Распределенные обрывающиеся процессы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

санкт-петербургский ордена ленина и ордена трудового красного знамени государственный университет

На правах рукописи

ЕАДАЛОВ КаЗСМуДЖЗН ИбрЗГЕ»!0В!1Ч

УДК 519.9

РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ОЕРЫЗАШЕСЯ ПРОЕССК

Специальность: 01.01.II - Системный внадяз я

автоматическое управление

Автореферат

диссертации на соискзнае ученоЗ степени доктора физико-математических наук

Санкт-Пе тербург 1991

Работа выполнена в Намангакском государственном педагогическом институте им.Хамзы.

Официальные оппоненты: доктор ф.-м.н., в.н.с.

В.ВЛОЖНЕК.

доктор т.н., профессор Р.И.ТРУХАЕЕ,

доктор ф.-м.н., профессор В.Н.ШИШКОВ

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения АН СССР

Защита состоится " " еьн^&ьА 1995 года в

часов

на заседзнии Специализированного совета Д 0в3.57.33 по защите диссертаций нз соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10 линия, д.33, ауд.92.

С диссертацией мозко ознакомиться в библиотеке им.А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета (Университетская наб., д.7/9).

Автореферат разослан " ^' ц 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

А.П.ЖАНСО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕ'.М. Важным направлением исследований в кибернетике является изучение дискретных, ограниченных во времени процессов и в том числе решение проблем, связанных с управлением ими. В этой области появились сильно развитые научные теории. Примерами могут служить теория расписаний, языки Петря, многочисленные направления, связанные с дискретизацией непрерывных моделей, и многие другие.

Основополагэгоей причиной появления и развития методологии в указэнном направлении являются требования, связанные с решением практических задач в самых различных областях: планирование и управление производственными системами, лиспетчирование роботизированных комплексов, моделирование организационного управления, планирование и ведение экспериментов. К этому яе перечни кояно отнести объекты, которые достаточно хорозо описывается непрерывными моделями, работа с которыми достаточно сложна. В этом ы^чае часто используются дискретные модели эк-вивалентируемые непрерывным.

3 математике одной из первых дисцитлин, посвяденных изучению дискретных моделей, является безусловно исчисление конечных разностей. Начало этим исследованиям положил Л.Эйлер в задаче о приближении функций. Эти исследования были процолжаны П.ЛЛе-бышевым, А.А.Марковым, А.О.Гельфондом я многими другими отечественными и зарубежными учеными. При этом развитие аппарата конечных разностей повторяло развитие дифференциального исчисления в том смысле, что в обеих дисциплинах ставились и решались фактически одни и те же задачи.

- 4 -

Много вазснах и интересных результатов было получено в области теории систем разностных уравнений, являюсихся аналогом систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследовались также я управляемые системы разностных уравнений. В этой области фундаментальное понятие управления в логико-динамических системах, введенное В.И.Зубовым, положило начало новому направление: теории управляемых систем разностных обрыватахоя уравнений. В этой области известны работы О.В.Осипова, Г.С.Рожкова, М.С.Рахматуллаева, Г.И.Абесадзе, У.Якрамова, А.Х.Шералиева. Предает изучения в работах указанных авторов можно по аналогии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений назвать системами обыкновенных разностных обрывассихся уравнений.

Настоящая работа посвяпена практически неизученному вопросу о представления систем с распределенными параметрами, в том числе и управляемых, системами разностных обрыва игл хся уравнений. В этом направлении возникает ряд интересных и трудных проблем: задача суммирования фушшкй нескольких переменных, являющаяся обобщением постановки Л.Эйлера для функции одного переменного; корректная постановка задачи Копи для системы уравнений вышеуказанного типа с распределенными параметрами; управляемость и отыскание программных управлений; подходы к поста. новке и решению задач оптимального управления.

В заключенно отметим, что во всем мире растет интерес к задачам управления системами с распределенными параметрами, которые становятся все более и более необходимыми для описания сложных современных технологий и социально-экономического развития общества в целом.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ ЯВЛЯЕТСЯ построение целостной теории управ-

- 5 -

ляемых систем обрывавшихся уравнений в частных разностях.

таГОЛ ИССЛЕДОВАНИЯ основывается на понятиях управления ло-гико-динзмическими системами, введенных В.Я.Зубовым, нз задаче суммирования функций Л.Эйлера, на идее ступенчатого приближения и других элементов теории управляемых систем разностных обривавшихся уравнений, которые разрабатывались ряда.! авторов в НИИ Вычислительной матемзтикк и Процессов управления Санкт-Петер-бургсяого государственного университета.

Ступенчатое приближение играет аналогичнуо роль как и линейное приближение в теория управления для систем дифференциальных уравнений с управлением в правой части. Ступенчатое приближение позволяет перенести изучение свойств систем в частных разностях общего вида на ступенчатые системы в частных разностях с простой правой частыз. Лия ступенчатых систем в частных разностях существенно легче формулируются условия существования и единственности решений, необходимые условия упрагчяемос-та, представление обобщенной области начальных данных в задаче Коли, условия оп...мальности.

На основе понятия управления в логико-динамических системах действительно удалось найти достато.но простое представление программных и оптимальных управлений для широкого класса управляемых систем в частных разностях: обкего типз, автономных, автономных и независимо распределенных, абсолвтно суммируемых, ступенчатых.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы определяется постановкой и обоснованием проблемы суммирования функций многих переменных, а также методами ее решения; корректной постановкой и решением задача Ком для систем обрывающихся уравнений в частных разностях;

определением понятия множества единственности и единственности по направление; методами синтеза управляемых систем; разработанными методами получения быстродействующих управлений; необходимыми и достаточными условиями управляемости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Установлено существование неопределенной суммы для 01^ раниченной функции »и. действительных переменных, в виде ограниченной по совокупности аргументов функции и действительных переменных, при этом указано ее явное представление.

2. Установлено, что при условии равномерной сходимости многомерного ряда сдвига суммируемой функции сумка ряда является также реаением задачи сутжирования. Сумма ряда сдвига суммируемой функции является аналогом неопределенной суммы функции, введенной Л.Эйлером. При этом показано, что если суммируемая функция непрерывна, то и ее неопределенная сумма также непрерывна. Данная проблема для функции одной переменной была сформулирована А.О.Гельфондом и реаена О.В.Осяповшл.

3. Проблема решения для систем в частных разностях сведена к решению системы уравнений, которзя прямо строится по функцио-ь_лам обрыва, входящих в определение правой части системы в частных разностях.

4. Удалось установить границы множества единственности в области начальных данных, на котором возможна постановка и корректное решение задачи Коши для системы в частных разностях.

5. Даны конструктивные методы синтеза управляемых систем в частных разностях, которые лежат в основе практических приемов моделирования реальных управляемых дискретных и распределенных процессов.

- 7 -

6. Получены необходим« и достаточные условия управляемости системы в частных разностях в вице неравенств в силу ступенчатого приближения.

7. Получены системы уравнений в силу правой части системы в частных разностях на управление быстродействия для треугольных ступенчатых систем. Показана их разрешимость. Данный результат позволяет по теореме о ступенчатом приближении получать управления быстродействия для систем общего вида.

Г. Показано прилояеяие результатов диссертации к сетэьш.1 моделям. При этом впервые сформулировано понятие управляемого, динамического, распределенного, сетевого графика.

ТЗОРЗТЖСЧАЛ 'Л ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЛШОСТЬ. 3 области теории для систем разностных обрываспихся уравнений открыто и обосновано направление исследований, аналогичное математической физике относительно дифференциальных уравнений. В практических задачах появляется возможность учета многих факторов, влиявших ча протекание процесса, природа изменения и степень влияния которых неизвестна. При этом гарантируется качество управления в том смысле, что непредсказуемое изменение факторов (параметров) не повлияет на само качество управления.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзном совещании по проблемам управления (Ташкент, 19? 9 г.), республиканском семинаре по моделирование, идентификации, синтезу систем 5 равления химических и химико-метзллур-гических производств (Дяепропетровск-Алуата, 1990 г.), объединенном научном семинаре УзНПО "Кибернетика" АН УзССР (Ташкент, 19?9), семинаре кафедры "Моделирования сложных систем" факультета кибернетики Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко, кафедре "Информационных систем" факультета

- 6 -

Прикладной математики - Процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-16

СТРУКТУРА И ОВЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заклсчения и спаскз литературы, включающего 89 наименований. Обьем работы - 178 страниц.

СОДЗР2АНИЗ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ содержит актуальность работы, краткий обзор предшествующих исследований, характеристику объекта исследования, предмета исследования, обсей методики исследования, научной новизны работы, практической ценности и основных положений, выносимых на защиту.

В первом параграфе ГЛАВЫ I излагается ретроспективный обзор по проблеме суммирования функций.

Задача солирования функций возникла в численных методах я восходит к работам отечественной математической школы (Л.Эйлер, П.Л.Чебыаев, А.А.Марков). В современной трактовке данная задача рассматривается в исчислении конечных разностей А.О.Гель-4^ндом и Я.С.Еезиковичек.

Неформальная постановка задачи суммирования функций (Л.Эйлер) заключается в следующем. Пусть задана измеримая (в классической постановке - непрерывная) функция вещественного переменного £(*), определенная на всей числовой оси Я . Пусть у оператор восходящей разности V^(:,l:) = ~5(*-',)> где

к. >0 постоянный шаг разности. Требуется найти функцию

, определенную на числовой оси К , такую, что выпод-

кяется соотношение

V F(= f(x~>, х 6 R .

(i)

А.О.Гельфондом отмечается, что вопросы существования неопределенной суммы в общем случае остаются открытыми. С использованием современных подходов к некорректным задачам (А.Н.Тихонов, В.К.Иванов) и операторным уравнениям (В.П.Танана) осуществлена постановка задачи суммирования ограниченных я измеримых функций.

Теорема. (О суммировании функций). Дяя любой ограниченной измеримой функции существует ограниченная измеримая

функция Г (х ) . определяемая с точностью до произвольной периодической функции М'^'*) с периодом, равным шагу разности К > О , такая, что

V Г(Х) = ¿(х)

Укажем на одно из представлений неопределенной суммы функции

*?(*)-эсли

к- 1

если

Х( [хв,ха*k),

f(x) =-< ,

К(*, к)

Ч(х)* если xs[x.-Я,«-0),

h.= i

где к(х, It) есть функциональный индекс, определяемый в виде

- 1С -

К(«)= » <

ц^и-1, еслй

ко центр решетки хо * и, , и. = о, г, ...

Задача суммирования функций является необходимым лагом в решении задачи суммирования систем разностных обрывающихся уравнений.

Под системой разностных обрывавшихся уравнений понимается система:

- 1>л>о, (2)

где V оператор восходящей разности, ) неизвестная вектор-функция размерности Ы , определяемая на действительной полупрямой к > О , правая часть $ < $ ) покомпонентно определяется в виде

£ ({ и) = \ 0 ' если "№;(3>л(3>],

г"е ) I = 1, Ж неотрицательные, ограниченные, измери-

мые функции, задзнные на действительной полупрямой {.

( 2 ) » неотрицательные, ограшгченные функционалы на

множестве решений с ограниченными, измеримыми и неотрицательными компонентами.

Для формулировки достаточных и необходимых условий существования решений системы (2) вводятся следующие понятия:

= .....^О. "»ре»

, I обозначим вектора той же размерности, имеющие в качестве своих компонент неотрицательные постояннее Т.* , {* .

I ' ( »

- II -

I = 4, т . Параметрическое семейство тел: г) вектор-функций ч»(, , Г") € О размерности Ш определяется выражением для компонент

Ч<

1 ' 1 I Ч>иЫ) , если^«,

где и ( ^ ) ограниченные и измеримые функции, опре-

деляемые на действительной полупрямой I > 0, а параметры * ,■ ограничены сверху положительными константами ^ , ^ . , £ » ш . множа ство вектор-функций с ограничен-

ными, измеримыми и неотрицательными компонентами.

Теорема. (О существовании ойрываисихся решений). Для существования решений системы (2) в необходимо и достаточно, чтобы система

' И* а, г

имела решение (1"*» I ) на параметрическом семействе (^Г^ ) задаваемом в сил' системы (2) соотношения з

1

V.. (4) = .

^ „(<>-*<*,<*>) (4)

На!

для 4 е (к(Ок , кШК - и , ^ > Ь .

После решения системы (3) для у. (I) будем иметь явное представление

Г . . если Г ],

К(Ь- КС?!_)

ЧлЬ «-¿I), если ¿€(тД /.*] .

- 12 -

Решение системы (2) имеет вид , ] ' если I Ы.

>а\Ч11) и {к,«-) .

Вводится в рассмотрение область начальных значений

■ <| ' ((}о,''"' Иит)' ¿»I неотрицательные постоянные

и интервал Т = [о,оо) г { е Т

Под областыз начальных данных понимается декартово произведение

С - У * I .

^о 'от

Под тривиальным решением системы (2) понимается решение £ (-0-, все компоненты которого для представляет неотрицательные константы.

Под нетривиальным решением системы (2) понимается решение, у которого по крайней мере одна компонента не является константой в С0 .

Теорема. (О единственности в Ср ). Пусть выполнены условия теоремы о существовании решений. Тогда имеет место единственность:

1. во всей области Са для тривиальных решений,

2. в сужении области Св по начальным данным * > I е -I, ш для нетривиальных решений. - некоторые константы,

• обуславливаемые системой (2).

Теоремз. (О множестве единственности). Пусть выполнены необходимые и достаточные условия существования решений системы (2). Тогда в области начальных данных С0 содержится множество единственности В - В У Е, . представлявшее объединение двух

I «

непересекающихся локально-компактных множеств, из которых по крайней мере одно не пусто. Многообразие решений системы (2),

- 13 -

порождаемое начальными паяными ( уд , т?0 ) € Е( , содержит только тривиальные решения системы (2) и является подмножеством мно-¡гества всех тривиальных решений системы.

Логика рассмотренных исследований указывает на возмозность эффективного рассмотрения задачи суммирования функций многих переменных.

Во втором параграфе рассматривается ограниченная функция !н действительных переменных j( х, ,..., ) , определенная в {Г.

Введем в рассмотрение оператор восходящей разности смешанного типа порядка ы

Vм =У7..."7 (5)

где 1V, оператор восходящей разности с шагом >0 ,

Определение I. Порядком суммирования функция ж действительных переменных будем называть вектор компоненты которого представляют целые неотрицательные числа.

Определение С. Функции И1 действительных переменных будем пазывзть равномерно-периодической, если для любых значений аргументов я для каядого I = < , М выполняется

I? ( х, , ... , *. - к. , ... , хт ) = Ч(х, ) .

Соответственно функцию 1П действительных переменных будем называть квззя-пераодической, если хотя бы для одного £ « т выполняется соотношение

Ч(х,,..., х. хы) = Ч»(*......*«) .

для любых значений аргументов х _х т .

Введем следующие обозначения для записи многомерных рядов сдвига функции £( х, ,!.. , Полагаем для сокращения запи-

сей хо - о .

если л:

г * bf

1,-i

Lf "1 r I V

Нэ пишется, если

V. î? = i

если

где

- <г?-

если Ь} ,

если х}*[о, Ц) , если х^ «4 0.

** » -

Теорема. (О суммировании функций многих переменных). Для измеримой и ограниченной по совокупности аргументов функции (п действительных переменных ^ (*, , *т) всегда существует неопределенная суша в виде измеримой я ограниченное по совокупности аргументов функции Ж действительных переменных

*, , .. • > ) , определяемой с точность» до квази-перио-дической функции И переменных в обобщенного порядка суммирования

гг*. .....*„> ... 2гг| <ч.....**«« >.

*г1 V4 1

В третьем параграфе ГЛАВЫ I рассматривается связь решения вадачи суммирования функции № переменных с классической постановкой Л.Эйлера

Рассмотрим бесконечный порядок суммирования:

«о

S (Я......У• ч(*......»-) -vÇ«

**

(6)

Рассматривается область

S « (*, < •

<; о, , >о

) Я

Если неравенства заданы неупорядоченно, то есть во как в области 5 . то можно первобозначить аргумента так, чтобы вд-поднялось их упорядочивание, принятое при задания области Б .

Теорема. (О предельном суммировании функции многих переменных). Пусть ряд сдвига функции 5 (6) равномерно сходится в области 5 • Тогда суша ряда сдвига является ращением задачи суммирования функции § с точностьо до равномерно периодической функции V . Если к тому га суммируемая функция непрерывна, то предельная неопределенная сумма функции $ может быть получена в виде непрерывной функции за счет выбора непрерывной равномерно периодической функции.

Приведены примеры суммирования функций и» переменных.

' В первом параграфе ГЛАВЫ 2 решаются вопросы, связанные о существованием решений систем обрывастахся уравнений в частных разностях.

Рассматривается система

Vй= ¿»¿/>0, (?)

где ж ■ С , •• - • *>1) е К" , - аг ^ х1 * «о®, ,

. *) = ( ^ (4,*) | • • • ({■, х) ) неизвестная вектор-функция им действительных переменных, У*' "V смешанный оператор восходякей разности порядка /V , //4 и■»/, правая часть системы §(.1, )- '■р. -.^М.*.])) определяется покомпонентно в виде

{О , если Жц),

, если (/.*>€ г.ц),

где ({, <"» 1, т ограниченные, измеримые, неотрицатель-

- 16 -

ные функция i+h + (п переменных, определенные в

•и** =

и о

Здесь X знак декартова произведения Н интервалов, X просто знак декартова произведения; > 1 = Ом специальные

области нетривиального задания системы (7), определяемые соотношениями

- , *<VHR?, ИМ-,и

I __J об d а <1 ■>

где\ig> > "t. (g1), i » i,vn неотрицательные, ограниченные функционала на вектор-функциях ^ff, *) , а , • j = ограниченные по'модуле функционалы на вектор-функциях ^ (1, *). • Обозначим

f-c^r.--.^) , .....с).

§-(?<;,.->%;), ij).<1=^.

Определим семейство "ЧК вектор-функций И--и переменной и 2{h+t) параметров v(i.»,j>*) * л,*?*, i*

= ( , ... , j>*>')/ компоненты которых заданы соотноиениямя

fV., </, =0, если б ^ ,

<*'*../> ) = если Ж/ ,

где '¡-!f и V;2 ограниченные и изиеркшэ функции, определенные в R^ = £о,«) х ( , £ ) 3 . Компоненты { неот-

рицательны, а компоненты ^ * , ЗТ tekss положительны.

Считаем, что на семействе УИ^ также определены функционалы

Будем считать, что функция н н+т переменных

принадлежит классу ограниченных измеримых функций 3(Уп+и-и) )

- 17 -

и определена в + , а *) функ-

ция, определенная в Я п , принадлежит такому аз классу ^и,*) £ п*>) • В классе й(т+н*1) будем рассматривать

подкласс функций 6- с 3(И1+н-* /), у) & &■, для которых

выполняется соотношение

ЧН*.*) - + *)), «'-сд (8)

по крайней мере для одной функции ч>( »О б С7(н + 1) .

Теорема. (О существовании решения систем в частных разностях). Пусть для функций в правой часта системы (7) выполнено (8). Дм существования решения системы (7) при //я 11*1 необходимо я достаточно, чтобы система уравнений

Ч ( ЧЧ {. X, я «с* >

»./>)-__

,*./)) - ^ . Г«.« ,

ЗгС^,*, Г)) - ■§{* ,

имела решение = I* , ..., Т*»"-»^' яа С8МЭ8СТА ве параметрических функций в силу системы (7)

Ч^М,*)« при и,*-) ё

Т • * *

lr- ИЧ. «ФН1" j , «(ï^Llj,

где if. (t, ж) = tf.(i, я,.....г «■) равномерно периодические

функции с обобщенным периодом к » ( ^ , !»,...., lih) . i. ïThî.

При этш дается представление для решения системы (7) в явном виде.

В параграфе два ГЛАВЫ 2 рассматриваются задачи, связанные с преодолением некорректности по Адамару относительно единственности рекениВ системы (?). Методологической основой решения проблемы единственности является перечень .ограничений, сухаюсий класс регений система (7).

В параграфа три ГЛАВЫ 2 детализируются условия единственности решения системы (7). Существенным является использование ступенчатого приближения.

Рассматривается частный случай системы (7) в виде ступенчатой системы (ступенчатое приближение), когда

'О - а1;-1.......

Здесь функция задана константами на решетке £ € 3 ,

t f ih е 3-{o,tt,...а функционала обрыва назначены в виде констант.

Характеристическая константы и функции ступенчатого приближения примут вид

= | « • Гт J

......I^« <.....

- 19 -с Л-1.....~ +

у. = Уиах | А. г.....л

и легко определимы.

Теорема. (О множестве единственности в + ^чт ). Пусть выполнены условия теоремы существования решений системы (7). Тогда

1. в области нзчзльных данных существует множество единственности Е - Е, и Ег вида

£¡=1 9.)К<Ы , 7. '<%.<!(, [¿.мг. Ег~-о*1. • . ¿'V". г-^ ].

2. по крайней мере одно из множеств £, или не пусто

3. Е1 и Ег локально-компактные мноязст'ва ,

4. лсбое решение с начальными данными хотя бы по одной из компонент из проекции £,; множества ¿?

* -т.-.. и!

будет представлять нетривиальное решение ,

5. лсбое решение с начальными данными только из £г будет представлять тривиальное решение ,

6. решения системы (7) с начальными данными из Е единственны в £ в обычном смысле (то есть не шест точек пересечения):

не сувязствует (?, х.Ч) при { {0 , *„ , н) ^ х< у)

» _ 1 v ' О У 0 * Уф / 9

что 3(?.г. д.)

В параграфе первом ГЛАВ11 3 дается определение управляемой

системы в частных разностях:

а (го)

- 20 -

Здесь х = ( х......) , - * ^ с ( г - Ï7K ,

^(¿.эг)» С^, эс),..., (i, * ) ) неизвестная вектор-функция lui действительного аргумента, V - ^'V смешанный оператор восходящей разности порядка А','■*//* и+i f правая часть системы j(i,xtg.u) = ^ " ), ..., определяемая покомпонентно в виде

d L^'.^.O-tt, , если а.*)б7.ц) ,

где у,i5>о , ограниченная функция

аргументов, измеримая и определенная в

—i »

при а£ с В£ , i-vS, , я« К {*.«. 3) >••• »

Sn С ^ >■ *. g ) ) управление, представлявшее, вектор-функцию ' U. ( i, к> tj ) с ограниченными и измеримыми компонентами Oé ( х, 1, t-TTin подчиняющимися условию нормировки

^ (у) , î'= /7w области, определяемые соотношениями

где Т. , é<<g) , t'îTTn неотрицательные ограниченные функционалы, a ^-(¿j) > S-ig), t'-iTSi , ■Гй- ограниченные по модулю функционалы на вектор-функциях =) с ограниченными и измеримыми компонентами.

Вводятся следующие ступенчатые приближения для системы <1°>= у/

V $tf,x) = L(i. «-) (II)

ГО, если ......, если

, (О, если <

(Ь, зс.ч, А ¿4.,,.......

^ 1-2 -и., если а.х) Л? (3) ,

где константы А и А определяется в силу системы (10). .

Теорема. (0 ступенчатом приблияении). Пусть заданы: система (10) с управлениями из некоторого допустимого класса управлений, начальные данные в и множество достижимости. Тогда для того, чтобы существовало программное управление для системы (10) необходило, чтобы программное управление существовало для ступенчатого приближения (II), и достаточно, чтобы программное управление существовало для ступенчатого приближения (12).

В параграфе втором ГЛАВЫ 3 дастся необходимые и достаточные условия управляемости.

Теорема. (0 необходимых и достаточных условиях управляемости). Пусть система (10) удовлетворяет условиям теорем существования и единственности. Пусть заданы начальные данные с и отделимое от них множество достижимости. Дня того, чтобы система (10) была точечно управляемой необходило, чтобы тлело место неравенство в силу ступенчатого приближения (II):

[к(Г> П[к(Г,- К(ЛГ% £ и.-м

сГ а * 1 ' 1

и достаточно, чтобы имело место неравенство в силу ступенчатого приближения (12):

I ftl*H

ттт~ ^ • ^ г. ~

- i

«

I Min _ •"•■к , тл* _ ma* mi к. _win

где f ? 4 , <t , i. 7.

i ' J ' J

определяются в силу системы (10).

В параграфе третьем главы 3 рассматриваются некоторые задачи синтеза управляемых систем. Для треугольных ступенчатых систем, имевших важное значение в приложениях, даны постановки и решены задачи синтеза с заведомо гарантируемым свойством управляемости для двух случаев: систем с назначаемой интенсивностью, систем с назначаемыми функционалами. Результаты по теореме о ступенчатом приближении переносятся на общий случай.

В первом параграфе главы 4 сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях управляемости для треугольных ступенчатых систем, из которой получено важное в приложениях следствие.

Следствие I. (Из теоремы об управляемости треугольных ступенчатых систем). Множество программных управлений для треугольных ступенчатых систем является открытым множеством вида:

0 С 1 , I - 4Тж t ч ... - = i

в имеет соответственно границы (по каждой компоненте) 0 и I.

Во втором параграфе главы 4 поставлена и решена задача быстродействия:

i° = T(U„) - iM^l = lr"'h

" ui ру t*i,w ' Mfpy '

- 23 -

которая сводится к решении систем уравнений с всегда существующим и единственным решением на управление, оптимальное по быстродействие.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБ0ТА1

1. К задаче бнстродействия для систем разностных обрывавшихся уравнений. - Деп. в ВИНИТИ, & 2442-В, от 07.05.90.

2. Ретроспективный обзор по проблемам суширования функций. - Деп. в УзНИИНТИ, Я 1130-Уз, от 16.11.69.

3. Ряд сдвига функций многих переменных. - Деп. в УзНЙИНТИ, а 1139-Уз, от 17.12.89.

4. Корректность суммирования функции многих переменных. -Деп. в УзНИИНТИ, » 1183-Уз, от 13.02.90.

5. Существование решения систем обрывавшихся уравнений в частных разностях. - Деп. в УзНИИНТИ, й 1419-Уз, от 03.04.91.

6. Обобщенные области начальных данных. - Деп. в УзНИИНТИ,• а 1387-Уз. от 28.12.90.

7. Управляемые системы уравнений в частных разностях и ступенчатые приближения. - Деп. в УзНИИНТИ, й 1418-Уз, от 03.04.91.

8. О существовании решений систем обрывакцяхея уравнений в частных разностях. - Докл. АН УзССР. - 1990. - Я 5.

9. К единственности решения систем, обрывающихся уравнений в частных разностях. - Деп. в Уз.НИИНТИ, К 1389-Уз, от

28.12.90.

10. Необходимые и достаточные условия управляемости системы в частных разностях. - Деп. в 'УзНИИНТИ, й 1497-Уз, от

27.09.91.

- 24 -

11. Синтез управляемых систем в частных разностях. - Деп. в УзНИИНТИ, » 1496-Уз, от 27.09.91.

12. Об управляемости систем обрывавшихся уравнений в частных разностях // Тез.докл. XI Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики - Волгоград, 1990 г.

13. Программное управление для систем обрывающихся уравнений в частных разностях // Тез. докл. XI Всесоюз. совещания по проблемам управления. - Ташкент, 1989.

14. Управляемость систем обрывающихся уравнений в частных разностях // Матер, семинара "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химико-металлургических производствах". - Днепропетровск-Алушта: АН УССР, 1990.

15. Устойчивость решений систем обрывающихся уравнений в частных разностях / Сб. "Теория оптимальных решений". - Вильнюс, 1990. - Т.12.

16. О моделировании дискретных обрывающихся процессов / Сб. "Негоды теории дифференциальных уравнений и их приложения" / Мордовский ГУ. - Саранск. - С.22-26. - Деп. в ВИНИТИ, й 3639-В, от 05.09.91.

17. Задача управляемости систему обрывавшихся процессов (Совместно с Э.Алиевым) - Узбекский хурнал "Проблемы ин*орнатихи и энергетик;!* - ¡993, I 2, стр 17-22

!(). Устойчивость ревений системы обрывавшихся уравнений -V республиканской конференции "Метода, модели и системы ойрайотки и анализа данных." 1992, стр. 202-208

19. 0£ единственности реиекий системы ойрывавзихся уравнений в частных разностях - Докя. АН респуй/шки Узбекистан 1993 Б 3