Воздействие движущихся нагрузок на слоистые гетерогенные основания тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Усошин Сергей Александрович

ВОЗДЕЙСТВИЕ ДВИЖУЩИХСЯ НАГРУЗОК НА СЛОИСТЫЕ ГЕТЕРОГЕННЫЕ ОСНОВАНИЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

005004827

Краснодар-2011

005004827

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Суворова Татьяна Виссарионовна Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Калинчук Валерии Владимирович

доктор физико-математических наук, доцент Павлова Алла Владимировна Ведущая организация Научно-исследовательский институт механики и

прикладной математики им. И.И. Воровича при Южном федеральном университете

Защита состоится 26 декабря в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Автореферат разослан ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Капустин М.С.

чЦ---

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации. Проектирование и строительство скоростных магистралей, повышение продуктивности нефтяных скважин, задачи геологоразведки, проблемы биомеханической инженерии привели к необходимости анализа полей смещений в пористых флюидонасыщенных средах, возбуждаемых движущимися нагрузками.

В настоящее время увеличивающаяся скорость движения железнодорожного транспорта приблизилась к скорости распространения волн в основании железнодорожной магистрали. Так, скорость 500 км/ч была достигнута на участках железной дороги во Франции (поезд TGV). Динамическое поведение системы при этом существенно определяется излучением волн. При скорости движения поезда, превосходящей скорость распространения волн Релея в основании, наблюдалось значительное увеличение амплитуды вибрации, так называемый «грунтовый удар». Поэтому важно изучить все опасные эффекты, связанные с высокоскоростным движением. Следует отметить, что в мягком торфяном водонасыщенном грунте, где поверхностные волны Рэлея распространяются с меньшей скоростью 150-300 км/ч, эффект «грунтового удара» наблюдался при более низких скоростях движения. Так, на западном побережье Швеции прохождение скоростного поезда Х2000 со скоростью около 140 - 200 км/ч по мягкой заболоченной почве вызвало экстраординарно большую вибрацию.

Появление высокоскоростных локомотивов и, как следствие, возникновение проблем эксплуатации магистралей и придорожной инфраструктуры вызвало усиленный интерес к созданию механико-математических моделей, адекватно описывающих эти объекты.

Большое количество публикаций, посвященных моделированию воздействия движущегося поезда на верхнее строение пути, грунтовую среду появилось за последнее десятилетие. Несмотря на разные подходы, применяемые к изучению этой проблемы - численные или аналитические, все эти работы объединены выбором одной и той же модели основания - упругого

полупространства. Однако для корректного описания динамического поведения оснований, моделирующих осадочные породы прибрежной зоны, обводненные и влажные грунты, композитные материалы искусственного происхождения, должны быть использованы более сложные модели многокомпонентных гетерогенных пористых сред. Наибольшее распространение и экспериментальное подтверждение получила модель гетерогенной среды Био-Френкеля, состоящей из упругого скелета, смеси жидкости и газа. Использование в качестве модели фунта двухфазной пористоупругой среды позволяет более полно учитывать динамическую реакцию основания, эффекты затухания волновых полей. Наименее исследованными в настоящий момент являются задачи о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на неоднородные пористоупругие основания с плоскопараллельными границами раздела.

Основными целями диссертационной работы являются:

• Развитие и реализация аналитико-численных методов решения динамических задач о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на гетерогенное слоистое полупространство и пакет слоев.

• Выявление основных закономерностей влияния неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости движения нагрузки.

• Реализация методов в виде пакета программ для нахождения диапазона изменения параметров задач, обеспечивающих допустимую деформацию слоистого пористоупругого основания.

• Проведение натурного эксперимента по регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой с целью подтверждения теоретических исследований.

Результаты работы получены при выполнении научного плана Ростовского государственного университета путей сообщения, а также поддержаны грантом РФФИ № 06-08-00876-а, что указывает на актуальность темы исследований.

Методика исследовании основана на использовании математического аппарата теории упругости и современных вычислительных средств и методов. Решения краевых задач строятся на основе интегрального подхода с применением преобразования Фурье в подвижной системе координат. При рассмотрении группы движущихся нагрузок используется принцип суперпозиции. Для исследования волновых полей применены методы численного анализа и асимптотические методы. Для подтверждения теоретических исследований проведен натурный эксперимент, при этом использовался компьютеризированный виброизмерительный комплекс. Для интерпретации результатов использован спектральный и вейвлет-анализ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Разработан алгоритм построения волновых полей, генерируемых движущимися осциллирующими нагрузками в гетерогенном слоистом полупространстве и пакете слоев.

• На основе интегральных представлений волновых полей построены их асимптотические представления на поверхности и в глубине слоистого гетерогенного основания.

• Исследовано воздействие группы противоположно направленных движущихся нагрузок.

• Исследовано влияние неоднородности строения основания на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости движения нагрузки, определяемые поведением дисперсионных поверхностей.

• Проведен анализ зависимости деформации слоистого пористоупругого основания от параметров задач, а именно: скорости движения нагрузки, неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости.

• Проведен натурный эксперимент по регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой, подтвердивший выводы теоретических исследований.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования при решении актуальных проблем

геофизики, нефтеразведки, проектировании железнодорожных магистралей, придорожных сооружений, магистрального трубопроводного транспорта. На основе исследования основных закономерностей формирования напряженно-деформированного состояния можно создавать наиболее эффективные методы оценки и прогнозирования эксплуатационно-технического состояния искусственных сооружений, разрабатывать эффективные способы защиты от негативных воздействий вибрации, решать проблемы шумозагрязнения окружающей среды, оценивать эффективность новых нетрадиционных конструкций железнодорожных магистралей.

Достоверность научных положении подтверждается строгостью и обоснованностью применяемого математического аппарата механики деформируемого твердого тела, совпадением частных случаев численного анализа, результатов эксперимента с результатами опубликованных работ других авторов, соответствием результатов теоретических и натурных экспериментальных исследований волновых полей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских научно-технических конференциях «Транспорт-2008», «Транспорт-2009», «Транспорт-2010», «Транспорт-2011», г.Ростов-на-Дону, на международной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития транспортного комплекса: образование, наука, производство» 2009, на международной конференции XXXV International Summer School-Conference "Advanced Problem in Mechanics", S-Peterburg, Russia, 2010, а также на семинарах кафедры высшей математики-1 Ростовского государственного университета путей сообщения.

На защиту выносятся: 1. Математические алгоритмы построения интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых группой движущихся осциллирующих нагрузок в слоистом полупространстве, пакете вязкоупругих и гетерогенных слоев.

2. Численный анализ асимптотических представлений волновых полей на поверхности и в глубине слоистой гетерогенной среды.

3. Результаты численного анализа влияния геометрических и механических параметров слоистых пористоупругих оснований, в том числе частоты осцилляции и скорости движения нагрузки, на возбуждаемые волновые поля.

4. На основании выявленных закономерностей нахождение диапазона изменения параметров задач, обеспечивающих допустимые деформации пористоупругого слоистого основания для встречных нагрузок.

5. Интерпретация натурных экспериментальных исследований деформирования основания железнодорожной магистрали, обусловленного воздействием движущихся нагрузок.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 11 печатных работах, в том числе три работы [1]-[3] в источниках, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 130 страниц, включающий в себя 41 рисунок. Список литературных источников содержит 120 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы по теме исследования, обосновывается актуальность проведенных исследований, формулируются цели диссертации, раскрывается их научная новизна, практическая значимость и достоверность, кратко излагается содержание диссертации. Кроме того, перечисляются положения, выносимые на защиту, проводится разделение принадлежности опубликованных по теме диссертации статей диссертанту и другим соавторам указанных работ.

Отмечено, что значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, Е.В. и Н.В.

Глушковы, В.Т. Гринченко, В.И. Ерофеев, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук,

A.B. Метрикин, Д.А. Молотков, A.B. Наседкин, A.B. Павлова, О.Д. Пряхина,

B.М. Сеймов, A.B. Смирнова, А.Н. Соловьев, Т.В. Суворова, М.А. Сумбатян, А.Н. Трофимчук, А.Ф. Улитко, М.И. Чебаков, Grande G.D., Kelder О., Krylov V.V., Smeulders D.M., Lombaert G., Wilmanski К. и другие ученые.

В первой главе рассматриваются различные подходы и математические модели, описывающие поведение многокомпонентных сред. Для учета пористости среды, ее газонасыщенности и водонасыщенности сделан выбор в пользу классической модели Био-Френкеля, как обладающей достаточной общностью. В рамках этой модели перемещения трехфазной гетерогенной среды, состоящей из упругого скелета и пор, насыщенных аэрированной жидкостью, определяются уравнениями:

и {г/,- (х, г, }, V (V, (х, г, г,/)} / = 1,2,3- компоненты векторов перемещений твердой фазы и флюида, который состоит из смеси газа и жидкости. При этом связь напряжений и перемещений выражается в виде:

Г,у - тензор полных напряжений,е^ и - тензоры деформации твердой фазы и флюида, <5,; - символ Кронекера. Для трехфазной гетерогенной среды необходимо задать плотности упругого скелета, жидкости, газа р5, рп К1 -модуль объемного сжатия частиц скелета, Кг - модуль объемного сжатия поровой жидкости, Кь - модуль объемного сжатия пористой среды, К^ -модуль сжимаемости газа, т - пористость среды, т - коэффициент насыщения жидкости газом, ка - коэффициент проницаемости, Т] -

(1)

a;=Ae8v+2Neii+Q£Öv af=Qe + R£, е = V • и, г = V - v г == а;, + S,a '

/

(2)

коэффициент вязкости жидкости, as - коэффициент извилистости. Эти величины могут быть определены из эксперимента, что дает возможность выразить механические характеристики уравнений (1), (2) - A,N,Q,R. При моделировании грунтовых сред учет влияния газообразной составляющей в многофазной среде приводит к изменению плотности жидкой фазы и модуля сжимаемости жидкости. В работе (Chao J.) приведены значения модулей для 11 типов грунтовых сред. Формулируются граничные условия для многофазных сред, обеспечивающие единственность решения краевых задач динамической пороупругости. Обоснована необходимость применения дополнительных условий, выражающихся в форме принципов излучения для полуограниченных тел. Приведено решение системы уравнений, описывающих перемещения в среде Био в потенциалах, представляющих наличие трех типов объемных волн - быстрой и медленной продольной, сдвиговой, распространяющихся в гетерогенной среде.

Во второй главе рассматривается постановка пространственной задачи о колебаниях, возникающих в неоднородном пористоупругом основании под действием движущейся на его поверхности осциллирующей нагрузки. Основание представляет собой пакет пористоупругих и вязкоупругих слоев, лежащих на пористоупругом полупространстве или недеформируемом основании. В декартовой системе координат слои толщиной Л,, занимают области -°о<х<°°, — °°<<-hk <z<-/ik_u /с = 1,2,...,TV, подстилающее порнстоупругое полупространство, соответственно -°°<х<°о, -оо<у<оо; z<-/íw. Гетерогенные среды состоят из упругого скелета, поры которого заполнены аэрированной жидкостью, перемещения определяются уравнениями Био-Френкеля (1). Перемещения вязкоупругих сред описываются уравнениями Ламе с комплексными модулями.

К поверхности среды приложена распределенная по прямоугольной области нагрузка, движущаяся с постоянной скоростью V в направлении оси Ох и осциллирующая по закону P(x,y,h)e~'"*,-а <x<a-b<y<b. Вне

области приложения нагрузки поверхность среды свободна от напряжений. Кроме этого, моделируется воздействие группы движущихся объектов. При встречном движении осциллирующая нагрузка приложена к двум прямоугольным областям, движущихся во встречных направлениях.

С помощью двумерного преобразования Фурье построено решение вышеописанных задач, в интегральном виде представляющих волновое поле в /V-слойном гетерогенном основании, генерируемое движением по его поверхности нагрузок, осциллирующих по гармоническому закону. Характерной особенностью построения решения является введение подвижной системы координат (x*,y,z), связанной с движущейся нагрузкой. Алгоритм вывода подынтегральных функций контролировался с помощью программ аналитических преобразований, написанных для интерактивной системы математики Maple.

и<»(х*,у,г,со,¥) = J ¡Kku(a,fi,z,oj,V)P(a,fi)e-'lac*+№f)dadjS; (3)

Контуры интегрирования 9?,, 9? г выбираются в соответствии с принципом излучения, развитым в работах академика Бабешко В.А. для упругих сред. Элементы матриц К/i,(a,j3,z,co,V) представляют собой мероморфные в комплексной плоскости функции, с одними и теми же особыми точками. Смещения флюида v a'(x*,j>,z,<y,(^выражаются соотношениями, подобными (3).

Решение задачи о колебаниях многослойного гетерогенного основания, возбуждаемых действием нескольких осциллирующих нагрузок, строится с помощью принципа суперпозиции.

Третья глава посвящена численному и асимптотическому анализу полученных решений задач. В первом параграфе изучаются особенности распространения волн, генерируемых движущимися нагрузками в слоистом гетерогенном полупространстве, пакете слоев. Для этого построены дисперсионные множества, представляющие собой совокупность полюсов

элементов матриц подынтегральных выражений в (3), для многослойных вязкоупругих и гетерогенных сред.

При численном расчете с помощью пакета программ, написанных для системы Maple, использовался принцип аргумента. Элементы дисперсионных множеств или волновые числа являются комплексными, они соответствуют распространяющимся на поверхности слоистой среды волнам. Комплексная часть первых полюсов на 3-4 порядка меньше действительной составляющей.

Трансформации дисперсионных поверхностей с увеличением скорости движения нагрузки V, имеют общие закономерности. При У=0 дисперсионные множества имеют вид поверхностей вращения. При увеличении скорости нагрузки в диапазоне У < V дисперсионные множества

деформируются, приобретая эллиптическую форму в сечениях а = const, не теряя связности, см. рис. 1. Под Ук понимается наименьшая скорость

распространения поверхностной волны. При этом волновые числа в направлении движения нагрузки увеличиваются, а скорости распространения волн уменьшаются. В направлении, противоположном движению нагрузки фазовые скорости распространяющихся волн увеличиваются.

.. » $

Рис.1. Дисперсионные поверхности для гетерогенного полупространства (слева) и

слоя (соответственно) при У= 39,22 м/с. При скоростях движения V < У характер поведения дисперсионной

поверхности и количество ветвей при фиксированной частоте остается неизменным.

При У - V возникает линия разрыва в дисперсионном множестве, соответствующая у —л. С увеличением скорости У>У нарушается

связность дисперсионных множеств и возникают секторы направлений у, </<л + /о'7о = агссоя V / У,:р, в которых волны не излучаются перед источником.

Рис.2 Дисперсионные поверхности для полупространства и для слоя (соответственно) при У= 78,44 м/с.

Рис. 3. Дисперсионные поверхности для полупространства и для слоя (соответственно) при У=156.88 м/с.

Численный анализ волнового поля в слоистой гетерогенной среде и на ее поверхности проведен в ближней зоне с помощью интегральных представлений решений (3). Показано, что поле перемещений в составной среде в большой степени зависит от пористости, степени обводненности и газонасыщенности, жесткости составляющих сред. Увеличение пористости подстилающего гетерогенного полупространства, обводненности и газонасыщенности приводят к понижению скоростей распространяющихся волн, что в значительной степени изменяет волновое поле, генерируемое движущейся поверхностной нагрузкой.

Неоднородность строения слоистого гетерогенного основания, степень его обводненности и газонасыщенности вызывает существенное увеличение амплитуд волновых полей, генерируемых движущимися осциллирующими нагрузками.

На рис. 4 приведены диаграммы направленности поверхностных волновых полей, полученных в результате численного анализа формул (3). С увеличением скорости движения изменяется амплитуда перемещений, генерируемых движущимся объектом, распределение возмущений имеет сложное строение, вызывает повышенную деформацию боковых областей среды, прилегающих к области воздействия нагрузки.

Рис 4. Модули перемещений |г(з(2,^)|,|»3(4,^)|,|и3(6, <р)\ на лицевой поверхности двухслойного полупространства при скорости движения нагрузки слева У= 0.3 V , по

центру У=0.6 Укт, справа К=0.8 V . По мере удаления от области приложения нагрузки осцилляция подынтегральной функции усиливается, поэтому численные алгоритмы оказываются неэффективными и надо использовать асимптотические методы. Построены асимптотические представления волновых полей, генерируемых движущейся нагрузкой, при больших расстояниях от области нагружения. В подстилающем гетерогенном полупространстве, представление перемещений (4) получено в сферической системе координат на основе двумерного метода стационарной фазы:

К к=1

Стационарные точки а°к, Доопределялись аналитически, суммирование обусловлено тремя типами волн, распространяющихся в пористоупругой среде.

Волновое поле, определяющее здесь внутренние волны в дальней зоне, убывает обратно пропорционально расстоянию Я до области приложения нагрузки. Это характерно и для задач с осциллирующей нагрузкой в гетерогенном и вязкоупругом полупространствах. Наличие движущейся нагрузки приводит к изменению поляризации волнового поля по направлениям распространения продольных и поперечных волн.

При приближении скорости движения нагрузки к скорости распространения одного из трех типов волн в среде, перемещения резко возрастают, а при равенстве - терпят разрыв. Для обводненных сред это особенно важно, так как скорости распространения медленных продольных волн могут даже быть меньше скоростей распространений сдвиговых волн.

В §3.3 строятся асимптотические представления волновых полей на поверхности лицевого слоя при удалении от области приложения нагрузки. При этом двукратные интегральные соотношения (3) представляются в полярной системе координат виде рядов по вычетам и^Уш)* к = \,...,т, затем используется одномерный метод стационарной фазы. Асимптотические формулы, описывающие возмущения поверхности многослойной среды, имеют вид:

и ""(г,<р, 0,(О,У) =

V/- л=1

Применение принципа излучения и соответствующий выбор контура интегрирования, несмотря на комплексность полюсов, существенно стабилизирует результаты численного эксперимента. Поле перемещений на поверхности составной среды убывает как г'"2 ехр(-^2г), где %г - величина, пропорциональная малой комплексной части соответствующего полюса.

Проведен численный анализ волновых полей, генерируемых встречными осциллирующими нагрузками на поверхности двухслойного гетерогенного полупространства. На рис. 5 приведены действительные части перемещений по оси симметрии, параллельно которой движутся два одинаковых встречных объекта, при различных расстояниях между ними, пунктирная линия соответствует одиночному движущемуся объекту, а) Б=76 м Ь) 8=36 м

с) 8=26 м а) 8=16 м

Рис. 5 Действительные части перемещений при различных расстояниях между абсциссами центров объектов при У=Ю м/с со =100 Гц.

Рис. 6 Действительные части перемещений при различных расстояниях между объектами при У= 25 м/с (О =100 Гц, расстояние между абсциссами центров объектов 6 м (левый график) и 0 м (правый график).

Начиная с расстояния 36 м, картина взаимодействия носит интенсивный характер, модули перемещений возрастают почти на 55%.

Чем выше скорость движения, тем более выражено влияние встречного движущегося объекта на волновое поле. На рис.6 приведены действительные

части перемещений при F=25 м/с о =100 Гц. Расстояние между объектами 0 м соответствует нахождению объектов в положении с одинаковой абсциссой.

В §3.6 обсуждаются практические приложения задач о движущихся нагрузках, моделирование движения поезда. Отметим, что неоднородность основания по глубине, учет пористости основания и его насыщенности флюидом существенно определяют критическую скорость распространения волн в среде, при приближении к которой следует ожидать резкого возрастания колебаний. Этот факт объясняет данные наблюдений для слабых, заболоченных почв, где скорость около 180 км/ч может оказаться критической. Результаты работы позволяют прогнозировать напряженно-деформированное состояние грунтового основания при изменении уровня грунтовых вод, полной или частичной насыщенности жидкостью, наличия подкрепляющих слоев, а также выявлять наиболее неблагоприятные факторы, которые необходимо учитывать при проектировании автомагистралей, участков железных дорог, предназначенных для скоростного движения.

Четвёртая глава посвящена экспериментальным натурным исследованиям процесса деформирования основания железнодорожной магистрали, обусловленного воздействием движущихся нагрузок. Для регистрации параметров волновых полей в натурных экспериментах в системе «железнодорожный путь - грунтовая среда» использовались методы и средства вибродиагностики. Приведены характеристики виброизмерительного комплекса, используемого для натурного эксперимента. Описаны особенности методологии исследования волновых полей, генерируемых проходящим железнодорожным составом в системе «верхнее строение железнодорожного пути - грунтовая среда». В качестве диагностической информации используются следующие параметры: частоты собственных форм колебаний грунтового основания, характерные значения амплитудно-временных характеристик откликов, значения спектров относительных амплитуд и спектров мощности откликов на разные виды динамических

воздействий. Результаты исследования волновых полей в системе «верхнее строение пути - грунтовая среда» при проходе железнодорожного состава проанализированы с помощью спектрального и вейвлет анализа.

Теоретические результаты исследований полностью подтверждаются натурными экспериментами, подтверждено наличие нагонной и хвостовой волн при прохождении поезда, возрастание колебаний при скрещивающемся движении поездов. Сигналы отклика, характеризующие динамическое поведение системы «верхнее строение пути - грунтовая среда, подвижной состав» наиболее полно проявляются в ближней зоне - зоне балластной призмы, но фиксируются и на значительном удалении от железнодорожного пути. Сложность анализа данных натурного эксперимента обусловлена тем, что возбуждаемые волновые поля несут в себе информацию, с одной стороны об интегральных параметрах проходящего подвижного состава, а с другой - о параметрах балластной призмы и подстилающей грунтовой среды.

Г

ОС

Рис. 7. Схема формирования волнового поля при прохождении поезда.

Аналитико-численный анализ модельной задачи, натурные экспериментальные исследования показывают принцип формирования волнового поля, генерируемого поездной нагрузкой - см. рис. 7, на котором представлена амплитудно-временная характеристика отклика вертикальной составляющей виброускорений волнового поля поверхности балластной

призмы и соответствующее силовое воздействие, возникающее при прохождении поезда.

Амплитудно-частотные характеристики, полученные с помощью быстрого преобразования Фурье, иллюстрируют энергетический вклад различных гармоник в колебательный процесс, который является суперпозицией спектров колебаний, обусловленных конструкцией рельсошпальной решетки, проходящих вагонов и АЧХ основания.

Существенное расширение возможностей вибродиагностики

обеспечивается за счёт обработки и последующего анализа

экспериментальных данных с помощью вейвлет-анализа. д

I ! ■ ш • 'Т '5 '

3,5

4,5 I

Рис. 8. Амплитудно-временная характеристика при прохождении электропоезда (вверху) и его веивлет-преобразование \\> (а,6) -

В отличие от классического спектрального анализа, применение вейвлет-преобразования позволяет получить спектрограмму динамического процесса и проанализировать эволюцию всех составляющих колебания

частот во времени. Это особенно важно для поиска и регистрации нестационарных неэргодических кратковременных сигналов, связанных, например, с повышенным износом одной из колесных тележек. Также именно с помощью вейвлетов возможно разделение сигналов, амплитуды которых отличаются на порядки.

На рис. 8 вверху приведена амплитудно-временная характеристика виброускорений, зарегистрированных при натурном эксперименте на расстояния 6 м от пути прохождения электропоезда из локомотива и семи прицепных вагонов. Внизу показана соответствующая вейвлет-спектрограмма, полученная с помощью вейвлет-функции Симлета 4-го порядка, использовался пакет расширения Wavelet Toolbox системы Matlab. На горизонтальной оси спектрограммы непрерывного вейвлет-преобразования номера отсчетных значений приведены к реальному времени, на вертикальной оси отложены масштабы а , обратно пропорциональные частоте колебаний. Светлые участки спектрограммы соответствуют максимумам амплитуды. Картина спектрограммы с увеличением масштаба, что соответствует низким частотам, стабилизируется, ясно прослеживаются максимумы, соответствующие проходу колесных тележек. В нижней части спектра видна весьма сложная структура высокочастотных шумов. Прослеживается похожая на периодическую структура. Область высоких частот (масштаб до 21) для всех вагонов примерно одинаковая - что может говорить об одинаковом механическом состоянии всего подвижного состава. Экстремумы области низких частот (масштаб после 21) не везде однородны, что дает возможность судить о загрузке вагонов, их интегральных характеристиках.

На основании теоретических исследований получена форма полезного сигнала, что дает возможность провести очистку полезного сигнала от шума. С помощью вейвлет-преобразования также хорошо локализуются нестационарные составляющие сигналов, как по частоте, так и по времени, эволюция определенных гармонических составляющих во времени.

В последнем параграфе обсуждаются некоторые практические приложения результатов теоретико-экспериментальных исследований работы. На основе описанных методов возможно проведение экспресс-диагностики сверхнормативного износа ходовой части проходящего подвижного состава, наличие ползунов на колесах, прогнозирование степени деформируемости верхнего строения пути, для контроля качества работы рельсошпальной решётки и земляного полотна, качества уплотнения грунтовых насыпей, эффективности укрепляющих конструкций насыпей, загрязнённости балласта.

С помощью результатов настоящего исследования можно проводить сравнительный анализ характеристик системы при различных методах усиления верхнего строения пути и основной площадки, применения новых материалов или изменения их свойств.

В заключении изложены основные выводы диссертации, их научное и практическое значение.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Развиты аналитико-численные методы решения динамических задач о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на гетерогенное слоистое полупространство и пакет слоев.

2. На основе интегральных представлений волновых полей построены их асимптотические представления на удалении от области приложения нагрузки на поверхности и в глубине слоистого гетерогенного основания.

3. Численно исследовано воздействие группы осциллирующих движущихся нагрузок, показано, что при встречном движении поездов следует ожидать увеличения амплитуд колебаний до 55%.

4. Исследовано влияние неоднородности строения основания на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости

движения нагрузки, определяемые поведением дисперсионных поверхностей.

5. Численно исследованы зависимости возбуждаемых волновых полей от неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости.

6. Проведен натурный эксперимент регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой, подтвердивший выводы теоретических исследований: существование нагонной и хвостовой волны при прохождении поезда, возрастание амплитуды и энергии колебаний при встречном движении поездов.

7. Проведен анализ данных натурного эксперимента методами спектрального и вейвлет анализа, позволяющий получить уточненные данные для математического моделирования проблемы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Беляк O.A., Суворова Т.В., Усошин С.А. Волновое поле, генерируемое в слоистом пористоупругом полупространстве движущейся осциллирующей нагрузкой // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008.-№ 1.-С. 53 -61.

2. Суворов А.Б., Суворова Т.В., Усошин С.А. Особенности деформации земляного полотна железнодорожного пути при высокоскоростном движении // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. 2008.С. 163 - 172.

3. Суворов А.Б., Суворова Т.В., Усошин С.А. Практическое использование методов вибродиагностики для определения интегральных параметров проходящего подвижного состава // Вестник Донского государственного технического университета. 2011. - T.l 1. № 4. - С. 489 - 503.

4. Суворов А.Б., Суворова Е.А., Беляк O.A., Усошин С.А. Способ контроля интегральных параметров проходящего по железнодорожному пути

подвижного состава // Патент на изобретение РФ № 2380260 от 27.01. зарег. в Гос. Реестре РФ 27.01.2010.

5. Суворова Т.В., Усошин С.А. О поверхностных волнах, генерируемых в грунтовом массиве движущимся объектом // Труды Всероссийской науч. -практ. конф. «Транспорт - 2008». - 4.1 - С. 28-29.

6. Суворова Т.В., Усошин С.А. Асимптотическое представление поля перемещений, возникающего в многослойном пористоупругом полупространстве под действием движущейся нагрузки // Труды Всероссийской науч. - практ. конф. «Транспорт - 2009». - 4.1 - С. 29 - 31.

7. Столяров Ю.В., Суворова Т.В., Усошин С.А. Моделирование действия поездной нагрузки на основание сложного строения // Сборник трудов международной науч. практической конференции «Проблемы и перспективы развития транспортного комплекса: образование, наука, производство». 2009. -С.38 - 39.

8. Суворова Т.В., Суворов А.Б., Беляк O.A., Столяров Ю.В, Усошин С.А. Прогнозирование эффективности подкрепляющих конструкций и прочности железнодорожного пути // Отчет по гранту РФФИ проект № 06-08-00876-а, № гос. per. 01200903449.

9. Суворов А.Б., Суворова Т.В., Усошин С.А. Математическая модель движения железнодорожного состава и оценка его интегральных характеристик // Труды Всероссийской науч.-практ. конф. «Транспорт -2010».-4.1 -С. 26- 28.

10. Suvorova Т.V., Stoliarov U.V., Usoshin S.A. Wave propagation in the composite porous and liguid layer generated by moving and oscillating // load Book of Abstracts of XXXV International Summer School Conference "Advanced Problem in Mechanics". - S-Peterburg, Russia. 2010. - P. 36.

11. Суворова T.B., Усошин С.А. К расчету волнового поля, возбуждаемого встречными осциллирующими нагрузками в гетерогенном полупространстве // Труды Всероссийской науч.-практ. конф. «Транспорт - 2011». - 4.1 -Естественные и технические науки. - С. 17 -19.

Сдано в набор 14.11.2011. Подписано в печать 14.11.2011. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 1411/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД

1.1 Математические модели описания многокомпонентных сред. Уравнения движения гетерогенной среды в рамках теории Био.

1.2 Граничные условия для контактирующих гетерогенных пористоупругих сред.

1.3 Определение механических характеристик гетерогенных сред. Моделирование грунтовых сред.

1.4 Распространение волн в пористоупругой среде. Решение уравнения Био в потенциалах.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВОЗДЕЙСТВИИ ДВИЖУЩИХСЯ ВИБРИРУЮЩИХ НАГРУЗОК НА СЛОИСТОЕ ГАЗОВОДОНАСЫЩЕННОЕ ПОРИСТОУПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

2.1 Постановка задач о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на вязкоупругие и пористоупругие слоистые основания.

2.2 Построение решения задач об установившихся колебаниях слоистого пористоупругого полупространства.

2.2.1 Свойства одномерного и двумерного преобразования Фурье.

2.2.2 О связи решений нестационарных задач, задач с равномерно движущимися нагрузками и гармонических задач теории упругости.

2.3 Построение решения задачи о действии осциллирующей нагрузки на гетерогенное полупространство, слой.

2.4 Построение решения задачи о колебаниях многослойного гетерогенного полупространства, генерируемых движущейся осциллирущей нагрузкой.

2.5 Построение решения задачи о колебаниях многослойного гетерогенного полупространства, генерируемых встречными осциллирующими нагрузками, движущимися с постоянной скоростью.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЗАДАЧ О ДВИЖУЩИХСЯ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ

НАГРУЗКАХ ПО СЛОИСТОМУ ГЕТЕРОГЕННОМУ ОСНОВАНИЮ

3.1 Особенности распространения волн, генерируемых движущимися нагрузками в слоистом гетерогенном полупространстве.

3.2 Асимптотическое представление волновых полей, генерируемых движущимися нагрузками в слоистом гетерогенном полупространстве.

3.3 Асимптотическое представление волновых полей на поверхности лицевого слоя при удалении от области приложения нагрузки.

3.4 Численный анализ волновых полей, генерируемых движущейся нагрузкой в слоистом гетерогенном полупространстве.

3.5Численный анализ волновых полей, генерируемых встречными осциллирующими нагрузками, в двухслойном гетерогенном полупространстве.

3.6 Практические приложения задач о движущихся нагрузках, моделирование движения поезда.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ

ПОЛЕЙ, ВОЗБУЖДАЕМЫХ ДВИЖУЩИМИСЯ НАГРУЗКАМИ

4.1 Методы и средства вибродиагностики для исследования волновых полей в натурных экспериментах в системе «железнодорожный путь - грунтовая среда».

4.2 Особенности методологии исследования волновых полей, генерируемых проходящим железнодорожным составом в системе «верхнее строение железнодорожного пути - грунтовая среда».

4.3 Результаты исследования волновых полей в системе «верхнее строение пути - грунтовая среда» при проходе железнодорожного состава с помощью спектрального и вейвлет анализа.

4.3.1 Спектральный анализ процессов деформирования основания при поездной нагрузке.

4.3.2 Вейвлеты и вейвлет-преобразование.

4.3.3 Вейвлет-анализ экспериментальных данных.

4.4 Некоторые практические приложения результатов экспериментальных исследований системы.

Проектирование и строительство скоростных магистралей, повышение продуктивности нефтяных скважин, задачи геологоразведки, проблемы биомеханической инженерии привели к необходимости анализа полей смещений в пористых флюидонасыщенных средах, возбуждаемых движущимися нагрузками.

В настоящее время увеличивающаяся скорость движения железнодорожного транспорта приблизилась к скорости распространения волн в основании железнодорожной магистрали. Так, скорость 500 км/ч была достигнута на участках железной дороги во Франции (поезд TGV ). Динамическое поведение системы при этом существенно определяется излучением волн. При скорости движения поезда, превосходящей скорость распространения волн Релея в основании, наблюдалось значительное увеличение амплитуды вибраI ции, так называемый «грунтовый удар». Поэтому важно изучить все опасные эффекты, связанные с высокоскоростным движением. Следует отметить, что в мягком торфяном водонасыщенном грунте, где поверхностные волны Рэ-лея распространяются с меньшей скоростью 150-300 км/ч, эффект «грунтового удара» наблюдался при более низких скоростях движения. Так, на западном побережье Швеции прохождение скоростного поезда Х2000 со скоростью около 140 - 200 км/ч по мягкой заболоченной почве вызвало экстраординарно большую вибрацию.

Появление высокоскоростных локомотивов и, как следствие, возникновение проблем эксплуатации магистралей и придорожной инфраструктуры вызвало усиленный интерес к созданию механико-математических моделей, адекватно описывающих эти объекты.

Большое количество публикаций в зарубежных журналах, появившихся за последнее десятилетие, посвящены моделированию воздействия движущегося поезда на верхнее строение пути, грунтовую среду, это зарубежные [23], [59], [84], [87], [92], [93], [96], [97], [102-106], а также отечественные публикации [27], [48], [107], [110], [111], [115], [116], [119].

Так, например, в работе [104] рассматривается движение сосредоточенной силы по стержню Эйлера на основании Винклера, а также по упругому полупространству. Решение модельной задачи строится с помощью теории вычетов, однако, точки ветвления при этом не принимаются во внимание. В статье [105] получено пространственное распределение возмущений при движении нагрузки по поверхности упругого полупространства, которое в дозвуковом режиме практически симметрично, в трансзвуковом режиме имеет место максимальное излучение почвенной вибрации при угле наблюдения ^>cos ^ = CR IV . При этом амплитуда волны намного превосходит таковую в дозвуковом режиме движения, что названо «почвенным ударом». В работе обсужден механизм возникновения этой вибрации и контрмеры по защите от нее. Данные натурных наблюдений этот факт подтверждают.

Задачи о движущихся нагрузках для упругих оснований, в антиплоской и плоской постановках изучались в работах [1], [2], [7], [32], [111], [119]. В работе [92] рассматривается воздействие движущейся нагрузки на упругое полупространство, функция Грина, определяющая перемещения в упругом полупространстве и теорема взаимности описывает эту модель. В работе [87] отмечено, что вибрация движущейся силы качественно меняет степень убывания волнового поля, исследование проведено на модельной задаче для упругого полупространства. В исследовании [107] авторы, проведя серию опытов, пришли к выводу, что эквивалентная жесткость основания Винклера зависит от частоты вибрации, используя этот результат, они получили две критические скорости для стержня - каждая из которых вызывала увеличение амплитуды перемещений. Рассмотрение плиты на упругом основании Винклера дает одну критическую скорость.

Несмотря на разные подходы, применяемые к изучению этой проблемы - численные или аналитические, все эти работы объединены выбором одной и той же модели основания — упругого полупространства. Именно упругие свойства грунтовой среды определяют ее реакцию на действие движущейся с высокой скоростью нагрузки. При этом геометрически двумерная проблема является трехмерной физически и должна решаться только в пространственной постановке. Следует отметить, что двумерные задачи не дают возможность исследовать эффекты Маха, связанные с достижением скорости движущегося объекта скоростей распространений поперечных, продольных, а в полупространстве - Рэлеевских волн.

В монографии Бабешко В.А., Глушкова Е.В. рассмотрена трехмерная задача о движущейся по упругому полупространству нагрузке [9]. В цикле работ и монографии Калинчука В.В. и его учеников [5], [28], [111] рассматривалось действие движущихся нагрузок на двухслойные упругие среды. Для более полного учета свойств грунтов следует использовать модели гетерогенных сред, что дает весьма значительную поправку в расчетах.

Однако, для описания динамического поведения оснований, моделирующих осадочные породы прибрежной зоны, обводненные и влажные грунты, композитные материалы искусственного происхождения, должны быть использованы более сложные модели многокомпонентных гетероген-^ ных пористых сред. Наибольшее распространение и экспериментальное подтверждение получила модель двухфазной гетерогенной среды М.А. Био [11],Я.И. Френкеля [65].

Теория распространения звуковых волн в насыщенной пористой среде изучалась в многочисленных работах, например [21], [26], [31], [35], [36], [37], [45], [53], [66], [108], [112] и других авторов. Для согласования результатов теории и эксперимента рядом авторов были предложены новые модели акустики пористых сред. Как правило, эти модели сводились к системе уравнений Био с зависящими от частоты коэффициентами, например [91], [113], [114], [118], [76].

Использование в качестве модели грунта трехфазной пористоупругой среды позволяет более полно учитывать динамическую реакцию основания, эффекты затухания волновых полей. Наименее исследованным в настоящий момент является воздействие движущихся осциллирующих нагрузок на неоднородные пористоупругие основания с плоскопараллельными границами раздела.

Различные аспекты распространение волн в многослойных упругих основаниях рассматривались в работах [13], [19], [20], [22], [41], [71], [72], [75], [88], [94], [95], [117].

Следует отметить, что значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи: И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.Г. Горячева, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, В.Т. Гринченко, В.И. Ерофеев, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, A.B. Метрикин, JI.A. Молотков, Н.Ф, Морозов, A.B. Наседкин, Г .Я. Попов, В. Г. Попов, О.Д. Пряхина, В.М. Сеймов, A.B. Смирнова, А.Н. Соловьев, Т.В. Суворова, М.А. Сумбатян, Д.В. Тарлаковский, А.Н. Трофимчук, А.Ф. Улитко, М.И. Чебаков и другие ученые.

Основными целями диссертационной работы являются:

• Развитие и реализация аналитико-численных методов решения динамических задач о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на гетерогенное слоистое полупространство и пакет слоев.

• Выявление основных закономерностей влияния неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости движения нагрузки.

• Реализация методов в виде пакета программ для нахождения диапазона изменения параметров задач, обеспечивающих допустимую деформацию слоистого пористоупругого основания.

• Проведение натурного эксперимента по регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой с целью подтверждения теоретических исследований.

Результаты работы получены при выполнении научного плана Ростовского государственного университета путей сообщения, а также поддержаны грантом РФФИ № 06-08-00876-а, что указывает на актуальность темы исследований.

Методика исследований основана на использовании математического аппарата теории упругости и современных вычислительных средств и методов. Решения краевых задач строятся на основе интегрального подхода с применением преобразования Фурье в подвижной системе координат. При рассмотрении группы движущихся нагрузок используется принцип суперпозиции. Для исследования волновых полей применены методы численного анализа и асимптотические методы. Для подтверждения теоретических исследований проведен натурный эксперимент, при этом использовался компьютеризированный вычислительный комплекс, снабженный виброакселерометрами. Для интерпретации результатов использован спектральный и вейвлет анализ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Разработан алгоритм построения волновых полей, генерируемых движущимися осциллирующими нагрузками в гетерогенном слоистом полупространстве и пакете слоев.

• На основе интегральных представлений волновых полей построены их асимптотические представления на поверхности и в глубине слоистого гетерогенного основания.

• Исследовано воздействие группы противоположно направленных движущихся нагрузок.

• Исследовано влияние неоднородности строения основания на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости движения нагрузки, определяемые поведением дисперсионных поверхностей.

• Проведен анализ допустимых диапазонов движения нагрузки в зависимости от неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости.

• проведен натурный эксперимент регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой, подтвердивший выводы теоретических исследований.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования при решении актуальных проблем геофизики, нефтеразведки, проектировании железнодорожных магистралей, придорожных сооружений, магистрального трубопроводного транспорта. На основе исследования основных закономерностей формирования напряженно-деформированного состояния можно создавать наиболее эффективные методы оценки и прогнозирования эксплуатационно-технического состояния искусственных сооружений, разрабатывать эффективные способы защиты от негативных воздействий вибрации, решать проблемы шумозагрязнения окружающей среды, оценивать эффективность новых нетрадиционных конструкций железнодорожных магистралей.

Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, в том числе 4 работы в источниках, рекомендованных ВАК, докладывались на Всероссийских научно-технических конфе-ренициях «Транспорт-2008», «Транспорт-2009», «Транспорт-2010», «Транс-порт-2011», г. Ростов-на-Дону, на международной конференции, посвященной 80 РГУПС, на международной конференции XXXV International Summer School-Conference "Advanced Problem in Mechanics", S-Peterburg, Russia, 2010, а также на семинарах кафедры высшей математики-1 Ростовского государственного университета путей сообщения.

На защиту выносятся:

1. Математические алгоритмы построения интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых группой движущихся осциллирующих нагрузок в слоистом полупространстве, пакете слоев, состоящих из вязкоуп-ругих и гетерогенных слоев;

2. Асимптотические представления волновых полей на поверхности и в глубине слоистой гетерогенной среды;

3. Результаты исследования влияния геометрических и механических параметров составных оснований, в том числе частоты осцилляции и скорости движения нагрузки на возбуждаемые волновые поля;

4. Реализация методов в виде пакета программ и нахождение диапазона изменения параметров задач, обеспечивающих допустимую деформацию слоистого пористоупругого основания;

5. интерпретация натурных экспериментальных исследований деформирования основания железнодорожной магистрали, обусловленного воздействием движущихся нагрузок.

Структура и содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы.

4.3 Результаты исследования волновых полей в системе «верхнее строение пути — грунтовая среда» при проходе железнодорожного состава с помощью спектрального и вейвлет анализа

4.3.1 Спектральный анализ процессов деформирования основания при поездной нагрузке

При движении железнодорожного состава в верхнем строении железнодорожного пути возникают механические перемещения. Динамические усилия, вызываемые прохождением каждой колёсной тележкой подвижного состава, через элементы рельсошпальной решетки передаются балластной призме и распространяются в ее теле в виде перемещений, образующих волновое поле. Как известно [67], [69], основные характеристики распространения волновых полей в гомогенных грунтах практически совпадает с законами распространения колебаний в упругих, вязкоупругих средах. При этом каждая шпала железнодорожного пути передаёт основанию периодические колебания, закон изменения которых соответствует временному закону приложения нагрузки.

В работе Grande G.D., Lombaert G. [92] приводятся экспериментальные исследования, проведенные на 14-канальном ВИК при скоростях движения поезда от 250 до 324 км/ч. Спектры скоростей перемещений, на которых отмечены пики, соответствующие проходу тележек - 4.66 Гц и колесных осей 29.07 и им кратные. Частота прохождения шпал 145.37 Гц также наблюдается в спектре, но быстро затухает. Качественное поведение амплитудно-временных характеристик совпадает с исследованиями, проводимыми с участием автора и опубликованными в [47] - [49], по объективным причинам эти исследования проводились для скоростей движения поезда до 80 км/ч.

Как показывает аналитико-численный анализ модельной задачи [29], [48], [49], натурные экспериментальные исследования [47], [51], [52], [92], возбуждаемые волновые поля несут в себе информацию, с одной стороны об является суперпозицией спектров колебаний, обусловленных конструкцией рельсошпальной решетки, проходящих вагонов и АЧХ основания. На рис. 34 приведена АЧХ, соответствующая амплитудно-временной характеристике, приведенной на рис. 33. Аналогичный спектр можно построить, применив преобразование Фурье к аппроксимированным перемещениям с использованием схемы деформирования, вызываемых прохождением нескольких колесных тележек. Спектр, полученный теоретическим путем приведен на рис. 34.

Рис. 34. Спектр (АЧХ) первого вагона, полученный теоретически.

Сравнение рис. 33, рис. 34, полученных экспериментальным и теоретическим путем, качественно совпадают. Следует отметить, что с возрастанием жесткости основания верхнего строения пути, уменьшается эффективное количество шпал, участвующих в колебательном процессе, генерируемом прохождением колесной тележки. При этом максимум АЧХ смещается в сторону более высоких частот.

Численный анализ модельной задачи о встречных движущихся нагрузках, проведенный в §3.5, подтверждается натурными исследованиями. В [29]

Встречное движение поездов вызывает значительные изменения в энергетических спектрах, повышение амплитуды спектральных составляющих. На рис. 36 приведены [29] энергетические спектры, соответствующие проходу поезда по ближнему пути А (движение по пути Б в это время отсутствует) см. рис.36 а) и дальнему пути Б ( движение в это время по пути А отсутствует)-рис. 36 б). На рис. 36 в) представлена спектральная плотность сигнала, соответствующая скрещивающемуся движению поездов, максисмумы амплитуд выросли на 62%.

Однако разделить составляющие различных гармоник методами гармонического анализа не представляется возможным. Гармонический или спектральный анализ математически реализуется на основе преобразования Фурье. В результате при помощи одной базисной функции ехр(/я#) получаем разложение анализируемого сигнала на гармонические колебания. Преобразование Фурье не позволяет решать задачу одновременной локализации моментов частотных и масштабных характеристик сигнала во времени. Частично эта трудность снимается использованием оконного преобразования Фурье.

Однако реальные сигналы, как правило, представляют собой сумму составляющих, частота которых тем больше, чем меньше их продолжительность. Вследствие этого высокочастотная информация должна быть извлечена из относительно малых интервалов времени, а низкочастотная добывается на более продолжительных отрезках времени. Поэтому ширина окна должна уменьшаться с увеличением частоты, что для оконного преобразования Фурье невыполнимо.

4.3.2 Вейвлеты и вейвлет-преобразование

Существенное расширение возможностей вибродиагностики обеспечивается за счёт обработки и последующего анализа экспериментальных данных с помощью вейвлет-анализа.

Первые теоретические работы по основам вейвлетных преобразований были выполнены в 90-х годах прошлого века, например [85], [23],[40]. В настоящее время вейвлеты начинают широко применяться в задачах распознавания образов, обработки и синтеза сигналов, а также для сжатия больших объёмов информации.

Прямое интегральное вейвлет-преобразование выполняется по аналогии с преобразованием Фурье, и представляет собой скалярное произведение сигнала на вейвлет-функцию заданного типа.

Пусть функция ¿(7) имеет конечную норму в пространстве Ь (К) и определена на всей действительной оси. Непрерывным вейвлет-преобразованием функции ¿(У) называют функцию двух переменных:

00 с{а,Ь) = (зЦ),у/(а,Ъ, 0)= а,ЬеЯ, аФ 0. (4.1) 00 и.\ \ |-]/2 (*-ЪЛ {¡/{а,Ъ^) = \а\ {¡/ а ) где вейвлеты у/(а,Ь,/) - масштабированные и сдвинутые копии порождающего материнского вейвлета у/(^)е1?(К). Их совокупность создает новый базис пространства Ь (К). Для ортонормированных вейвлетов обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса, что и прямое:

00 +00 -1-1« -геи ^ $(/) =- | | —^с(а,Ь)у/(а,Ь,1)с1ас1Ь. (4.2)

Сц/ оо -00 а где Су - нормирующий коэффициент:

Сш = --—а со < со. г ' со

00 107

Ч* - Фурье образ.

Вейвлетные функции обладают свойствами, наличие которых является необходимым условием принадлежности функции к семейству вейвлетов [3].

1 0 Базисная функция вейвлет-преобразования должна быть локализована и во временном пространстве, и по частоте.

2 °Вейвлет должен иметь нулевое среднее значение:

00

У = о.

-00

Часто требуется чтобы не только нулевой, но и все первые ш моментов были равны нулю

00

7"У(0Л = 0.

-00

3 0 Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:

0° оо

4 0 Автомодельность базиса или самоподобие. Все вейвлеты данного семейства имеют одинаковое число осцилляций, что и базисный вейвлет. Форма базисной функции при этом остается одной и той же при сдвигах и масштабировании.

Отметим, что к ортогональным вейвлетам относятся вейвлеты Добеши, Симлета и Коифлетса. Эти вейвлеты несимметричны и недостаточно периодичны. Близки к симметричным вейвлеты Симлета. Все они используются для непрерывного и дискретного вейвлет-преобразования и реконструкции сигналов.

К бесконечным регулярным вейвлетам относят вейвлеты Мейера в непрерывном и дискретном вариантах. Они симметричны и регулярны в бесконечности. Применяются для непрерывного и дискретного преобразований.

Биортогональные вейвлеты, используют две ортогональных друг другу вейвлетных функции, одна для разложения сигнала:

00 са,Ь = \s{t)y/aJb{t)dt и другая у/*а Ь ДЛЯ синтеза: s(t) = YCa,b¥*a,b (4-3) -00 к

В операциях декомпозиции и реконструкции биортогональные вейвлеты могут меняться местами. Пары вейвлетов имеют отдельные (р- и у/ -функции с компактными носителями, -функции имеют четную форму, -функции в зависимости от серии вейвлета либо четные, либо нечетные. С биортогональными вейвлетами возможно как непрерывное преобразование, так и дискретное, в том числе быстрое.

К так называемым грубым вейвлетам относятся симметричные вейвлеты Морле и вейвлеты на основе производных функции Гаусса. Среди гауссовских вейвлетов распространено использование вейвлета по второй производной, получившего за свою форму название мексиканская шляпа. У всех вейвлетов данной группы отсутствует ^-функция, ^/-функция не имеет компактного носителя и задается явно в аналитической форме, анализ не является ортогональным, возможность реконструкции сигналов не гарантируется. К комплексным вейвлетам относятся семейства вейвлетов Гаусса, Морлета, Шеннона, и частотные В-сплайновые вейвлеты. ср -функции у них отсутствуют, ^-функции не имеют компактного носителя, анализ не ортогональный и свойства реконструкции сигналов не гарантируются. Используются для комплексной декомпозиции сигналов.

Разработаны схемы численной реализации быстрого вейвлет-преобразования, подобно быстрому преобразованию Фурье.

Специальные пакеты расширений по вейвлетам присутствуют в основных системах компьютерной математики, таких как Matlab, Mathematica, MathCAD и др. Наиболее визуализированное применение вейвлетов реализовано в пакете расширения Wavelet Toolbox системы Matlab [24]. Результатом вейвлет-преобразования одномерного ряда является двумерный массив амплитуд вейвлет-преобразования - значений коэффициентов.

Распределение этих величин в пространстве (а,Ъ), а - временной масштаб, b

- временная локализация, дает информацию об эволюции относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется вейвлет-спектром.

4.3.3 Вейвлет-анализ экспериментальных данных

В ходе проведённого натурного эксперимента регистрировались отклики грунтового массива, уплотненного балласта при движущейся поездной нагрузке, ударном воздействии. Затем используя возможности пакета Wavelet Toolbox системы Matlab, был получен вейвлет-спектр данного сигнала. Непрерывное вейвлет-преобразование проводилось вейвлетами Мейера. Они симметричны и регулярны в бесконечности, поэтому более всех остальных

Рис. 37. Вейвлеты Мейера.

Коэффциенты непрерывного вейвлет-преобразования от временного ряда s(t) определяются формулой (4.1), параметр b определяет время вырезки, параметр а является аналогом обратной величины частоты колебаний. \//{t) -вейвлет.

Распространение колебаний от проходящего электропоезда, состоящего из локомотива и семи прицепных вагонов иллюстрирует рис. 38, где приведена амплитудно-временная характеристика виброускорений, зарегистрированных при натурном эксперименте на расстояния 6 м от пути прохождения электропоезда из 8 вагонов. На рис. 39 показана соответствующая вейвлет-спектрограмма. На горизонтальной оси спектрограммы номера отсчетных значений приведены к реальному времени, на вертикальной оси отложены масштабы а , обратно пропорциональные частоте колебаний.

Светлые участки спектрограммы соответствуют максимумам перемещений.

110 уровня шума, кроме этого, можно установить пороговые ограничения на различных уровнях масштабной декомпозиции с учётом конкретных характеристик шумов и самого сигнала.

Форма вейвлета, его свойства - четность и нечетность, доминирующая частота и степень ее локализации имеют заметное влияние на вейвлет — спектры, особенно при выделении его локальных особенностей. Использование вейвлетов разных семейств позволяет повысить достоверность выделения локальных особенностей сигналов.

4.4 Некоторые практические приложения результатов экспериментальных исследований системы

В отличие от классического спектрального анализа, применение вейвлет-преобразования позволяет получить спектрограмму динамического процесса и проанализировать эволюцию всех составляющих колебания частот во времени. Это особенно важно для поиска и регистрации нестационарных неэргодических кратковременных сигналов, связанных, например, с повышенным износом одной из колесных тележек, наличия ползунов на одном из колес. Именно с помощью вейвлетов возможно разделение сигналов, амплитуды которых отличаются на порядки, что обусловлено высокой разрешающей способностью вейвлет-преобразования. С помощью вейвлет-преобразования хорошо локализуются нестационарные составляющие сигналов, как по частоте, так и по времени, а также эволюция определенных гармонических составляющих во времени.

Результаты обработки регистрируемых сигналов в виде временных соотношений и спектров силовых воздействий определяют интегральные параметры проходящего по железнодорожному пути подвижного состава, свойства основания.

На основе описанных методов возможно проведение экспресс-диагностики сверхнормативного износа ходовой части проходящего подвижного состава. Предложенная методика и интерпретация экспериментальных данных, могут быть применены при прогнозировании деформируемости верхнего строения пути, для контроля качества работы рельсошпальной решётки и земляного полотна, качества уплотнения грунтовых насыпей; загрязнённости балласта, при оценке эффективности различных методов усиления верхнего строения пути и основной площадки, применения новых материалов, изменения их свойств.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Развиты аналитико-численные методы решения динамических задач о воздействии движущихся осциллирующих нагрузок на гетерогенное слоистое полупространство и пакет слоев.

2. На основе интегральных представлений волновых полей построены их асимптотические представления на удалении от области приложения нагрузки на поверхности и в глубине слоистого гетерогенного основания.

3. Численно исследовано воздействие группы осциллирующих движущихся нагрузок, показано, что при встречном движении поездов следует ожидать увеличение амплитуд колебаний на 55-60%.

4. Исследовано влияние неоднородности строения основания на динамические эффекты, сопровождаемые увеличением скорости движения нагрузки, определяемые поведением дисперсионных поверхностей.

5. Численно исследованы зависимости возбуждаемых волновых полей от неоднородности строения основания, водонасыщенности, пористости.

6. Проведен натурный эксперимент регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали поездной нагрузкой, подтвердивший выводы теоретических исследований: существование нагонной и хвостовой волны при прохождении поезда, возрастание амплитуды и энергии колебаний при встречном движении поездов.

7. Проведен анализ данных натурного эксперимента методами спектрального и вейвлет анализа, позволяющий получить уточненные данные для математического моделирования проблемы.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования при решении актуальных проблем геофизики, нефтеразведки, проектировании железнодорожных магистралей, придорожных сооружений, магистрального трубопроводного транспорта. На основе исследования основных закономерностей формирования напряженно-деформированного состояния можно создавать наиболее эффективные методы оценки и прогнозирования эксплуатационно-технического состояния искусственных сооружений, разрабатывать эффективные способы защиты от негативных воздействий вибрации, решать проблемы шумозагрязнения окружающей среды, оценивать эффективность новых нетрадиционных конструкций железнодорожных магистралей.

1. Александров В.М., Зайцева Е.С. Антиплоская задача о движении сосредоточенной касательной нагрузки по двухслойному упругому основанию с постоянной скоростью // ПММ. 2001. В. 1. - С. 129-135.

2. Алексеева JI.A. Динамика упругого полупространства при действии бегущей нагрузки // ПММ. 2007. Т. 71. №4. - С. 561-569.

3. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 11.

4. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит, 2009. 318с.

5. Бабешко В.А., Белянкова Т.П., Калинчук В.В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства // Докл. РАН. 2001. -380. № 5. С.619-622.

6. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

7. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1983. 312 с.

9. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Волны в неоднородном по толщине слое, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1987. Т. 51. В. 2. -С. 296-302.

10. Брауне В. Оценка действия вибраций от железнодорожного транспорта // Железные дороги мира. 1985. № 8. С. 70-74.

11. Бреховских J1.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 411 с.

12. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

13. Бурау Н.И., Марчук П.И., Тяпченко А.Н. Анализ современных методов обработки акустических сигналов для использования в задачах виброакустической диагностики // Акустичний вюник. 2001. №4. -С. 3-10.

14. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 557 с.

15. П.Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1966. 168 с.

16. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 319 с.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

18. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // ПММ. 1998. Т.62. №3. - С. 455-461.21 .Городецкая Н.С. Волны на границе пористоупругого полупространства. // Акустич. Вюник. 2005. Т. 8. № 1-2. - С. 28-41.

19. Гринченко В.Т., Мелешко B.B. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981. 283 с.

20. Добеши И., Десять лекций по вейвлетам. М. :РХД, 2001.

21. Ильясов Х.Х. Распространение поверхностных волн на свободной границе пористой флюидонасыщенной среды // ЖВММФ. 2004. Т. 44. № 12.-С. 268-275.

22. Исаенко Э.П., Иванов С.Ю., Безруков М.В. Подготовка железнодорожного пути к скоростному движению пассажирских поездов. Нижний Новгород, 2001. 167 с.

23. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред, М.: Физматлит, 2009. 312 с.

24. Колесников В.И., Суворова Т.В. Моделирование динамического поведения системы «Верхнее строение железнодорожного пути -слоистая грунтовая среда», М.: ВИНИТИ РАН, 2003. 232 с.

25. О.Коншин Г.Г. Вибросейсмическая диагностика эксплуатируемого земляного полотна. М.: Транспорт, 1994. 216 с.

26. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. 1959. Т. 23. №6. - С. 1115-1123.

27. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. ГНТП «Глобальные изменения природной среды и климата». М.: ГНИЦ ПГК, 1999.-294 с.

28. Кулаичев А.П. Компьютерный контроль процессов и анализ сигналов. М.: МПО Информатика и компьютеры, 1999. 291 с.

29. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М., 1990. 584 с.

30. Молотков JI.A. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. С.-Пб.: Наука, 2001. 248~с.

31. Николаевский В.Н., Басниев К.С, Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра,1970. 335 с.

32. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.336 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

34. Новый национальный стандарт Норвегии // Сб. Вибрация грунта, вызванная движением транспорта по железной дороге. Осло, геотехнический институт. 1999.

35. Поликар Р. Введение в вейвлет-преобразование. С.-Пб., АВТЭКС, 2001 г. 328 с.

36. Прусакова З.И., Суворова Т.В. Об особенностях возбуждения волновых полей внутренним источником в трехслойном упругом пространстве // Прочность конструкций, межвузовский научный сб. Уфа. 1997 . -С. 142-147.

37. Рандал Р.Б. Частотный анализ. Дания: Брюль и Кьер, 1989.

38. Рудаков П.И., Сафонов И.В. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5.x. М.: Диалог МИФИ, 2000. 416 с.

39. Свешников Ф.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967. 304 с.

40. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наукова думка, 1990. 224 с.

41. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: Иностранная литература, 1955.

42. Суворов А. Б., Суворова Т.В. Исследование волновых полей, генерируемых в грунте движением состава по железнодорожной магистрали // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион, технические науки. 2001. № 4. С. 70-75.

43. Суворов А.Б., Суворова Т.В., Усошин С.А. Особенности деформации земляного полотна железнодорожного пути при высокоскоростном движении // Вестник РГУПС. 2008. №1. С. 163-172.

44. Суворов А.Б., Суворова Е.А., Беляк O.A., Усошин С.А. Способ контроля интегральных параметров проходящего по железнодорожному пути подвижного состава // Патент на изобретение РФ № 2380260, зарег. в Гос. Реестре РФ 27.01.2010.

45. Суворова Т.В. Волновое поле, возбуждаемое в двухфазном пористо-упругом полупространстве осциллирующей нагрузкой // Изв. Вузов. Северо Кавказский регион, естественные науки. 2002. № 4. - С. 22-26.

46. Суворова Т.В. Исследования явления нагонной волны перед движущимся составом // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион, технические науки. 2003. № 3. С. 80-82.

47. Суворова Т.В. Экспериментальные исследования резонансных явлений верхнего строения пути при воздействии поездных нагрузок // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион, технические науки. 2003. № 3. -С. 77-79.

48. Суворова Т.В., Беляк O.A. О колебаниях многослойного гетерогенного полупространства под действием осциллирующей нагрузки // Труды РГУПС. 2006. В. 3. С. 127-134.

49. Суворова Т.В., Усошин С.А. О поверхностных волнах, генерируемых в грунтовом массиве движущимся объектом // В сб. трудов

50. Всероссийской н.-т. конф. «Транспорт-2008». Ростов-на-Дону. 2008. -Т.1.-С. 28-29.

51. Суворова Т.В., Усошин С.А. Асимптотическое представление поля перемещений, возникающего в многослойном пористоупругом полупространстве под действием движущейся нагрузки // В сб. трудов Всероссийской н.-т. конф. «Транспорт-2009». Ростов-на-Дону. 2009 .

52. Суворова Т.В.Суворов А.Б., Беляк O.A., Столяров Ю.В Усошин С.А. Прогнозирование эффективности подкрепляющих конструкций и прочности железнодорожного пути // Отчет по гранту РФФИ проект № 06-08-00876-а, № гос. per. 01200903449.

53. Суворова Т.В., Усошин С.А. Математическая модель движения железнодорожного состава и оценка его интегральных характеристик // В сб. трудов Всероссийской н.-т. конф. «Транспорт-2010». Ростов-на-Дону. 2010.-С.26-27.

54. Суворова Т.В., Усошин С.А. К расчету волнового поля, возбуждаемого встречными осциллирующими нагрузками в гетерогенном полупространстве // В сб. трудов Всероссийской н.-т. конф. «Транспорт-2011». 2011.-С. 37.

55. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1979. 261 с.

56. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Ленинград: Наука, 1967.

57. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

58. Фелсен JL, Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1. М.: Мир, 1978.548 с.

59. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АНСССР. Сер. геогр. и геофиз. 1944. В. 4. -T.VIII. С.-133-149.

60. Фоменко С.И. Волновые поля, возбуждаемые поверхностными виброисточниками в пористых водонасыщенных средах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. № 4. С. 56-62.

61. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. 288 с.

62. Ч.Чжань Анализ и выделение сейсмических сигналов М.: Мир,1986.240 с.

63. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн. М.: Недра, 1984. 224 с.

64. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1976. 320 с.

65. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.

66. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 452 p.

67. Allard J.F., Jansens G., Lauriks W.,Vermeir G. Frame-borne surface waves in air-saturated porous media // J.Acoust. Soc. Am .2001. V.l 11. No 2. P. 690-696.

68. Albert D.G. A comparison between wave propagation in water-saturated and air-saturated porous materials. // J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 28-36.

69. Alterman Z., Karal F. Propagation of elastic waves in layered media by finite differences methods // Bull. Seism. Soc. Amer. 1958. V.58. №1. P.367-398.

70. Bakulin A.V., Molotkov L.A. Application of complex Biot dencities for the description of attenuation and dispersion in porrous rocks // EAGEiL

71. Conference and technical exhibition -eipzig, Germany, 8-2 June. 1998. -P. 1085.

72. Ben-menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: Springer-Verlag. 1981. 1108 p.

73. Biot M.A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid // J. Appl. Phys. 1952. V.23. P.997-1005.

74. Biot, M.A. The elastic coefficients of the theory of consolidation / M.A. Biot, D.G. Willis//J.Appl.Phys. 1952. V.79. -P.594-601.

75. Burridge, R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J.B. Keller // J. Acoust. Soc. Amer.1981. V.70.N 4. P. 11401146.

76. Ciarletta M., Sumbatyan M.A. Reflection of plane waves by the free boundary of porous elastic half-space//J.Sound Vibrat. 2003. V.259. № 2. -P. 205-211.

77. Chin R.C., Hedstrom G., Thigpen L. Matrix methods in synthetic seismograms // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1984. V.77. №2. P.483-502.

78. Chouw N. Railway tracks and surrounding vibration // Advanced Problems in mechanics , book of abstracts. St.-Petersburg, Russia. P. 34.

79. Daubechies I. The wavelet transform. Time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans. Information Theory. 1990.IT-36. № 5. -P. 961-1005.

80. Deresiewicz H. Skalak R On uniqueness in dynamic poroelasticity //Ibid. 1963. -53, № 4. P.783-788.

81. Ditzel A., Herman G. Elastic waves generated by high-speed trains // Jornal Computational Acoustics. Vol. 9. No. 3. 2001. P. 833-840.

82. Dunkin J.W. Computations of modal solutions in layered elastic media at high frequencies //Bull.Seism.Soc.Amer. 1965. V.55. №2. -P.335-358.

83. Dvorkin J., Mavko G., Nur A. Squirt flow in fully saturated rocks // Geophysics. 1995. V. 60. №1.-P. 97-107.

84. Edelman I. Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at a vacuum porous medium and liquid/porous medium interfaces // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. P. 25-44.

85. Goodman M.A.,Cowin S.C. A continuum theory for granular materials// Arch. Rat. Mech. Anak. 1972. V. 44. №4. P. 249-266.

86. Grande G.D., Lombaert G. High-speed train induced free field vibrations: in situ measurements and numerical modeling // Proc. Intern. Workshop Wave. Germany: Ruhr University Bochum, 2000. P. 29-41.

87. Grundmann,H.M.Lieb, E.Tromme The response of layered half-space to traffic loads movihg along its surface // Archive Appl. Mech. 69.1999. -P. 55-67.

88. Harkrider D.G. Surface waves in multilayered elastic media. Rayleigh and Love waves from buried sources in a multilayered elastic half-space // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964. V.54. P. 627-679.

89. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull.Seism.Soc.Amer. 1953. V.43. №1. P. 17-34.

90. Heelis M. E., Collop A. C., Dawson, A. R., Chapman D. N. , Krylov V. V. Transient Effects of High Speed Trains Crossing Soft Soil // Proc. 12th European Conf. on Soil Mechanics and Geotechnical Eng. Amsterdam, Netherlands, 1999.-P. 1809-1814.

91. Hung H. Yang Y. A Review of Researches on Ground-Borne Vibrations with Emphasis on Those Induced by Trains // Proc. Nation. Sci. Counc. ROC(A) Vol. 25. No. 1.-P.1-16.

92. Johnson D.L., Hemmick D.L, Kojima H. Probing porous media with first and second sound. I. Dynamic permeability. II. Acoustic properties of water-aturated porous media.// J. Appl. Phys. 1994. V. 76. P. 104-125.

93. Johnson D.L, Plona T.J. Acoustic slow waves and the consolidation transition. // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 72. № 2. P. 556-565.

94. Kelder O., Smeulders D.M.J. Measurement of ultrasonic bulk properties of water-saturated porous media. // EAGE Amsterdam'9 6 Extendend abstracts book, 1996. Paper C 025.

95. Kelder O., Smeulders D.M.J. Observation of the Biot slow wave in water-aturated Nivelsteiner sandstone. // Geophysics, 1997. V. 62. № 6. P. 794796.

96. V.V. Krylov Vibrational impact of high-speed Trains Effect of Track Dynamics // Journal of Acoustical Society of America. 101(6). 1996. -P. 3121-3124.

97. V.V. Krylov Generation of Ground Vibrations by High-speed Trains on layered Ground // Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active control, 16(4). 1998.-P. 257-270.

98. V.V. Krylov, Dawson A.R., Heelis M.E.,Coollop A.C. Rail movement and ground Waves caused by High-speed Trains // Proc. Inst. Mechanical Engineers, P. F,214,2000. P. 263-270.

99. Madshys C.,Kaynia A.M. Dynamic ground integration; a critical issue for high speed train lines on soft soil. 1998.

100. Madshus, C. ,Kaynia, A.M. High speed railway lines on soft ground: dynamic behavior at critical train speed // Proc. 6th Internacional Workshop on Railway and Tracked Transit System Noise. France. 1998. P. 108-119.

101. Metrikine A.V., Dieterman H.A. The equivalent vertical stiffness of an elastic half-space interacting with a beam, including the shear stresses at the beam-half-space interface // Eruopean J. Mech. A/Solids, 16(2). P. 515527.

102. Nagy P.B., Adler L., Bonner B. P. Slow wave propagation in air-filled porous materials and natural rocks. // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. № 25. -P. 504-506.

103. Plona T.J. Observation of a second bulk compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Appl. Phys. Lett. 1980. V. 36. P. 259261.

104. Stoll R.D. Acoustic waves in saturated sediments // Physics of Sound in Marine Sediments. Springer,New.York, 1974.-P. 19-39.

105. Stoll R.D. Marine sediment acoustic // J. Acoust.Soc.Am. 1985. V. 77. № 5.-P. 789-799.

106. Stoll R.D. Velocity dispersion in water-saturated granular sediment // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. № 2. P. 149-156.

107. Takemia H. Simulatiom for vibratiom prediction and mitigation of track ground due to high-speed trains case of X-2000 in Sweden // Proc. Workshop on Railway-induced Vibrations. Sweden Railway Authorities,2001.

108. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified medium // J.Appl.Phys. 21. 1950. №1. P.89-93.

109. Turgut A., Yamamoto T. Measurments of acoustic wave velocities and attenuation in marine sediments // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. № 6. -P. 376-383.

110. Veritchev S.N., Esveld C. 3d- Modelling of instability of a moving vehicle // Advanced Problems in mechanics , book of abstracts. St.-Petersburg, Russia.-P. 93.

111. Wilmanski K. Linear sound waves in poroelastic materials // WIAS-Preprint. 2004. № 950. P. 1-12.