Распространение коротких акустических импульсов в средах с экспоненциальной и резонансной релаксацией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ларичев Владимир Андреевич

Распространение коротких акустических импульсов в средах с экспоненциальной и резонансной релаксацией

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

Москва 2004

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник, Максимов Герман Адольфович доцент

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Маймистов Андрей Иванович Андреев Валерий Георгиевич

Ведущая организация:

Государственный научный центр РФ Акустический институт им. академика Н.Н.Авдреева

Защита состоится 27 апреля 2004 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д212.130.06 в МИФИ (ауд. К608) по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д.31, тел. 323-91-67.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан « 24 » апреля 2004 г

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена проблеме распространения акустических импульсов малой амплитуды в средах, обладающих частотно-зависимым поглощением и дисперсией фазовой скорости. Поскольку поглощение, и связанная с ним частотная дисперсия, проявляется в той или иной мере во всех реальных средах, то это явление играет значительную роль для многих научных и технических приложений, связанных с использованием как акустических, так и электромагнитных импульсов. В частности, одним из проявлений дисперсионно-диссипативных свойств сред является то, что форма и амплитуда импульсов изменяется по мере их распространения, что позволяет использовать это обстоятельство как для диагностики свойств сред, так и для правильной интерпретации передаваемого сигнала.

В рассматриваемой проблеме можно выделить прямую и обратную задачу. Прямая задача состоит в описании распространения импульсов в средах с известными параметрами поглощения и дисперсии, а обратная - в восстановлении дисперсионно-диссипативных свойств среды по динамике формы распространяющегося импульса.

Актуальность

Актуальность прямой задачи связана прежде всего с приложениями, в которых для изучения какого-либо объекта используется излученное им самим или отраженное от него волновое поле. В качестве примеров таких приложений можно назвать локационное зондирование объектов, дефектоскопию и интроскопию материалов, ультразвуковую медицинскую диагностику и др. Отметим, что разрешающая способность методов импульсного локационного зондирования тем выше, чем меньше длительность импульса, однако именно короткие импульсы подвергаются наиболее сильному искажению вследствие дисперсии. Поэтому важно отделить структуру волнового поля, связанную с исследуемым объектом, от особенностей профиля импульса, связанных с дисперсионно-диссипативными свойствами среды.

Прямая задача имеет важное значение также и для передачи информации. Переход от способа передачи информации, основанного на амплитудно-частотной модуляции квазимонохроматических волн, к использованию последовательностей коротких импульсов с широким спектром и высокой скважностью, в принципе позволяет существешю

БИБЛИОТЕКА СПетгр§ 03

данных. Однако поглощение и дисперсия, оказывающие наиболее сильное влияние на распространение коротких импульсов, создают определенные трудности на этом пути.

Другая группа приложений связана с обратной задачей. Поскольку частотная дисперсия в среде определяется релаксационными процессами, происходящими на молекулярном или микроструктурном уровне, решение обратной задачи может быть использовано для определения параметров, характеризующих на макроуровне молекулярные или микроструктурные свойства сред, а также кинетику соответствующих релаксационных процессов. Такими величинами могут быть, например, параметры спектра времен релаксации (СВР). Таким образом, импульсная диагностика, основанная на решении обратной задачи может быть использована как инструмент молекулярной акустики в качестве дополнения к традиционной акустической спектроскопии.

Особенно актуальными импульсные методы могут быть для диагностики неустойчивых сред и быстропротекающих процессов. Поскольку для спектроскопии обычно требуется сложный комплекс измерений в широком частотном диапазоне, причем в процессе измерений необходимо поддерживать стационарные условия в течение относительно длительного времени, то в принципе не требующие всего этого импульсные методы при диагностике неустойчивых сред и быстропротекающих процессов могут иметь существенные преимущества.

В этой связи следует отметить особую роль коротких импульсов. В случае, когда длительность импульса оказывается много меньше чем характерные времена происходящих в среде релаксационных процессов, его динамика определяется главным образом дисперсионными свойствами среды и практически не зависит от его начальной формы. Это обстоятельство делает короткие импульсы удобным диагностическим инструментом.

Корректная постановка и решение задачи импульсной диагностики в значительной мере определяется возможностью нахождения решений прямой задачи, явно зависящих от параметров, характеризующих дисперсионно-диссипативные свойства среды. В этом случае задача диагностики может быть поставлена как задача отыскания таких значений этих параметров, при которых решение прямой задачи было наиболее близко к профилю импульса, полученному-экспериментально. Общность такой постановки определяется возможностью, достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных

свойств реальных сред. Поэтому является важным получение аналитических решений прямой задачи, явно зависящих от параметров, единым образом характеризующих дисперсионно-диссипативные свойства широкого класса сред.

В круге вопросов,. связанных с распространением коротких импульсов в реальных дисперсионно-диссипативных средах, существует ряд нерешенных проблем, представляющих как фундаментальный научный интерес, так и практический интерес для различных приложений, в частности, для акустодиагностики сред.

Цель работы

Целью работы является теоретическое исследование закономерностей распространения коротких импульсов малой амплитуды в релаксационных средах с локальным откликом, т.е. средах, дисперсионно-диссипативные свойства которых обуславливаются экспоненциальными и резонансными релаксационными процессами. При этом основное внимание уделено решению следующих задач:

1. Описание, распространения коротких импульсов в однородных средах, обладающих спектром времен релаксации (СВР) в терминах экспериментально измеримых параметров СВР.

2. Получение точного пространственно-временного представления функции Грина для среды с двумя релаксационными процессами.

3. Получение точного пространственно-временного представления функции Грина точечного и линейного источников в экспоненциально неоднородной среде (изотермической атмосфере) с релаксационными свойствами Максвелла.

4. Единое описание релаксационных и резонансных свойств сред в рамках термодинамического подхода Леонтовича-Манде лыптама

5. Получение точного пространственно-временного представления функции Грина, описывающей динамику коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией и исследование закономерностей распространения короткого импульса в такой среде.

Научная новизна

Научная новизна приводимых в диссертации результатов состоит в том, что впервые получены точные пространственно-временные представления функций Грина плоского импульса распространяющегося в однородной среде с двумя релаксационными процессами, в среде с. единственным процессом резонансной релаксации, а также сферического и цилиндрического импульсов в экспоненциально неоднородной сред (изотермической атмосфере) с релаксационными свойствами Максвелла.

Для среды с произвольным СВР построено новое аналитическое аппроксимационное описание временного профиля импульса. При этом все параметры аппроксимации явно выражены через экспериментально измеряемые характеристики динамики профиля импульса..

Впервые дано обобщение термодинамического подхода Манделыптама-Леонтовича на случай сред с резонансной релаксацией, основанное на учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера.

На этой основе выведено универсальное уравнение состояния, единым образом описывающее все линейные среды с локальным откликом, и дана его механическая интерпретация.

Для диссипативных сред с одним процессом резонансной релаксации проведено полное исследование всех возможных типов динамики коротких импульсов и впервые дана их исчерпывающая классификация. Установлена и объяснена связь типов динамики импульса с особенностями частотных зависимостей фазовой скорости и коэффициента поглощения..

Положения выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Новая аналитическая аппроксимация пространственно-временного представления функции Грина одномерной среды с произвольным спектром времен релаксаций (СВР), параметрами которой являются экспериментально измеряемые моменты СВР.

2. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина одномерной среды с двумя экспоненциальными релаксационными процессами, его анализ и аналитическая аппроксимация.

3. Новые точные пространственно-временные представления функций Грина линейного и точечного источников- в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла и их анализ.

4. Новое универсальное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом, полученное путем обобщения - термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича при учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера, и его механическая интерпретация.

5. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина среды с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в рамках универсального уравнения состояния.

6. Новая полная классификация типов динамики короткого импульса, распространяющегося в однородной среде с одним процессом резонансной релаксации, описываемой в рамках обобщенного уравнения состояния сред с линейным локальным откликом.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты имеют значение как для моделирования динамики профиля импульса в релаксационных средах так и для решения задач импульсной диагностики.

Новая аппроксимация пространственно-временного представления функции Грина для сред с СВР может быть, использована для моделирования; распространения акустического импульса в релаксационных средах со сложной реологией. При этом зависимость параметров аппроксимации только от экспериментально определяемых моментов СВР позволяет использовать ее и для целей импульсной диагностики сред.

Эта аппроксимация, также: может быть, применена для моделирования динамики коротких импульсов в пространственно неоднородных релаксационных средах, там где получение точных решений представляет принципиальную сложность, а численные методы расчета не достаточно эффективны.

В частности в диссертации произведен расчет динамики импульса в морской воде с локальным понижением температуры на небольшом участке распространения и показано, что это приводит к заметному изменению профиля импульса по сравнению с однородной средой даже в случае когда

относительная длина неоднородного участка и величина понижения температуры порядка нескольких процентов.

Новое точное пространственно-временное представление функции Грина для сред с двумя экспоненциальными релаксационными процессами позволяет подробно исследовать эволюцию профиля импульса в таких средах в том числе и на расстояниях, сравнимых с дисперсионной длиной. Кроме того, это точное представление позволяет оценить эффективность аппроксимации функции Грина для СВР.

Точные временные представления функций Грина точечного и линейного источника в экспоненциально неоднородной среде с релаксацией, описываемой моделью Максвелла, демонстрируют одновременное влияние пространственной и частотной дисперсии, а также геометрии излучения на динамику формы распространяющегося импульса. В частности показано, что в зависимости от соотношения между релаксационными свойствами среды и пространственной дисперсией, связанной с неоднородностью, динамика импульса может быть либо релаксационной, либо дисперсионной. Более того, при определенных соотношениях параметров, дисперсия, обусловленная неоднородностью среды и дисперсия, связанная с ее релаксационными свойствами могут полностью компенсировать друг друга. Эти временные представления функций Грина могут быть использованы для моделирования распространения импульсов в изотермической атмосфере и для диагностики ее свойств.

Теоретическое значение обобщенного уравнения состояния заключается в том, что им полностью исчерпывается описание линейного локального отклика сред в состояниях близких к термодинамическому равновесию. Это позволяет, помимо прочего, ставить задачу построения общей теории распространения импульсов малой амплитуды в таких средах. В свою очередь на основе такой теории может быть построена импульсная диагностика сред с. линейным локальным откликом.

Обобщенное уравнение состояния не только описывает, единым образом (в условиях своей применимости) все используемые в настоящее время модельные среды (такие как модели Максвелла, Фойгта, Дебая, Лоренца и др.), но и все множество промежуточных моделей, не рассматриваемых ранее.

Новое пространственно-временное представление функции Грина плоского источника в среде с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в

рамках обобщенного уравнения состояния, может быть использовано для моделирования распространения импульса в среде с процессом резонансной релаксации наиболее общего вида. В аналитической структуре этого представления удалось выделить как отдельные слагаемые предвестники Зоммерфельда и Бриллюена, ранее описываемые лишь асимптотически, и описать их формирование на расстояниях сравнимых с дисперсионной длиной.

Анализ этого временного представления позволил связать области значений параметров, характеризующих релаксационные свойства сред, с динамикой профиля распространяющегося в такой среде импульса. Построенная на этой основе классификация сред с резонансной релаксацией имеет важное значение для задач импульсной диагностики.

Апробация

Результаты работы докладывались на IV, X, XI, ХПГ сессиях Российского акустического общества (1995,1999,2001,2003); Fourth International Congress on Sound and Vibration (1996); III Международной научно-технической конференции «Современные методы и средства океанологических.измерений» (1997); 16th International Congress on Acoustics and 135th Meeting of Acoustical Society of America (1999); Третьем совещании.по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро- космических приложениях (2001); 141 Meeting of Acoustical Society of America (2001); International Photonic Research 2001; семинарах «Акустика неоднородных сред» научной школы проф. Рыбака (2000, 2002,2003); научных сессиях МИФИ 1999,2000,2001,2003.

Публикации

По теме диссертации в научных журналах и трудах конференций опубликовано 26 работ (см. список публикаций в конце автореферата), в том числе 5 работ в ведущих научных журналах по данной тематике.

Структура и объем

Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа содержит 165 страниц, в том числе 115 стр. текста, 54 рисунка, 8 страниц библиографии.

Содержание Глава 1

В первой главе исследуются общие закономерности распространения коротких импульсов малой амплитуды в средах, совокупность релаксационных процессов в которых при этом может быть описана в рамках линейной неравновесной термодинамики на основе подхода Мандельштама и Леонтовича.

В первом разделе излагается термодинамический подход Мандельштама и Леонтовича для сред с дискретным и непрерывным спектрами времен релаксаций (СВР). В рамках этого подхода воспроизведен вывод известных уравнений состояния релаксационных сред вблизи термодинамического равновесия.

Во втором разделе из уравнений движения и непрерывности, а также уравнения состояния релаксационных сред, получено наследственное уравнение, описывающее распространение волн в средах с СВР экспоненциального (кнезеровского) типа. Приведены высокочастотные и низкочастотные пространственно-временные асимптотические представления функции Грина плоского источника в данной среде (фундаментального решения одномерной задачи). С их помощью показаны некоторые важные экспериментально измеримые закономерности динамики импульса и их связь с

релаксации Т.

В третьем разделе, с использованием подхода, предложенного в работе [Дунин С.З., Максимов ГА Акуст. Журн. 1988, Т.34, №6, с. 1048-1055], на основе приведенных в первом разделе асимптотических представлений, а также точного решения для среды с одним релаксационным процессом, получена новая аналитическая аппроксимация пространственно-временного представления функции Грина сред с произвольным СВР. Эта аппроксимация в качестве параметров использует только те моменты СВР, которые могут быть получены из профиля импульса. Эта аппроксимация имеет вид:

моментами

нормированный спектр времен

о

-/ТА)

г

2 Л

Г(Рп)

ехр

/

А/ЧА)

лл

а)

I!

2

+5Ц')ё

где введены обозначения: ? = 1—х!¡3 = хА/(2ст <Т>), Д = 1 -с^/с^, сюс0 -высокочастотный и низкочастотный пределы фазовой скорости, а все

остальные параметры выражены через пять измеримых моментов СВР: <т~2 >, <т~1 >, <Т° >, <т1 >,<т2 >:

Р\ =

{ч н и <^>т 8

1 <г">2,

„ <'2>

Ро =

<г2> лз <г>2< г"' >2р0'

<т>2<т~1>2

Р\

1"~2 Ф~ П 1 - <Т2> I „ [7г ф~ ф-—. Л-^Л-^. Л-^^Л

<т 1 >

Ф=—^Г"Т> А = 2р0{2р0-р0-р0), В = 2(р0-р0), <т >

С=-

4*

2р0(р0 "Ро)2 "РоА +А2(Ро -Ро) + гА2Ро

Ро-Ро

Аппроксимирующее выражение (1) воспроизводит характерные измеримые особенности профиля импульса, характеризуемые этими моментами. Для среды с одним релаксационным процессом полученная аппроксимация сводится к точному решению для этого случая. Условия применимости выражения (1), налагающие некоторые ограничения на вид СВР, также явно сформулированы в диссертации.

В четвертом разделе приведены численные расчеты профиля короткого импульса, распространяющегося в средах с различными СВР, выполненные на основе полученной аппроксимации. В частности, для среды с двумя релаксационными процессами (Г, !хг — 2) на рис.1, приведены временные

профили тела импульса на безразмерных расстояниях Р — 1, 3, 5, 7, 9 (слева направо) вычисленные с помощью аппроксимационного выражения (1) (пунктир) и с помощью точного пространственно-временного представления функции Грина (сплошная линия), полученного во второй главе.

Рис.1 Глава2

Во второй главе получены новые временные представления функции Грина (фундаментального решения) для среды с двумя релаксационными процессами.

В первом разделе второй главы, с использованием теоремы Эфроса об обобщенной свертке, получено новое пространственно-временное представление функции Грина для среды с двумя релаксационными процессами, состоящее из трех слагаемых, описывающих соответственно упругий предвестник высокочастотную и низкочастотную

части тела импульса.

/(/,*) = 1рЦ,х)+Ц{1,х) + 1ь°((,х), (2)

Здесь введены следующие обозначения

Первые два слагаемых (2а) и (26) выражены через

тхтг <т >

элементарные функции и функции Бесселя, а. третье (2в) представляет полностью действительный интеграл в конечных пределах, прямой численный расчет которого также не представляет сложностей. Детальный анализ функции Грина позволил записать ее высокочастотную часть в инвариантном виде, справедливом для среды с произвольным СВР. При этом особенности высокочастотной части тела импульса содержат информацию о первых моментах СВР, определяемых экспериментально. Динамика временного профиля тела импульса для среды с двумя релаксационными процессами (Т| / Т2 — 2) на различных расстояниях* от источника показана сплошными

линиями на рис.1 (см. выше)

Во втором разделе, для низкочастотной составляющей тела импульса получено аналитическое выражение, которое позволяет получить ее адекватное описание в широком диапазоне изменения параметров СВР.

(За)

Справедливость этого выражения подтверждена путем сравнения с результатами прямого численного расчета. На рис.- 2 показаны временные профили только интегрального слагаемого на различных расстояниях от источника при параметрах- СВР Т2/т^= 3.0 Сплошная линия

соответствует численному расчету интеграла; штриховая линия - расчет по аналитическому выражению.

В третьем разделе приведено альтернативное временное представление функции Грина, полученное с помощью обычной-теоремы о свертке. Оно состоит из четырех слагаемых, первое из которых описывает упругий предвестник, два других высокочастотные вклады от каждого из релаксационных процессов в отдельности, а четвертое слагаемое представляет собой низкочастотный совокупный вклад от обоих релаксационных процессов.

Глава3

В третей главе на ряде характерных примеров исследовано влияние пространственной' неоднородности релаксационной среды и геометрии источника на характер распространения импульсов.

В первом разделе получены новые точные выражения для функций Грина линейного и точечного источников в неоднородной среде с экспоненциальным распределением плотности вдоль одной из координат уО(К.) = р(0)ехр(—аг)

для случая, когда дисперсионно диссипативные свойства среды описываются в рамках модели Максвелла. Они имеют вид:

_££_!_ со *(гф2-г2/с1)

линеит2пвР(т,() = е 2 2г-\ 'еЬ-г/с) (4а)

ф2-г2/с1

4тгвр(К,0 = е

-а г IX

где х = л/(ас®)2-г 2

■ эффективная частота осцилляции импульса.

Проанализированы особенности динамики распространения акустического импульса, возбуждаемого в такой среде линейным и точечным источниками. Показано, что в зависимости от соотношения между релаксационными свойствами среды и пространственной дисперсией, определяемой неоднородностью среды, распространение импульса может проходить либо как в релаксационной среде, в случае если эффективная частота мнимая

(релаксационный тип), либо как в неоднородной (пространственно-дисперсионной) среде, если действительна (дисперсионный тип).

На рис.3 приведены временные профили свертки функций Грина с коротким импульсом вида на различных расстояниях от источника. На

рис. За показан релаксационный тип динамики профиля импульса, а на рис.Зб дисперсионный. Отношение времени релаксации к начальной длительности импульса равно При определенных соотношениях параметров

дисперсия, обусловленная неоднородностью среды и дисперсия, связанная с ее релаксационными свойствами могут полностью компенсировать друг друга.

Это обстоятельство в принципе может быть полезно для диагностики релаксационныхсвойствнеоднородной среды.

Во втором разделе исследована эволюция профиля одномерного акустического импульса при его распространении в неоднородной среде, в условиях применимости ВКБ приближения, т.е. когда характерная длина волны импульса много меньше масштаба пространственной неоднородности среды.

в 0 04 08 12 16 2

Рис. За Рис.Зб

Аналитическая аппроксимация профиля импульса, полученная в главе 1, использована для моделирования динамики короткого импульса, распространяющегося в неоднородной релаксационной среде. Подход, предложенный в работе [Максимов Г.А. Акуст. журн. 1993, Т.39, № 4, С. 703714], позволил свести неоднородную задачу с единственным релаксационным механизмом, к математически эквивалентной ей однородной задаче со спектром времен релаксации, являющимся интегральной характеристикой трассы распространения. В этом случае моменты СВР, которые входят в выражение (1), также оказываются интегральными характеристиками трассы распространения.

Проведены оценки влияния неоднородности среды на характер распространения импульса. Были рассчитаны (см. рис.4) временные профили короткого акустического импульса, распространяющегося в однородном (пунктир) и неоднородном (сплошная линия) океане на расстояниях (сверху вниз соответственно) 400,600,800,1000 метров. Температура океана 25 °С. Дня неоднородного океана температура понижена на 2 °С на участке трассы общей длинной 2 метра. Температурная зависимость времени релаксации в соответствии с законом Аррениуса имеет вид = Т0 ехр(I//Т(х)), где и -энергия активации, а Т(х) температура, зависящая от координаты.

0 1Е-5 2Е-5 " ЗЕ-5 4Е-5 5Е-5

time, sec -

Рис. 4

Проведенные численные расчеты показывают, что даже сравнительно небольшая локальная температурная неоднородность среды приводит к существенным изменениям в динамике временного профиля импульса, и что это обстоятельство может быть использовано для диагностики таких неоднородностей.

Глава 4

В: первом разделе дано • обобщение на случай резонансной релаксации термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича, который- в классической формулировке приводит к описанию отклика среды в терминах только экспоненциальной релаксации. В основе этого обобщения лежит

альтернативная формулировка принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера для величин, обладающих различной симметрией по отношению к инверсии времени. С учетом этого обстоятельства выводится обобщенное локальное уравнение состояния среды, находящейся вблизи термодинамического равновесия. В окончательно форме оно может быть записано в виде:

Здесь введены следующие обозначения: Р'(Х) - отклонение давления от равновесного значения, е^) - отклонение удельного объема от равновесного значения, совместный спектр времен релаксаций, собственных

частот и углов инерционности

Показано, что данное уравнение состояния является исчерпывающим при описании линейного отклика среды в рамках локальных моделей. Показано, что все существующие в настоящее время локальные модели линейного отклика среды, являются частными случаями обобщенного уравнения состояния.

Во втором разделе на примере среды с единственным механизмом резонансной релаксации продемонстрировано многообразие дисперсионно-диссипативных свойств, которые описываются в рамках обобщенного уравнения состояния. В этом случае уравнение состояния принимает вид: 5(г,,£21,<£»1) = ¿(г, - г)<5(П, -0)<%, - <р)

е«) - А '¡МеЦ - О соз(0/' - ^ (ба)

Исследованы все возможные типы частотной зависимости коэффициента поглощения а[а>) (рис.5) и фазовой скорости с (¿а) (рис.6) для различных значений параметров

И коэффициент поглощения, и фазовая скорость могут быть монотонно возрастающими функциями частоты. Они могут иметь максимум, минимум или максимум и минимум одновременно. При этом фазовая скорость и коэффициент поглощения могут приближаться к своему асимптотическому значению при (О —> со сверху или снизу.

Анализ экстремумов коэффициента поглощения а {со} и фазовой скорости С (¿у) позволяет сделать следующие утверждения об условиях, которым должны удовлетворять параметры О Г и ф для того, чтобы реализовывались

отмеченные выше случаи.

От

На рис.7 в плоскости С1т-<р показаны области, в которых коэффициент поглощения и фазовая скорость имеют отмеченные особенности. Коэффициент поглощения является монотонно возрастающей функцией частоты в областях 1 и 2, а в областях 3, 4, 5, 6 имеет максимум. Фазовая скорость монотонна в областях 1 и 3, имеет минимум в областях 2,4, 6, и имеет максимум в областях 5 и 6. Таким образом в области 6 фазовая скорость имеет и минимум и максимум. Во всей остальной части плоскости О.Т-ф существуют частоты, на которых коэффициент поглощения отрицателен, т.е. среда не является диссипативной.

В третьем разделе дана механическая интерпретация обобщенного уравнения состояния произвольной линейной среды с локальным откликом и предложена новая универсальная механическая ячейка (рис.8), являющаяся обобщением модели стандартного неупругого тела и механической модели среды Лоренца.

Показано, что инерционный угол (р характеризует соотношение между инерционным откликом релаксационной подсистемы, пропорциональным ускорению, и ее безинерционным откликом, пропорциональным скорости.

Глава5

В пятой главе проведено исследование динамики импульса в среде с единственным процессом резонансной релаксации.

В первом разделе с использованием теоремы Эфроса об обобщенной свертке получено новое пространственно-временное представление функции Грина плоского импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации. Если ввести обозначение А = р(с05^) — то в случае А < О это

пространственно-временное представление имеет вид:

V )>

а в случае А> 0 может бьггь записано в виде:

-РрСОЗ:

фА /

Л

У * т ) \

ч (8)

/У

Здесь также введены С = (Я/Л)г+(£2г)2.

обозначения В = рОт^тр + ПтсоБр)

Представление (7) и (8) является полностью действительным. В нем аналитически выделен упругий предвестник и предвестник Зоммерфельда, а предвестник Бриллюена выражен интегралом от действительной функции в конечных пределах. С помощью этого представления возможен эффективный прямой численный расчет профиля импульса в области его диспергирования.

Во втором разделе проведен подробный асимптотический анализ пространственно временного представления функции Грина (7) и (8). На основе этого анализа разработана эффективная методика расчета функции Грина на больших расстояниях от источника, где прямой расчет интегральных слагаемых затруднен.

В третьем разделе с использованием прямого численного расчета профилей импульсов с помощью точного представления (7) и (8), полученного в первом разделе, и его асимптотического анализа, проведенного во втором разделе, определены и описаны все возможные типы динамики импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации, проведена их классификация. Удалось показать связь динамики диспергирования импульса в зависимости от параметров среды с особенностями дисперсии фазовой скорости и частотной

и

зависимости коэффициента поглощения, отмеченными в четвертой главе. Таким образом, тип динамики импульса, как оказалось, определяется тем в какой из областей рис.7 находится точка характеризующая среду. Это

обстоятельство может быть использовано для диагностики сред с резонансной релаксацией.

В качестве иллюстрации на рис. 9 и 10. приведены временные профили тела импульса на различных безразмерных расстояниях /? в средах, характеризуемых параметрами из областей 1 и 6 (рис.8) соответственно.

Заключение

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Получено новое аналитическое описание динамики временного профиля короткого импульса в среде с произвольным спектром времен релаксации.

Все параметры этого описания явно выражены через экспериментально определяемые моменты СВР.

2. Получено новое точное пространственно-временное представление функции Грина короткого импульса в среде с двумя экспоненциальными релаксационными процессами.

3. Получены новые точные пространственно-временные представления функций Грина линейного и точечного источников в неоднородной среде с экспоненциальным распределением плотности вдоль одной из координат, дисперсионно-диссипативные свойства которой описываются моделью Максвелла.

4. На. основе термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича, с учетом альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера получено новое обобщенное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом, и дана его механическая интерпретация.

5. Исследованы все допустимые в рамках обобщенного уравнения состояния среды с одним частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения и проведена их классификация.

6. Получено новое аналитическое пространственно-временное представление функции Грина плоского импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации в виде суммы упругого предвестника, предвестника Зоммерфельда и предвестника Бриллюена. На основе этого представления определены и классифицированы все возможные типы динамики короткого импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации и показана их связь с частотными особенностями поведения фазовой скорости и коэффициента поглощения.

Список публикаций по теме диссертации

1. Максимов Г. А., Ларичев В Л. О возможностях импульсной акустодиагностики релаксационных сред. // Акустические измерения. Методы и средства. / М. 1995 Труды IV сессии РАО, с. 60-62

2. Maksimov G.A., Larichev V.A. Opportunity of acoustics pulse diagnostics of relaxation media // Proceedings of Forth International Congress on Sound and Vibration, 1996,24-27 June, St Petersburg, Russia, v. 3, pp. 1601-1606

3. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Диагностика температурных неоднородностей океана на основе импульсных акустических измерений. // Труды III Международной научно-технической конференции «Современные методы и средства океанологических исследований». Москва 1997 А. Гидрофизика, с. 7.

4. Ларичев В.А., Максимов Г.А. К аналитическому описанию динамики короткого акустического импульса, распространяющегося в релаксационной среде. // Акустический журнал, 1997, том 43, № 3, с. 367375

5. Ларичев В А., Максимов Г.А. Функции Грина линейного и точечного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла // Акустический журнал, 1997, том 43, № 6, с. 817-820

6. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О едином описании релаксационных и резонансных свойств акустических сред в рамках термодинамического подхода. // Акустический журнал, 1998, том 44, № 6, с. 814-822

7. Larichev V.A., Maksimov G.A Acoustic pulse diagnostic of relaxation media / Proceedings 16* International Congress on Acoustics and 135th Meeting of Acoustical Society of America. 20-26 June 1998, Seattle, Washington, USA, v. 2,pp. 1177-1178

8. Larichev V.A., Maksimov G.A. Acoustic pulse diagnostic of relaxation media // J. Acoust. Soc. Am., 1998, v.103, no.5, pt2, p. 2881

9. Larichev V.A., Maksimov G.A. Universal local state equation for description of experimental end resonant relaxation at sound wave propagation // J. Acoust Soc. Am., 1999, v.105, no.2, pt.2, p. 1337

10. Larichev V.A., Maksimov G.A. Propagation of a short acoustic pulse in a medium with two relaxation processes. Exact solution. // J. Acoust. Soc. Am., 1999, v.105, no.2, pt.2, p. 1337

11. Ларичев В.А.,'Максимов Г.А. Распространение короткого акустического импульса в среде с двумя релаксационными процессами. Анализ точного решения // Акустический журнал, 1999, том 45, № 6, с. 844-856

12. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение короткого акустического импульса в среде с двумя релаксационными процесса// Научная сессия МИФИ-99. Сборниктрудов. Москва. 1999,т. 1, с. 251-2ми. 52

13. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О едином описании релаксационных и резонансных свойств акустических сред в рамках термодинамического подхода. // Научная сессия МИФИ-99. Сборник трудов. Москва. 1999, т. 1, с. 253-254

14. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Обобщенная функция локального отклика релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического описания. // Научная сессия МИФИ-2000. Сборник трудов. Москва. 2000, т. 5, с. 167-168

15. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Общие закономерности распространения короткого импульса в среде с резонансной релаксацией. // Научная сессия МИФИ-2000. Сборник трудов. Москва. 2000, т. 5, с. 169-170

16. Максимов Г.А., Ларичев В.А. Обобщенная функция отклика релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. А.С. Рыбака М., 2000с.126-138

17. Ларичев В.А. Максимов Г.А. Общие закономерности распространения короткого импульса в среде с резонансной релаксацией. / Сборник трудов X сессии РАО, Т.1, стр.69-73., Москва, ГЕОС, 2000.

18. Larichev V.A., Maksimov G.A. Propagation of short pulse through arbitrary relaxing media with resonant properties. A new approach. // J. Acoust. Soc. Am., 2001, v.l 09, no.5, pt.2, p. 2437

19. Larichev V.A., Maksimov G.A. The Short Pulse Propagation in the Resonant Relaxation Medium // Proceedings of Integrated Photonic Research 2001 pp. IWA3-1-IWA3-3

20. Ларичев В.А Максимов Г.А. Расчет динамики короткого импульса в среде с одним релаксационным резонансным процессом. / Сборник трудов XI сессии РАО, Т.1, стр.86-89., Москва, ГЕОС, 2001.

21. Ларичев В .А., Максимов Г. А. Расчет динамики короткого импульса в среде с одним релаксационным резонансным процессом. // Научная сессия МИФИ-2001. Сборник трудов. Москва. 2001, т. 5, с. 196-198

22. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение коротких импульсов в диссипативных и активных средах с резонансной релаксацией // Третье совещание по магнитной и плазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях (Аннотации к докладам) М. 2001 Институт высоких температур РАН

23. Ларичев В.А, Максимов Г.А Распространение коротких импульсов в среде с резонансной релаксацией // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. АС. Рыбака М., 2002 с.82-92

24. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О механической интерпретации обобщенной функции отклика произвольных сред с резонансной релаксацией // Научная сессия МИФИ-2003. Сборник трудов. Москва. 2003, т. 5, с. 58-60

25. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение короткого импульса в среде с резонансной релаксацией. Точное решение. // Акустический журнал, 2003, том 49, № 5, с. 656-666

26. Ларичев В.А, Максимов Г.А. О механической интерпретации обобщенной функции отклика сред с резонансной релаксацией / Сборник трудов XI сессии РАО, Т. 1, стр.65-68., Москва, ГЕОС, 2003

Принято к исполнению 22/03/2004 Исполнено 24/03/2004

Заказ № 97 Твраж:100экз.

ООО «11 -й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)318-40-68 www autoreferat го

-S02*1

Содержание

Введение

Глава 1 Аналитическое описание динамики короткого импульса ^ распространяющегося в среде с произвольным СВР

1.1 Термодинамический подход Мандельштама и Леонтовича к описанию дисперсионно-диссипативных свойств сред в близи состояния термодинамического равновесия.

1.2 Связь динамики короткого импульса с параметрами 27 релаксационной среды

1.3 Аппроксимирующее аналитическое выражение, описывающее динамику короткого импульса, распространяющегося в релаксационной среде с произвольным СВР

1.4 Примеры численных расчетов динамики импульса

Диссертация посвящена проблеме распространения акустических импульсов малой амплитуды в средах, обладающих частотно-зависимым поглощением и дисперсией фазовой скорости. Поскольку поглощение и связанная с ним частотная дисперсия проявляется в той или иной мере практически во всех реальных средах, то это явление играет значительную роль для различных научных и технических приложений, так или иначе связанных с использованием как акустических, так и электромагнитных импульсов. В частности, проявлением дисперсионно-диссипативных свойств является то, что форма и амплитуда импульсов изменяется по мере их распространения, что позволяет использовать это обстоятельство как для диагностики свойств среды, так и для правильной интерпретации передаваемого сигнала.

Таким образом, в рассматриваемой проблеме можно выделить прямую и обратную задачу. Прямая задача состоит в описании распространения импульсов в средах с известными параметрами поглощения и дисперсии, а обратная - в восстановлении дисперсионно-диссипативных свойств среды по динамике формы распространяющегося импульса.

Актуальность прямой задачи связана прежде всего с приложениями, в которых для изучения какого-либо объекта используется излученное им самим или отраженное от него волновое поле. В качестве примеров таких приложений можно назвать локационное зондирование различных объектов в океане, дефектоскопию и интроскопию различных материалов, акустический каротаж, ультразвуковую медицинскую диагностику и др. Отметим, что разрешающая способность методов импульсного локационного зондирования тем выше, чем меньше длительность импульса, однако именно короткие импульсы подвергаются наиболее сильному искажению вследствие дисперсии. Поэтому важно отделить структуру волнового поля связанную с исследуемым объектом от особенностей, связанных с дисперсионно-диссипативными свойствами среды.

Прямая задача имеет важное значение также и для передачи информации. В этой связи переход от способа передачи информации, основанного на амплитудно-частотной модуляции квазимонохроматических волн, к использованию последовательностей коротких импульсов с широким спектром и высокой скважностью, в принципе позволяет существенно увеличить скорость передачи информации. Однако поглощение и дисперсия, оказывающие наиболее сильное влияние на распространение коротких импульсов создают определенные трудности на этом пути.

Другая группа приложений связана с обратной задачей. Поскольку частотная дисперсия в среде определяется релаксационными процессами, происходящими на молекулярном или микроструктурном уровне, решение обратной задачи может быть использовано для определения параметров, характеризующих молекулярные или микроструктурные свойства сред, а также кинетику соответствующих релаксационных процессов. Такими величинами могут быть, например, параметры спектра времен релаксации ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975;Кельберт, Чабан 1986;Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996]). Таким образом, импульсная диагностика ([Кельберт, Сазонов 1987;Нигул 1981;Нигул 1984;Максимов 1996]), основанная на решении обратной задачи может служить инструментом молекулярной акустики и дополнением к традиционной акустической спектроскопии.

Заметим, что в англоязычной литературе использование закономерностей динамики формы импульса для определения каких-либо дисперсионных характеристик среды часто называют спектроскопией во временной области (time domain spectroscopy) (см. например [Roberts, Petropoulos 1996]).

Хотя в обычных условиях импульсная диагностика по-видимому может служить лишь дополнением к традиционным спектроскопическим методам, существуют задачи, в которых у импульсных методов есть значительные преимущества ([Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996;Roberts, Petropoulos 1996]). Для традиционной спектроскопии обычно требуется сложный комплекс измерений в широком частотном диапазоне. Причем в процессе измерений необходимо поддерживать стационарные условия в течение относительно длительного времени. Это обстоятельство осложняет применение спектроскопии для диагностики быстропротекающих процессов и неустойчивых сред или сред, находящихся под воздействием быстроменяющихся внешних условий. В таких случаях импульсные методы могут иметь существенные преимущества.

Примерами задач, в которых целесообразно использовать импульсные методы диагностики могут служить задачи мезомасштабной диагностики атмосферы ([Иванченко, Николаев 2000]) и океана ([Кельберт, Сазонов 1987]). В этих задачах при проведении спектроскопических измерений возникает весь отмеченный выше комплекс сложностей, в тоже время импульсные измерения могут быть проведены сравнительно просто.

Следует отметить особую роль коротких импульсов в задачах импульсной диагностики. В таких задачах, так же как и в задачах локационного зондирования, важно отделить особенности динамики импульса, определяемые средой, от особенностей определяемых его начальным профилем. В работе [Максимов 1996] показано, что в случае когда длительность импульса много меньше чем характерные времена происходящих в среде релаксационных процессов, его динамика определяется главным образом дисперсионными свойствами среды и практически не зависит от его первоначальной формы. Это обстоятельство делает короткие импульсы удобным диагностическим инструментом.

Заметим также, что корректная постановка и решение обратной задачи - задачи импульсной диагностики - в значительной мере определяется возможностью нахождения решения прямой задачи, явно зависящего от параметров, характеризующих дисперсионно-диссипативные свойства среды. В этом случае обратная задача может быть поставлена как задача отыскания таких значений параметров, при которых решение прямой задачи было наиболее близко к профилю импульса, полученному экспериментально. Общность такой постановки определяется возможностью достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств реальных сред.

Таким образом, с точки зрения диагностики, важно получить такое описание дисперсионных свойств, которое, с одной стороны, может быть: охарактеризовано макроскопическими параметрами, применимыми к широкому классу сред, а с другой -важно чтобы эти параметры допускали физически понятную молекулярную или микроструктурную интерпретацию.

Способы описания дисперсионных свойств сред

Реальные среды обладают широким разнообразием дисперсионно-диссипативных свойств и существует разнообразные подходы к их описанию в рамках различных моделей. При этом описание дисперсионно-диссипативных свойств среды, проявляющихся в особенностях распространения коротких импульсов, также оказывается модельно зависимым.

Остановимся на основных подходах, используемых для описания дисперсионно-диссипативных свойств сред ([Коган 1963]).

Эмпирическое описание

Наиболее простым способом такого описания является прямое использование экспериментальных кривых частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости, полученных в результате прямых спектроскопических измерений в определенной ограниченной области частот. Эти данные в дальнейшем могут быть экстраполированы на всю оставшуюся область частот в рамках той или иной модели, удовлетворяющей принципу причинности, что обычно достигается учетом дисперсионных соотношений Крамерса — Кронинга (см. например [Ландау, Лифшиц Т.VIII 1992]). Такой способ не требует информации о физической природе механизмов, ответственных за дисперсионно-диссипативные свойства. Однако свойства среды, выявленные таким способом, являются: чисто эмпирическими, и, не могут быть использованы для другой среды, или той же среды, но находящейся в других условиях.

Примеры теоретического обоснования и использования этого подхода можно найти в работах [Дерягин 1931; Гинзбург 1955; Горшков 1957; Азими и др. 1968; Губкин 1984; Lamb 1962].

Механические модели

Другой подход к описанию дисперсионно-диссипативных свойств основан на моделировании реологии среды, т.е. ее механического поведения под влиянием внешнего воздействия. Несмотря на то что, ни закон Гука, ни закон вязкого течения Ньютона в отдельности в точности не описывают механическое поведение значительной части реальных сред даже в линейном приближении, качественное, а иногда и количественное согласие с экспериментами часто удается получить в предположении, что процессы упругого и вязкого деформирования протекают в среде одновременно. Механическое поведение материала при таком подходе может быть смоделировано совокупностью последовательно и параллельно соединенных упругих элементов (пружинки), подчиняющихся закону Гука и вязких элементов (демпферы, поршни), подчиняющихся закону вязкого течения Ньютона ([Работнов 1977; Новик, Берри 1975; Аскадский 1973]), а также сосредоточенных масс в качестве инерционных элементов ([Achenbach, Chao 1962; Новик, Берри 1975; Николаевский 1985]), если реакция материала имеет также и инерционные свойства.

Наиболее простые модели такого типа это совокупность упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно (модель Максвелла) или параллельно (модель Кельвина-Фойгта), а также их обобщение — трехэлементная модель стандартного неупругого тела ([Новик, Берри 1975; Аскадский 1973]), представляющая собой модель Кельвина-Фойгта последовательно соединенную с пружиной. Эти модели как правило лишь качественно описывают поведение неупругих сред. Однако более сложными моделями такого типа, состоящими из большего числа элементов можно эффективно описать поведение целого ряда материалов ([Николаевский и др. 1970; Аскадский 1973; Новик, Берри 1975; Работнов 1977]).

Все возможные механические модели можно рассматривать как частные случаи общего подхода, положенного в основу наследственной теории упругости. Этот подход был предложен Больцманом ([Аскадский 2001]), который исходил из того, что если тело ранее испытывало деформацию, то повторная деформация до той же величины потребует меньшего напряжения, причем это уменьшение напряжения тем больше, чем больше длилась первичная деформация. Далее предполагается, что описанный выше эффект суммируется при многократном воздействии. Таким образом, состояние среды в текущий момент времени оказывается зависимым от суммы возмущений во все предшествующие моменты. Это наиболее общее предположение о локальной реакции линейной среды на возмущение, может быть выражено в виде интегрального уравнения наследственного типа (уравнения Вольтерра) [Работнов 1979; Ландау, Лифшиц Т.УШ 1992] с релаксационными ядрами, описывающими дисперсионные свойства среды.

Вид релаксационных ядер в рамках наследственной теории упругости подбирается, как правило, из эвристических соображений. Такие ядра обычно должны быть положительными, монотонно убывать с ростом времени, удовлетворять критерию «затухающей памяти» [Работнов 1979; Локшин, Суворова 1982], а также аппроксимировать по возможности большее количество экспериментальных зависимостей и быть удобными для интегрирования. В литературе рассматривается ряд модельных релаксационных ядер: экспоненциальное, ядро Абеля, дробно-экспоненциальное ядро Работнова и др. (см. например [Коган 1966; Работнов 1979; Локшин, Суворова 1982, Nigul 1983]). Параметры таких ядер обычно не поддаются явной физической интерпретации. Хотя следует отметить, что определенные соображения в пользу выбора той или иной формы ядра в некоторых случаях могут быть приведены. Механические модели, таким образом, можно рассматривать как метод получения экспоненциальных релаксационных ядер.

Как отмечено в работе [Работнов 1979], способ построения релаксационных ядер, основанный на построении механических реологических моделей, обладает тем преимуществом, что релаксационные ядра построенные на его основе не противоречат законам термодинамики, хотя, по мнению автора [Работнов 1979], «было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы».

Однако, при всех своих достоинствах подход, основанный на наследственной теории упругости, также является в определенной мере феноменологическим, опосредованным образом учитывающим реальные процессы происходящие в среде при деформировании на молекулярном или микроструктурном уровне. В рамках такого подхода априори трудно определить могут ли свойства конкретной среды быть описаны данным релаксационным ядром. И хотя параметры релаксационных ядер представляют собой некоторые характеристики среды, прямая связь этих параметров с ее микроструктурными характеристиками, как правило затруднена.

Заметим также, что в электродинамике общая линейная связь между напряженностью и электрической индукцией или поляризацией (см. например [Ландау, Лифшиц, Т.VIII 1992; Гинзбург, 1967; Виноградова и др. 1990; Ермаченко 1998] и др.) также описывается уравнением наследственного типа (уравнением Вольтерра). Таким образом, математически задача о распространении электромагнитного импульса в линейной среде, дисперсия в которой определяется уравнением состояния наследственного типа, также оказывается эквивалентной задаче о распространении акустического импульса в среде с уравнением состояния, описываемым в рамках наследственной теории упругости. ([Кельберт, Сазонов 1987; Виноградова и др. 1990] и ДР-)

Микроскопические модели релаксационных механизмов

Качественно иной подход к описанию дисперсионных свойств среды основан на моделировании процессов, происходящих в среде на молекулярном или микроструктурном уровне под влиянием макроскопического внешнего воздействия.

В рамках этого подхода моделируются элементарные процессы, происходящие с микроструктурным элементом среды при макроскопическом воздействии, после чего результат тем или иным образом усредняется по объему среды.

Дисперсионно-диссипативные свойства многих сред были эффективно описаны в рамках этого подхода. В многоатомных газах дисперсия, как показано Кнезером [Kneser 1913] и др., определяются релаксационными процессами передачи энергии между внешними (поступательными) и внутренними (вращательными и колебательными) степенями свободы молекулы. Такие процессы обычно называют кнезеровскими (см. например [Красильников, Крылов 1984]). В газе возможны и другие релаксационные процессы ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Мезон 1969]), в частности, процессы установления химического равновесия и др. Разнообразные релаксационные процессы возможны в жидкостях и в твердых телах ([Красильников, Крылов 1984; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кельберт, Сазонов 1991; Новик, Берри 1975]). В частности в жидкостях также возможны кнезеровские релаксационные процессы, различного рода химическая релаксация (например процессы диссоциации молекул электролита), структурная релаксация, связанная с изменением ближнего порядка в расположении молекул, релаксация пузырьков в жидкостях с пузырьками газа, а также другие релаксационные процессы, причем многие из них часто происходят одновременно. Различные релаксационные процессы как на молекулярном, так и на микроструктурном уровне возможны в жидких кристаллах [Капустин, Капустина 1986], стеклах и полимерах [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964]. В твердых кристаллических телах ([Новик, Берри 1975; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кожевников 1997; Мамин 2001; Ерофеев, Ромашов 2002]) возможны релаксационные процессы, связанные с дислокациями в кристаллах, фазовыми переходами и др.

Однако, если для многоатомных газов как правило удается построить простые и достаточно адекватные микроскопические модели релаксационных процессов, то для жидкостей и твердых тел микроскопическое описание процессов релаксации часто представляет собой очень сложную задачу. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984] и др.)

При этом важно также отметить, что во многих жидких и твердых средах (например в полимерах, вязких жидкостях, жидких кристаллах и др.) одновременно может протекать большое количество как различных так и однотипных релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Исакович, Чабан 1988]).

Отметим также, что частотная дисперсия фазовой скорости электромагнитных волн в различных средах может быть интерпретирована в рамках микромоделей релаксационных процессов на молекулярном уровне. Наиболее известными в электродинамике моделями являются модель Дебая полярных диэлектриков [Debye 1929], и модель Лоренца неполярных диэлектриков [Lorentz, 1952].

Модель Лоренца описывает релаксации поляризации молекул неполярного диэлектрика на основе уравнений динамики отдельных связанных электронов [Lorentz, 1952; Гинзбург 1967; Ермаченко 1998]. В этой модели предполагается, что движение электрона может быть описано уравнением гармонического осциллятора с затуханием.

Такое же уравнение описывает релаксацию в жидкости с пузырьками газа или в кристаллах с дислокациями ([Новик, Берри 1975; Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Буланов 2001]).

Дисперсия в полярных диэлектриках была описана Дебаем ([Debye 1929]), как релаксационный процесс теплового разупорядочивания ориентации дипольных молекул, упорядоченных электромагнитным импульсом. В этой модели считается, что тепловая релаксация поляризации происходит по экспоненциальному закону ([Виноградова и др. 1990]), аналогично средам с релаксацией кнезеровского типа. В результате частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения в модели Дебая имеют вид аналогичный тем, что возникают в многоатомных газах вследствие кнезеровских релаксационных процессов.

Иногда модель Дебая используют как феноменологическую модель, аналогично механическим моделям,, рассмотренным выше. Так, например, для аппроксимации экспериментальных данных по диэлектрической проницаемости мускульной ткани использовалась модель Дебая с двумя и пятью эмпирически подобранными временами релаксации. [Hurt 1985].

Адекватные микроскопические модели по-видимому наиболее полно описывают дисперсионные свойства соответствующих сред. В тоже время, как оказалось, разные микроскопические модели приводят в линейном приближении к математически эквивалентным уравнениям, описывающим процессы релаксации (например, отмеченные выше различные по своей природе релаксационные процессы кнезеровского типа и др.). Более того, характеристики релаксационных процессов в линейном приближении как правило не зависят от деталей той или иной модели, а определяются такими комбинациями их микроскопических параметров, которые могут быть интерпретированы, например, как характерные времена соответствующих релаксационных процессов.

Термодинамический подход

Определенной альтернативой микроскопическим моделям является подход, предложенный Мандельштамом и Леонтовичем [Мандельштам, Леонтович 1937]. Он с одной стороны учитывает реальные релаксационные процессы происходящие в среде при возмущении, а с другой позволяет не вникать в микроскопические механизмы этих процессов.

Этот подход основан на описании отклика среды на возмущение в линейном приближении квазиравновесной термодинамики. В этом случае предполагается что состояние термодинамического равновесия среды полностью определяется ее основными термодинамическими переменными (например давлением, плотностью и температурой). Внешнее возмущение (распространяющийся импульс) выводит среду из состояния термодинамического равновесия. При этом релаксация внутренних параметров происходит значительно медленнее чем изменение основных термодинамических переменных и можно считать, что среда в каждый момент времени находится в состоянии неполного равновесия, характеризуемого помимо основных термодинамических переменных, еще и текущими значениями внутренних параметров.

Примерами таких внутренних параметров могут быть степень диссоциации молекул, распределение энергии между внутренними и внешними степенями свободы молекул многоатомного газа, концентрация дислокаций и др.

Релаксация среды в целом описывается как совокупность различных релаксационных процессов, каждый из которых, независимо от его физического механизма, характеризуется двумя параметрами: временем релаксации и мощностью, выражаемыми через термодинамические характеристики среды. В этом случае уравнение состояния является уравнением наследственного типа с релаксационным ядром в виде суммы затухающих экспонент, каждая из которых описывает отдельный релаксационный процесс. Это ядро аналитически эквивалентно тому, которое получается из механических моделей, обобщающих стандартное неупругое тело, а также из многих микроскопических моделей. В частности, релаксационное ядро такого типа возникает в модели Кнезера релаксационных процессов в многоатомных газах, поэтому все релаксационные процессы, описываемые экспоненциальными ядрами часто называют кнезеровскими ([Кельберт, Сазонов 1987]).

Термодинамический поход Леонтовича и Мандельштама в настоящее время является общепринятым при описании множества релаксационных процессов в различных средах. Изложению этого подхода и его применению для описания свойств многих сред уделено значительное место в ряде фундаментальных монографий. В частности, в работе [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964] проведено описание на основе термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича основных типов молекулярных и микроструктурных релаксационных процессов возможных в жидкостях и газах, а в монографии [Новик, Берри 1975] приведена термодинамическая интерпретация разнообразных релаксаций в кристаллических твердых телах.

Таким образом, в рамках термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича удается описать дисперсионные свойства различных сред в терминах релаксационных процессов, эффективно на макроскопическом уровне учитывающих проявление микроструктуры среды, не углубляясь при этом в микроскопические механизмы этих процессов.

В фундаментальных монографиях [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975] даже утверждается, основываясь на известных в то время экспериментальных работах, что в рамках подхода Леонтовича Мандельштама могут быть по-видимому описаны практически все релаксационные процессы по крайней мере в газах и жидкостях. Исключение, по мнению этих авторов, составляли только релаксационные механизмы, связанные с дислокациями в кристаллах.

Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода

Однако, при всей общности подхода Леонтовича-Манделыптама, существуют среды релаксация которых не описывается суперпозицией экспоненциальных релаксационных процессов. Это, во-первых, микронеоднородные среды, в которых дисперсия является не только частотной, но и пространственной [Исакович 1979; Кельберт, Чабан 1986], а также среды с резонансной релаксацией. В качестве примера можно привести жидкости с пузырьками газа [Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Бескаравайный, Ковалев, Поздеев 1983, Буланов 2001], кристаллы с дислокациями [Новик, Берри 1975, Михайлов, Соловьев, Сырников 1964, Ерофеев, Ромашов 2002], твердые стекла при низкой температуре, системы связанных частиц со спином, помещенных в магнитное поле и др. [Исакович, Чабан 1988], а также, неполярные диэлектрики [Lorentz, 1952] (для электромагнитных волн).

Обычно среды с резонансной релаксацией рассматриваются отдельно от общего термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича. Например, в работе [Кельберт, Чабан 1986] предложено независимо рассматривать три типа релаксации кнезеровскую, резонансную и релаксацию диффузного обмена.

Если ограничиться только средами с локальным откликом на внешнее возмущение (т.е. средами без пространственной дисперсии), то все линейные среды можно разбить на два класса: среды с экспоненциальной релаксацией, свойства которых описывается в рамках подхода Леонтовича-Манделыптама и среды с резонансной релаксацией. К последним относится, в частности, модель Лоренца [Lorentz, 1952], которая по существу является одним из примеров микромоделей, не сводящихся к термодинамическому описанию.

Однако из общих соображений неясно, почему релаксация в резонансных средах не может в линейном приближении быть описана в рамках квазиравновесной термодинамики.

Таким образом, обобщение термодинамического подхода на случай резонансной релаксации является актуальной задачей, поскольку такое обобщение открывает путь к построению единой теории релаксации произвольных линейных сред с локальным откликом на возмущение.

Наличие же достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств сред, в свою очередь, позволяет в общем виде поставить как прямую задачу - задачу об определении закономерностей распространения импульсов в произвольной линейной среде, так и обратную - задачу об определении параметров такой среды по динамике формы распространяющегося импульса, т.е. задачу импульсной диагностики сред.

Распространение импульсов в диспергирующих средах

Для решения как прямой, так и обратной задачи важно иметь аналитические соотношения, описывающие динамику профиля импульса в пространственно-временной области. Несмотря на то, что в рамках линейной теории импульс во временной области дается интегралом Фурье от его спектральных компонент, выражения для которых сравнительно нетрудно получить аналитически, соотношения между параметрами среды, координатой и временем в пространственно-временном представлении, описывающим динамику импульса, оказываются нетривиальными и представляют основной интерес при решении как прямой, так и обратной задачи.

Для квазимонохроматических импульсов (импульсов огибающей), такие выражения могут быть получены в рамках классической теории дисперсии (см. например [Вайнштейн 1976; Виноградова, и др. 1990] др.). Однако дисперсия квазимонохроматических импульсов определяется главным образом, частотной зависимостью фазовой скорости и коэффициента поглощения лишь вблизи несущей частоты. Короткие же импульсы содержат широкий спектр частот и соответствующая теория для них оказывается неприменимой.

Когда же длительность импульса оказывается сравнимой по величине с характерными временами релаксационных процессов получение явно зависящих от времени аналитических выражений для профиля импульса, вообще говоря, представляет собой весьма сложную задачу. Для решения этой задачи используются как точные, так и различные приближенные методы.

Асимптотические методы

Традиционным способом получения пространственно-временного представления импульса является применение асимптотических методов, в частности, метода перевала. По-видимому, впервые для анализа распространения синусоидальной волны с передним фронтом по среде, описываемой моделью Лоренца, этот метод был применен Зоммерфельдом [Sommerfeld 1914] и Бриллюеном [Brillouin 1914]. Последовательное изложение этого ставшего теперь классическим анализа имеется в монографии Бриллюена [Brillouin 1960], где воспроизведены также и оригинальные статьи. Важные уточнения в методику Зоммерфельда и Бриллюена были внесены Бирвалдом [Bearwald 1930]. Методика теоретического исследования импульсов в диспергирующих средах предложенная в этих работах активно развивается и в настоящее время. [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998, Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991]

Современная техника использования метода перевала для асимптотического анализа динамики импульса в среде Лоренца развита в серии работ Остена, Шермана и их коллег: [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998]. По сравнению с классическими работами Зоммерфельда и Бриллюена в этих работах основное внимание уделяется более точной аппроксимации зависимости перевальной точки как от пространственной и временной переменных, так и от параметров среды. Кроме того для получения равномерной асимптотики во всей области параметров используется прифронтовое разложение. В целом авторам указанных работ удается получить более точное воспроизведение динамики импульса в области его диспергирования.

В работах [Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991] метод перевала использовался для асимптотического анализа распространения импульсов различной начальной формы в среде с одним кнезеровским релаксационным процессом.

Несколько иная идея вычисления обратных преобразований Лапласа или Фурье заключается в разложении подынтегральной функции тем или иным образом в асимптотический ряд с дальнейшим интегрированием нескольких первых членов этого ряда. Этот подход в том или ином виде использовался в работах [Trizna, Weber 1982; Varoquaux, Williams, Avenel 1986; Wyns, Foty, Oughstun 1989; He, Storm 1996; Karlsson, Rikte 1998; Xiao, Oughstun 1998]. Как правило разложение проводилось при частоте стремящейся к бесконечности, и, таким образом, первые проинтегрированные члены ряда описывали прифронтовую часть импульса, определяемую высокочастотными компонентами спектра. Этим обстоятельством ограничивается применимость такого подхода. В работе [Karlsson, Rikte 1998] помимо этого использовалось еще и низкочастотное разложение, что позволило правильно описать относительно низкочастотную часть импульса (предвестник Бриллюена).

Еще один асимптотический подход заключается в замене на больших расстояниях от источника исходного интегро-дифференциального уравнения уравнением более простого диффузионного типа [Roberts, Petropoulos 1996; Roberts, Petropoulos 1999]. Функция Грина для такого уравнения также может быть получена в явном виде и использована на больших расстояниях от источника. Результаты полученные в этом подходе согласуются с результатами, полученными методом перевала. [Roberts, Petropoulos 1999]

Все упомянутые выше работы посвящены распространению импульса в средах с одним или, в некоторых случаях, двумя релаксационными процессами ([Xiao, Oughstun 1998]). Однако, как уже отмечалось, в реальных средах может одновременно протекать множество релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации (СВР). Таким образом, для описания распространения импульсов в реальных средах необходимо разработка подходов, учитывающих наличие широких и даже непрерывных СВР.

Ввиду отсутствия до последнего времени общего подхода к проблеме описания распространения импульса в среде с произвольным СВР в ряде работ предпринимались попытки получить описание динамики различных частей импульса в различных асимптотических пределах. Так в работах [Blake 1974; Leander 1991] и [Leander 1993] для среды Максвелла с произвольным СВР получены прифронтовые асимптотики. Асимптотики больших времен и расстояний для импульсов в среде с произвольным СВР рассматривались в работах [Blake 1974; Дунин, Максимов МТТ 1988].

Однако отдельные асимптотики не позволяют описать эволюцию импульса в целом для среды с произвольным СВР, особенно в области его диспергирования. А такая постановка вопроса является весьма актуальной для задач импульсной акустодиагностики релаксационных сред.

В работе [Дунин, Максимов 1988] предложен подход к аналитической аппроксимации профиля короткого импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов, пригодный для всей области распространения. Он основан на построении выражения, переходящего в соответствующих пределах в высокочастотную (прифронтовую) асимптотику и в низкочастотную асимптотику, соответствующую большим расстояниям от источника и от фронта импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов. Коэффициенты этой аналитической аппроксимации выражены через три первых момента СВР <тк >,к = 0,1,2,3.

Однако в работе [Максимов 1996] показано, что информация о параметрах спектра времен релаксации среды (о пяти моментах СВР < г* >,к = -2,-1, 0,1, 2 ) содержится в особенностях профиля импульса как вблизи фронта, исчезающих на больших расстояниях, так и вдали от него. Поэтому важно иметь равномерное описание полного профиля импульса во всей области его диспергирования в терминах указанных параметров СВР. Использование такой аппроксимации позволяет в практической плоскости ставить задачу определения моментов СВР по экспериментально измеренной динамике профиля импульса.

Точные решения

Преимущество точных аналитических решений для импульса в пространственно-временной области в задачах диагностики по сравнению с асимптотическими представлениями связано прежде всего с тем, что такие выражения описывают все особенности распространения импульса на всех этапах распространения и в любой части профиля, причем с явной зависимостью от параметров среды. Особый интерес представляют функции Грина задачи, поскольку динамика коротких импульсов прямо описывается их функцией Грина.

Однако до настоящего времени удалось получить только два точных решения для функции Грина короткого импульса для среды с одним экспоненциальным релаксационным процессом (модель стандартного неупругого тела) (см. например [Morrison 1956; Вайнштейн 1976; Дунин 1986], предельными случаями которого являются среды Кельвина-Фойгта [Зверев 1950; Carpenter 1967] и Максвелла [Berry 1958], а также для среды СВР вида 1/г [Дунин, Максимов 1990], выраженную через гипергеометрическую функцию в случае малой дисперсии фазовой скорости. Отметим также, что функции Грина для сред с Е и Ei памятью, полученные в [Нигул 1983], оказываются эквивалентными двум предыдущим случаям. На этом список известных автору точных решений исчерпывается.

Вместе с тем значительный интерес представляла бы функция Грина для среды с двумя релаксационными процессами. Помимо теоретической важности этой задачи для понимания динамики импульса в средах с распределенным СВР, простейшим примером которых является такая среда, эта задача имеет и практическое значение, в частности, для акустики океана, так как в морской воде дисперсия и поглощение, связаны главным, образом с двумя релаксационными процессами при диссоциации солей MgS04 и В(ОН)з. (см. например [Житковский 1995])

Столь же важным является и поиск функции Грина для среды Лоренца с резонансной релаксацией, что позволило бы снять вопрос о равномерном описании динамики короткого импульса в такой среде, возникающий в различных асимптотических подходах [Oughstun, Sherman 1994].

Таким образом, для понимания закономерностей распространения коротких импульсов в релаксационных средах важным является поиск новых аналитических фундаментальных решений в пространственно-временной области.

Распространение импульсов в неоднородных средах

Следует заметить, что на практике создавать одномерные импульсы часто бывает достаточно сложно, и соответствующее описание оказывается приближенным. В тоже время, довольно обычными являются источники, излучающие сферические и цилиндрические волны. Закономерности распространения сферических и цилиндрических импульсов в однородной релаксационной среде рассматривались в работах [Кукуджанов 1963; Blake 1974; Кельберт, Сазонов 1987; Дунин, Максимов МТТ 1988; Кельберт, Сазонов 1991; Рохлин 1995], однако, даже в этом более простом случае найдены лишь асимптотики отдельных частей профиля импульса, а точных решений до последнего времени получено не было.

В силу этого представляет определенный интерес выяснить, как сказывается неодномерность геометрии излучения на динамике изменения профиля импульса, распространяющегося в неоднородной релаксационной среде.

Все упомянутые выше работы, посвященные распространению импульсов, касались только однородных сред. В неоднородных средах помимо частотной дисперсии, связанной с микроструктурой среды, возникает также и пространственная дисперсия, определяемая неоднородностью. Таким образом, как для прямой задачи так и для задачи импульсной акустической диагностики среды на практике важно уметь описывать совместное влияние на форму распространяющегося импульса диспергирующих свойств среды, связанных с релаксацией и с пространственной неоднородностью. Такая задача может быть актуальна, например, в случае температурно-неоднородной среды, или при моделировании динамики импульсов, распространяющихся в газовой атмосфере, неоднородность плотности в которой определяется полем тяжести.

Идея общего подхода к описанию распространения импульсов в неоднородной среде с дисперсионно-диссипативными свойствами была высказана в работе [Шемякин 1955] и эффективно развита в работах [Дунин, Максимов МТТ 1988; Дунин, Максимов 1990; Максимов 1993; Максимов 1994]. Суть подхода заключается в разделении (факторизации) пространственно неоднородных свойств среды и ее дисперсионно-диссипативных свойств. Если такое разделение оказывается возможным, то решение задачи сводится к свертке решения упругой неоднородной задачи и фундаментального решения плоской задачи для дисперсионно-диссипативной среды.

Этот же подход использован в работе [Максимов 1994] для получения точных решений, описывающих распространение плоского импульса в экспоненциально неоднородной среде, с релаксаций описываемой моделью Максвелла. Представляет интерес обобщить решение этой задачи с учетом реальной неодномерности распространения импульса в атмосфере. Кроме того, интересным представляется оценить влияние температурных неоднородностей в океане по методике описанной в работе [Максимов 1993] на динамику распространения коротких импульсов с целью их дистанционной диагностики импульсными методами.

Экспериментальные результаты

Реальный смысл различные теоретические построения, в том числе и касающиеся распространения импульсов, приобретают тогда, когда они могут быть сопоставлены с экспериментом. В этой связи следует упомянуть несколько экспериментальных работ, которые подтверждают теоретические результаты.

Аналитическое выражение функции Грина во временной области было с успехом использовано для интерпретации результатов экспериментов по распространению коротких импульсов в уксусной кислоте [Андреев, Сапожников, Тимофеев 1994; Зенкова, Зозуля 2001].

Здесь следует заметить, что для интерпретации более ранней экспериментальной работы [Carome, Parks, Mraz 1964] по распространению импульсов конечной длительности в уксусной и пропановой кислоте, терахлориде и дисульфиде углерода использовалось численное суммирование рядов Фурье через которые был выражен источник [Carome, Fleury, Wagner 1964]. А в работе [Moffett, Beyer 1970] использовался подход [Blackstock 1967], основанный на классической теории дисперсии, для интерпретации результатов по распространению конечного импульса с узким спектром в терахлориде углерода. В обоих подходах удалось получить приемлемое согласие с экспериментальными профилями, но оба они, в отличии от [Андреев, Сапожников, Тимофеев 1994; Зенкова, Зозуля 2001] не позволяют получить из экспериментальных профилей важные параметры среды, такие, например, как время релаксации.

Таким образом, из приведенного выше обзора следует, что в вопросе распространения коротких импульсов в реальных дисперсионно-диссипативных средах существует ряд нерешенных проблем, представляющих как фундаментальный научный интерес, так и практический интерес для различных приложений, в частности, для акустодиагностики сред.

Цель работы

Целью работы является теоретическое исследование закономерностей распространения коротких импульсов малой амплитуды в релаксационных средах с локальным откликом, т.е. средах дисперсионно-диссипативные свойства которых обуславливаются экспоненциальными и резонансными релаксационными процессами. При этом основное внимание уделено решению следующих проблем:

1. Описание распространения коротких импульсов в однородных средах, обладающих спектром времен релаксации в терминах экспериментально измеряемых параметров СВР.

2. Поиск точной функции Грина для среды с двумя релаксационными процессами.

3. Поиск точной функции Грина точечного и линейного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла.

4. Единое описание релаксационных и резонансных свойств сред в рамках термодинамического подхода Леонтовича-Манделыптама

5. Поиск точной функции Грина, описывающей динамику коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией и исследование закономерностей распространения короткого импульса в такой среде.

Научная новизна

Научная новизна приводимых в диссертации результатов состоит в том, что впервые получены точные пространственно временные представления функций Грина ряда задач, а именно для среды с двумя релаксационными процессами, среды с единственным процессом резонансной релаксации, изотермической атмосферы с релаксационными свойствами Максвелла для точечного и линейного источников. Для среды с произвольным СВР построена новая аналитическая аппроксимация профиля импульса с использованием экспериментально измеряемых параметров его динамики. Впервые дано обобщение термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича при учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера. На этой основе впервые выведено универсальное уравнение состояния линейных сред с локальным откликом и дана его механическая интерпретация. Для среды с одним процессом резонансной релаксации проведено исследование возможных типов динамики короткого импульса и впервые дана их полная классификация.

Положения выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Новая аналитическая аппроксимация пространственно-временной функции Грина одномерной среды с произвольным спектром времен релаксаций (СВР), использующая экспериментально измеряемые моменты СВР.

2. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина одномерной среды с двумя экспоненциальными релаксационными процессами, его анализ и упрощенная аналитическая аппроксимация.

3. Новые точные пространственно-временные представления функций Грина линейного и точечного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла и их анализ.

4. Новое универсальное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом, выведенное путем обобщения термодинамического подхода Манделыптама-Леонтовича при учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера, и его механическая интерпретация.

5. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина одномерной среды с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в рамках обобщенного уравнения состояния.

6. Новая полная классификация допустимых форм эволюции короткого импульса, распространяющегося в однородной среде с одним процессом резонансной релаксации, в рамках обобщенного уравнения состояния сред с линейным локальным откликом.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты имеют значение как для моделирования динамики профиля импульса в релаксационных средах так и для решения задач импульсной диагностики.

Новая аппроксимация временного представления функции Грина для сред с СВР может быть использована для моделирования распространения акустического импульса в релаксационных средах со сложной реологией. При этом зависимость параметров аппроксимации только от экспериментально определяемых моментов СВР позволяет использовать ее для целей импульсной диагностики сред.

Эта аппроксимация также может быть применена для моделирования динамики коротких импульсов в пространственно неоднородных релаксационных средах, там где получение точных решений представляет принципиальную сложность, а численные методы расчета не достаточно эффективны.

В частности в диссертации произведен расчет динамики импульса в морской воде с локальным понижением температуры на небольшом участке распространения и показано, что это приводит к заметному изменению профиля импульса по сравнению с однородной средой даже в случае когда относительная длина неоднородного участка и величина понижения температуры порядка нескольких процентов.

Новое точное временное представление функции Грина для сред с двумя экспоненциальными релаксационными процессами также может быть использовано для моделирования динамики импульса и для определения релаксационных параметров сред (времен релаксации и относительных мощностей релаксационных процессов). Это точное временное представление позволяет подробно исследовать эволюцию профиля импульса на расстояниях, сравнимых с дисперсионной длиной. Кроме того, это точное представление позволяет оценить эффективность аппроксимации функции Грина для СВР.

Точные временные представления функций Грина точечного и линейного источника в экспоненциально неоднородной среде с релаксацией, описываемой моделью Максвелла, демонстрируют одновременное влияние пространственной и частотной дисперсии, а также геометрии излучения на динамику формы распространяющегося импульса. В частности показано, что в зависимости от соотношения между релаксационными свойствами среды и пространственной дисперсией, связанной с неоднородностью, динамика импульса может быть либо релаксационной, либо дисперсионной. Более того, при определенных соотношениях параметров, дисперсия, обусловленная неоднородностью среды и дисперсия, связанная с ее релаксационными свойствами могут полностью компенсировать друг друга. Эти временные представления функций Грина могут быть использованы для моделирования распространения импульсов в простой модельной изотермической атмосфере.

Теоретическое значение обобщенного уравнения состояния заключается в том, что им полностью исчерпывается описание линейного локального отклика сред в состояниях близких к термодинамическому равновесию. Это позволяет, помимо прочего, ставить задачу построения общей теории распространения импульсов малой амплитуды в таких средах. В свою очередь на основе такой теории потенциально возникает возможность ставить задачу импульсной диагностики сред с линейным локальным откликом в общем виде.

Обобщенное уравнение состояния не только описывает единым образом (в условиях своей применимости) все используемые в настоящее время модельные среды, но и множество модельных сред, не рассматриваемых ранее.

Новое аналитическое представление во временной области функции Грина плоского источника в среде с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в рамках обобщенного уравнения состояния, может быть использовано для моделирования распространения импульса в среде с процессом резонансной релаксации наиболее общего вида. В аналитической структуре этого представления удалось как отдельные слагаемые выделить ранее описываемые лишь асимптотически предвестники Зоммерфельда и Бриллюена и описать их формирование на расстояниях сравнимых с дисперсионной длиной.

Анализ этого временного представления позволил связать области значений параметров, характеризующих релаксационные свойства сред с динамикой профиля распространяющегося в такой среде импульса. Построенная на этой основе классификация сред с резонансной релаксацией имеет значение для задач импульсной диагностики.

Апробация

Результаты работы докладывались на IV, X, XI сессиях Российского акустического общества (1995,1999,2001); Fourth International Congress on Sound and Vibration (1996); III Международной научно-технической конференции «Современные методы и средства океанологических измерений» (1997); 16 International Congress on Acoustics and 135th Meeting of Acoustical Society of America (1999); Третьем совещании по магнитной и плазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях (2001); 141 Meeting of Acoustical Society of America (2001); International Photonic Research 2001; семинарах «Акустика неоднородных сред» научной школы проф. Рыбака (2000, 2002); научных сессиях МИФИ 1999,2000,2001,2003.

Публикации

По теме диссертации в научных журналах и трудах конференций опубликовано 26 работ [Maksimov, Larichev 1996; Ларичев, Максимов 1997-1, Ларичев, Максимов 19972, Ларичев, Максимов 1997-3, Ларичев, Максимов 1998; Maksimov, Larichev 1998; Larichev, Maksimov 1998; Ларичев, Максимов 1999-1, Ларичев, Максимов 1999-2,

Ларичев, Максимов 1999-3; Larichev, Maksimov 1999-1; Larichev, Maksimov 1999-2; Larichev, Ларичев, Максимов 2000-1; Ларичев, Максимов 2000-2; Ларичев, Максимов

2000-3; Ларичев, Максимов 2001-1; Ларичев, Максимов 2001-2; Ларичев, Максимов

2001-3; Maksimov 2001-1; Larichev, Maksimov 2001-2; Ларичев, Максимов 2002; Ларичев, Максимов 2003-1; Ларичев, Максимов 2003-2] в том числе 7 работ в ведущих научных журналах по данной тематике.

Структура и объем

Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа содержит 164 страниц, в том числе 115 стр. текста, 54 рисунка, 8 страниц библиографии.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получена новая аналитическая аппроксимация профиля короткого импульса в среде с произвольным спектром времен релаксации. Параметры аппроксимации выражены через экспериментально определяемые моменты СВР.

2. Получено новое точное пространственно-временное представление функции Грина короткого импульса в среде с двумя экспоненциальными релаксационными процессами.

3. Получены новые точные функции Грина линейного и точечного источников в неоднородной среде с экспоненциальным распределением плотности вдоль одной из координат, дисперсионно-диссипативные свойства которой описываются моделью Максвелла.

4. На основе термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича получено новое обобщенное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом. В основе обобщения лежит альтернативная формулировка принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера для величин с различной симметрией по отношению к инверсии времени.

5. Дана механическая интерпретация обобщенного уравнения состояния произвольной среды с линейным локальным откликом и представлена универсальная механическая ячейка таких сред.

6. Исследованы все допустимые в рамках обобщенного уравнения состояния частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения и проведена их классификация.

7. Получено новое аналитическое представление во временной области функции Грина плоского импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации в виде суммы упругого предвестника, предвестника Зоммерфельда и предвестника Бриллюена.

8. На основе нового аналитического представления функции Грина определены и классифицированы все возможные типы динамики короткого импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации и установлена их связь с частотными особенностями поведения фазовой скорости и коэффициента поглощения.

1., Стиган, И. Справочник по специальным функчиям Стиган 1979. М.: Наука 1979

2. Азими и др. Азими Ш.А., Калинин А.В., Калинин В.В., Пивоваров Б.Л. 1968. Импульсные и переходные характеристики сред с линейными иквадратичными законами поглощения // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968, № 26, с. 42-54.

3. Андреев, Андреев В.Г., Сапожников О.А., Тимофеев С.Т. Эволкщия Сапожников, акустического импульса в среде с релаксацией // Акуст. журн. 1994, Тимофеев Т.40, №2, с. 196-199.1994.

4. Аскадский Аскадский А.А. Деформачия полимеров М.: Химия 1973 1973.

5. Аскадский Аскадский А.А. Лекции по физикохимии полимеров М.: МГУ 2001 2001.

6. Бреховских Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука 1973. 1973.

7. Буланов 2001. Буланов В.А. Введение в акустическую спектроскопию жидкостей

8. Владивосток Дальнаука 2001

9. Вайнпггейн Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // Усп. Физ. Наук 1976, 1976. Т. 118, № 2, С. 339-367.

10. Варламов, Варламов В.В. Нестеров А.В. Асимптотическое представление Нестеров 1990. решения задачи о распространении акустических волн внеоднородной сжимаемой релаксирующей среде //ЖВМиМФ. 1990. Т.30, №5, с.705-715

11. Васильев и др. Васильев В.А., Кельберт М.Я. Сазонов И.А., Чабан И.А.1987. Распространение сверхкоротких световых импульсов в резонансной поглощающей среде // Оптика и спектроскопия 1988 Т.64, №4 с.862-866.

12. Виноградова и Вино1радова М.В., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн М.: др. 1990. «Наука» 1990

13. Гинзбург Гинзбург В.Л. Об общей связи между поглощением и дисперсией 1955. звуковых волн // Акуст. Журн. 1955, Т. 1, с.31 -39.

14. Гинзбург Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: 1967. Наука 1967

15. Горшков 1957. О распространении импульсов в упругой среде с поглощением //

16. Акуст. Журн. 1957, Т.З, №2, с.154-162.

17. Губкин 1984. О поглощении упругих волн в твердой среде // Изв. АН СССР. Физика1. Земли. 1984, №Ю, с.14-24

18. Дерягин 1931. Дерягин Б.В. О затухании и дисперсии сейсмических волн // Журн.геофиз. 1931 Т.1, №1-2

19. Диткин, Диткин В.А., Кузнечов Т.И. Справочник по операчионному Кузнечов 1951. исчислению. М., Л.: 1951.

20. Дунин 1986. Дунин С.З. Распространение волн в слабо диспергирующих средах. //

21. ПМТФ. 1986, №1, С.138-141.

22. Красильников, Крылов 1984.38 Кукуджанов 1963.39 Лаврентьев, Шабат 1987.

23. Дунин С.З., Максимов Г.А. Распространение импульсов в средах смалой дисперсией скоростей и спектром времен релаксации 1/ г.

24. Точное решение. // ПММ 1990, Т.54, №3, С.480-484.

25. Дунин С.З., Максимов Г.А. Особенности структуры объемных волн вдисперсионно-диссипативных средах // Мех. Твердого Тела 1988, №2,с.94-100

26. Ермаченко В.М. Феноменологическая электродинамика сплошной среды М.: МИФИ 1998

27. Ерофеев В.И. Ромашов В.П. Влияние дислокаций на дисперсию и затухание ультразвука в твердом теле // Письма в ЖТФ 2002 №28 вып.6 с.6-11

28. Житковский Ю.Ю. Введение в акустику океана М.: Московский физико-технический институт 1995

29. Иванченко В.А. Николаев В.В. Особенности распространения сверхкоротких импульсов в среде загрязнитель-атмосфера // Письма в ЖТФ 2000 Т.26, вып. 19, с.65-71

30. Кельберт М.Я. Сазонов И.А. Распространение импульсов в среде с кнезеровской релаксацией // Изв. Высш. Уч. Зав. Радиофизика. 1987 Т.ХХХ, №3 с.394-397.

31. Кельберт М.Я., Сазонов И.А. Распространение импульсов в жидкостях. М.: Наука 1991,152 с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1984.

33. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику М. Наука 1984

34. Кукуджанов В.Н. Распространение сферических волн в упруговязкой среде. // Инж. журн. 1963, Т.З, №3, с.472-481

35. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

36. Ландау, Лифшиц T.VI, 1988.

37. Ландау, Лифшиц , T.V 1995.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

39. Теоретическая физика. Т. VI

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Статистическая физика. Часть 1. М.: Наука, 1995.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1988физика. T.V.физика. T.VIII

42. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Функции Грина линейного и точечного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла // Акустический журнал, 1997, том 43, № 6, с. 817-820

43. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О едином описании релаксационных и резонансных свойств акустических сред в рамках термодинамического подхода. // Акустический журнал, 1998, том 44, № 6, с. 814-822

44. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение короткого акустического импульса в среде с двумя релаксационными процессами. Анализ точного решения // Акустический журнал, 1999, том 45, №6, с. 844-856

45. Ларичев В. А., Максимов Г. А. Распространение короткого акустического импульса в среде с двумя релаксационными процессами. // Научная сессия МИФИ-99. Сборник трудов. Москва.1999, т. 1, с. 251-252

46. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О едином описании релаксационных и резонансных свойств акустических сред в рамках термодинамического подхода. // Научная сессия МИФИ-99. Сборник трудов. Москва. 1999, т. 1, с. 253-254

47. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Обобщенная функция локального отклика релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического описания. // Научная сессия МИФИ-2000. Сборник трудов. Москва. 2000, т. 5, с. 167-168

48. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Общие закономерности распространения короткого импульса в среде с резонансной релаксацией. // Научная сессия МИФИ-2000. Сборник трудов. Москва.2000, т. 5, с. 169-170

49. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение коротких импульсов в среде с резонансной релаксацией // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. А.С. Рыбака М., 2002 с.82-92

50. Ларичев В.А., Максимов Г.А. О механической интерпретации обобщенной функции отклика произвольных сред с резонансной релаксацией // Научная сессия МИФИ-2003. Сборник трудов. Москва. 2003, т. 5, с. 58-60

51. Ларичев В.А., Максимов Г.А. Распространение короткого импульса в среде с резонансной релаксацией. Точное решение. // Акустический журнал, 2003, том 49, № 5, с. 656-666

52. Максимов Г.А. Распространение коротких акустических импульсов в неоднородных релаксационных средах // Акуст. журн. 1993, Т.39, № 4, С. 703-714.

53. Максимов Г.А. О двух точных решениях задачи распространения акустического импульса в неоднородной максвелловской среде. //Акуст. журн. 1994 Т.40 №2. с.279-284.63 Максимов 1996.64 Максимов, Ларичев 1995.65 Максимов, Ларичев 2000.66 Мамин 2001.

54. Мандельштам, Леонтович 1937.68 Мезон 1969.

55. Максимов Г.А. О возможностях импульсной акустодиагностики однородных релаксационных сред // Акуст. журн. 1996, Т.42, № 4, С. 541-550.

56. Мамин Р.Ф. К теории фазовых переходов в релаксаторах // ФТТ, 2001, Т.43. вып.7 с. 1262-1267

57. Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. К теории поглощения звука в жидкостях // ЖЭТФ 1937. Т.7, №3. с.438-444.

58. Физическая акустика. / Под ред. Мезона У. М.: Мир 1969,2, ч. А.

59. Михайлов, Соловьев, Сырников 1964.

60. Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983.71 Нигул 1981.72 Нигул 1984.73 Нигул, Равасоо 1991.74 Николаевский и др. 1970.75 Новик, Берри 1975.

61. Прудников, Брычков, Маричев 1983.

62. Прудников, Брычков, Маричев 1986.78 Работнов 1977.79 Работнов 1979.80 Равасоо 1986.81 Фейнберг 1999.82 Шемякин 1955.83 Achenbach, Chao 1962.84 Barakat, Baumann 1969.85 Bearwald 1930.86 Berry 1958.87 Blackstock 1967.88 Blake 1974 .89 Bleistein 1966.

63. Михайлов И.Г., Соловьев В. А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики М. Наука 1964

64. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.П. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1983.

65. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред М.: Наука 1970 Новик А. Берри Б. Релаксационные явления в кристаллах. М.: Атомиздат, 1975

66. Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука 1983.

67. Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука 1986.

68. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.

69. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела М.: Наука, 1979

70. Равасоо А.А. Распространение одномерных волн в неоднородной наследственно упругой среде с Е памятью // Изв. АН СССР. МТТ. 1986, №4, с. 147-152

71. Фейнберг В.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности М.: Наука. Физматлит, 1999

72. Шемякин И.Е. Задача Лэмба для среды с упругим последействием // Докл. АН СССР 1955, Т.104, №2, с.193-196

73. Berry B.S. Stress propagation* in visco-elastic bodies. // J.Mech.Phys.Solids 1958, V.6, p.177-185.

74. Blackstock D.T. Transient solution for sound radiated into viscous liquid // J. Acoust. Soc. Am. 1967, Vol. 41, pp.1312-1319 Blake T.R. The decay of spherical waves in linear viscoelastic solid. // Z. Angew. Math. Phys. 1974, V.25, p.783-789.

75. Bleistein N. Uniform asymptotic expansion of integrals with stationary points near algebraic singularity // Commun. Pure Appl. Math. 1966, V.19, pp.353-370

76. Bleistein 1967. Bleistein N. Uniform asymptotic expansion of integrals with many nearbystationary points and algebraic singularities // J. Math. Mech. 1967, V.17, pp.533-559

77. Bottcher, C.J.F. Bottcher, P. Bordewijk Theory of Electric Polarization Amsterdam Bordewijk Elsevier 19781978.

78. Brillouin 1914. L. Brillouin Ann. Phys. (Leipzig) 44,203-240 (1914)

79. Brillouin I960. L. Brillouin Wave Propagation and Group Velocity (Academic, New York1960)

80. Carome, Carome E.F., Fleury P.A. Wagner W.J. Propagation of acoustic transients Fleury, Wagner in absorbing and relaxing media // J. Acoust. Soc. Am. 1964, Vol. 36, 1964. pp.2368-2373

81. Carome, Parks, Carome E.F., Parks P.E., MrazSJ. Propagation of acoustic transients in Mraz 1964. water // J. Acoust. Soc. Am. 1964, Vol. 36, pp.946-952

82. Chester, Chester C., Friedman В., Ursell F. An extension of the method of steepest Friedman, Ursell descent // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1957 V. 57, pp. 599-6111957.

83. Clark, Ruppert Clark G.B., Ruppert G.B. Plane and spherical waves in Voigt medium. // 1966. J.Geophys.Res. 1966, V.71, N 8, p.2047-2053.

84. Debye 1929. Debye P. Polar Molecules New York Dover 1929

85. Handelsman, Handelsman R.A., Bleistein N. Uniform asymptotic expansion of integrals Bleistein 1969. that arises in the analysis of precursors // Arch. Ration. Mech. Anal. 1969,1. V.35, pp.267-283

86. He, Storm He S., Storm S. Time-domain wave splitting and propagating in dispersive 1996. media // J. Opt. Soc. Am. 1996, Vol. 13, N. 11, pp.2200-2207

87. Hurt 1985. Hurt W.D. Multiterm Debye dispersion relations for permittivity of muscle

88. IEEE Trans. Biomed. Eng. 1985 BME-32 pp.60-64

89. Karlsson, Rikte Karlsson A., Rikte S. Time-domain theory forerunners // J. Opt. Soc. Am. 1998. 1998, Vol. 15, N.2, pp.487-502

90. Kneser 1931 . Kneser H.O. Zur Dispersions theorie des Schalles // Ann. Phys. 1931 №6,1. B.ll, S.761-776

91. Lamb 1962. Lamb G.L. The attenuation of waves in dispersive medium // J.

92. Geophysical Research 1962 V.67, N13, pp. 5273-5277

93. Larichev, Larichev V.A., Maksimov G.A. Acoustic pulse diagnostic of relaxation Maksimov media // J. Acoust. Soc. Am., 1998, v.103, no.5, pt.2, p. 28811998.

94. Larichev, Larichev V.A., Maksimov G.A. Universal local state equation for Maksimov description of experimental end resonant relaxation at sound wave 1999-1. propagation // J. Acoust. Soc. Am., 1999, v.105, no.2, pt.2, p. 1337

95. Larichev, Larichev V.A., Maksimov G.A. Propagation of a short acoustic pulse in a Maksimov medium with two relaxation processes. Exact solution. // J. Acoust. Soc. 1999-2. Am., 1999, v.105, no.2, pt.2, p. 1337

96. Larichev, Larichev V.A., Maksimov G.A. Propagation of short pulse through Maksimov arbitrary relaxing media with resonant properties. A new approach. // J. 2001-1. Acoust. Soc. Am., 2001, v.109, no.5, pt.2, p. 2437

97. Larichev, Larichev V.A., Maksimov G.A. The Short Pulse Propagation in the Maksimov Resonant Relaxation Medium // Proceedings of Integrated Photonic 2001-2. Research 2001 pp. IWA3-1 IWA3-3

98. Nigul U. The modified theory of viscoelasticity Tallinn Academy of Science of the Estonian SSR 1983

99. Olver F.W.J., Why steepest descents //Stud. Appl. Math. Rev. 1970 V.12, pp. 228-247

100. Oughstun K.E. Noninstantaneous, finite rise-time effects on the precursor field formation in linear dispersive pulse propagation // J. Opt. Soc. Am. A, August 1995, Vol. 12, No. 8, p.1715-1729

101. Oughstun, K.E., Balictsis, C.M. // Phys. Rev. E, 1993, Vol. 47, p. 3645

102. Oughstun, K.E., Balictsis, C.M. Gaussian Pulse Propagation in a Dispersive, Absorbing Dielectric // Phys. Rev. Lett., 9 September 1996, Vol. 77, No. ll,p.2210-2213

103. Oughstun, K.E., Balictsis, C.M. Generalized asymptotic description of the propagated field dynamics in Gaussian pulse propagation in a linear, causally dispersive medium // Phys. Rev. E, February 1997, Vol. 55, No. 2, p.1910-1921

104. Oughstun, K.E., Sherman G.C. Uniform description of electromagnetic pulse propagation in linear dispersive medium with absorption (the Lorentz medium) // J. Opt. Soc. Am. A, September 1989, Vol. 6, No. 9, p. 13941420

105. Oughstun, K.E., Sherman G.C. Uniform description of ultrashort rectangular optical pulse propagation in linear dispersive medium with absorption (the Lorentz medium) // Phys. Rev. A, 1990, Vol. 41, No. 11, p.6090-6113