Рациональные функции с тремя критическими значениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАШКО- МАТЕМАТПЧЕСКМ ФАКУЛЬТЕТ-

На правах рукописи УДК51Я.

ФИ.1ШОКЕНКОВ ВИКТОР ОЛЕГОВИЧ.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ С ТРЕМЯ КРИТИЧЕСКИМИ ЗНАЧЕНИЯМ.

Згигвдальность -01. О*. Оь. - "Математическая логика, ллгэ£оч и теошм

АДТСЕСЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • кандидата ({моихо- математических наук.

МОСКВА 1Э95 г.

•Работа", выполнена.' на „кафедр© 'высшей алгоДры мехакнко-мвтематического факультета Московского государственного университета -им. М. В. Ломоносова,.

' : " Научные руководители:

член - корреспондент РАН, профессор " А. И.-КОСТРИКИК-

кандидат физико- математических наук • Г._Б. ШАБАТ

Официальные спиаиекти: доктор-физико-математических наук " М.'А. ЦФАСМАН

кандидат, физико-математических неук , С. К. .ШЩО

Ведущая орг.чшюгзшм: Математический институт им. Отнкяовп РАК

' Защита диссертации состоится v i,) " t99 ь г., в 16 ч. 05

•шт. на заседании диссертационного совета .Д053.25-05. лри .Чосеобокпи государственном университете, по . адресу:' 119899. .Москва» ГСП, Воробьевы горы, МГУ, мехенико- математический факультет, ауд. 14-08.

С • диасертацизг ' "мокно ознакомиться в библиотеке., механико-математического факультета МТУ <14:этаж). .• - '

Автореферат разослан " /3 * ас&И/'ЦЛ^ 1996 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д05Э..05.05-' при МГУ, докто] физико-математических наук,профессор Б. Н. Чубаршсо!

' ' . ОЕЩАЯ ШЖСТЕК'СТПСА РАБОТУ.'

ЛЙ^аЛЬПССТЬ ТОШ. " . . ,

Краткий исторический очэрк по тема диссертации.

В основе той области математики, к которой относится данная диссертационная работа - соаяВеяиявив ЛеяЭу графаш т иолпшспньа Ьриеншруелых поверхностях и сигеброичеаалш: кривым, определенным, над числовым полями - лежит неопубликованная работа [Grot]. Она датируется 1934 годом, когда, после нескольких дат преподавания в университете Мокпелье, Алэксандр Гротендик, неудовлетворенный уровнен математической подготовки своих учеников', подает зявление на занятие вакантной должности во • Французском Нашюнальнс'м центре научных исследований. Текст косит характер приложения к заявлению, и содеркит неформальное описание того, чем автбр предполагал заниматься на новом месте работы. Исследования, в которых Гротендик Предложил новкй подход к проблема описания абсолютной группы Галуа Gal fo/o), за проведшие годы внлилиоь в самостоятельную ветвь алгебры, активно развиваемую сперва . русскими . и японскими математиками, а в последнее время и математиками других стран. Е

(arc! Orothendleck А., Бsquls.v d'un programPi^pfiht'.t984.

I

ыпрчле 1993 года состоялвоь международная конференция в Люшши (Франция) по данной тематике. Указ; :те сведения заимствованы в основной из вводе ния к сборнику трудов этой конференции 27г& ürottendieck Theory о/ Detains d'Enfanta, Edited by L.sohnepa, lonäon Math. Soq* Note Series 200, Cambridge University Press,.

u содержании теории Гротекдака. ' .

Центральными объектами теории Гротендика являются связные графи нч компактных сшязнш ориентируемых топологических поверхностях, которые Гротендык, называет desaina, <J'enfant ("детские рисунки", г. диссертации . использован его не . вполне общепринятый русский KhLuuíiJieHT ЭСШМ1Ы). Другим важным классом объектов являются пары Счлчг'.о (Х,р), rt,e X - алгебраическая кривая, определенная над полом

ujii е<*рйичао1ШХ нисел a ß: X —► IP*(С) - рациональная функция,

t ' 1

множество критических значений которой содержится во множестве из

трех точек:' IQ, 1, со}, причем все ветвления над 1 двукратны.

Ириоораа отрезка ечщэствеяной оси [1 ,оо] для функции ß являете(

авизным графой " на- поверзшости X,, и таким образом устанавливаете;

ьзинмаи одноайачное соответствие между изотопическими классам! ■' 'i . * - ■»•. ослизов- и классами пар Белого с точностью до изоморфи-íSfa (i

катиюрии алгебраических кривых, снабженных морфизмом на íp1 ). Особы!

2

интерес . етому соответствию присчет теорема Г. Белого ((Белый)), п том, что алгебраическая кривяя может Сыть определена няд^ полем о тогда я только тогда, когда на ней супествуег рациональная функлия, разветвленная максимум над тремя точками. Детали ' конструкции Гротендика впервые опубликованы Г. Ша^атом и R. Воеводским к (ShVol, для знакомства о теорией мокло порекомендовать и [Sohn].

Прямым следствием указанного . соответствия является дейст)8>и?

группы Гшуа Gal(®/z) т лножестВа изотопических ■ классов эскизов. оггределяемое через действие отой группы на множестве пар Белого. Действие это далеко не тривиально. Оно, например, точно (в том смысле, что никякчя подгруппа конечного индекса группы Галун Г не действует тривиально > лт Грефов на сфере и дзчт' для сферических

[Келнй] Веднй Г.В., 0 раашрмш Гацт лаксшалыюго кругового поля., Иззеотия MI СССР,' серия математическая, 1979, т.*4!}, М 2, сгр "Я7 ."iß.

(ShVo] Shal>at 0., Veevodv'ey V., Prcvv'ng cvrveя over nrnbw /!•*'<£», The Orcttinrliek Pentebriit., vol. Ш, 19?- £27; BirXhouser, 1?-4i. (r--}») ] Sohrieps D., Ло.-:аf7i,? d'enfmi, в еборвдке 'The Grothrmi! *t:t: Thenry of Ivastna d'^xfanie, ß.Ut«..' by Ь.ЗоПперч, London Math. tv»e. Kote Sörier 200, Очш'.ич iIk«! Unlverßity, Press,' 199*.

0

деревьев, как показал -X. Ленстра (см.. в [Söhn]). Таким образом конструкция. Гротондика помогает визуализировать такой абстрактный объект, какзш является группа Галуа.

Каздому изотопическому классу ескизов сответствует подгруппа Галуа, оставляющая этот ряасс до ■ месте и соответствующее етой подгруппе по основной теореме теории Галуа поле, называемое поиел определения эскиза. Поля, над которыми определены пары. Белого ескиза, сидеркат поле определения еокиза.1 Возникающий здесь вопрос о нахождении -пары Белого минимальной степени иррациональности над полем определение своего ески?а, в частном случае сферические: ескизов изучается в диссертации, а. также в работе Кувеня [Couv], где, в частности, . независимо доказан результат, аналогичный утверждению 2 п.2 главы 4 диссертации. Более подробный обзор работ по теории Гротендика содержится во введении к диссертации.

Цель работы. Исследование соответствия Гротендика в'случае рода О и действия группы Галуа на ыногсастве_ связных сферических, графов, поля определений классов' рациональных функций одной переменной с точностью до дробно- линейного преобразования аргумента .и поля определения ал представителей.

(Couv], Couveighев J.-H., Calcul et rationalité de fonction de B&lyl en genre 0, Ann. de l'inet. Fourier 440 )1994.

4

Метода исследований. Используйтся . методы теорий некоммутативных когомологий Галуа, теории римановых поверхностей, некоторые комбинаторные методы, результаты из топологической теории плоски* графов. ■ . - ; -

. Научная, новизна. Все результаты .диссертации новые. Утверждение 2 п. 2» главы 4 такие независимо получено в [Сои*].

Теоретическая я практическая ценность, диссертация носит теоретический характер,

Апробация. Основные результаты докладиБались^ на конференциях аспирантов и студентов механико- математического факультета МГУ (Красйовидово, 1992 г. и 1993 г.) и на семинаре "Алгебраические кривые над числовыми полями" под руководством ф.- м. н. Г. Б. Шабата. . '•■':■* '•'. -

Публикации. Основные результаты . диссертации опубликованы в работах; список которых приведен в конце автореферата. /

Объем И структура работы. Диссертация состоят из введения, четырех глав, библиографии (29 наименований), изложенных на 83 страницах.

- КРАТКОЙ С0ДЙР1АШЕ ДИССЕРТАЦИЙ. ; ,

В предлагаемой диссертации рассматривается чает!Шй случай теории Гротендика в случае рода 0. ' .

5

Первая глава ■ ' диссертации ' содержит некоторые сведения . из математической литературы, описывал понятия,, используемые в диссертации: сведения , из теории римановых поверхностей, теории некоммутативных 'когоыологий Галуа. Здесь же содержится применение етой теории к вопросу, о рычислении и описании когомологий Галуа группы дробно- линейных преобразований. Ключевым в доказательстве многих, результатов из диссертации является следующее утверждение:

Леына (глава 1 п.3|. Каждий коцикл Галуа груты Галуа Г' = (¿¡Кк/к'} конечкогд расширения И' поля к характеристики, не ра&нсл. г,- со зиачени£М1 6 группе дробно- линейных преобразований л к о эффициенлали. б й, коголологичен оОнолу из коциклов 7 — где а,Ъ е Ц; { ' - .г- "

: . з/а.ыуя; - 2, если т/гГ« Уь ,

. в[а,Ъ)„(г) = (аг)'*, если. Т/ь™ = -/¡Г.

8 п. 4/. ^лава 1 воспроизведено, в случае рода О, доказательств Г.' Белого следующего факта, играющего важную роль В теори Гротендшси

Утверждение.' (глава 1 п.4) Пусть / е ®(г,)\® - непостоянна рационадьная функция* Тогда существует- лногочлен с рационалънш иоэффиз^иетиии К е ® £2}, поной, чт штичесние значения /г./плеж ■ ьо дкожестбе {с^;. 1, ■«>}..

Вторая глава.диссертации содержит подробное описание коиструкц!

6

Грогендика в случав рода О и вводятся, основные деЙОтвукхциё Лица,

1 ■ 1 •

Определение 1. Функцией Белого называется- рациональная функция одного комплексного переменного, у которой ровно! три критических значения О, 1, и и, причем все ветя-гения над 1 двукратны.

. Определение 2. Сфермескил эскизом 0 называется Стройка Хо с А',, с Хг, где - поверхность, гомеоморфнэя' сфере,' , - конечное' множество на Хг, Х\Х гомеоморно несвязному, объединению открытых отрезков и Х\Х гомаоморфно несвязному объединению открытых дисков.

I

йза эскиза Х4 с Х^ с Х3 к Х^ с X] с XI называется изотопичест

энВчвалентшли, если существует такой гомеоморизм ф: Хг * X', сохраняющий ориентацию, что ф(^0) = Х£ и ф'СЛ^) = X*. Класс эскизов, изотонически ¡эквивалентных »снизу!), обозначается [5].' •

Между множеством классов рациональных функций, получаемых друг из' лругз дробно- линейными преобразованиями, и .множеством классов изотопически эквивалентных эскизов строится взаимно- однозначное гоответствие. П одну сторону его устанавливает 1 -

Утверждение (глава г, п•.3). Пуспь /: Р*(<с) —► ¡г'(С.> - фуньциЛ белого о крч'тетеекиш згаченидди о, 1 иго, причел все ветвлении на! 1 авукретт. Тогда Е(1)\ /"'Га?; с \г*(С) сферически!

ьс.тя. ■ ■■ ■ ' , ,, • ■;. ^

'.Обратно:, для Всякого сферического эскиза В, существует такая 1унч1шя Белого / , что Е(/; с [Г;|. Она называется;.функцией Белого

?

изоаютческого класса эскиза С, или просто функцией Белого эскиза С.

функция релогй еркиза определена . точностью до выбора на сфере, комплексных «юордннат. Смена*комплексных координат задается дробно-динайным преобразованием. Таким образом, множество функций Белого эскиза 0 (обоз^чим .его Ве1и(£)) принадлежит множеству {/р1с •' = ("/„•81 В « РЗ^ГС}}. наоборот * дробно- линейная "замена аргумента функции Белого эскиза является гомеоморфизмом ,Р4(С), сохраняющим изотопический ¡«лчсо ескизе,. поетому. все функции из 1/р]£ являются функциями Бело^р аокиза Д. Таким образом ■ получено взаимнооднозначное сро^етогвие " ■ "V , ^ ••

Изотопический класо ♦--♦ его функция Болого о точностью до

оскиза V • дробно-линейной замены аргумента.

-: "4■.,' 10] - [£(/„)] 1/„]£. • ':; . , '

Следупцад террема дает возможность рассматривать все над поле», алгебраически* -шсел. : . •

Теорема (гляра 2,' о. 9). ■Щого .эскиза В[ существует, еес функция белого /р- эскиза; О, определённая над полел алгео^ххинесюс чисел I. ■-;,"■■ •..'' л

Коли У е ®(<5) И- Т е ®(2) '-. две функции Белого рдного и того ж эскиз?),- то и дробно- линейная замена координат такая чтр /4 тоже риреЛэлена над О. Введем множество • , ,- - ' ' Г Ве10(ь) » ¿(г; ()Ве10(<с) •

и устанавливаемое н^ии соответствие приобретет окончательный вид:

[О] «-- Ве1в{Ъ).

В кпнце второй Главы на языке функций Белого переформулированы некоторые' комбинаторные понятия из теории эскизов: симметрии, сохраняющие ориентацию сферы . и осевая симметрия, дуальность и автодуальность.

Утверждение 1 (глава 2, -п.10). Пусть /в - функция Белого эскиза И. Группа силлещюЛ 0а эскизу иэолорфна подгруппе Сг группы

о

дробно-линейны? преобразований О, ,шкиг, то

ЬШ*)) '/„(*). 8*0, ■ ■ ■

о

Утверждение 2 (глава 2, п. 10) , Бели эскиз обладает осы) силлетрии, то он обладает функцией Белого, определенной над полел вещественных чисел т.

Утверждение'3 (гдава 2, п.Ю) . Если функция Белого /в эскиза Ь вещественнозначш. ко эскиз илеет осевую силлетрию.

Утверждение 4 (глава 2, п.Ю) , Автадуалыюстъ эскиза В обозначает существование такого & е С, что = 1.

В главе 3 ставится следующий вопрос: ■•

Среди класса функций, тюлучаацихся друг из друга дробно--

линейныли заленами аргумента, найти такую функцию; которая определена над возможно ленъиш полел.

9

Появление его 'связано с конструкцией главы 2:.как найти функцию Белого сферического эскиза степень иррациональности коэффициентов которой минимальна?. Но. сформулированный вопрос естественной и для любых рациональных функций, ладанных над любым, полем. В. таком виде он и ставится в главе Э. •.'-.,.• , • • .

Пусть,Й - основное поле, Й- его алгебраическое замыкани'е, ] е к{")\к - непостоянная .рациональная функция. На множестве к{2)\Р. действует группа Галуа Г = Са1(к/Ь). Результат . действия (нокоеффициентного) элемента 7 е- Г на функцию ./• е. будем

обозначать у.

На Й(г)\Й действует также группа О = Р31,2(к) дробно- линейных -чмен аргумента. Орбиту | в е С}, этого действия обозначим [/] и

<чзов'ЭМ ¡иассол функции /. На множестве классов корректно определено-^ствие группы Галуа по правилу ^[/Г = -О/]. Для стационарных ; групп указанных действий введем обычные обозначения:

О, = Се 6 о | ' = Л 4 Т, (7 е Г I V = л ' Г[Г] = {Т е Г | Т[Л = Ш) . Г,о основной теореме теории Галуа группам Г, и ТН) соответствуют поля к, которые мы. обозначаем соответственно и й . Легко л-.уть, что Г, с ГгГ) для всех / е В ^ С, так что с

Последнее включение -показывает, что дробно-'.ынейной заменой

10

аргумента поле определения рациональной функции нельзя сделать слишком "маленьким" - • оно всегда содержат поле Ä(f). которое мы называем.) полел определения класса функции /.

Вопрос о минимизации степени иррациональности коеффициенгоп функции дробно- линейным преобразованием сводится, таким образом, к изучении! величины

= min {[fcf. : felfJ]}.

1 f1

Примеры показывают, что не для всех / вштолнено nf I . Указываются ко; омологическте препятствия к ©тому.

По определению группы' Г , для каздого элемента 7 е Г(|. существует такое дробно- линейное преобразование g^ е G, что Т/

f'g^. Вообще говоря, отображение 7---» g^ определено неоднозначно •

вместо элемента g^ можно рзять элемент а ё G(. Для большшот'

функций группа Gi тривиальна и выбор g^ однозначен. Д-произвольного выбора елементов g^ для элементов 7 и ß из \ выполнено равенство g-^gßig^ß = a^ß е Gf. Если отображение 7 g-у выбрано так, что для всех 7 и"Р Oy ß = 1 ,. то оно яаяя» иоциклол Гсиуа. Использование леммы п.Э главы-1 дает:

Теорема (глава 2, п.4). Вели характеристика основного поля eh.v ? 2, Li б форлуле f = f,g7 е Гш,- g^ е G, элементы g^ лс*> выбрать, гпак, чтобы отображение 7 .—» g^ являлось коциклол Гсица, г существует дробно-линейная золена g аргулеша функции f с k{: ■

II

такая-, что функция определена над не более, чел квад1хтичныл гасшрениел малого поля определения функции /.

Следствие 1. Боли б, - тривиальная группа, по п, < 2.

Следствие 2. п, = 1 тогда и толъко тогда, когда в равенстве V = /»б^* ^ е Г[П' е С, элелетн ^ ложно выбрать т:ш, что отображение 7 —> ^ образует коцикл, являющийся кограницей..

В п. 6 главы 3, в случав, когда основное поле - поле <й рациональных чисел, разбраны все; с точность» до изоморфизма, случаи когда группа (?г функции f нетривиальна.

Теорема (глава Э, п. 6). Если С( изо^ор^на группе с ииетрий правильного лногогранншса ши группе диэдра п >■}, то пг = 1, если 01 ^ или Т)г, то п{ < 2. Кроле того, если группа 6{ не изолорфна то в форлуле / = • у <= Г1Г), <= б, элелеют ложно выбрать так, чтобы отображение 7 ' —► являлось удцшиол Галуа1

Следующая теорема показываетчто для "большинства" фунгх;ий Пг = 1, и дает достаточное условие этого.

Теорема (глава 3. п. 5). Если f £ )\Р млеет нечетноэ число нулей или, полюсов какой- нибудъ крапносш и в равенстве 7/ - 7

€ ГГ| элелеты ^ е 5 ложно выбрать ти, то отображение 7 —> ^ оОгазуъя ксц'хи. Галуа, то п{ 1.

Тс

В- глава 4 снова> рассматриваются сферические эскизы и даются тветствующие переформулировки опрэделешгй и результатов главы Э

вскизов. -

Опроделвпяв. Зададим действие группы Галуа Г = Са1 (с/о; на secm.ee сферических эысизов, ставя эскизу О с функцией Белого /а : действии 7 € Г эскиз с функцией Белого ТД • Поле = <0[( }

ь

ывается полел определения эскиза С.

Утворздетаа 1 (глава 4, п. 2). Поля определения всех функций ¡ого сферического эскиза содержат поле определения эскиза. Утверадекие 2 (глава 4, п. 2). Аля любого эскиза И существует его шция Белого , определенная над не более чел квадратхчньи :мирениел поля определения эскиза к .

Утверждение 3 (глада 4, п. 2). Бели эскиз ил&ет нечетное число жил или граней какой- нибудь валентности, и его функции Белого юставляется коцикл Гсиуа, то у эскиза есть функция Белого, оеделенная над его полёл определения.

Следующая теорема утверждает,- в., частном случае, что любое гомологическое препятствие к тому, чтобы оекиз Не обладал функцией лого, определенной над полем определения эскиза . (найденное в глаьи для произвольных рациональных фуг-"цкй), реализуется на некотором киэе. .В частности, существует бесконечно #много вскизов с гг = 2, в / - Функция Белого эскиза.

13

Тяореиа (глава 4* п. 2). Аля любого элелеша I .множества Н'(Г, с [¡щетвует эскиз 2) с функцией Белого / такой что С^ - трн&иахьнс

,упт и класс коцикла, сопоставлжлого V, совпадает с

Техника вычисления полей определения сферических, эскизов шссертации не развивается, однако, иногда достаточно- полную о ни информацию можно получить, рассматривая простейшие комбинаторны инварианты действия группы Галуа на эскизах.

Утверждение (глава 4, п. 2). Инварианжии действия груг.т Талу на эскизах являтся:

а) набор валетгюстей вершин и граней; \

б) группа силлетрий;

в)' наличие или отсутствие автодуальности;

г) для автодуальных эскизов: ■группа, порожденная пер.ходол , дуальнолу эскизу и группой силлетрий.

В заключении диссертации разобрана серия примеров эскиза, оред которых выделяются два:

Это примеры ескизов, у "которых нет функций'Бело:*", определенны:

14

над общим полем определения этих эскизов Ф(Уз) (эскизы образуют общую двувлементную орбиту действия группы Галуа). Подсчитаны функции Белого этих ескизов, определенные над квадратичным расширешем поля <D(Vs) и соответствующее когомологическое препятствие.

¿втор выражает глубокую и искреннюю благодарность своим научным руководителям профессору А. И. Коотрикину и кандидату физико-математических наук Г. Б. Шабату за большую помощь и постоянное внимание к работе.

Список публикаций автора по теме диссертации.

Филимоненков" в. 0., Об арифлшше рациональных функций при дробно-линейных залетх аргулеша, Вестник МГУ, сер. матем., механ., 1995, № 1, стр. 90-92,

Филимоненков В.о., Шабат Г, б.,. Поля определения рациональных функций одного переленного с треля критическим, значенияли, Фундаментальная и прикладная математика, 1 (1995), Ji 3> стр. 781-799.

J5