Распространение волн в трехмерном неоднородном слое от осциллирующей подвижной нагрузки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Распространение сдвиговых волн в неоднородном слое от действия движущейся нагрузки.

§1. Математическая постановка задачи.

§2. Энергетические решения задач А, Б, В.

§3. Постановка задачи В.

§4. Задача А и условия ее разрешимости.

§5. Некоторые свойства дисперсионного множества однородной краевой задачи А.

§6. Энергетические соотношения и однородные решения задачи А.

§7. Анализ решения задачи В.

§8. Энергетические соотношения задачи В.

§9. Связь между энергией и потоком энергии в полярной системе координат в задаче В.

Глава 2. Численный анализ распространения сдвиговых волн в слое, состоящем из двух материалов.

§10. Распространение волн в двухслойной среде.

§11. Качественный анализ распространения сдвиговых волн в неоднородной полосе.

§12. Анализ численных результатов распространения сдвиговых волн в неоднородном слое.

Глава 3. Анализ распространения волн в изотропном неоднородном по глубине слое.

§13. Постановка задачи о распространении волн в изотропном неоднородном по глубине слое.

§14. Энергетические соотношения в изотропном слое.

§15. Анализ решения краевой задачи (13.7)-(13.8).

§16. Энергетический анализ распространения волн в слое.

§17. Колебание упругого слоя (задача В).

Глава 4. Численный анализ распространения сдвиговых волн в изотропном слое.

§18. Распространение волн в изотропном слое.

§19. Анализ численных результатов распространения волн в изотропном слое.

В диссертационной работе рассматриваются пространственные динамические задачи для неоднородного слоя, по - границе которого с постоянной скоростью w перемещается нагрузка, осциллирующая с частотой Q.

Такие задачи будем называть задачами В. В случае, когда П=0, a w^O, будем говорить, что рассматривается задача Б. Если же О, a w = 0, то такую 9 задачу о гармонических колебаниях будем называть задачей А. Основное внимание в диссертации уделено пространственным задачам, как наименее изученным в настоящее время.

Проблема, связанная с изучением колебаний и волн в ограниченных и полуограниченных телах, всегда вызывала и вызывает в настоящее время повышенный интерес. Об этом свидетельствуют монографии, среди которых упомянем следующие [3, 24, 28, 31, 34, 63 и др.]. Рассмотрение задач с подвижными нагрузками связано с увеличением скорости движения источников возмущений. Впервые задача с подвижными нагрузками была изучена в работах Галина JI.A. и Снеддона И. [32, 55, 75], а также в работах Дж. Коула [69] и Дж. Радока [72], в которых рассматривались плоские задачи. Нагрузка перемещалась по границе упругой полуплоскости с постоянной скоростью, то есть рассматривались лишь задачи типа Б. В работе Сретенского J1.H. [56] впервые была изучена задача о движении нагрузки по границе полупространства. Аналогичные задачи для полупространства рассматривались также в работах [6, 7, 36, 44, 54, 67, 69 и др.]. Причем изучались как дозвуковые, так и сверхзвуковые режимы, как, например в работе Ляпина А.А., Селезнева М.Г. и др. [44]. Многочисленные публикации посвящены изучению задач типа Б о контакте пластинок, балок, плит и оболочек с различного вида основаниями [67]. Отметим также монографию Весницкого А.И. [25], в которой отражены результаты автора и его учеников [26, 27] из Нижегородской школы механиков и последовательно изложена с единых позиций физических и математических основ теория динамического поведения упругих систем с движущимися границами и нагрузками на основе точных решений для стержней, балок, пластин и мембран. Задачи для балок и плит, лежащих на упругом полупространстве, при действии на них подвижной пульсирующей нагрузки рассмотрены в работах Терентьева В.Н. [58, 59] и Терентьева В.Н. и Филиппова А.П. [60], а Ставровским А.С. изучена задача о движении по границе полупространства сосредоточенной осциллирующей силы [57].

Вопросы, связанные с выделением единственного решения, как оказалось вызывающие трудности даже для простейшего волнового уравнения, начали рассматриваться еще в начале прошлого века [75] и изучались впоследствии во многих работах [44, 45, 52, 53, 61, 62]. В частности, в этих работах получили развитие принцип А. Зоммерфельда, принцип предельного поглощения Игнатовского B.C., принцип предельной амплитуды Тихонова А.Н. -Самарского А.А. и принцип энергетического излучения Мандельштама Л.И.

Отметим также, что различные принципы отбора физически осмысленных решений в задачах электродинамики движущихся сред с осциллирующими излучателями рассмотрены в работе Болотовского Б.М. и Столярова С.Н. [22]. В гидродинамике в работах Дж. Лайтхилла и др. [43, 71] также изучаются задачи А-В, в которых сформулированы принципы соответствия, развита теория асимптотик дальних полей и получены энергетические формулы для трехмерной неограниченной среды.

Различные подходы при изучении одномерных волновых процессов были применены в работах [29-31, 35, 36, 38-42]. Не останавливаясь детально на содержании всех перечисленных работ, отметим лишь работы Воровича И.И. [29, 30] и монографию [31], в которой более подробно изложены исследования работ [29, 30], поскольку достижения, полученные в них, будут существенно использованы при исследовании распространения волн в слое.

Следует отметить, что наблюдаемое в задачах А явление "обратной волны", в перечисленных выше работах, а также в работах Бабешко В.А. [4],

Рубцовой И.Г. [51], Толстого И. [73] и др., связанное с поведением дисперсионных кривых, встречается в задаче В гораздо чаще и связано не столько с дисперсионными кривыми, сколько со скоростью движения нагрузки [16, 48].

В большинстве указанных выше работ возмущения передавались среде непосредственно известной нагрузкой. .Однако существует целый класс работ, в которых изучаются процессы распространения волн, вызванных контактными усилиями, то есть рассматриваются динамические контактные задачи. Это работы Бабешко В.А. и его учеников [1-6]. Полученные результаты обобщены в монографиях [3, 31].

Наиболее близкие результаты, связанные с исследованиями, проводимыми в данной работе, были изложены в работах Белоконя А.В. [9-12], Белоконя А.В. и Воровича И.И. [14], Белоконя А.В. и Наседкина А.В. [15, 17, 18]. В работах [9-11] были рассмотрены плоские задачи для неоднородных упругих и вязкоупругих сред, сформулированы "принципы соответствия" между задачами А и В, а также изучены некоторые математические вопросы о распространении волн и потока энергии в неоднородной полосе. Численные результаты для однородной изотропной полосы, жестко защемленной по нижнему основанию, связанные с изучением дисперсионных кривых, а также распространением волн и потока энергии от движущегося и пульсирующего источника были представлены в работе [18]. В работах [12, 14] были впервые изучены математические вопросы, связанные с распространением упругих волн в неоднородном анизотропном слое. Там же впервые построены собственные и присоединенные собственные функции для трехмерного слоя и определены условия их существования, а также получены формулы для расчета распространения энергии в задачах А и В для общего вида анизотропии и неоднородности среды.

В отличие от предыдущих работ, где конкретные результаты были получены для плоских областей, в работе Наседкина А.В. [48] рассматривается трехмерный акустический слой, при этом изучаются дозвуковые и сверхзвуковые режимы и рассматриваются вопросы, связанные с распространением энергии от движущегося пульсирующего сосредоточенного источника возмущений. Более сложная задача теории упругости рассмотрена в работе Белоконя А.В. и Наседкина А.В. [16], в которой изучаются аналогичные вопросы в условиях дорэлеевской скорости движения нагрузки. В работе изучается кинематика движения и энергетика волн только с точки зрения подвижного наблюдателя и не затрагиваются вопросы с точки зрения неподвижного наблюдателя, как, например, это сделано в работах [15, 19]. В последнее время появились работы, в которых используется метод конечных элементов для построения дисперсионного множества, например, работа Наседкина А.В. [49].

Перейдем к изложению результатов диссертации. В главе 1 сформулирована математическая постановка задач А, Б и В для акустического слоя, даны определения обобщенных решений указанных задач, сформулированы теоремы о существовании единственного обобщенного решения задач Б и В. Приведена формулировка задачи В в преобразованиях Фурье, выписано ее решение и указана связь между задачами А и В.

Приведены условия разрешимости задачи А. Получено, что существует непустая область, в которой нет точек дисперсионных кривых однородной краевой задачи А, а первая дисперсионная кривая заключена между двумя параболами. Показано, что энергия в однородной краевой задаче А, осредненная за период колебаний и по толщине слоя, не является аддитивной функцией в том случае, когда функции /u(z\p(z) - произвольны. Получены условия для функций ju(z),p(z\ при выполнении которых энергия является аддитивной функцией, причем это не зависит от количества волн, бегущих от источника возмущений. Доказано, что в отличие от энергии поток энергии от суммы бегущих волн в неоднородном слое есть сумма потоков энергии от каждой волны в отдельности.

Для задачи В получено дисперсионное уравнение и доказано, что при использовании принципа предельного поглощения, решения дисперсионного уравнения смещаются в комплексную область. Вне области действия нагрузки найдены асимптотически однородные решения задачи В, с помощью которых показано, что поток энергии, проходящий через цилиндрическую поверхность, будет ограниченным при сколь угодно больших R. Доказано, что поток энергии в задаче В, осредненный за период колебаний и по толщине слоя и проходящий через цилиндрическую поверхность большого радиуса, не является аддитивной функцией, также как и энергия в задаче А. Найдено, что для аддитивности потока в задаче В на функции ju(z),p(z) налагаются условия, аналогичные выведенным в задаче А. В задачах А и В в полярной системе координат получены формулы, связывающие рассматриваемые энергию и поток энергии, осредненные по времени и толщине слоя [13, 21].

В главе 2 рассмотрена конкретная задача о распространении волн в двухслойной акустической среде. В §10 получены расчетные формулы для потока энергии в трехмерном слое, состоящем из двух сред. Поскольку построение дисперсионных кривых для трехмерной задачи опирается на дисперсионные кривые плоской задачи, то в §11 построены дисперсионные кривые для однослойной и двухслойной полосы и проведено их сравнение. В частности выяснилось, что для одного слоя возможны лишь ситуации, изображенные на рисунках а), б), в) (стр. 58), в то время как для двухслойной полосы возможна ситуация, изображенная на рисунке г) (стр. 58), свидетельствующая о том, что в двухслойной среде возможно распространение нечетного числа волн, в частности трех, в отличие от однородной среды, в которой распространяется всегда четное число волн. Проведен детальный анализ этой ситуации. В §12 проведены численные расчеты для трехмерной задачи для различных нагрузок, вызывающих распространение волн. Рассмотрены сосредоточенная сила, нагрузка, равномерно распределенная по линии и в прямоугольнике. Описаны особенности распространения волн от различных нагрузок и определены некоторые критические случаи, когда, например, максимальное значение потока энергии отличается от минимального примерно в 100 раз. В качестве проверки достоверности результатов рассмотрено поведение потока в зависимости от параметров области действия нагрузки. Если в качестве нагрузки рассматривать равномерно распределенную по линии вдоль оси OY нагрузку, то для акустического слоя с увеличением длины линии действия силы, поток распространяется в основном вдоль оси ОХ. В случае равномерно распределенной в прямоугольнике нагрузки, если вытянуть прямоугольник вдоль оси OY, то поток распространяется так, как и в предыдущем случае. Если вытянуть прямоугольник вдоль оси ОХ, то поток уходит назад от источника возмущений, концентрируясь в одном направлении. То есть получены физически ожидаемые результаты, что и подтверждает их достоверность.

В главе 3 изучены математические вопросы, связанные с распространением волн в изотропном неоднородном слое. Причем в отличие от работ [8, 12, 14, 16], нижняя часть слоя не является жестко защемленной, а лежит без трения и отрыва на жестком полупространстве. Неоднородность рассматривается только по толщине, то есть, постоянные Ляме X и ji зависят только от одной толщинной координаты z. Изменение граничных условий по сути дела приводит к тому, что в отличие от жестко защемленного слоя, не существует критической частоты, при которой бы в задачах А или В существовало бы энергетическое решение. Поэтому рассматриваемая в диссертации задача изучается лишь в неэнергетических классах. Для слоя, лежащего без отрыва на гладкой жесткой поверхности построено дисперсионное уравнение и доказано, что при использовании принципа предельного поглощения все решения дисперсионного уравнения смещаются в комплексную область. Установлено, что решение дисперсионного уравнения в пространстве трех вещественных переменных представляет счетное семейство поверхностей. Кроме того для задач А и В установлен вид асимптотического решения в слое и показано, какими свойствами должно обладать однородное решение в слое, чтобы поток энергии на бесконечности был ограничен. При помощи этих решений получены формулы для потока энергии, распространяющегося в слое в направлении г. Доказано, что независимо от вида нагрузки, действующей на слой, поток энергии в направлении в равен нулю. Для рассматриваемой задачи были исследованы три принципа построения единственного решения: принцип Зоммерфельда, принцип предельного поглощения ^ и принцип энергетического излучения. Найдено условие, при выполнении которого принцип предельного поглощения и принцип Зоммерфельда совпадают. Для рассматриваемой задачи сформулирован принцип энергетического излучения и показано, что решения, построенные на основе принципов предельного поглощения и излучения, всегда совпадают [20, 22].

В 4 главе для численной иллюстрации рассмотрена задача о распространении волн в трехмерном изотропном слое. Получены расчетные формулы, проведен численный анализ распространения волн в изотропном слое. Построены графики дисперсионных кривых для задач А и В. Для задачи В получены графики потока энергии для следующих видов нагрузки: сосредоточенной силы, нагрузки, равномерно распределенной по линии и в прямоугольнике, синусоидальной нагрузки, заданной в прямоугольнике. Подробно проанализировано влияние различных типов нагрузки на распространение волн. В качестве проверки достоверности результатов, как и для акустического слоя, рассмотрено поведение потока в зависимости от параметров области действия нагрузки. В случае равномерно распределенной по линии нагрузки с увеличением длины линии действия силы, поток распространяется вдоль оси ОХ. В случае равномерно распределенной в прямоугольнике нагрузки, если вытянуть прямоугольник вдоль оси OY, то поток распространяется так, как для равномерно распределенной по линии нагрузке. В случае, если вытянуть прямоугольник вдоль оси ОХ, то поток

11 уходит назад от источника возмущений, концентрируясь в одном направлении. Если уменьшать скорость движения нагрузки, то направление распространения потока приближается к оси OY и при w=0 совпадает с ней. То есть, как и для акустического слоя, получены физически ожидаемые результаты. Проведено сравнение численных результатов с результатами, полученными в работе [18] для жесткозащемленного изотропного слоя. В качестве нагрузки, как и в работе [18], выбрана сосредоточенная сила. Получено, что графики дисперсионных кривых задач В при одинаковых параметрах среды, полученные в диссертационной работе и в работе [18] существенно отличаются между собой.

1 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СДВИГОВЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОМ СЛОЕ ОТ ДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены стационарные динамические задачи для трехмерных акустического и упругого слоев, в частности:

1. Построена математическая теория для неоднородного по толщине акустического слоя для задач А-В. Установлены ограничения на w и П, при которых решения указанных выше задач существуют в энергетических классах. Для случаев, когда решение не существует в ^ энергетических классах, получены формулы, позволяющие рассчитывать как энергию, так и поток энергии, осредненные по толщине и за период колебаний.

2. Для акустического слоя, составленного из двух материалов, получены расчетные формулы для потока энергии, проведены численные расчеты для нагрузок типа сосредоточенной силы и нагрузки, равномерно распределенной по линии и в прямоугольнике. Выяснены основные особенности распространения потока энергии для различных материалов и для различных нагрузок. Выявлены случаи, когда вид нагрузки, толщина слоя, а также соотношения акустических параметров существенно влияют на распределение потока энергии.

3. Для трехмерного неоднородного по толщине изотропного слоя проведены математические исследования для задач А и В. Получено, что решение дисперсионного уравнения в пространстве трех вещественных переменных представляет счетное семейство поверхностей. Для выделения единственного решения рассмотрены различные принципы. Найдено условие, при выполнении которого принцип Зоммерфельда совпадает с принципом предельного поглощения. Сформулирован принцип энергетического излучения для рассматриваемой задачи и показано, что решения, построенные на основе принципов предельного поглощения и излучения всегда совпадают. Установлен вид асимптотического решения в слое для

1. Бабешко В.А. К теории динамических контактных задач // Докл. АН СССР. 1971. Т. 210. №3. С. 556-558.

2. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62-65.

3. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах в теории упругости. М.: Наука, 1984.254с.

4. Бабешко В.А. Об условиях излучения для упругого слоя // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. № 3. С. 547-549.

5. Бабешко В.А., Ватульян А.О., Головко Г.С. Возбуждение гармонических волн в анизотропной слоистой среде // Нефтяная промышленность. Нефтегазовая геол. и геофиз. Реферат научно-техн. сб.- 1983. №11. С. 16-18.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Возбуждения упругих волн движущимся гармоническим источником // КубГУ. -Краен., 1985. 21с.-Деп. в ВИНИТИ 3.09.85, № 6470-85 Деп.

7. Барниев А.Б. Распространение волн в полупространстве, возбужденных подвижной нагрузкой, бегущей по ее границе с дозвуковой скоростью // Тр. Фрунз. политехи, ин-та. 1975. Вып. 90. С. 128-132.

8. Белоконь А.В. Колебания и волны в полуограниченных и ограниченных телах: Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. Л., 1987.

9. Белоконь А.В. Колебания упругой неоднородной полосы, вызванные движущимися нагрузками // Прикл. математика и механика. 1982 Т. 46. №2. С. 296-302.

10. Белоконь А.В. К теории динамических задач с подвижными возмущениями для неоднородной упругой полосы // Докл. АН СССР. 1981. Т. 261, №5. С. 1079-1082.

11. П.Белоконь А.В. Некоторые "принципы соответствия" для динамических задач теории вязкоупругости // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1975. № 6.-С. 136-138.

12. Белоконь А.В. Собственные и присоединенные собственные функции в задаче о распространении упругих волн в анизотропном неоднородном по глубине слое // Известия Академии Наук. Механика твердого тела. М. №3. 2000. С.11-19,р

13. Белоконь А.В., Болгова А.И. Волновые поля в неоднородном трехмерном волноводе при действии на него подвижных пульсирующих нагрузок // Труды V Международной конференции, г. Ростов н/Д. 1999. Т. 2. Современные проблемы МСС. С. 20-25.

14. Белоконь А.В., Ворович И.И. О некоторых закономерностях образования волновых полей в анизотропном слое при пульсирующей движущейся нагрузке // Мех. и научн.-техн. прогресс. Т. 3. М.: Наука. 1988. С. 215-222.

15. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Взаимодействие движущихся штампов с упругими и вязкоупругими телами // Механика контактных взаимодействий. М. 2001. С. 331-345.

16. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Волны в неоднородном по толщине изотропном слое, вызванные движущимися нагрузками // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. С. 305-313.

17. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Модельная задача на распространение волн от движущихся пульсирующих нагрузок в упругом слое / Ростов н/Д, рукопись представлена РГУ. Деп. в ВИНИТИ 29 апреля 1986. № 3359 В56. 31 с.

18. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Распространение волн в изотропной жестко защемленной упругой полосе от движущихся осциллирующих нагрузок // Прикл. механика. 1986. Т. 22. № 9. С. 90-97.

19. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками // Акуст. ж. 1993. Т. 39. № 3. С. 421-427.

20. Болгова А.И. Распространение волн в трехмерном изотропном слое // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 36-37.

21. Болгова А.И. Распространение сдвиговых волн в неоднородном слое / Юж,-Рос. гос. техн. ун-т.(НПИ). Новочеркасск. 2000. 33с. Деп. в ВИНИТИ 7.08.00. №2195-В00 Деп.

22. Болгова А.И. Распространение энергии в слое от пульсирующей движущейся нагрузки / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.(НПИ). Новочеркасск. 2001. 32с. Деп. в ВИНИТИ 4.12.01. № 2516-В2001 Деп.

23. Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Современное состояние электродинамики движущихся сред (Безграничные среды) // Эйнштейновский сборник 1974. М.: Наука. 1976. С.179-275.

24. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 344 с.

25. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

26. Весницкий А.И., Кононов А.В., Метрикин А.В. Переходное излучение в двумерных упругих системах// ПМТФ. 1995. №3. С. 170.

27. Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е., Уткин Г.А. Волновые процессы в одномерных механических системах с движущимися вдоль них объектами: Учеб. пособие / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1997.

28. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.-287 с.

29. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1076-1079.

30. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. №4. С. 817-820.

31. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. - 320 с.

32. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехтеориздат, 1953.-264 с.

33. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981. -284 с.

34. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. - 258 с.

35. Зильберглейт А.С, Копилевич Ю.И. Спектральная теория регулярных волноводов. Ленинград, 1983. 302 с. ^

36. Зильберглейт А.С, Копилевич Ю.И. О дисперсионных кривых волноведущих систем, связанных с квадратичными операторами пучками // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259 №6. С. 1345-1349.

37. Коваленко Г.П. К расчету неоднородного упругого полупространства и пластинки, расположенной на нем // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1983. №1. С. 132-140.

38. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки / Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 95-146.

39. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка // Функц. анализ и его приложения. 1975. Т. 9. №4. С. 28-40.

40. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О полноте корневых векторов некоторых самосопряженных квадратичных пучков // Функц. анализ и его приложения. 1977. Т. 11. №4. С. 85-87.

41. Краснушкин П.Е. Вынужденные колебания бесконечной упругой полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 244. № 2. С. 325-329.

42. Краснушкин П.Е. О возбуждении нормальных и присоединенных волн в бесконечной слоистой упругой полосе // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 877-886.

43. Лайтхилл Дж. Волны в жидкости. М.: Мир, 1981 - 598с.

44. Ляпин А.А., Селезнев М.Г., Сообиявич Л.Е., Сообиявич А.Л. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. Изд-во Москва ГНИЦ ПГК Минобразования РФ, 1999. 294 с.

45. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике И Сб. трудов. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР. 1947 467 с.

46. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах. Физ. акустика: Принципы и методы. Пер. с англ., 1966. с. 140-203.

47. Наседкин А.В. Принципы предельного поглощения и предельной амплитуды в стационарных задачах теории упругости // Известия СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1986. № 4. С. 42-46.

48. Наседкин А.В. Распространение волн от движущегося осциллирующего точечного источника в акустическом слое // Исследования по расчету пластин и оболочек. Ростов н/Д: Рост. инж. строит, ин-т. 1986. С. 134-139.

49. Наседкин А.В. Конечноэлементный анализ спектральных задач для упругих и электроупругих волноводов с гармоническими подвижными источниками // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. - № 3. - с. 40-46.

50. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

51. Рубцова И.Г. Явление "обратной" волны для антисимметричного волнового поля в слое // Прикл. Механика. 1983. Т. 19. № 9. С. 117-121.

52. Свешников А.Г. О принципе излучения // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. № 5. С. 917-920.

53. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. №3. С. 1011-1013.

54. Синг, Куо. Колебания упругого полупространства под действием равномерно движущейся нагрузки, распределенной в пределах круга // Прикл. механика. М.: Мир. 1970. № 1. С. 114-120.

55. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961.-219 с.

56. Сретенский Л.Н. Распространение упругих волн, возникающих при движении системы нормальных напряжений по поверхности полупространства// Труды Моск. мат. об-ва. 1952. Т. 1. С. 167-187.

57. Ставровский А.С. Об одной модификации задачи Лэмба // Вестник Моск. Ун-та. Мат., мех. 1975. №5. С. 86-95.

58. Терентьев В.Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве // Труды v/всес. конф. по теории оболочек и пластинок. Баку. 1966. М., 1966.

59. Терентьев В.Н. Подвижные пульсирующие нагрузки в трехмерных задачах теории упругости//Прочность и пластичность. М.: Наука. 1971. С. 327-332.

60. Терентьев В.Н., Филиппов А.П. Вынужденные установившиеся колебания бесконечных балок, лежащих на упругом полупространстве // Прикл. Механика. 1965. Т. 1.№9.С. 107-114.

61. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О принципе излучения // ЖЭТФ. Т. 18. № 243. 1948. С. 28-31.

62. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-736 с.

63. Устинов Ю.А., Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

64. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т.1. -547 с.

65. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т.2. -555 с.

66. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1980.-608с.

67. Чурилов В.А. О действии на упругое полупространство движущейся по его границе с постоянной скоростью нормальной нагрузки // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41. № 1.125

68. Abraham U. The prorogation of elastic waves from moving normal points loads in layered media. Pme and Appl. Geophys. 1976. 14. № 5. P. 845-861.

69. Cole J., Huth J. Stresses Produced in a Half Plane by Moving Loads // J. Appl. Mech. 1958. V.25. P.436-436.

70. Lighthill M.J. //J. Fluid Mech. 1967. V.27. P.725-752.

71. Radok J.R.M. On the solution of Problems of Dynamic Plane Elasticity // Quart. Appl. Math. 1956. V.14. P.289-298.

72. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion // J. Accoust. Soc. Amer. 1957. V.29. № 1. P.37-42.

73. Sneddon I.N. The stress produced by a pulse of pressure moving along the surface of a semi-infinite solid//Rend. Circ. Math. Palermo. 1952. V.l. P.57-62.

74. Sommerfeld A. Die Greensche Funktion der Schwinguu gleichung. Jber DeutschKath. Vaveen. 1912. 21. Pp. 309-353.0(р) ®1(P) cd2(P) ®3(p)15