Расчеты идеальной МГД-устойчивости тороидальной плазмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.•.

Глава I. Энергетический принцип.

§ I. Линеаризованные МГД-уравнения и граничные условия.

§ 2. Самосопряженность МГД-оператора и формулировка энергетического принципа.

§ 3. Функционал потенциальной энергии в координатах, связанных с магнитными поверхностями.

§ 4. Двумерные равновесия. Координаты с * « « ( выпрямленными силовыми линиями.

§ 5. Редуцированный функционал потенциальной энергии.

§ 6. Критерий устойчивости мелкомасштабных баллонных мод.

§ 7. Метод псевдосмещения. Вакуумная часть функционала потенциальной энергии.

Глава 2. Методы решения задач идеальной МГД-устойчивости

§ I. Цилиндрическая симметрия. Одномерная задача

§ 2. Гибридные конечные элементы. Особенности разностных схем, численная дестабилизация . 48 •

§ 3. Применение метода конечных элементов в задачах МГД-устойчивости. Спектральная сходимость.

§ 4. Двумерное расширение метода гибридных конечных элементов.

§ 5. Аппроксимация без дестабилизации в многомерном случае.

§ 6. Разностные схемы для редуцированной задачи определения устойчивости.

§ 7. Алгебраическая задача на собственные значения

§ 8. Тестовые расчеты устойчивости аналитических равновесий.

§ 9. Расчеты границы устойчивости. Сравнение методов

Глава 3. Предельно устойчивые равновесия в токамаках

§ I. Предельные относительно устойчивости мелкомасштабных баллонных мод равновесия

§ 2. Двухшаговая процедура определения предельно устойчивых равновесий.

§ 3. Результаты расчетов предельных значений в токамаках.

§ 4. Законы подобия дая предельных

Широко распространенной моделью плазмы в системах магнитного удержания является идеальная магнитная гидродинамика (МГД). Эта модель, в которой плазма рассматривается как абсолютно проводящая жидкость, не только успешно применяется для изучения макроскопических плазменных явлений, но и служит основой для более точного описания плазмы. "Фактически значительная часть работ по макроскопической физике плазмы посвящена выяснению вопроса, насколько реальная плазма может отличаться от её идеального двойника" /I/.

Одна из основных задач идеальной МГД - определение условий устойчивости равновесных плазменных конфигураций. Интерес при этом представляет не только факт неустойчивости в линейном приближении, но и инкременты её развития, структура собственного смещения от положения равновесия, которые важны для понимания нелинейной стадии развития неустойчивости /2/. Учет конечной проводимости, как правило, слабо влияет на идеальные неустойчивости /2/ и лишь расширяет класс допустимых смещений (становится возможным, например, пере замыкание магнитных линий). Инкременты идеальных мод значительно выше, чем инкременты резистивных неустойчивостей, и эффекты нелинейности слабее для них. Поэтому при выборе оптимальных параметров равновесных плазменных конфигураций необходимо, в первую очередь, обеспечить идеальную линейную устойчивость плазмы.

Полное решение этой задачи невозможно без использования современных численных методов и вычислительных средств. Расчеты идеальной МГД-устойчивости плазмы в линейном приближении составляют необходимый и практически важный этап математического моделирования в проблеме управляемого термоядерного синтеза.

Настоящая работа посвящена численным методам решения задач идеальной МГД-устойчивости и их приложениям к определению предельных параметров плазмы в токамаках.

Будем исходить из линеаризованной на стационарном равновесном фоне системы идеальных МГД уравнений, которая приводит к следующему виду уравнения движения /3/: где: 1 - смещение от положения равновесия, - равновесная плотность, р7 - самосопряженный линейный дифференциальный оператор эллиптического типа с коэффициентами, не зависящими от времени.

Уравнение (I) дополняется граничными условиями на равновесной границе плазма-вакуум. Смещения с временной зависимостью ехрСш)-^ описываются уравнением

2) - о)2у0| = РЦ , £ е V}, , которое вместе с условиями на границе плазма-вакуум определяет задачу на собственные значения. Из самосопряженности оператора Р следует действительность собственных значений ¿0 и возможность обобщенной вариационной формулировки: о) 8[и(%Л) - согК(%,%)] = о , где функционалы потенциальной и кинетической энергии соответственно:

Абстрактная вариационная задача (3) понимается в следующем стандартном смысле /4/: найти спектр <о ГТ) оператора Т такого, что

4) Ум(7: и/(т?,ЦеУ, где X] - соответствующее гильбертово пространство, В отличие от классических эллиптических задач оператор Т некомпактен /5/, что определяет более сложную структуру его спектра (непрерывный спектр, точки сгущения, бесконечно вырожденные собственные числа).

Связь между устойчивостью и знаком ^ ,%) устанавливает энергетический принцип /3/, /б/. Равновесная конфигурация устойчива, т.е. кинетическая энергия ограничена на любом решении динамической задачи (I), если и только если О . Для определения устойчивости, таким образом, достаточно найти минимальное собственное число задачи (3), (4), поскольку г * мШл! ^ = х кс?Д) •

Энергетический принцип и вариационная формулировка задачи о нахождении МГД-спектра дали начало большинству аналитических и вычислительных работ по идеальной МГД-устойчивости. Необходимое условие устойчивости было получено Мерсье /7/. Это условие устанавливает устойчивость локализованных смещений от положения равновесия. Его анализ был проведен также в работах /8/, /9/. Устойчивость относительно более широкого класса смещений, в том числе внешних винтовых мед, аналитически можно исследовать лишь на простых одномерных моделях, рассматривая двумерные эффекты как поправки /10/.

Необходимость подробного количественного исследования двумерных равновесных конфигураций (например, осесимметричных, моделирующих токамак) потребовала разработки эффективных методов численного решения задач устойчивости. Наибольшее распространение получили методы построения разностных схем, использующие вариационную формулировку задачи на собственные значения, и метод конечных элементов(м.к.э.). Этот метод был использован в одномерной программе ТНАЬП /II/ для расчета устойчивости цилиндрически симметричной плазмы, В двумерном случае для получения хорошей аппроксимации важную роль играет выбор системы координат, связанной с магнитными поверхностями (потоковые координаты), и представление вектора смещения /12/. Первые расчеты устойчивости осесимметричных двумерных равновесных конфигураций были получены по программе /12/, в которой использованы глобальные базисные функции (конечные ряды Фурье по поло-идальному-по малому обходу тора-углу).

Вычислительная практика потребовала теоретических исследований применимости метода конечных элементов в задачах МГД-ус-тойчивости. В работах /5/, /13/, /14/ были получены достаточные условия на базисные подпространства, обосновывающие применение метода конечных элементов для целого класса эллиптических задач на собственные значения с некомпактным разрешающим оператором Т, определенным в (4). Нарушение этих условий может приводить к искажению спектра исходной задачи спектром соответствующей разностной схемы /5/.

Проблемы, возникающие из-за наличия в МГД-спектре сильно различающихся по величине частот, соответствующих различным классам смещений, позволяет преодолеть метод гибридных конечных элементов /15/. Основная идея этого метода - одинаковая функциональная зависимость всех слагаемых в функционале потенциальной энергии W на базисном подпространстве. Этот метод реализован в двумерной программе ERATO /16/. С помощью программы ERATO была численно изучена устойчивость широкого класса равновесных состояний /17/ - /20/.

Наибольшие трудности при расчетах устойчивости связаны с определением границы устойчивости. В программе PEST используется аппроксимация, затрудняющая определение неустойчивости с малым инкрементом вблизи этой граншщ /21/. При применении метода гибридных конечных элементов определенные сложности возникают из-за численной дестабилизации /22/. Суть этого явления состоит в следующем. При наличии в плазме резонансной магнитной поверхности, на которой шаг линий магнитного поля В совпадает с шагом одной из винтовых гармоник смещения % , задача (4) имеет непрерывный спектр 0 = сOj ^ tit-od^* . При аппроксимации методом гибридных конечных элементов нижняя граница непрерывного спектра приближается снизу и таким образом дестабилизируется ( (/f< о соответствует неустойчивости). Это затрудняет определение границы устойчивости, то есть момента перехода от Ä,:* * О к fcftmv, = О , требуя тщательного исследования сходимости /22/.

Попытка анализа явления дестабилизации была предпринята в работе /23/. Основное внимание здесь было обращено на проблемы, связанные с аппроксимацией оператора ( Б • v ) вблизи резонансных поверхностей в двумерном случае. Дестабилизирующая поправка к тородоидальному волновому числу, используемая в ERAT0 для улучшения сходимости /16/, была здесь названа в качестве возможной причины сходимости снизу к минимальному собственному числу.

Результаты, изложенные в настоящей работе, показывают, что на локализованных у резонансных поверхностей смещениях гибридная аппроксимация может давать неустойчивость независимо от величины шага сетки, хотя изучаемое равновесие устойчиво. Это свидетельствует о более глубоких причинах численной дестабилизации в методе гибридных конечных элементов. Отметим, что такая дестабилизация не противоречит спектральной сходимости соответствующих разностных схем, поскольку отрицательные собственные числа имеют порядок 0(¡г) , где к - шаг сетки в "радиальном" направлении, а О принадлежит спектру исходной задачи при наличии резонансной поверхности в плазме.

Для определения лишь факта неустойчивости, а не инкремента её развития, удобно использовать упрощение задачи (3), (4). Согласно энергетическому принципу для этого достаточно определить знак минимума потенциальной энергии 1а/ГС, I) при специальной нормировке смещения ^ . Если эта нормировка включает в себя лишь одну, нормальную к магнитным поверхностям компоненту | , то по двум другим просто найти минимум функционала

Л/(Ч,5) /9/, а затем решить новую редуцированную задачу на собственные значения. Численная реализация такого метода в литературе получила название 8 V/ -кода /21/, /24/. Изменение структуры спектра такой редуцированной задачи и, в частности, положительность в практически интересных случаях нижней гранищ непрерывного спектра 0д%>0 делают § V/ -код особенно эффективным при определении гранищ устойчивости /21/.

Среди особенностей редуцированной задачи на собственные значения отметим некомпактность разрешающего оператора, обращение в нуль коэффициента при старшей производной во внутренней точке (резонансная поверхность) области, возможность существования сингулярных собственных векторов, необычное гильбертово пространство, в котором ставится обобщенная вариационная задача на собственные значения типа (4) /25/. Разностные схемы для

10. этой задачи можно строить двумя способами. Произведя аналитическую (при помощи функции Грина для некоторого эллиптического оператора на каждой магнитной поверхности) минимизацию функционала потенциальной энергии W(%, % ) /9/, можно применить почти традиционный метод конечных элементов. Отклонение от классической схемы метода конечных элементов при таком способе аппроксимации состоит в предварительном приближенном нахождении функций Грина на магнитных поверхностях. Такой метод реализован в программе PEST-2 /21/. По-друтому схему можно построить, численно определив минимум полного функционала потенциальной энергии по двум компонентам смещения % из базисного конечномерного пространства. Такой метод преобразования программы ERAT0 в 8 W -код предложен в работе /24/. Однако, присущая методу гибридных конечных элементов численная дестабилизация приводит к отсутствию спектральной сходимости подобной схемы к исходной редуцированной задаче устойчивости /26/. Таким образом, полученный из ERATO dW -код оказывается неработоспособным.

Способы улучшения аппроксимации гибридными конечными элементами, устраняющие численную дестабилизацию и восстанавливающие спектральную сходимость соответствующей разностной схемы для редуцированной задачи, изложены в /26/. Построенные на основе такой аппроксимации алгоритмы описаны в настоящей работе. Полученная разностная схема для полной задачи (4) позволяет проследить изменение структуры неустойчивого собственного смещения вплоть до достижения гранищ устойчивости с изменением параметров равновесия. Соединение преимуществ метода гибридных конечных элементов и 8W -кодов, которое становится возможным при устранении дестабилизации, приводит к эффективному алгоритму решения редуцированной задачи на собственные значения.

Существенным дополнением к двумерным программам расчета МГД-спектра является необходимое условие устойчивости - критерий устойчивости мелкомасштабных баллонных мод /27/, который требует определения знака старшего собственного числа одномерной спектральной задачи в бесконечной области на каждой магнитной поверхности. Отметим, что аналитическое исследование смещений такого типа было стимулировано расчетами неустойчивостей по программе РЕ ST /28/. "Баллонный" критерий получен в предположении а оо ( п - тороидальное волновое число смещения f ). Полные расчеты устойчивости при больших ц, требуют очень мелких сеток и, следовательно, больших затрат, которых при использовании этого критерия можно избежать. Вместе с тем, выяснению устойчивости при "средних" значениях Н. посвящен ряд вычислительных работ. Подобные расчеты были проведены по модифицированной программе ERATO /29/ и программе PEST-2 /30/.

Комплекс программ, в который вошли алгоритм расчета равновесных осесимметричных конфигураций, основанный на методе обращения переменных /31/, программа, расчитывающая устойчивость и оптимальные профили давления относительно баллонных мод /32/, а также программы расчета МГД-спектра и устойчивости ( SW -код), основанные на методе гибридных конечных элементов с устраненной численной дестабилизацией, был применен для определения предельных по идеальной МГД-устойчивости значений параметра в токамаках /33/ - /35/.

Величина интегрального параметра 2. < /?>/< В2? , характеризующего отношение среднего газокинетического к магнитному давлений в плазме, определяет эффективность токамака в . качестве термоядерного реактора /2/. Попытки численной оптимизации равновесной конфигурации с целью получения максимальных, значений Д относительно устойчивости всех идеальных мод были предприняты и ранее в ряде работ /17/-/18/, /36/-/37/. Однако оптимизация проведена здесь по ограниченному числу параметров и в некотором сравнительно узком классе распределений плотности продольного тока по сечению плазмы. Так, в /36/ при фиксированном факторе запаса устойчивости ^(у) использована оптимизация только по одному параметру в распределении давления по магнитным поверхностям. В работах /17/, /18/, /37/ без вы деления продольная плотность тока ^ задается простыми функциями с двумя параметрами. В /37/ для предельных значений предложен простой закон подобия (скейлинг): где - магнитная проницаемость вакуума, - продольный ток, ¿7 - малый радиус тора, В>т - продольное магнитное поле, а коэффициент С = 2.0*2.5. Для ИНТОР-подобной плазмы /38/ такой скейлинг дает ^ — 2,5$. С другой стороны, оптимизация ¿/уЬ/Уу на кадцой магнитной поверхности у - соп${ при фиксированной функции ((¡у) из условия устойчивости только баллонных мод дает соотношение типа (5) между {£> и , но со значительно большим коэффициентом С = 3.0*3.5. Отсюда для ИНТОР'а следует ^ - 4% /32/, /39/. Эти результаты дали основание надеяться на возможность более полной оптимизации и получение равновесных конфигураций с большими значениями , устойчивых относительно всех идеальных неустойчивостей. Вариант такой оптимизационной процедуры был использован в /33/-/35/. В настоящей работе на основе этой методики дано уточнение и определены границы применимости скейлинга (5). Определение зависимости С от геометрии поперечного сечения тороидального плазменного шнура и физических параметров плазмы вместе с приближенными формулами для /// дает возможность оценивать величины предельных /6 для плазмы в конкретных установках.

Перейдем к краткому изложению содержания настоящей работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

ЗА1Ш0ЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации.

I. Для двумерных спектральных задач идеальной МГД-устойчи-вости построены разностные схемы, основанные на расширении метода гибридных конечных элементов. Исследованы особенности схем метода гибридных конечных элементов, связанные с наличием при любом шаге сетки отрицательного собственного числа в разностной задаче, аппроксимирующей исходную задачу с не отрицательным спектром (численная дестабилизация). Найдены средства улучшения аппроксимации, которые приводят к эффективным алгоритмам определения границы устойчивости.

2. Предложена процедура оптимизации профиля давления в осе-симметричных равновесиях, позволяющая выяснить зависимость предельных по устойчивости значений ^ от основных параметров плазш.

3. Создан комплекс программ для расчетов идеальной МГД-устойчивости, МГД-спектров и предельных по устойчивости параметров осесимметричных тороидальных равновесных конфигураций плазш. 4. На основе проведенных расчетов исследованы законы подобия для предельных значений токамака в широкой области изменения параметров плазменного шнура.

101.

1. Калсруд Р. Магнитогидродинамическое описание плазмы. - В кн.: Основы физики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1983, т.1, с. 127-152

2. Бейтман Г. МГД-неустойчивости. М.: Энергоиздат, 1977. -- 200 с.

3. Bernstein I.B., Frieman Е.А., Kruscal M.D., Kulsrud R.M. An Energy Principle for Hydromagnetic Stability Problems Proc. Roy. Soc., 1958, v.A 244, N 1236, p.17-40

4. Сьярде Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

5. Rappaz I. Approximation of the Spectrum of a Non-Compact Operator Given by the Magnetohydrodynamic Stability of a Plasma.-Numer. Math., 1977, v. 28, H" 1, p. 15-24

6. Бернштейн PI.Б. Вариационный принцип для задач устойчивости в идеальной магнитогидродинамике. В кн.: Основы физики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1983, т.1, с.365-393

7. Mercier G. Critère de Stabilité d*tm système toroidal hydromagnètique en pression Scalaire.- ITucl. Fusion. Suppl• 19 62, part 2, p. 801-808

8. Greene I.M., Johnson J.L. Stability Criterion for Arbitrary Hydromagnetic Equilibria.- Phys.Fluids, 1962, v. 5, N 5, p. 510-517

9. Bineau, M. Stabilité hydromagnetique d*iwi Plasma Toroïdal: Etude Variationelle de ¿Integrale d"energie.- Nucl. Fussion, 1962, v.2, П 34, p. 130-147

10. Шафранов В.Д. К вопросу о гидромагнитной устойчивости плазменного шнура с током в сильном продольном магнитном псле. Журн.техн.физ., 1970, т.40, № 2, с.241-253

11. Appert К., Berger D., Gruber R., Rappaz J.

12. A New Finite Element Approach to the Normal Mode Analysis in Magnetohydrodynamics»,- J.Comput. Phys., v. 18, N 3, p. 284-299

13. Гримм P.K., Грин Д.М., Джонсон Д.Л. Вычисление ; магнито-гидродинамических спектров в осесимметричных тороидальных системах удержания плазмы.- В кн.: Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980, с.268-295

14. Descloux J«i Nassif П., Rappaz J. On Spectral Approximation. I. The Problem of Convergence.-RAIRO Anal.Nurner,, 1978, v.12, IT 2, p.97-112

15. Mills W.H. Optimal Error Estimates for the Finite Element Spectral Approximation of Noncompact Operator,-SIAM

16. J.Humer. Anal., 1979, v. 16, N 4, p.704-718

17. Gruber R. Finite Hybrid Elements to Compute the Ideal Magnetohydrodynamic Spectrum of an Axisymmetric Plasma.-J.Comput. Phys., 1978, v.26, N 3, p. 379-389

18. Gruber R., Troyon F.t Berger D. e.a. ERATO Stability Code.-Comput. Phys.

19. Commun., 1981, v.21, N 3, p.323 372

20. Kerner W., Gruber R., Troyon F. Numerical Study of the1.ternal Kink Mode in Tokamaks.- Phys. Rev. Lett, 1980, v.44, N 8, p.536-540

21. Bernard L.C., Dobrott D., Helton F.J., Moore R.W. Stabilization of Ideal MHD Modes.-Nucl. Fussion, 1980, v.20, IT 10, p.1199-1206

22. Kerner W., Gautier P., Lackner K.e.a. Ideal Magnetohydro-dynamic Stability of High-Beta, High-Current Tokamak Equilibria«- Nucl.Fusion, 1981, v.21,N11, p.1383-1397

23. Tokuda S., Tsunematsu M., Azumi M. e.a. Second Stability Region Against the Internal Kink Mode in a Tokamak.-Nucl. Fusion, 1982, v.22, N 5, p.661-664

24. Grimm R.C., Dewar R.L., Manicham J. Ideal MHD Stability Calculations in Axisymmetric Toroidal Coordinate Systems.-J.Comput. Phys., 1983, v. 49,, N 1, p.94-117

25. Gruber R.t Pfersieh Ch., Semenzato.e.a. On the Numerical Determination of Ideal MHD Limits of Stability of

26. AxL symmetric Toroidal Configurations.- Comput. Phys. Commun., 1981, v.24, N3-4» p.381-387

27. Takizuka T., Tokuda S., Azumi M., Takeda T. Effects of the Finite Hybrid Element on MHD Stability Calculations in Cylindrical Plasma.- Compat. Phys. Commun., 1981, v.23,1. N 1, p. 19 26

28. Gruber R., Troyon P., Rousset S. e.a. Transformation of ERATO into a 8W-Code., Comput. Phys. Coimmm.,1981, v.22, U 4, p.383-387

29. Manickam J.# Grimm R.C., Dewar R.L. The Linear Stability Analysis of MHD Models in Axisymmetric Toroidal Geometry Comput. Phys. Commun., 1981, v.24, H 3-4, p.355-361

30. Медведев С.Ю. Методы расчета идеальной МГД-устойчивости тороидальной плазш в линейном приближении. М. ,1985. - 22с. (Препринт/ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР: JS 50)

31. Connor J.W., Hastie R#J.,Taylor J. В. Shear, Periodicity, and Plasma Ballooning Modes.- Phys. Rev. Lett., 1978, v.40, N 6, p.396-399

32. Todd A.M.M., Chance M.S., Greene J.M.e.a. Stability Limitations on High-Beta Tokamaks.- Phys. Rev. Lett., 1977» v.38, N 15, p.826-829

33. Gruber R., Semenzato S., Troyon P.e.a. HERA and Other Extensions of ERATO.- Comput. Phys. Coimmm,1981, v.24, N 3-4, p.363-376

34. Dewar R.L., Manickam J. Grimm R.C., Chance M.S. n-B-ependence of Ballooning Instabilities.- Nucl.Fusion, 1981, v.21, N 4, p.493-498

35. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В. Адаптирующиеся к решению сетки в эллиптических задачах на плоскости. Дждерен. уравнения, 1934, т.20, JS7, с.II94-1203

36. Вабищевич П.Н., Дегтярев Л.М., Медведев С.Ю. Предельные значения J> относительно неустойчивости баллонных мод в тока-маке. Физика плазш, 1983, т.9, }£ I, с. 163-170

37. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Мартынов А.А., Медведев С.Ю. Зависимость от аспектного отношения предельных по идеальной МГД-устойчивости давлений плазш токамака. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез, 1984, вып4(17),с.4-10

38. Degtyarev L.M., Drozdov V«V., Martynov A.A., Medvedev S,Yu. On the Tokamak p -Values Limited Ъу Ideal MHD-Stability.-In: Proc. Invited Papers of International Conf. on Plasma Physics, Lausanne, 1984, v.1, p.157-175

39. Degtyarev L.M., Drozdov V#V#, Martynov A.A#, Medvedev S.Yu. On Limiting Plasma Pressures in Tokamaks.- In: Proc. of 10 th International Conf. on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, London, 1984, IAEA -CH-44/E-III-2

40. Todd A.M.M., Manickam J., Okabayashi M.e.a. Dependence of Ideal MHD Kinlc and Ballooning Modes on Plasma Shape and Profiles in Tokamaks.- Hucl, Fusion, 1979, v.19, H 6 ,p.743-752

41. Troyon Gruber R.t Saurenmann H.e.a. MHD Limits to Plasma Confinement.- Plasma Phys. and Controlled Fusion, 1984, v.26, IT 1A, p. 209-215

42. INTOR. Phase One.-Vienna:IAEA, 1982

43. Sykes A., Turner M.F. Patel S. Beta Limits in Tokamaks due to High-n Ballooning Modes.- In: Proc. 11th European Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, Aachen, 1983, v.2, р.ЗбЗ-Збб

44. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазш. В кн.: Вопросы теории плазш. М.: Госатомиздат, 1963, вып. 2,с.132-176

45. Laurence P., Shen М.С. Justification of the MHD Energy Principle for the Stability of a Confined Toroidal Plasma.-Commun. Pure and Appl. Math., 1983,v.36, N 2, p.233-252

46. Edenstrasser J.W. Unified Treatment of Symmetric MHD Equilibria.- J. Plasma Phys., 1980, v.24, N 2, p.299-313

47. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах. В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Энергоиздат, 1982, вып.II, с.118-235

48. Rappaz J. Spectral Pollution of a Hon-Compact Operator.-Comput. Phys. Common,, 1981, v.24, N 3-4, p.323-327

49. Jaccard Y,, Evequoz H. Approximation of the Spectrumof an Operator Given by the Magnetohydro dynamic Stability of a Plasma, Math Comput., 1982, v. 39, N 160, p,443-452

50. Evequoz H., Jaccard Y. A nonconforming Finite Element Method to Compute the Spectrum of an Operator Relative to the Stability of a Plasma in Toroidal Geometry.-Numer. Math,, 1981, v,36, 1^55-465

51. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. - 384 с.

52. Chance M.S., GreeneJ,М,, Grimm R.C.e.a. Comparative numerical Studies of Ideal Magnetohydrodynamic Instabilities. J.Comput. Phys., 1978., v.28, H 1, p, 1-13

53. Chance M.S., Jardin S.C., Stix Т.Н. Ballooning Mode Stability of Bean-Shaped Cross Sections for High-jb Tokamak Plasmas,- Phys. Rev.bett,, 1983, v. 51, N 21, p.1963-1966

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. - 832 с.по.5je Newcomb W.A. Hydromagnetic Stability of a Diffuse1.near Pinch.- Ann.Phys., 1960, v.10, N 2, p.232-267

55. Jespersen D. Ritz-Galerkin Methods for Singular Boundary Value Problems.- SIAM J. Humer. Anal.,1978, v.15, H 4, p.813-834

56. Gruber R., Scott D.S., Implementing Sparse Matrix Techiques in the ERATO Code.- Comput. Phys.Commun., 1981, v.23, H 2, p.115-121

57. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

58. Bernard b.c., Helton F.J., Moore R.W. GATO: an MHD

59. Stability Code for Axisymmetric Plasmas with Internal

60. Separatrices.- Comput.Phys.Commun., 1981, v.24, N 3,4, p.377-380

61. Goedbloed J.P., Sakanaka P.H. Hew approach to Magnetohydrodynamic Stability: I.A Practical Stability Concept.- Phys. Fluids, 1974, v.17, N 5, p. 908-918

62. Bernard L.C., Helton F.J., Moore R.W., Todd Т.Н. MHD Beta Limits: Scaling Laws and Comparison with Doublet III Data.-Hucl. Fusion, 1983, v.23, N 11, p. 1475-1484

63. Manickam J. Stability of n=1 Internal Modes in Tokamaks.-Nucl. Fusion, 1984, v.24, N 5, p.595-607

64. Greene J.M., Chance M.S. The Second Region of Stability Against Balooning Modes.- Hucl. Fusion, 1981, v. 21,1. И 4, p.453-464

65. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977. - 656 с.

66. Ушшшсон, Райшп. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 389 с.

67. Дегтярев Л.М., Киров А.Г., Медведев С.Ю., Стотланд М.А. Равновесие и устойчивость баллонных мод плазмы токамака с полным током. М., 1983. - 25 с. (Препринт/ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР: & 33)

68. Дегтярев Л.М., Киров А.Г., Мартынов А.А. и др. Тиринг-неустойчивости в токамаке с полым токоы. М., 1984.-26 с. (Препринт/ШМ 1Ш.М.ВЛСелдыша АН СССР: В 130)

69. Захаров Л.Е. Винтовые равновесия и винтовые неустойчивости плазмы с током. Физика плазмы, 1981, т.7, I, с.18-40

70. Wesson J.A. Hydromagnetic Stability of Tokamaks.-Nucl. Fusion, 1978, v.18, IT 1, p. 87-132

71. Блехер П.М. Об идеальной винтовой неустойчивости плазменного шнура для екинированных профилей тока. М., 1982. - 25 с. (Препринт/ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР: .£ 148)112.

72. Manickam J., Grimm R.C.t Okabayashi M. Stability ofn=1 Kink Modes in Bean-Shaped Tokamaks.-Phys« Rev« Lett., 1983, v. 51, N 21, p. 1959-1962из.

73. Рис.1.1. Поперечное сечение плазменной и вакуумной областей, абсолютно проводящего кожуха в осесимметричном случае114.

74. Рис.2.1. Матрицы Аи Б^ в алгебраической задаче на собственные значения, Л/- 3 ,

75. Рис.2.2. Схема матриц для исключения "вакуумных неизвестных

76. Рис.2.3. Сходимость старших собственных чисел полной задачи и их экстраполяция на Л/->ооз ¿-»©о. Вариант № 3 из табл.11. X ПГ• пгп(е-1)15 /1/(7Г2)

77. Рис. 2.4. Сходимость и экстраполяция для варианта № 4 из табл.1118.х ПГ• пгп30 20 ^ /V с Л/-*)

78. Рис.2.5. Сходимость и экстраполяция для варианта 5 из табл.1; У1из табл.1; N^-Nредуцированной задачи. Вариант & 5 из табл.1; N.

79. Рис.2.8. Профили функций > Параметры равновесий: А=4, ¿=1.6, ^=0.3', Ж =2, ^=1, ^ =2.17. Функции р и уу нормированы так, что мл*^ =2, Мах ^=3. Координата £ нормирована на радиус магнитной оси. Параметр £ =10 в функции (/>-) (3.3)

80. Рис.2.9с Профили функций , у,(г) > ^ ^ для А=4, ¿=1с6, ^=0.3, X =1.2, 2 =1, ^ =3.051.=1.6, ^=0.3, X =0.85, Я =1, =4.03о