Рассеяние сейсмических волн и собственные колебания сферической неоднородности в упругой среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Обзор аналитических и численных методов расчёта волновых полей в средах с инородным включением

§ I. Основные методы решения задач дифракции упругих волн

§ 2. Дифракция волн на сферической неоднородности

§ 3. Дифракция упругих волн на сферическом включении-. •.

ГЛАВА II. Собственные колебания сферической неоднородности в упругой среде

§ I. Основные уравнения.

§ 2. Крутильные колебания

§ 3. Сфероидальные колебания

§ 4. Численные оценки собственных частот

ГЛАВА III. Собственные радиальные колебания сферической неоднородности в упругой среде

ГЛАВА 1У. Рассеяние продольных упругих волн на слабоконтрастном сферическом включении.

§ I. Точное решение задачи.

§ 2. Слабоконтрастное приближение

§ 3. Численные результаты.

ГЛАВА У. Рассеяние поперечных упругих волн на слабоконтрастном сферическом включении.

§ I. Точное решение задачи.

§ 2. Слабоконтрастное приближение

§ 3. Численные результаты .III

ГЛАВА У1. Определение параметров сферического включения.

В последние годы внимание геофизиков всё больше привлекают неоднородности недр Земли. Этот интерес объясняется тем, что изучение неоднородностей проливает свет на геодинамические процессы, происходящие в коре и верхней мантии, проясняет некоторые проблемы геологической эволюции Земли. Таким образом, задачи, связанные с идентификацией неоднородностей, с определением их размеров и физических характеристик представляются весьма важными и актуальными. Хотя для этих целей геофизиками используются такие разные подходы как гравиразведка, электромагнитные методы, изучение электропроводимости и т.п., сейсмический метод является, возможно, самым прямым и при интерпретации даёт наименее сомнительные результаты.

Всесторонний анализ проблем сейсмической макродефектоскопии необходим для решения столь важных в практическом отношении задач, как исследование земного ядра[9], поиск магматических очагов вулканов[43], рудных тел[23]и т.д. В последнее время интенсивно проводятся экспериментальные работы по распространению ультразвуковых волн в статических моделях упругих сред, содержащих инородные включения и трещиноватые зоны[4б].

Кроме того, изучение неоднородностей представляет большой интерес для исследования важного тектонофизического явления -поведения очага готовящегося землетрясения. Сейчас среди сейсмологов широко принято представление о зоне подготовки сейсмических толчков, как области с изменяющимися в результате тектонических движений упругоплотноетными характеристиками. С механической точки зрения это соответствует неоднородности с незначительно изменёнными относительно внешней упругой среды скоростями продольной и поперечной волн, а также, возможно, плотностью.

Существенный вклад теория рассеяния вносит в исследование кода-волн, т.к. по современным представлениям "хвостовая" часть сейсмограммы формируется в основном за счёт рассеяния сейсмических волн на неоднородностях среды[l8,50]. При этом значительный интерес представляет изучение сечений рассеяния, т.е. величин, характеризующих способность включения переизлучать, поглощать и пропускать энергию падающей на него волны. В различные форцулы теории кода-волн входят величины, пропорциональные полному и дифференциальному сечениям рассеяния [58].

Любая неоднородность вместе с вмещающей её средой должна обладать, как всякая упругая механическая система, некоторым спектром собственных частот. Поскольку колебания включения и вмещающей среды взаимосвязаны, будет иметь место затухание колебаний вследствие излучения упругих волн и, следовательно, собственные частоты будут комплексны. Если неоднородность достаточно контрастна, то, как показывают численные расчёты, мнимая компонента собственной частоты будет мала. В этом случае естественно ожидать, что когда частота падающей волны будет близка к действительной компоненте собственной частоты, неоднородность начнёт излучать энергию в резонансном режиме. Поэтому для практических целей идентификации возможных резонансных пиков на спектральной кривой и установления их связи с соответствующими неоднородностями очень важно знать собственные частоты колебаний упругих включений в бесконечной упругой среде{12].

Интерес к исследованию собственных частот системы упругое включение - среда обусловлен ещё и следующим обстоятельством. При просвечивании неоднородности сейсмическими волнами либо от слабых землетрясений, либо от импульсных искусственных источников типа пневмоизлучателей задачу рассеяния необходимо решать в нестационарной постановке. Как известно, в этом случае для расчёта волнового поля стационарное решение следует проинтегрировать по частоте вместе со спектром заданного падающего импульса. Получающийся при этом интеграл можно, вообще говоря, вычислять каким-либо прямым численным способом. В некоторых случаях, однако, предпочтение следует отдать методу интегрирования с помощью теории вычетов в виде разложения по полюсам подынтегральной функции, т.к. именно этот метод может выявить ряд полезных физических особенностей процесса дифракции. Заметим, что интересующие нас полюса совпадают с корнями уравнения собственных частот и, таким образом, для того, чтобы в дальнейшем иметь возможность заниматься задачами нестационарной дифракции упругих волн, необходимо тщательное изучение поведения корней частотных уравнений в зависимости от соотношения упругоплотностных параметров среды и включения.

Исследование установившегося процесса дифракции имеет и самостоятельное значение. Это связано в основном с тем, что в последние годы интенсивно разрабатывается метод вибрационного просвечивания Земли, использующий регулярные искусственные источники сейсмических колебаний[i7,Зб]. Учитывая, что частота зондирующего сигнала и время работы источника варьируются в достаточно широких пределах можно заключить, что этот метод является оптимальным для распознавания неоднородностей и определения их упру-гоплотностных характеристик.

В сейсмическом поле, регистрируемом сейсмоприёмником, неоднородность будет оставлять "след" в виде некоторых искажений первоначальной сейсмической волны. Волны, рассеянные на включении, накладываются на первичную волну и вызывают флуктуации амплитуды и фазы результирующего поля. Естественно, что конкретные характеристики этого поля будут зависеть от очень многих факторов, среди которых в первую очередь следует отметить такие, как соотношение размеров препятствия и длины падающей волны, пространственной локализации источника, приёмника и неоднородности, формы препятствия, его контрастности, типа падающего излучения и т.д.

Проблемы, возникающие при изучении дифракционных явлений в упругих телах, относятся к наиболее сложным в эластодинамике. Решение задач рассеяния, сравнительно легко доводимое до численного результата, можно получить только в очень немногих случаях. При этом существенное значение имеет величина параметра X , определяющего отношение характерного размера неоднородности R к длине падающей волны к ( X =27гК/л ). Когда Х« I, то мы имеем дело с рассеянием Рэлея, если же то можно пользоваться лучевым приближением. В этих случаях, как правило, формулы выписываются в конечном виде и численные результаты получаются сравнительно несложно. Следует отметить, однако, что хотя математические основы асимптотической теории дифракции разработаны достаточно полно, непосредственное её применение часто оказывается затруднительным из-за целого ряда тонкостей. В частности, лучевой теорией можно пользоваться лишь в пределах ограниченных расстояний, удовлетворяющих условию Y X г « R, где г - расстояние от приёмника до неоднородности. На больших расстояниях, не удовлетворяющих этому условию, необходимо привлекать дифракционную теорию.

Как правило, в интересующих нас задачах характерный размер включения и длина зондирующей волны соотносятся таким образом,

•ч что величина параметра X колеблется от нескольких единиц до нескольких десятков. Следовательно возникает промежуточная ситуация между двумя указанными выше предельными случаями и решение задачи дифракции приходится искать с помощью строгих методов.

В нашей работе мы будем заниматься изучением сферического включения, моделируя тем самым неоднородность в недрах Земли, которая имеет приблизительно сферическую симметрию. Этот выбор обусловлен в первую очередь тем обстоятельством, что трёхмерная краевая задача о волновом поле в упругой среде с включением конечных размеров допускает получение точного решения только в случае сферы. Для тел иной формы приходится применять различные приближённые методы, которые вносят определённую погрешность и, следовательно, некоторые тонкие эффекты могут остаться незамеченными. Кроме того, сложность и громоздкость итоговых выражений для несферических тел затрудняет их использование для проведения аналитических оценок и вывода физических следствий. Однако, если форма включения не слишком сильно отличается от сферической (например, эллипсоиды с отношением полуосей до 1,5-2, кубы, конечные цилиндры с близким к единице отношением высоты к диаметру и т.п.), следует ожидать, что такие характеристики, как индикатриса рассеяния, полное сечение рассеяния, собственные частоты, будут мало отличаться от соответствующих характеристик сферического включения того же объёма.

Основное внимание в работе будет уделено исследованию слабоконтрастных неоднородностей. При этом мы руководствовались следующими соображениями. Физическая природа таких неоднородностей тесно связана с конвективными течениями в земных недрах, а также с различными областями разломов и раздробленностей. Подобные включения являются весьма распространёнными и, следовательно, оказывают существенное влияние на рассеяние сейсмических волн. Кроме того, они могут служить достаточно правдоподобной моделью очага готовящегося землетрясения. Далее, если для контрастных сферических включений имеются некоторые, хотя и не очень представительные численные результаты, то в случае слабоконтрастного включения точные численные расчёты практически отсутствуют. Наконец, для такого рода неоднородностей можно получить ряд сравнительно простых аналитических формул, с помощью которых можно описать процесс рассеяния упругих волн на крупномасштабном включении не прибегая к использованию сложной вычислительной техники.

Совершенно очевидно, что вследствие существенной неадекватности математической модели реальной ситуации (неоднородность не имеет, во-первых, строгой сферической формы, а во-вторых, чётко очерченных границ) на основании результатов нашего исследования можно будет делать только качественные или полуколичественные выводы, требующие конкретизации в процессе сравнения с экспериментом и проведения дальнейших оценок.

Основные выводы работы сводятся к следующему:

1. Построена теория и методы расчёта комплексных собственных частот колебаний упругой сферической неоднородности в упругой среде. Проведена классификация таких колебаний на радиальные, крутильные и сфероидальные. Показано, что собственные частоты сфероидальных колебаний слабоконтрастного включения подразделяются на две группы: радиальноподобные и крутильноподобные.

2. Выполнены детальные численные расчёты собственных частот и добротностей для радиальных и первых трёх номеров колебаний крутильного и сфероидального классов. Рассматривался случай, когда упругоплотностные характеристики включения и вмещающей среды различаются не слишком сильно.

3. Обнаружено, что при некоторых значениях упругоплотностных параметров возникают низкочастотные собственные колебания. Эти колебания являются, по существу, некоторым апериодическим движением, поскольку мнимая часть собственной частоты велика.

4. Проведены расчёты дифференциального и полного сечений рассеяния для различных слабоконтрастных включений. Показано, что в области, близкой к направлению распространения падающей волны, рассеяние определяется в основном амплитудными функциями, ответственными за Р Р и S S -волны. Однако в боковых направлениях пренебрегать эффектами обменного рассеяния нельзя.

5. В приближении слабой контрастности выведены расчётные формулы для "амплитудных функций и, тем самым, для полного и дифференциального сечений рассеяния упругих Р и S -волн на крупномасштабной неоднородности. Сравнение с точным решением убедительно показывает, что приближённые формулы описывают процесс рассеяния с достаточной для геофизических приложений точностью. На основании этих формул предложена методика, позволяющая определить размер и скоростные характеристики неоднородности.

6. Установлено, что мелкие осцилляции на кривых полного сечения рассеяния связаны с собственными колебаниями упругого включения во вмещающей среде.

7. Показано, что влияние неидеальности упругой среды слабо сказывается при расчётах полного сечения рассеяния Р и 5 -волн на слабоконтрастной неоднородности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. - М.: Наука, 1971. 544 с.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720 с.

3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. 798 с.

4. Гельфанд И.Ы., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца.-М.: Физматгиз, 1958. 368 с.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

6. Гузь А.Н. 0 дифракции волн на конечных телах вращения. Прикл. мех., 1973, т.9, № 7, с.10-18.

7. Гузь А.Н. 0 распространении и дифракции волн в телах с некруговыми цилиндрическими границами. Прикл. мех., 1973, т.9, № 9, с.З-П.

8. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко Ivl.A. Дифракция упругих волн. -Киев: Наукова думка, 1978. 308 с.

9. Джекобе Дк. Земное ядро. М.: Мир, 1979. 305 с.

10. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М.: Мир, 1971. 166 с.

11. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970. 664 с.

12. Дубровский В.А. Сейсмические колебания включений. в кн. Проблемы вибрационного просвечивания Земли. - М.: Наука, 1977.с.71-75.

13. Дубровский В.А., Морочник B.C. Собственные колебания сферической неоднородности в упругой среде. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, № 7, с.29-41.14