Радикалы и кольца частных хопф-модульных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

А К АДЕ М И Я К А У 11 С ССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕ:Б® ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ка правах рукописи

СИДОРОВ Александр Васильевич -

УДЕС 512.552,1^512.552.51

РАДЖШ И КОЛЬЦА. ЧЛСГгЩ ; ХОПФ-МО ЛУДЬ! ¡¡¿Х ЛДГЕБР .

01.01.05 - математическая логика, алгебра и теория чисел

А в т о р ь ф е р а ? диссертация на соискание учено Г- степени кандидата фия.ико-матсиатичеек'/х наук

Новосибирск - 1&ЭО

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН СССР.

инициальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

вден-корреспондент лн мССг . ' *■ ы.м.Рябухин,

* доктор физико-математических наук,

. профессор Ш.м.мальцев

Ведущая организация - Московский государственны? университет ш.Ломоносова

•

Уащита состоится " " _1У года в_

часов на заседании специализированного совета Д 00<:.;&3.01 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу:

&ШУО, Новосибирск,У0, Университетский проспект, 4. * '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математики СО АИ СССР.

Автореферат разослан _"___1Й

Ученый секретарь

специализированного совета ' ■

доктор фиэико-математических .

паук . й.А.Палютин

А г; т у а л ь н о с ? ь гаки. ДсРгтте многих паяных энлоуорфнриов ассоциативных алгебр таких как лртокор^ияиы, лифЯсренцирорания, косые дкффсреннировшил и др., можно интерпретировать кшг деРстрля алгебр Хопфз. Все ото привело к гэяп-леяда понятая ХогФ-модульнэплгрбры над произюльиэР алгеброй Хопфа. В последнею время Хоп£-мозульнкз еягебри «хтивна кзуча-птся в рлботях С.Монтгойэр!!, Н.Коон, В.К.Хяртснко, Дк.Боргена, Х.КрвРиора.

Цель работу. Дяегертацяоикзя рябом соепрдена изучения строения Хопф-иэдульиых алгебр. В частности

I. Доказано, чго hü S -сеоГетга заполняется ко для всех раяшгмор Хояф-кояуяытх аягобр.

2« Йаучглш различные обоеГаевшг ггласоидаских ради» ало в.

3. Построек аналог ггласеггтсхор теории Ваддорб<»рна-Лрт(5-hs дяя Хопф-йодулммя пягсбр с условие» агш$п:зг«2>етя, я ?лдрс>

ЯОЛвЛвйО «Яре»« об ОГ5в!ИСКЯ!» НЯйЬПЭТСЯТКОГЭ ягОДрЯвИЗКЭГЭ

рядкяала о кои<1*ямкаркв? Хог4-издуяьноР адгебрз.

4. Доказало» trro действие деэтврввекяэР atrcöpa Х<ят£я гс~ кг? б«т» проявляя» «а зео о&ттз tzz& ¡гоящ тоетод?» а доР-старе ггопуккткров&итх earaöp Йойф* «расм^-з-гея ка иягдоюль"

гкт кояыг> слегла:.

5. /Iii: jaia ssyv50ü дзааггя r.rxt^pinzit

Öm„.,(Rl ~ С »?'*) *, н» H - кэке-адоморная ак~ Г'йгп Xor.*

? 5 о js i? т я i j с г о 0 n ii p a ;f ? if с к о о л п л «i а а и о. Работ яоеит гюр^'шпзеичй язрлктер. Лолу* чч-шшз рзяул&гвг« wory? йнть иадольпошш з дяльиеРоих иссяо~ дооаниях m> с труп-турне;* теории ХопФ-надульт«: ялгобр.

A tj р о t л и н я работ ы. Осногнке результаты дохла-¿ta-uu ь иг liw,yiiftp" iHo? кок^'-'реьции по ал г« ре .(Iir-'осибирск, 'vX.?1* и ка L .:ССгс?яоГ едэ'ге по- теории алгобр Г.и (Уоскрр 1967)., Регул.иТк тич*« г. 'клаяипялись и обсуждались m семйнвре "¡Г«* op:'.F -<олсдк 8 Институт.; штеннпа. 'JCCP, --на сеиин£ре , *

сока Теория кс.л<*ц" и ;!н;."*атут<,' иатснаткхи СО&.ЧСЙСГ •.'на "fee* к;; ро ' Алгебра и логм " г .'.Ьяюсибирсхг государственном университете. -

П у б л и к a •• и и. Пп тема диссертации опубликовано 5 ">абот. - - • ,

9 б v б к работы. Диссертационная работа изложена на S4 стран»!»*. Бибакг>графил содержит 36 наименований.

СО.;ИЕ РАБОТЫ

Ассог ?игчая алгебра , v над полем называется Хопф- . ипдуди»? ни И (иди Н -иолу* w Н - аяпГбра Коя-фа (яш более обко, би&ягебгч), если ^ai1'1'

i".« uh);i дяяясбих •'W

дЬ= Ь„> - soyicioseime в Н о Пусть H-Mod -

»ft!

тепзрия 'все* Ц -ыодулъм«« алгебр.

В перс-ер гдадо изучаатся'радякеян а категорий Н'^Ое/, Одним из основных вопросов теорий радш on в л сбои жя&ссв ел-уойр являемся вы ¡ияиость ADS ' «csoPctes; - \

если В« А „ иде&я, то 'j>lB)< А - токе aseas. Ш)Р£ЦА 1Д. А £) S .-so й1кэ<якг>;;£) дйз шса^ого

Н -радикала"'soraa" и тшф тогда, когда адеай Н*« Kct £ -Т -HHibRi .гитвзг. cepasa. ' .

"-\яог е глазе- ! .рас атривава^з конгретнио Н-редштяи,

штудированные kxi. гическк ( ряд»- *ам'л Бора, Л еп игу о го, [ё*-?, Д-екобсоиа - JbM . , J и (где / = J^s/V " ^ - наи'о-

лыпиР Н -идеал в 'А , гзкор, -•?>. ) » I ^ « a.w cu-г два обобщения pan кала ^екобсоня:

— А) , где М и JD пробегают, со~тис*,е?НбГ'"5,

множества вг ^ неприводимых правых (А, Н)-мздуяе? и мкоглслю веек максимальных правше Н-модулярных И -идеалов. Доказаны

следукаие результаты* ТЕОРЕУА ЬЗ'« ;.vcTb Н - произвольная "чгебра Хог.фа. Для л обоР fi -модульное ¡-лгебры Д пмаат место равенства:

(А)= Л{r'lP-tf А ~ А/< ef*,' ;

где ^ » класс всех tj -лера..^гкьк алгебр, - кл» -с всех

^ i7-"> do

-полупростых алгебр из S t , j . - класс ъсех ^-полу-

прость-х алгебр из S

ПРЭДОКЕН/Ш 1.9. Для любо? алгебры Хопф' Н имс-e-i мес-rv, ¡зключекие J ' вооб. j говоря, стг -ч>».

^РЗДПОШИБ 1.и. Для протполыюЯ алгеоры Кс t-a Н имеет место включение ^м ^ ^ * зоо^'яе говоря, строго .

СПРЕДЕЛ£13{Е. Элемент Х£ А называется / ' -квазирегу-лярньа справа„ осли существуя« элемен-ч hi ,hf = Н,

<*<.а„. А , такие, что = 1

TEQFEH- 1.4. Пусть А ™ Ч -модульная алгебра. Тогда - наибольший И -идеал в ^ , ас .тояаиР из Я -квазирегулярных «права ов.

Введши oficjHf оние и'ц (А} - {«-€ АI ( ]/ В <Ь _ ко-

нечто -ne рожденная нодолгебр^Л ( а 10 00 ) i ■>

где <<Мв'-{аЬ |hfc 8f.

ПРЁДШШ1Ш 1.12. Пусть H - произвольная алгебра Хопфа, А - H - шдульная алгебра и £"Н{А) ^ (А) , тогда

XrH(A)çj(A).

Вторая глава посвящена построению структурна? теории Хопф-модульных алгебр с условием минимальности.

ПВДПСШИЕ 2.1. Пусть H - алгебра Хоп<$а с биектиьшш антмюдом, А " H - артиноЕа слева или справа аагебра. Тогда И - радикал J- М) - нильпотонтен, в частности,

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть A- H -модульная алгебра. Следувдие условия октшилснтны.

(в) А является конечноР прямоР суммой H-артииосых сильно Н -простых алгебр;

(б) А ~ H -дртиноеа сильно H -полупростая алгебра;

(в) аА и Ад - Н -артшювы вполне приведшие (A,Hj -модули;

(г) алгебра А - полупростая артинова и существенная в

А .

Далее рассмотрен еопрос об отщеплении нильпотентного H -радикала в конечном&рной H -шдулыюс алгебре.

TE0FEMA 2.5. Пусть H - произвольная биалгебра, А -конечномерная H -модульная алгебра, /V- \&ctH А _ нн-льпотентный И -радикал. Если

А/У- H - сепьрабельная алгебра, являющаяся проективным H-модулем, то существует H -гюд.ллгебра S ^ А , такая, что А " S ® /V ,

s - АЛЧА,

и для любых двух таких подалгебр t ияРлятся олеяент П£ Л/Ц • такой, что

И» указанной ашеден рдд слодствм? ?лч «лгабр

Хопфа конкретного

Третья глава поа&ШШ йольцам частно Хопф-уодульжяс алгебр относительно прой&шйийнх топологий Габрлэлк. Из задачи распространения дерстййй 8й$в6рИ И с исалгебры на ее кольца частных Й*$з> йоййолно далеко ко гейго'а) еознихаот понятия И »допустимой я слабо Н -допустою? "м-пологие}» Габриэля, которые обеспечивав? такую еозиождасть. СяедуадиР результат сводит проверку допустимости тояологм* Габриэля от алгебры Хопфа Н я ев корадикалу Но •

ТЕОРЕМА 3.1. Топология Габриэля Т на - Н -допустима тогда и только тогда, когда она ^-допустима.

Отсюда следует, а частности, что усторчипке сшссй^&гмм автоморфизмов топологии Габриэля допустимы относитзльш г»боЙ пунктиробонной алгебры Хопфа.

ОПРЕдаЛБ!5Й5. Алгебра Хопфа Н деРструет на Н ляиейдо независимо справа {слева), если в Я на выполняется ыжалое.'/' нетривиальное тождество айда ^ X*4 ■=: О

, где Ьг еН

ТЕОРЕМА 3.4. Если конечномерная пунктированная алгебра Хопфа Н деГствует на линеРно независимо слева и спрглзп, то = Q

то.* (Я ) для правых а левых максимальных колец частных.

ТЕ0Р"УА 3.7. Пусть Н - конечномерная палупростап алгебра Хопфа, - антасикгуляркая слева (спраЬ'Л Н--модульная алгебра, удовлетворяющая условно максимальности прямых сумк деььгх (правых) идеалов. Ег.ни плотная топология в

- свабо . Н °доиуе?ша м фарад. ¿V. ^ К' мващюв-'

дета,, я© • ©^«.д 1Я ) ^мад ^^ ) дяя

■(правмк) шггашшы " колец адстаюс* .

ОЫ'ЩЛЕНИЕ. Конечкоивркэдг ©ягебра Жопфп Н называемся . 'коп^шуир -адаой, ост • дуельн&я аяре ра Хопфа Н я&аяе,гся ■ пузк»ироваяно{?в

ТЕОРЕМА 3.8, Пусть Н » коношоыврная ко~уккямро®атта ялодда ЗЬяфа, »4 И иж>др&№Я азпзбра. Тогда плотная токология на Р еяабо И -допустиыао

%г-ь С? „ 5£ок©чшш группа к I? - С? -градуированная алгебра» Ч^.еэ I?,; будем обозначать конпонеи«; градуировки, ■•от-ораа соотвеяетвуе'? единиц© грдрзгш е<£ &

- 1Е0РЕНА 3.3» Пус ь К - подуларадама® анодснн' 'яяриая . сйв^а (справа) бг -гравированная алгебра. Тогда

^ )е ® ) для левых (правая)

максимагьньл иояец частных.

Работы автора по ъже диссертации

1с Сидоров А.В. Радикшш ^ •чзодульик: алгебр //19 Все» союз, аягебр. конф., Львов, ¡987 г.; Те-. дом., ^„П, е.258-259 о/

2о Пвдоров А.11., Кольца тастнш ^ -шдульных ш—вбр// Бетлегеза СМО, » I» 1988, с.24-25.

3. Сидороз А,Во Об Н «инвари&нзыах захсгасяькэго кольца **1Стн&к//М©вд. кокф. по алгебра, Новосибирск, 2989? Тез. докл. по яжодец, е. 124.

4. Сидоров А.Во» Ьл отщегцвкш радикала кона-жэнсрньк

Н -модульных алгебр//Аягэбра и логика. - 1989. - ?.2В, $ 3.

5. Садороа A.B. » Раднаазы Й -««одздак х аягебр/ 'Аагебра a serosa. - ИВЬ«,.-:*.^» Э 6« ->