Различные виды замкнутости в S(n)-пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ОСИПОВ Александр Владимирович

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЗАМКНУТОСТИ В 5(п)-ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2004

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н. В. Величко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.П. Гулько '

кандидат физико-математических наук, доцент Н.К. Шамгунов

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В.Ломоносова

_ оо

Защита состоится «30» _____ 2004 г в Ц часов па заседании

диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан "¿8" рул 2004 г. \

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат наук

В.В. Кабанов

20Р&-Д " 13.9 о

W90S0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В 1966 году Н.В.Величко |2| было определено понятие 0-замкнутости. Для любого подмножества М топологического пространства X в-замыкание clgM определяется как {х £ X г для которых любая чамкнутая окрестность точки х пересекает М}. Это понятие активно применялось многими топологами для изучения хаусдорфовых нерегулярных пространств. Так, например, работы T.Hamlett [11], D.Jankovic [13], J.Porter и C.Votow [16], А.А.Грызлова [3] используют оператор в-замыкания для изучения внутренних свойств Я-замкнутых пространств и пространств "близких" к Я-замкнутым (функционально компактные, С-компактные и др.). В 1986 году D.Dikranjan и E.Giuli [10] вводят более общее понятие оператора ^"-замыкания, развив теорию 5(тг)-пространсгв, £(п)-замкнутых и 5(п)-0-замкнутых пространств.

Для каждого п € N оператор в4-замыкания определяют следующим образом: х £ cl^M, если существует набор открытых окртстпостей И\ С Ui С ... С Un точки такой, что clU, С ?7,+i для i = 1,2, ...,п — 1 и clUn П М-0. При п — 0 полагают clgoM = clM. Точка х £ X S(n)-отделена от подмножества М, если х £ clgnM. Пространство X называют S(n)-пространством (или X удовлетворяет S(n)-aKcuoMe отделимости), если любые две различные точки из X 5(п)-отделены.

5(га)-пространство X называют S(n)-не.уплотняемым (минимально 5(п)), если любое уплотнение в 5(п)-пространство является гомеоморфизмом.

В 1997 году (Р-замыкание используется для изучения свойств 5(п)-неуплотняемых пространств в работе S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [14].

М.Катетовым был получен критерий неуплотняемых (т.е. 5(1)-неуплотняемых) пространств. Хаусдорфовое пространство X неуплот-няемое тогда и только тогда, когда X Н-замкнуто и топология на X полурегулярна. А.А.Грызлов [3] находит внутреннею характеристику неуплотняемых пространств, используя понятие точки ^-накопления. В [14[ было доказано, что любое 5(п)-неуплотняемое пространство S(n)-замкнуто и полурегулярно. Там же было показано, что 5(п)-замкнутости и полурегулярности не достаточно для 5'(п)-неуплотняемости простран-

_____3

РОС.!"'. 'ЖАЛЬНАЯ БИг..' IOTFKA С.Петербург 200£РК

ства. Поэтому вопрос о достаточном условии 5(тг)-неуплотняемости при п > 1 оставался открытым. Наконец, в статье S.Jiang, I.Reilly и S.Wang (14j определяются достаточные условия для 5(п)-нсуплотняемости пространства, используя понятие n-скачковой точки. Возникает вопрос о существовании внутренней характеристики 5'(п)-нсуплотняемого пространства, с использованием понятия точки 0(п)-накопления.

Пусть V некоторый класс топологических пространств. V-пространство X называют Р-замкнутым (соответственно V-в-замкнутым), если X замкнуто (соответственно 0-замкнуто) в любом объемлющем Р-пространстве.

В данной работе продолжается изучение внутренних свойств S(n)-замкнутых, 5(п)-0-замкнутых и 5(п)-неуилотняемых пространств с использованием оператора 0"-замыкания, а также вводятся более широкие классы пространств такие как слабо ¿>(п)-чамкнутые и слабо S(n)-0-замкнутые пространства.

В мемуаре П.С.Александрова и П.С.Урысона [1] было замечено, что любое Я-замкнутое пространство обладает свойством (*):

(*) любое бесконечное множество регулярной мощности умеет точку в-пакопления.

Там же был поставлен вопрос о достаточности этого свойства (*) для того чтобы пространство было Я-замкнутым. Первый пример не Я-замкнутого пространства, обладающего свойством (*), был построен Г.Киртадзе [5). А.А.Грызлов [3] продолжил изучение Я-замкнучых пространств и пространств со свойством (*), исследуя две задачи. Первая

- нахождение классов пространств, в которых для Я-замкнутости пространства достаточно, чтобы оно обладало свойством (*). Например, таким классом является класс финально-компактных пространств. Вторая

— нахождение характеристики Я-замкнутого пространства через точки ^-накопления. Рассмотрение точек, подобных точкам 0-накопления, но уже в различных 5(п)-пространствах, привело к определению точки 0(п)-накопления (0°(тг)-накопления).

Естественным в классе 5(п)-пространств было ввести два типа пространств. Первый — обладающий свойством:

(**) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет

точку в (п)-накопления.

Пространство, обладающее таким свойством (**), назовем слабо-5(п)-замкнутым.

Второй — обладающий свойством:

(***) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку 0°(п)-накопления.

Пространство, обладающее свойством (***), назовем слабо S(n)-9-замкнутым.

Заметим, что основной внешней характеристикой 5'(п)-замкнутого (З(п)-в-замкнутого) пространства является замкнутость (0-замкнутость) в любом объемлющем 5(п)-пространстве. В связи с тем, что класс слабо 5(п)-замкнутых пространств шире класса 5(п)-замкнутых про-странств(Теорема 2) и, соответственно, класс слабо 5(п)-0-замкнутых пространств шире класса 5(п)-0-замкнутых пространств (Теорема 1), возникают следующие вопросы.

1. Какое отношение существует между классами 5(г)-0-замкнутых, 5(г)-замкнутых, слабо 5(г)-замкнутых и слабо 5(г)-0-замкнутых пространств, для всех 1 < г < п в S(n)-аксиоме отделимости?

2. В каких классах пространств из того, что пространство X слабо 5(п)-замкнуто, будет следовать, что X - 5(п)-'тмкнуто'? Соответственно для слабо 5(п)-0-замкнутых пространств.

3. Можно ли получить внутренную характеристику 5"(в)-замкнутого пространства через точки #(п)-накоплсния? Соответственно, характеристику S{n)-9-замкнутого пространства через точки #°(л)-накопления?

Интерес к слабо 5(п)-замкнутым и слабо 5(п)-#-замкнутым пространствам в основном вызнан тем что некоторые открытые проблемы, поставленные для 5(п)-замкнутых (S(n)-&-замкнутых) пространств, в классе слабо 5(п)-замкнутых(слабо 5(п)-#-замкнутых) пространств имеют решение. К таким проблемам можно отнести проблемы Dikranjan и Giuli[10j.

Будем ли произведение £>(2)-0-замкнутых пространств (feebly) /компактно?

Будет ли финально-компактное 5(2)-0-замкнутое пространство Н-замкнуто?

Существует ли 5(2)-замкнутое не 5(2)-0-замкнутое пространство

(Х,т) такое, что {Х,т$) — компакт (где т$ топология, полученная из топологии т, объявлением замкнутыми множествами все ^-замкнутые множества в т)?

Компактно ли пространство у которого любое замкнутое подмножество 5(2)-замкнуто? Проблема поставленная Berri, Porter и Stephenson

в I9J.

Цель работы. Работа посвящена изучению пространств, которые замкнуты или 0-замкнуты в любом объемлющем S(n) пространстве, и решению некоторых известных проблем в теории 5(п)-пространств.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем изучении 5(п)-пространств методами общей топологии и теории множеств.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 1997,2000), на молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 1998,1999), международной топологической конференции, посвященной памяти JI.B. Келдыш (г. Москва, 2004), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург), на семинарах памяти П. С. Александрова (г. Москва) и других.

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. Самые первые результаты, вошедшие в магистерскую диссертацию, опубликованы в журнале "Известия института математики и информатики Удмуртского Государственного Университета" ([20)). Основные результаты по различным видам замкнутости в 5(п)-пространстве в журнале "Труды института математики и механики УрО РАН" за 2002 год ([24]), а основные результаты по решению известных проблем в теории 5(п)-пространств в журнале

'Труды института математики и механики УрО РАН" за 2001 год (|23]) и за 2003 год (|25]).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.1.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 1 главы 2. Объем диссертации составляет 57 страниц машинописного текста и содержит 25 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первом параграфе первой главы вводятся понятия точек 0°(п)-накопления и в(тг)-накопления и с помощью них определяются новые классы 5(п)-пространств — слабо 5(п)-0-замкнутые и слабо 5(п)-замкнугые пространства. Доказывается, что класс слабо S(n)-0-замкнутых (слабо 5(п)-замкнутых) пространств шире класса S(n)-9-замкнутых (5(п)-замкнутых) пространств.

Теорема 1. Пусть X S(n) -в-замкнутое S{n)-пространство. Тогда X — слабо 3(п)-9-замкнуто.

Теорема 2. Пусть X — S(n) -замкнутое S(n)-пространство. Тогда X - слабо 3(п)-замкнуто.

Отметим, что в классе регулярных пространств классы S(n)-замкнутых, 5(п)-0-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых и слабо-Я(п)-#-замкнутых пространств совпадают с классом компактных пространств.

Второй параграф первой главы полностью посвящен примерам, позволяющим понять отличия между классами S(n)-0-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых, слабо-5(тг)-0-замкнутых и 5(п)-замкнутых пространств. Так, существует пример 5(п)-пространства, которое не 5(п)-замкнуто, но слабо 5(п)-замкнуто. Существует пример 5(п)-пространства, которое являясь слабо 5(п)-0-замкнутым (даже более того, является слабо S(n — 1)-замкнутым) пространством, не является S{n)-0-замкнутым пространством. И наконец, существует пример 5(п)-пространства, которое является 5(тг)-б>-замкнутым, но не является слабо S(n — 1)-замкнутым пространством. Несколько примеров доказывают независимость двух классов пространств в 5(п)-аксиоме отделимости А именно, строится пример

показывающий, что класс слабо S(n — 1)-замкнутых пространств не содержится в классе ^(т^-б-замкнутых пространств. И пример показывающий, что класс 5(п)-0-замкнутых пространств не содержится в классе слабо 5(п — 1)-замкнутых пространств.

В следующем параграфе 1.3 доказывается новая внутренняя характеристика 5(п)-замкнутых и S(п)-0-замкнутых пространств через понятие слабо Я(п)-сходимости и 5(п)-0-сходимости. Заметим, что при п 1 это было сделано Грызловым [3j.

Теорема 3. Пространство X S(n) -замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмножество слабо S(n)-сходится к своим точкам в(п)-накопления.

Теорема 4. Пространство X 3(п)-в-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмножество S{n)-в-сходится к своим точкам в°(п)-накопления.

В следующей главе 2 параграф 2.1 посвящен определению таких классов пространств, в которых понятия слабо-5(п)-замкнутости и 5(п)-замкнутости совпадают (аналогично понятия слабо-5(п)-6,-замкнутости и 5(п) 0-замкнутости совпадают).

Теорема 5. Пусть X — финально-компактное слабо-S(ti)-замкнутое S(n)-пространство, тогда X S(n) -замкнуто.

Теорема 6. Пусть X - линейно-линделефовое слабо-S (п)-в -замкнутое S(n)-npocmpaHcmeo, тогда X слабо-3(п — 1 )-замкпуто.

Теорема 7. Пусть X — финально-компактное слабо-S(п) -в-замкнутое S(n)-пространство, тогда X S(n)-в-замкнуто.

Параграф 2.2 посвящен нахождению новой характеристики S(n)-неуплотняемых пространств. Используя технику, построенную Грызловым [3] для п~ 1, получаем критерий 5(тг)-неуплотняемости пространства через 5(п)-сходимость.

Теорема 8. Пусть X - S{n)-пространство, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. X — 3(п)-неуплотняемое пространство;

2. Любое бесконечное подмножество А С X S(n)-сходится к множеству своих точек в(п)-накопления В, и если существует, точка х £ В такая, что А не S{n)-сходится к В \ {я}, то х есть точка полного накопления А.

В следующем параграфе 2.3 получена оценка мощности S(n)-пространства и, как следствие, оценка мощности 5(п)-0-замкнутого пространства.

Теорема 9 Пусть X S(n + \)-пространство, тогда |Л"| <

•¿sL>inÁx)K»{n)(x)

Следствие 10. Пусть X — S(n + 1)-в-замкнутое Sin + 1)-пространство, тогда \Х\ < 2Ке'"^х\

Последняя третья глава полностью посвящена решению некоторых проблем в теории 5(п)-просгранств В первом параграфе третьей главы строится пример, который отвечает положительно на вопрос Dikranjan и Giuli [10j(Question 2.6 ) о существовании [/-замкнутого не [/-^-замкнутого пространства (X, т), такого, что (X, т^ компакт. Следующий пример решает отрицательно вопрос (Problem 2, Dikranjan и Giuli [10]) о слабо 5'(п)-<9-замкнутости пространства при слабо 5(п)-^-замкнутости тв, для любого п > 2. Теорема 11 доказывает, что в классе финально компактных пространств свойство [/-^-замкнутости является мультипликативным (в силу мультипликативности свойства Н-замкнутости).

Теорема 11. Пусть X — финально компактное U -в-замкнутое пространство. Тогда X Н-замкнуто

Далее, строятся два урысоновских (7-0-замкнутых пространства, таких, что их произведение не /-компактно, и, таким образом, общий вопрос (Problem 5, Dikranjan и Giuli [10]) о /-компактности произведения двух ¿/-^-замкнутых пространств решается отрицательно.

Параграф 3.2 посвящен изучению аналога критерия Александрова-Урысона, а именно, нахождению достаточных условий компактности пространства, в котором

( а ) каждое замкнутое подмножество слабо-{/-замкнуто, или

( б ) каждое замкнутое подмножество слабо-//-замкнуто.

Основными в этом параграфе являются теорема 12 и теорема 13.

Теорема 12. Пусть выполняются следующие условия для урысогюв-ского топологического пространства X:

(1)Х{Х)=ш;

( 2 ) любое замкнутое подмножество U-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Теорема 12 дает положительный ответ, в классе пространств с первой аксиомой счетности, на вопрос Bern,Porter и Stephenson [9] о компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество ¿/-замкнуто.

Теорема 13. Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфо-ва топологического пространства X: ( 1 ) фИ(Х) = и;

( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н -замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Наконец, последний параграф третьей главы посвящен доказательству компактности пространства мощности wj в котором любое замкнутое подмножество слабо //-замкнуто.

Теорема 14 (МА + ~>СН). Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X:

(i)\x \ =

( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо И -замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Фактически в теореме 14 было доказано более общее утверждение.

Теорема 15 (МА + ->С7Я). Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X:

( 1 ) 1(Х) <ы\( где 1{Х) — число Линделефа);

( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.В.Величко и доктору физ -мат. наук Е.Г.Пыткееву за постановку ряда задач, постоянное внимание и плодотворное обсуждение результатов, а также своим родителям и брату Георгию за понимание и поддержку.

Отдельное спасибо участникам топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперину М.И., Ануфриенко С.А., Казаковой И., Нохрину С.Э., Охезину Д.С., Патракееву М и Филатовой М А. за ценные замечания и активное обсуждение результатов.

Список литературы

|1| Александров, П С. Мемуар о компактных топологических прск-гранствах /ПС Александров, II.C Урысон.- М • Наука, 1971 144 с

|2| Величко, Н.В. Я-эамкнутые топологические простраегва / Н.В. Величко // Матем.сб 1966. Т.70 - С. 98-112

|3| Грьнлов, А А //-¡амкнугые пространства и (нойста irnia компактности / А А 'Грызлов // Дис канд.физ.-мат наук - Свердловск. 1973.-70 с

(4| Илиадис, С. Метод центрированных систем / С Илиадис, С Фомин // Успехи мат наук - т. XXI выпуск 4,- С. 47-76.

|5| Киртадзе, Г. О различных видах полноты топологических пространств / Г. Киртадзе // Матем.сб - 1960. - 'Г.50. - С 67-90

|6| Энгелькинг, Р Общая топология / Р. Энгелькинг М : Мир. 1986 - 751 с

[7| Alas, О. More cardinal inequalities on Urysohn spaces / 0. Alas, L. Kocinac // Math.Balkanica - new series Vol.14 - 2000, Fa.se 3-4 - P. 247-252.

|8] Arhangelskii, A.V A generic theorem in the theory of cardinal invariants of topological spares / A V Arhangelskii // Comment Math Univ Carolinae 36 1995 P 303-325

¡9) Bern, M.P. A survey of minima) topological spaces / M.P. Berri, J.R. Porter and R.M. Stephenson // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra - Proc.Kanpur Top Conf (Academic Press,New York) 1970 P 93-114.

(10| Dikranjan, D 5(n)-6?-closed spaces, / D Dikranjan, E Giuli // Topology and its applications 28 - 1988 - P 59-74

|11| Hamlett, T. //-closed spaces and the associated 0-convergence space / T. Hamlett // Math.Chronicle 8.- 1979.- P. 83-88.

|12| Herrlich, Н. 7i-Abgeschlosaenheit und 7i-Minirnalitat / H. Herrlich // Math.Z.88. 1965 P. 285-294.

|13| Jankovic, D. On some separation axioms and 0-closure / D. Jankovic // Mat.Vesiiik 4(17).- 1980. P. 439-449.

[14| Jiang, S Some properties of S(n) - 0-closed spaces / S. Jiang, I.Reilly,S.Wang // Topology and its applications 96. 1999 - P. 23-29.

|15] Pettey, D. Products of regular-closed spaces / D. Pettey // Topology Appl.14 1982,-P. 189-199.

|16] Porter, J 5(o)-spar.ra and regular Hausdorff extensions / J. Porter, C. Votaw // Pacific J.Math.45.- 1973.- P. 327-345.

|17| Scarborough, C.T Minimal Urysohn spaces / C.T. Scarborough // Pacific J. Math.27. 1968-P. 611-617.

|18| Stone, M.H. Application of Boolean Algebras to Topology / M.H. Stone // Trans.Amer.Math.Soc.41,3.- 1937 - P 375-481.

|19| Stramaccia, L. S(n)-spa«s> and Я-sets / L.Stramaccia // Comment.Math.Univ.Caroline 29, 2 - 1988. P 221-226.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|20| Осипов, А В. Л-замкнутые пространства / А.В. Осипов // Известия иноиту-та математики и информатики Удмуртского Государственного Университета- сб науч. тр.- Ижевск: 1998 - выпуск 3{14).- С. 89-91.

[2]| Осипов, А В Теория ^^-пространств / А В Осипов // Тр}ды молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург, 1998 - С. 9-11.

|22| Осипов, А В. К теории 5(п)-замкнутых пространств / А В Осипов // Труды молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург, 1999.- С. 9-10.

[23] Osipov, А V An example of the nonfeebly compact product of t/-#-closed spaces / A.V Osipov // Proc / Steklov Inst. Math. 2001. suppl.2.- P S186-S188.

|24| Osipov, A.V. Different kinds of closedness in S(n)-spaces / A.V. Osipov // Proc./ Steklov Inst. Math. 2003. suppl 1- P S155-S160.

|25| Osipov, A.V. Weakly Я-closed spaces / A.V Osipov // Proc./ Steklov Inst. Math 2004. suppl.l.- P. S15-S17

I

¿2/. ¿V- с/,(?3

РНБ Русский фонд

2006-4 1390

Подписано в печать ¿7 Фор мат 60х84'/16 Объем У п.л. Тираж 70 экз. Заказ № 153

Ризография ГОУ СПО УГК им.И.И.Ползунова 620014, Екатеринбург, пр.Ленина,28

Введение

1 Различные виды замкнутости и ^-замкнутости в ^^-пространствах.

1.1 Слабо 5(п)-0-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства.

1.2 Некоторые примеры.

1.3 Новые характеристики 5(тг)-замкнутых и 5'(гг)-0-замкнутых пространств.

2 О некоторых свойствах «^^-пространств.

2.1 Классы пространств, в которых для 5(п)-замкнутости пространства X достаточно, чтобы X было слабо-5(п)-замкнутым пространством.

2.2 Новая характеристика 5,(п)-неуплотияемых пространств.

2.3 О мощности ^^-пространства.

3 Решение некоторых известных проблем в теории 5'(гг)-пространств.

3.1 Проблемы Dikranjan и Giuli [13].

3.2 О проблеме Berri, Porter и Stephenson [12].

3.3 О компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество слабо if-замкнуто.

В 19G6 году Н.В.Величко [2] было определено понятие 0-замкнутости. Для любого подмножества М топологического пространства X 9-замыкание c\qM определяется как {х € X : для которых любая замкнутая окрестность точки х пересекает М}. Это понятие активно применялось многими топологами для изучения хаусдорфовых нерегулярных пространств. Так, например, работы T.Hamlett [14], D.Jankovic [16], J.Porter и C.Votow [22], А.А.Грызлова [3] используют оператор 0-замы-кания для изучения внутренних свойств if-замкнутых пространств и пространств "близких" к if-замкнутым (функционально компактные, бикомпактные и др.). В 1986 году D.Dikranjan и E.Giuli [13] вводят более общее понятие оператора 0п-замыкания, развив теорию 5(п)-проетранетв, 5(п)-замкнутых и 5(п)-0-замкнутых пространств. В 1997 году вп-замыкание используется для изучения свойств 5(п)-неуплотняемых пространств в работе S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17].

Пусть V некоторый класс топологических пространств. V-пространство X называют "Р-замкнутым (соответственно V-9-замкнутым), если X замкнуто (соответственно ^-замкнуто) в любом объемлющем "Р-пространстве. Обзорная статья M.Berri, J.Porter, R.Stephenson, Jr [12] предоставляет широкий спектр различных V-замкнутых пространств, где V такие классы топологических пространств как хаусдорфовые, полурегулярные, урысоновые, регулярные, функционально-хаусдорфовые (для любых двух различных точек существует непрерывная вещественная функция, различающая эти точки), пространства обладающие первой аксиомой счетности, паракомпактные и совершенно нормальные. Изучение Р-замкиутых пространств, где V это класс вполне-регулярных и регулярных хаусдорфовых пространств встречаем также у Г.Киртадзе [5].

В данной работе продолжается изучение внутренних свойств S(n)~ замкнутых, 5(п)-#-замкнутых и 5(п)-неуплотняемых пространств с использованием оператора 0п-замыкания, а также вводятся более широкие классы пространств такие как слабо 5(п)-замкнутые и слабо S(n)-0-замкнутые пространства. Отметим, что в мемуаре П.С.Александрова и П.С.Урысона [1] было замечено, что любое Я-замкнутое пространство обладает свойством (*) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку в-накопления.

Там же был поставлен вопрос о достаточности этого свойства (*) для того чтобы пространство было Я-замкнутым. Напомню, что достаточным условием для компактности пространства является свойство: любое бесконечное мноэ/сество регулярной мощности имеет точку полного накопления.

Первый пример не if-замкнутого пространства, обладающего свойством (*), был построен Г.Киртадзе [5]. А.А.Грызлов [3] продолжил изучение Я-замкнутых пространств и пространств со свойством (*), исследуя две задачи. Первая — нахождение классов пространств в которых для Я-замкнутости пространства достаточно, чтобы оно обладало свойством (*). Например, таким классом является класс финально-компактных пространств. Вторая — нахождение характеристики Я-замкнутого пространства через точки ^-накопления. Рассмотрение точек подобных точкам 0-накопления, но уже в различных S(n)~ пространствах, привело к определению точки 0(п)-накопления (0°(п)-накопления).

Естественным, в классе 5,(п)-пространств, было ввести два тина пространств. Первый — обладающий свойством: любое бесконечное мноэ/сество регулярной мощности имеет точку в(п)-накопления.

Пространство, обладающее таким свойством (**), будем называть слабо- 5(п)-замкнутым.

Второй — обладающий свойством: любое бесконечное мноэ/сество регулярной мощности имеет точку (п)-накопления.

Пространство, обладающее свойством (***), будем называть слабо 5(п)-0-замкнутым.

Заметим, что основной внешней характеристикой /S(n)-3aMKiiyToro (б'(п)-^-замкнутого) пространства является замкнутость (9-замкнутость) в любом объемлющем 5(п)-пространстве. В связи с тем, что класс слабо 5(гг)-замкнутых пространств шире класса S(n)~ замкнутых пространств(Теорема 1.1.2) и, соответственно, класс слабо 5(п)-#-замкнутых пространств шире класса 5(п)-0-замкнутых пространств (Теорема 1.1.1), возникают следующие вопросы.

В каких классах пространств из того, что пространство X слабо S(n)-замкнуто, будет следовать, что X — S(?т.)-замкнуто? Соответственно для слабо 5(п)-#-замкнутых пространств.

Можно ли получить внутренную характеристику 5(п)-замкнутого пространства через точки 0(п)-накопления? Соответственно, характеристику 5(п)-0-замкнутого пространства через точки 0°(п)-накопления?

Напомним, что 5(п)-пространство X называется S(n)~ неуплотняемым (минимально S(n)), если любое уплотнение в S(n)~ пространство является гомеоморфизмом.

М.Катетовым был получен критерий неуплотняемых (т.е. 5(1)-неуплотняемых) пространств. Хаусдорфово пространство X неуилотняе-мое тогда и только тогда, когда X Н-замкнуто и топология на X полурегулярна. А.А.Грызлов [3] находит внутренную характеристику неуплотняемых пространств, используя понятие точки ^-накопления. В [17] было доказано, что любое 5(п)-неуплотняемое пространство 5(п)-замкнуто и полурегулярно. Там же было ноказаио, что 5(п)-замкнутости и полурегулярности не достаточно для ^(тг^неуплотняемости пространства. Поэтому вопрос о достаточном условии 5(7г)-неуплотняемости при п > 1 оставался открытым. Наконец, в статье S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17] определяются достаточные условия для £(п)-неуилотняемости пространства, используя понятие n-скачковой точки. Возникает вопрос о существовании внутренней характеристики 5(гг)-неуилотняемого пространства, с использованием понятия точки 0(п)-накопления.

Интерес, к слабо 5(п)-замкнутым и слабо 5(п)-0-замкнутым пространствам, в основном вызван тем, что некоторые открытые проблемы, поставленные для 5'(п)-замкнутых (5(п)-0-замкнутых) пространств, в классе слабо 5(п)-замкнутых(слабо 5'(п)-0-замкнутых) пространств, имеют решение. К таким проблемам можно отнести проблемы Dikranjan,Giuli[13] и проблему Berri, Porter и Stephenson [12] о компактности.

Будет ли произведение З^-А-замкнутых пространств (feebly) /компактно? ([13]).

Будет ли финально-компактное 5(2)-0-замкнутое пространство Н-замкнуто? ([13]).

Существует ли 5(2)-замкнутое не 5(2)-0-замкнутое пространство (X, г), такое, что (X, т0)-компакт (где tq топология, полученная из топологии т, объявлением замкнутыми множествами все ^-замкнутые множества в т)? ([13]).

Будет ли пространство компактно, если любое замкнутое подмножество 5,(2)-замкнуто? ( [12]).

Краткое содержание работы

В первом параграфе первой главы вводятся понятия точек в°(п)накопления и в(п)-накопления и с помощью их определяются новые классы 5(п)-пространств — слабо 5(п)-0-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства. Доказывается, что класс слабо S(n)-9-замкнутых (слабо 5(п)-замкнутых) пространств шире класса S(n)-9-замкнутых (5(п)-замкнутых) пространств.

Теорема 1 (Теорема 1.1 Л).Пусть X — S(n)-9-замкнутое S(n)-пространсгпво. Тогда X — слабо S{n) -9-замкнуто.

Теорема 2 (Теорема 1.1.5). Пусть X — S{n)-замкнутое S(n)~ простраиство. Тогда X — слабо S(n) -замкнуто.

Отметим, что в классе регулярных пространств классы S(n)-замкнутых, S(n)-9-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых и слабо-5(п)-0-замкнутых пространств совпадают с классом компактных пространств. Поэтому для изучения этих классов пространств уместно рассматривать не регулярные ^^-пространства. Заметим, что из самих определений следует, что в 5'(п)-иространстве любое 5(п)-0-замкнуггое пространство является 5(п)-замкнутым пространством. И в [13] было доказано, что из S(n — 1)-замкнутости следует 5(п)-0-замкнутость. Второй параграф первой главы полностью посвящен примерам, позволяющим понять отличия между классами 5(п)-#-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых, слабо-5(п)-0-замкнутых и 5(п)-замкнутых пространств. Так, пример 1.2.3 является примером 5(п)-пространства, которое не 5(п)-замкнуто, но слабо 5(п)-замкнуто. Пример 1.2.4 является примером 5(п)-пространства, которое являясь слабо 5(п)-0-замкнутым (даже более того, является слабо S(n — 1)-замкнутым) пространством, не является 5(п)-0-замкнутым пространством. И пример 1.2.5 является примером 5(го)-прострапства, которое является 5(п)-#-замкнутым, но не является слабо S(n — 1)-замкпутым пространством. Более того, пример 1.2.4 и пример 1.2.5 доказывают независимость двух классов пространств в 5(п)-аксиоме отдели мост и. А именно, пример 1.2.4 доказывает, что класс слабо S(n — 1)-замкпутых пространств не содержится в классе 5(п)-0-замкнутых пространств. А пример 1.2.5 наоборот, что класс «5'(п)-^-замкнутых пространств не содержится в классе слабо S(n — 1)-замкнутых пространств. В следующем параграфе 1.3 доказывается новая внутренняя характеристика 5(п)-замкнутых и 5'(п)-^-замкнутых пространств через понятие слабо 5'(п)-сходимость и 5(п)-0-сходимость. Заметим, что при п=1 это было сделано Грызловым [3].

Теорема 3 (Теорема 1.3.2). Пространство X — S(n) -замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмножество слабо S(преходится к своим точкам 9(п)-накопления.

Теорема 4 (Теорема 1.3.4). Пространство X — S(n)-9-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмноо/сество S(n)~ в-сходится к своим точкам 9° (п)-накопления.

В следующей главе 2 параграф 2.1 посвящен определению таких классов пространств, в которых понятия слабо-5(п)-замкнутость и S(n)~ замкнутость совпадают (аналогично понятия слабо-5(п)-0-замкнутость и 5(п)-0-замкнутость совпадают).

Теорема 5 (Теорема 2.1.1).Пусть X — финально-компактное слабо-S(п) -замкнутое S(n)-пространство, тогда X — S(n)-замкнуто.

Теорема 6 (Теорема 2.1.2).Пусть X — линейно-линделефовое слабо-S(n)-9-замкнутое S(n)-пространство, тогда X — слабо-Sin — 1)-замкнуто.

Теорема 7 (Теорема 2.1.4). Пусть X — финально-компактное слабо-S(n) -9-замкнутое S(n) -пространство, тогда X — S(n)-9-замкнуто.

Параграф 2.2 посвящен нахождению новой характеристики S(n)~ неуплотняемых пространств. Используя технику, построенную Грызлоиым [3] для n=1, получаем критерий ^(п^неуплотняемости пространства через 5(п)-сходимость.

Теорема 8 (Теорема 2.2.4).Пусть X-S(n)-пространство, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. X — 3(п)-пеуплотняемое пространство;

2. Любое бесконечное множество А С X S(n)-сходится к множеству своих точек в(п)-накопления В, и если существует точка х £ В такая, что А не 8(п)-сходится к В \ {х}, то х есть точка полного накопления А.

В следующем параграфе 2.3 получена оценка мощности S(n)~ пространсгва и, как следствие, оценка мощности 5(п)-0-замкнутого пространства.

Теорема 9 (Теорема 2.3.5).Пусть X — S(n-\-l)-пространство, тогда

Следствие 10 (Следствие 2.3.11).Пусть X — б^п-Ь 1)-в-замкнутое S(n + 1)-пространство, тогда \Х\ < 2Кв^х\

Последняя третья глава полностью посвящена решению некоторых проблем в теории «5'(п)-пространств.В первом параграфе третьей главы строится пример 3.1.3, который отвечает положительно на вопрос Dikranjan и Giuli [13](Question 2.6.) о существовании [/-замкнутого не [/-^-замкнутого пространства (X, г), такого, что (X,т^-бикомпакт. Пример 3.1.4 решает отрицательно вопрос (Problem 2, Dikranjan и Giuli [13]) о слабо S(п)-^-замкнутости пространства при слабо 5(п)-0-замкнутости т5, для любого п > 2. Теорема 3.1.6 доказывает, что в классе финально компактных пространств свойство [/-^-замкнутость является мультипликативным (в силу мультипликативности свойства //-замкнутости).

Теорема 11 (Теорема 3.1.6). Пусть X — финально компактное U-0-замкнутое пространство. Тогда X — Н-замкнуто.

Далее, строятся два урысоновских [/"-^-замкнутых пространства, таких, что их произведение не /-компактно (пример 3.1.7), и, таким образом, общий вопрос (Problem 5, Dikranjan и Giuli [13]) о /-компактности произведения двух £/-0-замкнутых пространств решается отрицательно.

Параграф 3.2 посвящен изучению аналога критерия Александрова-Урысона, а именно, нахождению достаточных условий компактности пространства, в котором а ) каждое замкнутое подмножество слабо-С/-замкнуто, или б ) каждое замкнутое подмножество слабо-Я-замкнуто.

Основными в этом параграфе являются теорема 3.2.1 и теорема 3.2.5.

Теорема 12 (Теорема 3.2.5). Пусть выполняются следующие условия для урысоповского топологического пространства X:

1)Х(Х)=и; 2 ) любое замкнутое подмноэюество U-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Теорема 3.2.5 дает положительный ответ, в классе пространств с первой аксиомой счетности, на вопрос Berri,Porter и Stephenson [12] о компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество U-замкнуто.

Теорема 13 (Теорема 3.2.1).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X:

1)фн(Х)=ш; 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Наконец, последний параграф третьей главы посвящен доказательству компактности пространства мощности ш\ в котором любое замкнутое подмножество слабо //-замкнуто.

Теорема 14 (МА + ->СН) (Теорема 3.3.1). Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: (1)\Х\=ш г; 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Фактически в теореме 14 было доказано более общее утверждение.

Теорема 15 (МА + -пСЯ)(Теорема 3.3.2).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: 1 ) l(X) < uj\ ( где 1{Х) — число Линделефа); 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто.

Тогда пространство X компактно.

Основные результаты опубликованы в [6]-[8] и [18]-[20].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.В.Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за постановку ряда задач, постоянное внимание и плодотворное обсуждение результатов, а также своим родителям и брату Георгию за понимание и поддержку.

Отдельное спасибо участникам топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперину М.И., Ануфриенко С.А., Казаковой И., Нохрину С.Э., Охезину Д.С., Патракееву М. и Филатовой М.А. за ценные замечания и активное обсуждение результатов.

Основные определения

Под пространством всюду в этой работе будет пониматься топологическое пространство, и если не оговорено особо, хаусдорфовое топологическое пространство. Понятия, которые можно найти в известных книгах, здесь не определяются. К таковым относятся: понятие окрестности, внутренности, границы и замыкания множества, канонически открытого и замкнутого множества, отношения топологий, основных аксиом отделимости, точки полного накопления, бикомпактности, расширения (Эн-гелькинг [9]).

Условимся относительно обозначений. Через clA (или А) будем обозначать замыкание, через IntA — внутренность множества А. Через 0 обозначается пустое множество. Через \А\ будем обозначать мощность множества А. Пространство X будем обозначать в некоторых случаях через (X, г), где X — носитель топологии т. Отметим, что иод окрестностью множества А С X мы будем понимать открытую окрестность А. Через N будем обозначать множество всех целых неотрицательных чисел. Под открытым (замкнутым) фильтром понимается фильтр в семействе всех открытых (замкнутых) подмножеств X.

Определение. Пространство X называется урысоновским (вполне отделимым), если любые две его различные точки имеют окрестности, замыкания которых не пересекаются.

Определение([1]). Хаусдорфово пространство X называется Н-замкнутым (абсолютно замкнутым;), если во всяком пространстве XU(, полученном присоединением к пространству X одной точки эта точка оказывается изолированной.

Теорема ([1])Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда и только тогда, когда всякая центрированная система открытых мпо-oicecme этого пространства имеет непустое пересечение замыканий.

Теорема ([1 ]).Регулярное Н-замкнутое пространство компактно.

Определение. Хаусдорфово пространство X называется неуплотпя-емим, если любое его уплотнение на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.

Определения ([13]). Пусть X топологическое пространство, М С X, х Е X. Для каждого п € N оператор вп-замыкания определяется следующим образом: х c/gmM, если существует набор открытых окрестностей U\ С U2 С . С Un точки х такой, что clUi С С/г+х для г = 1, 2,., п — 1 и clUn П М=0. При п = 0 полагается cIqoM = clM.

Заметим, что при п = 1 получаем оператор 0-замыкания.

Множество М называем ^"-замкнутым, если M=clgnM. вп-внутренность Int^nM множества М определяется формулой IntgnM = X \ с1вп(Х \ М). Очевидно, что с1вп(с1в°М) С с1вп+*М для М С X и любых п, s из N. Для любого п Е N и фильтра Т на X через adgnj7 будем обозначать множество точек ^"-прикосновения Т, т.е. ad^T = fl{ clenF : F Е Т}. В частности, adeoF^ad Т — множество точек прикосновения фильтра Т. Для любого п Е N, точка х Е X S (п)-отделена, от подмножества М, если х cIquM. Например, х З'(О)-отделено от М, если х $ М. Для п > 0 отношение 5(п)-отделимости между точками симметрично. С другой стороны, 5(0)-отделимость может быть не симметричным в некоторых не Ti-пространствах. Поэтому говорим, что точки х и у 5(0)-отделены, если х^ {у} и у 0 {ж}.

Определение ([13]). Пусть тг Е N, X - топологическое пространство.

1). X называется S(n)-пространством (или X удовлетворяет S(n)-аксиоме отделимости), если любые две различные точки из X S(n)-отделены.

2). Фильтр Т на X называется 3(п)-филътром, если каждая точка, не являющаяся точкой прикосновения фильтра Т, 5(п)-отделена от пекоторого элемента фильтра Т.

3). Открытое покрытие {Ua} пространства X есть S(n)-покрытие, если каждая точка из X лежит в ^"-внутренности некоторого Ua.

Очевидно, что 5(0)-пространства — То-пространства, 5(1)-иространства — хаусдорфовые пространства и 5(2)-пространства — урысоновские пространства. Ясно, что каждый фильтр есть 5(0)-фильтр, каждое открытое покрытие есть 5(0)-покрытие и каждый открытый фильтр есть 5(1)-фильтр. Открытые 5(2)-фильтры называются урысоновскими фильтрами ( [15], [23]). Для п > 1 открытые 5(п)-фильтры были определены в [22]. 5(1)-покрытия называют урысоновскими [12]. В регулярном пространстве каждый фильтр (каждое покрытие) есть 5(п)-фильтр (5(п)-покрытие) для любого п € N. Рассматривая в качестве топологического класса V пространства, удовлетворяющие 5(п) аксиоме отделимости, тогда 5(п)-замкнутые и S{n)-в-замкнутые пространства - это 5(п)-пространства, замкнутые (соответственно ^-замкнутые) в любом объемлющем 5(п)-пространстве.

Грызлов [3] доказал, что класс 5(1)-#-замкнутых пространств есть в точности класс компактных пространств. Porter и Votaw [22] охарактеризовали 5(п)-замкнутые пространства через открытые 5(п)-фильтры и 5(п)-покрытия (для п = 2 это было сделано Herrlich [15]).

Теорема ([11],[8]).Пусть п > 0 и X S(n)-пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) для любого открытого фильтра F на X adgnj7 ф 0;

2) для любого фильтра Т на X adgnT ф 0;

3) для каэюдого открытого Б(п)-фильтра Т на X adT ф 0;

4) для каждого S(n — 1)-покрытия {Ua} пространства X существуk ют Uai,., Uak такие, что X = [J Uai; i=1

5) X — S{n)-3aMKHymo.

Dikranjan и Giuli [13] привели характеристику S(n)-6-замкнутых пространств через S(n — 1)-фильтры и S(n — 1)-покрытия.

Теорема ([6]). Пусть п > 0 иХ S(n)-пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) для любого замкнутого S(n — 1)-фильтра Т на X а&Т ф 0;

2) любое S(n — 1)-покрытие X имеет конечное подпокрытие;

3) для каэ1сдого замкнутого фильтра Т па X adQ(n-\)T ф 0;

4) X—5(п)-в-замкнуто.

Заметим, что при п = 1 5(1)-замкнутость и 5(1)-0-замкнутость есть Н-замкиутость и компактность соответственно. А при п = 2 ^^-замкнутость и 5(2)-0-замкнутость — это U-замкнутость и U-<9-замкнутость. Из самих определений следует, что в классе S(n)~ пространств любое 5(п)-#-замкнутое пространство является S(n)~ замкпутым пространством.

1. Александров, П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах / П.С. Александров, П.С. Урысон.- М.: Наука, 1971.-144 с.

2. Величко, Н.В. Н-замкнутые топологические простраства / Н.В. Величко // Матем.сб.- 1966,- Т.70.- С. 98-112.

3. Грызлов, А.А. Н-замкнутые пространства и свойства типа компактности / А.А. Грызлов // Дис. . канд.физ.-мат.наук Свердловск: 1973.-70 с.

4. Илиадис, С. Метод центрированных систем / С. Илиадис, С. Фомин // Успехи мат. наук т. XXI.-выпуск 4.- С. 47-76.

5. Киртадзе, Г. О различных видах полноты топологических пространств / Г. Кир-тадзе // Матем.сб. 1960. - Т.50. - С.67-90.

6. Осипов, А.В. Л-замкнутые пространства / А.В. Осипов // Известия института математики и информатики Удмуртского Государственного Университета: сб. науч. тр.- Ижевск: 1998 выпуск 3(14).- С. 89-91.

7. Осипов, А.В. Теория ^^-пространств / А.В. Осипов // Труды молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики".- Екатеринбург, 1998.- С. 9-11.

8. Осипов, А.В. К теории 5(п)-замкнутых пространств / А.В. Осипов // Труды молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики".-Екатеринбург, 1999 С. 9-10.

9. Энгелькинг, Р. Обща'л топология / Р. Энгелькинг.- М.: Мир, 1986.- 751 с.

10. Alas, О. More cardinal inequalities on Urysohn spaces / O. Alas, L. Kocinac // Math.Balkanica new series Vol.14. - 2000, Fasc.3-4. - P. 247-252.

11. Arhangelskii, A.V. A generic theorem in the theory of cardinal invariants of topological spaces / A.V. Arhangelskii // Comment.Math.Univ.Carolinae 36.- 1995.-P. 303-325.

12. Berri, M.P. A survey of minimal topological spaces / M.P. Berri, J.R. Porter and R.M. Stephenson // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra Proc.Kanpur Top.Conf. (Academic Press,New York).- 1970 - P. 93-114.

13. Dikranjan, D. 5'(n)-0-closed spaces / D. Dikranjan, E. Giuli // Topology and its applications 28 1988 - P. 59-74.

14. Hamlett, Т. H-closed spaces and the associated 0-convergence space / T. Hamlett 11 Math.Chronicle 8.- 1979.- P. 83-88.

15. Herrlich, H. T6-Abgeschlossenheit und T0-Minimalitat / H. Herrlich // Math.Z.88.-1965.- P. 285-294.

16. Jankovic, D. On some separation axioms and 0-closure / D. Jankovic // Mat.Vesnik 4(17).- 1980.- P. 439-449.

17. Jiang, S. Some properties of S(n) — 0—closed spaces / S. Jiang, I.Reilly,S.Wang // Topology and its applications 96 1999 - P. 23-29.

18. Osipov, A.V. An example of the nonfeebly compact product of U-0-closed spaces / A.V. Osipov 11 Proc./ Steklov Inst. Math. 2001. suppl.2 P. S186-S188.

19. Osipov, A.V. Different kinds of closedness in S(n)-spaces / A.V. Osipov // Proc./ Steklov Inst. Math. 2003. suppl.l.- P. S155-S160.

20. Osipov, A.V. Weakly Я-closed spaces / A.V. Osipov // Proc./ Steklov Inst. Math. 2004. suppl.l.- P. S15-S17.

21. Pettey, D. Products of regular-closed spaces / D. Pettey // Topology Appl.14.-1982,- P. 189-199.

22. Porter, J 5(a)-spaces and regular Hausdorff extensions / J. Porter, C. Votaw // Pacific J.Math.45.- 1973.- P. 327-345.

23. Scarborough, C.T. Minimal Urysohn spaces / C.T. Scarborough // Pacific J. Math.27.- 1968.- P. 611-617.

24. Stone, M.H. Application of Boolean Algebras to Topology / M.H. Stone // Trans.Amer.Math.Soc.41,3.- 1937 P. 375-481.

25. Strainaccia, L. S^nJ-spaces and H-sets / L.Stramaccia // Comment.Math.Univ.Caroline 29, 2.- 1988.- P. 221-226.