Расчет оболочек средней толщины с учетом геометрической нелинейности методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ • _

^ На правах рукописи

ГУРИЕЛИДЗЕ МЕРАБ ГЕОРГИЕВИЧ

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1998

Работа выполнена в Казанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук , профессор

A.И. Голованов

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук , профессор

B.Н. Паймушин

доктор физ.-мат. наук , профессор P.A. Каюмов

Ведущая организация: НИИ механики Нижегородского

государственного университета

Защита диссертации состоится 25 июня 1998 г. в 14 час. 30 мир в ауд. Физ. 2 на заседании диссертационного совета Д 053.29.01 п защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физике математических наук по механике при Казанском государственно! университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская( ул. Ленина ] 18. КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ.

Автореферат разослан 2.3 _М Су Я 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент A.A. Саченков

ЭБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ-

При проектировании современных технических изделий все большее ¡начение имеет предварительный анализ их свойств в рамках уточненных моделей. Для прочностного анализа под этим юдразумевается использование трехмерных моделей с учетом юзможных нелинейностей геометрического и физического характера. Гакие постановки в настоящее время являются наиболее точными и гменно их используют в наиболее ответственных случаях. Однако цирокое применение трехмерных моделей для нелинейного анализа [апряженно-деформированного состояния (НДС) реальных объектов стречает серьезные трудности при численной реализации. Причина их в ложности математической задачи, которая позволяет аналитическое чтение лишь в ограниченном круге геометрических объектов, единственной возможностью здесь является использование численных [етодов, таких как метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных азностей, метод граничных элементов и т.д. Для решения задач инейной теории упругости каждый из них достаточно развит и имеются [ногочисленные примеры эффективности их применения.

Основные положения нелинейной теории упругости разработаны и писаны в монографиях Лурье А.И., Новожилова В.В. , Гольденблата [.И. , Гузя А.Н., Черныха К.Ф., Грина А. и Адкинса Д., Васидзу К., >дена Д. и др. Применительно к расчету оболочек, большой вклад в азвитие геометрически нелинейных моделей внесли Галимов К.З., 1уштари Х.М., Терегулов И.Г., Паймушин В.Н., Алумяэ H.A., Власов .3., Болотин В.В., Гольденвейзер A.JT., Вольмир A.C., Феодосьев В.И., орнишин М.С., Саченков A.B., Амбарцумян С.А., Ворович И.И., аженов В.Г. , Капустин С.А. и др.

В нелинейных расчетах, особенно при возможности больших гремещений и конечных деформаций, наиболее предпочтительным 5ляется применение МКЭ. Основные положения этого метода, рименительно к задачам механики деформируемого твердого тела эдробно изложены в монографиях Зенкевича О. , Постнова В.А., эзина A.A., Сахарова A.C. , Одена Д. , Галлагера Р., Горбачева К.П., ременко С.Ю. , Образцова И.Ф., Рикардса Р.Б., Корнишина М.С., элованова А.И., и др. Однако, ответа на вопрос, как эффективно зименятъ МКЭ в сильно нелинейных задачах еще нет. Поэтому юблема развития МКЭ для решения задач с учетом геометрической

нелинейности в трехмерной постановке для тех или иных классов зада1 весьма актуальна.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Целью настоящей работы является разработка и реализация методик! численного исследования НДС оболочек средней толщины пр! произвольных силовых нагрузках с учетом возможности появлени; больших перемещений и конечных деформаций.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

- шаговая методика исследования НДС оболочек средней толщины ( учетом возможности больших перемещений и конечных деформаций реализованная МКЭ;

- решение задач устойчивости оболочечных конструкций с учею\ нелинейности докритического состояния;

-методика определения закритического состояния, предусматривают^? прохождение критических точек, соответствующих верхней и нижнее критическим нагрузкам;

- учет несжимаемости материала, из которого выполнена оболочка. НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ.

- Разработана методика и создано программное обеспечение численногс исследования НДС массивных тел с учетом геометрической нелинейности в шаговой постановке на основе МКЭ.

- Дано развитие этой методики для расчета оболочек средней толщины в трехмерной постановке с однослойной аппроксимацией конечными элементами по толщине.

- Для монотонного нагружения разработана методика определения нагрузок потери устойчивости, прохождения критических точек и построения закритических ветвей деформирования без введения новых параметров нагружения.

- Разработана методика учета несжимаемости в разрешающем вариационном уравнении методом штрафа. Для материала Муни показана работоспособность этой методики.

- Получены новые решения задач устойчивости сложных составных конструкций с учетом нелинейности докритического состояния.

ОБОСНОВАННОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается:

- применением апробированных гипотез при соблюдении строгости преобразований на теоретическом этапе,

- сравнением результатов расчетов с известными аналитическими и численными решениями ряда тестовых задач,

- сравнением с решениями других авторов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Результаты диссертации по мере их получения докладывались:

- на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1993- 1998 г.г.,

- на II Республиканской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов. - Казань, 1996 г.,

- на Межвузовской научно-технической конференции " Молодая наука-новому тысячелетию". Наб. Челны, 1996 г.,

- на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань, 1996 г.,

- на IV Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред " - Москва, 1998 г.,

- на Всероссийской школе " Современные проблемы механики и прикладной математики ". Воронеж , 1998 г.,

- на VIII Межвузовской научной конференции " Математическое моделирование и краевые задачи ".Самара, 1998 г.

Вся диссертация в целом докладывалась:

■ на семинаре в КФТИ КНЦ РАН,

■ на семинаре КГТУ им. Туполева, • на семинаре в КГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 10 работ. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения , трех глав, заключения и списка штературы. Главы диссертации разбиты на параграфы, общее число готорых -8. Четвертый параграф состоит из двух частей, а седьмой гараграф - из четырех. Диссертация изложена на 120-ти траницах, содержит 45 рисунков и 14 таблиц. Список литературы остоит из 129 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждаются актуальность темы, современное остояние изучаемой проблемы, изложено содержание работы и формулированы результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дается постановка математической задач! определения НДС. Базовым принимается МКЭ в вариационно! постановке принципа виртуальных перемещений. Оболочкр представляются как трехмерные тела. Нагружение осуществляете} шагами с малыми приращениями нагрузки и на каждом шаге полностьк обновляется геометрия объекта.

Базовым является «модернизированный шаговый метод» (updatt incremental Lagrangian formulation), в котором все производные вычисляются относительно текущего деформированного состояния t интегрирование ведется по этому же объему.

Используются компоненты относительных деформаций Коши-Грина в виде

С)= 1 f &УГ , ¿»VT , у дуг аугл

—r(m)

где у - вектор приращения перемещений при переходе из (m-l)-ro состояния в m-е. Физически соотношения (1) описывают деформацию единичного объема, выделенного в деформированном состоянии на (т-1)-м шаге нагружения и ориентированного относительно глобальных осей Xi- Напряженное состояние будет характеризоваться суммой

(ш-1) ■ 1 /ч(qi) Cm—11

Сти + AS ¡j , где Oij - компоненты накопленных истинных напряжении (Коши), возникающих на гранях выделенного объема , и приращений напряжений ДБ'Г\ которые являются напряжениями Пиолы-Кирхгофа по отношению к (т-1)-му состоянию.

Разрешающие уравнения выводятся из принципа вертуальных перемещений,

ДО (<#"" +AS^SeS»«^ JffQ(m)5VdO+ JjiT'SVdS. (2)

n'-" si""'.

В предположении того, что приращение нагрузки достаточно мало и приращение перемещений лежат в области геометрически линейной теории упругости, это уравнение допускает линеаризацию. Если ввести «классические» линейную и нелинейную деформации то после линеаризации (2) полученное линейное уравнение имеет вид имеет вид

iIi(ASii;)5s(ir1 + a(ir)S<))dii =

= • !{!Q("08VdQ+ {fR(m,SVdS - {Яа'Г'бв'.Г'сШ. (3)

n'-" S Г"

Для перехода к следующему шагу нагружения производится пересчет компонент тензора напряжений

б

Си --

1

д

^(аГ' + Д&Г).

(4)

¿е^идхГ'дх'/

Фактически задача ставится, как задача нагружения предварительно напряженного тела. Для снижения вероятности накопления ошибок при «движении» по шагам нагружения в уравнениях равновесия для приращения напряжений и деформаций удерживаются слагаемые, которые имеют смысл невязки уравнений равновесия в текущем состоянии. Этим корректируется реальная неуравновешенность, появляющаяся от отбрасывания нелинейных слагаемых для приращений деформаций.

В соответствии с общей схемой МКЭ исходное тело представляется в виде совокупности отдельных конечных элементов (КЭ). Наиболее удобно использовать аппроксимации изопараметрического типа

{у

(т-1) XI,и

(т-1)

Х2,«

хЙ"" VI?

У(5?

(5).

'Де N»(^1 ■ функции формы относительно безразмерных координат (-1 < ^ < +1). Аппроксимации для линейных компонент деформаций шеют вид

{е<и,}=Е[в4^)]{уГ)}. (6)

Для дальнейших построений необходимо определить связи между [сформациями и напряжениями. Формально эту зависимость можно аписать следующим образом

{Д^^ф^ф^)}. (7)

Помимо "классических" соотношений упругости для изотропного ттериала используется их модификация, позволяющая учесть галость напряжений обжатия по толщине. Для этого в каждой вадратурной точке вводится вспомогательная система координат х., риентированная таким образом, что одна из осей (х3) направлена оперек толщины. В этих осях физические соотношения

{АБ'} = [Г>']{е'} (8)

имеют вид, обычно используемый в теории оболочек с учетом поперечного сдвига и обжатия. По известным соотношениям, связывающим напряжения и деформации при изменении системы координат, определяются матричные соотношения вида

М = №Ь {ЛЗ'ЬМЧЛБ}. (9)

Окончательно получаются соотношения для определения матрицы упругих свойств [В] в осях Х| через матрицу упругих свойств [О'] в осях X; в виде

Ж*Г№1- (ю)

Первый интеграл уравнения (3) для одного конечного элемента приводит к матрице жесткости и записывается в виде

Ш {Л^"} Т{5е(и,}сЮ = Е Ыт) 1 Т[ЙГ]{уГ} (11)

^(т-1) ¡,п V /

где [ЙГ1] " блоки матрицы жесткости рассматриваемого элемента на ш-

м шаге нагружения +1

(12)

где с,! - координаты квадратурных точек, со,-квадратурные множители.

Если записать второй интеграл в левой части (3) на уровне одного КЭ в виде суммы, аналогично (11), то появятся блоки матрицы геометрической жесткости [к°,(т)],

"1 0 О"

[К2Ч =

О 1 о 0 0 1

,03)

1 о о О 1 о О 0 1

где {с'™""} - значения компонент накопленных напряжений Коши в Ы* квадратурной точке рассматриваемого элемента.

Правая часть уравнения (3) может быть записана в векторном виде для одного конечного элемента как

1{5УГ)Т{РГ} , (14)

где введен обобщенный вектор узловых сил {рГ1}. для которого справедливо выражение

Ьо

где иГ.^ " квадратурные множители и координаты соответствующих

точек на границе с заданными граничными усилиями.

Определив все слагаемые на элементе, строится процедура сборки КЭ в единую конструкцию путем специального суммирования матриц, (12), (13) и вектров (15) в глобальные матрицу жесткости [к?т)]> матрицу геометрической жесткости [к1ш)] и вектор узловых сил |р(т>}.

Вторая глава содержит числовые примеры тестового характера. Для проверки работоспособности описанной в главе I методики решения ¡адач рассматривается изгиб прямоугольной плиты в цилиндрическую 1анель в рамках плоской деформации. Для этой задачи имеется точное зешение, связывающее угол раствора цилиндрической панели с ¡еличипами приложенных к кромкам изгибающего момента и тангенциальной силы.

Первая серия численных экспериментов имела целью определение тела шагов, которое приводит к решению, достаточно близкому к очному решению. Для этого задавалось число шагов, суммарная тгрузка делилась на него и на каждом шаге определялась оответствующая величина прикладываемых напряжений.

Численные эксперименты по количеству конечных элементов, [еобходимых для хорошего решения, свидетельствуют, что в рамках исто трехмерной задачи однослойная аппроксимация по толщине дает [риемлемую точность когда относительные размеры (отношение родольных размеров к толщине) лежат в пределах 5.

Следующая серия численных экспериментов имела целью исследование влияния коэффициента Пуассона. В частности использование модифицированных соотношений упругости по вышеописанной схеме, дает предельный переход от трехмерного решения к решению изгиба пластин и оболочек малой и средней толщин. Это хорошо известный факт в литературе по применению МКЭ к расчету пластин и оболочек в рамках геометрически линейной задачи. Расчеты показали, что модифицированные соотношения упругости приводят к результатам, которые практически не зависят от величин коэффициента Пуассона. В то время, как стандартные соотношения приводят к потери точности при |д > 0,3.

В качестве следующего примера проводились расчеты квадратной, размерами 40x40x1, шарнирно опертой по всем кромкам пластины под равномерным поперечным давлением. Коэффициент Пуассона принимался равным 0,3. На рис.1 и рис.2 приведены результаты расчетов этой задачи.

Отметим, что решение в геометрически нелинейной постановке при прогибах, превышающих толщину, существенно отличается от линейного. Отличие трехмерного решения от расчета по теории пластин невелико, а для максимальных напряжений практически отсутствует.

ч

~ qa4 п 1 ~ аа2 Рис.1 а = ---= \У Рис.2 СУ=-Г-,

ЕЬ4 11 4ЕЬ

В задачах изгиба цилиндрических и сферических оболочек при действии локальных и распределенных нагрузках показана получаемая

точность по перемещениям и напряжениям в сравнении с известными решениями других авторов (рис.3, рис.4).

Я - 2,540 тт 8 = 254 тт * 12.7 тт 0 = 0.1 ГЭ£)ИЛ$ Е = 3.10275 КМ/тт2 " - 0.3

2,5

1.5

0,5

/

/

+ Зигапа Ка О ВаШеК -1515-1 20 КЗ

г

10

р

2

1

Рис.З Изгиб цилиндрической оболочки.

В этой же главе приводится исследование влияния относительных продольных и поперечных размеров элементов, степени аппроксимации по толщине (линейная или квадратичная) на точность результатов. Это позволяет оценить область применимости используемых конечных элементов и определить необходимый шаг по величине нагрузки.

= 2,540 тт

- 784.90 тт

- 99.45 тт

- 68.95 И/тт2 = 0.3

/

/

I

Вайе К Сахаров А. С. - Эигопа К.З. -10*10*1 20 КЭ

20 40 60 80 100 120

Рис. 4 Изгиб сферической оболочки.

Последней задачей в этой главе было исследование деформирова-[ия толстостенного сферического купола с центральным отверстием под ;ействием двух сосредоточенных сил в противоположных точках ерхнего среза.

60 Г Р

/

10 6

30

40

£0

Лин. решение

+ Сахаров АС. О 8*8*1 18 КЭ -8*8*1 20 КЭ

\У

4

6

8

Рис. 5 Изгиб сферического купола с центральным отверстием.

Результаты расчетов показали, что решение на основе 20-ти узловых КЭ дает больший прогиб, чем решение на основе 18-ти узловых КЭ, т.е. 18-ти узловые КЭ дают более " жесткое " решение.

Третья глава посвящена решению некоторых прикладных проблем механики деформирования нетонких оболочек. В 5-ом параграфе рассматривается задача устойчивости с возможностью потери устойчивости «прощелкиванием». Описывается методика нагружения с переменным приращением нагрузки, что позволяет сколь угодно близко приблизиться к моменту потери устойчивости и описать самое начало развития приращений деформаций.

Предпологается, что нагрузка пропорциональна по величине некоторому параметру X.

где вектор {Р} зависит от характера приложения сил. Последовательность /„ ,.Я. 2 > --Д т определяет силовое нагружение, а А Я = X -А. - приращение внешних сил.

Щ ш ш — I

Из решения задач каждому значению Хт ставится в соответствии

вектор перемещений который является приращением в суммарных

перемещениях узловых точек. Если ввести в рассмотрение некоторую норму этого вектора, например

(16)

и определить значение

= 08)

¡=1

то последовательность ,, £2--> Гт вместе с последовательностью ¡V,, Я,2> Ага являются табличной формой задания кривой деформирования. Простейший алгоритм определения значения по ранее известным (Ят, Гт) записывается в виде

Яш — Х-ш

(19)

Гт Гщ-1

С помощью этой методики решены две задачи. Первая задача состоит в исследовании устойчивости составной оболочечной конструкции, состоящей из двух пересекающихся цилиндров под тействисм внешнего давления. На рис.6 изображена расчетная область 1/8 часть конструкции ) с используемой сеткой КЭ после потери устойчивости (видна вмятина на боковой поверхности большого уииндра ).

На рис.7 изображены графики зависимости «нагрузка-прогиб» для 5 характерных точек.

На рис.8 изображены графики зависимости величины окружных и осевых напряжений в точке 5 от уровня внешнего давления (нагрузки).

Рис. 6 Форма потери устойчивости (ФПУ).

Рис. 7

Рис. 8

Характерной особенностью этой задачи является перестройка докритического напряженно-деформированного состояния. Иллюстрацией этого являются кривые на рис.7 и рис.8 , которые не имеют монотонного характера. Другими словами, распределение полей напряжений на начальном этапе нагружения качественно отличается от их распределений в состоянии, близком к потере устойчивости. Причем по величине напряжений и перемещений все эти состояния лежат в области линейной теории упругости. Таким образом, решение задачи устойчивости в линейном приближении, когда линеаризация проводится на начальном напряженном состоянии, может приводить к неверным результатам, т.к. реальная потеря устойчивости происходит при качественно ином напряженном состоянии.

Вторая задача связана с исследованием устойчивости трехслойной панели с трансверсально-мягким заполнителем при осевом сжатии. На рис.9 изображена расчетная область (1/4 часть) с изображенной сеткой КЭ (каждый слой отдельная конструкция), указаны граничные условия и характер нагружения.

Рис. 10 Деформирование в момент потери устойчивости. В докритическом состоянии трехслойный пакет находится в моментном состоянии, что приводит к сложному механизму потери устойчивости. На рис. 10 изображены картины последовательного

волнообразования, на которых видно, как происходит выпучивание, (сначала реализуется сдвиговая ФПУ в окрестности края рабочей области, затем общая ФПУ и в завершении развиваются локальные ФПУ по смешанным формам).

Обе задачи решены с учетом нелинейности докритического состояния, что позволило получить новые результаты.

Далее рассматриваются способы построения закритических состояний, которые связаны с необходимостью прохождения критических точек. Предложены три схемы и показана работоспособность каждой из зих.

В первой методике используется трехточечная интерполяция <вадратичным полиномом Лагранжа. В этом случае вводится полином

(20)

¡=0

^де - известые квадратичные полиномы. На его основе

¡озможно определить две схемы задания параметра нагрузки Я,га+1-1ервая основана на прямом использовании (20) и дает формулу

^, = ¿N^(^+<1);^ . (21)

1=0

5торая схема является комбинацией подхода, основанном на «отношении (19), и квадратичной аппроксимации (20). В этом случае шределяется производная в точке ^ и очередное значение параметра [агрузки задается в виде

А.„и = Я,и + Яг<1. (22)

1 формуле (22), в отличие от (19), ^ меняет знак, что позволяет ¡рохождение критических точек.

Одним из наиболее эффективных способов прохождения критичес-их точек является смена параметра нагружения. В частности, рекомен-уется выбирать параметром нагружения перемещение одной из точек, [рименение этого метода в рамках используемого шагового решения адачи весьма затруднительно, однако в некоторых случаях возможно, [римером такого случая является локальное нагружение в одной точке. >изический смысл этой процедуры состоит в следующем: при агружении панели задается прогиб на каждом шаге и определяется еобходимая для этого сила. При этом направление задаваемого рогиба совпадает с действующей силой. В экспериментальных сследованиях это называется жестким нагружением.

Рис. 11

На рис.11 представлена диаграмма " нагрузка - прогиб " для задачи о локальном нагружении цилиндрической панели (рис. 3). Кривая 1. и кривая 2. соответствуют первой и второй схеме соответственно, а сплошная линия соответствует третьей методике прохождения критических точек. На малых рисунках 1 " и " 2 ' изображено прохождение критических точек по заданным значениям приращений сил (схема (21) , ( 22)). Видно, что наблюдается колебание решения, которые приводят к появлению неустранимой погрешности.

(п.)

(23)

Таким образом можно сделать вывод о том, что среди рассмотренных алгоритмов определения закритического состояния наиболее надежным является последний вариант. Однако по экономичности его трудно назвать эффективным, т.к. он требует решения двух систем уравнений на шаге нагружения. Вероятнее всего необходимо использовать все предложения методики, применяя наиболее эффективную и надежную на каждом шаге нагружения.

В последнем параграфе этой главы изучается возможность применения разработанной методики к исследованию оболочек из несжимаемых материалов. Из общих соотношений теории упругости несжимаемых тел вида

4 дв™

где \У - упругий потенциал, , Оцш) тензоры различных мер

1еформации Грина, Р - гидростатическое давление, для материала у!уни в предположении малости деформации на шаге нагружения юлучены линеаризованные соотношения в осях

Д8Г=4(С, + С:Х£Г-4т)). 1 = 1,2, дб;';1 = 4(с, + с, у;;"1.

В этих соотношениях отсутствует функция Р, т.к. она включается из условия ДБ'^101 = 0.

Условие несжимаемости для малых деформаций вводится в ариационном уравнение методом штрафа

(24)

/Я

П(.-|)

<ю =

(25)

к появлению

= Л|0(т)5У(Ю+ ДОа^бе'^сЮ.

£{т-1) ^("-1)

го при конечно-элементной реализации приводит ополнительной матрицы

Работоспособность методики демонстрируется на задаче о 1 стяжении квадратного листа с круговым отверстием в центре.

(26)

Рис. 12

На рис.12 изображены расчетная область (1/4 часть ) до деформации и после растяжения на 36 %.

Б заключении приведены основные результаты и выводы по всей работе.

1. Разработана методика численного исследования НДС массивных тел с учетом геометрической нелинейности в шаговой постановке, в которой на шаге нагружения формируется линейная (линеаризованная) задача о деформировании предварительно нагруженного тела.

2. Дано развитие этой методики на решение задач о деформировании оболочек средней и большой толщины в трехмерной постановке с учетом больших перемещений и значительных деформаций, в которых учитывается малость напряжения обжатия по сравнению с другими напряжениями.

3. На основе изопараметрических конечных элементов построены разрешающие соотношения и разработаны алгоритмы вычисления матриц жесткости и геометрической жесткости, векторов неуравновешенных внутренних усилий, пересчета напряжений на шаге нагружения, необходимых для программной реализации разработанной методики.

4. Разработаны способы решения задач устойчивости оболочек и оболочных конструкций с определением критических значений и форм потери устойчивости. Показана возможность исследования закритическнх деформированных состояний с определением всех ветвей диаграмм «нагрузка-прогиб».

5. Получены соотношения упругости (физические соотношения) для несжимаемых материалов в предположении малости деформаций на шаге нагружения и разработана методика учета несжимаемости в разрешающем вариационном уравнении методом штрафа. Для материала Муни показана работоспособность этой методики.

6. На примере сложной составной оболочечной конструкции, состоящей из двух пересекающихся цилиндров, показано, что в докритическом состоянии при малых деформациях происходит • существенная перестройка напряженного состояния и его характер в момент потери устойчивости весьма отличается от того, которое имеет место при одношаговом (строго линейном) расчете.

7. В задаче, об устойчивости трехслойной панели с трансверсально-мягким заполнителем при осевом сжатии с эксцентриситетом получено решение, в котором описывается процесс выпучивания по различным формам, каждая из которых отличается от классических и укладывается лишь в современное понимание задачи об устойчивости трехслойных оболочек.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Голованов А. И. , Гуриелидзе М.Г. Исследование нелинейного деформирования пластин и оболочек из несжимаемых материалов методом конечных элементов. // Тезисы докладов. "Современные проблемы механики и прикладной математики". Воронеж. 1998. -с . 79.

2. Голованов А.И. ,Гуриелидзе М.Г. Пошаговая постановка решения геометрически нелинейной задачи методом конечных элементов. // Труды IV Международного симпозиума " Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред ". -М.: 1998. -с 80-85.

3. Голованов А.И. ,Гуриелидзе М.Г. Исследование закритического поведения оболочек средней толщины по трехмерной модели. // Груды конференции " Математическое моделирование и краевые тдачи ". Самара. 1998.

Голованов А.И. ,Гуриелидзе М.Г., Гурьянова О.Н. Шаговый метод исследования геометрически нелинейного деформирования оболочек ^однородной структуры и произвольной толщины МКЭ. // Тезисы укладов. IV Международный симпозиум " Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред " М.: 1998. - с.

). Гуриелидзе М.Г. Применение метода конечных элементов для )ешения геометрически нелинейной двумерной задачи теории упругости. ' Механика машиностроения: Тезисы докладов. Международная [аучно-техническая конференция. - Наб. Челны, 1995. - с. 108.

6. Гуриелидзе М.Г. Решение геометрически нелинейной двумерной задачи теории упругости методом конечных элементов. II КГУ, -Казань, 1995. -10 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.95., N 1949-В95.

7. Гуриелидзе М.Г., Голованов А.И. Расчет толстостенных оболочек с учетом больших деформаций. П Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Казань, 1996. т.2. - с. 118 - 123.

8. Гуриелидзе М.Г., Голованов А.И. Конечно-элементный расчет толстостенных оболочек с учетом больших деформаций. // Молодая наука - новому тысячелетию: Тезисы докладов. Межвузовская научно-техническая конференция. - Наб. Челны, 1996. част II, - с 47.

9. Гуриелидзе М.Г., Голованов А.И. Модифицированная шаговая схема решения геометрически нелинейной задачи для толстостенные оболочек. // КГУ, - Казань, 1996. -13 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.96., N 625-В96.

10. Гуриелидзе М.Г., Голованов А.И. Расчет упругих пластин » оболочек при больших деформациях. // Тезисы докладов. I] Республиканская научно-техническая конференция молодых ученых г специалистов. - Казань, 1996. Книга 4. - с 18.

Подписано в печать 21.05.98 г. Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л. 1,.

Тираж 100

Заказ 31

Отпечатано на ризографе в типографии ЦЭСИ РТ Адрес: г. Казань, ул. Ак. Губкина, д. 50