Распределение спектров операторов различных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

КОЖЕВНИКОВ АЛЕКСАНДР НАУМОВИЧ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ОПЕРАТОРОВ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ- ФИЗИКИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

и/

0+й 99г

___

На правах рукописи

УДК 517.9

Москва Издательство МАИ 1989

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции авиационном институте им. Серго Орджоникидзе.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Бутузов, академик АН АзССР М.Г. Гасымов, доктор физико-математических наук, профессор М.В. Федорюк.

Ведущая организация: Ленинградское отделение Щ АН СССР

имени В.А. Стеклова.

Защита диссертации состоится " " 19 г.

в часов на заседании специализированного совета

Д.053.05.37 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан " " 19 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.053.05.37 при МГУ А' Л

профессор е.И. Моисеев

Актуальность теми. Проблема сведения основных краевых задач статической теории упругости к эквивалентным регулярным интегральным уравнениям Фредгольма на границе области с начала Бека привлекала многих математиков. Уже вскоре после создания Фред-гольмом теории интегральных уравнений второго рода и их успешного применения в 1900 г. к исследованию краевых задач Дирихле и Неймана начали предприниматься усиленные попытки для осуществления аналогичного анализа и в случае основных задач теории упругости (ОЗТУ). В 1906 г. Фредгольм доказал теорему существования решения упругого аналога задачи Дирихле - первой ОЗТУ. В этом случае оказалось невозможным искать решение в виде упругого потенциала двойного слоя, так как он приводит к сингулярному интегральному уравнению. Фредгольм обошел это затруднение, заменив потенциал двойного слоя другим регулярным потенциалом, связанным с оператором псевдо напряжения. Вслед за Фредгольмом первую ОЗТУ исследовали Лауричелла, Марколонго, Корн, Тедоне, Лихтенштейн и др. Подробные исторические обзоры имеются в монографиях Г.Фикерах, Т.В.Бурчуладзе и Т.Г.Гегелии хх. Имеется также обзор Д.И.Шермана в монографии ххх. Согласно Г.Фикера* "настоящие трудности возникают тогда, когда мы пытаемся применить тот же метод, что и для первой ОЗТУ, к решению второй ОЗТУ. По аналогии с гармоническими функциями надо было бы представить решение в Еиде потенциала простого слоя, как это делается для второй краевой задачи теории гармонических функций (задачи Неймана). К сожалению, система интегральных уравнений, которая получается при этом не будет системой типа Фредгольма, ибо ядра этих уравнений не являются абсолютно интегрируемымй и соответствующие интегралы имеют смысл только, если их понимать как сингулярные интегралы Коши". хх

По свидетельству Т.В.Бурчуладзе и Т.Г.Гегелиа стр. 13 вторая ОЗТУ "более естественна и более интересна с точки зрения

Х ^еоРемы существования в теории упругости. М.:Мир,

хх Бурчуладзе Т.В., Гвгелиа Т.Г. Развитие метода потенциала в

теории упругости. Тбилиси: мецниереба, 1985; ххх Интегральные уравнения в теории уп-

приложений. Ей посвятили сеои исследования Корн, Боддио, Вейяь и позднее Киносита и Мура. Все они пытались, подобно исследованиям Фредгольма, свести вторую ОЗТУ к регулярному интегральному уравнению второго рода - к уравнению Фредгольма. Но эти попытки не увенчались успехом. Авторы либо не усматривали, что полученные ими уравнения не ябляются уравнениями Фредгольма, либо получали уравнения Фредгольма, но не эквивалентные исследуемой задаче и запутывались в сложных лабиринтах связи между решениями задачи и интегральных уравнений". К настоящему времени теоремы существования решений всех ОЗТУ доказаны иными методами, усилиями таких математиков, как Фридрихе, Фшсера, Жиро, Михлин, Купрадзе, Башелейшвили, Гегелиа. Тем не менее, как отмечает В.Д.Купрадзе ео введении к

х

монографии "Несмотря на это, даже теорию статических задач за исключением некоторых ее разделов, все еще нельзя признать разработанными с достаточной полнотой, ни с точки зрения нахождения решений отдельных задач, ни с точки зрения общей теории. Одной из причин такого положения является недостаточность теории интегральных уравнений Фредгольма в ее классическом виде для исследования второй и третьей граничных задач". В другой монографии*2- § 47 В.Д.Купрадзе отметил, что имеется "...еще один способ сведения первой ОЗТУ к регулярным уравнениям Фредгольма. Основная идея этого метода была высказана и применена для решения задачи о статическом равновесии упругого полупространства Тедоне еще в 1902 г. Затем этот метод не привлекал внимание исследователей, пока в 1924 г. Л.Лихтенштейн300" не установил, что метод Тедоне при некотором усовершенствовании можно применить для решения задач об упругом равновесии произвольного изотропного упругого тела". Подробное изложение этой работы Л.Лихтенштейна имеется в монографиях Е.Трефца , В.Д.Купрадзе ** , В.Новацкого™0^.

Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости.

М.: Наука, 1963. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные ураЕнения. ,м.: ГИТТЯ, 1950. *** ЬикЫп*Ш1.МлМ1.7л1Ы924. В.20. .21-28. 1X1(1 ТрегРц Е. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ-ГТШ,

ххххх Новацкий В. Теория упругости. М.: МИР, 1975.

В своей работе Л.Лихтенштейн свел первую ОЗТУ к регулярному интегральному уравнению Фредгольма на границе относительно граничного значения дивергенции смещения. По этому поводу В.Д.Купрад-зе во введении к монографии (см.сноску х на стр.4) заметил: "Способ Лихтенштейна еще не нашел применения ко второй, третьей и четвертой ОЗТУ".

Спектр пучка операторов, порождаемых первой и второй ОЗТУ исследовался в большом цикле работ Э. и Ф.Коссера и позднее С.Г.Михлиным и В.Г.Мазьей. Эти исследования подытожены в обзоре С.Г.Михлина . Однако,отсутствие сведения второй, не говоря уже о третьей и четвертой ОЗТУ к регулярному интегральному уравнению типа Лихтенштейна не позволило получить для спектра этих задач столь же законченные результаты, как для первой ОЗТУ. В частности, не были известны асимптотические формулы распределения конечно-кратных собственных значений Коссера всех ОЗТУ.

Как известно, пергая ОЗТУ тесно связана с задачей Стокса в гидромеханике. Многочисленные исследования этой задачи подытожены в монографиях О.А.Ладыженскойхх и Р.Темам1 еР*. Со Бремен Рэлея и Г.Вейля по сей день изучение вопросов асимптотического распределения собственных значений различных операторов было актуальным для многих математиков (см.обзоры и JOOO°^).

В работах Г.Метивье*30000- и К.И.Бабенко30000™* были получены асимптотические формулы для собственных значений оператора, порождаемого этой задачей. Хотя оценка остатка в асимптотике спектра в работе К.И.Бабенко существенно точнее чем у Г.Метивье, было ясно,

что и она нуждалась в улучшении, по аналогии с известной работой р>Сшшхххххххх<

Михлин С.Г. УМН. 1975. Т.28, № 3. С.43-82. Ладыженская. O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.:Наука, 1970. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981.

БутузоЕ В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений у/ техники» Серия "Матем. анализ", м.: ВИНИТИ,

Бирман М.Щ., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциаль

MitLvUr Cr. }. Mlth. purei еГлрреТ 1978.V.57. № 2. P.133-156 • xxxxxxx Бабенко'к.Й. ДАН СССР. 1982. Т.263, № 3. С.521-524. хххххххх SeeSey. /г. A tue. г, of MaJA.

I960. V.102, К 5. Р.869-902.

х xx

xxx

хххх

ххххх хххххх

В работе Р.Силих были исследованы комплексные степени эллиптических бистем на компактном многообразии, а В.Я.ИЕрием** получены асимптотики спектра с точными оценками остатка для таких систем. Попытки Г.Груббхх^ получить аналогичные асимптотики для систем Дуглиса-Ниренберга привели к существенно более слабым результатам в отношении остаточного члена асимптотики. Что касается исследования комплексных степеней, то как отмечено Г.Грубб даже при возведении во вторую степень у такой системы теряется структура эллиптичности по Дутлису-Ниренбергу, что не позволяет сразу перенести на такие системы метод Р.Сили.

В работах Плейеля, диссертациях его учеников Сандгрена и Уднова, в работах Эрколано и Шехтера, БаркоЕского, АскероЕа, Крей-на и Лаптева и др. изучались эллиптические краевые задачи со спектральным параметром не только в эллиптическом уравнении, но и в краевых условиях (см.обзор3™^). Указанным авторам удалось лишь в частных случаях получить асимптотические формулы для собственных значений, но без точной оценки остаточных членоЕ.

Рель работы. Сведение четырех осноеных краевых задач теории упругости к эквивалентным регулярным интегральным уравнениям Фред-гольма второго рода на границе области. Исследование спектров Коссера указанных задач: нахождении предельных точек конечно-кратных собственных значений и асимптотическое распределение последних. Получение точных по порядку оценок остаточных членов в асимптотике собственных значений операторов, порождаемых задачей Стокса, системами эллиптическими по Дуглису-Ниренбергу и эллиптическими краевыми задачами со спектральным параметром в краеЕых условиях.

Методика работы. В диссертации применяются как ноЕые методы теории псевдодифференциальных операторов, получившие здесь дальнейшее развитие, так и более традиционные теоретивфункциональные методы.

х Seeßey И. Proc.Zymp. Риге МаЛк. 1968. Y. Ю.?.2М-Ъ(Я. xx Иврий В.Я. ДАН СССР. 1980. Т.250, К 6. C.I300-I302. ^ GrutB &. Hcutk. Scavci. {318. V.4Z, N2, .F.2?5-ЪО?

хххх Александрии P.A., Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костючен-

ко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Труды симпозиума, посвященного 60-летию С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970. С.3-35.

Цаучнал новизна, теоретическая и практическая значимость Работы. Следующие основные результаты диссертации являются новыми:

1) Доказаны теоремы об эквивалентном сведении четырех основных краевых задач теории упругости к регулярным интегральным уравнениям Фредголыла на границе области. Найдены все предельные точки и асимптотическое распределение конечнократных собственных значений Коссера всех четырех ОЗТУ.

2) Доказана формула асимптотического распределения спектра задачи Стокса с точкой по порядку оценкой остатка.

Получен ноеый итерационный алгоритм решения задачи Стокса, сходимость которого существенно лучше сходимости известных алгоритмов Удзавы и Эрроу-ГурЕИца при той же трудоемкости вычисления каждой итерации.

3) Доказана теорема о подобии систем, эллиптических по Дуг-лису-Ниренбергу, диагональным системам. Исследованы комплексные степени указанных систем и установлены асимптотические формулы распределения собственных значений с точными по порядку оценками остатка.

4) Доказаны асимптотические формулы с точными по порядку оценками остатка для распределения собственных значений различных эллиптических краевых задач со спектральным параметром, входящим и в эллиптическое уравнение и в граничные условия.

Ряд других новых результатов получен в качестве следствий перечисленных Еыше.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение как в самой математике (теория уравнений с частными производными, спектральная теория), так и в приложениях (теория упругости, гидромеханика). В частности, в диссертации дано теоретическое обоснование метода фотоупругости и доказана сходимость ноеого численного метода решения задачи Стокса.

Апробапия. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в МГУ, в МИ АН СССР, в ЛОМИ, в ИПМ АН СССР, Ин-те проблем механики АН, в Бакинском и Тбилисском госуниЕерситетах, В Институте математики АН Армянской ССР, на Совместных заседаниях Московского математического общества и Семинара им. И.Г.Петровского в 1983г., на Х1У Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в 1989г., в Воронежских зимних математических школах и т.д.

Пуйлтшсяттаи. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах автора, список которых приведен е конце автореферата.

Структура 1шг;пйптятш. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем диссертации 214 машинописных страниц. Список литературы содержит 83 наименования.

Поттйпжяние работы. Во введении к диссертации дается краткий исторический обзор, обосновывается актуальность теш диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.

В первой главе исследуются основные граничные задачи теории упругости, обозначаемые далее для краткости ОЗТУ.

Уравнения теории упругости по сей день продолжают стимулировать их математическое исследование п и сноска ** на стр.3.

Пусть , - вектор-столбец смещений

ограниченного изоштропного упругого тела, заполняющего ограниченна область с К3 с бесконечно гладкой границей Г . Верхний индекс Ь обозначает транспонирование. Как известно, вектор Ю в этом случае удовлетворяет следующему уравнению Ламе : Lu = А и- + со$гас1 divи = О sceQ , (I)

где Л - оператор Лапласа, со - , а £ - коэф-

фициент Пуассона, который считается не зависящим от точки агеЛ , т.е. тело изотропно. Уравнение Ламе - это основное уравнение статической теории упругости изотропного твердого тела.

Пусть - (gi > 9». * 3ъ)ь - заданная вектор-функ-

ция на Г , т.е. при хвГ . Рассмотрим, следуя работе со стр.3, четыре основные граничные задачи теории упругости (ОЗТУ).

Первая ОЗТУ или задача с заданными смещениями определяется краевыми условиями г/ (oz) ~ х. е Г

Обозначая через у или через оператор сужения на гра-

ницу Г функции, определенной в замкнутой области S2-S2 UV , запишем краевое условие пергой ОЗТУ в Еиде

(2)

Вторая ОЗТУ или задача с заданными напряжениями определяется краевыми условиями

AWj^u+i (Ц ] = Sj (*) , й)

где j = I, 2, 3, - компоненты единичной внутренней нормали /V к f . Обозначим через Т^ матричный дифференциальный опе-

х Кондратьев В.А., Олейник O.A. УМН. 1988. Т.43, №5. С.55-98. хх Федорюк М.В. ZBM и МФ. Т.16, № 4. C.I065-I068.

ратор, сопоставляющий вектору смещений вектор напряжений, компонентами которого яеляются выражения в квадратных скобках в левых частях (3). Положим • Тогда краевые условия (3)

можно записать в виде

(4)

Третья ОЗТУ или задача о жестком контакте. Граничные условия этой задачи имеют вид

Г^-МК^/у^^к , , (5)

где <(• } •> обозначает обычное скалярное произведение в К ,

и ж к^ соответственно векторная и скалярная функции, заданные на Г . При этом компоненты к , А^ , А3 вектора к. связаны дополнительным соотношением

(6)

Граничные условия (5) и (6) неудобны с точки зрения общей теории эллиптических краевых задач, ибо в этих условиях - пять скалярных уравнений, а должно быть три.

Запишем граничные условия (5) и (6) е новом базисе, который в каждой точке границы Г образуют ортогональные касательные векторы и Т^ и внутренняя нормаль N . Обозначим <г>,_1 А> (к ~ I >2.) , ■= к ^ . Тогда (5) и (6) порождают следующие независимые краевые услоеия;

Итак (7) - это три независимых краевых условия для третьей ОЗТУ. Обозначим матричный оператор, порождаемый левыми частями (7). Тогда краевые условия (7) можно переписать в виде

= (8)

Четвертая ОЗТУ юш задача о мягком контакте получается, если в (7) поменять ролями операторы ^ и :

Обозначая через матричный оператор, порождаемый левыми частями (Э), запишем краеЕце условия четвертой ОЗТУ в виде

Один из основных результатов первой главы заключается в том, что Есе четыре ОЗТУ единым методом будут сведены к эквивалентным регулярным уравнениям Фредгольма. При этом для первой ОЗТУ наше уравнение совпадает с уравнением Лихтенштейна.

Спектр пучка операторов, когда параметр со считается спектральным, ъ случае пергой и второй ОЗТУ исследовался в большом цикле работ Э. и Ф. Коссера и позднее С.Г.Михлиным и В.Г.Мазьей. Эти исследования подытожены в обзоре С.Г.Михлина (см. х на стр. 5). Твм,е частности доказано, что лишь дее точки спектра м= О и со--,2, могут быть предельными для конечнократных собственных значений второй ОЗТУ. На самом деле, как показано в гл.1, только одна точка со- О может являться предельной для собственных значений. Вторая точка может быть лишь конечнократным собственным значением. Этот результат Еытекает из указанного выше регулярного интегрального уравнения, эквивалентного второй ОЗТУ.

Для третьей и четвертой ОЗТУ какие-либо общие результаты относительно спектра Коссера до сих пор отсутствовали. В гл.1 показано, что со~~£ - единственная предельная точка конечнократных собственных значений этих ОЗТУ. Любопытно, что для первой, третьей, четвертой и второй ОЗТУ предельными точками для конечнократных собственных значений яеляются соответственно точки -2, -I, -I, 0, т.е. при ослаблении "закрепления" на границе области предельная точка смещается вправо по оси со .

Для доказательства того, что те или иные точки являются предельными для собственных значений на самом деле не обязательно использовать сведение к уравнению фредгольма на Г >

Достаточно лишь проверить, что в этих точках нарушается условие Шапиро-Лопатинского эллиптичности ОЗТУ.

Кстати, в работе ххххх на стр.4 среди таких точек ошибочно указана для второй ОЗТУ. Вместе с тем, к достоинствам мето-

да сведения ОЗТУ к регулярным уравнениям Фредгольма следует отнести то обстоятельство, что здесь, в отличие от*-0001 стр.4 почти даром возникают и все бесконечнократные изолированные точки спектра и предельные точки для конечнократных собственных значений вместе с соответствующей формулой асимптотического распределения последних. Все эти результаты яеляются новыми для третьей и четвертой, а асимптотика спектра -также и для первой и второй ОЗТУ.

Переходим к точной^, формулировке основных результатов первой главы. Из уравнения Ламе (I) при соф , ос, Еытекает, что оСсч и суть гармоническая функция Е области . Обозначим через В ее граничное-значение, т.е. г/, где оператор сужения на границу области . Пусть А оператор гармонического продолжения функции Енутрь 52 , т.е. /\ = сО-уц. ,

Х6Й . Рассмотрим оператор Р- , который порождается й 03Т7 при г«? = ж. , где ж > 4 /з фиксированное число (для пер-еой ОЗТУ возможно £ ).

Щи = я.$ллс{симг/)* ¿,2,3,4) (10)

Во Есех краевых операторах Х- предполагается, что со~3£-. Введенный оператор Р. сопоставляет таким образом вектору-столбцу к'-(-и1} их 1 ■и^ вектор-столбец из двух векторных компонент.•Первая компонента ЛИ+ Xугас/скуй суть в свою очередь трехкомпонентная вектор-функция в , вторая компонента 1С - трехкомпонентная вектор-функция на Рассматриваемый оператор И; в соответствии с общей теорией эллиптических краевых задач обратим на множестве пар (В7, д) , где В* и ^ вектор-функции, определенные соответственно в

и на Г и ортогональные в &)]3 Ф ко-ядру ¿- й 03ТУ. Эти коядра описаны в теореме I § 1.2. Обозначим через А- оператор, обратный к Р.- . Положим _ ,

А; в ТВ усйу А! (рас{Л6>$¿¡N6 + ¿ в) , (II) где - симеол Кронекера, ¿' = (1,0,0)*

Ниже в теореме I доказано, что ^'-.я ОЗТУ ( - I, 2, 3, 4) при со? зг сводится к следующему уравнению на Г относительно неизвестной функции 9 : ,

0 + где (12)

Легко видеть, что оператор (II) - это псевдодифференциальный оператор нулевого порядка, отображающий скалярную функцию 9 на Г снова в скалярную функцию на Таким образом, уравнение (12) - это вообще говоря сингулярное интегральное уравнение на Г1 относительно неизвестной функции 9 . На самом деле, как утверждается ниже в теореме 2, уравнение (12) является регулярным уравнением Фредгольма. Сформулируем теперь основные результаты этой главы.

В следующей теореме I устанавливается эквивалентность ^"-й ОЗТУ граничному интегральному уравнению (12). Одновременно в этой теореме доказывается корректность определения оператора А' (II), т.е. принадлежность выражения в скобках в правой части (II) области

определения оператора Aj .

ТЕОРЕМА I. При V/ = I, 2, 3,4 и при определенная во введении \-я ОЗТУ эквивалентна граничному ураЕ-

нению (12) относительно неизвестной функции О - frc&v и.

ТЕОРЕМА 2. Для действующего на Г псевдодафферен-циального оператора JLj ( J - I, 2, 3, 4) справедливо равенство:

где I - тождественный оператор, - различные ЦДО на Г порядка - I, т.е. компактные в /Сг(Г) интегральные операторы со слабой особенностью первого порядка; Ы.- числовые константы:

°<1 = £,<¿¿=0, сС3=: £ , clfl.

ТЕОРЕМА 3. При со ^ -/,<» ¿-я ОЗТУ в обозначениях теоремы 2 эквивалентна следующему интегральному уравнению Фредгольма на Г относительно неизвестной функции 6 -^div V :

= где

При J. = I и эе = 0 полученное интегральное уравнение в точности совпадает с уравнением Лихтенштейна (см.ххх стр.4),но используемые Лихтенштейном методы теории потенциала неприменимы для второй, третьей и четвертой краевых задач.

ТЕОРЕМА 4. Конечнократные собственные значения Коссе-ра J- й ОЗТУ могут иметь единственную предельную точку -cLj , где с*.- определены в теореме 2. Вне £ окрестности около предельной точки при i-ъ-О имеется Cj -f ofs ~г) конечнократных собственных значений, где константа С^ выражается через главный символ оператора Kj из теоремы 2.

ТЕОРЕМА 5. При каждом фиксированном х.»зе , эе ^ -j ; эе > у соответственно для I, 2, 3 или 4-й ОЗТУ интегральные уравнения из теоремы 3 разрешимы итерациями при любых соф х. и таких, что со > , со > ~ , соу ,

Соответствующие ряды Неймана сходятся по операторной норме пространства Соболева Н s (Г) при услоши принадлежности правых частей интегральных уравнений / пространству Н (Р)

ЗАМЕЧАНИЕ. В монографии А.А.Ильюшина и Е.Е.Победри

х на стр. 105 подчеркивается, что Еопрос о зависимости от коэффициента Пуассона решений задач статической теории упругости в общем случае еще не равен. В этой связи предыдущая теорема означает, что имея в своем распоряжении какой-нибудь алгоритм решения задач теории упругости для модельного тела с коэффициентом Пуассона ¿x= S.'i (i~ ЭС1) можно получить решение для нату-

X Ильюшин A.A., ПоВе>/>» Б. В. Основы маге*, теории термовяъкоуяайгогг*

' М,- Наука.,-19Ю.

рального тела с коэффициентом Пуассона — ■

Решение для натурального тела пишется в виде сходящегося степенного ряда по степеням параметра А = . При этом коэффициенты

ряда зависят только от модели и не зависят от со .

Теорема 5 подводит таким образом теоретический фундамент под известный "поляризационно-оптический метод" или "метод фотоупругости" определения'статических напряжений трехмерных тел. Как известно, этот метод позволяет экспериментально находить напряжения для "моделей", т.е. тел изготовленных из специальных пластмасс. Коэффициенты Пуассона для материалов, используемых в настоящее время в качестве модельных, существенно Еыше, чем коэффициенты Пуассона "натуры". Согласно теореме 5 статическое состояние "натуры" представляется е виде ряда, каждый член которого - это статическое состояние "модели" с соответствующей нагрузкой на границе. До сих пор в методе фотоупругости использовался лишь первый член указанного ряда.

Теорема 5 дает следовательно способ построения второго и последующих приближений. Одновременно в теореме 5 имеется связь между коэффициентами Пуассона "модели" и "натуры", при которой ряд заведомо сходится. В частности, для Еторой ОЗТУ ряд сходится при

°° е (^Ь > эе) • Поскольку коэффициент Пуассона ¿ = Ц ,

то для стали с ¿=0,33(г^>=3) необходима "модель" с

Х- < З-Ои — О, и коэффициентом Пуассона не превосходящим 0,41. В свою очередь для сходимости ряда для "натуры" с коэффициентом Пуассона 0,41 необходима "модель" с 4 < 0,46 и т.д.

В случае, когда для конкретной области , например для шара,известны границы спектра Коссера, теорема 5 может быть существенно усилена.

ТЕОРЕМА 6. При каждом фиксированном х > для шаровой области интегральные уравнения всех четырех ОЗТУ

из теоремы 3 разрешимы итерациями при любых со е (4; + •

Здесь особенно важно, что из < эе , так как на практике в методе фотоупругости со^Ъ (сталь), а за - очень большое число (специальная пластмасса).

Во Еторой глаЕе исследована известная в гидродинамике задача Стокса, см. х , хх, а такжехх ,хх,хна стр. ¿Г , в которой Еектор

х Михайлов В.П. ДАН СССР. 1968. Т.183, № 2. С.284-287. хх Солонников В.А., Щадилов В.Е. Тр. МИ АН. 1973. Т.125.

С.196-209.

скорости жидкости и(х)= [щ I 2/д, заполняющей сосуд 52 , т.е. а:6 ^ и давление р(х) связаны соотношенияш -УАИ + дга.с1р~-£ в 5?,

сСс* и -О В Я, (14)

где константа У > О - это кинематическая еязкость жидкости,

/ и ^ - заданные иектор - функции в ограниченной области 52 и на ее границе Г1 соответственно. Граница X7 ограниченной области предполагается бесконечно гладкой.

Как известно, первая 03Т7 (I), (2) тесно связана с задачей Стокса (14). Еще одно подтверждение этой связи получено в настоящей работе. Доказано, что обе задачи эквивалентны одному и тому же интегральному уравнению Фредгольма на Г .

При этом неизвестной функцией е интегральном уравнении для задачи Стокса является граничное значение давления р(х.) хеГ.

Перейдем к точной формулировке основных результатов второй главы.

Пусть (к'&З.) - ограниченная область с бесконеч-

но гладкой границей Г . Обозначим через ^ и замыкание

соответственно и в соболевском пространстве (&)]

множества финитных в ££ бесконечно дифференцируемых соленоидаль-ных векторов. Пусть Р - ортолроектор: (££)] ^

Рассмотрим оператор Стокса В - -уРл с областью определения £>(£) = [\ [/У2"^)]^» где ^ - оператор Лапласа, а

1> - кинематический коэффициент вязкости. Оператор Стокса играет Еажную роль е исследовании нелинейных уравнений Навье-Стокса и порождается краевой задачей (14) с функцией £ = 0.

Первый результат главы П состоит в том, что получено очень удобное интегральное уравнение для граничного значения давления рСх) хеГ • Обозначим через Л'1 оператор, разрешающий задачу Дирихле для уравнения Пуассона с нулевым граничным условием:

, где в , \-0 на Г ,

- отображает пространство в

Дополнительное условие р(х)с1х~0 обеспечивает единственность давления. При этом условии гармоническая функция р(эс) при хеГ удовлетворяет следующему интегральному уравнению на Г :

ЯР - = ■ (15)

Здесь у оператор сужения на Г , а Кх - некоторый псевдодифференциальный оператор на I7 порядка - I, т.е. интегральный оператор со слабой особенностью. Следует отметить, что оператор К± тот же, что и е теореме 3, если положить ж =0.

С помощью уравнения (15) получается очень удобная форма представления обратного к $ оператора через операторы и А , разрешающие классические задачи Дирихле для уравнений Пуассона и Лапласа соответственно:

8'*=А~/1Т-¿9**<Г(Г + Л %?) 1; №

где интегральный оператор К связан с соотношением

Формула для позволяет сразу же, не прибегая к доеоль-

но громоздкой технике теории гидродинамических потенциалов, получать оценки решений задачи Стокса в соболевских нормах.

Вторым результатом настоящей работы является доказательство с использованием формулы (16) неулучшаемой по порядку оценки остатка в асимптотике собственных значений оператора Стокса

)= + при + (17)

где /V (Л) - число собственных значений, меньших А , а константа С = (объем единочного шара в ) х (объем

)/(2.и)"' . Эта формула получается как следствие полученной Р.Сили аналогичной асимптотики спектра оператора порождаемого задачей Дирихле г -ЛИ - А и в £2 , и = 0 на Г . Таким образом, для получения асимптотики спектра оператора Стокса отпадает необходимость в проведении довольно громоздких рассуждений, которые е последние годы были развиты в известных работах Л.Хёр-мандера, Б.М.ЛеЕитана, Р.Сили, В.Я.Иврия, Д.Г.Васильева. Из формулы (17) вытекает асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных значений (м-.)оператора Стокса:

Л- С -У*ШО(м */п) Г7РИ ~.

Более слабые оценки остатка в формуле (17) вида о (Л ) и ) были доказаны соответственно Г.Метивье и

К.И.Бабенко (см. хххххх и ххххххх на СТр.5).

Третьим результатом главы П является доказательство итерационной разрешимости уравнения (15). Точнее доказательство того,

что оператор Т - обратим и

(I К{ + К}"+ ■. • у

причем ряд справа сходится по операторной норме соответствующего пространства. Этот результат получен вследствие равенства интегральных операторов возникающих е задаче Стокса и первой ОЗТУ. Используются также свойства спектра Коссера первой ОЗТУ.

Итерационная разрешимость интегрального уравнения (15) приводит к новому эффективному алгоритму решения задачи Стокса.

В известной монографии Р.Темама(ххх на стр.5) в гл. I § 5 и в комментариях на стр. 385 приведена следующая мотивировка преимущества итерационных методоЕ численного решения задачи Стокса. После дискретизации задачи Стокса мы должны решать конечномерную линейную задачу, где неизвестным является элемент некоторого

конечномерного пространства ЛГ^ ( ¡ь - шаг сетки). Поскольку и е методе конечных разностей и в методе конечных элементов пространство ЛГ^ из-за условия соленоидальности с1с\/ у-О не обладает естественным и простым базисом, то задача сеодится либо к линейной системе с разреженной, но плохо обусловленной матрицей относительно компонент вектора , либо к системе с неразреженной матрицей. Поэтому то и важны лишенные указанных недостатков итерационные методы решения задачи Стокса.

В указанной монографии Р.Темама е гл.1 § 5 подробно разобраны два итерационных алгоритма Удзавы и Эрроу-Гурвица решения задачи Стокса. Оба алгоритма начинаются с произвольного начального приближения для даЕления р° е ¿С2"(О.) и е них решение гс , р задачи Стокса получается как предел последовательностей г/т , рт ( М -> ^ ). Точнее и р получаются как суммы некоторых рядов с частными суммами ъ<т и р^ . Указанные ряды сходятся к и. по норме соболеЕского пространства

к р слабо в /¿л ($1)/т .

В гл.П, после сведения задачи Стокса к эквивалентному интегральному уравнению относительно давления р , естественным образом возникает ноеый итерационный алгоритм. В нем, в отличие от алгоритмов Удзавы и Эрроу-Гурвица, точно указывается начальное приближение, а последующие итерации даЕления представляют перегруппировку членов ряда Удзавы для р . В результате при той же трудоемкости, что и в алгоритме УдзаЕы итерации давления рп сходятся к р по норме Н* вместо слабой сходимости в

. Соответствующие итерации для скорости Кт сходятся по норме , а не Н1(Я_) , как у Удзавы.

В третьей глаге изучаются системы псевдодифференциальных операторов, эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга на компактном С00 многообразии без края. В случае, когда порядки элементов системы, расположенных на главной диагонали могут быть различны, доказана следующая формула числа // (Л) собственных значений по модулю меньших ^ : и

= сл^+о с*-™-)

где /I $ I < -> + оо , ^ - собственные значения системы, П. - размерность многообразия, №. - минимальный порядок операторов системы, расположенных на главной диагонали и

т >о .

Эта формула обобщает известный результат Л.Хёрмандера об оценке остатка в распределении собственных значений скалярных псевдодифференциальных операторов на системы Дуглиса-Ниренберга:

Ранее Г.Грубб (см.3001 на стр.6) была доказана для систем Дутшса-Ниренберга менее точная, чем (18) оценка вида

0 где £• произвольное положительное

число. Еще раньше формула (18) была доказана Г.Грубб и несколько ранее автором с оценкой остатка о ("Д "/т ) [ 1 ] .

В дополнение к формуле (18) рассматриваются произвольные комплексные степени систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу. Эта часть третьей глаЕы является обобщением результатов, принадлежащих Р.Сили (см.х на стр.6), для псевдодифференцяальных систем с единым порядком всех элементов.

Как известно, даже целые степени систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу, не являются более системами этого типа. Это обстоятельство и создает главную трудность при изучении комплексных степеней таких систем. Тем не менее, удалось обнаружить, что комплексные степени Дуглиса-Ниренберга А2 подобны комплексным степеням некоторой диагональной системы Л. , такой, что полный" символ системы А равно как и ее комплексных степеней _Лг

суть диагональная матрица. Другими словами, существует такая обратимая псевдодифференциальная системаТ,что

А^ТАТ'1 и Аг = ТЛг Т"1 (19)

Г7

для Есех комплексных £ .В этом случае Т не зависит от 1 и А2 - определяется по упомянутой теории Р.Сили степеней псевдодифференциальных систем единого порядка, так как оператор А - диагоналей.

Формула (19) дает возможность применить все основные результаты Р.Сили о комплексных степенях скалярных эллиптических псевдодифференциальных операторов к системам эллиптическим по Дуглису-Ниренбергу. В частности в^ретьей глаЕе доказано, что $ - функция системы А , т.е. Д! Д^2 ( Лу - собственные значения А ) продолжается меро1»<Ьр|но по 2 во есю комплексную плоскость с не более чем простыми полюсами е точках 2- , где V

произвольный порядок элементов системы, расположенных на главной диагонали, а ^ = О, I, 2.....

Главным результатом третьей главы является теорема о диагона-лизации систем эллиптических по Дуглису-Ниренбергу. При этом для систем Дуглиса-Ниренберга сформулировано новое условие, обобщающее известное условие Агмона, которое обеспечивает существование резольвенты (А ) и оценку -щ ее нормы вдоль некоторых лучей е % плоскости, исходящих из начала координат. Хотя но-Еое условие не похоже на свой прототип, но оно обращается е него при равенстве порядков Есех операторов системы, расположенных на главной диагонали. Отметим также, что новое условие является сравнительно легко проверяемым чисто алгебраическим условием, налагаемым на главный симеол. В упоминашейся выше работе Г.Грубб, при оценке остатка в асимптотике спектра использовалось существенно более жесткое ограничение.

Четвертая глага посЕящена доказательству асимптотических формул распределения собственных значений с точной оценкой остатка для операторов, порождаемых эллиптическими краевыми задачами со спектральным параметром в эллиптическом уравнении и в краевых условиях.

В работах Плейеля и диссертациях его учеников Сандгрена и УдноЕа (см. **хх стр.6 ) изучались операторы, порождаемые краевыми задачами:

Ли= О с области р -Ли на границе Г,

(20)

-АЪ^ЛЪ в Я , = На Г (21)

( Л - оператор Лапласа, - оператор дифференцирования в

направлении внутренней нормали /V к Г ). Для этих операторов, в частности, были установлены при X -> + оо формулы

где п, ~ dU.ni 52,

И V ^ Д

</ и V ~ с0^ствешше значения соответственно задач (20) и (21). Доказательство этих формул занимает более трети объема диссертации Уднова.

Конструкция работы Уднова обобщалась Эрколано и Шехтером и независимо от них В.В.Барковским на эллиптические по Шапиро и Лопатинскому краевые задачи самого общего вида (см.обзор на стр. 6 ). Однако важные результаты относительно асимптотики N(X) никак обобщены не были.

В работе Н.Г.АскероЕа, С.Г.Крейна и Г.И.Лаптева рассмотрена еще одна спектральная задача

-АУ^Хи В Я у на Г (22)

Эта задача сохраняет все основные спектральные свойства задачи о малых колебаниях еязкой жидкости, находящейся в неподвижном сосуде и имеющей свободную поверхность. В отличие от (21) спектральный параметр Д в граничном условии находится при старшей производной, а в уравнении - А1< = А и при младшем члене. Это обстоятельство Елечет существование двух серий собственных значений, стремящихся соответственно к нулю и к бесконечности. Другая спектральная задача той же природы с двумя сериями собственных значений рассмотрена в ххх.

В х установлена лишь полнота системы корневых ЕектороЕ. Для асимптотики же собственных значений в монографии ** гл. У § 12, стр. 336 указаны лишь неявные формулы. Эти формулы устанавливают эквивалентность асимптотического поведения обеих серий собственных значений задачи (22) и собственных значений двух операторов, каждый из которых сравнительно сложно связан с (22). Явная асимптотика спектра не говоря уже об оценке остатка е х и ** отсутствует.

х-Чекеров Н.Г.. Крейп С.Г., Лаптев Г.И. ДАН СССР. 1964. Т.155,

№ 3, С.499-502. „ „ „ хх Крейн М.Г^Еедение в теорию не самосопряженных

ххх Гасымов М.Г.ЛДифр^енц.ур.,*1977. Т. 13, № I. С.23-28.

Целью четвертой главы является получение следующих асимптотических формул для спектра (21) с точными оценками остатка:

= при Л>А,

/и*. 1 + о(ъ*,х) л=а.

С Л О 1 ^

Для двух серий собственных значений задачи (22) { А; Ь=у

г ,Ооп со _ е е

и I Л^ » сходящихся соответственно к 0 и к оо доказано

также, что при Л + ^ и /г .2.

//•¿а) = ^ = ■ Д

/ / XXX

В соответствии с работами Дж.Эрколано и М.Шехтера (см.обзор

на стр. б ) рассмотрены также обобщения задач (20) (21) и (22) на эллиптические краевые задачи произвольного четного порядка с граничными условиями самого общего вида.

Для этих задач в четвертой главе также установлены асимптотические формулы для собственных значений с точными по порядку оценками остатка.

Автор глубоко благодарен В.А.Садовничему за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Кожевников А.Н. Спектральные задачи для псевдодифференциальных систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу и их приложения // Мат.сб. 1973. Т.92, й I. С.60-88.

2. Кожевников А.Н. Об асимптотике //(Д) краевой задачи с

\ е уравнении и в граничном условии //. Тематический сб.научных трудов МАИ. Методы теории дифферен.ур. и их прил. М., 1975. Т.339. С.81-87.

,3. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптической краевой задачи с Л е уравнении и в граничном услоеии // УЫН. 1976. Т.31, № 4. С.265-266.

4. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптических систем. // Функц. анал. и его прилож. 1977. Т.П, № 4.

С.82-83.

5. Кожевников А.Н. О связи между резольвентами трех эллиптических краевых задач. // Прикладная математика: Межвуз. тем.сб. науч.тр. Л., 1977. С.52-55.

6. Кожевников А.Н. Раздельная асимптотика двух серий собственных значений одной эллиптической краевой задачи. // Матем. заметки.

1977. Т.22, № 5. С.699-710.

7. Кожевников А.Н. Об асимптотике спектра эллиптических краевых задач. // Х1У школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. Новгород, НПШ, 1989. С. 21

8. Кожевников А.Н. Распределение серий собственных значений неполуограниченных эллиптических операторов. // Республиканский симпозиум по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Ашхабад.

1978. С.60.

9. Кожевников А.Н. Оценка остатка в асимптотике спектра и комплексные степени систем, эллиптических по Дуглису и Ниренбер-гу. // ДАН СССР, 1980. Т.254, № I, С.32-35.

10. Когечп'скоу А. Re.ma.Ltn/er •fore¿^en-уа£ие$ апс/ сотрвех. роууег5 о/ ¿кг 'зйост&ь-Мсгенвегр еШрИс. // Сет т. иг РагИа£ ■ .

у.е, /V. ю. г.

11. Кожевников А.Н. Об обратном операторе к оператору Стокса. // УМН. 1983. Т.38, № 5. С.168.

12. Кожевников А.Н. Об остаточном члене е асимптотике спектра задачи Стокса. // ДАН СССР. 1983. Т.272, № 2, С.294-296.

13. Кожевников А.Н. Об операторе линеаризованной стационарной задачи НаЕье-Стокса. // Матем. сборник. 1984. Т.125, № 1(9).

С.3-18.

14. Кожевников А.Н. О решении задачи Стокса внутри и ше сферы. // Методы матем. физики и задачи гидроаэродинамики. Тематич. сборник научных трудов МАЙ. М.: МАИ. 1986. С.32-36.

15. Кожевников А.Н. О решении задачи Стокса. // Методы матем. физики и задачи механики сплошных сред. Тематич. сборник научных трудов МАИ. М.: МАИ. 1988. С.4-7.

16. Кожевников А.Н. О второй и третьей краевых задачах статической теории упругости. // ДАН СССР. 1988. Т.Э02, № 6. С.1308-1312.

Техн. редактор Е.А. Смирнова

Л 15554. Подписано к печати 25.10.89

Буи. офсетная. Формат 60x90 1/16. Печать офсетная

Усл. печ. л. 1,39; уч.-изд. л. 1,50. Тираж 100

Зак. 28ос /5450. . Бесплатно *

Типография издательства МАИ

125871, Москва, Волоколамское шоссе,4