Рассеяние света на ледяных кристаллах, характерных для перистых облаков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукопм

/»I К

Гришин Игорь Анатольевич

РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА ЛЕДЯНЫХ КРИСТАЛЛАХ, ХАРАКТЕРНЫХ ДЛЯ ПЕРИСТЫХ ОБЛАКОВ

01.04.05-оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Диссертация выполнена в Институте оптики атмосферы СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Боровой Анатолий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Якубов Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук, Кауль Бруно Валентинович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 10 декабря 2004 г. в 16 ч. на заседании диссертационного совета ДООЗ.029.01 в Институте оптики атмосферы СО РАН 634055, г. Томск, пр. Академический, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института оптики атмосферы СО РАН.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿©^г Веретенников В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Перистые облака, покрывающие примерно 20-30% земной поверхности независимо от времени года, оказывают существенное влияние на формирование теплового бюджета всей планеты, и как следствие, на климат в целом. Они находятся на высоте 5-10 км и состоят из ледяных частиц, значительную долю которых составляют ледяные кристаллы. Геометрические размеры кристаллов меняются в широком диапазоне от нескольких десятков микрон до нескольких миллиметров.

При разработке современных численных моделей глобального изменения климата и долгосрочного прогноза погоды, а также при решении задач дистанционного зондирования атмосферы, остро встаёт вопрос о светорассеи-вающих свойствах отдельной частицы в перистых облаках. Сложная и разнообразная геометрия частиц не позволяет применить строгие методы решения задачи рассеяния, что является причиной широкого использования различного рода приближенных подходов. В силу того что средний размер частиц в перистых облаках много больше длины волны оптического излучения, наиболее популярным способом решения задачи рассеяния является геометрооптическое приближение и основанный на нём метод трассировки лучей. Из первых публикаций в рамках этого подхода следует отметить Wendling [1], который качественно и количественно объяснил эффекты гало при рассеянии оптического излучения на ледяных кристаллах в форме гексагональной призмы. Наиболее значительный объём работ проводился в течение более чем двадцати лет под руководством Liou и Takano, например [2-4]. Ими впервые были рассчитаны и проанализированы все элементы матрицы рассеяния на монодисперсных ансамблях ледяных частиц [2,3]. Однако в ранних работах этих авторов учёт волновых эффектов проводился в крайне упрощённой форме, что в дальнейшем привело к появлению более строгих методов, основанных на интегральном принципе Кирхгофа [4]. Тем не менее вычислительные требования к ресурсам пользователя и сложность алгоритмизации не привели к их широкому распространению.

Среди отечественных исследователей выделяются работы Петрушина [5], который аналитически рассмотрел рассеяние света на полидисперсных ансамблях гексагональных призм. В последние годы значительный объём расчётов матриц рассеяния для кристаллов в форме гексагональной призмы проведён Ромашовым [6], результаты которого применялись для интерпретации экспериментальных данных при дистанционном зондировании атмосферы [7].

Подчеркнём, что, хотя работы в данном направлении ведутся уже более 20 лет, в связи со сложностью и громоздкостью задачи большинство исследователей ограничивались расчётом и анализом только энергетических характеристик рассеянного излучения для л е ; кристаллических объектов тельно простой геометрической формы.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ| БИБЛИОТЕКА СПе 09 !00;

Исходя из всего вышесказанного, целью работы был расчёт и анализ

всех элементов матрицы рассеяния для ледяных кристаллических частиц произвольной формы.

Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

1. Разработка алгоритмов численного решения задачи рассеяния на кристаллических частицах произвольной формы с размерами много больше длины волны.

2. Расчёт и исследование элементов матрицы рассеяния для ледяных кристаллов различных форм с различной ориентацией в пространстве (фиксированной, хаотической и преимущественной).

3. Анализ механизма формирования рассеянного излучения для ледяных гексагональных кристаллов, особенно в направлении рассеяния назад, что актуально для задач дистанционного зондирования атмосферы как с поверхности земли, так и из космоса.

4. Исследование возможности восстановления формы рассеивающих частиц исходя из тонкой структуры рассеянного излучения.

Научная новизна результатов

1. Разработан оригинальный алгоритм трассировки пучков для вычисления матрицы рассеяния света на крупных частицах кристаллической формы. Отличительной особенностью алгоритма является возможность его применения к кристаллическому объекту произвольной геометрической формы.

2. Предложена процедура декомпозиции матрицы рассеяния на две части, описывающие дифракционную и интерференционную компоненты суммарной матрицы рассеяния, что позволяет в более удобной форме интерпретировать результаты расчётов.

3. В приближении геометрической оптики впервые рассчитаны все элементы матрицы рассеяния для ледяных кристаллов сложных геометрических форм: плоских буллитов-розеттов, пластинчатых дендритов и т.д.

4. В рамках приближения геометрической и физической оптики в угловом диапазоне ориентации кристалла 32.1-32.5° показано существование аномально большого обратного рассеяния, которое возникает благодаря двукратному полному внутреннему отражению на взаимно перпендикулярных гранях кристалла. При этом такой эффект сопровождается поворотом плоскости поляризации на 90°.

5. Предложен простой метод оценки степени несферичности рассеивающей частицы, исходя из структуры поля вблизи направления рассеяния вперёд. Суть метода заключается в извлечении информации о периметре и площади проекции частицы в направлении рассеяния вперёд из углового распределения рассеянной интенсивности (в приближении дифракции

Фраунгафера)

Достоверность основных результатов и выводов обеспечивается:

1. Непротиворечивостью основных результатов базовым принципам теории рассеяния.

2. Согласием с имеющимися в литературе данными других исследователей, в том числе и экспериментальными.

Научная и практическая значимость заключается в расширении представлений о процессе рассеяния на ледяных кристаллических частицах сложной формы, характерных для перистых облаков. Полученные результаты использовались при теоретическом моделировании процесса распространения оптического излучения в облачной среде, а также могут найти своё применение при создании оптической модели облачной среды и при разработке новых методов дистанционного зондирования атмосферы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработанный алгоритм трассировки плоскопараллельных волновых пучков имеет существенные преимущества перед традиционными алгоритмами трассировки лучей. При этом он позволяет вычислять все элементы матрицы рассеяния света с учётом многократных отражений сколь угодно высокого порядка для ледяных кристаллов произвольной формы.

2. Для ледяных кристаллов в форме гексагональной призмы существует резкий пик интенсивности обратного рассеяния в диапазоне углов наклона главной оси кристалла 32.1-32.5° относительно направления распространения падающей волны, возникающий благодаря двукратному полному внутреннему отражению на взаимно перпендикулярных гранях кристалла.

2. При рассеянии света на крупных ледяных кристаллах произвольной формы с хаотической ориентацией в пространстве, пик обратного рассеяния имеет место только при наличии двугранного прямого угла в геометрической структуре кристалла.

3. Степень несферичности большой частицы произвольной формы восстанавливается из распределения интенсивности в дифракционном пике рассеяния вперёд при интегрировании его с весом в виде функции Бесселя.

Публикации: По результатам работы опубликовано более 20 работ, в том числе 4 статьи в рецензируемых журналах. Список приведён в конце реферата.

Апробация работы. Материалы по теме диссертации докладывались на VII, VIII, IX, X, XI Joint International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics (Tomsk, 2000; Irkutsk, 2001; Tomsk 2002; Tomsk 2003, Tomsk 2004); 7А Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles (Bremen, 2003); llft, 12th Workshop on Multiple Scattering in Lidar Experiments, (Williamsburg, 2000; Munich, 2002); International Congress for Particle Technology (Nurn-berg, 2001); International Congress on Optical Particle Characterization (Brigh-

ton, 2001); Всероссийской конференции "Физика радиоволн" (Томск, 2002); IRS 2000: Current Problems in Atmospheric Radiation (Hampton, 2001).

Исследования по теме диссертации поддержаны грантом INTAS No. 010239 "LIDAR multiple scattering from clouds including spherical and non-spherical particles, грантом CRDF No. RG2-2357-TO-02 "Laser Sensing of Cloud Fields with Spaceborne Lidar", фантом INTAS Open Call for Young Scientists No. YSF 20 0 1/1-127 "Mueller Matrices for Ice crystals in Cirrus clouds".

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации материалы и расчётные данные получены лично автором либо при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Каждая глава сопровождается введением, дающим краткую аннотацию рассматриваемых проблем, и заключением в виде основных результатов. Общий объем работы 150 страниц, включая 46 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 127 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении на основе краткого обзора современного состояния исследований обоснована актуальность темы, ставится цель диссертации, отмечаются научная новизна и значимость полученных результатов, формулируются защищаемые положения, кратко описано содержание диссертации по главам, приводятся данные о публикациях и личном вкладе автора.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦАХ НЕСФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Первая глава представляет собой обзор современного состояния проблемы светорассеяния на кристаллических частицах, присутствующих в перистых облаках.

Общеизвестно, что кристаллические облака представляют собой сложную многокомпонентную среду, состоящую из переохлаждённых капель воды и ледяных частиц. Значительная их доля представлена ледяными кристаллами с разнообразной геометрией и с размерами, меняющимися в пределах от нескольких десятков микрон до нескольких миллиметров. Международная классификация выделяет 80 основных геометрических форм кристаллических частиц, однако отмечается, что при любой геометрической конфигурации кристалла сохраняется общая гексагональная структура. Отмечается, что вследствие воздействия короткоживущих турбулентных вихрей мелкие частицы приобретают хаотическую ориентацию в пространстве, а крупные имеют тенденцию упорядочиваться таким образом, чтобы при их падении аэродинамическое сопротивление воздуха было максимальным.

Классическим методом решения задачи рассеяния на частицах с конечными размерами является метод разделения переменных. Результат его применения к объекту сферической формы носит название теории или решения Ми. Применимость подобной методики существенным образом ограничивается требованием того, чтобы геометрическая форма частицы совпадала с формой одной из 11 известных координатных поверхностей.

Кроме этого, из строгих подходов к решению задачи рассеяния на частицах несферической формы наиболее широко апробированы метод конечных элементов, метод Г-матриц и метод связанных диполей. Особо выделяется метод интегральных уравнений, который, являясь общим подходом, служит базой для многих теоретических и численных методик. Несмотря на разнообразие из-за громоздкости и неуниверсальности они применимы для решения прямой задачи светорассеяния. Резюмируя, заметим, что все существующие строгие методики решения задачи светорассеяния на частицах несферической формы имеют весьма высокие вычислительные потребности. Как следствие, область их применения пока ограничивается только проверкой результатов, полученных с помощью приближенных, либо асимптотических подходов (Релея, Ре-лея-Ганса-Дебая и др.).

В приложении к задаче рассеяния видимого света на кристаллах в перистых облаках среди наиболее употребительных асимптотик выделяется приближение геометрической оптики и основанный на нём метод трассировки лучей (МТЛ). Популярность подобного подхода определяется универсальностью, наглядностью физической идеи, простотой алгоритмизации методики расчёта поля в ближней зоне рассеивающего объекта и, как следствие всего вышесказанного, - весьма умеренными требованиями к вычислительным ресурсам. Среди недостатков, прежде всего, отметим трудность корректного учёта волновых эффектов. Это послужило стимулом для разработки целого ряда весьма громоздких модификаций МТЛ, основанных на использовании для перехода в дальнюю зону принципа Кирхгофа либо интеграла Стреттона-Чу, что, как многократно отмечалось, приводит к непомерному усложнению методики и резкому росту её вычислительных потребностей.

Общий обзор литературных данных по характеристикам светорассеяния на частицах в облачной среде свидетельствует о том, что большинство исследователей ограничивались решением в приближении геометрической оптики задачи рассеяния на кристаллах простейшей геометрической формы (в виде гексагонального столбика и пластинки), при этом основное внимание уделялось частицам, имеющим хаотическую ориентацию в пространстве. Задача светорассеяния на частицах с преимущественной ориентацией в литературе практически не затронута, рассеяние на объектах сложной геометрической формы также осталось без должного внимания.

ГЛАВА 2 . РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА ЛЕДЯНЫХ КРИСТАЛЛАХ

Как уже было сказано, применимость строгих методик решения задачи рассеяния на облачных кристаллах льда ограничивается, прежде всего, высокими вычислительными требованиями. В силу того что линейные размеры частиц в облачной среде многократно превышают длину волны видимого диапазона, при изучении процесса рассеяния в рамках геометрооптического приближения наиболее часто применяемой методикой является МТЛ. Однако попытки корректного учета волновых эффектов в рамках такого подхода посредством интегрального принципа Кирхгофа привели к разработке крайне громоздких вычислительных методик [4]. Подобная модификация расчётных процедур представляется неоправданной ввиду: а) чрезвычайного усложнения используемых алгоритмов и схем, б) резкого роста вычислительных потребностей метода, в) серьёзных трудностей с интерпретацией полученных результатов. В связи с этим целью второй главы являлась разработка методики и алгоритмов для расчёта элементов матрицы рассеяния на кристаллах произвольной формы.

В рамках классического МТЛ фронт падающей волны представляется в виде набора лучевых трубок. Траектория каждой лучевой трубки трассируется независимо от других, направление её распространения внутри кристалла рассчитывается с помощью закона Снеллиуса, взаимодействие волны с гранями кристалла описывается коэффициентами Френеля. Энергетика и состояние поляризации волны для каждого типа траектории задаются введением матрицы Джонса пучка. Результирующая матрица Джонса л-ГО пучка представляет собой последовательное произведение матричных операторов, каждый из которых описывает либо процесс взаимодействия волны с поверхностью раздела сред, либо вращение системы координат текущего состояния падающего поля до совмещения с системой координат текущей рассеивающей грани:

где - матрица Джонса и-го пучка в приближении геометрической оптики, ¥р - диагональный матричный оператор, описывающий взаимодействие падающего пучка с гранью; - матричный оператор поворота; - фазовый набег вдоль траектории распространения л-ГО пучка. Как показали расчёты, пучок в процессе трассировки внутри кристалла весьма быстро теряет энергию. Для того, чтобы отследить 97% энергии оказывается достаточно учесть не более 5-8 его взаимодействий с гранями. Как правило, система координат, в которой представляются элементы матрицы Мюллера луча, покидающего поверхность кристалла, связывается с плоскостью рассеяния. Такой подход изначально использовался Takano и Liou [2,3], затем получил развитие в работах Маске [8].

Однако для рассеивающего объекта кристаллической формы наиболее перспективным с точки зрения вычислительной эффективности представляется

алгоритм трассировки пучков (АТП) названный А. Поповым методом деления пучков. С физической точки зрения АТП полностью аналогичен МТЛ. Единственное отличие заключается в том, что поле представляется не в виде набора лучевых трубок, а в виде суперпозиции плоско параллельных пучков, которые формируются отражающими гранями кристалла. С позиций классического МТЛ это означает, что лучевые трубки с одинаковым типом распространения трассируются одновременно и как единое целое. Аналогичные алгоритмы были разработаны А. Петрушиным [5], Д. Ромашовым [6], и Del Guasta [9]. Все вышеуказанные авторы ограничились рассмотрением рассеяния на гексагональном призматическом кристалле, хотя достоверно установлено, что доля таких частиц в перистых облаках относительно невелика.

В нашем алгоритме трассировки пучков при нахождении геометрической формы освещенных участков на гранях кристалла задача из трёхмерной путём проецирования легко сводится к двумерной задаче поиска области пересечения плоских многоугольников. В качестве следующего шага, для нахождения области пересечения используется модифицированный алгоритм серпов и вычислительная схема О'Рурке.

5

а) б) в)

Рис. I. Структура рассеянного излучения в приближении геометрической оптики для некоторых кристаллических форм: столбик а), снежинка 6), плоский буллит-розетт в)

На рис. 1 представлена система плоскопараллельных пучков, образующаяся при обратном рассеянии на ледяных гексагональных кристаллах различных форм. Предполагается, что падающее излучение приходит от зрителя. Соответствующие пучкам лучевые траектории представлены на рис. 2.

Итак, в ближней зоне рассеивающего объекта поле представляется в виде некоторой совокупности плоско параллельных пучков. Очевидно, что в дальней зоне на характеристики рассеянного поля существенное влияние будут оказывать интерференционные и дифракционные эффекты. Для их учёта при расчёте поля в волновой зоне частицы представляется возможным применить приближение Фраунгофера, которое является коротковолновой асимптотикой более общего интегрального принципа Кирхгофа.

Подобная аппроксимация представляется вполне адекватной, так как средние геометрические размеры поперечного сечения пучка оказываются много больше длины волны. Это выглядит тем более приемлемым для кристаллов с несложной геометрической формой. При этом в силу дефицита информации по количественному и качественному составу кристаллических облаков учёт эффектов более высокого порядка малости не представляется возможным и необходимым.

Для отдельно взятого плоскопараллельного пучка с поперечным сечением в виде некоего многоугольника произвольной формы дифракционный интеграл Фраунгофера легко выражается в аналитическом виде. Функция, описывающая угловое распределение поля в сферической системе координат (8, <р) относительно центра пучка, может быть представлена в следующем простом виде:

а) при В = sin <|>sin б = О

Л(6,Ф) = —Iexpj/И

yj-xj

У Г У,* \х) ~xj*i)

"Л" Л

б)при .4 = cos<|>s¡n0 =0

в) при Л = 0 и i? = 0

\\

где 5

[yj-y^J)

XJ ~х>* I

е*Л1 _¿ki>)

xj X]+1

+B\

\Vj-yJ«)

Xj, yj - координаты вершин многоугольника, описывающего сечение пучка.

Суммирование по индексу у проходит по всем его вершинам..

Тогда матрица Джонса пучка с учётом волновых эффектов запишется в виде:

Матрица Джонса рассеивающего объекта есть суперпозиция матриц Джонса всех пучков:

а соответствующая ей матрица рассеяния имеет вид:

М(П) = Г[,1(Я) ® J * (£2)]Г"',

где матрицы определяются из следующих выражений:

Если в выражении для матрицы рассеяния выделить члены ряда с одинаковыми индексами суммирования, то представляется возможным разделить суммарную матрицу рассеяния на две составляющие:

где:

=Хшг(П)® у: *(П)Гч = 2Х|/„(П)|2,

'с*/*

в*1

Из этих выражений очевидно, что влияние разных эффектов на суммарную матрицу рассеяния может быть выделено: первое слагаемое здесь описывает процесс дифракции плоскопараллельных пучков, а второе слагаемое - их взаимодействие, т. е. интерференцию.

Итак, процедура расчёта рассеянного поля проводится в два этапа. На первом этапе с помощью АТП производится расчёт поля в ближней зоне рассеивающего объекта в приближении геометрической оптики. Для кристаллических объектов результатом является совокупность плоскопараллельных пучков. На втором этапе производится учёт волновых эффектов в приближении Фраунгофера.

Очевидным преимуществом подобной методики над традиционными алгоритмами МТЛ [2,3] является, прежде всего, высокая скорость счёта. Кроме этого, при расчётах алгоритмом трассировки пучков сохраняется вся информация о форме пучка, что позволяет при учёте волновых эффектов избежать излишне сложных вычислений, как, например, в [4].

ГЛАВА 3 . ОБРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ НА КРИСТАЛЛАХ ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ ФОРМ

В задачах лидарного зондирования атмосферы особую актуальность приобретает знание информации о рассеивающих свойствах облачных частиц в направлении рассеяния назад. Так как в реальных перистых облаках анизомет-ричные ледяные кристаллы имеют свойство при падении упорядочиваться, то интерес вызывает процесс рассеяния на частицах с фиксированной ориентации в пространстве. В связи с этим, целью второй главы являлось решение задачи обратного рассеяния для частиц различных форм с учётом интерференционных и дифракционных эффектов.

Впервые было показано, что в диапазоне углов наклона кристалла р ~ 32.1-32.5° относительно направления распространения падающей волны присутствует резкий пик обратного рассеяния с интенсивностью, достигающей 64% от интенсивности падающей волны (рис. 3). Физическая природа пика объясняется возникновением двух полных внутренних отражений на взаимно перпендикулярных гранях кристалла.

Как показали наши расчёты, только определённые типы лучевых траекторий оказывают существенное влияние на величину интенсивности обратного рассеяния. Исключим из рассмотрения тривиальный случай зеркального отражения при нормальном падении волны на отражающую поверхность. Как оказалось, для кристаллов в форме гексагональной призмы рассеяние назад возникает только в случае, когда нормаль к какой-либо из прямоугольных граней лежит в плоскости, образованной главной осью кристалла и направлением распространения падающего фронта (см. рис.

В таком случае освещенные грани кристалла условно можно назвать торцевой (пучок 6 на рис. 1,а), скошенной (пучки 1 - 4)и фронтальной (пучок 5). Тогда рассеянное назад поле можно представить в виде суперпозиции всего трёх основных наиболее энергетически значимых компонент, каждая из которых соответствует некоторой освещенной грани и является одномерной функцией угла наклона кристалла относительно направления прихода падающей волны Р

АГ(Э)=*'(Р)+К2*(Р)+Л:я(Р).

где К - суммарная эффективность обратного рассеяния; К' соответствует пучкам, покинувшим кристалл через фронтальную четырёхугольную грань / (пучок 5 на рис \,а), К*'6 - пучкам 1-4 на рис. \,а, покинувшим кристалл через боковые грани, и К^ - пучку 6, покинувшему кристалл через освещенную торцевую грань.

Каждая компонента формируется благодаря уникальному типу траектории пучка внутри кристалла, при этом всю совокупность лучевых траекторий можно условно разбить на плоские и не плоские (см. рис. 2). Вклад каждой из компонент в зависимости от угла между главной осью кристалла и направлением распространения падающей волны представлен на рис. 3.

Таким образом, гигантский пик обратного рассеяния возникает благодаря уголковому отражению от взаимно перпендикулярных граней в геометрической структуре призмы.

К"

К" К1

0.0

>

О 20 4 0 60 80 100 Наклон столбика, р

Рис. 3. Декомпозиция полной эффективности обратного рассеяния

Расчёт структуры электромагнитного поля показал, что диагональные элементы матрицы Джонса наиболее энергетически значимых пучков 1-4 (см. рис. \,а) оказываются близки к нулю, а сама матрица Джонса с погрешностью не более 5% представляется в виде:

Из этих выражений следует, что если падающая волна поляризована линейно, то и рассеянная компонента будет также поляризована линейно, однако повернута относительно падающей на 90°. Элементы матрицы Джонса остальных пучков легко получаются из соотношений связи для взаимных и зеркальных траекторий.

Строгий учёт волновых эффектов обнаружил, что благодаря взаимодействию между пучками рассеянное в направлении назад поле трансформируется в сложную систему интерференционных пятен. Угловое распределение поля для всех элементов матрицы Джонса представлено на рис. 4. Необходимо отметить тот факт, что все траектории, обнаруживающие существенный вклад в рассеяние назад, формируются благодаря наличию двугранного прямого угла между торцевой шестиугольной и боковой четырёхугольной гранями призмы. Анализ процесса рассеяния на ледяных кристаллах, не содержащих в своей геометрической структуре прямого угла (гексагональная пирамида, двойной буллит) показал, что рассеяние назад возникает только благодаря тривиально-

что соответствует матрице Мюллера:

ш° «0.64 Ою§(1,-1,-1,1)

му случаю внешнего зеркального отражения от граней, перпендикулярных направлению падающей волны. Рассеяние на кристаллах, имеющих прямой угол между гранями (дрокстал, дендрит, буллит) оказалось по большей части подобно рассеянию на гексагональной призме.

Ь ¡12

Рис. 4. Тонкая структура поля, рассеянного в направлении назад, для столбика с размерами а = 100 мкм, £, = 250 мкм при = 0.55 мкм и [5 = 32.5°

ГЛАВА 4. РАССЕЯНИЕ ВПЕРЁД. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕСФЕРИЧНОСТИ ЧАСТИЦЫ ПО РАССЕЯННОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ

Известно, что для кристаллических частиц значительная доля рассеянной энергии (до 70% для пластинчатых кристаллов) сосредоточена в направлении рассеяния вперёд. В данном разделе рассмотрена возможность извлечения информации о форме рассеивающего объекта по угловому распределению рассеянной интенсивности вблизи пика рассеяния вперёд.

Дифракционная компонента рассеянного поля в приближении Фраунго-

фера для малых углов рассеяния связана с формой проекции тени в направлении вперёд посредством преобразования Фурье. В диссертации показано, что аналогичная связь возникает также между интенсивностью дифракционной компоненты и автокорреляционной функцией тени рассеивающего объекта (в дальнейшем - 5-функция):

Далее рассмотрены основные свойства S-функции. В частности, одним из очевидных её свойств является то, что величина 5(0) равна площади проекции тени рассеивающего объекта. Замечательным свойством также обладает производная по направлению от 5-функции в окрестности нуля. Предел производной от 5-функции по произвольно выбранному направлению m равен проекции контура тени на направление, перпендикулярное т (рис. 5).

--100 О 100

т Параметр сдвига г. udí

Рис. 5. Геометрическая иллюстращ рИс. 6. 5-функция, соответствующая функции

выражения (4.1) тени частиц различной формы

При усреднении этого выражения по всем возможным направлениям сдвига была обнаружена зависимость между значением производной от 5-функции и параметрами рассеивающего объекта:

где р - длина периметра тени рассеивающего объекта.

Далее показано, что усреднённая по всем направлениям сдвига m величина 5-функции легко вычисляется из рассеянной интенсивности посредством следующего выражения:

5(0= р0(Л|П|г)/(П)^П

где ./0(£|£2|г) обозначает функцию Бесселя нулевого порядка.

Отсюда следует, что из вида 5-функции возможно извлечь информацию не только о площади тени, но и о её периметре, что в принципе позволяет оценить крайне простым способом не только размер объекта, но и степень его несферичности а как отношение площади проекции тени а к квадрату её периметра/?:

На рис. 6 представлены результаты расчётов 5-функции для прямоугольной теневой проекции s(p) в виде квадрата 50x50 мкм (кривая /), прямоугольника 25x100 мкм (кривая 2), прямоугольника 10x250 мкм (кривая 3).

ГЛАВА 5. МАТРИЦА МЮЛЛЕРА ДЛЯ ЛЕДЯНЫХ КРИСТАЛЛОВ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ПРИ СЛУЧАЙНОЙ И ПРЕИМУЩЕСТВЕННОЙ ОРИЕНТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

В литературе вопрос о рассеивающих свойствах частиц с хаотической ориентацией получил достаточное развитие только для кристаллов простой геометрической формы (гексагональная призма) [1-6]. Работы, посвященные рассеянию на кристаллах других форм, имеют фрагментарный либо иллюстративный характер [8] и посвящены, как правило, расчёту энергетических характеристик. То же самое может быть сказано о рассеянии на частицах с преимущественной ориентацией.

В пятой главе диссертации представлены результаты расчётов всех элементов матрицы Мюллера для всех основных форм кристаллов, присутствующих в кристаллических облаках (сплошной и полый столбик, пластинка, буллит-розетт, дендрит, буллит, дрокстал).

На рис. 7 сопоставлены ненулевые элементы матрицы Мюллера для хаотически ориентированного сплошного и полого столбиков. Анализ поведения индикатрисы рассеяния подтвердил предположение о том, что интегрируемая особенность и резкий пик рассеяния назад возникают только для кристаллов, имеющих в своей геометрической структуре двугранный прямой угол. Причём, наличие пика назад определяется вкладом траекторий, ответственных за формирование гигантского пика обратного рассеяния (см. главу 3).

В последние годы особую актуальность приобрела задача рассеяния для кристаллов с преимущественной ориентацией в пространстве. Необходимо констатировать тот факт, что к настоящему времени по этому вопросу в литературе нет данных, пригодных для практического использования. В диссертации представлены результаты расчётов элементов матрицы Мюллера для частиц различных форм (пластинка, столбик, снежинка, буллит-розетт) с преиму-

16

щественной ориентацией в горизонтальной плоскости, проанализирован механизм формирования основных оптических эффектов.

—'—1—' I " I "—I » | > | I I » I ■ 1 -М I » | < | ' I—»—I—'—|—■—Г—1—I " 'I 1 «—I

О20«»м1м1ам01ммо о »«бовнптмокотао Уготрассамя,« Угол расса»м. 6

Рис. 7. Нормированные элементы матрицы Мюллера для сплошного (кривая /) и полого столбиков (кривая 2) с фактором формы 0 = 2.5

На рис. 8 изображены элементы матрицы Мюллера для гексагонального столбика с преимущественной ориентацией в горизонтальной плоскости.

Интересно заметить, что элементы матрицы Мюллера частиц с хаотической ориентацией в горизонтальной плоскости проявляют следующее простое

S А А* S А А A S S A S

где символ S - обозначает элементы, проявляющие свойства симметрии относительно плоскости падения, а А - обозначает антисимметричные элементы. Другими словами, элементы, отмеченные символом S, проявляют свойство чётности относительно азимутального угла рассеяния, а элементы, отмеченные символом А — нечётности.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы проведённых исследований.

Рис. 8. Нормированные элементы матрицы Мюллера для гексагонального столбика (0 2.5) с преимущественной ориентацией в горизонтальной плоскости

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны методика и численный алгоритм решения задачи светорассеяния на кристаллических частицах произвольной геометрической формы с размерами, многократно превышающими длину волны падающего излучения. Суть методики сводится к расчёту поля в ближней зоне рассеивающего объекта в геометрооптическом приближении, затем к переходу в дальнюю зону с помощью дифракционного интеграла Фраунгофера.

2. С помощью разработанного аппарата рассчитаны ненулевые элементы матрицы Мюллера для ледяных кристаллов различных геометрических форм, при хаотической и преимущественной ориентации в пространстве. Проанализирован характер формирования основных оптических эффектов. Кроме этого, проведены расчёты элементов матрицы Мюллера для кристаллов несовершенной призматической формы. В совокупности эти результаты могут служить основой для разработки оптической модели перистых облаков.

3. Обратное рассеяние на крупных ледяных кристаллических частицах формируется благодаря ограниченному набору лучевых траекторий внутри кристалла. Для гексагональной призмы обратное рассеяние возникает только при такой ориентации кристалла, когда нормаль к одной из призматических граней лежит в плоскости, образованной главной осью кристалла и направлением распространения падающей волны.

4. Для частицы в форме гексагональной призмы обнаружен резкий пик обратного рассеяния для углов наклона главной оси кристалла 32.1— 32.5° относительно направления распространения падающей волны. Анализ элементов матрицы Джонса в этом угловом диапазоне для наиболее энергетически значимых пучков продемонстрировал наличие поворота поляризации рассеянного излучения на 90° относительно поляризации падающей волны. Это явление объясняет экспериментально наблюдаемый эффект сильной деполяризации отражённой компоненты лидарного сигнала, рассеянного в облачной среде.

5. В рамках приближения Фраунгофера предложен способ извлечения информации о степени несферичности рассеивающего объекта с размерами, много больше длины волны из углового распределения рассеянной интенсивности вблизи направления рассеяния вперёд.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wendling P., Wendling R. and Weickmann H. К. Scattering of solar radiation by hexagonal ice crystals // Appl. Opt. 1979. V. 18. P. 2663-2671.

2. Cai Q. and Liou K. N. Polarized light scattering by hexagonal ice crystals: theory // Appl. Opt. 1982. - V. 21. P. 3569-3580.

3. Takano Y. and Jayaweera K. Scattering phase matrix for hexagonal ice crystals computed from ray-tracing // Appl. Opt 1985. V. 24. P. 3254 - 3263. >

4. Yang P., Liou K. N. Light scattering by hexagonal ice crystals: solutions by a ray-by-ray integration algorithm // Appl. Opt. 1997. V. 14. № 9. P. 2278-2289.

5. Волковицкий OA, Павлова Л.Н., Петрушин А.Г. Оптические свойства кристаллических облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984,198 с.

6. Ромашов Д. Н. Матрица обратного рассеяния для монодисперсных ансамблей гексагональных ледяных кристаллов // Оптика атмосферы и океана. 1999, Т. 12. №5. с. 392-400.

7. Kaul В., Arshinov Yu., Romashov D., Samokhvalov I. et al. Crystal Clouds — Tomsk: "Spectr", 1997.141 p.

8. Macke A., Mueller J., and Raschke E. Single scattering properties of atmospheric ice crystals // J. Atmos. Sci. 1996. V. 53. P. 2813 - 2825.

9. Del Guasta M. A second generation ray-tracing technique applied to lidar returns from cirrus clouds //10-th Intern. Workshop Multiple Scattering Lidar Experiments / Ed. P. Bruscaglioni. Florence, Italy, 1999. P. 48 - 57.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

Статьи в рецензируемых изданиях:

1. Borovoi A. G., Grishin I. A. Scattering matrices for large ice crystal particles // J. Opt. Soc. Am. 2003. V. 20. № 11. P. 2071 - 2080.

2. Borovoi A. G., Grishin I. A., Naats E., and Oppel U. G. Light backscattering by hexagonal ice crystals // J. Quantit. Spectrosc. and Radiative Transfer - 2002. V. 72. P. 403-407.

3. Borovoi A. G., Grishin I. A., and Oppel U. G. Backscattering peak of hexagonal

ice columns and plates // Optics Letters. 2000. V. 25. P. 1388 -1390.

4. Borovoi A. G., Naats E., Oppel U., and Grishin I. Shape characterization of large nonspherical particle by use of its Fraunhofer diffraction pattern // Appl. Optics. 2000, V. 39, P. 1989-1997.

Статьи в сборниках SPIE, тезисы конференций и т.п.:

1. Borovoi A., Grishin I., Oppel U. Light scattering by ice crystal of cirrus clouds:

Jones matrix // Proc. SPIE. 2001. V. 4678, P. 362 - 371.

2. Borovoi A., Grishin I., Oppel U. Amplitude and phase scattering matrices for

large ice crystal particles // Proc. 6th Conference on Light Scattering by Non-spherical Particles. University of Florida, Gainesville. 2002. P. 37-40.

3. Borovoi A., Grishin I., E. Naats, Oppel U. Backscattering cross section of hex-

agonal ice crystals // Proc. SPIE. 2000. V. 4341, P. 362 - 369.

4. ' Borovoi A., Grishin I., Naats E/, Sazanovich V., Oppel U. Backscattering Muel-

ler matrix of hexagonal ice crystals // Proc. SPIE. 2000. V. 4341, P. 370 - 377.

5. Borovoi A., Grishin I., Kustova N., Oppel U. Polarized light backscatter by hexagonal ice crystal particles // Proc. SPIE. 2003. V. 5240. P. 52 - 62.

6. Borovoi A., Grishin I., Dyomin V., Oppel U. Optical measurements of a non-sphericity parameter Юг large particles // Proc. of International Congress for Particle Technology, CD-ROM, Nurnberg, Germany. 2001. P. 115 - 123.

7. Borovoi A., Grishin I., Oppel U. Mueller matrix for randomly oriented ice crystal particles // Proc. SPIE. 2003. V. 5027. P. 112 - 119.

8. Grishin I., Borovoi A., Oppel U. Mueller matrices for randomly oriented ice crystal particles in the geometric optics approximation // Proc. SPIE. 2003. V. 5059. P. 66-75.

9. Borovoi A., Grishin I., Kustova N, Oppel U. Light scattering by large ice crystal

particles of cirrus clouds with either random or preferred orientations // 7th Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles, Sept. 2003, Bremen, Germany. 2003. P. 57 - 60.

10. Grishin IA, Borovoi A.G., Cohen A., Kustova N.V., Oppel U.G., Prigarin S.M. Mueller matrices for ice crystal particles with preferred orientations // X Joint International Symposium «Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics» Symposium Proceedings. Tomsk: IAO SB RAS, 2003. P. 86 - 87.

11. Prigarin S.M., Borovoi A.G., Cohen A., Grishin IA., Oppel U.G., Zhuravleva T.B. Monte Carlo simulation of radiative transfer in ice clouds with particles stochastically oriented in space and horizontal plane // X Joint International Symposium «Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics» Symposium Proceedings. Tomsk: IAO SB RAS, 2003. P. 96.

12. Kustova N.V., Borovoi A.G., Cohen A., Grishin I.A., Oppel U.G., Prigarin S.M. Polarization of light scattered by cirrus cloud ice crystals in backward direction. // X Joint International Symposium «Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics» Symposium Proceedings. Tomsk: IAO SB RAS, 2003. P. 126.

13. Grishin I.A., Borovoi A.G. Scattering matrix for ice crystal particles with pref-fered orientation in space // XI Joint International Symposium «Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics» Symposium Proceedings. Tomsk: IAO SB RAS, 2004. P. 148.

14. Borovoi A., Grishin I., Oppel U. Light scattering by ice crystal clouds: Jones matrix // VIII Joint International Symposium «Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics» Symposium Proceedings. Tomsk: IAO SB RAS, 2001. P. 176

15. Гришин ИА., Боровой А.Г., Оппель У.Г. Расчет матриц Джонса для кристаллических частиц методом трассировки лучей // VII Междунар. симпоз.

«Оптика атмосферы и океана». Томск. 2000. с. 111.

16. Боровой А.Г., Наац Э.И., Сазанович В.М., Гришин ИА, Оппель У.Г. Матрица Мюллера для гексагональных ледяных кристаллов // VII Междунар. симпоз. «Оптика атмосферы и океана». Томск. 2000, с.117.

17. Borovoi A.G., Oppel U.G., Prigarin S.M., Lavrenfev A.E., Grishin LA. Light scattering in crystal clouds // Internat. Radiation Symposium IRS-2000, St. Petersburg, 2000. P. 52

18. Borovoi A., Grishin L, Dyomin V., Oppel U. Optical measurements of a non-sphericity parameter for large particles // Abstracts of 6th International Congress on Optical Particle Characterization, Brighton, England, 2001. P. 75.

Р 218 78

РНБ Русский фонд

2005-4 21727

Подписано к печати 04.11.2004г. Тираж 100 экз. Заш № 198 Бумага офсетная Печать RISO. Отпечатано ■ типографии ООО «РауШ мбХ» Лицензия Серия ЦД№ 12-0092 от 03.05.2001 г. г. Томск, ул. Усова 7, ком. 052. тел. (3822) 56-44-54

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ПРОБЛЕМА СВЕТОРАССЕЯНИЯ НА ЧАСТИЦАХ НЕСФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.1 Ледяные кристаллы, составляющие перистые облака

1.2 Строгие методы решения задачи рассеяния света на частицах несферической формы

1.3 Приближенные подходы к решению задачи рассеяния

1.4 Матрица Мюллера для ледяных кристаллов в перистых облаках

ГЛАВА 2. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА ЛЕДЯНЫХ КРИСТАЛЛАХ

2.1 Модель рассеивающего объекта кристаллической формы

2.2 Физический формализм метода трассировки лучей в применении к объекту кристаллической формы

2.3 Рассеяное поле в волновой зоне

2.4 Различные виды матрицы Мюллера для рассеивающего объекта несферической формы

Актуальность исследований. Перистые облака, покрывающие примерно 20-30% земной поверхности независимо от времени года, оказывают существенное влияние на формирование теплового бюджета всей планеты, а как следствие, и на климат в целом. Они находятся на высоте 5-10 км и состоят из ледяных частиц, значительную долю которых составляют ледяные кристаллы. Геометрические размеры кристаллов меняются в широком диапазоне от нескольких десятков микрон до нескольких миллиметров.

При разработке современных численных моделей глобального изменения климата и долгосрочного прогноза погоды, а также при решении задач дистанционного зондирования атмосферы, остро встаёт вопрос о светорассеивающих свойствах отдельной частицы в перистых облаках. Сложная и разнообразная геометрия частиц не позволяет применить строгие методы решения задачи рассеяния, что является причиной широкого использования различного рода приближенных подходов. В силу того, что средний размер частиц в перистых облаках много больше длины волны оптического излучения, наиболее популярным способом решения задачи рассеяния является геометрооптическое приближение и основанный на нём метод трассировки лучей. Из первых публикаций в рамках этого подхода следует отметить Wendling [1], который качественно и количественно объяснил эффекты гало при рассеянии оптического излучения на ледяных кристаллах в форме гексагональной призмы. Наиболее значительный объём работ проводился в течении более чем двадцати лет под руководством Liou и Takano, например [2-4]. Ими впервые были рассчитаны и проанализированы все элементы матрицы рассеяния на монодисперсных ансамблях ледяных частиц [2, 3]. Однако, в ранних работах этих авторов учёт волновых эффектов проводился в крайне упрощённой форме, что в дальнейшем привело к появлению более строгих методов основанных на интегральном принципе Кирхгофа [4]. Тем не менее, вычислительные требования к ресурсам пользователя и сложность алгоритмизации не привели к их широкому распространению.

Среди отечественных исследователей выделяются работы Петрушина [5], который аналитически рассмотрел рассеяние света на полидисперсных ансамблях гексагональных призм. В последние годы значительный объём расчётов элементов матрицы рассеяния для кристаллов в форме гексагональной призмы проведён Ромашовым [6], результаты которого применялись для интерпретации экспериментальных данных при дистанционном зондировании атмосферы [7].

Подчеркнём, что, хотя работы в данном направлении ведутся уже более 20 лет, в связи со сложностью и громоздкостью задачи большинство исследователей ограничивались расчётом и анализом только энергетических характеристик рассеянного излучения для ледяных кристаллических объектов относительно простой геометрической формы.

Исходя из всего вышесказанного, целью работы был расчёт и анализ всех элементов матрицы рассеяния для ледяных кристаллических частиц произвольной формы.

Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

1. Разработка алгоритмов численного решения задачи рассеяния на кристаллических частицах произвольной формы с размерами много большими длины волны.

2. Расчёт и исследование элементов матрицы рассеяния для ледяных кристаллов различных форм с различной ориентацией в пространстве (фиксированной, хаотической и преимущественной).

3. Анализ механизма формирования рассеянного излучения для ледяных гексагональных кристаллов, особенно в направлении рассеяния назад, что актуально для задач дистанционного зондирования атмосферы как с поверхности земли, так и из космоса.

4. Исследование возможности восстановления формы рассеивающих частиц исходя из тонкой структуры рассеянного излучения.

Научная новизна результатов.

1. Разработан оригинальный алгоритм трассировки пучков для вычисления в геометрооптическом приближении матрицы рассеяния света на крупных частицах кристаллической формы. Отличительной особенностью алгоритма является возможность его применения к кристаллическому объекту произвольной геометрической формы.

2. Предложена процедура декомпозиции матрицы рассеяния на две части, описывающие дифракционную и интерференционную компоненты суммарной матрицы рассеяния, что позволяет в более удобной форме интерпретировать результаты расчётов.

3. В приближении геометрической оптики впервые рассчитаны все элементы матрицы рассеяния для ледяных кристаллов сложных геометрических форм: плоских буллитов-розеттов, пластинчатых дендритов и т.д.

4. В рамках приближения геометрической и физической оптики в угловом диапазоне ориентаций кристалла 32.1°-32.5° показано существование аномально большого обратного рассеяния, которое возникает благодаря двукратному полному внутреннему отражению на взаимно перпендикулярных гранях кристалла. При этом такой эффект сопровождается поворотом плоскости поляризации на 90°.

5. Предложен простой метод оценки степени несферичности рассеивающей частицы исходя из. структуры поля вблизи направления рассеяния вперёд. Суть метода заключается в извлечении информации о периметре и площади проекции частицы в направлении рассеяния вперёд из углового распределения рассеянной интенсивности (в приближении дифракции Фраунгофера).

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Каждая глава сопровождается введением, дающим краткую аннотацию рассматриваемых проблем, и заключением в виде основных результатов. Общий объем работы - 150 страниц, включая 46 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 127 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны методика и численный алгоритм решения задачи светорассеяния на кристаллических частицах произвольной геометрической формы с размерами, многократно превышающими длину волны падающего излучения. Суть методики сводится к расчёту поля в ближней зоне рассеивающего объекта в геометрооптическом приближении, затем к переходу в дальнюю зону с помощью дифракционного интеграла Фраунгофера.

2. С помощью разработанного аппарата рассчитаны ненулевые элементы матрицы Мюллера для ледяных кристаллов различных геометрических форм, при хаотической и преимущественной ориентации в пространстве. Проанализирован характер формирования основных оптических эффектов. Кроме этого, проведены расчёты элементов матрицы Мюллера для кристаллов несовершенной призматической формы. В совокупности эти результаты могут служить основой для разработки оптической модели перистых облаков.

3. Установлено, что обратное рассеяние на крупных ледяных кристаллических частицах формируется благодаря ограниченному набору лучевых траекторий внутри кристалла. Для гексагональной призмы обратное рассеяние возникает только при такой ориентации кристалла, когда нормаль к одной из призматических граней лежит в плоскости, образованной главной осью кристалла и направлением распространения падающей волны.

4. Для частицы в форме гексагональной призмы обнаружен ярко выраженный пик обратного рассеяния для углов наклона главной оси кристалла 32.1°-32.5° относительно, направления распространения падающей волны. Анализ элементов матрицы Джонса в этом угловом диапазоне для наиболее энергетически значимых пучков продемонстрировал наличие поворота поляризации рассеянного излучения на 90° относительно поляризации падающей волны. Это явление объясняет экспериментально наблюдаемый эффект сильной деполяризации отражённой компоненты лидарного сигнала, рассеянного в облачной среде.

5. В рамках приближения Фраунгофера предложен способ извлечения информации о степени несферичности рассеивающего объекта с размерами, много большими длины волны, из углового распределения рассеянной интенсивности вблизи направления рассеяния вперёд.

Все результаты диссертации опубликованы в работах [90-92, 100-104, 110,

111, 114-116, 119-127].

1. Wendling P., Wendling R. and Weickmann Н. К. Scattering of solar radiation by hexagonal ice crystals // Appl. Opt. 1979. - V. 18. - P. 2663 - 2671.

2. Cai Q. and Liou K. N. Polarized light scattering by hexagonal ice crystals: theory. // Appl. Opt. 1982. - V. 21. - P. 3569 - 3580.

3. Takano Y. and Jayaweera K. Scattering phase matrix for hexagonal ice crystals computed from ray-tracing. // Appl. Opt. 1985 - V. 24. - P. 3254 -3263.

4. Yang P., Liou K. N. Light scattering by hexagonal ice crystals: solutions by a ray-by-ray integration algorithm // Appl. Opt. 1997. - V. 14. - P. 2278 -2289.

5. Волковицкий О.А., Павлова Л.Н., Петрушин А.Г. Оптические свойства кристаллических облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984, 198 с.

6. Ромашов Д. Н. Матрица обратного рассеяния для монодисперсных ансамблей гексагональных ледяных кристаллов — Оптика атмосферы и океана. 1999. - т. 12. № 5, с. 392 - 400.

7. Kaul В., Arshinov Yu., Romashov D., Samokhvalov I. et al. Crystal Clouds — Tomsk: "Spectr", 1997, 141 p.

8. Macke A., Mueller J., and Raschke E. Single scattering properties of atmospheric ice crystals. // J. Atmos. Sci. 1996. - V. 53. - P. 2813 - 2825.

9. Del Guasta M. A second generation ray-tracing technique applied to lidar returns from cirrus clouds // 10-th Intern. Workshop Multiple Scattering Lidar Experiments, (Ed. P. Bruscaglioni, Florence, Italy, 1999) P. 48 57.

10. Macke A. Scattering of light by polyhedral ice crystals // Appl. Opt. 1993. -V. 32.- P. 2780-2788.

11. Heymsfield A. Cirrus uncinus generating cells and the evolution of cirriform clouds. Part 1: Aircraft observations of the growth of the ice phase. // J. Atmos. Sci. 1975. - V. 32. - P. 799 - 808.12.