Равновесный и неравновесный транспорт в одноэлектронных устройствах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

Яа щюва.х рукописи,

РОДИОНОВ Ярослав Игоревич

Равновесный и неравновесный транспорт в одноэлектронных устройствах

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

- 2 ЛЕН 2010

Черноголовка - 2010

004614889

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наука Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

Научный руководитель: кандидат физико-математических паук

Бурмистров И. С., Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 24 декабря 2010 года в 11 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН но адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики твердого тол а РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан ТО ноября 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

Скворцов М.А.,

доктор физико-математических наук, Качоровский В. Ю.

Ведущая организация: Институт физики твердого тела РАН

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Первые измерения эффектов кулоновской блокады на одноэлектронных транзисторах следует отнести еще к 1987 г. [1]. По мере развития техники эксперимента одно-электронные транзисторы стали стандартным инструментом для наблюдения эффектен кулоновского взаимодействия на мсзосконических масштабах. Размер одноэлектронного транзистора L ~ 1/лп достаточно мал, так что уже классическое кулоновское взаимодействие Ес ~ e2/L, где с - заряд электрона, существенно меняет свойства низкотемпературного электронного транспорта при температурах Т ~ 10 К < Ес. К настоящему времени развито достаточно много теоретических [2, 3, 4| и экспериментальных [5, 6, 7] методов исследования кулоиовской блокады. Физические явлсшш в одноэлектронной коробке (ОЭК) и одно-электронном транзисторе (ОЭТ) - простейших мсзосконических системах, обнаруживающих кулоновскую блокаду, являются главным предметом исследования в диссертации. Свойства таких систем в высокой степени определяются электронной когерентностью и кулоновекпм взаимодействием. Работа мотивирована недавним теоретическим и экспериментальным интересом к:

а) взаимосвязи между адмиттаисом, сопротивлением и диссипацией в ОЭК в различных параметрических режимах [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14],

б) релаксации температуры в квантовой точке [15] н термоэлектрическим эффектам в ОЭТ [1С],

в) влиянию неравновесных условий на электрический транспорт в одно-электронных системах [17, 18, 19].

В работах [9, 10, 11] проведены первые расчеты диссипации и адмиттанса во взаимодействующей ОЭК для сверхнизких температур Т < 8, где 5 -среднее расстояние между одно-частичными уровнями островка ОЭК. Такой температурный режим будет называться в дальнейшем режимом когерентной ОЭК. В данном режиме полное решение задачи об адмиттапсе ОЭК с учетом сильного кулоновского взаимодействия построено лишь недавно [14]. Теории, описывающей адмиттанс и диссипацию при более высоких температурах Т 3> <5 не было построено. Оказывается, при температурах Т »• д'шах{1, (/}, где у - безразмерный кондактапе туннельного контакта ОЭК Гили ОЭТ) задача упрощается, т.к. при гаком условии, электронной когерентностью

можно пренебречь [20]. С точки зрения эксперимента актуальным является вопрос о построении теории диссипации и адмиттапса в ОЭК б условиях неравновесия.

Важный вопрос о законе релаксации электронной температуры и функции распределения островка ОЭК в неравновесных условиях затрагивался в работе [15]. Однако, рассмотрение в работе |15] ограничилось случаем сильной кулоновской блокады и предположениями, что: во-первых, электронное распределение является ферми-функцпей с некоторой температурой, отличной от равновесной; во-вторых, транспорт доминируете»! ко-туннелнрованнем (режим кулоновской долины); в-третьих, температуры резервуаров и островка близки. Задача о релаксации электронов при произвольно отличающихся характерных энергиях островка и резервуара еще не получила теоретического освещения.

Цель работы состоит- в исследовании диссипации и адмиттапса, а так же релаксационных процессов в одно-электронной системе в режиме высоких температур Т > 5тах{1,</}. Для достижения этой цели была выполнена следующая программа:

1. Изучение равновесной диссипации в одноэлектрошюй системе с учетом сильного кулоиовского взаимодействия; получение количественных, экспериментально проверяемых предсказаний для величин адмиттанса и диссипации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады.

2. Изучении закона релаксации электронной функции распределения в островке металлической ОЭК.

3. Обобщение теории диссипации в одноэлектронной системе с сильным кулоновским взаимодействием на неравновесный режим.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в

следующем:

1. В режиме температур Т 3> |5тах{1,р} вычислен адмютанс и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием. В предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады вычислено сопротивление зарядовой релаксации н неренормироваипая затворная емкость ОЭК.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка, для ОЭТ с сильным кулоновским взаимодействием при характерных энергиях электронов

островка £¡1 » 5max{l,g} и справедливое для любых значений безразмерного кондактанса. Приведены решения для наиболее интересных предельных случаев.

3. При характерных энергиях электронов островка Ed 3> <Smax{l,g} вычислен адмиттанс и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновскнм взаимодействием в неравновесных условиях. Вычислено сопротивление зарядовой релаксации и перепормировапная затворная емкость для случая сильной кулоповской блокады.

Научная новизна и достоверность Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической физики, подтверждаются экспериментальными результатами и апробацией работы.

Научная и практическая ценность. Полученные новые результаты позволяют лучше понять физику сильно-взаимодействующих одно-электронных систем в некогерентном режиме и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований и анализа новых экспериментальных данных.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации были представлены: на конференции Сильно-коррелированные электронные системы и квантовые критические явления, г.Троицк, 2010, па международной конференции Fundamentals о/ electronic nano-systems NanoIIumep, г.Санкт-Петсрбург, 2010, докладывались: на конференции XXXV совещание по физике низких температур, г.Черноголовка, 2009, на международной конференции Landau Days, г.Черноголовка 2009, а также на научных семинарах в Институте теоретической физики им. JI. Д. Ландау РАН, Российском научным центре Курчатовский институт, Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН, Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Рис. 1: Измерение диссипации и адмиттанса. На затворный электрод одно-электронной

коробки подано постоянное напряжение ио. Диссипативный ток через туннельный контакт индуцирован слабым переменным напряжением [7(

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, научная новизна исследований, а также сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Кратко описана структура диссертации.

Глава 1 посвящена изучению диссипации и адмиттанса в одпо-электроппой коробке. Физическая система состоит из металлического островка, соединенного с равновесным электронным резервуаром через туннельный контакт. Островок соединен с затворным электродом емкостным образом. Потенциал островка определяется затворным напряжением ия электрода (см. Рис. 1). Система не пропускает постоянного электрического тока и непосредственное измерение кондактанса невозможно. Таким образом, основной динамической характеристикой системы становится адмиттанс, то есть отклик тока на переменное затворное напряжение: иа(Ь) = Уо+^п собШ.

Физика системы определяется несколькими энергетическими масштабами: энергией Таулесса островка Ять, его зарядовой энергией Ес и средним расстоянием между одночастичными уровнями д. Безразмерный (в единицах е2/Л, где е - заряд электрона, к постоянная Планка) кондактанс туннельного контакта д характеризует тунннельную связь островка с резервуаром. В диссертации исследуются только системы, для которых имеет место следующая иерархия масштабов:

тах{1,2}г<Т«£Ть,£с (1)

Условие Т <С Ять позволяет считать металлический островок нульмерным объектом с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. Температурный режим таков, что с одной стороны электроны сильно коррелированны (Т -С Ес), с другой стороны можно пренебречь электронной когерентностью (Г тах{д,дд}) [20, 21]. С учетом условий (1) одпо-

С,9

■НИ-ц

Цо+и^соаш!

Основное содержание работы

о

Рис. 5: Динамика температурной релаксации, д 1, 7^(0) 3> Тгехр (тг2/5(0)). Здесь, 4,(0 ~ (2(0 ~

г

Л*

Тт ехр(7г2/5(0)) температура ^¡(г) меняется в соответствии с Ур. (20) для г < (4тг/ге(0))1пТ(,(0)/Тг. На больших временах т > (4^/5^)111^(0)/^ температура Тл{т) становится порядка Тг: Т(;(т) — Тт Тт и система приходит к стандартной экснопснцпалыюй релаксации:

Эволюция температуры электронов внутри островка представлена па Рис. 5. Все уравнения релаксации, решенные в работе, обнаруживают общность:

где Х^ - рслаксирующая величина, а Я{Х<{] перенормированиьш кондактанс. Ур. (23) имеет физически прозрачную интерпретацию. Характерный временной масштаб в правой части ур. (23) есть просто время нахождения частицы внутри островка, [19] т.е. т^1 ~ 55. Общность и простота ур. (23) однако обманчива, так как приводит к сильно различающимся временным эволюциям физических величин в режимах слабой и сильной кулоновской блокады. Ур. (23), однако, не справедливо в режиме, когда транспорт доминирует«! ко-туннелированисм. В общем случае, кинетическое уравнение не сводится к дифференциальному.

При решении задачи сделано предположение о доминантной роли релаксации за счет обмена электронами. Проведенные оценки показывают, что при Т < 100 тК, электрон-фонониым взаимодействием можно пренебречь. В работе так же пренебрсгастся кулоновским взаимодействием между электронами островка и резервуара. Детальные оценки показывают, что и широком параметрическом режиме им также можно пренебречь.

(22)

Хл ~ -6б{Хл)(Хл - Хг),

(23)

В главе 3 рассчитан адмиттанс ОЭК в неравновесных условиях в режиме сильной кулоновской блокады (д <S 1); в тех же условиях развита теория диссипации ОЭК, найдены формулы для сопротивления зарядовой релаксации и перснормированной затворной емкости. Как и в равновесном режиме, диссипация в системе вызвана медленно меняющимся затворным напряжением Ug(t). При внешней частоте П 1/тц функция распределения электронов в ОЭК не успевает релаксировать за счет электронного обмена с резервуаром к своему равновесному значению и фактически стационарна, оставаясь при этом неравновесной. При этом, для поддержания стационарного режима из системы должен существовать отвод тепла (к примеру, через электрон-фононнос взаимодействие). Показано, что в таком режиме диссипация так же факторизуется в соответствии с выражением (5). Найдены неравновесные обобщения для сопротивления зарядовой релаксации 1Zq = h/(e2g') и перенормировапной затворной емкости Cq = dq'/dCg. В случае сильной кулоновской блокады величины д' и д' равны:

g' = -\gbdд1пБ.д, ч' = к+12 + 12^~- (24)

Здесь, функция Вш дастся выражением (13), а иеренормированные параметры g и А как всегда содержат скейлииговые множители, обусловленные виртуальными процессами:

g = Z\ Д = Z2A, Z=(l + ^A)"1/2, А = (25)

Получено общее выражение для адмиттанса на частотах П max{|Ä|,rr,ed}:

C9Z*gAd±B_A Ш

в(2б)

¿1Т

Формула для адмиттанса (26) справедлива для любой функции и является неравновесным обобщением результата (10). Как наиболее просто реализуемый экспериментально, подробно рассмотрен квази-равновесный случай Ff = tanh(f/2Td), Td > Тг li качестве примера. Вещественная часть адмиттанса (26) при фиксированной частоте U как функция затворного заряда q представлена на Рис. 6 для случая Tj > Тт.

При фиксированных Сд, Сир высота максимума RoQn определяется эффективной температурой электронно-дырочных возбуждений Tei, =

электропейтралыюсти.

С учетом условий (3) и работе получено квантовое кинетическое уравнение

°тР"{т) = / ~ +1 - *?(т)*г4

(12)

описывающее эволюцию функции распределения электронов островка. Здесь ^г(т) есть вигнеровское преобразование электронной функции распределения /(*'г(£, внутри островка (резервуара): ^',г(г) = 1 — 2/'<'(т), где т = (Ь + ¿')/2 - медленное время. В равновесии = tanh(e/271r). Правая часть ур. (12) есть интеграл столкновений, описывающий обмен электронами между резервуаром и островком. Функция В^(т) есть функция распределения коллективных бозониых мод, возникающих в системе благодаря кулоповскому взаимодействию. Их динамика описывается эффективным неравновесным АЭШ-дсйствисм, а ядро интеграла столкновений - их запаздывающим пропагатором. Показано, что функция распределения В^(т) имеет вид, свойственный для функции распределения электрон-дырочных пар в ферми-жидкости:

ВМ) =

/ [1 -

(13)

Кинетическое уравнение (12) получено для любых значений безразмерного копдактапса д и обобщает результат [17], полученный для последовательного туннслировапия (первый порядок но д) и котунеллпрования (второй порядок по д) в рамках ортодоксальной теории кулоновекой блокады. Разложение правой части (интеграла столкновений) ур. (12) по степеням д, всегда содержит все степени д и функции ^/(т). Таким образом, физика релаксации за счет обмена электронами с резервуаром отличается от релаксации в ферми-жидкости за счет электрон-электронного или электрон-фононного взаимодействия.

Наиболее интересное релаксационное поведение наблюдается при сильной кулоновекой блокаде д <С 1 в точке вырождения Д = 0. Для неравновесной релаксации, аналитическое решение удается получить в случае £(; 3> Тт:

дт

9(0)

дщ

Здесь,

•♦¿-Г

)-. л-/

<Ь>, (15)

неравновесное обобщение перснормированного кондактанса д', введенного в (6). Ур. (14) справедливо для не слишком больших времен: г -С тг/5Яг. Решение (14) примечательно своей локальностью по энергии: эволюция функции распределения при данной энергии зависит только от ее же значения на данной энергии. Отметим, что стандартная экспоненциальная релаксация

¿0(0)^

= ехр

2л-

(16)

возникающая в начале: г -С 7г5г/(й"52(0)), перетекает в более медленную для промежуточных времен 7г5,./(<5б2(0)) <г< к/(50г):

(17)

Через большое время т 3> п/(5Яг), возникает вновь экспоненциальная релаксация:

5&Я

^(т) = Щ + (^(0) - Щ) схр[-^].

(18)

Для квази-равновесной релаксации аналитическое решение так же получено для случая горячего островка, Т<((0) 3> Тг:

Т^т) = ^(0) ехр

7Г

щ

1 — Л /1

502(О)7

2тг3

(19)

Решение (19) справедливо, пока островок остается горячим, Т^т) 2> Тг. Если 7^(0) Тгехр(7т2/5(0)), тогда начальная экспоненциальная релаксация

ад = тй(о)схр

55{0)т

4тг

(20)

при т 2я"3/[^2(0)] перетекает в любопытный промежуточный режим:

ад) = ад ехр

2тт

бд2( о)

< г « — 1п2

2

Ыо)

(21)

Подчеркнем, что в этом режиме, релаксация становится независимой от прозрачности туннельного контакта д. В противоположном пределе, Т<г(0)

Рис. ?>-. З&рядопая энергия системы как функция наведенного затворного заряда п - заряд островка.

и сопротивления зарядовой релаксации: Н

, д\Т) = д(Т) (1 - Од(Т)е~^2 еоз 2жд),

Е2д'{Т)'

Здесь, д{Т) — д — 21пдЕсе1+1/(2тт2Т), где 7 ~ 0.577 - константа Эйлера и I) — (л"2/3) схр(—7— 1). Результат (8) показывает, что эффекты кулоновской блокады приводят к появлению периодической зависимости затворной емкости ОЭК от затворного заряда. Так же, ожидаемую зависимость от затворного заряда имеет и (9).

В режиме сильной кулоновской блокады д -С 1 наиболее интересный режим соответствует положению системы в окрестности точки вырождения (см. Рис. 3), т.е. когда заряд, наведенный затворным напряжением, близок к полуцелому числу к + 1/2. В этом режиме транспорт определяется двумя ближайшими зарядовыми состояниями [26], которые при д = 0 разделены кулоновской щелыо Л = 2Ес(к + 1/2 — ц). Однако из-за туннелирования ( д > 0) все физические наблюдаемые, такие как А и туннельный копдактанс д, сильно нерепормируются вблизи точки вырождения.

Результат для адмиттанса при д 1:

д(П) = А -- п « тах{| Д|, Т}. (10)

С 4тг Т8тЬ|-гП + |§со^А'

/ N -1/2

Здесь 2 = (1 + I - скейлнпговый множитель, возникающий благодаря виртуальным процессам, А = 1п тах^|д|} ~ большой логарифм. Далее, д = д22(А) и А = Д,2Г2(А) определяют перенормировапиый туннельный копдактанс и кулоновскую щель. Выражение (10) переходит в (7), в пределе П —> 0. При этом сопротивление зарядовой релаксации и перенормировапная затворная емкость даются следующими выражениями:

Рис. 4: Релаксация электронной функции распределения островка в ОЭК. Тг -температура резервуара. Характерная энергия электронов островка ел > Тг.

Полученные результаты составляют основу теории диссипации в одно-электронных системах развитой для случая высоких температур Т 3>

В главе 2 мы рассматриваем задачу о релаксации электронов островка к термодинамическому равновесию за счет обмена электронами с резервуаром. Предположим, па островке ОЭК создана неравновесная электронная функция распределения с характерной энергией (температурой 7^) большей чем температура резервуара Тг (Рис. 4). Тг предполагается постоянной во времени. По какому закону электронное распределение (температура) островка будет рслаксировать к своему равновесному значению? Существует широкий параметрический режим, при котором обмен электронами между островком и резервуаром будет доминирующим процессом релаксации (см. обсуждение ниже). Возможны два сценария релаксации. Первый, квази-равновесный, соответствует случаю, когда электронное распределение внутри островка дается ферми-функцией с неравновесной температурой Т^, которая релаксирует к своему равновесному значению. Второй сценарий соответствует полностью неравновесному режиму, когда функция распределения электронов островка произвольна. Сценарий, по которому протекает релаксация определяется соотношением времени релаксации обусловленной электронным туннелированием те и временем релаксации обусловленной кулоновским взаимодействием электронов внутри островка тее. Неравновесный режим устанавливается при условии те <К тее, в то время как квази-равновесие имеет место при те 3> тее. Важную роль играет также ДС-врсмя где ~ 1 /(, за которое в системе устанавливается электрическая нейтральность. В работе показано, что условие Ес 2> 5 гарантирует выполнение условия тде ^ ТЕ- Таким образом, релаксация электронного распределения протекает в условиях

<5тах{1,д}.

электронная коробка описывается универсальным гамильтонианом [4]

Н = £ е,а\ак + £ + X + X* + Щщ - д)2. (2)

к-,1 а

Здесь, а\ ($а) - оператор рождения электрона в резервуаре (островке), X = - туннельный член, ц = Сд1}д/е затворный заряд,

щ = - оператор числа частиц. Первая пара слагаемых в (2)

описывает свободные электроны в резервуаре п на островке, следующая -туппслирование, и последнее слагаемое есть кулоновское взаимодействие в простейшей емкостной форме. Туппслирование характеризуется безразмерным эффективным кондактаисом одного капалась ~ 1

(здесь, VI), г/д - туннельные плотности состояний в островке и резервуаре, |£|2 - характерная прозрачность транспортного канала) и эффективным числом транспортных каналов: Безразмерный кондактанс контакта

определяется как д = дсьА^ь- Во всей диссертации мы всегда будем предполагать, что

Зсь «1, > 1. (3)

При этом полный кондактанс д может быть произвольным. В дальнейшем, единицы выбраны так, что Н = е = 1.

Если пренебречь квантовыми флуктуациями заряда, то система описывается классическими уравнениями, дающими следующее выражение для средней скорости диссипации в ОЭК:

т = ^С2дЩип I2, Я = т<дЕе, (4)

I " е'-д

где Сд обозначает затворную емкость. В первой главе вычислена мощность диссипации и адмиттанс ОЭК в предельных случаях большого (д 1) и малого (д -С 1) безразмерного туннельного кондактапса контакта. При выполнении условий (3) физика задачи может быть наиболее адекватно описана в рамках эффективного действия Амбегаокара-Эксрна-Шона (АЭШ) [22].

Полученные результаты приводят к обобщению классического результата (4). Обнаружено, что при П —» 0 средняя скорость диссипации энергии факторизуется в обоих д 1 и д 1 пределах следующим образом:

И>П = ^<*ЗД12. = А сз = К, (5)

г*

к »Ж! ' V,-

я, я.

X

Рис. 2: Измерение кондактанса. Па одно-электронный транзистор поданы постоянная разность потенциалов V/ — Уг и затворное напряжение 11 д.

в полной аналогии с классическим выражением (4). Здесь, 7?.9 и Сд определены соответственно как сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость. Сопротивление зарядовой релаксации Лч и перепормированная затворная емкость Сд отличаются от своих классических аналогов и связаны с физическими наблюдаемыми, формально определенными в терминах квантового коррелятора К (ш) [23]

Здесь, = (п,;) - средний заряд на островке, корреляционная функция Кн(£) = 1в({)([Х(Ь), Х^(0)]}. Для того, чтобы выявить физику, скрытую в величинах д' и Сд, предпочтительнее рассмотреть одноэлектронный транзистор (см. Рис. 2). В отсутствии постоянного напряжения между левым и правым резервуарами ОЭТ представляет собой по-существу ОЭК с по-другому определенным параметром <7 = <?( + дг- Тогда д' есть физическая величина, определяющая копдактанс транзистора [24, 25]. Перенормировання затворная емкость Сд сильно отличается от эффективной емкости дСЦдиа. В действительности, Сд = 9д'(Т)/91Уо, где д'(Т) - так называемый квазичастичный заряд, физическая наблюдаемая, введенная недавно в работе [23] для описания перенормировки 9-угла в задаче о кулоновской блокаде.

Для адмигганса в режимах д 1 и д «С 1 удалось проверить выполнение общего соотношения

д' = 4-7Г 1т

(б)

д(п) = -ш п2, и о.

(Г)

Для ОЭК в режиме слабой кулоновской блокады (д 1) получен следующий результат для перенормированной затворной емкости:

■Ие5|«.«|

— Tr = Td = 0.08i'r .....'/r - 7;, - (ii2/:.

- 7, - (MW.. Td = 0.12A'r

Рис. 6: Вещественная часть адмиттаиса ОЭК при фиксированной внешней частоте П как функция затворного заряда q. Мы используем д = 0.5, (2 = 0.02£с and Сд/С = 0.24.

А- + 1/2

Т+г?

Пшд—0(А/2)Вд [27]. Из результатов части 2 следует оценка: Tr ^ Т^, ^ Т^, а так же: Тсь ~ Г(;1п2 при 3> Тг. Таким образом, значения неравновесного адмиттаиса лежат в области Rcf/ijjd < Re^i! < Rc0!!.rr, где Gujd и соответственно равновесные адмиттапсы при температурах Т^ и Тг.

Электронно-дырочное распределение В^ входит в адмиттанс двояко. Аналитическая структура адмиттаиса, как функции внешней частоты П полностью определяется электронно-дырочным распределением В^ при it> = —Д. Скейлипговый параметр приходящий из перенормировки, содержит информацию оВ^в широком диапозоае шах{|Д|, Тг, е,;} < < Ес. Адмиттанс (26) может использоваться в качестве инструмента для прямого экспериментального измерения ВТаковым может быть измерение вещественной части адмиттаиса Re Qn па двух различных внешних частотах. Другая возможность состоит в одновременном измерении вещественной и мнимой частей Qn при заданной частоте [12]. Меняя затворное напряжение Uo, можно экспериментально считывать АВ_д во всем интервале значений Д. Измерение частотной зависимости KcQu в кулоновском пике (А =- 0) позволяет измерить эффективную температуру Teh электронно-дырочных пар. Таким образом, адмиттанс ОЭК при переменном во времени затворном напряжении может быть использован в качестве термометра для электронно-дырочных пар.

Температура Td электронов на островке ОЭК, а вместе с пей и Гсь определяется балансом между диесппируемой энергией Wn и потоком энергии в фононную подсистему за счет электрон-фопоппого взаимодействия. В случае кулоновского пика (Д = 0) и для горячего островка {Td 2> Тт) температура электронов Td ос где степень а зависит от деталей элсктрон-фопонпого взаимодействия.

В заключении сформулированы основные выводы работы.

Выводы

1. В работе построена теория диссипации в ОЭК с сильным кулоповским взаимодействием при температурах Т <5тах{1,<7}. Вычислен адмиттанс и сопротивление зарядовой релаксации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады. Оказалось, что омическая диссипация контролируется новой физической наблюдаемой: перенормпроваиной затворной емкостью. Получено выражение для адмиттанса системы в режиме сильной кулоновской блокады в широком интервале внешних частот П.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка для одно-электронной системы с сильным кулоповским взаимодействием при характерной энергии электронов островка 2> йтах{1,р} и для любых значений безразмерного кондактанса системы д. Исследованы решения для эволюции функции распределения для наиболее интересных предельных случаев. Для всех рассмотренных случаев уравнения релаксации допускают наглядную физическую интерпретацию. Установлено, что сильное кулоновскос взаимодействие существенным образом меняет закон релаксации электронного распределения в режимах сильной и слабой кулоновской блокады.

3. Построена теория диссипации в ОЭК с сильным кулоповским взаимодействием при характерной энергии островка е,( 5тах{1,(/} в неравновесном режиме. Получено неравновесное обобщение для адмиттанса системы, сопротивления зарядовой релаксации и перснормированной затворной емкости для случая сильной кулоновской блокады. Указана экспериментальная возможность для прямого измерения электронно-дырочной функции распределения в ОЭК в режиме сильной кулоновской блокады.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ya.I. Rodionov, I.S. Bumiistrov, A.S. Ioselevich. Charge relaxation resistance in the Coulomb blockade problem, Pliys. Rev. В 80, 035332 (2009).

2. Ya.I. Rodionov, I.S. Burmistrov. N.M. Chtclielkatchev, Relaxation dynamics of the electron distribution in the Coulomb-blockade problem, Phys. Rev. В 82, 155317 (2010).

3. Ya.I. Rodionov, I.S. Burmistrov. Out-of-Equilibrium Admittance of Single Electron Box Under Strong Coulomb Blockade, Письма в ЖЭТФ т. 92 вып. 10 стр. 766(2010).

Цитируемая литература:

(11 Т.A. Fulton and G..1. Dolan, Phys. Lett. 59, 807 (1987).

|2j G.Schöll, A.Zaikin, Phys. Rep. 198, 237 (1990).

[3j I.Aleincr, P. Browser, L. Glazmaii, Phys. Rep. 358, 309 (2002).

[4] For a review, see L.I. Glazm-in aritl M. Pustilnik iri New l)n<< Hons in Mesoficopic Physics (Towards lo Nanoscience, eds. R. Fazio, G. F. Gantmaklier and Y.imry (Kluwcr, Dordrecht. 2003).

[5j 2. Phys. B: Condens. Matter 85, 317 (1991), special issue on single charge tunneling, edited by II. Grabcrt and II. Horner.

[6] Single Charge Tunneling, edited by II. Grabert and M.H. Devoret (Plenum. New York, 1992).

[71 M. Büttiker, Phys. Rev. D 36, 3548 (1987); Y. Blauter and M. Büttiker, Pleys. Rep. 336, 1 (2000).

[8| M. Büttiker, II.Thomas, A.Pretre, Phys. Lett. A 180, 364 (1993).

[9] M.Büttiker, A.M. Martin, Phvs. Rev. В 61, 2737 (2000).

[101 S.E.Nigg, R. Lopez, and M.Biittiker, Phys. Rev. Lett. 97, 206804 (2006).

[11] S.E.Nigg M.Biittiker, Phys. Rev. В 77, 085312 (2008).

[12] .1.Gabelli, G.Feve, J.M.Bcrroir, B.Placais et al., Sciencc 313, 499 (2006).

[13] F. Persson, C.M. Wilson, M. Sandberg, G. Johansson, P. Dclsing, Nano Lett. 10, 953 (2010).

[14] C.Mora, K.Le Hur, Nat. Phys. 6, 697 (2010).

[15] A. Glatz and I.S. Beioborodov, Phys. Rev. В 81, 033408 (2010).

[16] В. Kubala, J. König and J. Pekoia, Phys. Rev. Lett. 100, 066801 (2008);

[IT] D.M. Basko and V.E. Kravtsov, Phys. Rev. Lett. 93, 056804 (2004); Phys. Rev. В 71, 085311 (2005).

[18] A. Altland and F. Egger, Phys. Rev. Lett. 102, 026805 (2009).

[19] D. Bagrets and F. Pistolesi, Phys. Rev. В 75, 165315 (2007).

[20] K.B. Efetov and A. Tschersich, Phys. Rev. В 67, 174205 (2003).

[21] I. Beioborodov, K. Efetov, A. Altland, and F. Hekking, Phys. Rev. В 63, ] 15109 (2001).

[221 V. Ambegaokar, U. Eckern and G. Schön, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982).

[23] I.S. Burmistrov. A.M.M. Pruisken Phys. Rev. Lett. 101, 056801 (2008).

[24] E. Ben-Jacob, E. Mottola and G. Schöll, Phys. Rev. Lett, 51, 2064 (J983); C. Wallisscr et al., Pliys. Rev. В 66, 125314 (2002).

[25] H. Schneller and G. Schon, Phys. Rev. В 50, 18436 (1994).

[26] K.A.Matveev, Sov. Phys. JETP 72, 892 (4991).

|27| A. PetkoviC-, N.M. Chtchelkatcliev, T.I. Baturina, V.M.Vinokur, Pliys. Rev. Lett. 105, 187003 (2010).

Введение

1 Сопротивление зарядовой релаксации в задаче о кулоновской блокаде

1.1 Введение.

1.2 Формализм.

1.2.1 Гамильтониан.

1.2.2 Кондактанс и диссипация.

1.2.3 Модель АЭШ.

1.3 Режим слабой связи, д 1.

1.3.1 Теория возмущений

1.3.2 Инстантоны.

1.3.3 Инетантонная поправка к поляризационному оператору

1.3.4 Физические наблюдаемые и перенормировка затворной емкости.

1.4 Режим сильной связи, д 1.

1.4.1 Предварительные замечания.

1.4.2 Спиновая корреляционная функция П^(со). Первый порядок по д

1.4.3 Одно-петлевая структура псевдо-фермионной теории

1.4.4 Уравнение Дайсона для спиновой корреляционной функции

1.4.5 Адмиттанс и скорость диссипации энергии.

1.4.6 Подход кинетического уравнения.

1.5 Обсуждение и выводы.

2 Динамика релаксации электронной функции распределении в задаче с кулоновской блокадой

2.1 Введение.

2.2 Действие и кинетические уравнения.

2.2.1 Действие АЭШ.

2.2.2 Кинетические уравнения.

2.3 Транспортные коэффициенты

2.4 Электронная релаксация в островке, режим слабой кулоновской блокады, д

2.4.1 Перенормировка действия АЭШ при д 1.

2.4.2 Неравновесный режим.

2.4.3 Квазиравновесный режим.

2.5 Релаксация электронов островка, режим сильной кулоновской блокады, з < 1.

2.5.1 Неравновесные нсевдо-фермионы.

2.5.2 Одно-петлевая структура псевдо-фермионной теории

2.5.3 Релаксация электронной функции распределения внутри островка

2.5.4 Релаксация электронной температуры внутри островка

2.6 Выводы.

3 Неравновесный адмиттанс в одно-электронной коробке в режиме сильной кулоновской блокады

3.1 Введение.

3.2 Вычисление адмиттанса и диссипации в режиме сильной кулоновскои блокады

3.2.1 Адмиттанс.

3.2.2 Параметры д' и 4 в неравновесном режиме.

3.3 Обсуждение и выводы.

3.3.1 Адмиттанс и диссипация

3.3.2 Сопротивление зарядовой релаксации, перенормпрованная затворная емкость

Актуальность темы.

В настоящее время исследование транспорта и динамики электронов в нульмерных системах является одним из главных направлений работ в мезоскоппческой физике. Исследование динамики и транспорта в них необходимо для понимания того, как управлять и контролировать устройства ограниченной геометрии, например: квантовые точки, квантовые точечные контакты, одноэлектронные транзисторы, сверх-малые туннельные контакты и короткие углеродные трубки. В этих эффективно нульмерных электронных системах кардинальное влияние на транспорт оказывает кулоновское взаимодействие. Наиболее яркому проявлению кулоновского взаимодействия в нульмерных системах - эффекту подавления электрического транспорта (кулоновской блокаде) - и посвящена представленная работа. Физика становится ещё менее тривиальной в случае, когда, помимо сильного взаимодействия, необходимо учитывать неравновесность исследуемой системы. Одноэлектронные устройства, гакие как одноэлектронный транзистор (ОЭТ) или одноэлектронная коробка (ОЭК), являются наиболее простыми, и, в то же время, важнейшими системами, где кулоиовская блокада является доминирующим эффектом.

Первые измерения эффектов кулоновской блокады в одноэлектронных транзисторах следует отнесги ещё к 1987 г. [1]. По мере развития техники эксперимента одноэлектронные транзисторы стали стандартным инструментом для наблюдения эффектов кулоновского взаимодействия на мезоскопических масштабах. Размер одноэлектронного транзистора Ь ~ 1 ¡хш достаточно мал, так что уже емкостная кулоповская энергия, связанная с конечностью размеров островка, Ес ~ е2/ 71/ ~ 1 теУ ~ 10 К, где е - заряд электрона, существенно меняет своп с г на электронного транспорта при низких температурах Т < 10 К. К настоящему времени развито достаточно много теоретических [2, 3, 4] и экспериментальных [5, 6, 7] методов исследования кулоновской блокады. Свойства таких систем в высокой степени определяются электронной когерентностью и кулоновским взаимодействием.

В последнее время одпоэлектронные системы стали так же полигоном для изучения влияния кулоновского взаимодействия на термо-электрические эффекты [8]. Среди важных экспериментальных достижений следует упомянуть: разработку кулоновского термометра [8], теплового выпрямителя на основе квантовой точки [9] и новой техники для измерения температурных градиентов в квантовой точке [10]. Однако, неравновесные процессы в таких системах временно оказались вне круга теоретических изысканий, ввиду сложности необходимых расчётов. Между тем, процессы релаксации температур и неравновесных распределений играют решающую роль в эксперименте и термометрии. Так в недавнем эксперименте [11] найдено, что неравновесные процессы приводят к новому физическому эффекту в углеродной нанотрубке: кулоновской аномалии при конечном транспортном напряжении. Одна из пионерских теоретических работ, носвящённая неравновесной электронной динамике, выполнена группой [12], где произведен расчет электронной релаксации в одноканальной нанопроволоке. Работа, представленная в диссертации, мотивирована недавним теоретическим и экспериментальным интересом к: а) взаимосвязи между адмиттансом, сопротивлением и диссипацией в ОЭК в различных параметрических режимах [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19], б) релаксации температуры в квантовой точке [20] и термо-электрическим эффектам в ОЭТ [21], в) влиянию неравновесных условий на электрический транспорт в одно-электронных системах [22, 23, 24].

В работах [14, 15, 16] проведены первые расчеты диссипации и адмиттанса во взаимодействующей ОЭК для сверхнизких температур Т < б, где <5 - среднее расстояние между одно-частичными уровнями островка ОЭК. Такой температурный режим будет называться в дальнейшем режимом когерентной ОЭК. В данном режиме полное решение задачи об адмиттансе ОЭК с учетом сильного кулоновского взаимодействия построено лишь недавно [19]. Теории, описывающей адмиттанс и диссипацию при более высоких температурах Т 6, до сих пор построено не было. Оказывается, при температурах Т дтах{1,р}, где д - безразмерный кондактанс туннельного контакта ОЭК (или ОЭТ), задача упрощается, т.к. при таком условии электронной когерентностью можно пренебречь [26]. С точки зрения эксперимента актуальным является вопрос о построении теории диссипации и адмиттанса в ОЭК в условиях неравновесия.

Важный вопрос о законе релаксации электронно¡'I температуры и функции распределения островка ОЭК в неравновесных условиях затрагивался в работе [20]. Однако, рассмотрение в работе [20] ограничилось случаем сильной кулоновской блокады и предположениями, что: во-первых, электронное распределение является ферми-функцией с некоторой температурой, отличной от равновесной; во-вторых, транспорт домннируется ко-туннелированием (режим кулоновской долины); в-третьих, температуры резервуаров и островка близки. Задача о релаксации электронов, при произвольно отличающихся характерных энергиях островка и резервуара, ещё не получила теоретического освещения.

Наконец, учёт эффектов неравновесия при изучении адмиттанса и диссипации в ОЭК ещё не получил теоретического освещения и представляется актуальным с точки зрения эксперимента. В частности, анализ данных недавнего эксперимента [18] по измерению диссипации и сопротивления зарядовой релаксации в ОЭК показывает, что ОЭК в эксперименте может находиться в неравновесном режиме. Таким образом, представляется важным провести расчёт соответствующих эффектов.

Цель работы состоит в исследовании диссипации и адмиттанса, а так же релаксационных процессов в одно-электронной системе в режиме высоких температур Т д тах{1. //}. Для достижения этой цели была выполнена следующая программа:

1. Изучение равновесной диссипации в одноэлектронной системе с учётом сильного кулоновского взаимодействия; получение количественных предсказаний для величин адмиттанса и диссипации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады.

2. Получение квантового кинетического уравнения для ОЭТ, описывающего динамику электронов в режиме слабой и сильной кулоновской блокады; изучение закона релаксации электронной функции распределения в осгровке металлической ОЭК; исследование термо-ЭДС ОЭТ в режиме слабой кулоновской блокады.

3. Обобщение теории диссипации, а так же понятия сопротивления зарядовой релаксации в ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием на неравновесный режим.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. В режиме температур Т 6тах{1, <?} вычислен адмиттанс и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием; в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады вычислено сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость ОЭК.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка, для ОЭТ с сильным кулоновским взаимодействием при характерных энергиях электронов островка £(1 >> дтах{1,<7} и справедливое для любых значений безразмерного кондактанса; приведены решения для наиболее интересных предельных случаев.

3. При характерных энергиях электронов островка $тах{1,#} вычислен адмиттаце и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием в неравновесных условиях; вычислено сопротивление зарядовой релаксации и перепормпрованная затворная емкость для случая сильной кулоновской блокады.

Основные результаты

1. В работе построена теория диссипации в ОЭК с сильным кулоповским взаимодействием при температурах Т 6 тах{ 1. д}. Вычислен адмиттанс и сопротивление зарядовой релаксации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады. Оказалось, что омическая диссипация контролируется новой физической наблюдаемой: перснормировапной затворной емкостью. Получено выражение для адмитганса системы в режиме сильной кулоновской блокады в широком интервале внешних частот П.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка для одно-электронной системы с сильным кулоновским взаимодействием при характерной энергии электронов островка 5 а () тах{1. д} и для любых значений безразмерного копдактанса системы д. Исследованы решения для эволюции функции распределения для наиболее интересных предельных случаев. Для всех рассмотренных случаев уравнения релаксации допускают наглядную физическую интерпретацию. Установлено, что сильное кулоновское взаимодействие существенным образом меняет закон релаксации электронного распределения в режимах сильной и слабой кулоновской блокады.

3. Построено обобщение теории диссипации в ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием при характерной энергии островка

6 шах{1; <?} на случай, когда островок находится в перегретом состоянии (неравновесный режим), но в режиме линейного отклика по амплитуде переменного затворного напряжения. Получено соответствующее обобщение для адмиттанса системы, сопротивления зарядовой релаксации и перенормированной затворной емкости в режиме сильной кулоновской блокады. Указана экспериментальная возможность для прямого измерения электрон-дырочной функции распределения в ОЭК в условиях сильной кулоновской блокады.

Я очень благодарен моему научному руководителю Игорю Бурмпстрову за неоценимую поддержку и постоянное внимание и терпение, оказанные мне при написании диссертации. Особая благодарность моим соавторам: A.C. Иоселевичу и ILM. Щелкачеву, за полезные обсуждения различных вопросов, связанных с работой, отразившиеся самым благоприятным образом на качестве диссертации. Автор выражает отдельную благодарность также М.А. Скворцову, В.Ю. Качоровскому и А. Семенову за научные обсуждения, обогатившие автора. Автор также чувствует себя обязанным всем научным сотрудникам Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау. Их критическая оценка предъявленных результатов помогла дать ответы на многие вопросы, связанные с работой.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских учёных кандидатов наук №• МК-125.2009.2 "Равновесный и неравновесный транспорт в одноэлектронных устройствах", гранта РФФИ №■ 09-02-92474-МНКС "Электроны в нульмерных системах: взаимовлияние заряда, спина и неравновесия", Государственного контракта П926 "Взаимное влияние заряда, спина и неравновесных условий на квантовый транспорт в наноструктурах", государственного контракта 16.740.11.0022 "Квантово-когерентные и зарядовые явления в мсзоскопических наноструктурах", фонда 'Династия", программ РАН "Квантовая макрофизика". "Квантовая физика конденсированного состояния" и "Основы нанотехнологий и наноматериалов'*.

Заключение

1. G. Schön, A. Zaikin, Pliys. Rep. 198, 237 (1990).

2. I. Alciner, P. Brouwer, L. Glazman, Pliys. Rep. 358, 309 (2002).

3. For a review, see L.I. Glazman and M. Pustilnik in New Directions in Meso-scopic Physics (Towards to Nanoscience, eds. R.Fazio, G.F. Gantmakher and Y.Imry (Kluwer, Dordrecht, 2003).

4. Z. Phys. B: Condens. Matter 85, 317 (1991). special issue on single charge tunneling, edited by H. Grabert and H. Horner.

5. Single Charge Tunneling, edited by H. Grabert and М.Ы. Devoret (Plenum, New York, 1992).

6. M. Büttiker, Phys. Rev. В 36, 3548 (1987); Y.Blanter and M.Büttiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000).

7. F. Giazotto, T.T. Heikkilä, A. Luukanen, A.M. Savin and J.O. Pekola, Rev. Mod. Phys. 78, 217 (2006).

8. R. Scheibner et al., Phys. Rev. В 75, 041301 (2007).

9. E.A. Hoffmann et al., NanoLett. 9, 779 (2009).

10. J.Paaske, A.Rosch, P.Woelfle, N.Mason et al., Nat. Phys. 2, 460 (2006)

11. D.A. Bagrets, , I.V.Gornyi, and D.G.Polyakov Phys. Rev. В 80, 113403 (2009)

12. M.Büttiker, H.Thomas. A. Pretre, Phys. Lett. A 180, 364 (1993).

13. M.Büttiker, A.M.Martin, Phys. Rev. В 61, 2737 (2000).

14. S.E.Nigg, R. López, and M. Biittiker, Phys. Rev. Lett. 97, 206804 (2006).

15. S.E.Nigg M. Biittiker, Phys. Rev. В 77, 085312 (2008).

16. J. Gabelli, G.Feve, J.M.Berroir, B. Plaçais et al., Science 313, 499 (2006).

17. F. Persson, C.M.Wilson, M. Sandberg, G.Johansson, P. Delsing, Nano Lett. 10, 953 (2010).

18. С. Mora, К. Le Hur, Nat. Phys. 6, 697 (2010)

19. A. Glatz and I.S. Beloborodov. Phys. Rev. В 81, 033408 (2010).

20. В. Kubala, J. König and J. Pekola, Phys. Rev. Lett. 100, 066801 (2008);

21. D.M. Basko and V.E. Kravtsov, Phys. Rev. Lett. 93, 056804 (2004); Phys. Rev. В 71, 085311 (2005).

22. A. Altland and F. Egger, Phys. Rev. Lett. 102, 026805 (2009).

23. D. Bagrets and F. Pistolesi, Phys. Rev. В 75, 165315 (2007).

24. I. S. Beloborodov, K.B.Efetov, A. Altland and F.W. J. Hekking Phys. Rev. В 63, 115109 (2001)

25. K.B.Efetov and A.Tschersich, Phys. Rev. В 67, 174205 (2003).

26. К.A. Matveev, Sov. Phys. JETP 72, 892 (1991).

27. H. Grabert, Physica В 194-196, 1011 (1994); Phys. Rev. В 50, 17364 (1994).

28. K.A. Matveev, Phy.Rev. В 51, 1743 (1995).

29. X.Wang and H.Grabert, Phys. Rev. В 53, 12621 (1996).

30. G. Göppert, H. Grabert, N.V. Prokof'ev, and B.V. Svistunov, Phys. Rev. Lett. 81, 2324 (1998).

31. I.S. Beloborodov, A.V. Andrcev, and A.I. Larkin, Phys. Rev. В 68, 024204 (2003).

32. Z Ringel, Y.Imry, O. Entin-Wohlman, Phys. Rev. В 78 165304 (2008).

33. Нее Cliul Park and Kang-Hun Ahn, Phys. Rev. Lett. 101, 116804 (2008).

34. I. Beloborodov, K.Efetov, A. Altland, and F.Hekking, Phys. Rev. В 63, 115109 (2001).

35. V.Ambegaokar, U.Eckern and G.Schön, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982).

36. LS. Burmistrov, A.M.M. Pruisken Phys. Rev. Lett. 101, 056801 (2008)

37. A. Altland, L. Glazman, A. Kamenev, and J. Meyer, Ann. of Phys. (N.Y) 321, 2566 (2006).

38. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Course in Theoretical Physics (Pergamon, Oxford, 1981), Vol. 3.

39. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Course in Theoretical Physics (Pergamon, Oxford, 1981), Vol. 5.

40. A.A. Abrikosov, L.P. Gorkov, and I.E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover, New York, 1963).

41. W. Hofstetter and W. Zwerger, Phys. Rev. Lett. 78, 3737 (1997); Eur. Phys. J. В 5, 751 (1998).

42. F. Guinea and G. Schön, Europhys. Lett. 1, 585 (1986); S.A. Bulgadaev, JETP Lett. 45, 622 (1987).

43. S.E. Korshunov, Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 45, 342 (1987) JETP Lett. 45, 434 (1987)].

44. S.A. Bulgadaev, Phys. Lett. A 125, 299 (1987).

45. S.V. Panyukov and A.D. Zaikin, Phys. Rev. Lett. 67, 3168 (1991).

46. A.M. Polyakov, Gauge fields and strings, (Harwood Academic Publishers, Shur, 1987).

47. E.Ben-Jacob, E.Mottola and G.Schon, Phys. Rev. Lett. 51. 2064 (1983);

48. C. Wallisser et al. Phys. Rev. B 66, 125314 (2002).

49. I.S. Burmistrov and A.M.M. Pruisken, Phys. Rev. B 81, 085428 (2010).

50. I.O. Kulik and R.T. Shekhter, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 623 (1975) Sov. Phys. JETP 41, 308 (1975)]: E. Ben-Jacob and Y.Gefen, Phys. Lett. A 108, 289 (1985); K.K. Likharev and A.B. Zorin, J. Low Temp. Phys. 59, 347 (1985):

51. D.V. Averin and K.K. Likharev, J. Low Temp. Phys. 62, 345 (1986).

52. A.A. Abrikosov, Physics 2, 21 (1965).

53. A.I. Larkin and V.I. Melnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 1231 (1971) Sov. Phys. JETP 34, 656 (1972)].

54. S. Sachdev and J. Ye, Phys. Rev. Lett. 70, 3339 (1993).

55. L.Zhu and Q.Si, Phys. Rev. B 66, 024426 (2002).

56. G.Zarand and E. Demlcr, Phys. Rev. B 66, 024427 (2002).

57. G.Schon Phys. Rev. B 32, 4469 (1985).

58. G.M. Eliashberg, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 41, 1241 (1961) Sov. Phys. JETP 14, 886 (1962)].

59. H.Schoeller and G.Schon, Phys. Rev. B 50, 18436 (1994).

60. Y. Imry, Introduction to Mesoscopic Physics (Oxford University, New York, 1997).

61. Ya.M. Blanter, cond-mat/0511478 (unpublished).

62. G. B. Lcsovik and R. Loosen, JETP Lett. 65, 295 (1997).

63. R. Deblock, EOnac, LGurevich, L.P. Kouwenhoven, Science 301, 203 (2003); E. Onac F. Balestro, B. Trauzettel, C. F. Lodewijk and L.P. Kouwenhoven , Phys. Rev. Lett. 96, 026803 (2006).

64. R. Scheibner et al., New J. Phys. 10, 08306 (2008).

65. A.S. Dzurak et al., Phys. Rev. B 55, 10197 (1998).

66. S. Möller, H. Buhniann, S.F. Godijn, and L.W. Molenkamp, Phys. Rev. Lett. 81, 5197 (1998).

67. M. Amman, E. Ben-Jacob, and J. Cohn. Z. Phys. B 85, 405 (1991).

68. C.W.J. Beenakker and A.A.M. Staring, Phys. Rev. B 46, 9667 (1992).

69. A.V. Andreev and K.A. Matveev, Phys. Rev. Lett. 86, 280 (2001).

70. M. Turek and K.A. Matveev, Phys. Rev. B 65, 115332 (2002).

71. K.A. Matveev and A.V. Andreev, Phys. Rev. B 66, 045301 (2002).

72. B. Kubala and J. König, Phys. Rev. B 73, 195316 (2006).

73. T. Nakanishi and T. Kato, Journal of the Physical Society of Japan 76, 034715 (2007).

74. X. Zianni, Phys. Rev. B 75 045344 (2007).

75. I.S. Beloborodov, A.V. Lopatin, F.W.J. Hekking, R. Fazio, V.M. Vinokur, Europhys. Lett. 69, 435 (2005).

76. V. Tripathi, Y.L. Loh, Phys. Rev. Lett. 96, 046805 (2006).

77. A. Glatz and I.S. Beloborodov, Phys. Rev. B 79, 235403 (2009).

78. A. Glatz and I.S. Beloborodov, Europhys. Lett. 87, 57009 (2009).

79. Т. Т. Hcikkila Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 102, 130605 (2009)

80. M. A. Laakso, T.T.Heikkila and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 104

81. G.-L. Ingold and Yu.V. Nazarov, in Single Charge Tunneling, edited by H. Grabert and M. H. Devoret, NATO ASI, Ser. B, Vol. 294 (Plenum, New York, 1991).

82. N.M. Chtchelkatchev, V.M. Vinokur, T.I. Baturina, Phys. Rev. Lett. 103, 247003 (2009).

83. N.M. Chtchelkatchev, V.M. Vinokur, T.I. Baturina, arXiv:1003.6105

84. A. Glatz, I. S. Beloborodov, N. M. Chtchelkatchev, and V. M. Vinokur, arXiv:1005.5188.

85. R. Landauer, IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957).

86. M. A. Skvortsov, A. I. Larkin, M. V. Feigel'man, Phys. Rev. В 63, 134507 (2001).

87. J. Rammer, and Ii. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323, (1986); A. Kamenev, A. Levchenko, Adv. in Phys. 58, 197 (2009).

88. B.L. Altshuler and A.G. Aronov, in Electron-Electron Interactions in Disordered Conductors, eel. A.J. Efros and M. Pollack, Elsevier Science Publishers, North-Holland, 1985.

89. A. Schmid, Z. Phys. 271, 251 (1974).

90. B.L. Altshuler and A.G. Aronov, JETP Lett. 30, 482 (1979).

91. A. A. Abrikosov, Fundamentals of the theory of metals, North-Holland, Amsterdam (1988).

92. J. A. Rosch, P. Wolfle, Advances in Solid State Physics, vol. 42, p.175

93. N.S. Wingrccn and Y. Meir, Phys. Rev. В 49, 11040 (1993).

94. D.V. Averin and Yu.V. Nazarov, Phys. Rev. Lett.65,2246 (1990)

95. A. Mittal Ph.D. thesis, Yale University (1996)

96. Ya.M. Blanter, Phys. Rev. В 54, 12807 (1996).

97. U. Sivan, Y. Imry, A.G. Aronov, Europhys. Lett. 28, 115 (1994).

98. C. Pasquer, U. Meirav, F. I. B. Williams, D. C. Glattli Y. Jin and B. Etienne Phys. Rev. Lett. 70, 69 (1993)

99. M. A. Laakso, T.T.Heikkila and Yu. V. Nazarov, arxiv: 1009.3400.

100. Dmitri V. Averin and Jukka P. Pekola, Phys. Rev. Lett. 104, 220601 (2010).

101. Ya.I. Rodionov. I.S. Burmistrov, N.M. Chtchelkatchev, Phys. Rev. В 82, 155317 (2010).

102. Ya.I. Rodionov. I.S. Burmistrov, A.S. Ioselevich, Phys. Rev. В 80, 035332 (2009)

103. G.Mahan, Many particle physics. (Plenum, New York, 2000), 3rd ed.

104. A. Kamenev, A. Levchenko, Adv. in Phys. 58, 197 (2009).

105. A. Petkovic, N.M. Chtchelkatchev, T.I. Baturina, V.M. Vinokur, Phys. Rev. Lett. 105, 187003 (2010).