью диссипации механической энергии, которая приводит к локальному тепловыделению в окрестности трещин. Отметим, что решение прямых задач контактного взаимодействия упругих тел представляет собой сложную математическую проблему, ряд результатов в этой области можно найти в [8, 10, 11].

В разделе 5.1 строится функционал "невзаимности", равный интегральным скачкам смещений на трещине с некоторыми весовыми функциями, имеющими смысл вектора напряжений (пробного решения) на линии трещины в задаче без дефекта и выражающиеся через граничные волновые поля. Специальный выбор пробных решений позволил получить систему трансцендентных уравнений относительно параметров носителя трещины в случае априорной информации о ее плоскостном характере. Рассмотрены численные примеры по определению этих параметров для плоской деформации изотропного и ортотропного квадратов с трещинами. При этом решение прямой задачи, моделирующей измерения и модальный анализ, проводился в ACELAN.

В разделе 5.2 рассматривается неклассическая модель тел с трещинами с учетом взаимодействия берегов посредством тепловыделения. Трещины моделируются неизвестными источниками тепла на ее границе. Применяется теорема взаимности и специальным образом выбираются пробные решения для тела без внутренних источников, в случае плоских трещин, как и в п.5.1 удается сформулировать систему трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещиной, а в случае одиночной трещины в изотропном теплопроводном теле предложить явные формулы для внутренних точек трещины, что при разных способах акустического облучения тела позволяет получить явные формулы для параметров плоскости. Приведен численный пример нахождения, как одиночной, так системы трещин-источников в четверти круга. Исходной информацией для задачи реконструкции служит температурный портрет внешней поверхности тела.

В настоящее время пьезоэлектрические преобразователи энергии нашли широкое применение в технике. Активными элементами этих устройств, в основном, являются пьезокерамические тела. Использование пьезокерами-ки позволяет создавать пьезоэлементы различной формой и со сложным электродным покрытием. Условия эксплуатации и создание элементов с заданными полезными свойствами приводят к неравномерной объемной поляризации этих элементов. Для разработки технологии изготовления и расчета пьезоэлектрических устройств с неравномерной поляризацией необходимо уметь рассчитывать объемные распределения упругих и пьезоэлектрических характеристик в этих элементах. Как показывают измерения, наиболее изменяемыми, в случае неравномерной поляризации, являются пьезомодули. Задачу определения координатных зависимостей пьезомоду-лей можно решать двумя путями: в первом - предполагается решение прямой задачи о фазовых переходах в керамике под действием физических полей, в этом направлении в настоящее время проводятся многочисленные исследования, среди которых выделю появившиеся недавно работы коллеги по проекту ACELAN А.С.Скалиуха [162, 163]. Во втором способе решается обратная задача по определению этих зависимостей по выходным характеристикам пьезоэлетрических устройств (в том числе оптимизируемым), такая постановка относит эти задачи к коэффициентным обратным задачам [158]. Ряд задач в русле второго направления решен в последнее время в [52, 53, 54].

Одними из наиболее простых задач такого типа являются одномерные коэффициентные обратные задачи об определении пьезомодулей dzi{x\) и <^зз(жз) при задании амплитудного значения тока как функции частоты колебаний.

Шестая глава посвящена решению задачи об определении объемного распределения пьезомодуля в стержневых пьезокерамических преобразователях, широко используемых в качестве силовых элементов различных устройств. В разделе 6.1 рассматривается задача определения модуля dz\{xi) при поперечной поляризации стержня по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента (следует отметить, что именно эта характеристика наиболее просто может быть измерена в эксперименте), которая сводится к нелинейному интегральному уравнению 1-го рода, и ее решение строится на основе сочетания метода линеаризации и метода регуляризации А.Н.Тихонова [181]. Проведены численные эксперименты для различных законов поляризации. В разделе 6.2 рассматривается задача определения пьезомодуля с?зз(жз) при продольной поляризации стержня, также по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента, которая сводится к системе 2-х нелинейных интегральных уравнений, их решение строится на основе итерационной процедуры в сочетании с методом регуляризации на компактных множествах [180]. Проведены численные эксперименты для гладкого и кусочно-постоянного законов поляризации.

В концентрированном виде результаты диссертации представлены в заключении.

Публикациями, отражающими материал диссертации, являются следующие работы: [2]-[7], [17], [21]-[27], [29]-[33], [42], [43], [49], [58], [59], [63], [64], [67]-[96], [99], [110], [134], [141], [148], [149], [156], [168]-[177], [191], [203]-[207], [219], [220], [342] (всего - 82 наименования). Некоторые из этих работ выполнены в соавторстве, поэтому далее описывается вклад автора диссертационной работы в таких публикациях.

В работах [58], [59], [67], [70], [72], [74], [75], посвященных разработке ГИУ для анизотропных упругих, электроупругих и составных тел, Вату-льяну А.О. принадлежит общая идеология получения систем ГИУ, диссертанту принадлежат вывод различных вариантов систем ГИУ, составление программ и проведение расчетов при решении конкретных краевых задач, Ковалеву О.В. принадлежит разработка граничноэлементной реализации на основе аппроксимаций высокого порядка.

В работах [49], [76]-[80], посвященных решению обратных граничных задач динамической анизотропной теории упругости, Воровичу И.И. принадлежит общая постановка задач об идентификации нагрузок, Ватульяну А.О. принадлежит сведение исходной задачи к задаче Коши для эллиптического оператора и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежат формулировка систем ГИУ и их исследование на основе сочетания граничноэлементных, конечноэлементных аппроксимаций и метода регуляризации А.Н.Тихонова, а также проведение численных экспериментов.

В работах [81], [82], [87]-[89], посвященных решению обратных задач реконструкции интерфейсных дефектов в упругих и электроупругих телах, Ватульяну А.О. принадлежит общая постановка задач и обсуждение результатов, диссертанту принадлежат разработка методов выявления интерфейсных дефектов и их численная реализация на основе ГИУ и МКЭ.

В работах [83]-[86], [90]-[96], [177], [342], посвященных решению обратных задач реконструкции трещиноподобных дефектов в упругих и теплопроводных телах, Ватульяну А.О. принадлежит построение разрешающих уравнений по определению параметров прямолинейных трещин на основе идей неклассических ГИУ, диссертанту принадлежат введение функционала невзаимности, введение пробных решений и построение на их основе разрешающих уравнений относительно параметров прямолинейных трещин без учета взаимодействия берегов и с его учетом, а также, проведенный численный анализ по определению параметров трещин.

В работах [68], [71], [73], посвященных определению законов неоднородной поляризации стержневых пьезоэлементов, Ватульяну А.О. принадлежит формулировка разрешающих интегральных уравнений и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежит разработка численных схем решения нелинейных интегральных уравнений и их численная реализация, выбор оптимальных частотных диапазонов, численное решение конкретных задач.

В работе [17] диссертанту принадлежат результаты по индентификации дефектов в телах конечных размеров и расчеты по МКЭ.

Работы [2]-[7], [21], [22], [25]-[27], [29]-[33], [99], [110], [148], [149], [156], [191], [203]-[207], посвящены результатам, связанным с разработкой КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка и программная реализация "решателей"комплекса, обсуждение принципов разработки оболочки, визуализации результатов и интерфейса между "ре-шателями"и оболочкой, руководство программной реализацией всего комплекса, а также проведенные расчеты в ACELAN для конкретных задач статического, гармонического, модального и'нестационарного анализа составных упругих, электроупругих конструкций, в том числе, нагруженных на акустические среды. Более подробно о вкладе коллег по разработке комплекса и соавторов публикаций описано выше.

Работы [23], [24], [42], [43], [141], [219], [219] посвящены результатам, связанным с модификацией управляющей оболочки и разработкой кластерной версии КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка алгоритмов распределенных вычислений, их программная реализация и проведение расчетов в задачах об установившихся колебаниях, в частности, построения АЧХ в задаче о колебании многослойного контейнера при нарушении его сплошности; постановки задач о распараллеливании блоков решателей, связанных с вычислением конечноэлементных объектов и обсуждение способов их решения; обсуждение путей модификации управляющей оболочки комплекса.

В работах [69], [134] диссертанту принадлежат разделы, связанные с разработкой конечных элементов для электроупругих пластин и построению асимптотических решений в плоской теории электроупругости в окрестности нерегулярной границы и проведение соответствующих расчетов.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ, коды проектов: 97-01-00633а, 00-01-00545а, 02-01-01124а, 03-07-90411в, 05-01-00690а, 05-01-00734а.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, проф. А.В. Белоконю и проф. А.О. Ватульяну за постоянное внимание и помощь в работе.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за успешное сотрудничество и поддержку всем коллегам по разработке комплекса ACELAN и в особенности А.В. Наседкину, В.А. Еремееву, М.И. Ка-рякину, Н.В. Курбатовой, К.А. Надолину, А.С. Скалиуху, О.Н. Акопову,

Р.В. Галкину, А.А. Никитаеву, A.JI. Петушкову.

Автор выражает благодарность участникам семинаров, за обмен мнениями и обсуждение результатов, проводимых под руководством проф. А.О.Ватульяна, в разное время в РГУ и в ДГТУ, и в особенности М.А. Сум-батяну, И.В. Баранову, О.В. Булгурян, Н.В. Боеву.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров получены следующие результаты.

• Для эллиптических операторов разработан неклассический метод ГИУ первого рода с гладкими экспоненциальными ядрами, не требующий построения фундаментальных решений.

• Разработаны методы численного решения полученных систем ГИУ основанные на идеях МГЭ и методе регуляризации А.Н.Тихонова.

• Разработанный метод ГИУ реализован для задач анизотропной теории упругости, электроупругости, составных упругих тел и осуществлена численная реализация предложенных подходов.

• В рамках создания конечноэлементного комплекса ACELAN разработаны алгоритмы построения конечноэлементных объектов и осуществлена их программная реализация в "решателях"задач статического, гармонического, модального и нестационарного анализа для составных упругих, электроупругих и акустических тел. Проведены многочисленные расчеты в ACELAN, результаты которых сравнивались с расчетами в ANSYS, МГИУ, аналитическими решениями. Разработаны конечные элементы электроупругих пластин. Разработаны и программно реализованы алгоритмы кластерных вычислений решения задач гармонического анализа в ACELAN.

Разработанные методы решения прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров применены к решению ряда обратных задач. Разработаны методы решения обратных граничных задач, обратных задач теории трещин, коэффициентных обратных задач электроупругости.

• Метод ГИУ первого рода применен к решению обратных граничных задач по восстановлению волновых полей на части границы по известной информации о поле смещений и напряжений на другой части границы упругого тела.

• Разработаны конечноэлементные методы решения обратных граничных задач по восстановлению нагрузок на части границы тела недоступной для прямых измерений.

• Разработаны методы на основе ГИУ и МКЭ реконструкции интерфейсных трещин, основанные на исследовании внутренних полей смещений и напряжений в окрестности дефектов.

• На основе принципа взаимности разработаны методы идентификации трещиноподобных дефектов в упругих телах и в случае системы плоских трещин сформулирована система трансцендентных уравнений относительно параметров этой плоскости.

• Построена модель, учитывающая взаимодействие берегов трещин на основе локального разогрева и разработан метод идентификации таких трещин, в случае системы плоских трещин получена система трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещинами и получены явные формулы для характеристики трещины в случае изотропного теплопроводного тела.

• Решены две важные с прикладной точки зрения задачи о нахождении закона поляризации стержневых пьезопреобразователей по АЧХ тока в цепи пьезоэлемента.

1. Акопов О.Н., Белоконь А.В., Надолин К,А., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Симметричные седловые алгоритмы конечно-элементного анализа составных пьезоэлектрических устройств // Мат. моделирование. 2001. Т. 13. N 2. С.51-60.

2. Александров В. М., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М. Факториал. 1988. 288 с.

3. Александров В. М., Сметанин Б.И., Соболь В.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М. Физматлит. 1993. 224 с.

4. Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости М. Физматлит. 2004. 302 с.

5. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Москва-Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2005. 108 с.

6. Алберг Дж., Нилъсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

7. Аронов B.C. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. J1.: Энергоатомиздат, 1990. 271 с.

8. Вабешко В. А. Новый метод решений краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // Доклады АН 1985. Т. 284, N1. С. 73-76 .

9. Вабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноподобных тел // Доклады АН 1989 т. 304, N 2. С. 318-321.

10. Вабешко В.А. Тела с неоднородностями; случай совокупностей трещин. // Докл. АН 2000. Т.373. N 2. С.191-193.

11. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 446 с. = Bathe К.-J., Wilson E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Englewood Cleiffs: Prentice-Hall. 1976.

12. Белоконъ А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров. // ДАН, 1977, 233, N 1, с.56-59.

13. Белоконъ А.В. Колебания и волны в полуограниченных и ограниченных телах. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону 1987. 450 с.

14. Белоконъ А.В., Еремеев В.А., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С.381-393.

15. Белоконъ А.В., Надолин К.А., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Симметричные алгоритмы в конечно-элементном анализе сложных пьезоэлектрических устройств // Математическое моделирование, 2001. Т. 13, N 2. С. 51-60.

16. Белоконъ А.В., Наседкин А.В. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 151-158.

17. Белоконъ А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 491-501.

18. Белоконъ А.В., Соловьев А.Н. О влиянии размера электрода на частоты резонанса и антирезонанса пьезокерамического преобразователя. I Всесоюзная конференция

19. Акустическая эмиссия материалов и конструкций"Ростов-на-Дону, 1984, тезисы докладов. С.82

20. Белоконъ А.В., Соловьев А.Н. О влиянии геометрии и способов подключения электродов на собственные частоты пьезокерамического прямоугольника. III Всесоюзный симпозиум "Теоретические вопросы магнитоупругости". Ереван, 1984. Тезисы докладов. С. 34-36.

21. Белоконъ А.В., Соловьев А.Н. О влиянии размера электрода па собственные частоты прямоугольного пьезокерамического резонатора. РГУ, Ростов-н/Д. 1984. Деп. в ВИНИТИ 19.12.84, N 8117. 21 с.

22. Бенерджи П., Батптерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир., 1984. 494 с.

23. Боев Н.В., Ватулъян А.О., Сумбатян МЛ.Восстановление контура препятствия по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области // Акустический журнал. 1997, в. 4, С. 451-462.

24. Бобровницкий Ю.И. Задачи восстановления поля в структурной интенсиметрии: постановка, свойства, численные аспекты. // Акустический журнал. 1994 т. 40, в. 3, с. 367-376.

25. Бобровницкий Ю.И., Короткое М.П., Конкин А.А., Томилина И.А. Постановка и решение задачи восстановления волнового поля в упругой конструкции.// Докл. РАН.1998 .T .359. в.2. С.190-193.

26. Бреббиа К., Теляес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.:Мир, 1987. 525с.

27. Василъченко К.Е., Наседкин А.В., Соловьев А. Н. К расчету АЧХ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN // Вычислительные технологии 2005. Т. 10, N 1. С. 10-20.

28. Ватулъян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН, 1993. Т.ЗЗЗ, N 3. С.312-314.

29. Ватулъян А.О. Граничные интегральные уравнения для эллиптических операторов/ / Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион 2000, N 3. С.34-37

30. Ватулъян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде// ПММ. 2004. т. 68 . N1, С.192-200.

31. Ватулъян А. О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта в ортотропном слое // Дефектоскопия. 2001. N10. С.48-52.

32. Ватулъян А. О., Баранов И.В. Идентификация внутренней трещины в ортотропной упругой среде. // Вестник ДГТУ 2002. Т. 2. N2. С. 104-110.

33. Ватулъян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 3. С. 373-380.

34. Ватулъян А.О., Гетман И.П., Лапицкая Н.Б. Об изгибе пьезоэлектрической би-морфной пластины. Прикладная механика 1991, т.27, N 10.

35. Ватулъян А. О., Гусева И.А. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью // nMT<D,1993,N 2 С.123-127

36. Ватулъян А. О., Домброва О.М. Об определении неоднородной поляризации пье-зоэлемента. // Дефектоскопия, 1999, N 3, С.8-12.

37. Ватулъян А. О., Домброва О.М., Жиров В.Е. К определению неоднородной поляризации для электроупругого стержня. // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион 2002, N4, С. 7-9.

38. Ватулъян А. О., Домброва О.М., Жиров В.Е. К определению располяризации электроупругих стержней. // Труды III Всерос. конференции по теории упругости с межд. участием. Ростов н/Д. 2004. С. 107-109.

39. Ватулъян А. О., Драгилев В.М., Драгилева JI.JI. Восстановление динамических контактных напряжений в упругом слое по смещениям его свободной поверхности. // Акустический журнал. 2001 т. 47, N 6, с. 829-833.

40. Ватулъян А.О., Ковалев О.В. Об особенностях использования метода граничных элементов при решении ГИУ первого рода с гладкими ядрами // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. науч. трудов. Ростов н/Д: Изд. ДГТУ, 1998г. С. 23-27.

41. Ватулъян А.О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии 2002. Т. 7, N 1. С. 54-65.

42. Ватулъян А. О., Корейский С.А. Метод линеаризации в геометрических обратных проблемах теории упругости // ПММ, 1997, т.61, в.4 С.639-646

43. Ватулъян А. О., Коробейник М.Ю. О граничных интегральных уравнениях в маг-нитоэлектроупругости // Докл. РАН, 1996. Т.348, N 5. С.600-602.

44. Ватулъян А. О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т.53, вып.6. С.1037-1041.

45. Ватулъян А. О., Лапицкая Н.Б., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Расчет прогиба двухслойной электроупругой полупассивной пластины. Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов н/Д. 1992. С. 28-31.

46. Ватулъян А.О., Лапицкая Н.Б., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Управление поверхностью секционированной биморфной пластины. ПМТФ. 1995. Т 36, N 4. С.

47. Ватулъян А.О.,Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Известия РАН, Механика тв.тела 1999, N2. С.78-84

48. Ватулъян А. О., Соловьев А.Н. Об одной обратной задаче в теории электроупругости при неоднородной поляризации. Международная конференция "Математические модели физических процессов и их свойства": Тез.докл. Таганрог, 1997.

49. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Конечные элементы для электроупругих пластин. Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании: Тезисы междунар.науч. конф.,8-11 дек. Минск, 1997. С.

50. Ватулъян А. О., Соловьев А.Н. Определение закона располяризации пьезоэлемента // Математика в индустрии :Труды Междунар.конф., 29 июня-3 июля Таганрог, с.70-71.

51. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Анализ колебаний кусочно-неоднородных анизотропных тел при помощи ГИУ 1-го рода // Совр. пробл. мех. спл. среды: Тр. IV Междунар. конф. Ростов н/Д, 27-28 октября 1998. Т.1. Ростов н/Д:-Изд. СКНЦ ВШ 1999. С. .

52. Ватулъян А. О.,Соловьев А.Н. Об одном способе определения пьезомодуля при неоднородной поляризации стержня // ПМТФ, 1999,Т. 40, N 3 с.

53. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // ПММ, 1999,т.63. в.6 С.860-868

54. Ватульян А.О., Соловьев Л.Я.Граничные обратные задачи в динамической теории упругости.// Совр. пробл. мех. сплошной среды. Тр. V Межд. конф. Ростов н/Д, 12-14 окт. 1999 г. Изд. СКНЦ ВШ Ростов-на-Дону 2000 г. T.l. С.46-50.

55. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде. // Акустический журнал. 2000. т. 46. в.4. С. 451-455.

56. Ватульян А. О., Соловьев А.Н. Граничные обратные задачи в динамической теории упругости и вязкоупругости. // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов, 23-29 августа 2001, Пермь. С. 146.

57. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Обратные граничные задачи для сред с диссипацией. //VI Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем: Труды конференции Т. 1. ДГТУ, Ростов н/Д. 2001. С. 70-76.

58. Ватульян А. О., Соловьев А.Н. Об одном итерационном алгоритме идентификации интерфейсных трещин // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVI Междунар. науч. конф. В 10 т. Т. 5 Секция 5. РГАСХМ ГОУ, Ростов н/Д. 2003. С. 9-10.

59. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2003, N 3. С. 20-24.

60. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Идентификация плоских трещин в упругой среде. //Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества (ЧЭС) 2003. N1, с. 23-28.

61. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Реконструкция трещин в анизотропной упругой среде. // "Механика и трибология транспортных систем-2003"Сбориик докладов Международного Конгресса 10-13 сентября 2003 Ростов-на Дону. Т. 1, с. 184-187.

62. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Определение ориентации плоских трещин в упругом теле.// Теоретическая и прикладная механика. Харьков, "Основа'. 2003 Т. 37. С.141-145.

63. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин. // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион 2003. N3. С. 20-24.

64. Ватулъян А. О., Соловьев А.Н. Об определении размера дефекта в составном упругом теле. // Дефектоскопия 2004. N 5. С.15-23.

65. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции трещин в однородных и кусочно-неоднородных упругих телах. // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках. Материалы XIV

66. Международной научной школы им. Академика С.А. Христиановича, Алушта, 2026 сентября 2004. Симферополь: Таврич. нац. ун-т, 2004. С. 23-25.

67. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 74-80.

68. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции трещин с взаимодействующими берегами. // Дефектоскопия 2004. N 10. С. 62-69.

69. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин в анизотропном упругом теле. // ПММ. 2005. Т. 69. В. 3. С. 552-561.

70. Ватулъян А. О.,Шамшин В.М. Новой вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // ПММ. 1998. Т.62, вып.З. С.112-119.

71. Ворович И.И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы.// В кн.: III Всес. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотация докладов. М.: Наука, 1968. с.

72. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. т.6. N.2. С.282-289.

73. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // ПММ 1998. т.62. N 5 С.866-870.

74. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных материалов. //Докл РАН 1999.Т.370 N 2.

75. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. М: Наука. 1971. 1108 с.

76. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шулъга Н.А. Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989. 280 с. (Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5.)

77. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд. МГУ, 1994.

78. А.Джордж, Дж.Лю. Численное решение больших разреженных систем уравнений.- М.: Мир, 1983, 333 с.

79. Домаркас В.И., Кажис Р.И. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1974.

80. Е.Г. Дьяконов. О некоторых классах седловых градиентных методов. // Вычислит. процессы и системы. Вып. 5. М.: Наука, 1987, с.101-115.

81. Ермолов И.Н., Ланге Ю. В., Щербинский В.Г. Прогресс в ультразвуковом контроле (по материалам 15 международной конференции).1.Новые методы и аппаратура. // Контроль. Диагностика. 2002. N3.

82. Жарий О.Ю. Метод разложения по собственным функциям в задачах динамической электроупругости // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 109-115.

83. Завьялов Ю. С., Квасов Б.И., Мирошничеко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 350 с.

84. Зозуля В.В., Меньшиков А.В. Контакт берегов плоской эллиптической трещины при нормальном падении гармонической волны растяжения сжатия. // Теорет. и прикладная механика. 2003. Вып. 37. С. 168-172.

85. Казаков В.В., Сутин A.M. Использование эффекта модуляции ультразвука вибрациями для импульсной локализации трещин. // Акуст. Журнал. 2001. т.47. N3. с.364-369.

86. Кажис Р.И. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Москлас. 1986.

87. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Исследование переходных процессов в плоских пьезоизлучателях методом конечных элементов // Дефектоскопия. 1986. N 12. С. 311.

88. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Анализ нестационарного режима пьезопреоб-разователей конечных размеров методом конечных элементов // Акуст. ж. 1987. Т. 33, N 5. С. 895-902.

89. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. //ПММ, 1969. Т. 33. В. 1. С 132-135.

90. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука, 1977.

91. Козлов В.А., Мазья В.Г., Фомин А.В. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений. // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1991. Т. 31. N 1. С. 64-74.

92. Ковалев А. В. Поисковые технические средства на основе методов интроскопии. Акустические поисковые системы.// Специальная техника. 2000. N 2. http://st.ess.ru/publications/articles/kovalev4/ kovalev.htm

93. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. Мир, 1987, 311 с.

94. Красилъников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984. 400 с.

95. Кристенсен Р. Введение в теорию вяз коу пру гости. /М.: Мир. 1974. 327 с.

96. Купрадзе В.Д. Методы теории потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

97. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

98. Лавриненко В.В. Пьезоэлектрические трансформаторы. М.: Энергия, 1975. 111 с.

99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203с.

100. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений 2-го порядка //УМН. 1963. Т. XVIII. N 1. С.3-62.

101. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин. // Изв. АН Арм.ССР, механика 1976 Т25, N5. С. 51-58.

102. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно гладкими границами // Успехи мат. наук. 1981 Т38, N4. С. 229-300.

103. Л.В. Масловская. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1989, т.29, N 1, с.67-74.

104. Матросов А.А., Соловьев А.Н. Численно-аналитические методы решения задач об установившихся колебаниях электроупругих тел. Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов н/Д, 1994. С. 45-49.

105. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 с.

106. Михайлов С.Е. Об одной задаче для двух соединенных анизотропных клиньев.// Изв. АН СССР, МТТ 1978. N 4. С. 84-87.

107. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука. 1980. 255 с.

108. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М., Наука, 1984.

109. Наседкин А.В. Альтернативные формулировки методов Ньюмарка и Вильсона. // Совр. пробл. мех. спл. среды: Тр. II Межд. конф. Ростов-на-Дону, 19-20 сент. 1996. Ростов н/Д: МП "Книга", 1996, т.2, с.115-119.

110. Наседкин А.В. К расчету по МКЭ пьезопреобразователей, нагруженных на акустическую среду. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 1999, N 1. с.48-51.

111. Наседкин А.В. Конечно-элементный динамический анализ пьезоэлектрических излучателей акустических волн // Совр. пробл. мех. спл. среды: Тр. IV Межд. конф. Ростов-на-Дону, 1998. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 1999. Т. 2. С. 89-93.

112. Наседкин А.В. Новая модель учета демпфирования для конечно-элементного пьезоэлектрического анализа // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы Шк.-семинара. Воронеж. Воронеж: ВГУ, 2000. 4.2. С. 319-323.

113. Наседкин А.В. Волновые поля в анизотропных упругих средах с усложненными свойствами и методы конечно-элементного динамического анализа. // Диссертация па соискание уч.ст. доктора физ.-мат. наук. РГУ, Ростов-на-Дону, 2001. 271с.

114. Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразователей. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 122-125.

115. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: "Мир". 1970. 256 с.

116. Новацкий В.Теория упругости./ М.: Мир. 1975. 872 с.

117. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 275 с.

118. Партой В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.гМашиностроение, 1988. 239с.

119. Партой В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

120. Партой В.З., Перлип П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688с.

121. Прейсс А.К. Определение полей напряжений по ограниченной экспериментальной информации.// Изв. АН СССР, Машиноведение. 1984, N 2. С.77-83.

122. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.:Наука, 1984.

123. Румянцев А.Н., Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г. Колебания полупространства с полостью или включением в виде эллиптического цилиндра. Известия СКНЦ ВШ, сер. ест. науки. 1990. N 3. С.63-69.

124. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 443 с.

125. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат. 1993. 664 с

126. Скалиух А.С. Об одном алгоритме процесса поляризации сегнетоэлектрических керамик. Теоретическая и прикладная механика, 2003, вып. 38, с. 20-28.

127. Скалиух А. С. Определение характеристик неоднородно поляризованных сегнето-керамических образцов. Тр. III Всероссийской, конф. по теор. упр. Ростов-на-Дону, Новая книга, 2004. С. 338-340.

128. Соловьев А.Н. Симметричные колебания электроупругого прямоугольника. РГУ, Ростов-н/Д. 1983. Деп. в ВИНИТИ 31.10.83, N 5890. 22 с.

129. Соловьев А.Н. О влиянии размера электрода на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения. Прикладная механика. 1984. Т. 20, N 9. С. 69-76.

130. Соловьев А.Н. Об одной прикладной теории в задачах колебания электроупругих плит. Известия СКНЦ ВШ, сер. ест. науки. 1985. N 2. С.

131. Соловьев А.Н. Об одном методе приближенного расчета пьезокерамических трансформаторов. Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов н/Д, 1994. С. 115-117.

132. Соловьев А.Н. Об особенностях физических полей в электромеханических преобразователях с разрезными электродами. Современные проблемы механики сплошной среды: Тез.докл. междунар. науч. конф., 19-21 июня. Ростов н/Д, 1995.

133. Соловьев А.Н. О формулировке краевых условий для дифференциального оператора линейной теории электроупругости. Интегро-дифференциальные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов н/Д, 1996. с. 124-126.

134. Соловьев А.Н. Некоторые алгоритмы восстановления поля в неоднородной анизотропной упругой среде. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естесств. науки. 2001, N 3, с. 29-33.

135. Соловьев А.Н. Определение формы границы анизотропного упругого тела // Совр. пробл. мех. спл. среды: Тр. VI Междупар. конф. Ростов н/Д, 12-14 июля 2000. Т.2. Ростов н/Д:-Изд. СКНЦ ВШ 2001. С. 143-146.

136. Соловьев А.Н. Идентификация интерфейсной трещины. Современные проблемы МСС: Труды VIII международной научной конференции. Ростов-на-Дону. 2002 Т.1. С. 163-169.

137. Соловьев А.Н. Об одном полуявном алгоритме реконструкции интерфейсных трещин //III Всероссийская конференция по теории упругости с международным участием. 13-16 октября 2003г. г. Ростов-на-Дону, г. Азов. Изд. "Новая книга", 2004. С. 345-348.

138. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977. 349 с.

139. Сумбатян М.А. О корректной трактовке одного граничного уравнения в акустике замкнутых областей. // ЖВМ и МФ, 2001, том 41, N 3, с. 436-442.

140. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В, Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.; Наука, 1990

141. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

142. Ультразвуковые пьезопреобразователи для неразрушающего контроля // Под общ. ред. И.Н.Ермолова. — М.: Машиностроение, 1986. 280 с.

143. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье .-М.: Мир, 1986, 462 с.

144. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск, Наука, 1990.

145. Amel Ben Abda, Hend Ben Ameur, Mohamed Jaoua. Identification of 2D cracks by elastic boundary measurements. // Inverse Problems 15 (1999) 67-77.

146. A. Ben Abda, Bui H.D. Planar crack identification for the trasient heat equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. V. 11. N 1. P. 27-31.

147. Amel Ben Abda, Moez Kallel, Juliette Leblond, Jean-Paul Marmorat Line segment crack recovery from incomplete boundary data. // Inverse Problems 2002. V. 18 P. 1057-1077.

148. J.D. Achenbach Quantitative nondestructive evaluation. // International Journal of Solids and Structures. 37 (2000) 13-27.

149. Achenbach J.D. Calculation of wave fields using elastodynamic reciprocity // International Journal of Solids and Structures, 20 November 2000, vol. 37, iss. 46, pp. 7043-7053(11).

150. Achenbach J.D. Reciprocity in elastodynamics // Cambridge, UK ; New York : Cambridge University Press, 2003. 266 p.

151. Agrawal K.A. Free surface effect on moving crack under impact loading by BEM. // Engineering Analysis with Boundary Elements 26 (2002) 253-264.

152. Alessandrini G., Cristo M.Di. Unique determination of surface breaking cracks in three-dimensional bodies. // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2000. V. 8. N 5. P. 469-482.

153. Alves C.J.S, Ha Duong T. On inverse scattering by screens // Inverse Problems. 1997. V. 13. N 5. P. 1161-1176.

154. Alves C.J.S, Ha Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks // Inverse Problems. 1999. V. 15. N 1. P. 91-97.

155. Andrieux S., Abda A.B. Identification of planar cracks by complete overdetermined data: inversion formulae // Inverse Problems. 1996, V. 12. N 5. p. 553-563.

156. Andrieux S., Abda А В., Jaoua M. On the inverse emergent plane crack problem.// Math. Methods Appl. Sci. 1998. V. 21. N10. P. 895-906.

157. Stephane Andrieux, Amel Ben Abda, Huy Duong Bui Reciprocity principle and crack identification. // Inverse Problems 1999. V. 15 P. 59-65.

158. ANSYS. Theory Reference. Rel.7.0. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 2003.

159. N.D.Aparicio,M.K.Pidcock. The boundary inverse problem for the Laplace equation in two dimensions,Inverse Probl.12 (1996)565-577.

160. Bannour Т., Abda А. В., Jaoua M. A semi-explicit algorithm for the reconstruction of 3D planar cracks 11 Inverse Problems.1997. V. 13. N4. p. 899-917.

161. Zhongping Bao, Subrata Mukherjee Electrostatic BEM for MEMS with thin conducting plates and shells. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 28. (2004) P. 14271435.

162. E.Beretta,S.Vessela. Stable determination of boundaries from Cauchy data,SIAM J.Math.Anal.30 (1998)220-232.

163. Fredrik Berntsson. Boundary identification for an elliptic equation. // Inverse Problems 18 (2002) 1579-1592.

164. L.M.Bezerra,S.Saigal. A boundary element formulation for the inverse elastostatics problem (IESP)of .aw detection,Int.J. Numer.Meth.Engrg.36 (1993)2189-2202.

165. F.Bobaru,S.Mukherjee. Shape sensitivity analysis and shape optimization in planar elasticity using the element-free Galerkin method,Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.190 (2001)4319-4337.

166. Bonnet M. (1999) Boundary Integral Equation Methods for Solids and Fluids. John Wiley к Sons, Ltd.

167. M.Bonnet, T.Burczynski, M.Nowakowski.Sensitivity analysis for shape perturbation of cavity or internal crack using BIE and adjoint variable approach. // International Journal of Solids and Structures 39 (2002)2365-2385.

168. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wroubel L.C. Boundary Element Techniques. Berlin et al.: Springer 1984. = Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

169. Bui An Ton An inverse source problem for the wave equation.// Nonlinear Analysis 55 (2003)269-284.

170. A.L.Bukhgeim,J.Cheng,M.Yamamoto. Stability for an inverse problem of determining a part of the boundary,Inverse Probl. 15 (1999)1021-1032.

171. Benjamin Bunck, Alan Elcrat and Tomasz Hrycak. On detecting emerging surface cracks from boundary measurements. // Inverse Problems 17 (2001) 1391-1400.

172. T. Burczynski, W. Kus, A. Dlugosz, Piotr Orantek. Optimization and defect identification using distributed evolutionary algorithms. // Engineering Applications of Artificial Intelligence 17 (2004)337-344.

173. Bychkov A.A., Eremeyev V.A., Soloviev A.N. Parallel computational algorithms implementation for electroelasticity problems j j Proceeding of the XXXII Summer

174. School "Advanced Problems in Mechanics"/ June 24 July 1, 2004, St.Petersburg (Repino), АРМ 2004 /RAS/ИПМ/ P. 68-71.

175. Cakoni F., Colton D. The linear sampling method for cracks. // Inverse Problems 2003. V.19. P. 279-295.

176. E.Calvo,L.Garcia. Shape design sensitivity analysis in elasticity using the boundary element method,Engrg.Anal.Boundary Elements 25 (2001)887-896.

177. Chang JR, Yeih W, Shieh ME. On the modified Tikhonov^s regularization method for the Cauchy problem of the Laplace equation. J Mar Sci Technol 2001;9(2):113-21.

178. Alexander H.-D. Cheng, Daisy T. Cheng. Heritage and early history of the boundary element method. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 29. (2005) P.268-302.

179. Chen J.T., Hong H-K. Review of dual boundary element methods with emphasis on hypersingular integrals and divergent series. // Appl. Mech. Rev. 1999. V.52, P. 17-33.

180. Cheng J, Hon YC, Wei T, Yamamoto M. Numerical solution of a Cauchy problem for an elliptic equation. In: Tanaka M, Dulikravich GS, editors. Inverse problems in engineering mechanics, vol. II. Oxford: Elsevier; 2000. p. 493-9.

181. Chen H., Jin J., Zhang P., Lu Pin Multi-Variable Non-Singular BEM for 2-D Potential Problems.//Tsinghua Science and Technology pp43-50 V. 10, N. 1, 2005.

182. W.Q. Chen, C.W. Lim, H.J. Ding. Point temperature solution for a penny-shaped crack in an infinite transversely isotropic thermo-piezo-elastic medium. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 524-532.

183. X.L. Chen, Y.J. Liu. An advanced 3D boundary element method for characterizations of composite materials. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 513-523.

184. Cimetiere A, Delvare F, Jaoua M, Pons F. Solution of the Cauchy problem using iterated Tikhonov regularization. Inverse Prob 2001; 17:553-70.

185. A.P.Cisilino, J.Ortiz. Boundary element analysis of three-dimensional mixed-mode cracks via the interaction integral. // Comput.Methods Appl.Mech.Engrg. 194 (2005)935-956.

186. Clough R.W., Tocher J.L. Finit Element Stiffnes Matrices for Analysis of Plates in Bending. Proc. Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech. AFFDL TR, Ohio, 1965.

187. COSMOS/M. V.2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. / Strustural Research and Analysis Corp., 1997.

188. Delvare F, Cimetiere A, Pons F. Two iterative boundary element methods for inverse Cauchy problems. In: Brebbia CA, Power H, editors. Boundary elements, vol. XXII. WIT Press; 2000. p. 211-20.

189. M. Denda, M. Mansukh. Upper and lower bounds analysis of electric induction intensity factors for multiple piezoelectric cracks by the BEM. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 533-550.

190. P.Dineva, D. Gross, T.RangelovDyn&mic behavior of a bi-material interface-cracked plate. // Engineering Fracture Mechanics. 69. (2002)1193-1218.

191. P.S. Dineva, G.D. Manolis. Scattering of seismic waves by cracks in multi-layered geological regions I. Mechanical model. // Soil Dynamics and Earthquake Engineering 21 (2001) 615-625.

192. P.S.Dineva, G.D.Manolis, T. V.Rangelov. Transient seismic wave propagation in a multilayered cracked geological region. // Journal of Sound and Vibration 273 (2004)1-32.

193. Dogan A., Uchino K., Newnham R.E. // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelectr. and Freq. Contr. V.44, N3. 1997. P. 597-605.

194. E.Douka,S.Loutridis,A.Trochidis. Crack identification in plates using wavelet analysis. //Journal of Sound and Vibration 270 (2004)279-295.

195. J. Dominguez, M.P. Ariza. A direct traction BIE approach for three-dimensional crack problems. // Engineering Analysis with Boundary Elements 24 (2000) 727-738.

196. J. M. Dulieu-Barton, K. Worden. Genetic identification of crack-tip parameters using thermoelastic isopachics. // Meas.Sci.Technol. 14 (2003) 176-183.

197. Wael M.Elleithy, Masataka Tanaka Interface relaxation algorithms for BEM-BEM coupling and FEM-BEM coupling. I j Comput.Methods Appl.Mech.Engrg. 192 (2003) 2977-2992.

198. Matthias Eller. Identification of cracks in three-dimensional bodies by many boundary measurements. // Inverse Problems 12 (1996) 395-408.

199. Otto von Estorff, Christian Hagen Iterative coupling of FEM and BEM in 3D transient elastodynamics. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 775-787.

200. A. Farcas, L. Elliott, D.B. Ingham, D. Lesnic The dual reciprocity boundary element method for solving Cauchy problems associated to the Poisson equation. // Engineering Analysis with Boundary Elements 27 (2003) 955-962.

201. Fried I., Malkus D.S. Finite element mass matrix lumping by numerical integration with no convergence loss // Intern. J. Solids and Structures. 1975. V. 11. N 4. P. 461— 466.

202. R. Gallego, G. Rus Identification of cracks and cavities using the topological sensitivity boundary integral equation. // Computational Mechanics 2004 V. 33 P.154-163.

203. F.Garcia-Sanchez, Andres Saez, J.Dominguez. Anisotropic and piezoelectric materials fracture analysis by BEM. // Computers and Structures 83 (2005)804-820.

204. Garnich M.R., Hansen A.C. A multicontinuum Approach to Structural Analysis of Linear Viscoelastic Composite Materials. // J of Applied Mechanics. December 1997. Vol. 64. P. 795-803.

205. D. Graham, P. Maas, G.B. Donaldson, C. Carr. Impact damage detection in carbon fibre composites using HTS SQUIDs and neural networks. // NDT&E International 37 (2004) 565-570.

206. Y T. GU, G. R. LIU Meshless Methods Coupled with Other Numerical Methods. // Tsinghua Science and Technology. pp8-15, Volume 10, Number 1, February 2005.

207. Hao DN, Lesnic D. The Cauchy problem for Laplace equation via the conjugate gradient method. IMA J Appl Math 2000;65:199-217.

208. K. Hayashi, Y. Ohura, K. Onishi Direct method of solution for general boundary value problem of the Laplace equation. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2002. V. 26, P. 763-771.

209. F. Hantila, M. Vasiliu, M. Maricaru, A. Delia Giacomo Boundary element method for multiply connected domains. // Journal of Materials Processing Technology 161 (2005) 315-319.

210. Hiroshi Hatta, Mohamed S.Aly-Hassan, Yoshimi Hatsukade, Shuichi Wakayama, Hiroshi Suemasu, Naoko Kasai. Damage detection of C/C composites using ESPI and SQUID techniques. 11 Composites Science and Technology 65 (2005)1098-1106.

211. Yongyong He, Dan Guo, Fulei Chu. Using genetic algorithms and finite element methods to detect shaft crack for rotor-bearing system. // Mathematics and Computers in Simulation 57 (2001) 95-108

212. Hinton E., Rock Т., Zienkewicz O.C. A note on mass lumping and relating processes in finite element method // Intern. J. Earthquake. Eng. and Struct. Dyn. 1976. V. 4. N 3. P. 245-249.

213. Y.C.Hon,Z.Wu. A numerical computation for inverse boundary determination problem,Engrg.Anal.Boundary Elements 24 (2000)599-606.

214. C.K.Hsieh,A.J.Kassab. A general method for the solution of inverse heat conduction problems with partially unknown system geometries,Int.J.Heat Mass Transfer 29 (1986)47-58.

215. С. C.Huang,B.H. Chao. An inverse geometry problem for identifying irregular boundary configurations,Int.J.Heat Mass Transfer 40 (1997)2045-2053.

216. C.C.Huang, C.C.Tsai. A transient inverse two-dimensional geometry problem in estimating time-dependent irregular boundary configurations,Int.J.Heat Mass Transfer 41 (1998)1707-1718.

217. M.Ikehata. Size estimation in elasticity,Preprint 1997.

218. M.Ikehata. Size estimation of inclusion,J.Inverse Ill-Posed Probl.6 (1998)127-140.

219. Loukas F.Kallivokas, Tanjeet Juneja, Jacobo Bielak A symmetric Galerkin BEM variational framework for multi-domain interface problems. // Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.194 (2005)3607-3636.

220. Karlson S.E.S Identification of external structural loads from measured harmonic respons.// J. Sound and Vibr. 1996. 196. N. 6 p. 59-74.

221. A.J.Kassab,F.A.Moslehy,A.B.Daryapurkar. Nondestructive detection of cavities by an inverse elastostatics boundary element method,Engrg.Anal.Boundary Elements 13 (1994)45-55.

222. H.S. Kit, M. V. Khaj, O.P. Sushko. Investigation of the interaction of flat surface cracks in a half-space by BIEM. // International Journal of Engineering Science 38 (2000) 1593-1616.

223. Michihiro Kitahara, Kazuyuki Nakahata, Sohichi Hirose. Elastodynamic inversion for shape reconstruction and type classification of flaws. // Wave Motion 36 (2002) 443-455.

224. Kobayashi K. Numerical solution of the Caushy problem in plane elastosyatics. // J Inv. Ill-Posed Problems, Vol. 8, No. 5, pp.541-560 (2000).

225. Koya T, Yeih W, Мига T. An inverse problem in elasticity with partially overprescribed boundary conditions. Part II. Numerical details. J Appl Mech, Trans ASME 1993;60:601Ц6.

226. Kozlov V., Mazya V., Fomin A. The inverse problem of coupled thermo-elasticiti. // Inverse Problems 10 (1994) 153-160.

227. Kress.R. Inverse elastic scattering from a crack// Inverse Problems. 1996. V.12. N5. P.667-684

228. S.Kubo. Inverse problems related to the mechanics and fracture of solids and structures,JSME Int.J.31 (1988)157-166.

229. Jun Lei, Yue-Sheng Wang, Dietmar Gross. Analysis of dynamic interaction between an inclusion and a nearby moving crack by BEM. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 802-813.

230. D.Lesnic,J.R.Berger,P.A.Martin. A boundary element regularization method for the boundary determination in potential corrosion damage,Inverse Probl.Engrg.10 (2002)163-182.

231. Lesnic D, Elliott L, Ingham DB. An iterative boundary element method for solving numerically the Cauchy problem for the Laplace equation. Engng. Anal. Bound. Elem. 1997;20(2):123-33.

232. Liang Y.C., Chyanbin Hwu On-line identification of holes/cracks in composite structures. // Smart Mater. Struct. 2001. V.10. P. 599-609.

233. Y.J. Liu On the simple-solution method and non-singular nature of the BIE/BEM P a review and some new results. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 24 (2000) 789-795.

234. Yijun Liu, Hui Fan. On the conventional boundary integral equation formulation for piezoelectric solids with defects or of thin shapes. // Engineering Analysis with Boundary Elements 25 (2001) 77-91.

235. Yijun Liu, Hui Fan. Analysis of thin piezoelectric solids by the boundary element method. // Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.191 (2002)2297-2315.

236. Luciano G.S. Leite, Wilson S. Venturini. Boundary element formulation for 2D solids with stiff and soft thin inclusions. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 257-267.

237. Mackerle J. Finite-element modelling of non-destructive material evaluation: a bibliography (1976-1997) // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 1999. V. 7. P. 107-145.

238. Mackerle J. Topology and shape optimization of structures using FEM and BEM A bibliography (1999 2001). // Finite Elements in Analysis and Design 39 (2003) 243-253.

239. Mackerle J. FEM and BEM in the context of information retrieval // Computers and Structures 80 (2002) 1595-1604.

240. Mackerle J. Crystals and polycrystals: FEM and BEM material modelling A bibliography (1998 2000). // Finite Elements in Analysis and Design 38 (2002) 461-475.

241. Mackerle J. Material and geometrical nonlinearities FEM and BEM analyses A bibliography (1998-2000). 11 Finite Elements in Analysis and Design 38 (2002)307-317.

242. N. Mai-Duy, R.I. Tanner An effective high order interpolation scheme in BIEM for biharmonic boundary value problems. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 29 (2005) 210-223

243. S. K. Maiti, N. K. Mukhopadhyay, A. Kakodkar. Boundary element method based computation of stress intensity factor by modified crack closure integral. // Computational Mechanics 19 (1997) 203-210.

244. G.D.Manolis, P.S.Dineva, Т. V.Rangelov. Wave scattering by cracks in inhomogeneous continua using BIEM. // International Journal of Solids and Structures. 41 (2004)3905-3927.

245. Liviu Marin A meshless method for the numerical solution of the Cauchy problem associated with three-dimensional Helmholtz-type equations. // Applied Mathematics and Computation. 2005. V. 165, P. 355-374.

246. Marin L, Elliott L, Ingham DB, Lesnic D. Boundary element solution for the Cauchy problem in linear elasticity. In: Brebbia CA, Power H, editors. Boundary elements, vol. XXII. WIT Press; 2000. p. 83Ц92.

247. Marin L, Elliott L, Heggs PJ, Ingham DB, Lesnic D, Wen X. An alternating iterative algorithm for the Cauchy problem associated to the Helmholtz equation. // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2003. V. 192, P. 709-22.

248. L. Marin, L. Elliott, P. J. Heggs, D. B. Ingham, D. Lesnic, X. Wen Conjugate gradient-boundary element solution to the Cauchy problem for Helmholtz-type equations. // Computational Mechanics 31 (2003) 367-377. Springer-Verlag 2003.

249. L. Marin, L. Elliott, P. J. Heggs, D. B. Ingham, D. Lesnic, X. Wen BEM solution for the Cauchy problem associated with Helmholtz-type equations by the Landweber method. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2004. V. 28, P. 1025-1034.

250. L. Marin, L. Elliott, D. B. Ingham, D. Lesnic Identification of material properties and cavities in two-dimensional linear elasticity Computational Mechanics. 2003. V. 31 P. 293-300. Springer-Verlag 2003

251. L.Marin, D.Lesnic. BEM first-order regularisation method in linear elasticity for boundary identification. // Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.192 (2003)2059-2071.

252. Massimiliano Margonari, Marc Bonnet Fast multipole method applied to elastostatic BEM-FEM coupling. // Computers and Structures 83 (2005)700-717.

253. S.C.Mellings,M.H.Aliabadi. Flaw identification using the boundary element method,Int.J.Numer.Meth.Engrg.38 (1995) 399-419.

254. I. V.Melnikova, O.Zheng, J.Zhang Regularization of weakly ill-posed Caushy problems. // J Inv. Ill-Posed Problems, Vol. 10, No. 5, pp.503-511 (2002).

255. Mera NS, Elliott L, Ingham DB, Lesnic D. The boundary element solution of the Cauchy steady state heat conduction problem in an anisotropic medium. Int J Numer Meth Engng 2000;49(4):481-99.

256. S.G. Mikhlin, N.F.Morozov, M.V. Paukshto. Integral Equations of the Elasticity Theory. Teubner Publichaus, 1995.

257. V.G.Mokos,E.J.Sapountzakis. A BEM solution to transverse shear loading of composite beams. // International Journal of Solids and Structures 42 (2005)3261-3287.

258. A.P. Mouritz, C. Townsend, M.Z. Shah Khan. Non-destructive detection of fatigue damage in thick composites by pulse-echo ultrasonics. // Composites Science and Technology 60 (2000) 23-32.

259. Subrata Mukherjee, Xiaolan Shi, Yu Xie Mukherjee Internal variables and their sensitivities in three-dimensional linear elasticity by the boundary contour method. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 187 (2000) 289-306.

260. Gen Nakamura, Gunther Uhlmann, Jenn-Nan Wang. Reconstruction of cracks in an inhomogeneous anisotropic elastic medium. // J. Math. Pures Appl. 82 (2003) 12511276.

261. A. Oishi, 1 K. Yamada,! S. Yoshimura,2 G. Yagawa,3 S. Nagai,4 Y. Matsuda. Neural Network-Based Inverse Analysis for Defect Identification with Laser Ultrasonics. //Res Nondestr Eval (2001) 79-95.

262. Onishi K, Ohura Y. Direct adjoint method for inverse boundary value problem of the Laplace equation. Theor Appl Mech, Sci Council Jpn 2001;50:425-33.

263. Pabst U.,Hagedorn P. Identification of boundary conditions as a part of model correction // J. Sound and Vibr. 1995. 182. N 4. P.565-575.

264. Paige C.C., Saunders M.A. Algorithm 583. LSQR: Sparse linear equations and sparse least squares problems. // ACM Trans. Math. Software. 1982. 8. N2 P. 195-209.

265. H.M.Park,J.H.Ku. Shape identification for natural convection problems, Commun. Numer. Meth. Engrg. 17 (2001) 871-880.

266. Petia S. Dineva, George D. Manolis. Scattering of seismic waves by cracks in multi-layered geological regions II. Numerical results. // Soil Dynamics and Earthquake Engineering 21 (2001) 627-641.

267. A.-V. Phan, J. A. L. Napier, L. J. Gray, T. Kaplan. Stress intensity factor analysis of friction sliding at discontinuity interfaces and junctions. // Computational Mechanics 32 (2003) 392-400.

268. D.Polyzos a,b ,K.G.Tsepoura a,b ,D.E.Beskos Transient dynamic analysis of 3-D gradient elastic solids by BEM. // Computers and Structures 83 (2005)783-792.

269. Junping Pu. A doubly iterative BEM for solving crack closing in an elastic body. // Computers and Structures 82 (2004)25-33.

270. Qing-Hua Qin. Material properties of piezoelectric composites by BEM and homogenization method. // Composite Structures 66 (2004)295-299.

271. QIN Qingh.ua. Micromechanics-BEM Analysis for Piezoelectric Composites. // Tsinghua Science and Technology pp30-34 Volume 10, Number 1, February 2005.

272. Qing-Hua Qin, Yiu-Wing Mai. BEM for crack-hole problems in thermopiezoelectric materials. // Engineering Fracture Mechanics 69 (2002)577-588.

273. Rao S.S., Sunar M. Analysis of distributed thermopiezoelectric sensors and actuators in advanced intelligent structures // AIAA Journal. 1993. V. 31. N 7. P. 1280-1286.

274. Reinhardt HJ, Han H, Hao DN. Stability and regularization of a discrete approximation to the Cauchy problem for LaplaceYs equation. SIAM J Numer Anal 1999;36(3):890-905.

275. Guillermo Rus, Sang-Youl Lee, Rafael Gallego. Defect identification in laminated composite structures by BEM from incomplete static data. // International Journal of Solids and Structures 42 (2005)1743-1758.

276. Sailing He, Romanov V. G. Explisit formulas for crack identification in conductors using boundary measurements of direct current fields. //Journal of applied physics. 1999. V. 85. N 9. P. 6822-6827.

277. A. Salvadori. A symmetric boundary integral formulation for cohesive interface problems. // Computational Mechanics 32 (2003) 381-391.

278. Santosa F., Vogelius M. A computational algorithm to determine cracks from electrostatic boundary measurements// Intern. J. Eng. Sci. 1991. V. 29. N 8. P. 917-937.

279. J.A. Sanz, M.P. Ariza, J. Dominguez. Three-dimensional BEM for piezoelectric fracture analysis. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 586-596.

280. E.J.Sapountzakis. Torsional vibrations of composite bars of variable cross-section by BEM. // Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.194 (2005)2127-2145.

281. Hideki Sekine, Bo Yan, Takeshi Yasuho Numerical simulation study of fatigue crack growth behavior of cracked aluminum panels repaired with a FRP composite patch using combined BEM/FEM. // Engineering Fracture Mechanics 72 (2005) 2549-2563.

282. X.Shi,S.Mukherjee. Shape optimization in the three-dimensional linear elasticity by the boundary contour method,Engrg.Anal. Boundary Elements 23 (1999)627-637.

283. Stavroulakis G.E., Antes H. (1997) Nondestructive elastostatic identification of unilateral cracks through BEM and neural networks. Comput. Mech. 20(5): 439-451.

284. A.Tafreshi Shape design sensitivity analysis in 2D anisotropic structures using the boundary element method,Engrg.Anal. Boundary Elements 26 (2002)237-251.

285. M.Tanaka,Y.Masuda. Boundary element method applied to some inverse problems, Engrg.Anal. 3 (1986)138-143.

286. M. Tanaka,K. Yamagiwa. A boundary element for some inverse problems in elasto-dynamics, Appl.Math.Modell.13 (1989)307-312.

287. M.Tanaka,M.Nakamura,T.Nakono. Defect shape identification by the elastodynamic boundary element method using strain responses,in:M.Tanaka,C.A.Brebbia,R.Shaw (Eds.),Advances in BEM in Japan and USA,CMP,Southampton,UK,1990, pp.137-151.

288. M.Tanaka,M.Nakamura,R.Ochiai. A filtering approach for identification of unknowns in elastodynamic problems using boundary element method, in: B.M.Kwak, M.Tanaka (Eds.), Computational Engineering, Elsevier Science, 1993, pp.341-346.

289. Temple A., Ogilvy J. Numerical techniques for wave propagation and scaffering in inhomogeneous anisotropic matirials. // Elastic Waves and Ultrasonic Nondestructive Evalution. 1990. p. 143-149.

290. T. Takahashi, N. Nishimura, S. Kobayashi A fast BIEM for three-dimensional elastodynamics in time domain. // Engineering Analysis with Boundary Elements 27 (2003) 491-506.

291. Marwala Tshilidzi. Fault identification using pseudomodal energies and modal properties. // AJAA Journal 2001, 39, N 8, p. 1608-1617.

292. T.W.Ulrich, F.A.Moslehy, A.J.Kassab. A BEM based pattern search solution for a class of inverse elastostatic problems, Int. J. Solids Struct.33 (1996)2123-2131.

293. Vatulian A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity // Boundary Elements Communications 1995. v.6. P.59 61.

294. C.A.R. Vera-Tudela, J.C.F. Telles A numerical Green function and dual reciprocity BEM method to solve elastodynamic crack problems. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 29 (2005) 204-209.

295. Hongtao Wang, Guowen Tan, Song Cen, Zhenhan Yao Numerical determination of effective properties of voided piezoelectric materials using BNM. // Engineering Analysis with Boundary Elements 29 (2005) 636-646.

296. Yin-Bang Wang, Yu-Zhou Sun. A new boundary integral equation method for cracked 2-D anisotropic bodies. // Engineering Fracture Mechanics 72 (2005)2128-2143.

297. WANG Pengbo, YAO Zhenhan, WANG Haitao. Fast Multipole BEM for Simulation of 2-D Solids Containing Large Numbers of Cracks. 11 TSINGHUA SCIENCE AND TECHNOLOGY. pp76-81 Volume 10, Number 1, February 2005

298. X.Wei,A.Chandra,L.-J.Leu,S.Mukherjee. Shape optimization in elasticity and elasto-viscoplasticity by the boundary element method,Int.J.Solids Struct.31(1994)533-550.

299. Weikl W., Andra H., Schnack E. An alternating iterative algorithm for the reconstruction of internal cracks in a three- dimensional solid body // Inverse Problems. 2001. V. 17. N 6. P.1957-1975.

300. P.H.Wen, M.H.Aliabadi, A.Young. Crack growth analysis for multi-layered airframe structures by boundary element method Engineering Fracture Mechanics 71 (2004)619-631.

301. Wojcik G.L., Vaughan D.K., Abboud N., Mould J. Electromechanical modeling using explicit time-domain finite elements // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 1993. V. 2. P. 11071112.

302. Z.M.Xiao J.Luo. On the dynamic interaction between a penny-shaped crack and an expanding spherical inclusion in 3-D solid. // Engineering Fracture Mechanics 71 (2004)1635-1649.

303. Yeih W, Koya T, Мита Т. An inverse problem in elasticity with partially overprescribed boundary conditions. Part I. Theoretical approach. J. Appl. Mech., Trans ASME 1993; 60: 595-600.

304. Yi S., Ling S.F., Ying M., Hilton H.H., Vinson J.R. Finite element formulation for anisotropic coupled piezoelectro-hygro-termo-viscoelasto-dynamic problems. // Intern. J. Num. Meth. Eng. 1999. V. 45. N11. P. 1531-1546.

305. Ken-ichi Yoshida, Naoshi Nishimura, Shoichi Kobayashi Application of new fast multipole boundary integral equation method to crack problems in 3D. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 25 (2001) 239-247.

306. Z. Q. Yue, H. T.Xiao, L. G. Tham. Elliptical crack normal to functionally graded interface of bonded solids. // Theoretical and Applied Fracture Mechanics 42 (2004)227-248.

307. Ch.Zhang, J.Sladek, V.Sladek. Antiplane crack analysis of a functionally graded material by a BIEM. // Computational Materials Science 32 (2005)611-619.

308. Ch.Zhang, A.Savaidis, G.Savaidis, H.Zhu. Transient dynamic analysis of a cracked functionally graded material by a BIEM. // Computational Materials Science 26 (2003)167-174.

309. Eugeniusz Zieniuk Bezier curves in the modification of boundary integral equations (BIE)for potential boundary-values problems. // International Journal of Solids and Structures. 40 (2003) 2301-2320.

310. Zozulya V. V., Men'shikov A. V. About one 3D contact problem of fracture mechanics in a case of normal action of tension-compression wave. // Intern. Appl. Mech. 2002. Vol. 38, N 7. P. 74-78.