Распространение и рассеяние волн в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Харьковский государственный университет

. -ч Л

1,? Ч - •

На правах рукописи

БУДКО Нил Владимирович

Распространение и рассеяние в неоднородных средах

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физщсо-математических наук

НаучшЯ руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор ЗКук Н.П.

волн

Харьков - 1995

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена в Харьковском государственном университете. Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Жук Николай Петрович; Официальные оппоненты^ Доктор физико-математических наук.

Ведущая организация: Днепропетровский государственный ' ук.верситет.

Д 02.02.07 Харьковского государственного университета. Адрес: 310077, Харьков, пл. Свободы, 4, ауд. III-9.

С диссертацией шию ознакомиться в Центральной научней библиотеке Харьковского государственного университета.

профессор Просвирник Сергей Леонидович (РИ HAH Украины, г. Харьков); кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Взремей Владимир Викторович (ИРЭ HAH Украины, г. Харьков).

в/££?часов на заседании специализированного совета

Защита диссертации состоится

Ученый; секретарь специализированного учет

Автореферат разослан

п

Теоретический и численный анализ процессов рассеяния электромагнитных еолн на неоднородных средах представляет значительный практический интерес. С одной стороны, это обусловлено сложностью используемого математического аппарата, оставляющего, исследователю значительную свободу в выборе средств. С другой - необходимостью выбора тех из них, которые наилучшим образом отвечают требованиям практики. Последние продиктованы задачам!, возникающими при проектировании устройств миллиметрового и субмилликетрового диапазонов электромагнитных волн, а также в дистанционном зондировании и неразрушающем контроле естественных и искусственных образований.

Любое физическое исследование основано на замещении рассматриваемого объекта некоторой подходящей моделью. Класс пространственно неоднородных сред является одной из таких моделей. И, хотя она не настолько исчерпывающа, чтобы описать Есе существенные свойства реальных объектов, тем неменее, да:ке в этом случае физическая теория еще далека от завершения. Как известно., для выяснения закономерностей рассеяния гармонических волн на , такого рода средах необходимо решить векторное трехмерное уравнение Гельмгольца с коэффициентами, являющимися произвольными функциями координат ,• что в общем случае. оказалось невыполнимым с математической точки зрения. В связи с чем, обычно производится дальнейшее упрощение исходной модели. В частности, рассматриваются среды с материальным! параметрами, являвшимися кусочно-постоянными (функциями координат - так называемые составные и слоистые рассёиватели. Здесь, существенным критерием, определяющим приемлемость того или иного метода решения, выступ? т геометрия структурных границ раздела в указанной среде. Так, для случаев,_ когда границы совпадают с координатными поверхностями в какой-нибудь системе координат, решение задачи ^выглядит наиболее просто. Такие задачи иногда называют "Сескоординатными". Если же 'геометрия границ достаточно сложна (далее - "нетривиальна"), то. ведаемый результат достигается переводом к интегральной формувдровке

задач». Последних существует изрядное количество. Сейчас, значительный интерес привлекли задачи для сред, содержании как простые 'так и нетривиальные границы. Например, плоскослоистые среды с геометрически произвольным включением. Методологически используемые здесь процедуры можно охарактеризовать как объединение (сшивку) методов решения С^скоординатных задач • с соответствующими интегральными формулировками задач рассеяния на геометрически нетривиальных объектах.

Детальнее всего рассмотрен случай, когда включение представляет собой двумерный идеально или хорошо проводящий цилиндр. Спектр методов достаточно широк и включает интегральные уравнения, полученные для поверхностных потенциалов или с помощь.о фэрмул Грина, которые затем решались различными методаьм.

Случай проницаемого цилиндра также рассматривался многими авторами (Дмитр. зв, Захаров, Кук, Косич, ЯроЕой и-др.). Исходная задача дифракции .водилась к интегральным урав!.лшям для продольных (относительно образующих цилиндра) компонент поля с интегрированием по поперечному сечению. Иногда использовались формулы Грина для формулировки задачи в виде системы из двух одномерных интегральных уравнений по ко' туру сечения. Здесь слоистый характер смещающей среды учитывался в ядрах интегральных уравнений посредством функции Грина регулярной плоскослоистой среды.

Для кругового цилиндра были предложены методы, учитывающие специфическую .форму рзссеивателя (Сапе11ори1оз, 11Еппо§1и и др.).

Столь обширные теоретические изыскания, однако, редко доводились до численной реализации. Это объясняется сложностями, возникающими при попытке решить получаемые интегральные уравнения. Последней причиной, в частности, была вызвана серия работ йука и Ярового, посвященная численному рьлению поверхностных или сингулярных контурных интегральных уравнений с помощь» метода механических квадратур с регуляризацией СЛАУ.

По всей видимости, обной из- наиболее удачных идей

является использование функции Грина плоскослоистой вмещающей среда в ядрах интегральных соотношений задачи. Поскольку, такая функция Грина есть решение самостоятельной граничной задачи, то тем самим снимается вопрос о дальнейших переотракенпях рассеянного включением поля.

Очевидно, что единственная более или менее значительная степень свободы связана с привлечением новых интегральных соотношений, ранее использовавшихся для рассеивателей в свободном пространстве. Длительное время в центре внимания научной общественности (Waterman, Colton, Kress, Strom и др.) оставался' так называемый метод Нулевого поля (МНП), который заключался в формулировке задачи посредством своеобразных интегральных соотношений, одно из которых является прямой формулой задающей рассеянное поле, а другое - системой из интегрального уравнения с -двумя неизвестными (полное поле и его нормальная производная на границе рассеивателя) и бесконечной группы однородных интегральных соотношений мекду указанными неизвестными и функциями из полных на контуре -расссивателя систем. Решение уравнения осуществлялось с использованием оригинальной проекционной схемы, напоминающей метод моментов, однако применяющей разложение неизвестных величин в Оазисы Рисса. Интерес представляют1 некоторые особенности МНП. Использование второй формулы Грина приводит к соотношениям, где интегрирование производится вдоль границ рассеивателя, однако ядро интегрального уравнения не становится при этом сингулярным. Интегральное уравнение, связывающее падающее поле и граничные значения полного .толя на контуре (границе) рпсеиЕзтеля, является уравнением первого рода и известно своими плохими математическими и численными свойствам».. Однако, проекционная схема МНП допуг^ает его решение безо всякой дополнительной регуляризации. Более того, возникающая при этом СЛАУ решаема методом усечения и устойчива по отношению к малым возмущениям как в матрице, так и в векторе правой части.

Батраковым и Жуком был предложен метод, в последствие названный модифицировавши ' методом Нулевого поля.

реализукщий идею о применении функции Грина плоскослоистой среда в ядрах итегралышх соотношений обычного МНП при рассмотрении , процесса рассеяния плоской монохроматической волны, Е или Я-поляризованной относительно образующих некоторго бесконечного прямолинейного диэлектрического цилиндра произвольного сечения, помещенного в плоскослоистую среду. Однако, как и» большинство методов, описанных выше, последний не был реализован численно, а следовательно, не было произведено его сравнение с существующими аналогами. Открытыми.остались также некоторые математические вопроси о соответствии свойств модифицированного и традиционного МНП.

Модифицированный МНП интересен еще с одной точки зрения. Если выяснится, что данный метод действительно является эффективным средством решения прямой задачи рассеяния ЭМВ на включении в плоскослоистой среде, то. было бы практически-, целесообразно рассмотреть вопрос его обратимости. То есть, создать на основе модифицированного. МНП алгоритм решения обратных задач рассеяния по восстановлению параметров плоскослоистой среды с включением, исходя из значений рассеянного на такой среде поля, заданных в виде функции некоторого информационного параметра. Это может оказаться весьма полезным для целей дистанционного зондирования, неразрушаэдего контроля и дефектоскопии. Очевидно, что рассматриваемая модель среды с успехом может быть применена в качестве, идеализации, многочисленных объектов природы и хозяйственной деятельности человека. Однако, до сих пор, осно&ное внимание уделялось обратным задачам рассеяния в свободном пространстве. Известные *е метода для полу-цространства и слоистых сред с включением, страдают либо недостаточной математической обоснованностью, либо громоздкостью привлекаемого аппарата, неоправданной в случае однородного включения (Раа^г1по и др.). Кроме того большинство из существующих методов используют линеаризацию обратной задачи на основе борновского приближения, а следовательно, ограничиваются случаями электрически слабо контрастных рассеивателей или точных начальных приближений (Метеп). •'.'-' -

Помимо вышеуказанных проблем, возникающих при решении прямых п обратных задач на. кусочно-неоднородных средах с нетривиальной геометрией границ, существуют также невыясненные вопросы, касающиеся рассеяния на средах с упрощенной геометрией -границ, но материальными' параметрами, являющимися непрерывными, а в остальном произвольными функциями координат. До некоторой степени такому описанию соответствует столб плазмы или жидкость, протекающая в трубе.

Решение прямой задачи достигается в этом случае введением кусочно-постоянной аппроксимации профиля материального параметра (например, ' диэлектрической проницаемости) с исчезаще малым или произвольным шагом. Такая модель вызывает значительные трудности при "решении обратной задачи, поскольку приходится рассматривать минимизацию функционала на бесконечномерном (в пределе) пространстве. Мнение о том, что в этом случае также необходимо произвести регуляризацию того или иного рода, является практически общепринятом. Его источником могут служить, например, работы Тихонова. В частности,- для раднально- неоднородного цилиндра обратная задача была решена Батраковым и Жуком, где использовалась процедура, подобная предложенной Uno и Aflashy, и основанная на одной из модификаций метода 'Ньютона-Канторовича. В последующих работах авторам! подробно рассмотрены' случаи частотного и поляризационного зондирования. Представляется • практически целесообразным разработать, реализовать в виде программного продукта и произвести, сравнительные исследования аналогичной процедуры где в качестве информационного параметра будет выступать угол наблюдения.

Ввиду описанных проблем, ' об"ей • целью настоящей диссертационной работы является развитие существующих и создание новых средств для исследования процессов рассеяния электромагнитных волн "На неоднородных средах.

Ниже приводится краткое описание стр.уктурц диссертации. В первой главе на примере двумерной задачи о-рассеянии плоской монохроматической E-поляризованной волны на

а

диэлектрическом включении в бесконечном плоском слое демонстрируются возможности модифицированного метода Нулевого поля. ■ Краткое изложение его сути сопровождается анализом введенных (по сравнению с традиционным МНП) модификаций и оценкой их влияния на свойства метода. . Разработанный на основе модифицированного МНП алгоритм был реализован р виде компьютерной программы. С ее помощью был проведен ряд вычислительных экспериментов, преследовавших две цели: тестирование и сравнение метода с аналогами, и подробный анализ процесса рассеяния ЭМВ на указанной среде. Результаты вычислений прокомментированы и приведены в конце главы.

Вторая глава посвящена решению обратных задач рассеяния на плоскослоистой среде, содержащей бесконечный однородный диэлектрический цилидр произвольного сечения с образующими, параллельными плоскостям раздела вмещающей среды. За основу был' взят модифииированний МНП, изложенный в первой главе. Дана классификация обратных задач гчссеяния в зависимости от того, какие из параметров среды требуется восстановить, при каких известных. В каздомслучае обратная задача сводится к задаче минимизации функционала разности измеренного и расчитанного рассеянных полей на множестве возможных значений искомых параметров. В силу того, .что решение обратной задачи каждый раз ищется на компакте, пороздаемом прямой задачей, для его нахождения с успехом может быть применен метод подбора. Кроме того, установленная ранее устойчивость прямого алгоритма по отношению к малым возмущениям интерпретируется как устойчивость алгоритма обратного по отношению к небольшим ошибкам в измерениях или в априорной информации. Расчеты, проведенные с использованием специально разработанной ' компьютерной программы, позволили установить форму гиперповерхностей для ряда исследуемых функционалов. Благодаря тому, что гиперповерхности имеют один ярко выраженный минимум, как это видно из иллюстраций в конце вторе главы, его поиск можно осуществлять стандартными способами'. Дополнительно, в этой главе обсуждаются возможности построения быстродействующих

систем промышленного неразруаавщего контроля на основе предложенной методики решения обратных задач рассеяния.

В третьей главе дается краткое описание метода

КЬЮТ0112-К2ЧТ0рСБ"ЧЗ ДЛЯ р6ш61П*Я О^рЗТНСй 32 Л 241* р2СС£ аН31Я »*?•

рэдиально-неоднородном круговом цилиндре. Излагается алгоритм решения данной задачи в области значений.углового параметра. Численные эксперименты посвящены сравнительному анализу возможностей предлагаемого алгоритма и аналогичных ему, но реализованных в области 'значений поляризационных и частотных параметров.

Обобщая, можно сказать, что в настоящей диссертации изложены новые (в том или ином отношении* результаты теоретического и численного анализа процессов рассеяния и распространения электромагнитных волн ь различных неоднородных средах. Эти результаты можно сформулировать следующим образом:

1. С помощью модифицированного метода Нулевого поля' численно решен ряд задач о рассеянич плоско? Е-поляризованной монохроматической электромагнитной волны на бесконечном прямолинейном однородном диэлектрическом цилиндре, помещенном в онородный диэлектрический слой.

1.1. Предложен алгоритм численного решения двумерной задачи рассе~ния на включении в трехслойной среде,'

1.2. Создано программное обеспечение- на языке программирования С++, реализующее указанный алгоритм.

1.3. Получены результаты численных 'экспериментов, подтверждающие, что указанный .алгоритм:

1.3.1. Является устойчивой и хорошо .сход-тщейся численной процедурой.

1.3.2. Позволяет производить расчеты в области низких, резонансных и промежуточных частот для различных геометрических и материальных параметров среды.

1.3.3. Позволяет получать диаграммы рассеяния, совпадающие с диаграммам!, расчитаннши 'другими методами.

2. Предложен новый метод решения обратных задач рассеяния электромагнитных волн для плосксслсистых с№Д, содержащих прямолинейный бесконечный однородный

диэлектрический цилиндр произвольного сечения, основанный на минимизации функционала невязки измеренного и смоделированного с помощью модифицированного метода Нулевого поля рассеянных полей.

2.1. Разработаны математические основы решения ряда нелинейных обратных задач рассеяния по восстановлению материальных параметров указанной среды, заключающиеся в сведении общей обратной задачи .к. задачам минимизации функционалов на компактах, порождаемых прямой задачей

2.1.1. Аналитически и численно показано, что на рассматриваемых компактах решения обратных задач могут быть найдены подбором по Тихонову, а задача минимизации может быть сведена к поиску минимума гиперповерхности на .множествах изменения искомых параметров.

2.1.2. Аналитически и численно показано, что предлагаемый алгоритм обладает устойчивостью по отношению к ошибкам измерений и неточностям в априорной информации о среде.

2.2. Создано ' программное обеспечение, позволившее оценить вид гиперповерхностей, возникающих в рассматриваемых обратных задачах.

2.3. Численно решены обратные задал:

2.3.1. Восстановления диэлектрической проницаемости цилиндра, при известных геометрии и материальных параметрах окружающей его среды.

2.3.2*. Восстановления, комлексной диэлектрической проницаемости поглощающего цилиндра при известных геометрии и материальных параметрах окружения.

2.3.3. Одновременного восстановления диэлектрических .проницаемостей цилиндра и вмещающего слоя, при известных геометрии и.остальных параметрах среда.

2.3.4. Восстановления .диэлектрической проницаемости цилиндра, при неточно заданных геометрии и материальных параметрах окружения. Определены допустимые пределы оиибо...

3. Численно решена обратная задача рассеяния на радиально-неоднородном круговом диэлектрическом цилиндре.

и

3.1'. Разработан алгоритм, реализующий решение указанной задачи методом Ньютона-Канторовича с использованием угла рассеяния в качестве информационного параметра.

3.2. Создано программное обеспечение для решения, обратной задачи по восстановлению неизвестного профиля диэлектрической проницаемости радиально-леоднороного цилтиндра, использующее значения рассеянного поля в некотором интервале углов рассеяния. .

3.3. Проведен ряд численных экспериментов по восстановлению различных профилей диэлектрической проницаемости, а также сравнительный анализ с аналогичными методами в области поляризационных и частотных параметров.

О практической точки зрения развитие нового алгоритма численного решения прямых задач рассеяния на цилиндрических включениях произвольного сечения в плоскослоистых средах послужит целям анализа физических явлений и закономерностей таких процессов. Данный анализ.представляется весьма вазагам:• в задачах проектирования устройств на основе планарных волноводов с элементами связи в. виде соответствующих включений (например, призматических), в задачах интерпретации данных зондирования стен или грунтов, содержащих цилиндрические коммуникации, а также, в задачах электромагнитного моделирования анатомической _ структуры человеческого тела (кровеносныесосуда в окружении наружной мышечной ткани). •- ~

К основным достоинствам предложенного прямого алгоритма можно отнести математическую строгость постановки Задачи и устойчивость ее решения как в интегральной формулировке, так и в матричном виде, являющемся следствием проектрирования интегральных уравнений с применением разложений неизвестных величин в базисах Рисса. Важным . свойством явилась инвариантность формы соотношений метода Нулевого поля, ;о отношению к изменениям, введении в модифицированном методе Нулевого поля. Это позволит в дальнейшем использовать все многообразие приложений, традиционного Метода Нулевого поля, развитых в применении к свободному ' пространству,; с незначительными модификациями ядер интегральных уравнений.

Таи, например, представляется перспективным применение разработанной методологии к задачам о рассеянии на композиишх цилиндрических включениях, состоящих из двух и более частей с произвольной формой поперечных сечений. В частности, можно рассматривать выпукло-вогнутые образования (цилиндры с незамкнутыми оболочками).

Предложенные во второй главе алгоритмы решения обратных задач могут найти непосредственное применение в неразрушавдем контроле промышленных изделий соответствующей геометрической и электрофизической конфигурации. При этом особенно важной представляется допустимая неточность в априорной информации о геометрии задачи. Кроме того, незначительная модификация алгоритма позволит рассматривать рассеяние собственных волн на включении в полупространстве или слое, а в терминах физики твердого' тела - рассеяние поверхностных поляритонов, распространяющихся вдоль границы металл-вакуум, на некотором объекте, расположенном вблизи указанной границы. В этмл случае весьма важным может оказаться алгоритм восстановления параметров вмещающего слоя (полупространства), как соответствующий задаче определения эффективной „диэлектрической проницаемости металла, при известных характеристиках включения.

Аналитическая новизна предложенного метода решения обратных задач заключается в:

- использовании уравнений метода Нулевого поля в качестве базовых, что позволит в дальнейшем эксплуатировать все многообразие приложений развитых в применении к пря?тм задачам рассеяния;

- использовании интегральных уравнений, заданных на контуре _ поперечного сечения однородного рассеивателя, что является гарантией быстродейтсвия по сравнению с методами, основанными на интегральных соотношениях по сечению;

- формулировке и решении обратных задач в нелинейном виде, что позволило рассматривать электрически контрастные рассеиватели ч вмещающие среды, а также испг чьзовать любые подходящие информационные параметры и метрики;

оригинальном трактовании стабильности прямого

алгоритма, кгч; устойчивости алгоритма обратного по отношению к неточностям в априорной информации.

Рассмотренный в третьей главе алгоритм решения обратной задачи дл? радиально-неоднородного кругоЕого цилиндра може1;-найти применение в промышленном контроле световолоконных 1ТЗДЭЛИ»! СО СЛОЖНЫМ рЗДИЗЛЬНЫМ профилем ДИЭЛОК прош. ;аемоси. Дашшй алгоритм,- будучи реализованным в области значений углового параметра, окажется полезным в том случае, если частотные или поляризационные измерения представляются технически сломяо выполнимыми.

К достоинствам предложенного алгоритма можно отнести большее быстродействие по ' сравнению с частотным ;осстановлеш?ем профиля и лучшую схсдимость по сравнению с поляризационным.

Как результат проделанной работы, автором на защиту выносятся следующие основные положения и утверждения■

1. Численно-аналитическое решение "■еэдн.&ксфоваш'ым методом Нулевого поля двумерной задачи рассеяние Е-полярпзованной плоской волны на однородном прожцаемом щшшдре произвольного поперечного сечения в трехслойной среде, включающее алгоритм, программы для персонального компьютера и результаты анализа физических закономерностей рассеяния дл.. различных параметров задачи.

2. Метод численного решения обратшх задач о восстановлении комплексных диэлектрических прошщаемостей однородного цилиндра произвольного сечения и/или вмещающего слоя, основанный на . чилешюй минимизации невязки между измеренными данными и модельными данными, расчитлшшми модифицированным методом Нулевого поля, и содержащий:

- устойчивые алгоритмы обращения,

- программное обеспечение для персонального компьютера,

- анализ возможностей метода и требования к точности задания - параметров вмещающей ср^ди, обеспечивающие приемлемую точность нахождения проницаемости цилиндра.

3. Численное решение обратной задачи рг:сеякия для радиально-неоднородного кругового цилиндра, использу>'.^ее угловую зависимость рассеянного поля и основанное на

итерационной процедуре Ньмтона-Канторовича, а также результаты анализа возможностей данного решения в сравнении с аналогичными решениям! в частотной и поляризационной областях.

Диссертация представляет собой изложение, обобщение и развигие ранее опубликованных работ автора [A1-A5J, среди которых 1 статья, 3 'доклада на конференциях и 1 депонированная рукопись.

СПИСОК АВТОРСКИХ ПУБЛИКАЦИЙ. •

1. Батраков Д.О., Будко Н.В., Кук Н.П. Интерпретация дашшх зондирования слоистых структур на основе решения обатной задачи рассеяния электромагнитных волн I.// Журнал .технической физики. -Т.64. -HI. -1994. -СС. 152-161.

2. Batrakov D.O., Budko N.V., Zhucli N.P. The Inverse scattering problem for, a radially lnhomogeneous slab: Solution via the Kewton-Kantorovlch technique// Proceedings of the Asla-Paclflc Microftave conference, Taiwan, China. -1993. -Rep.No. FTS-0U7R-08.

3. Batrakov D.O., Buctko N.V., Zhuck II.P. Iterative inversion methods in the frequency, angular and polarisation parameter domains: comparison с 2 the numerical effectiveness// Proceedings of URSI International Symposium on Electromagnetic theory, Russia. -1995. -PP.139-142.

4. Budko и.v. The Null field method and Inverse scattering problems// Proceedings of the Asla-Paclilc Microwave conference, Korea. -1995. -Rep.Ho. 95229.

5. Батраков Д.О., Будко H.B., Жук Н.П. Численный анализ решения двумерной задачи рассеяния на включении в Плоскослоистой среде модифицированным методом Нулевого поля// Депонир, в ГНТБ Украины 2S.05.95. N 1232-УК35. -21с.

Бушсо Н.В. "Распространение и рассеяние электромагнитных волн в неоднородных средах." Рукопис кандидатсько! днсертацП. ol.04.03 - рад1оф1зикз. Харк1всъкий державний утверситст. -Харк1в. -1995.

В дисертацИ розглядаються вопроси розс!яння електромагн1тгШХ хвкль у неоднор1дних сере ловцах. Перша частина роботи присвячена чисельному в;гр1!се:шй задач! розс1яния плоско! електромагн1тно1 хвил1 на однор1дному д1електричшлу цил1ндр1, розташовонсму у плоскозаруззтсму' середовкщ1, за допомогою методу нульового поля. У друг!й частжИ запропанований новий метод в;ф!'лення сберне^их г-дач розс!:;нкя на таких включениях, вперве ззстосовуичий для ц1е1 мети р1внякня методу нульозого. поля. У трет!й частлн! с.жладаеться алгоритм чисельного ет.ф1Еення обернешь задач розсЗяння на рад1ально-неоднор1днсму д1електр:гчксму г.ил1ндр1 методом Ньвтоца-Канторовнча. йвЗврмацИйяи параметром сбранл.1 кульовий рогпод1л розс!якногс поля.

Budlco U.V. "Propagation and scattering of electromagnetic waves lnhomegenecus medium". Kharkov "tate University. -1995.

The proposed work is devoted to ' the particular questions arising in electromagnetic scattering theory. j'cr inhomogeneous media. The lirst chapter describes the direct scattering problem for homogeneous dielectric cylinder embedded into a olaln-stratiiied medium. The numerical solution is obtained with a modified i.ull—'ield method. A new method f^r solving oi an inverse scattering problem for such a configuration is proposed in the second chapter. The method is based on the null-ileld equations. 'A numerical solution to the inverse scattering problem lor radiaily-inhomogeneous dielectric cylinder, utilising the "ewton-Kantorovich technique is presented in the third chapiei.

ЕлектромзгШти! хвил1, розс1яння, сСернен1 заде:!, плоскокарувот! середсвиза, цпл1ндр'.:, фужцП Гр1нз, нульового поля.

Поли, к печ. 2. XI. °5. 'Торчат 50 х 84 I/I6. О^ъпи 1,0 уч.-1'зц.л. Типгя ТОО. Заказ 475.

Учрсток опорлтивноП печати Хрпькобского ГАУ.