Расчет энергий одноэлектронных состояний двухатомных молекул и атомов методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

СКЛЯДНЕВ ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ

РАСЧЕТ ЭНЕРГИЙ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ И АТОМОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

специальность: 02.00.04 "Физическая химия".

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук

Воронеж-1998

Работа выполнена на кафедре физики твердого тела Воронежского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор О.В. Фарберович Официальные оппоненты - доктор химических наук, профессор

Бобрешова О.В. - кандидат химических наук, доцент Шапошник A.B.

Ведущая организация - Институт общей и неорганической

химии им. Н.С. Курнакова РАН.

Защита состоится _ 1998 г. в 15.20 на заседании дис-

сертационного совета Д 063.48.05 по химическим наукам при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, химический факультет, ауд. 435.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВГУ.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор химических наук, профессор ( Селеменев В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы значительно возрос интерес к новым численным методам, используемым в первопринципных расчетах полных энергий и электронных свойств атомов и молекул. Этот интерес в значительной мере обусловлен тем, что традиционные методы численных расчетов (PB, ЛКАО и др.) не в состоянии обеспечить точность расчетов (10-' - 10 3 %), необходимую для количественной оценки важнейших физико - химических характеристик, таких как энергии активации химических реакций, энергии ионизации, диссоциации и т.д., всюду, где та или иная константа находится как разность больших величин. Получившие широкое распространение различные полуэмпирические методы и методы сравнительной оценки не могут претендовать на высокую точность, несмотря на порой близкое согласие с экспериментальными данными, т.к. они оперируют с подгоночными параметрами и используют ряд серьезных упрощений.

Так, на сегодняшний день существуют два принципиально новых метода - полностью численный конечно - разностный метод (FDM [1] ) и метод конечных элементов ( FEM [2] ), в достаточной мере зарекомендовавшие себя в расчетах энергетических характеристик молекул и атомов. Обходя стороной дискуссию о сравнительных достоинствах и недостатках того или другого метода, отметим, что по-видимому метод конечных элементов (МКЭ) является более стабильным и точным [3].

К основным достоинствам МКЭ относят : а) полиномиальную полноту базисного набора; б) очень разреженную матрицу Гамильтониана; в) простоту изменения конечно-элементной сетки разбиения области определения задачи; г) отсутствие, как правило, в МКЭ каких-либо упрощающих предположений относительно вида потенциала; д) возможность представления любой произвольной функции , на пример, куло-новского потенциала или электронной плотности, в виде ряда из базисных функций метода конечных элементов.

Как и другие методы, МКЭ обладает рядом недостатков, основным нз которых можно назвать высокие требования к ресурсам ЭВМ ( ОЗУ и быстродействие процессора ). Цель работы :

1. Создание методики самосогласованного расчета электронной структуры атомов и молекул методом конечных элементов;

2. Исследование влияния используемого конечно-элементного базисного набора на сходимость и точность энергетических характеристик;

3. Расчет электронной структуры, полной энергии, равновесного межъядерного расстояния и жесткости связи некоторых малоэлектронных молекул и атомов.

Научная новизна и практическая значимость работы: Разработана методика самосогласованного расчета одноэлектрон-ных и полных энергий и основных спектроскопических констант двухатомных молекул и атомов методом конечных элементов в приближениях теории функционала плотности (ТФП) и Хартри - Фока . Показано , что в расчетах МКЭ в рамках теории Хартри - Фока и в приближении нелокального функционала Столла наиболее эффективным является использование иерархического серендипова базисного конечно-элементного набора . Впервые были произведены первопринципные расчеты энергетических характеристик молекул НЬ , ЬЬ и ЫН и атома и в различных приближениях функционала локальной плотности методом конечных элементов; полученные результаты хорошо согласуются (а для некоторых систем и превосходят по точности) с аналогичными расчетами, проведенными традиционными численными методами.

На защиту выносятся следующие основные положения : I. Методика расчета методом конечных элементов электронной структуры молекул и атомов в приближении локальной плотности и в рамках теории Хартри-Фока.

2. Методика расчета методом конечных элементов корреляционной энергии атомов и двухатомных молекул методом конечных элементов в приближении нелокального функционала плотности Столла.

3. Наиболее эффективными для квантовомеханических расчетов электронных свойств двухатомных молекул и атомов являются иерархические конечно-элементные базисные наборы высоких порядков.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Воронежская зимняя математическая школа -1995 " и на IV Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов", а также на научных сессиях физического и химического факультетов ВГУ ( 1991 - 1997 г.г.).

Публикации. По материалу диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Содержит 108 страниц, включая 16 рисунков, 16 таблиц и список цитируемой литературы из 104 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении обоснована актуальность проблемы, новизна решаемых в диссертации задач, сформулирована цель работы, дано краткое описание структуры диссертации, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассмотрены современные методы теоретического исследования электронной структуры атомов и молекул. Особое внимание уделено методам и приближениям, используемым в данной работе : теории функционала плотности, методу Хартри-Фока, а также методу конечных элементов (МКЭ) и базисным функциям МКЭ.

Вообще, к решению встречающихся в математической физике задач существует два основных подхода [4]. При одном из них используются дифференциальные уравнения , описывающие поведение некоторой искомой функции в произвольной бесконечно малой области. Другой подход состоит в том, что постулируется вариационный экстремальный принцип, справедливый для всей области. При этом решение минимизирует некоторую интегральную величину I, называемую функционалом. С математической точки зрения оба эти подхода эквивалентны и решение, полученное при одном подходе, является решением при другом подходе. Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно - разностные методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными; тогда как в методе Рэлея -Ритца - Галеркина и его варианте - методе конечных элементов не решается непосредственно дифференциальное уравнение: вместо этого исходная задача представляется в эквивалентной вариационной формулировке (или в формулировке метода взвешенных невязок) , а затем ищется приближенное решение задачи в виде комбинации:

Е(х) = £С|М|<х) (1)

1

некоторых базисных функций 1Ч( х ). При этом весовые коэффициенты С, определяются из вариационного принципа, соответствующего задаче. Принципиальным отличием МКЭ от стандартного метода Рэлея - Ритца является выбор базисных функций: в МКЭ в качестве базисного набора принята система кусочно - полиномиальных функций. Именно этим выбором определяется успех метода. Каждая функция х ) равна нулю на большей части области определения задачи и отлична от нуля только в небольшой области, называемой элементом (см. рис. 1).

Наличие большого числа конечных элементов различной формы (размер элемента может быть задан совершенно произвольно) и ассо-

циируемых с ними базисных наборов позволяет легко аппроксимировать физические свойства и граничные условия любых подобластей задачи (см. рис. 2), вследствие чего практически отпадает потребность в каких-либо упрощающих предположениях ( наподобие МТ- потенциала ) относительно вида потенциала кластера или молекулы.

Вторая глава посвящена подробному описанию реализации МКЭ для расчетов электронных свойств атомов и двухатомных молекул. Приведены подробные формулы для численных расчетов матричных элементов и

Рис. [. Некоторая конечно-элементная базисная функция для прямоугольного двухмерного элемента

Рис. 2. Разбиение области определения задачи на сетку, состоящую из 32 треугольных элементов

з

алгоритмы вычисления электронной плотности, корреляционной и полной энергий квантовомеханических систем.

Применение МКЭ для решения уравнения Шредингера лучше всего начать с вариационного эквивалента :

Г(<р|н!ф)1

где Н -одночастичный эффективный Гамильтониан, а волновая функция представлена в виде:

ф(5,О = £С;1^(М) , (3)

где {N,,....,N1} - некоторый конечно-элементный базисный набор. Подставив волновую функцию в (2) и проварьировав по коэффициентам С, с учетом ортонормированности волновых функций, мы получаем стандартную задачу на собственные значения:

Н(р = еБф , (4)

где матричные элементы Н^ и в специальных эллиптических координатах [1,2] для с-орбиталей имеют вид:

сяч= ¿К: зг^-1 + 1 '

Н;! = К [ | эИзЗиИ

4 /гл _ & а а

-ахЦ М^вЬгввнН dsdt + а 2N 4 N1 Уе{Г (5, :5 + бш21 ^Ьэзш 1 dsd(:

(5)

и

где а = И / 2 (К - межъядерное расстояние).

Для уравнения Пуассона = -4лп(х,() соответствующий

функционал, минимизирующий энергию, есть:

1 = Я ^Ус(М))2-4*п(М)Ус(М)

Представив кулоновский потенциал в виде пробной функции :

УС(М) = 2>^(М) , (8)

после минимизации функционала (7) получим следующее матрич-1ое уравнение:

ои = а, (9)

где

& й дг дг

(10)

с!£ = п^ОГ^^Ь^ + ят2 t)shssintdsdt

(11)

Для аппроксимации электронной плотности п(5,0 = {ф|2 = ^ Ь,!^ 1еобходимо минимизировать функционал:

ч

dsdt .

(12)

Условие экстремума функционала (12) с учетом сохранения числа 1лектронов в системе ^ приводит к матричному уравнению:

где множитель Лагранжа Я ищется в виде :

Х =

шБ^т

(13)

векторы ш и I определены как :

m; = a 2 } | N| (sh 2s + sin 2 i)shssin tdsd t ,

(15)

t, = a2]TCkCj JjNiNjNk(sh2s+sin2t>hssintdsdt =

ki (16) = а2]ГскС^к kj

Матрица S в (14) тождественна матрице (6).

Ввиду того, что базисные функции в МКЭ кусочно-полиномиальны, матрицы S, D, Н получаются сильно разреженными. Соответственно для представления матриц и для всех операций матричной алгебры используются особые алгоритмы [5]. Матрица Q в (16) зависит только от разбиения области определения, вычисляется только один раз ( для соответствующего разбиения) и хранится на магнитном диске. Все матричные элементы и векторы (5), (6), (10), (11), (15), (16) рассчитываются численно с помощью квадратур Гаусса высоких порядков. Задача на собственные значения решается модифицированным методом обратных итераций . Для решения матричного уравнения применяется разложение Холесского [5]. Мы использовали два параметра для определения сходимости: изменение ДЕ величин полной энергии на i и (i-1) итерациях, то же соответственно для одноэлектронных собственных значений Де. Все результаты были получены при ДЕ и Де меньших, чем 10-9а.е. (а.е.= 27,12 эВ).

Во второй части главы описан программный комплекс, реализующий разработанные нами методики на языке FORTRAN IV.

В третьей главе представлены результаты расчетов энергетических характеристик некоторых двухатомных легких молекул и атомов.

Для расчетов электронных свойств малых частиц методом конечных элементов вкупе с теорией функционала плотности мы воспользовались следующими наиболее известными приближениями локальной

ллотности: Гуннарсона - Лундквиста (вЬ); Барта - Хедина (УВН); Воско "УЛУТЧ); Хедина - Лундквиста (НЬ).

В таблице I представлены значения полной энергии основного состояния молекулы Нг, одноэлектронные значения энергии, равновесные межъядерные расстояния Яе и жесткости связей ме для различных при-эллжений локальной плотности в сравняй! с "точным расчетом" Колоса [6], экспериментальными данными (7] и результатами расчетов Гримли (Спш!еу Т.В. с* а1[8]).

Таблица 1.

УВН О, КоХоэ эксперимент ПЛП

Ие 1а.е.) 1, 442 1, 437 1, 401 1, 401 1,389

-Ео(а.е.) 1,17292665 1,15893183 1,1744746 1,17444 1,1424

-е(1ад)(а.е.) 0,39112550 0,38479886 - - -

о, (см"1) 4226 4253 - 4400 5026

Рис. 3. "-" точный расчет [6];

"-----------" расчет в приближении УВН.

Из таблицы 1 видно, что значение полной энергии Е| наиболее близко к результатам работы [6] и экспериментальным данным при использовании локального потенциала Барта-Хедина. На рис.3 представлены значения полной энергии Ш в широком диапазоне межъядерных расстояний (0,4 а.е.< Я < 2,5 а. е.), полученные нами ( в базисе из 861 полинома Лагранжа ) при помощи наиболее точного ( в нашем случае ) приближения локальной плотности Барта-Хедина (УВН) в сравнении с результатами упомянутой выше работы Колоса и Волневича. Из рис. 3 видно хорошее согласие рассчитанной кривой с "точными данными".

Результаты аналогичных вычислений для молекул У2 и УН показаны соответственно в таблицах 2а и За . Все расчеты проводились в базисном наборе, состоящем из 441 полинома Лагранжа пятой степени ( сетка 21x21 ). Выбранные намн системы являются хорошо изученными примерами гомоядерных (Ыг ) и гетероядерных (1лН ) молекул. В таблицах 26 и 36 приведены результаты расчетов данных систем наиболее распространенными методами квантовой химии: Хартри - Фока [8,9], конфигурационного взаимодействия [8,10] и приближения локальной плотности [8,11]. Очевидно хорошее согласие полученных намн результатов с отмеченными выше работами как для 1лг, так и для УН.

Разработанная нами методика позволяет совершать в рамках одного вычислительного комплекса расчеты как двухатомных молекул, так и атомов. В таблице 4а показаны результаты тестовых расчетов атома У, проведенных нами в спин-ограниченном варианте функционала плотности для различных ПЛП. В данном случае мы использовали базисный набор, состоящий из 121 полинома Лагранжа пятого порядка ( сетка 11x11 ). Даже для такого базисного набора энергетические характеристики атома У хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами работ [12-14] ( см. табл. 46 ) и превосходят результаты аналогичных вычислений ( см. табл. 4в ), полученных нами с помощью программного комплекса ЛАТОМ [15].

Таблица 2.а.

вь НЬ УБН Ш

(а . е.) 2о(а.е.) ме (см"1) 5,044 5, 092 5, 06 5, 096

-14,79853752 -14,73767995 -14,82677328 -14,725715

381 388 359 370

:(1од) (а.е.) г(1ои)(а.е.) :(2стд) (а.е.) -1,85578892 -1,84452608 -1,85857486 -1,844103

-1,85344628 -1,84228363 -1,85613888 -1,8419119

-0,12202147 -0,12070923 -0,13107443 -0,1176573

Таблица 2.6.

плп ХФ КБ эксперимент

Ке (а.е.) 5, 131 5, 097 4, 994 5, 049

2е (а.е.) -14,56270 -14,63875 -14,66727 -14,99440

ие (см-1) 494 403 384 352

Таблица З.а.

НЬ \ЛВН Ш

Ее (а.е.) г(1о) (а.е.) з(2о) (а.е.) -7,93117138 -7,88459698 -7,94184575 -7,88430547

-1,76399559 -1,78141416 -1,79210893 -1,75013480

-0,09198556 -0,10643290 -0,11592212 -0,08542892

Таблица З.б.

ПЛП(Ха) ХФ I КБ эксперимент

Ее (а.е.) -8,0589 -7,987352 1 -8, 06 -8,0703

Таблица 4.а.

) И, НЬ УВН \7Ш

Ее (а.е.)|-7, 38243201 -7, 33894643 -7, 37947411 -7,34878237

Таблица 4.6.

ПЛП ХФ КВ эксперимент

Ее (а.е.) -7,328 -7,432726 -7,4780624(7) -7,478073

Таблица 4.в.

НЬ

Ее (а.е.) -6,4709 -6,44751 -6,48802 -7,33517

Таблица 5.

R«=l, 40

размерность и тип базиса Ео Е (1с„)

полиномы пятого порядка

206 -1,13363038 -0,59465961

293 -1,13363056 -0,59465965

413 -1-, 13363075 -0,59465974

535 -1,13363076 -0,59465974

полиномы восьмого порядка

139 -1,13359078 -0,59465854

343 -1,13363076 -0,59465974

В таблице 5 представлены результаты расчетов полной энергии Е< и одноэлектронного собственного значения 1а8 основного состояния молекулы водорода в приближении Хартри-Фока. Все расчеты проводилиа в базисном наборе из серендиповых иерархических конечно-элементны? функций. Очевидно преимущество базисных наборов высоких порядков такие базисные наборы позволяют быстрее достигнуть высокоточные результатов при существенной экономии машинного времени и оперативной памяти.

Как известно , учет эффектов электронной корреляции , очень важен в молекулярных расчетах. Однако, помимо сложных KB расчетоЕ (приближение локальной плотности не дает правильного значения корреляционной энергии из-за самодействия электронных орбиталей ) существует немного вычислительных схем, позволяющих достаточно просто учитывать корреляционную энергию атомов и молекул. Для таки? сильно локализованных систем , вероятно одним из наиболее эффективных приближений является метод Столла и др. [16]. В рамках этогс метода обменная энергия вычисляется по Хартри - Фоку , а корреляци онная энергия дается в виде:

Ес = (V (г) + n^ (r)k(nt (г), nl (r))d3r -

f r . о?:

|ит(г)8с(пЧг),0)(13г- ГП4(г)8с(0,ПДГ))С13Г

где Ес- корреляционная часть плотности обменно - корреляционной энергии.

Авторами были проведены расчеты корреляционной энергии молекулы водорода в двух вариантах : с учетом самосогласования и несамосогласованные расчеты. Различие в результатах вычислений составило менее 2 *10-5а.е.

В таблице 6 приведены результаты расчетов корреляционной энергии молекулы Нг методом Столла, полученные Клементи и Ча-кровати [17] , для двух наиболее известных аппроксимаций плотности корреляционной энергии : Гуннарсона - Лундквиста ( вЬ-ЗРР ) и Воско ( УХ^Ы-БРР) и результаты работы [16]. Сравнение результатов показывает , что наши расчеты хорошо согласуются с результатами, полученными в упомянутых выше работах.

Таблица 6.

источник Ее

СЬ-ЭРР ^/Ш-БРР Ш

настоящая работа* -0,041789 -0,049188 -

[17] -0,0422 -0,0496 -

[16] - -0,05 -0,09

* Примечание. Представлены результаты несамосогласованных расчетов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.Разработаны и реализованы на ЭВМ методики самосогласованного расчета электронной структуры атомов и двухатомных молекул методом конечных элементов в приближениях локальной плотности, Хартри-Фока и нелокального функционала Столла.

2.Изучено влияние используемой аппроксимации плотности обмен-но-корреляционной энергии на рассчитанные значения полных энергий и некоторых основных спектроскопических констант легких двухатомны* молекул. Наилучшие результаты были получены для приближения Барта - Хедина.

3.Показано, что для квантовомеханических расчетов энергетических характеристик атомов и двухатомных молекул с помощью МКЭ наиболее эффективным является использование иерархических элементов высоких порядков. Применение таких элементов обеспечивает при высокой точности результатов существенную экономию оперативной памяти и времени счета.

4.Впервые проведены самосогласованные расчеты корреляционной энергии молекулы Н: в рамках нелокального функционала плотности Столла. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами расчетов других авторов.

5.Для большинства систем, энергетические характеристики, рассчитанные нами методом конечных элементов в приближении локальной плотности, хорошо согласуются, а для некоторых систем и превосходят по точности результаты численных расчетов других авторов, полученные традиционными неэмпирическими методами.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Laaksonen L., Sundholm D. Two-dimensional, fully numerical molecular calculations. IV. Harttree-Fock-Slater results on second row diatomic moloecules// Int.J.Quantum Chem.-1985.-V.27,N5.-P.601-612.

2.Heinemann D., Rosen A., Kolb B. Solution of the Hartree-Fock-Slater equations for diatomic molecules by the finite element method И Phys. Rev. A.-1988.-V.38.N 10.-P.4994-5001.

3.Heinemann D., Rosen A., Fricke B. Solution of the Hartree- Fock equations for atoms and diatomic molecules with the finite- element method I! Phisica Scripta.-1990.-V.42.-P.692-696.

4.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.-М.: VIир. 1977. 349 с.

5.Джордж А, Лю Дж. Численное решение разреженных систем /равнений -М.: Мир.-1984. 334 с.

ô.Kolos W., Roothan C.C.J. Accurate electronic wave functions for the Ai molecule II Rev. Mod.Phys.-1960.-V.32,N2.-P.219-232.

7.Huber K.P. Constants of diatomic molecuIes.-American institute of physics handbook, McGraw-Hill; New York, 1972.

8.Grimley T.B., Jyothi Bhasu V.C. Comparsion of local density unctional, Hartree-Fock and configuration interaction in the STO-3G orbital >asis for some first-row diatomics II J.Phys.B.-1983.-V.16,N 12.-P.1125-1131.

9.Adamowicz L., McCullough E.A. N2 -time-depended SCF scheme // nt. J. Quantum Chem.-1984.-V.26,N3.-P.373-381.

10.Bender C.F., Davidson E.R. Studies in configuration interaction: the ïrst-row diatomic hydrides // Phys.Rev.-1969. -V.183,Nl.-P.23-30.

1 l.Cook M., Karplus M. Calculation of one-electron properties of LiH rom Xa multipile-scattering wave functions // J.Chem.Phys. -1980. -V.72,N1.-3.7-19.

12.Clementi E., Roothan C.C.J., Yoshimine M. Accurate analytical self consistent field functions for atoms. II. Lowest configurations of the neutral

irstrow atoms //Phys.Rev. -1962.-V. 127,N.5.-P.1618-1620.

13.Jirtic O., Bunge C.F. Nonrelativistic energy of the Li ground state // 3hys.Rev.A.-1991 ,-V.43,N 11.-P.5804-5809.

14.Tong B.Y., Sham L.J. Application of a self-consistent scheme ncluding exchange and correlation effects to atoms II Phys. Rev.-1966,-/. 144,Nl.-P.l-4.

15.Фарберовнч O.B., Власов C.B., Нижникова Г.П. Программа самосогласованного релятивистского расчета атомных и ионных структур I приближении локальной спиновой плотности / Воронеж, гос. ун.-т,-Зоронеж, 1983.-43 с. Деп. в ВИНИТИ 2.06.83., N 2953 - 83.

16.Savin A., Stoll H., Preuss H. An application of correlation energy density functional to atoms and molecules II Theor. Chim.Acta.-1986.-V.70,N6.-P.407-419.

17.Clementi E., Chakravorty S.J. A comparative study of density functional models to estimate molecular atomization energies II J.Chem.Phis.-1990.-V.93,N4.-P.2591-2602.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

КСкляднев П.С., Фарберович О.В. Расчет методом конечных элементов корреляционной энергии молекулы водорода в приближении нелокального функционала плотности Столла // Журн. физ.химии.-1996,-Т.-70, № 2.-С. 392-393.

2.Скляднев П.С., Фарберович О.В., Кострюков С.А. Реализация метода конечных элементов для расчета энергетических характеристик двухатомных молекул в приближении функционала плотности // Журн. Физ.химии.-1996.-Т.-70, № 5.-С. 957-958.

3.Скляднев П.С., Кострюков С.А., Фарберович О.В. Реализация метода конечных элементов с новым базисным набором для расчетов энергетических спектров двухатомных молекул II Оптика и спектроскопия -1996.-Т.-81, № 1.-С. 52-55.

4.Скляднев П.С., Фарберович О.В. Расчет методом конечны* элементов энергетических характеристик квантовомеханических систем конечного размера // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы-1995,-Воронеж, 1995. С.214.

5.Скляднев П.С., Фарберович О.В. Реализация метода конечны? элементов для самосогласованных расчетов электронных свойств атомов и двухатомных молекул //Воронеж, гос. ун-т.-Воронеж. 1995.-23 с Деп в ВИНИТИ 20.07.95., № 2255-В95.

6.Скляднев П.С., Фарберович О.В. Пакет программ для расчетг электронной структуры атомов и двухатомных молекул методом конеч-

ных элементов // Тезисы докладов IV Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов"- 1996.-Воронеж, 1996. С. 101.

7.Скляднев П.С., Кострюков С.А., Фарберович О.В. Расчет энергетических спектров атомов и двухатомных молекул методом конечных элементов // ГосФАП №50960000054, М., 1997, 9 с.

Заказ № 112 от 12А. 1998 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ