Расчетно-экспериментальные методы механики деформируемого тела в условиях ограниченной исходной информации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МШНСВШНИЯ им. А.А.ЕЛАГОНРЛВОВЛ АН СССР

а

На правах рукописи

ФОМИН Алексей Васильевич

УДК 531.252.3.

РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЫМЕ ГЛЕТОДЫ МШНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕДА В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

01.02.05 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических нау;с

Москва - 1989

Работа выполнена в Институте машиноведения им. А.А.Благонра-вова АН СССР

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

_______академик АН-ЗССР-Х.К.Абен -

доктор технических наук, профессор А.П.Гусенков

доктор технических наук С.Е.Бугаенко

Ведущее предприятие - Опытное конструкторское бюро "Гидропресс"

Защита состоится "_" ' 1989 г. на заседании спе-

циализированного Совета Д.003.42.01 при Институте машиноведения им. А.А.Благонравова АН СССР по адресу: 101830 Москва, Центр, ул. Грибоедова 4.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по указанному выше адресу на имя ученого секретаря специализированного Совета.

с- С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института машиноведения им.. А.А.Благонравова АН СССР.

Автореферат разослан "_" _ 1989 г.

Ученый секретарь О

специализированного Совета <~" * доктор техн. наук

V

М.К.Усков

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность проблсш. Успехи в развитии численных методов и их программного обеспечения привели к созданию эффективного п универсального средства, позволяющего проводить детальный анализ напряженно-деформированных состояний в элементах катин и конструкций. Возраставшие мощности и доступность цифровых ЭВМ резко расширили круг решаемых задач. Численное моделирование стало в настоящее время одним из основных методов для нахождения оптимальных конструктивных и технологических решений при создании новых видов машин и конструкций.

Вычислительные метода в области исследований испряденных" состояний, в основном, имеют дело о решением прямых задач, т.е. задач, для которых известны как геометрия расчетной области, так и нагрузки. Математическая постановка сводится к формированию краевых задач для исходного уравнения, описывающего свойства исследуемой среды, с различного типа граничными условиями. Наиболее важным моментом в проведении численного моделирования является задание гра!щчвых условий, которые определяются на основе предварительного анализа условий работы конструкции, имеющихся опытных данных, априорной информации и т.п.

Обычная в таких случаях ситуация связана с приближенным знанием граничных условий и, как следствие, с проведением многовариантной серии расчетов при задаваемых вариациях исходных данных. Часто пределы вариаций бывают столь большими, что выбор практически реализуемого решения представляется весьма проблематичным. Помимо этого, численная модель, во многих случаях, не »жжет учесть все суцественно вяиякщяе особенности исследуежй конструкции. В этих условиях определение действительного напряженного состояния натурных конструкций ют их моделей возмошга только о помощью экспериментальных методов.

Современные экспериментальные методы позволяют определять действительные величины деформации и напряжений, а такле регистрировать силовые, температурные и другие воздействия в условиях натурного или модельного эксперимента. Получаемые данные при экспериментальных исследованиях требуют несколько этапов обработки. Эсновными из них, независ и.» от вида п характера конкретного -кс~ теримента, являются следующие: первичная обработка, которая вклго-

чает в себя нормировку результатов измерений, статистическую обработку, учет систематических искажений, фильтрацию и т.д., и интерпретация результатов эксперимента с целью получения искомых параметров; напряженного состояния как в местах, в которых непосредственно проводятся измерения, так и в зонах, недоступных для прямых измерений. Первичная обработка экспериментальных данных и определение параметров напряженного состояния доя зон непосредственных измерений представляет собой традиционную и хорошо разработанную задачу. Вопросы ке, связанные с интерпретацией результатов эксперимента для мест, в которых прямые измерения невозможны или трудно осуществимы, составляют сравнительно новое направление в экспериментальной механике.

В практике экспериментальных исследований возможны две ситуации, характеризующиеся тем, что в одном случае удается провести измерения на всей поверхности изучаемого объекта, в-то время как в другом случае, по' тем или иным причинам, измерения возможны лишь на части поверхности. Эти ситуации с точки зрения интерпретации экспериментальных данных имеют принципиальное различие.

В первом случае, имеющаяся информация о напряженно-деформированном состоянии всей поверхности позволяет полностью решить вопрос о напряженности исследуемого тела во всех точках его объема. Роль эксперимента в этом случае заключается в формировании граничных условий, которые используются для численного анализа искомых полей в объеме тела путем решения соответствующих краевых задач. Здесь возникает широкий спектр исследований, ориентированных на использование различных экспериментальных и расчетных методов. Значительное развитие это направление получило в работах Л.К.Прейсса, Н.И.Пригоровского, Б. М.Боркшполъского, А.Н. Бескова, М.Х.Ахметзянова, Г.Л.Хесина, Г.С.Варданяна, С.Е.Вугаен-ко, Ю.В.Верюжского, Ю.И.Вологиаклнова, Г.К.Габричидзе, Г.Г.Завьялова, Г.Н.Черншова, В.П.Щепинова, Д.Балаша, К.Чандрахасуары, К.Якоба и др.

Во втором случае, который, как правило, возникает при экспериментальных исследованиях натурных объектов в условиях эксплуатации проведение измерений лишь на части поверхности не позволяет, основываясь только на данных изменений, сформировать граничные условия, и делает невозможным непосредственную постановку и решение соответствующей краевой задачи для определения по-

лей деформаций и напряжений в объеме исследуемой детали машины или конструкции.

В подавляющем -числе случаев, в силу конструктивных, эксплуатационных или других условий, провести измерения на всей поверхности не представляется возможным. Обычно ограничиваются детальным изучением напряженного состояния доступных дай размещения измерительных средств участков поверхности, выбранных с учетом предварительного анализа работы конструкции. Однако часто места, доступные для измерений, не являются определяющими для оценки прочности и долговечности, и требуется знание распределений напряжений на недоступных для измерений участках поверхности, в сечениях, по площадкам силового контакта, в некотором заданном объеме элемента конструкции и т.п.

Как правило, данные измерений несут в себе значительно более широкую информацию о напряженно-деформированном состоянии объекта, чем только информация о зонах непосредственных измерений. В связи с этим представляется весьма важным разработка таких расчетно-зкепериментальных методов, которйе позволяли бы определять параметры напряженного состояния в недоступных для измерений зонах по имеющейся инфорлации о напряженном оостоянии доступных для прямых измерений мест исследуемых конструкций или их моделей. Возникающие при этом задачи представляет собой так называемые обратные задачи, в которых неизвестные величины-восстанавливаются по их проявлении - отклику в зонах измерений. Эти задгчи, как правило, являются в математическом отношении некорректно-поставленными. Решение таких задач основывается на применении методов регуляризации, позволяющих эффективно и математически обоснованно решать различные обратные задачи. В разработку -общей теории и методов решения некорректных задач большой вклад внесли А.Н.Тихонов, Г.И.Марчук, МЛЛ.Лаврентьев, В.К.Иванов,- В.А. Морозов, А.Е.Бакушнсклй, В.Н.Страхов, В.И.Дмитряев, Д.Филлшс, Е.ЛЛи.нс и др. Теория и метода некорректных задач находят обширную сферу применений в различных областях науки и техники. Что касается области исследований напряженных состояний в элементах машин и конструкций то, за исключением такого важного направления как теплофизические исследования (работы А.Н.Тихонова, В.П.Мишина, О.М.Алифанова, Б.М.Панкратова, В.Б.Глас :о и": многие др.), имеется весьма ограниченное количество работ, по-

священных теории и практике исследований напряженных состояний в условиях ограниченной исходной информации (работы Абена Х.К., В.В.Болотша, А.К.Прейсса, А.А.Шваба,Н.И.Никитенко и др.).

Постановка в экспериментальной механике деформируемых твердых тел обратных задач диктуется запросами практики. Кроме того, само развитие экспериментальной механики основывается на все более проявляющей себя тенденции сближения экспериментальных методов исследования о расчетно-теоретическими. Такое сочетание методов в области обратных задач предельно органично и позволяет существенно расширить диапазон решаемых задач о действительном напряженном состоянии натурных объектов в условиях эксплуатации, упростить экспериментальную часть исследования, дать объективную оценку уровня напряженности на недоступных для измерении• участках поверхности, и, во многих случаях, может быть единственным средством определения параметров напряженного состояния в недоступных для прямых измерений зонах.

Цель диссертационной работы заключается в разработке расчет-'•о-эксперименталышх методов определения напряженно-деформированных состояний в элементах натурных машин и конструкций или их моделях в условиях ограниченной исходной информации, разработке и обосновании теоретических основ предложенных подходов, алгоритмов и расчетных схем для ряда задач экспериментальной механики. Исследования по теме диссертационной работы выполнены в лаборатории исследований полей деформаций Института мэшшоведения им.А.А.Благонравова АН СССР в соответствии с комплексными программами научно-исследовательских работ по проблеме разработки расчетно-эксперпменталышх методов определения напряженных состоять в машинах и конструкциях.

Научная новизна. В диссертации дано решение научной проблемы разработки расчетно-эксперименталышх методов определения напряженно-деформированных состояний в элементах машин и конструкций в реальных условиях экспериментальных исследований, когда, как правило, измерения проводятся в ограниченном количестве зон или точек доступной для размещения измерительных средств внзшней поверхности исследуемого объекта. Предложены новые по-станогк.и для различных классов обратных задач экспериментальной ;*ехпиг'Ь'!, разработаны их теоретические основы, предложены мето-

да решения, алгоритмы их реализации и разработаны вопросы математического обоснования вычислительных процедур.

В диссертации разработан новый мегод решения некорректно поставленных краевых задач механики, основанный на альтернирующем итерационном процессе, в котором решение ищется в виде предела сходящейся последовательности корректных краевых задач. Доказана сходимость альтернирующего метода. Показано, что метод эквивалентен методу последовательных приближений решения операторного уравнения, совпадающего по форме с уравнением второго рода. Изучена структура этого уравнения. Доказано, что альтернирующий метод обладает регуляризирующими свойствами. Предложенный метод имеет общий характер и может быть распространен на широкий круг аналогичных некорректно поставленных краевых задач механики; метод позволяет получать устойчивые приближения при интерпретации экспериментальных данных.

Получены интегральные уравнения обратных задач экспериментальной- механики для случаев силового и температурного нагруже-ния. Проведен анализ корректности постановки этих задач. Доказаны теоремы единственности для обратных задач связанной термо- . упругости в статической, квазистатической и динамической постановках. Показано, что восстановление тепловых полей в конструкциях возможно на основе альтернирующего метода, в рамках которого может быть осуществлено решение стационарных, эволюционных и нелинейных задач.

В диссертации разработан общий метод решения обратных задач интегральной фотоупругости, магнитофотоулругости и акусто-упругости для унитарны:: сред, свободный от ограничений, налагаемых на характер напряденного состояния на световом луче в существующих методах. Построены разршкшдие функционалы обратной задачи интегральной фотоупругости. Рассмотрены вопросы их конечно-разностной аппроксимации. Получены выражения для градиентов функционалов, используемых в процздурах поиска решений. Предложенный метод позволяет единообразно решать обратные задачи для произвольных трехмерных полей напряжений, что открывает ноше возможности для приложений методов интегральной фотоупругости.

Разработаны расчетно-экспериментальные методы определен!!! непрерывных распределений остаточных напряжений в плоских дета-

лях произвольной форш по измерениям параметров напряяенно-дефор-мировапного состояния вблизи создаваемых.прорезей. Метода могут быть распространены на случай пространственного распределения остаточных напряжений.

Разработал метод определения контактных взаимодействий на фотоупругих моделях по данным поляризационно-оптических измерений вне контактной зоны. В методе, по сравнению с существующими, исключаются процедуры разделения напрянений и экстраполяции.

Практическое значение и реализация результатов работы. Выполненные разработки направлены на значительное увеличение 'информационного содержания существующих экспериментальных методов, формирование современного методологического аппарата экспериментальных исследований в механике деформируемого тела, что позволяет существенно расширить возможности диагностики напряяенко--деформированных состояний элементов машин и конструкций в условиях эксплуатации и при модельных исследованиях.

Разработанные метода имеют важное значение в практике исследований напряженных состояний ответственных элементов конструкций атомного, энергетического и перспективных образцов .термоядерного оборудования. Методология обратных задач позволила эффективно получить информацию о напряяенном состоянии труднодоступных и недоступных для размещения измерительных средств зон в элементах внутрикорпусных устройств водоводяных атомных реакторов, элементах парогенераторов, шцнкх паровых турбин, перспективной конструкции токамака с сильным магнитным полем и др. Разработанные метода использовались в ряде ведущих организаций (ОКБ Гидропресс, Институт Атомной энергии игл. И.В.Курчатова, Всесоюзный теплотехнический институт и др.) при анализе напряженных состояний действующих конструкций и создаваемых образцов новой техники, что позволило получить значительный экономический гффехт. Результаты выполненных исследований включены также в методические указания и справочную литературу.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах: на Всесоюзной научно-технической конференции "Методы и средства тензометрии и их применение в народном хозяйстве" (КшяинеЕ, 1979); на УШ Всесоюзной конференции по методу фотоупругости (Таллин,

кой точки зрения, нарушена.причинно-следственная связь. Это выражается в постановке задач, содержанием которых является вопрос об определении геизвестных причин по их следствиям.

В главе рассматриваются два наиболее важные с точки зрения практики экспериментальных исследований случая постановки задачи восстановления упругих полей в алементах машин и конструкций. Первый случай соответствует восстановлению НИР в некотором объеме V , огранйчзнном поверхностью Г=ШБ , на фрагменте которой 3 заданы одновременно вектор смещений и*(Б) и вектор напряжений - На фрагменте / граничные условия неиз-

вестны. Объем V- мокет совпадать со всем телом или быть его частью и считается свободным от действия массовых сил и начальных напряжений. Требуется определить напряженно-деформированное состояние в объеме V , удовлетворяющее системе уравнений теории упругости (л+р) дгас/аНуи . Второй случай соот-

ветствует ситуации, когда на *5 вместо вектора смещений в результате измерений известен тензор деформаций (напряжений) <$*■ (5) . Поставленные задачи характеризуются переопределением граничных условий на £ , в то время как на I, граничные условия неизвестны. Решение рассматриваемых задач эквивалентно определению неизвестных граничных условий на (например в усилиях рх(х)), что позволяет ставить обычные краевые задачи и определять напряженное состояние в.. исследуемой области.

Используя интегральные представления решений краевых задач теории упругости, монно получить интегральные уравнения, устанавливающие связь меццу искомым вектором напряжений о (х) на / и известным из измерений вектором смещений ¿¿*($) на /5 :

(¿¡Ю-и?®* ¡1Г1,г}(2,х)р^х)а'1(Х), б€5, хе1 > (I)

где Ц( } - тензор смещений Грина для V , удовлетворятаций однородным граничным условиям в напряжениях на всей поверхности области: д^к)= М-. /?. = О на Р , //¿^ - тензор напряжений Грина, соответствующий• Ц".'** ; и" - вектор смещений на

л5 из решения краевой задачи теории упругости с граничными условиями: р<=10 на I , рк=р* к а 5 .В случае свободной от нагрузок поверхности £(р*{$)^0) вектор и?(&)=0. Решение этол системы интегральных vpaвнeний представляет собой

решений обратной задачи теории упругости. Интегральные операторы этой системы вполне непрерывны, а сами уравнения представляют собой уравнения Фредгапьма первого рода, решение которых представляет собой некорректно-поставленную задачу.

Важным моментом, связанным с решением обратных задач, является установление единственности решения, которое обеспечивает детерминированность решения и информативность эксперимента, к гарантирует устойчивость вычислительной процедуры в случае поиска решения на компакте. В ситуации, когда исходная информация включает в себя данные о всех трех компонентах вектора смещений на поверхности измерений, при условии, что вектор напряжений на этом же участке поверхности известен (обычно измерения проводят на свободном от нагрузки участке поверхности), имеет место однозначная разрешимость рассматриваемой обратной задачи. Это следует из теоремы Альманси, которая утверждает отсутствие напряженного состояния в упругом теле при нулевых векторах смещений и напряжений на части его поверхности.

Ситуация, возникающая при тензометрлческлх исследованиях, характерна и для некоторых других экспериментальных методов, . в которых определяется информация не о векторе смещений, а о тензоре деформации (напряжении) ёу (5) на /5 . В этом случае из интегральных представлений вытекает следующее уравнение, связывающее компоненты тензора деформаций ¿Г*- {з) на /5 с неизвестным вектором напряжений рк (х) на А :

где тензоры деформаций Е^ , 6*j , <S°j порождаются векторами смещений W/K> , ц* , и° соответственно, а дифференциальный оператор def переводит вектор смещений в тензор деформаций. Структура этой системы уравнений отличается от (I) наличием поверхностного интеграла по Г , вследстта того, что на Г выражение de-f \_g-*}(S,X)\ UK (X) t О , хотя О на Г .

В отличие от предыдущего случая здесь в систем неизвестных, по-шцло рк(х) на L , входит так&е вектор смещений Цк(х) на r=LUS , и существенным обстоятельством является то, что областью определения неизвестных является вся поверхность исследуемого объема, в то время как исходная информация определена линь на ее части.

Анализ системы уравнений (2) и численные исследования показали, что решение обратной задачи на основе (2) приводит к сильной неустойчивости вычислительных процедур и что использование системы (2) представляется нецелесообразным. Практика решения многочисленных задач показала, что, в силу линейности, монет быть

использована следующая система уравнений

®=' х)р* 0/1 (х)' (3)

' А

которая представляет собой систему интегральных уравнений Фред-гольма первого рода, тлеющую, вообще говоря, неединственное решение.

Исследования обратных задач теории упругости показали, что во многих случаях единственность решения имеет место не только в случае использования в качестве исходных данных информации о векторе смещений, но и' в случае использования данных о тензоре деформаций (напряжений). Кроме того, во многих случаях единственность решения имеет место и при значительно более ограниченной информации, чем информация о всех компонентах вектора смещений или тензора напряжений. В самой же общей ситуации - рассматриваемые обратные .задачи являются некорректно поставленными не только в связи с нарушением условий непрерывной зависимости решений от исходных данных, но такие по причине не единственности решения. Преодоление трудностей, связанных с решением таких задач,основывается на идеях регуляризации. Обратные задачи теории упругости относятся к классу регуляризуемых задач, т.е. поддающихся устойчивому решению с помощью методов регуляризации. Кроме того, в рамках регуляризируицих процедур естественным образом преодолеваются также и трудности, связанные с неединственностью решения.

В рамках существующих методов решения некорректно поставленных задач рассмотрены различные регуляризирующие алгоритмы применительно к решению систем интегральных уравнений (I) и (3). Основное внимание было уделено исследованию регуляризиругацих процедур, базирующихся на наиболее обоснованном в математическом отношении и универсальном вариационном принципе, который, в частности, реализуется в методе сглаживающего параметрического функционала (метод А.Н.Тихонова), а также регуляризируицих процедур, которые используют задание аналитических структур искомых решений

(решение обратных задач методом обращения на компакте). Приведены вычислительные эксперименты, моделирующие реальные условия экспериментальных исследований, которые позволили обосновать рекомендации по выбору эффективных зон измерений и восстановления упругих полей, конечно-разностной аппроксимации уравнений, оценки разрешающей способности регуляризирукщих алгоритмов применительно к решению обратных задач теории упругости.

Трудности, возникающие при практическом использовании методов регуляризации, хорошо известны. Например в методе сглакивакь щего функционала, в каждом конкретном случае существует оптимальное значение параметра регуляризации, но оно остается неизвестным, как и точное решение обратной задачи. Разработка методов оценки парат,гетра регуляризации, дающего в том или ином смысле оптимальное значение регуляризованного решения, наталкивается на принципиальные затруднения, и, по-видимому, не существует единого критерия определения параметра регуляризации, пригодного для широкого круга зааач. В связи с этим возникает необходимость в разработке и исследовании новых подходов к решению рассматриваемых задач, учитывая их практическую вачшость и постоянно повышающиеся требования к надежности получаемых результатов.

В главе излагается разработанный новый метод решения некорректно поставленных краевых задач механики, основанный на построении альтернирующего итерационного процесса. Метод является обобщением алгоритма Шварца на случай области, не являющейся объединением областей, частотно налегающих ми соприкасающихся, и заключается в построении процедуры последовательных приближений, на каздом этапе которой восстанавливаемое поле удовлетворяет в области исходному уравнению. Решение некорректной задачи ищется в виде предела сходящейся последовательности решений корректно разрешимых краевых задач. Эта последовательность при известных векторах смещений и* и напряжений р* на ^строится тледующим образом. Задается начальное приближение вектора напряжений р'.с) на / и ищется начальное приближение вектора смещений и° на I из решения смешанной краевой задачи

Д*и*0 на V; р^р!с) на и^и* на 5.

(9 хЗ

Если построено приближение и* , то вектор-функция

р. ' должна уцоапетворять задаче

й*и=о на V ; (¿. = и./г«> на / , рг-=р* на л?.

После того, как построена вектор-функция р сгкприближение и получаем, решая задачу

¿Ги=0 на V; р^р/^'т I иги* на £ .

Здесь д*=(2+р) дгас/ШУ+уХА .

Итерационная процедура альтернирующего метода для кавдого К определяет линейный непрерывный оператор , сопоставляющий

исходным данным (и*р*г,р'^еХ*® *(%"*&))*'(Ж"*ШТ , вектор-функцию им=(и?р*реЖ1 (V) , где Ж (V)-

прокзведение трех экземпляров пространств Соболева Н (V) , .

Ж (5) - соответствующее пространство следов, (Ж **(&))*■ и (Ж',г(/.))* - сопряженные пространства. При решении некорректно поставленных задач итерационным методом принципиальное значение имеет вопрос о сходимости метода и его регуляризирутшшх свойствах. Доказана теорема о сходимости альтернирувдего процесса в случае точного задания исходннх данных и * , р* на <5 :

пу„?ь ц*еЖ'12'(2), р*е (Ж* и пусть решение задачи

аеЖ(У) ' . Тогда для каждого р(о)е(Ж'/'*{1))* последовательность р*р">)}х>0 сходится к функции а в пространстве X (V).

Определение регуляризирузощёго семейства операторов для рассматриваемой задачи формулируется следующим образом: семейство

операторов р* р'°}) , к=0,1.....регуляризирует'задачу

на точном решении и , если существует положительное число и ггункцщ к (о) , 6(8), определенные на (0, ) такие, что $(8)->~о при 5-— О и из неравенства

вытекает оценка

|| Х.ш(и\р*р»)-и\х,.т*е(8).

Здесь начальное приближение р'"1 выступает в роли параметра ^■мейотва операторов. Доказана теорема о регуляризирующих свойствах альтернирующего метода:

пусть рС0)е(2С'М(1*)Т. Семейство операторов ^(и'р*^) регуляризирует рассматриваемую задачу на точном решении и в указанном выше сшсле.

Альтернирующий процесс нетрудно приспособить и к следующей •естественной ситуации, когда граница Г разбита на три части Г=5иШХ , причем на 3 , как и прежде, заданы переопределенные граничные условия, на / граничные условия неизвестны, а на X заданы статические или кинематические граничные условия. В этом случае на каждом шаге процесса граничные условия на X сохраняются, а условия на I, и £ альтернируются как прежде. Доказательство регуляризирунцего характера алгоритма не меняется.

Рассмотрены схемы численной реализации метода. Вычислительный процесс может быть осуществлен двумя способами. Первый - это непосредственное применение альтернирующей процедуры посредством решешш последовательности смешанных краевых задач, число которых равно числу итераций. Второй способ основан на сведении обратной задачи к операторному уравнению на фрагменте поверхности Л , решение которого методом последовательных приближений эквивалентно альтернирующей процедуре. Операторное уравнение тлеет следующий вид:

(1-В)р\и--{)

где I - единичный оператор, В~6У, 1Г и <5- - операторы, переводящие векторы напряжений в векторы смещений на / и наоборот, и которые можно рассматривать, как некоторые интегральные операторы, ядрами которых являются функции Грина соответствующих краевых задач. Это уравнение по своему виду похоже на уравнение второго рода. Однако анализ структуры оператора (1~В) показал, что уравнение, строго говоря, не является ни уравнением второго, ни первого рода. Численные исследования показали, что, как правило, количество итераций, необходимых для получения удов-летворгтельной точности, значительно превосходит количество краевых задач, требуемых, для построения матричных аналогов операторов V и £г , и поэтому первый путь, использующий многократное решение краевых задач, мало эффективен. Проведение процедуры последовательных приближений для разностного аналога операторного уравнения приводит к значительной экономии машинного времени.о

Для применения любого регуляризирунцего алгоритма при реше-

кии некорректных задач важными являются следующие его свойства: высокая разрешающая способность при точных исходных данных и помехоустойчивость. Для выяснения работоспособности альтернирующего метода было проведено численное исследование вышеуказанных свойств, рассматривались различные варианты сеточных аппроксимаций областей, краевых условий и взаимного расположения фрагмента поверхности ¿5 - носителя исходной информации и фрагмента / с неизвестными граничными условиями,- Вычислительный эксперимент проводился, в следующей последовательности: выбиралась сеточная аппроксимация области, строились конечно-разностные аналоги операторов и , & и В , решались прямые задачи с заданными краевыми условиями, решались .обратные задачи с точными исходными данными (из результатов решения прямых задач), решались обратные задачи с возмущенными исходными данными, проводилось сопоставление восстановленных гракнчных условий альтернирующим методом с их точными значениями. Полученные результаты показали высокую разрешающую способность альтернирующего метода при восстановлении тонкой структуры искомых решений, высокую скорость сходимости, устойчивость регуляризованных приближений.

0 Простота алгоритмической схемы альтернирующего метода, возможность введения в структуру итерационного процесса различных ограничений на получаемые приближения (например, ограничения на неотрицательность решения, монотонность и т.п.), существование доказанных утверждений о сходимости и регуляризирующих свойствах создают основу для практического применения метода при решении обратных задач экспериментальной механики.

'В главе приводятся результаты решения обратной задачи восстановления контактного взаимодействия упругого циливдра из полимерного материала с жестким штампом. Методом голографической интерферометрии определялась радиальная компонента вектора смещений на свободной поверхности цилиндра, которая являлась исходной информацией для определения контактных давлений. Экспериментальные данные были сглажены с использованием сплайн-аппрокскма-ции. Результаты восстановления альтернирующим методом распределения контактных давлений под штампом отвечают физически ожидаемой картине и не имеют существенной нерегулярной, компоненты. Проверка равновесия показала, что интеграл от полученной эпюры контакт-

ннх давлений с точностью до 9$ совпал с контролируемой в эксперименте осевой силой, приложенной к штампу.

Во второй главе представлены результаты исследований по восстановлению тепловых и термоупругюс полей в элементах машин и конструкций по данным измерений на части их поверхности. Эти задачи имеют большое значение при определении термонапряженности в условиях эксплуатации, когда возможности экспериментальных методов ограничены по сравнению с модельными или стендовыми исследованиями из-за затрудненного доступа к внутренним поверхностям и сечениям. Рассматривается обратная задача теплопроводности и метод ее решения на основе альтерниругацего итерационного алгоритма,расчетные схемы и вычислительные особенности метода, приводятся результаты численных экспериментов. Рассматривается постановка обратной задачи термоупругости, ее теоретические основы, методы решения и численная реализация.

Обратная задача теплопроводности относится к обширному классу обратных задач, связанных с практикой теплофизических исследований (А.Н.Тихонов, В.П.Мишин, О.М.Алифанов, В.М.Панкратов и др.). В работе рассматривается граничная обратная задача теплопроводности, заключающаяся в восстановлении тепловых полей в области по известным данным Коши (температуре Т и тепловом потоке дТ/дп) на части ограничивающей ее поверхности. Решение этой задачи существует' и единственно, но в ней, при рассмотрении естественных с точки зрения приложений функциональных пространств, к которым пригздлежат искомые решения и исходные данные (например С и/г) нарушено третье условие корректности по Адамару - отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных Коши.

В настоящее время имеются различные подходы к ее решению. Все подходы, в основном, можно разделить на две большие группы. Одну группу составляют методы, основанные на привлечении количественной информации об искомом решении и рассматривающие задачу как условно корректную (М.М.Лаврентьев и др.),.другую группу составляют методы, использующие универсальные алгоритмы теории регуляризации (А.Н.Тихонов). Необходимо отметить, что наибольшее распространение и основные успехи в практике восстановления тепловых полей полупи а вторая группа методов. В рамках этого подхода применяют различные варианты регуляризованных алгоритмов? Использующих сведение задачи либо к решению интегральных уравнений первого рода, либо к представлению искомого поля в области

интегралом или рядом (О.М.Адифанов, П.Н.Вабищевич, В.В.Гласко и др.), либо строя конечно-разностные регуляризованные алгоритмы (В.Н.Страхов, С.Н.Иванов и др.). Существенный интерес представляет также метод квазиобращения, разработанный для решения дифференциальных уравнений, описывающих как стационарные, так и эволкъ ционные некорректные задачи (Р.Латтес, Е.-Л.Лионе).

Ввиду большой важности расшатриваемой задачи, которая помимо теплофизических исследований имеет многочисленные приложения и в других областях науки и техники, в частности в геофизических методах (гравитационные, магнитные и электрические методы разведки) , продолжается интенсивный поиск эффективных методов ее решения. В работе предлагается принципиально новый подход к решению обратных задач теплопроводности, основанный на альтернирующем методе, первоначально разработанном для решения обратных задач теории упругости и изложенном в первой главе. Универсальный характер этого подхода открывает естественную возможность расширения класса решаемых задач, рассматривая в его рамках стационарные, эволюционные и нелинейные обратные задачи.

Задача восстановления нестационарного температурного поля формулируется следующим образом: требуется для области V , ограниченной поверхностью Г=1иЗ , найти решение уравнения теплопроводности Х4 Т(Щ, дТ($}Ь, удовлетворяющее на фрагменте 5 краевым условиям: Т= Т),дТ/дп = ¿¡/(в^)/¿¡Л и начальным условиям в области • Т(Щ,0) = , которые соот-

ветствуют стационарному распределению температуры (лв - о) . Не нарушая общности, поставленная задача может быть сведена к задаче, в которой одно из данных Коши и начальные условия однородны. Для этого необходимо решить в V смешанную корректно поставленную задачу с граничными условиями дТ/дп=дТ (¿¿)/д/7 на ,5 , Т~0 на , и начальными условиями Т(Щ,О)=0*($) . Вычитая полученные значения Т (в^) на 3, обратная задача теплопроводности сводится к задаче со следующими данными Коши =

на и нулевыми начальными условиями. Следуя методологии построения альтернирующего итерационного процесса, получено уравнение относительно неизвестного распределения температуры на фрагменте I, : ■6

о ь

t Лг>

где /

° л.

Здесь G¿ и - функции Грина для области V , соответствующие смешанным начально-краевым условиям, а значение T (xti) на L опредачяется из решения начально-краевой задачи с условиями T=9*(Stt)Y& S ; дТ/дл=0 на L , Ttè,0)-0 на И

Решение этого уравнения методом последовательных приближений эквивалентно альтернирующей итерационной процедуре и доставляет неизвестные граничные условия на . Распределение температуры в объеме исследуемой области определяется путем решения соответствующей краевой задачи теплопроводности для У с известными граничными условиями на LUS.

В главе приведены численные исследования ряда обратных задач теплопроводности. Особое внимание было уделено исследованию разрешающей способности метода при восстановлешш распределений, обладающих значительной нерегулярностью (большие градиенты, осциллирующий характер). Такие задачи возникают-при восстановлении тепловых полей в окрестности порождающего его источника и имеют в&тазе значение в прикладных исследованиях, в которых возникает необходимость в определении местоположения источников поля. В вычислительных экспериментах рассматривались различные варианты расположения источников Под поверхностью, на которой задавались данные Коши, различные уровни, на которых производилось восста-нов' ение поля, различные степени приближения к самому источнику. Рассматривалось восстановление при точных исходных данных и при действии помех с различным характером распределения. Метод показал устойчивость алгоритма и высокую разрешающую способность при восстановлении решений, имеющих нерегулярную структуру.

В главе приведено решение задачи по восстановлению функции Адамара:

un(x></^ jï* sinnxshny,

которая является классическим примером некорректной задачи: задачи Коши для уравнения Лапласа. Функция Адамара задавалась в замк-¡гутой области O^X^ff , Варьировались параметр П

и уровень у * , на котором восстанавливалось значение ^ункщй. Вычисления показали, что при выбранной сеточной аппроксимации

(равномерная сетка по х и у - 27 шагов) значения функции Ада-мара на уровнях у*=Я , $//6 соответствеЕПЮ при П =1,

3,6 восстанавливались практически о аналитической точностью. На примере, восстановления функции Адамара выявляется важная особенность, возникающая при реализации реиеки.1 обратных задач численными методами. Эта особенность заключается в выявлении для выбранной дискретизации характера осциллирующих функций, которые могут служить' моделью погрешностей исходных данных и которые были бы неннфоркатизкы относительно процедуры восстановления. ■

Для оценки возможностей альтернирующего метода по подавлению помех с различны,! характером распределения использовались осциллирующие функции со средним значением близким к нулю и различным числом полуволн. В вычислительном эксперименте рассматривалось различное число полуволн, которое бралось от равного числу точек сетки на участке задания данных Коши и последовательно снтаэлось в 2,3 и 4 раза. Соответственно каждая полуволна задавалась значениями в 1,2,3 и 4 точках. Соотношение амплитуд воздействия и отклика экспоненциально зависит от произведения числа полуволн на глубину восстановления. Численный эксперимент показал, что имеется близкое соответствие мезду качеством восстановлена и конечно-разностной аппроксимацией функций. Чем менее подробно описана каддая полуволна, тем больше погрешность при решении прямой задачи и сильнее подавление при восстановлении с такими же данными Коши. Так помеха, моделируемая функцией с 27 полуволнами (область и сеточная дискретизации та же, что и в примере с функцией Адамара), полностью подавляется, а с 13 полуволнами не возрастает. При более подробной проработке функций погрешности, когда полуволна задается значениями в трех или даже четырех точках, метод не в состоянии отличить такую помеху от информативной составляющей данных Коши. Поэтому результат восстановления для исходных данных, отягощенных помехой, существенно зависит от априорной информации о том, с какой разрешающей способностью должны быть заданы дан. ные Коши, а также от изучения и учета возможного характера распределения помехи.

Разрешавшая способность альтернирующего метода может быть значительно увеличена путем использования процедуры послойного восстановления. Эта процедура заключается в последовательном применении метода для п -слоев, в которой результаты восстановде-

ния на каздом слое используются в качестве данных Коши для последующего слоя. Численные исследования показали, что результаты восстановления при многослойной процедуре значительно превосходят, в отношении проработки тонкой структуры искомого решения, результаты, получаемые при однослойном восстановлении. Рациональное построение схемы послойного восстановления (с учетом информации об исходных данных, конечно-разностной аппроксимации, выбором оптимального числа итераций) является средством существенного улучшения разрешающей способности метода особенно в тех случаях, в которых глубина области восстановления большая.

Описанный вше подход к восстановлению поля температуры по данным Коши для уравнения Лапласа (или Фурье), заданных на части границы области, в принципе решает задачу. Но дело в том, что получить данные с распределении температуры па доступной для измерений части поверхности сравнительно просто, а вот определение на этом же участке поверхности градиента температуры по направлению нормали к поверхности, во многих случаях, встречается с весьма большими трудностями. Градиент температуры известен (равен нулю), когда теплообмен между элементом и окружающей средой отсутствует (поверхность теплоизолирована). В противном случае градиент температуры подлежит определению. Вычислить его из условий теплообмена с внешней средой не удается, тале как значение относительного коэффициента теплообмена в большинстве случаев неизвестно. В этих условиях применяют метод рассверловки ступенчатых отверстий с ус-ановкой на уступах термопар. При этом определение температуры на некоторой глубине под поверхностью и вычисление по этим данным градиента температуры вносить трудно поддающуюся оценке погрешность иэ-за изменений граничных условий в местах рассверловки. Кроме того, при большом количестве точек измерений, рассверловка - крайне не желательная операция, а в некоторых случаях и недопустимая. Таким образом,получение данных Коши для уравнения теплопроводности в условиях не теплоизолированной поверхности (во многих случаях наличие теплоизоляции на конструкции не гложет служить основанием считать, что теплообмен отсутствует) сопряжено с определенными трудностями и более эффективным представляется другой путь, позволяющий по данным измерений лишь на поверхности восстанавливать тепловое и напряженное состояние в области элемента. Этот путь основан на том, что при экспериментальных исследованиях термонапряженных конструкций, помимо изме-

рений температур, определяют.также деформированное (напряженное) состояние поверхности. Знание тензора термоупругих деформаций (напряжений) или вектора смещений заменяет информация о тепловом потоке и позволяет ввести новые операторы, связывающие искомую температуру с параметрами термоупругого состояния:. Обращение этих операторов составляет содержанке обратной задачи термоупругости.

Отметит.! одно существенное обстоятельство. Если сравнить информацию, необходимую для однозначного определения поля температур в области элемента в случае задания на части границы температуры и ее нормальной производной и в случае задания температуры и тензора деформаций (вектора смещений), то можно заметить, что роль скалярной функции в первом случае (градиент температуры) во втором случае выполняет тензорная (векторная) функция. Отсюда ясно, что информация о деформированном состоянии поверхности значительно богаче, чем информация о тепловом потоке через эту поверхность, а в условиях некорректности рассматриваемых задач любое расширение информации дает возможность построения более устойчивых приближений к искомым решениям. Таким образом,использование тензора деформаций (вектора смещений) для восстановления температурного поля, помимо того, что снимает большие технические трудности определения теплового потока, тлеет значительное регулярк-зирующее влияние на алгоритм поиска приближенных решений.

Обратная задача термоупругости в случае квазистатической (статической) несвязанной задачй термоупругости, представляющая наибольший интерес с точки зрения практики экспериментальных исследований натурных машин и констру;оцш, .формулируется следующим образом: требуется в односвязной области V , ограниченной поверхностью Г=¿,1/3 , найти решение уравнений

//ш+(л+д)дгас/с{б1ги=$гас(Т на К*[<7,4), УйТ = дТ/М на

удовлетворящее краевым условиям

<*у(и)лгГ7п. на и=и*, Т=Т* на

начзлмгсг.у условию Т^,д=Тд где Та - гармоническая

в У , вектор термоупругих смещений Ц* и температура Т заданы в каждый момент времени Ь , на мно-

. ¿гтве границы •

интегральных представлений решений задач термоупругости мо_- 1чо получить интегральные уравнения, связывающие значения иско-■•■оп температуры Т(х,1') на / с значениями вектора смещений на £

^¡[^^^тмш^^)-^^), (4)

а ¿.

где V- функция термоупругих смещений Грина для области V , Ц° - вектор термоупругих смещений на £ из решения начачьно--к'>аепон задачи с условиями: Т= Т* на б, 7- О на ¿х[<7,¿0) , в V . При известной функции тер-

моупругих напряжений Грина имеет место аналогичное уравне-

ние <

I&¡е*. (з, х,£-г) Т(х,г)с(Цх)=- , (5)

о А * О

где , б^у - тензоры напряжений, соответствуют векторам смещений ц* и ц' . Уравнения (4) и (5) представляют собой системы интегральных уравнений первого рода, решение которых является некорректно поставленной задачей.

При исследовании корректности обратных задач не доказываются теоремы существования. Существование решения и принадлежность его множеству корректности постулируется в самой постановке задачи, исходя из физических соображений. Так как для задач корректных по Л.Н.Тихонову (условно корректных) разработа!ш методы их решения, то установление условной корректности задачи имеет первостепенное значение. Из определения условной корректности следует, что основным вогросом является вопрос о единственности решения. В главе дано доказательство теорем единственности для случаев статической, несвязанной квазистатической обратных задач термоупругости, а также и для более общих случаев: связанной квазистатпческой и связанной динамической обратных задач термоупругости.

Например, для связанной динамической обратной задачи терг?о-у.тоугопта теорема единственности формулируется следующим образом:

■пусть в катдый момент времени Ь , Ь^О . на множестве границы /5 заданы температура Т и вектор термоупругих смещений и . Требуется найти решение ( и ,Т ) уравнений

'сгЖ + ^ЖШггит/&Т на Н0*00)*

удовлетворяющее краевым условиям

= ^Тп1 на Гх (А > Ч =1'2'3'

а-и*, Т= Т* на Б^о.оо), и начальным условия.!

АЫГ*> «\иГи.*иЬ.от0 ка

Здесь температура Т0 и вектор смещений • ¿/0 удовлетворяют стационарной термоупругой задаче и, кроме того, предполагается, что

V V, * *

где С , А - некоторые положительные числа. При Т-0, и =0 единственным решением задачи является и= О, Т= О.

Доказанные теоремы распространяются на случай, когда внешними нагрузками являются массовые силы, тлеющие потенциал. В случае действия на тело произвольных массовых сил, отличных от потенциальных, теоремы, вообще говоря, не верны. Следует заметить, что часто встречающаяся в практике экспериментальных исследований ситуация, когда на части поверхности & известны не все компоненты вектора смещений, приводит, в общем случае, к многозначному решению. Та же ситуация имеет место и в случае, когда на $, известен тензор напряжений <а*. , который в общем случае, не несет информацию о всех компонентах вектора смещений. Однако, во многих частных случаях, для обеспечения единственности решения задачи, вообще говоря, не обязательно требовать знания всех компонент вектора смещений. В этих случаях единственность решения должна быть исследована особо. Строгое исследование единственности решения обратной задачи термоупругости в условиях не полно!? :.г:оор::ации о век-

торе смещений является очень сложной задачей, и поэтому вопрос об однозначной разрешимости конкретных задач разумно исследовать численным путем.

В условиях обратной задачи, когда температура является иско-•мой функцией, задание на части поверхности £ значений компонент вектора смещений или тензора напряжений ■ не должно быть внутренне противоречивым, т.е. совокупность и1 или <5^ должны соответствовать одному и тому же полю температуры. Отсюда вытекает, что между компонентами, например вектора смещений на Б , имеются определенные функциональные связи. Например, рассматривая две компоненты вектора смещений и1 и и2 и соответствующие им уравнения (4) И1Т=и1 , можно построить операторные

соотношения между компонентами вектора смещений. Если оператор вполне непрерывен и обратим, для чего, в частности, нужна непрерывность и ограниченность ядра интегрального оператора и принадлежность функций Т и и1 компактным множествам, то справедливо операторное соотношение между компонентах.™ и :

иг = Ц,У^ и^=Е2/и1. Если оператор ¿/ удовлетворяет тем же требованиям, что и , можно построить обратный оператор . Строя операторы перехода меяду другими компонентами вектора смещений, получаем матрицу операторов перехода . элементы которой удовлетворяют соотношениям Е-=Е^ , -I, с,¡-1,2,3. Важная особенность этих операторов заключается в том, что для их построения не требуется знать распределение температуры на Ь . Такт образом, при экспериментальном определении одной компоненты вектора термоупругих смещений, например ¿^ , можно численными методами восстановить компоненты и . Такая возможность может быть реализована только в том случае, когда оператор У[ обратим, т.е. решение соответствующего интегрального уравнения единственно, и существуют операторы и Щ . Существование и построение всей совокупности операторов перехода Ец основывается на обратимости всех исходных интегральных операторов Щ . К сожалению, в общем случае, нельзя ответить на вопрос об обратимости какого-либо одного из операторов 1Г- , тем самым ограничив исходные данные одной компонентой вектора смещений. Однако во многих частных случаях обратимость одного из операторов \[- имеет место. В общем же случае, единственность решеьйя обратной задачи термоупругости обеспечивается лишь при использо-

ванки информации о всех компонентах вектора смещений.

В главе проведено исследование методов -численной реализации решешхя обратной задачи термоупругости. В связи с тем, что в обратной задаче термоупругости невозможно построить альтернирующий итерационный процесс (так как данные Коши тлеют различную прирс у: температура и вектор смещений) были рассмотрены несколько существующих регулирпзирующих алгоритмов применительно к рассматрдаае-мой задаче (Л.К.Тихонов, В.Н.Страхов, В.М.&рцдман, В.А.Морозов, А.В.Крянев). Было установлено, что в обратной задаче тзрмоупруго-сти, в которой искомая величина является скаляром, а отклик на ее воздействие проявляется в виде векторного или тензорного поля, во многих случаях возможно получение устойчивых приближений искомых распределений без привлечения методов регуляризации из-за избыточности исходной информации. Совместное использование данных о все:' компонентах вектора смещений или тензора напряжений как бы расширяет область задания правых частей уравнений (4) и (5) при неизменной области искомого решения, что оказывает сильное регуляю::-зирующее влияние. Это очень важное обстоятельство, которое позволяет в широких пределах варьировать эффективную зону измерен''};, сужая ее до тех пределов, с которых начинается сказываться неустойчивость алгоритма восстановления. Анализ вычислительных экспериментов показал, что помимо использования методов, в которых в явном виде строятся регуляризирукщие сбратже операторы интегральных уравнений, возможно использование представления искомого решения в виде некоторого функционального ряда, зависящего от конечного числа параметров. Такой подход целесообразен, когда постановка задачи обусловлена ограниченными информационными возможностями используемых, средств измерений, и ни точность измерений, ни их объем не позволяют восстановить искомые распределения путем решения интегральных уравнений.

В третьей главе представлены результаты по разработке общего метода решения обратной задачи интегральной фотоупругости для унитарных сред, свободного от ограничений, налагаемых на характер напряженного состояния в существующих методах. -Разработанный метод позволяет единообразно решать обратные задачи интегральной фотоупругости для произвольных трехмерных полей напряжений, что открывает новые возможности для приложений методов интегрально Г фотоупругости.

Метод интегральной фотоупругости относится к иеразрушаицпм методам исследований, что является весьма важным преимуществом по сравнению с другими методами, которые в той или иной степени используют процедуры нарушения сплошности исследуемых объектов. Эти преимущества привлекают шюгих исследователей, особенно в такой ванной области, как определение остаточных напряжений в стеклянных и пластмассовых изделиях, искусственно выращиваемых кристаллах и т.п. Разработка и совершенствование неразрушаксцк методов исследования произвольных трехмерных напряженных состояний является весьма актуальной задачей, но 'значительно более труд- . ной в сравнении с задачами, возникающими в разрушающих методах. Эта трудность связана, главным образом, с значительно более сложной теорией, лежащей в основе неразрущанцих методов, а также трудностями численной реализации задачи интерпретации результатов измерений, связанными, во многих случаях, с нарушениями условий корректной разрешимости. В настоящее время интерпретация наблюдаемых оптических явлений, возникающих при сквозном просвечива- ■ нии фотоупругих сред (обратная задача), относится к сравнительно простым случаям напряженного состояния на световом .луче, и не существует общего подхода к решению обратной задачи интегральной -фотоупругости, независимого от специфики конкретной задачи.

В главе рассматривается постановка обратной задачи интегральной фотоупругости для одного световох,о луча, заключающаяся в восстановлении распределен:« разности квазиглавных напряжений и их направлений по измеренным интегральным оптическим характеристикам при сквозном просвечивании фотоупругой среды. Возможность определения параметров напряженного состояния на одном световом луче имеет принципиальное значение, так как позволяет перейти к решению задачи об определении напряженного состояния в некоторой области модели или изделия (включая вопросы определения всех компонент тензора напряжений), используя информацию на различных лучг.-; света. В качестве интегральных оптических характеристик фотоупругой среды берутся характеристические величины, которые инвариантны относительно выбора координат, наиболее естественно описывают оптические свойства просвечиваемой среды и метода экспериментального измерения которых наиболее сильно раз-т-.'-ты (Х.К.Абен).

Для унитарной оптической среды при просвечивании ее в полярископе характеристические величины G¿(Л) (¿'=1,2,3) несут полную информацию о преобразовании светового вектора и доя заданного напряженного состояния в случае, когда имеет место вращение квазиглавных направлений, однозначно определяются как функции длины падащей волны света Д . Дисперсия характеристических величин положена в основу разработанного общего подхода к решению обратной задачи интегральной фотоупругости.

Постановка обратной задачи интегральной фотоупругости, в которой требуется по известным из эксперимента 0£(Л) определить функции ^(а) (разность квазиглавных напряжений) и (2) (азимут квазиглавных напряжений) является некорректной в связи с тем, что, во-первых, малым изменениям характеристических величин могут соответствовать большие изменения искомых параметров напряженного состояния, а во-вторых, данным величинам (X) могут отвечать различные значения функций и /д(у0 (неоднознач-

ность решения). Вопрос о разрешимости ( существование решения) обратной задачи, как принято в теории некорректных задач, решается на основе физических соображений. Естественным для рассматриваемой задачи множеством существования может служить множество функций, на котором определены решения системы дифференциальных уравнений теории упругости и которое адекватно отражает свойства напряженного состояния фотоупругой среды и физически реализуемо в исследуемых моделях или изделиях.

Для описания преобразования функций параметров напряженного состояния и ^('¿) в характеристические величины Ос(л)

вводятся нелинейные операторы Т- :

Те&(*)> ^(^,¿=1,2,3.

в которых длина волны света определена или в некотором интервале >Лг], 10111 отвечает выбранной сетке значений ^ к=1,2, ... ,2К , соответствующей дискретному экспериментальниу !.аб ;>у. В случае непрерывного спектра можно построить функционалы, представляющие собой норму невязки между значениями нел!нейных операторов 7} на множестве возможных решений и экспериментально измеренными величинами (Л)

<%[%&)]-Шх,<г),л)-$(л)\л , с

г:тчае дискретного набора длин волн функционалы имеют следую:-.-.. над

Задача восстановления не может быть поставлена,

как задача минимизации функционалов невязок, так как такая задача в рассматриваемом случае является неустойчивой относительно малых возмущений характеристических величин. Принцип регуляризации позволяет свести неустойчивые задачи минимизации вышерассмот-;:• пних функционалов к задачам устойчивым путем введения стабили- • зируицих функционалов, выбор которых определяется физическим содержанием задачи и априорной информацией о свойствах искомого решения. Б случае исследования фотоупругих моделей, в которых причиной появления напряжений является система внешних ста, напряженное состояние в объеме модели соответствует напряженному состоянию, описываемому решением некоторой задачи линейной теории 7!:глтости, Распределение разности квазиглавных напряжений и их нэлравлений по лучу просвечивания в этом случае, в силу хорошо известных аналитических свойств решений задач теории упругости, принадлежат (по крайней мере) классу С2, т.е. являются функциями непрерывными вместе со своими первыми и вторыми производными. В случае остаточных напряжений, когда причиной появления последних является не внешняя нагрузка, а некоторая система несовместных начальных деформаций, предполагается, что распределение напряжений и пиворотов квазиглавных площадок по исследуемому лучу обладают той же степенью гладкости, что и в предыдущем случае.

Имеющаяся качественная априорная информация об области значений искомого решения и его производных определяет для рассматриваемой задачи множество корректности и стабилизирующий функционал может быть выбран в следующем виде

Ь =1,2,3

где А'гг(%) , ¿^ (£) ~ положительные непрерывные весовые ту:г

ции, а <р заданные априори некоторые распределения разности квазиглавных напряжений и их поворотов, в окрестности которых находится искомое решение. Следуя принципу регуляризации, некорректная задача, минимизации функционалов фс- (или )

сводится к корректной задаче минимизации сглаживающих параметрических функционалов

и Л Д V А у* (

в которых параметр регуляризации Ы.>0 выбирается из условия

д". Здесь - измеренные значения г *

характеристических величин, ¿Г- - погрешности измерений. Задача минимизации (%)} при любом о<> <? является устойчивой

и для ее решения может быть использован любой алгоритм минимизации. Найденное решение будет наименее отклоняться от . %(%) и удовлетворять требованию

■ В главе рассматриваются вопросы численной реализации решения обратной задачи. Для выбранного направления просвечивания конечно-разностная аппроксимация нелинейных операторов (%),Л ) соответствует представлению непрерывной фотоупрутой среды в виде стопы двупреломляющих пластин, в каждой из которых разность квазиглавных напряжений и их поворотов являются величинами постоянными, уотоупругая среда описышстся 2 А/ -мерным

вектором . •• V €'} У* '

чество пластин), любому значению которого операторы Т^(д^л) сопоставляют функции G¿(Л) или некоторый дискрет!шй ряд значений ^¿(Як) • Дм аналитического описания операторов Т(д,л) используются элементы полной унитарной унимодулярной матрицы,, описывающей преобразование, светового вектора всей стопой двупреломляющих пластинок (Х.К.Абен).

Конечно-разностный аналог стабилизирующего функционала [(/>, строится на той же сетке, что и разностный аналог

оператора. В отличие от аппроксимации операторов, в которой используются кусочно-постоянные приближения искомых функций, аппрок-

симация стабилизирующего функционала, в силу наличия в его структуре производных, исходит из представления функций 11 (р (%) , как функций нудное количество раз непрерывно дифференцируемых. Конечно-разностные аналоги производных строятся по стандартным формулам конечно-разностных схем. Таким образом при аппроксимации сглаживающих параметрических функционалов для его составляющих используются различные представления неизвесишх функций. Зто обстоятельство является правомерным в виду того, что при аппроксимации операторов никакой информации о степени гладкости искомых функций не требуется и построение их разностных аналогов проводится в наиболее естественных и простых предположениях об садекватном моделировании фотоупругих сред. Сами операторы не несут в себе информации о гладкости функций и а поэтому при их аппроксимации возмогли и иные представления, конечно, при условии физического соответствия интегральным характеристикам просвечиваемой среды.

Нахождение решения обратной задачи интегральной фотоупруго- ■ сти сводится к определению 2/У -мерного вектора £

¥1*]—, Доставляющего абсолютный минимум дискретным

аналога;,! сглаж!шающшл параметрическим $у)зщвоналам. Проведенные ■ исследования показали, что зсс фу-¡нционалы имеют большое количество локальных минимумов. Глобальный минимум лежит в "узком глубоком овраге" с большим градиентом своих склонов. Все это делает задачу поиска элемента, на котором достигается глобальный минимум, весьма не простой. Необходило также отметить, что како-го-^лкбо преимущества в вычислительном плане ни один из функционалов по сравнению с другими не имеет.

В соответствии с многоэкстремальней структурой функционалов в области поиска, которая задавалась параллелепипедными ограшгче-ниями, производился просмотр их значений в точках, соответствующих точкам Ж у - последовательностей для 2 //-мерного куба. Затем координата точек, соответствующих ряду наименьших значений функционалов, использовались как случайные начальные приближения для поиска в их окрестности шюиуш. Необхода» отметить, что просмотр области поиска с помощью ЛП^- последовательностей проводился для функционалов без стабилизатора, в то время как спуск к блкзайле-у мкчиг.ут/у проводился для сглагпваптэс пгракетричес-ких функцпонплов.

Численные исследования проводились для различны?: видов напряженного состояния фотоупругих сред и соответствующих та конечно-разностных аппроксимаций в виде стопы двупрелог.шшцих пластин. Как показали исследования эффективность численного решения обратной задачи интегральной фотоупругости весьма высокая при размерности искомого вектора д* до 20, что позволяет, практически во всех случаях, получить удовлетворительное приближение к искомым функциям %(%) 11 эФФектшшостьи здесь понимается надежность поиска глобального минимума к приешшмые затраты машинного времени. Увеличеше размерности искомого вектора приводит к значительному увеличению машинного времени и при сложном рельефе разрешающих функционалов к трудности!.! в использовании численных процедур-нелинейного программирования.

Необходимо указать на вполне очевидное распространение предлагаемого подхода на метод магнитофотоупругости, использующий искусственно вызываемое вращение плоскости поляризации посредством помещения исследуемой модели в магнитное поле. В этом случае изменения вносятся лишь в операторы, преобразующие параметры напряженного состояния в характеристические величины, ввиду зависимости последних от вращения светового вектора, обусловленное магнитным полем. Все остальные.построения сохраняются и полностью идентичны. Необходимо также отметить, что изложенный подход полностью примени!,1 и для решения обратной задачи акустоупругости. В математическом аспекте существует полная аналогия между методом .лтегральной фотоупругости и методом акустоупругости, использующем акустическое двупрелошение поляризованных ультразвуковых волн, и, следовательно, сохраняется полная аналогия и в методах решения соответствующих обратных задач.

В четвертой главе предстанлены результаты исследований в области расчетно-эксперимонтальных методов определения остаточных напряжений и контактных взаимодействии. Имеется много работ в этой области, но в виду практической важности этих задач идет интенсивный поиск новых методов и средств исследований. Этот -10-иск идет по многим направления?.! как в области теории, так и в области экспериментальных исследований. В главе рассматриваются новые подходы к решению этих задач в условиях натурного и модельного эксперимента. При всем различии задач, объединяющей их чертой является недоступность непосредственных измерений изучае-

мых параметров напряженного состояния. Это позволяет использовать единую методологию исследова1П1Я, которая может быть построена на теории и кетодах решения обратных задач. Рассмотрение этих задач в рамках нетрадиционных подходов приводит к новым постановкам системы измерений л проц дур численной обработки экспериментальных данных. 3 рамках этой же методшогал рассматривается вопрос об аналогии методов решения контактных л обратных задач экспериментальной механики.

Для исследования непрерывных распределений остаточных напряжений в плоских деталях произвольной формы были разработаны два варианта расчетно-эксперименталышх схем, в которых определение . остаточных напряжений осуществляется по данным измерений параметров напряженного состояния в окрестности создаваемых прорезей. На&твдаемая картина напряженного состояния ^ окрестности прорези является следствием (откликом) освобожденных по линии разреза остаточных напряжений и задача хзс определения по своей постановке относится к классу обратных задач.

В первом варианте (метод интегральных уравнений Вольтерра) последовательно наращивается прорезь и проводятся измерения некоторого параметра напряжешюго состоянил в характерной точке (компоненты тензора напряжений, суклы напряжений и т.п.), следящей за продолжением вершины прорези. Этой процедурой определяется распределение наблюдаемого параметра вдоль линии разреза в процессе изменения геометрии детали. Связь между искомыми оста- . точными напряжениями <5у(§) и измеряемым параметром напряженного состояния р.(х) может быть представлена в виде интегрального

уравнения Вольтерра 1-го рода я?

где б - максимальная длина прорези. Ядро В(Х,Щ) соответствует значения:»! Ц(х) от - воздействия, областью определения которого является треугольник, т.е. при ,В(х,Щ~)-0.

Наряду с рассмотрением уравнения Вольтерра 1-го рода можно предложить его преобразование на основе дополнительного условия гладкости измеряемой функции /¿(х) . Тогда путем дифференцирования это уравнение сводится к интегральному уравнении Вольтерра П-го рода

В(х,х)(х)А(хд)бу(щ)¿щ '(X).

о

В процессе подготовки к эксперименту, учитывая условия его проведения и чувствительность измерительной аппаратуры, выбирается величина шага наращиваемой прорези, которая не может быть сделана сколько угодно малой. Получаемая при этом информация носит дискретный характер. Однако дискретный характер получаемой информации ни в коей мере не связан с природой измеряемых распределений ^и(Х) • В связи с этим возникает задача предварительной обработки исходной информации и построение по дискрет1гым данным некоторых непрерывных и дифференцируемых аналогов в пределах ошибок, сравнимых с ошиоками эксперимента. Что же касается выбора конкретных схем обработки исходных данных, то они могут строится самым различным образом, в том числе и с использованием методов регуляризации.

Во втором варианте (метод интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода) созданная прорезь соответствует ее окончательной длине, и проводятся измерен!«! соответствующего суммарного эффекта вдоль некоторой линии 3 в окрестности прорези. Связь между остаточными напряжениями . вдоль прорези длиной £ и зна-

чениями измеряемого параметра ^(э) вдоль выбранной линии представляется в следующей виде е

о

В методологическом отношении сведение задачи к решению интегрального уравнения Оредгольма 1-го рода иглеет существенные отличия от первого варианта. Во-первых, постановка эксперимента характеризуется меньшей трудоемкостью, так как в этом случае вся экспериментальная информация получается при одной единственной дайне прорези. Во-вторых, при численной реализации построение матр>г.но-го аналога интегрального оператора требует при одинаковых дискретизациях значительно меньшего числа решаемых краевых задач по сравнению с первым подходом.

Решение уравнений первого рода является некорректно поставленной задачей и нахождение устойчивых приближений осуществляется на основе регуляризирутацих алгоритмов. Решение же уравнения Воль-

терра П-го рода есть корректная задача, центр тяжести решения которой сосредотачивается на процедуре получения гладкого аналога производной данным измерений //(х) . Были проведены численные исследования при реализации предложенных расчетпо-экс-периментальных схем по определению остаточных напряжений. Вычислительные эксперименты показали, что использование конечно-разностных методов для построения матричных аналогов В . Вх и Я и параметров напряженного состояния в окрестности разрезов обеспечивают высокую точность, и что применительно к рассматриваемым задачам погрешность исходной информации всегда значительно выше погрешности построения оператора задачи. Были рассмотрены варианты выбора различных параметров, измеряемых в окрестности прорези. Была показана нецелесообразность использования в качестве измеряемого параметра КИИ, ввиду значительно более высокой погрешности, вносимой в процедуру формирования интегрального уравнения, по сравнению с измеряемым параметром в регулярной зоне (например, Т или %тах в методе фогоупругнх покрытий). Для метода ин- ■

т. ральных уравнений Фредгольма 1-го рода, в котором уравнение при прочих рав;шх условиях обусловлено в меньшей степени, чем уравнение Вольтерра 1-го рода, результата восстановления остаточных напряжений отличались от точкьх на 10-12$ относительно максимальных величин на длине прорези при уровне погрешности исходных данных в 5%..

Рассмотрен пример практической задачи определения остаточных напряжений в образце корпусной стали с антикоррозионной наплавкой толщиною 9 мм. Расчетная схема базировалась на использовании метода интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода. Измерения проводились с применением метода фотоупругих покрытий. На образец наклеивалось покрытие из оптически чувствительного материала ЭД-20 толщиною 1,8 мм. Последовательно наращивалась прорезь с шагом I мм. Оптические измерения порядков полос и параметров изоклин проводились в „точках, расположенных в окрестности верщшш прорези и следящих за ее продолжением. По результатам измерений были построены распределения <отах и 'с к по ним в результате решения интегральных уравнений получены эпюры остаточных напряжений. Параллельно анализ остаточных напряжений проводился на аналогичном образце рентгеновским методом, пр.чем расхождения в полученных результатах не превышало 20% от максимальных значений искомых напряжений.

Предложенные подходы к решению задачи об определении непрерывных распределений остаточных напряжений показали, что привлечение аппарата и методов решения некорректных задач в совокупности с численными методами решения краевых задач позволяют строить эффективные расчетно-экспериментальные схемы исследования, свободные от упрощающих предположений о характере искомых распределений. В противовес традиционным методам, таким как методы круговых отверстий, разрезки на элементы, разработанные методы обеспечивают получение более полной информации, уровень достоверности которой может контролироваться проведением предварительного вычислительного эксперимента с моделированием погрешности, вносимой измерительными средствами. Изложенные результаты могут быть распространены на задачи- определения пространственных распределений, трудности решения которых связаны с большим объемом обрабатываемой информации и решением двумерных интегральных уравнений.

В главе изложен новый метод определения контактных взаимодействий по данным поляризационно-оптических измерений. Существующие методы определения контактных взаимодействий методом фотоупругости основываются на различных процедурах разделения напряжений в окрестности контактной зоны, требующих при своем использовании значительного объема экспериментальной информации, разрешающая способность этих методов в основном связана с возможностью проведения оптических измерений непосредственно в окрестности контактной зоны. При этом измерения в самой контактно!! зоне практически невозможны из-за имеющих мето местных эффектов, существенно искажающих интерференционную картину. Новый метод определения контактных взаимодействий основан на использовании данных измерений парат,¡етров напряженного состояния вне окрестности контактной зоны. В методе исключаются процедуры разделения напряжений и экстраполяции на границу контактной зоны. Метод характеризуется тем, что информация о распределен™ измеряемых параметров напряженного состояния относится к зонам, наиболее благоприятьш с точки зрения проведения высокоточных измерений.

В условиях двумерной'фотоупругости наиболее просто определяемыми параметрами напряженного состояния являются значения максимального касательного напряжения (измеряются только порядки полос) и значения сдвиговой компоненты тензора напряжений '^ху (измеряются порядки полос и параметры изоклин). Связь кон-

тактик* напряжений & на границе области с измеряемыми

параметрами внутри области V записывается в виде следущих интегральных уравнений:

где

Гх .(к)

Хц(ш,х)(оо)с(^(х) » ^(щ), хеГк , щеУ

41

м

- &уц • ~ фуищии напряжений Грина. Точки £¿V ,

в которых проводятся оптические измерения, могут принадлежать линии или совокупности линий, расположенных вне контактной зоны и ' выбираемых из соображений возможности проведения высокоточных измерений. Как правило, выбирается линия, параллальная контактной площадке и расположенная в непоредственной ишзости от нее.

Определение контактных напряжений из этих уравнений является некорректно поставленной задачей, т.к. операторы & являются вполне непрерывными (функции % и Тп компактному множеству), а обратный оператор

в области принадлежат

неограничен.

Кроме того, распределения ^ и ^тах на линиях (или в подобласти) не единственным образом определяют напряженное состояние в области детали.

Следуя принципу регуляризации, задача определения контактных давлений своглтся к минимизации сглаживающего функционала

Овгх)-Гг(щ)

6/х)

'тазе >

о<.>0

наченпе имеет использоваВ первом

<г

/ггах

где (щ) - измеренные значения или ^

параметр регуляризации. Существенное ние в качестве исходной информации ¡ши

случае задача минимизации сглажлвапцего функционала может быть сведена в конечно-разностной аппроксимации к решению системы линейных алгебраических уравнений, соответствующих уравнению Эйлера исходной вариационной задачи. Во втором случае, из-за нелинейности исходного оператора, необходимо непосредственно использовать ту или иную процедуру минимизации сглаживающего функцгона-ла, что представляет значительно большие вычислительные трудности. Несомненно, наибольший интерес представляет непинейта? на-

риант рассматриваемой обратной задачи, являющейся весьма привлекательным, с точки зрения проведения фотоупругого эксперимента.

В работе приводится пример решения задачи определения контактных взаимодействий фотоупругой модели, представляющей собой прямоугольную пластину, с круглым металлическим диском. Раамер контактной зоны был примерно в 10 раз меньше ширины пластины. Информация о распределении ^^ снималась по линии, параллельной площадке контакта и расположенной на глубине % 2 мм. Размер контактной зоны был равен 6 мм, исходная информация определялась на длине 12 мм. Матричный аналог оператора строился на основе известного аналитического решения для полуплоскости, нагруженной сосредоточенными нормальной и касательной силами. Минимизация функционала проводилась методом покоординатного спуска. Стабилизирующий функционал соответствовал норме в пространстве

, а параметр регуляризации выбирался из условия квазиоптимальности. Результаты восстановления контактных давлений хорошо согласуются с физическими представлениями об искомых распределениях.

В главе рассматривается вопрос об аналогии методов решения контактных и обратных задач экспериментальной механики, изложенных в первой главе. Существует тесная связь между этими задачами, заключающаяся в том, что на части поверхности исследуемых деталей граничные условия неизвестны, т.е. не может быть поставлена соответствующая краевая задача. Для определения неизвестных граничных условий используется дополнительная информация: в контактной задаче это условие сопряжения решений на границе соприкос-ьовения деталей, в обратной - переопределенные граничные условия на части поверхности, доступной для измерений. Из подобия постановочной части этих задач следует аналогия в методах решения на основе альтернирующего итерационного процесса, хотя в большинстве подходов контактная задача сводится к корректной задаче, а рассмотренная обратная - существенно некорректная задача. Про; е-д~.ш численные исследования контактных задач на основе обменых грашгчных условий, показавшие высокую скорость сходимости и устойчивость процедуры определения контактных взаимодействий.

В пктэй глазе изложены результаты исследований напряженных состояний в элементах конструкций энергетического оборудования в условиях эксплуатации, позволяющие судить об их реальной напря-

женности и работоспособности. Исследования были проведена на основе методов, разработанных в диссертации, и позволили получить информацию о напряженном состояния труднодоступных для размещения измерительных средств зон конструкций.

Исследовалось напряженное состояние в конструкции модели тороидального магнита токамака с сильным магнитным полем. Напряженное состояние модели обусловлено действием магнитного поля, которое можно рассматривать как неравномерное внутреннее дазление в полости тороидальной обмотки магнита. Размеры модели, материалы, форма, длительность и амплитуда импульса магнитного поля были выбраны такими, чтобы получить механические напряжения и температуры в модели подобными возникающими в реальной перспективной конструкции магнита. Ставилась задача определения магнитного давления в тороидальной камере магнита по ограниченному количеству измерений, которые были выполнены в доступных зонах модели о использованием метода хрупких тонзочувствительных покрытий. Измерения методами электрической тензометрии бгли невозможны из-за влияния помех, создаваемых магнитным полем.

Задача о предел ешш магнитного давления, в полоста тороидальной камеры сводилась к решению системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, решение которых осуществлялось с использованием регуляризирующих алгоритмов. Предварительно проводился вычислительный эксперимент, преследующий цель получения оценок уклонения получаемых приближений искомых распределений от их точных значений при внесении случайных погрешностей, типичных для рассматриваемого эксперимента как по уровню, так и по свойствам распределения. Кроме того, вычислительный експеркмент преследовал также цель выявления и выбора рациональных параметров и характеристик сеточной дискретизации исследуемой области. Формирование ядер интегральных операторов осуществлялось путем решения краевых задач вариационно-разностным методом.

В результате эксперимента.были определены осевые напряжения в тонкой перемычке камеры в режиме нагружения магнитным полем. Бала проведена обработка результатов измерений, определяющая ко-ридов ошибок и форму аппроксимирующих распределений, которые поем;: гладки"; характер к не были отягчены оодаяЕртгаили елг'а;;-н: ми возмущенглмл. Устойчивость восстановления магнитного давления определялась разбросом получаемых ревега:2 на гладких зозму-

центах исходных данных. Результаты восстановления характеризуются удовлетворительным качеством и хорошо согласуются с априорными представлениями об искомых распределениях магнитного давления.

Исследовались термонапряженные состояния корпусных деталей мощной паровой турбины (К-200-130) при переходных режимах (пуск из горячего состояния, останов), в которых возникают максимальные уровни напряжений, определяющие эксплуатационную надежность и маневренность энергоблоков. Измерения проводились с применением метода натурной тензометрии. Помимо измерений на наружных поверхностях были произведены измерения в одной из точек также и на внутренней поверхности корпуса турбины в условиях воздействия высокотемпературного пара и давления. Измерения на внутренней поверхности использовались для оценки достоверности расчетных данных. Методы обратных задач позволили существенно расширить информационные возможности экспериментальных исследований и провести диагностику термонапряженных состояний труднодоступных зон конструкции.

В качестве объектов исследований в паровой турбине были выбраны корпуса цилиндров высокого давления, стопорного и регулировочного клапанов, которые представляют собой оболочечные конструкции сложной формы и переменной толщины, снабженные фланцами, пароподводящкми и отводящши патрубками. Для зоны регулирующей ступени корпуса циливдра высокого давления проводилась синхронная регистрация деформаций и температур как на наружной поверхности, так и на внутренней, и эти данные использовались для оценки работоспособности методов обратных задач. По полученным распределениям температуры и напряжений на наружной поверхности восстанавливались распределения температур и напряжений на внутренней поверхности. Получено удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных результатов. Максимальное расхождение по напряжениям и температуре оценивается величиной 15-20$. В зоне первых ступеней измерения проводились только на наружной поверхности корпуса цилиндра высокого давления. Результаты восстановления.напряжений и температур на внутренней поверхности в этой зоне представляются физически достоверными и их погрешность оценивается той же величиной, что и для зоны регулирующей ступени.

Спредалялось тепловое и напряженное состояние на внутренней поверхности корпуса стопорного клапана, размещение на которой из-

мерительных средств пока не представляется возможным. lía наружной поверхности корпуса клапана в режиме пуска турбины из горячего состояния проводилось термометрирование и тензометрирование. Тен-зометрирование велось как в кольцевом, так и в меридиональном направлении корпуса. Величины кольцевых и меридиональных напряжений во весь период разогрева мало отличались, что свидетельствовало о сферической симметрии термонапряженного состояния сферической оболочки клапана. Кроме того, корпус клапана с наружной поверхности имеет мощную теплоизоляцию, что позволяет приближенно считать тепловой поток на наружной поверхности равным нулю. Таким образом в рассматриваемом случае возможно было сформулировать как обратную задачу термоупругости, так и обратную задачу теплопроводности для сферической оболочки. Сопоставление и анализ результатов решения разнотипных обратных за£ позволило выявить характер термо-надряженного состояния конструкции. Были установлены соотношения между уровнями собственно температурных напряжений и напряжениями, возникающими из-за взаимных перемещений частей конструкции в. результате неравномерного нагрева. Определение нестационарных тепловых условий на внутренней поверхности проводилось и для корпуса регулировочного клапана турбины. Полученные распределения темпе-. páTyp и напряжений отвечает физическому содержанию задачи и согласуется с априорными представлениями об исследуемом процессе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработаны расчетно-экспериментальные методы исследования напряженно-деформированных состояний элементов машин и конструкций, основанные на решении обратных задач ■ экспериментальной механики. Этот масс задач естественным образом выдвигается практикой и служит дополнением и развитием традиционных подходов, сложившихся в области обработки и анализа экспериментальны.; данных. Методы обратных :адач существенно расширяют возможности экспериментальных исследований, повышая их информационное содержание, стимулируют постановку принципиально новых задач, формируют современный методологический аппарат экспержен-тальных исследований в механике твердого дейор.-.^руемого тела.

Применение многих экспериментальных методов невозможно без разработки теоретические и вычислительных вопросов, связанных о постановкой и. обоснованием расчетно-экспериментальных схем системы измерений и интерпретация экспериментальных данных. Более того, с&'ло развитие экспериментальной механики базируется на сочетании расчетно-теоретических и экспериментальных методов. Такое сочетание подразумевает не взаимозаменяемость методов, а их глубокие внутренние связи. Рассмотренные в настоящей работе задачи представляют собой пример синтеза численных и экспериментальных методов, которые не существуют самостоятельно, а объединены в единую систему исследования,, открывающую ноше возможности в изучении напряженно-деформированных состояний в условиях натурного и модельного эксперимент.*.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. сформулирована постановка обратных задач экспериментальной механики, заключающаяся в восстановлении напряженно-деформированного состояния тела ь условиях неполной информации о граничных условиях; показана роль и значение этого класса задач в практике и общей системе расчетно-экспериментальных методов исследования напряженных состояний в элементах машин и конструкций. Проведен анализ корректности постановки обратных задач экспериментальной механики. Показано, что рассматриваемые обратные задачи, во многих случаях, являются некорректно поставленными не только в связи с нарушением условия непрерывной зависимости реше-нлй от исходных данных, но также и по причине не однозначней разрешимости.

2. Получены интегральные уравнения обратных задач экспериментальной механики. Рассмотрены методологические вопросы применения интегральных уравнений в расчетно-экспериментальной схеме исследования напряженных состояний. Проанализированы существующие регуляризкрущие алгоритмы решения некорректных задач и особенности 1а численной реализации применительно к рассматриваем л обратным задачам.

3. Предложен новый метод решения некорректно поставленных краевых задач, основанный на альтернирующем итерационном процессе, в котором решение ищется.в виде предела сходящейся последовательности корректных краевых задач. Предлагаемый метод имеет общий характер и может быть распространен на широкий круг аналог:«-

них некорректно поставленных краевых задач механики. Доказана сходимость альтернирующего метода. Показано, что метод эквивалентен методу последовательных приближений решения операторного уравнения, совпадающего по форме с уравнением второго рода. Нзу -чена структура этого уравнения. Доказано, что альтерккрувисШ метод обладает регуляризирующкми свойствами. Разработаны, расчетные схемы и экспериментально изучены регуляризирующие свойства альтернирующего метода. На ряде модельных и практических показана работоспособность и высокая эффективность метода.

4. Предложен метод решения обратных задач теплопроводности на основе альтернирующего метода, в рамках которого, еозиолшо ре-. шение стационарных, эволюционных и нелинейных задач. Получено интегральное уравнение обратной задачи теплопроводности. Показано, что решение этого уравнегля итерационны-- методом зквивалент-но альтернирующей процедуре. Рассмотрены вычислительные аспекты . альтернирующего метода при решении обратных задач теплопроводности. На основе численных экспериментов проиллюстрированы еозмэж-' ности метода при восстановлении "тонкой" структуры решения. Предложена модификация метода в виде алгоритма послойного восстановления. Показано, что такая модификация может существенно улучшить разрешающую способность альтернирующего метода.

5. Сформулирована постановка обратной задачи термоупрутости и показана ее роль в исследованиях термонапряженных состояний натурных элементов машин и конструкций. Получены интегральные урав- . нения обратной квазистаткческой несвязанной задачи термоупругости. Рассмотрены методологические вопросы использования исходной информации при решении обратных задач термоупругости.

6. Доказана теорема единственности для обра^чой задачи связанной термоупрутости в статической, кваэистатической и динамической постановках. Теорема может быть распространена на случай обратной силовой задачи, в которой внешними нагрузками являются массовые силы имеющие потенциал.

7. Изучены регуляризирующие алгоритш применительно к обратной задаче термоупругости. Разработана расчетная схема построения матричных аналогов интегральных операторов обратной задачи нестационарной термоупругости. Проведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие эффективность методов обратной задачи термоупругости' при ¡'нтепретации экспериментальных наблюдений.

8. Предложен общий подход к решению обратной задачи интегральной фотоуъругостй. дая унитарных сред, свободный от ограничений, налагаемых на характер напряженного состояния на световом луче в существующих методах. Предлагаемый метод позволяет единообразно решать обратные задачи интегральной фотоупругости для произвольных трехмерных полей напряжений, что открывает новые возможности для приложений методов интегральной фотоупругости. Разработанный метод решения обратной задачи интегральной фотоупругости мо^ет быть распространен на обратные задачи магчито- . фотоупругости и акустоупругости.

9. Построеш разрешающие функционалы обратной задачи интегральной фотоупругости. Рассмотрены вопросы их конечно-разностной аппроксимации. Получены выражения для градиентов функционалов, используема в процедурах поиска решений. Установлен много-зкстрема лы-шй характер функционалов обратной задачи интегральной фохоупругости. Предложено для нахождения глобального минимума функционалов исполъзогать метод ЛП—поиска. В вычислительном эксперименте показана достаточно высокая эффективность метода ЛП-поисхса при решении обратных задач интегральной фотоупругости.

10. Разработаны расчетно-экспериментальные методы определения непрерывных распределений остаточных напряжений в плоских деталях произвольной формы по измерениям параметров напряженно-деформированного состояния вблизи создаваемых прорезей. Методы могут быть распространены на случаи пространственного распределения остаточных напряжений. Проанализированы вычислителыше аспекты определения параметров напряженного состояния в окрестности вершины создаваемых прорезей. Указано на нецелесообразность использования сингулярных характеристик напряженного состояния в вершине прорези в качестве.исходной информации. Б численных экспериментах показана эффективность предлагаемых рас-четно-экспериментальных схем исследования остаточных напряжений.

11. Рассмотрена аналогия в постановках и методах решения обратных и контактных задач; На основе вариационных постановок показано, что итерационная процедура решения, контактных задач

на основе обменных граничных условий соответствует последовательности решений.экстремальных црямой и двойственной задач. Показано, что при известной контактной площадке определение контактных взаимодействий итерационным методом эквивалентно применению альтернирующего алгоритма. . .

12. Разработан метод определения 'контактных взаимодействий на фотоупругих моделях по данным поляризациовно-оптическнх измерений вне контактной зоны. В методе, по сравнении с' существутарг-ми, исключаются гфоцедуры разделения напряг'.ений. и экстраполяции.

13. С помощью разработанных методов проведено исследование напряженных состояний в элементах конструкций энергетического оборудования при силовых и температурных воздействиях. Методы обратных задач позволили провести диагностику тепловых к.напряженных состояний труднодоступных и недоступных для размещения измерительных средств зон конструкций. Полученные результаты использованы для анализа реальной напряжённости элементов конструкции

и для отработки оптимальных режимов их эксплуатации. Методология обратных задач позволила сделать менее трудоемким.эксперимент, а в некоторых слу аях являлась 'единственным с^здством диагностики.

■ Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Фомин A.B. Определение напряженного состояния в объеме детали по известным перемещениям или напряжениям на час-^и ее поверх-

_ ности // Машшоведение. 1982. Й 45 с.67-73.

2. Прейсс А.К., Фомин A.B. Расчетно-экспер5Ялентальнне методы в механике упругого тела // Машиноведение. 1986. & 2, с.76-83.

3. Фомин А.В- Восстановление по;гей напряжен!® в элементах конструкций по данным измерений на части их поверхности // Труды 10-го Симпозиума по экспериментальным исследованиям в механике твердого тела.-Варшава. 1982.

4. Мазутов К. А., Прггоровсккй Н.И., Хуршудов Г.X., Михалев Ю.К., Дзерес м.Н., Разумовский-И.А., Фомин А.В , Е; братов Б.Н., • Сергеев А.И. Тензометрические исследования сложных узлов конструкций в сочетании с другими экспериментальными методами // Всесоюзная научно-техническая конференция ."Методы и средства т- , геометрии и их применение народном хозяйстве". Тезьсн докладов.-Кишинев. 1979.

5. Фомин A.B. Определение полей напряжений з элементах конструкций по данным измерений- на части их поверхности // В кн.; Прт1-горовский Н.И. Методы и средства определении полей деформаций и напряжений. Справочник.-^!.: йшакносуроенке, 1933,

с. 227-235.

6. Prigoro-veky XI. I., Easuso-vsky I.A., Bveres M.B., Panskih V.K., Poain A.7. The investigation of deforcation and stress fields in th® neohanioal engintering etruotures // Prooeedingc of the 20-tb conferenoe. ESA, Vol.I. Karlovy Vary, 1982.

7. Фомин A.B. Расчетный анализ напряженно-деформированного состояния алементов конструкций при ограниченной исходной информации / В кн.: Конструкции и методы расчета водо-водяных энергетических реакторов.-М.: Наука, 1987, с.59-88.

8. Фомин A.B., Дверес М.Н. Восстановление температурных полей в элементах конструкций по данным измерений на части их поверхности // Машиноведение. 1985. JS 4, с.56-61.

9. Фомин .A.B., Прейсс А.К. Определение термоупругого напряженного состояния элемента-конструкции по данным измерений на части его поверхности // Машиноведение. 1982. JS I. с.79-85.

10. Прейс^ А.К., Фомин A.B. Расчетно-эксперимектальное определение нестационарных полей термоупругих напряжений // Машиноведение. 1986. №5, с.78-84.

11. Фомин A.B. К решению обратной задачи интегральной фотоупругости // Известия АН ЗССР. Физика. Математика. 1984. т. 33.

3, с.277-284. /

j2 Fomin АЛ. Zur Losung der inversen Aufgabe der integralen

Sparmungscptik // Kongxess "E-tperinentello Methoden der Feet-• korpernecbanik". Akadenie der Wisaensobaften der BDE. Institut für Mechanik. Berlin. 1984.

Дверес*M.H., Фомин A.B. Моделирование остаточных напряжений методом дополняющих деформаций // В об: Методы исследования напряжений в конструкциях энергетического оборудования.^.: Наука. 1983, с.24-29.

14. A.c. 813134 СССР, кл. £ 01 В 11/18. Поляризационно-оптическиЙ способ определения температурных напряжений в изделии / Дверес М.Н., Евстратов Б.Н., Фомин A.B. (СССР). - № 2730939/ 25-28; Заявлено 28.02.79; Опубл. 15.03.81 // Открытия. Изобретения. - 1981. - й 10.

15. A.c. 9III49 СССР, кл. &-0I В 11/18. Поляризационно-оптическиЙ способ определения напряжений в изделии / Дверес М.Н., Евстратов Б.Н., Фомин A.B. (СССР). - К 2872836/25-28; Заявлено 23.01 80; Опубл. 07.03.82 // Открытия. Изобретения. - 1982. - № 9.

16. Дверео М.Н., Фомин A.B. Моделирование собственных напряжений ' путем построения дислокаций Сомкльяны // Известия АН СССР.

Мех. тверд, тела. 1982, C.I65-Ï57.

17. Дверес М.Н., Звстратов Б.Н., Пригоровский Н.И., Ф^'лн А".В. Трехмерные задачи механического моделирования термоупругих напряженных состояний // В кн.: Материалы У!!! Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. 1979. т.2, с.192-197.

18. Дверео М.Н., Фомин A.B. Методы определения остаточни.: напряжений // Машиноведение. 1987. ß 5, с.23-31.

19. Dveres М.Н., ïoaln A.V., Eaeuaovskj- I.A. Synaiaky V.M. Calculated-experimental aethods forraaldual atreaeea estimation // Inter. Confer.: "Keaaureaent of atatio and dynamio parameters of structures and materials. Pisen. CSSH. I9S7.

20. A.c. кл.G-0T11/04. Спос ' определения статочных напряжений в детали / Дверео М.Н., (Ьомин A.B. (СССР). - J5 4102626/24-10 'Заявлено 22.04.86; Получено положительное решение 24.07.87.

21. Дверео М.Н., Фомин A.B. Решение задали о контакте упругоде- . формируемых тел // Машиноведение. 1984. ß I, с.61-66.

22. Дверес М.Н. . Фомин A.B. Об аналогии методов решения контактных задач определения напряженного состояния // Машиноведение. 1985. 6, с.76-81.

23. Фомин A.B., Чхетиани П.Д. Определение контактных взатаодейст-вий методом фотоупругости // Интерференционно-оптические методы механики твердого деформируемом тала и механики горных пород. Тезисы семинара.-Новосибирск. 1985, с.37-38.

24. Махутов H.A., Пригоровский Н.И., Фоман A.B., Алексеев Ю,А., Кисула В.В. Исследование мехаагаеских напряжений в элементах модели тороидального магнита токамака о силь^чм магнитным . полем / Препринт ИАЭ-4300/7.-М., 1986.

25. Андрианов A.M., Алексеев Ю.А., Барчшев B.JI., Васильев В.Й., ' Демкчев В.Ф., Кисула В.В.,' Сафонова М.Б., Татаринов A.C.,

Глутценко Г В., Махутов H.A., Пригорочский Н.И., Фомин A.B. Исследование модели тороидального магнита токамака с сильным полем / Препринт ИАЭ-4315/8.-М., 1986.

ШАШ АН СССР. Зак. IÖ08. Тира-s 120 экз. T-0I549 от 9.03.39.