Распространение и рассеяние упругих волн в клиновидных областях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М-В.Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

Шанин Андрей Владимирович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЯХ

(специальность 01.04.06 — акустика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор В.А.Красильников

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Ю.Н.Бобровницкий,

к.ф.-м.н. М.А.Миронов,

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

Защита диссертации состоится " Нел. 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета К053.05.92 отделения радиофизики физического факультета МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, физический факультет, аудитория ■Ь''^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан яум 1997 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К053.05.92 отделения радиофизики к.ф.-м.н. ' Лебедева И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Клиновые волны представляют собой волноводные моды, локализованные вблизи ребра упругого клина и распространяющиеся со скоростью, меньшей скорости объемных и поверхностных мод, существующих в материале. Эти волны представляют определенный интерес для практики. Возможно применение клиновых мод для неразрушающего контроля механических деталей, содержащих кромки, для создания резонаторов и фильтров и т.д. Особый интерес представляют антисимметричные волны в остроугольных клиньях, поскольку эти моды обладают низкой скоростью распространения и высокой степенью локализации.

Использование клиновых волн в дефектоскопии и других приложениях требует детального рассмотрения процессов отражения этих волн от препятствий, а также рассеяния на дефектах ребра клина. При этом возникают теоретические задачи получения основных соотношений, описывающих процессы отражения и рассеяния клиновых волн, а также построения математических моделей, позволяющих эффективно рассматривать те или иные физические ситуации.

С другой стороны, математические проблемы, касающиеся распространения клиновых волн, тесно связаны с давно изучаемой задачей дифракции упругой волны в клине. Эта задача пока не имеет аналитического решения, хотя развита целая гамма теоретических подходов к ней. В то же время, интерес к задаче о дифракции упругой волны в клине связан с большим количеством родственных проблем акустики и радиофизики, таких как теоретическое описание дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом клине, дифракции акустической волны в жидкости на упругом клине и т.д. Очевидна связь этих задач с радио- и гидролокацией. Между тем, все эти проблемы имеют одинаковую математическую природу, характерную для описания волн, распространяющихся с различными фазовыми скоростями в секториальной области.

В диссертации решаются основные задачи рассеяния клиновых волн на различных препятствиях, а также развиваются новые теоретические подходы к задаче о дифракции упругой волны в клине.

Цель работы

Цель работы состоит в: 1) решении основных задач рассеяния клипо-

вых волн на дефектах остроугольного и тупоугольного клина, 2) развитии новых теоретических методов решения задач дифракции в угловых областях.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты.

• Методом геометрической акустики исследовало влияние слабой анизотропии упругих свойств материала на скорость распространения клиновых волн в остроугольном клине. Показано, что в первом (по величине анизотропии) приближении возникает коэффициент в выражениях для скорости, одинаковый для всех клиновых мод и обусловленный усредненным значением скорости изгибных мод. Вторая поправка к скоростям мод оказывается зависящей от номера моды.

• Решена задача о рассеянии клиновой моды на малом дефекте ребра. Построены коэффициенты рассеяния падающей волны во все клиновые моды. Показано, что для дефектов типа выемки амплитуды рассеянных мод пропорциональны квадрату глубины выемки.

• Приближенно решена задача об отражении клиновой волны от торца остроугольного упругого клина. Рассеяние п-ой антисимметричной моды происходит во все моды, однако с помощью численного расчета показано, что большая часть энергии рассеивается в моду с тем же номером. Вычислена фаза рассеяния в моду с тем же номером и показано, что эта фаза весьма слабо зависит от номера моды.

• Решена задача о рассеянии изгибной волны на поверхностной трещине упругой пластины или остроугольного клина с учетом контактной нелинейности, вызванной движением берегов трещины.

• Исследованы функциональные уравнения, описывающие возбуждение и распространение волн в упругом клине. Получены асимптотические решения этих уравнений в двух случаях — угол раскрытия близок к 0° и 180°. Показано, что в случае остроугольного клина из функциональных уравнений следует уравнение изгибных колебаний тонкой пластины переменной толщины. Для случая тупоугольного

клина решена задача возбуждения клиновой волны силами, приложенными к граням клина, а также задача рассеяния на малой выемке ребра.

Перечисленные выше результаты являются новыми и получены впервые.

Методика исследования

Диссертация представляет собой теоретическое исследование линейных граничных задач теории упругости. Задачи, связанные с остроугольным клином, исследуются в рамках теории тонких пластин переменной толщины, а также методом геометрической акустики. Для рассмотрения задач, связанных с клиньями произвольного угла раскрыва, используются функциональные уравнения, связывающие значения преобразования Фурье поля на гранях клина. Важным ограничением, дополняющим функциональные уравнения, является условие аналитичности неизвестных функций в определенной области. В связи с этим, для решения функциональных уравнений используются методы теории функций комплексной переменной.

Апробация работы

Полученные в диссертации результаты докладывались на научных семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ, в Институте проблем механики РАН, на семинаре Восточно-Европейской Акустической ассоциации в С.-Петербурге.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты, описывающие рассеяние клиновых волн, могут быть использованы при проектировании фильтров, резонаторов и систем нераз-рушающего контроля, использующих клиновые волны. Методы исследования функциональных уравнений, развитые в диссертации, могут оказаться полезными при построении аналитического решения различных задач дифракции на клине.

Защищаемые положения

1. Теоретическое описание основных задач рассеяния клиновых волн на дефектах.

2. Методика вывода и решения в предельных случаях функциональных уравнении, описывающих волны в упругом клине.

Публикации

Основное содержание диссертации изложено в 7 публикациях, список которых приведен в заключительной части автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы, за^ ключения, двух приложении и списка цитированной литературы из 86 наименований. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста шрифтом 12р1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 диссертации приводятся результаты, касающиеся различных вопросов распространения и рассеяния антисимметричных клиновых мод в остроугольном клине.

В разделе 1.1 исследуется влияние упругой анизотропии материала, из которого изготовлен клин, на скорости клиновых мод. Рассмотрение проводится в рамках геометр о- акустической модели. Полагается, что обратная фазовая скорость изгибной волны в тонкой пластине перемен-нной толщины (представляющей собой остроугольный клин) зависит от локальной толщины и угла распространения следующим образом:

с-1(А,о) = (1+ед(о))с-1(Л,0), с(Ь, 0) = V АКи>.

Здесь а — угол распространения волны, отсчитываемый от направления ребра клина, с(/1,0) — скорость изгибной волны в направлении ребра клина, к — локальная толщина пластины, пропорциональная расстоянию до ребра, А — функция упругих констант, и — круговая частота, д(а) — функция, описывающая угловую зависимость фазовой скорости от направления распространения, е — малый параметр.

Применяя известную методику геометро - акустического расчета вол-новодных мод и учитывая, что сдвиг фазы изгибной волны при ее отражении от ребра составляет тг/2, а при отражении от простой каустики

—7г/2, получаем в неявном виде дисперсионное уравнение волноводных мод:

«) ~ Р2}1'2^ = г™,

где к(х, а) — волновое число изгибной волны на удалении а: от ребра, /3 — проекция волнового числа на направление ребра клина, хп — точка поворота.

Решение строится в виде асимптотического ряда по е. Показано, что в первом приближении скорость клиновой моды определяется соотношением

с„ = 2Ап0(1 + 2а0е)-\

где п — номер клиновой моды, в —угол раскрыва клина, ао — среднее значение функции д(а), определяемое соотношением

ао = - Г д{а)Ла.

Первая поправка к скорости не зависит от угла раскрыва клина и номера моды.

Кроме того, в разделе 1.1 диссертации вычислена вторая поправка к

скорости по е, она зависит от номера моды и в ее выражение входят высшие коэффициенты разложения функции д(а) в ряд Фурье.

Приближение геометрической акустики обладает физической наглядностью и позволяет получать важные результаты относительно простыми методами, однако это приближение не позволяет рассматривать граничные задачи, к которым относятся все задачи рассеяния. Это заставляет пользоваться моделью, в рамках которой остроугольный клин рассматривается как тонкая пластина переменной толщины, и для описания изгибных колебаний используется хорошо развитая теория тонких штакетин.

В разделе 1.2 диссертации описана оригинальная методика вывода граничных условий для уравнения колебаний пластины переменной толщины. Идея вывода состоит в следующем. Известное уравнение движения тонкой пластины остается справедливым при произвольной зависимости толщины пластины, плотности и упругих констант от координат. При этом уравнение движения имеет самый общий вид:

¿н = р,

где w — поперечное смещение пластины, L — дифференциальный оператор, Р — внешние силы, приложенные к пластине.

Предположим, что на границе пластины упругие константы скачком изменяются от их постоянных значений на пластине до нуля. В этом случае результатом действия дифференциального оператора в левой части уравнения движения будет сумма регулярной (ограниченной) составляющей и некоторой комбинации распределенной на границе дельта-функции и ее производных. Граничные условия получаются в результате приравнивания коэффициентов при дельта-функции и ее производных к нулю.

В разделе 1.3 решается задача о рассеянии клиновой волны на дефекте ребра остроугольного клина типа неглубокой выемки. Используется уравнение движения тонких пластин:

MXSjXX + Мтт - 2МХУгщ = -тп(х, y)u2w, (1)

М„ = -D{wjX + <т-шт), Муу = -D{w,yv + <r«v*)>

Мху - D( 1 - <г)и»Л, D = Eh3/12(1 - or2), m = ph.,

где it) — поперечное смещение пластины, х — расстояние до ребра клина, у — координата, отсчитываемая вдоль ребра клина, р — плотность материала клина, h — локальная толщина клина (пропорциональная расстоянию до ребра), Е и <г — модуль Юнга и коэффициент Пуассона маг териала.

Используются граничные условия, выведенные во втором разделе.

Решения уравнения (1), ограниченные при х —оо выражаются через функции Куммера:

i = -1 ± [у - 2)^/2, , 3(1 — tr)p

где (J. - модуль сдвига материала, ¡3 - проекция волнового вектора на ребро клина.

При £ = 0,1,2,... это решение переходит в волноводные моды, ограниченные на ребре. Функции Куммера в этом случае выражаются через полиномы Лагерра.

Для решения задачи рассеяния клиновой волны на выемке используется процедура сноса граничных условий на ребро клина. После этого с помощью преобразования Фурье вычисляется спектр по переменной у рассеянного поля. Вклад волноводных мод определяется вычетами спектра.

В качестве примера рассматривается задача о рассеянии низшей вол-новодной моды единичной амплитуды на прямоугольной выемке. Для рассеянного поля вдали от выемки получено выражение в виде суммы волноводных мод:

2р„х)<г^

«/* = -еда £

п=о 2п2 + 4п + 3(1 - <т)

-АДО)

А -А

8ш((/?0 + Д,)//2) А) + Рп 6

3(1 - а>)р

Е^в(4п2 + 8п + 6-6аУ

где /3„ — волновые числа волноводных мод, Ьхп — полиномы Лагерра, Л — глубина выемки, I — длина выемки, 29 — угол раскрытия клина.

Полученное выражение имеет ясную структуру. Множитель в квадратных скобках связан со спектром граничных условий, перенесенных на ребро клина. Кроме того, из полученной формулы следует, что амплитуда рассеянных мод пропорциональна квадрату глубины выемки.

В разделе 1.4 рассматривается задача об отражении клиновой моды от торца остроугольного клина. Сложность поставленной задачи заключается в том, что граничные условия на торце имеют различную четность, что не позволяет использовать метод отражения для построения рассеянного поля.

Схема решения задачи об отражении клиновой волны от торца такова. На первом шаге необходимо вычислить значение смещения и его нормальной производной на границе. Для приближенного вычисления этих величин исследуется структура падающей клиновой волны. Как упоминалось выше, зависимость поля клиновой волны от расстояния до ребра клина выражается через полиномы Лагерра. Используется асимптотика полиномов Лагерра:

Ь\Хг) = х-^Л-^/ЧсоКг^ _ Зтг/4) + 0(1/^]-

Появляется возможность рассматривать поле падающей волны вблизи торца как плоскую волну с определенным локальным волновым числом. Легко решется задача об отражении плоской волны от торца. В результате удается приближенно вычислить значения поля и его нормальной производной на границе.

На втором шаге вычисляется функция Грина для клина, не имеющего торца. Для этого производится преобразование Фурье по переменной у и разложение в ряд по полиномам Лагерра по х. Результат есть:

П(хх'уь')-- 1 Г Г

где х',у' — координаты точки излучения, х, у — координаты точки наблюдения, ст — скорости клиновых мод, определяемые как ст — ы/(Зт.

На третьем шаге применяется теорема взаимности, позволяющая по известным значениям поля и его нормальной производной на границе, а также по значениям сил и моментов, действующих на границе, определить поле в клине.

Производилось численное интегрирование, в результате которого определялись коэффициенты рассеяния п-ной клиновой моды в ш-тую. Результаты рассеяния мод с номерами с 8 по 12 приведены на рис.1. Из представленных данных видно, что большая часть энергии падающей волны рассеивается в моду с тем же номером.

Была вычислена фаза рассеяния клиновой моды в моду с тем же номером. Данные для различных мод приведены на рис.2. Видно, что фаза рассеянной волны слабо изменяется с номером моды.

В разделе 1.5 анализируется задача рассеяния изгибной волны на поверхностной трещине тонкой пластины или клина с учетом нелинейности, вызванной движением берегов трещины. Важной особенностью данной задачи является наличие в спектре рассеянной волны высших временных гармоник падающей волны. Особый интерес представляет вторая гармоника. Известно, что в однородной, лишенной дефектов пластине генерации второй гармоники не происходит. Этому препятствует сильная дисперсия изгибной волны, а также свойства симметрии изгибных волн. Поэтому генерация второй гармоники может быть связана лишь с наличием дефектов, нарушающих симметрию пластины.

Для описания генерации рассеянной волны поверхностной трещиной необходимо вывести уравнение изгибных колебаний пластины с трещи-

ной. Для этого используется вариационный принцип Лагранжа. При этом из упругой энергии пластины вычитается энергия раскрыва трещины. Очевидно, этот вклад присутствует только в случае открытой трещины. После этого обычным способом строятся уравнения Эйлера^ Лагранжа. Для трещины, расположенной вдоль оси х, глубина которой слабо изменяется с координатой, уравнение движение выглядит следующим образом:

Мхх>хх + Муу<уу - 2Мху^у - ркги = —ЕА(<т)а2}12@(—'ш1уу\у=о)&"(х)и):уу\у=а,

где а — глубина трещины, к — толщина пластины, 0 — функция Хеви-сайда, А (а) — безразмерная константа, моменты Мхх, Муу, МХу определяются как в уравнении (1).

Считая рассеянное поле малым по сравнению с падающим, можно решить задачу в первом приближении, подставив в правую часть падающую волну. Разложив правую часть в ряд Фурье и ограничившись вкла-

V Г» V

дом второй гармоники, можно наити рассеянное поле. В простейшем случае одномерной задачи и однородной пластины амплитуда рассеянной волны пропорциональна комбинации а?ко/к, где ко — волновое число падающей волны. С помощью построенной в предыдущем разделе Функции Грина решается задача о рассеянии клиновой волны на трещине, расположенной на поверхности остроугольного клипа.

Во второй главе исследуются возможности метода функциональных уравнений в теории дифракции в угловых областях. Рассматриваются плоские задачи, среди которых есть как скалярные, так и тензорные.

Процедура вывода функциональных уравнений для плоских задач с прямолинейными границами такова. Пусть поставлена задача о возбуждении поля в некоторой области известными силами, приложенными к границе. Запишем теорему взаимности для этой области (для скалярных задач - II формулу Грина). В самом общем виде она выглядит так:

= О,

где интегрирование производится по границе области, и — неизвестное поле в области, F ■— известные поверхностные силы, и' — произвольная пробная функция, удовлетворяющая уравнению движения (волновому уравпению) в области. Р' — значения операторов грапичяых условий функции и' на границе области.

Выберем в качестве пробной функции и' плоскую волну. Направление распространения этой волны произвольно в случае ограниченной области и выбирается в пределах определенного угла для клиновидной области с тем расчетом, чтобы можно было пренебречь интегралом по бесконечно удаленному участку границы. Тогда значения и' и F' на каждом из прямолинейных участков границы будут представлять собой экспоненциально изменяющиеся функции, а значения интегралов в теореме взаимности окажутся значениями Фурье-образов функций и и F при определенных значениях спектральной переменной. С учетом симметрии каждой из рассматриваемых задач получается уравнение, связывающее значения спектра величины и в различных точках. Это уравнение должно быть дополнено условием аналитичности спектра и в определенной области комплексной плоскости, следующим из того, что функция и задана на луче или отрезке, а также условием убывания спектра и на бесконечности.

В разделе 2.1 рассматривается плоская скалярная задача о рассеянии и возбуждении волн в клине с импедансными граничными условиями. Эта задача была ранее решена Г. Д. Малюжинцем другим способом. В связи с этим, первый раздел призван проиллюстрировать возможности предлагаемого метода.

Рассматривается уравнение Гельмгольца

AU + fcglt = 0 (2)

в клине с углом раскрыва в и граничными условиями

^ - iukQsmf3 = <¡?ii2,

где п — внутренняя нормаль к граням клина, sin /? — константа, Ф^з — известные граничные условия на гранях клина. Зависимость всех величин от времени выбирается в виде е,ю*.

Применяя описанную выше процедуру вывода функциональных уравнений и рассматривая симметричную и антисимметричную составляющие поля и граничных условий, получаем функциональные уравнения

(sin Р + sin (p)Üs,a(cOS <р) -f (— 1 )"(sin /? + SÍn(0 - íp))ÜSta(cOs(& -</?)) = = ^-ftsJcQS <p) + (-1 )"$f,e(cos(0 - «))], (3)

значение 1/ = 0 соответствует симметричной задаче, v — 1 соответствует антисимметричной. Величины й, а и определяются как

где интегрирование проводится по граням клина.

Уравнение (3) должно выполняться при значениях параметра в — тг/2 < <р < ?г/2. Исходя из определения величин и,,„(£), можно заключить, что эта функция должна быть аналитической в нижней полуплоскости переменной £ и на положительной действительной полуоси, а также удовлетворять определенным условиям убывания на бесконечности.

Для решения уравнения (3) производится замена переменной

a((fi) = cos —.

После такой замены уравнение допускает решение методом Винера-Хопфа.

Показало, что полученное решение совпадает с известным ранее решением Г. Д. Малюжинца. Построены формулы восстановления волнового поля в клине по значениям на границе и указана связь с представлением в виде интегралов Зоммерфельда.

В разделе 2.2 исследуется задача о скалярпом волновом поле в области, представляющей собой равносторонний треугольник. Рассматривается уравнение (2) с граничными условиями и(I) — Ф(1), где переменная I отсчитывается вдоль границы области. Для определения поля внутри области достаточно найти нормальную производную поля на границе. С этой целью вводится переменная

s(7) - i-^L

кц дп

В силу симметрии области относительно поворота вокруг центра на угол ±Зя"/2 появляется возможность рассматривать три независимые задачи, в которых граничные условия и значения переменной поля при повороте на угол Зтг/2 умножаются на коэффициент 3tj7r/2, где j принимает значения 0,1,-1.

Описанным выше способом выводится функциональное уравнение для каждого значения j:

- , - (._ -¿(i„Lcosi?-2!rj/3l . * t i -|(*„1с<к(ю-я73)+2г>73) _

+ - ~)c ■ T SjW + —

= Ф_,(<р) + Фj(<p - + ф ^ + £L^-.(t„¿co.(P-lr/3)+2^73))

3 3

где

Ш = jf s(l)e~'k°cospdl, = sin ¥> jf Ф(1)е-"°™41,

L — длина стороны треугольника.

Функция Sj(<p) аналитична, периодична по <р с периодом 2тг и удовлетворяет определенным условиям убывания. Кроме того, выполняется очевидное тождество Sj(cp) = Sj(— ip). Указанные свойства позволяют репшть функциональное уравнение.

Собственные функции треугольной области представляют собой сумму плоских волн, распространяющихся под тремя различными углами. Для определения резонансных частот строится система уравнений

koL cos а — — j = 2тга (4)

о

кцЬ cos(a —

2п/3>) ——j = 2 тгЪ, (5)

О

где a, b — произвольные целые числа. Из этих уравнений определяется параметр а и волновое число kg, связанное с частотой соотношением и> — кос, где с — скорость упругих волн.

В случае ненулевых граничных условий удается найти sj((p) в замкнутом виде. По известным значениям Sj(ip) строится интегральное представление поля в области.

В разделе 2.3 рассматривается задача о распространении и рассеянии волн в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180°. Для описания симметричных волн строится система функциональных уравнений. В качестве пробного решения в теореме взаимности (аналоге II формулы Грина) выбирается одна из трех объемных мод, следовательно, искомая система состоит из трех уравнений.

Будем считать, что положительному направлению распространения волны вдоль оси х соответствует множитель с>кх, а зависимость всех величин от координаты z, направленной вдоль ребра клина, выбирается в виде e~lPz. Направим ось х вдоль одной из граней клина, а ось у вглубь материала клина перпендикулярно осям т п

Пусть на гранях клина заданы симметричные поверхностные напряжения 7J. Тогда функциональные уравнения будут выглядеть как

Lr (к) + Li {к) = Мг{к) + М!(к) L2{k)-L2{k) = М2(к)-М2(к) Ык) + Ь3(~к) = Мг{к) + Мь{к).

Здесь к —■ проекция волнового вектора пробной волны на ось х,

к = к cos в + xfkl - к2 sin 0, к = к cos в + \jk\- к2 — ft2 sinfl,

ki и кт — волновые числа продольной и поперечной волн при заданной частоте, 0 — угол раскрытия клина, равный $ — 180° — е, е — малое отклонение угла от развернутого, комбинации Li и Af, связаны со смещениями на границе и, и силами Т, следующим образом:

i'fr2

L,(k) = 1<Лк)и}(к), Щк) = —х mij(k)Tj(k),

1.}(к) =

2ky/kl - к2 - P [fey — 2(кг + P2)] 2pjkl-v-jp (-Ц. + 2Р+/32) 2к^Щ- к"1 - [Р {Зк

\2рк/к2т-к2-р2 Щк\ -к2~р2) (2 р2 ~ -р2

m,ij(k) =

к Jkl - к2 -Р2 р \

^к2т-к2'- Р2 к 0

\ рк РуЩ^П^Р2 (Р2 - Щ }

щ{к) = щ{х)е{кЧх, Ъ{х)е,кхЛх,

р — плотность материала, и> — частота.

Как и ранее, эти уравнения необходимо дополнить условиями аналитичности фунцкций и,[к) в верхней полуплоскости комплексной переменной к и на действительной положительной полуоси, а также условиями убывания на бесконечности.

Для решения полученных функциональных уравнений строится теория возмущений по е. Следует отметить, что матрица коэффициентов 1^(к) становится вырожденной в точке кц, соответствующей волновому числу рэлеевской (поверхностной) волны. Это заставляет вблизи Р — кя ввести "внутреннюю" переменную а = у1/?2 — к%, заменяющую р.

Асимптотическое решение позволяет определить волновое число симметричной клиновой волны в тупоугольном клине. В первом приближении это волновое число задается формулой

А> = ^я + (<*о0)2

Значения ого определяются из функциональных уравнений.

Вычислена амплитуда клиновой волны, возбужденной силами, приложенными к граням клина. Кроме того, сделаны оценки коэффициента отражения клиновой волны от выемки на ребре клина.

В разделе 2.4 рассматривается задача о распространении антисимметричных волн в остроугольном упругом клине. Строятся функциональные уравнения, аналогичные используемым в предыдущем разделе. При этом считается, что угол раскрыва клина 0 является малой величинои.

Строится асимптотическое разложение системы функциональных уравнений по в. Условием разрешимости системы в третьем приближении является дифференциальное уравнение относительно нулевого приближения поперечного смещения точек клина:

+б[(1+а+(1 — - =о,

где £ = к/(3.

Это уравнение является Фурье-образом уравнения теории тонких пластин (1). Оно имеет регулярные особые точки при £ = ±». Условием существования решения, аналитичного в точке £ = I является соотношение

п = 0,1,2....

Полученное соотношение позволяет определить скорости атисимметрия ных клиновых мод в остроугольном клине. Оно совпадает с известным результатом теории тонких пластин.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Крылов В. В., Шаяия А. В. Влияние упругой анизотропии на скорости клиновых акустических волн // Акуст. журн. 1991. Т.37. Выл.1. С.130-133.

[2] Крылов В. В., Шаяия А. В. Рассеяние клиновой акустической волны на неглубокой выемке // Акуст. журн. 1993. Т.39. Вып.2. С.292-298.

[3] Шаяия А. В. К выводу граничных условий для уравнения колебаний тонкой пластины методом обобщенных функций // Прикл. мат. мех. 1993. Т.57. Вып.2. С.161-163.

[4] Шанин А. В. Применение методов теории представлений к задачам возбуждения и отражения клиновых волн // Прикл. мат. мех. 1994. Т.58. Вып.З. С.154-160.

[5] За,рембо Л. К., Шанин А. В. О нелинейном рассеянии изгибной волны на трещине, расположенной на поверхности тонкой пластины / / Акуст. журн. 1995. Т.41. Вып.4. С.587-590.

[6] Шаяия А. В. К задаче о возбуждении волн в клиновидной области //Акуст. журн. 1996. Т.42. Вып.5. С.696-701.

[7] Шанин А. В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180° // Принята к печати в Акуст. журн. 1997. Т.43. Вып.З. С.1-7.

1 0.8

_0£ Е

^0.4

05

£ 0 г". 0 * 9

/ / V 1 \ 1 \ : \ \

/ / \ / \ / \ / \ \

л. к, й-.

—л— п=8

-----о----- п=9

—а-—- п=10

—х-— п=11

-----о----- п=12

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1Л

Рис.1. Значения |.К(ЦП| для различных П и Ш

64.4 ■ 642 | 64 &63.8 "с163.6 £.63.4

63

б га

-о........

—&........

&........

—1-1-1-1-(-1-1

9 10 11 12 13 14 15 п

Рис.2. Значения фазы отражения клиновой волны в моду с тем же номером.