Разложения решений однородного дифференциально-разностного уравнения запаздывающего типа в ряды по экспоненциальным решениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Лч МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

_ ^__________________________

< ^ Физико-математический факультет

1 «>7 /

На правах рукописи УДК 517.929, 517.5

Байгушева Инна Анатольевна

РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА В РЯДЫ ПО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РЕШЕНИЯМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1998

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.929, 517.5

Байгушева Инна Анатольевна

РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА В РЯДЫ ПО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РЕШЕНИЯМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1998

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Астраханского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. М. Седлецкий.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент В.В. Власов

кандидат физико-математических паук, И.В. Тихонов

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (технический университет)

.защита диссертации состоится Ж1-

UÁObCJL_ 1998 года

в /У час. 00мин. на заседании диссертационного совета К. 113.11,08 при Московском педагогическом университете по адресу: 107005, г. Москва, ул. Радио, 10-а, ауд. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического университета.

Автореферат разослан 43 - iX¿CUL_ 1998 года

Ученый секретарь

диссерт ационного совета

К. 113. 11. 08 при МПУ,

кандидат физико-математических \

наук, доцент д. в. Нелаев

- 1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ

За последние десятилетия теория дифференциально-разностных уравнений нашла многочисленные приложения в самых разнообразных областях механики, физики, технических наук. Особенно значительны приложения к теории автоматического регулирования и к теории колебаний. В связи с расширением областей приложения дифференциально-разностных уравнений интерес к этой теории в настоящее время не ослабевает.

Представленная работа лежит на стыке следующих разделов современного математического анализа: теория негармонических рядов Фурье и теория дифференциально-разностных уравнений.

Теория негармонических рядов Фурье

Их) - Г сnDixAa, х£(-а,а)

а=о

в настоящее время является достаточно продвинутой.Особенностью негармонического анализа служит тот факт, что ряды Фурье строятся с помощью биортогональной системы к системе {е11сХп}п_0 . А именно: пусть система

¡1ПШ в Ьч(-а,а), К ч ( ® , п=0,1,...

является биортогональной к системе {е1*"^^ на (-а, а), то есть

-а

где бтп= 1 при п=т и 6тп= 0 при п^т . Тогда если {£1р(-а,а), 1/р++1Л} = 1, то коэффициенты ряда Фурье задаются формулой

а.

сп - х га)1-1пиж.

-а

Достижения этой теории получены благодаря работам Р.Пэли, Н. Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца, С. Верблюнского, А. Ф. Леонтьева, Ж. -П. Кахана, Б. С. Павлова, Н. К. Никольского, С. В. Хру-

- 2 -

щева, A.M. Седлецкого, A.M. Минкина и др.

С другой стороны имеется цикл результатов о разложениях дифференциально-разностных уравнений в ряды по их экспоненциальным решениям. Здесь наиболее сильные результаты принадлежат Е. Райту [1], С. Верблюнскому [2],[3] (см. также [4]).

Интерес к этой тематике постоянно подчеркивается в обзорных статьях В. Хана [5], А. М. Зверкина, Г. А.Каменского,С.Б.Нор-кина, Л.Э. Зльсгольца [6], А. Д. Мышкиса, Л.З. Эльсгольца [7], [8] и монографиях 3. Пинни [9], Р. Беллмана, К.Кука [4], Д.Хей-ла [10].Тем не менее, теория таких разложений далека от завершенности.

В настоящей работе рассматривается дифференциально-разностное уравнение с постоянными коэффициентами запаздывающего

1. Wright Е. The linear difference-differential equation with constant coefficiens // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Ser.A, 62,387-393 (1949).

2. Verblunsky S. On a class of differential-difference equations //Proc. London Math. Soc., Ser.3,6, 355-365 (1956).

3. Verblunsky S. On a class jf Cauchy exponential series // Rend. Circ. Math. Palermo,Ser.2,10, 5-26 (1961).

4. Беллман P., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Мир, М. (1967).

5. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами и переменными отклонениями // Математика: Сборник переводов 5:6,73-98 (1961).

6. ЗверкинА.М., Каменский Г. А., Зльсгольц Л. 3. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 17 N.2(104),77-164 (1962).

7. Мышкис А.Д., Зльсгольц Л.З. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 22 N. 2(134), 21-57 (1967).

8. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 32 N.2(194), 173-202 (1977).

9. Пинни 3. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. Изд.-во иностр. литер., М. (1961).

10. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. Мир, М. (1984).

типа (ДРУ) :

aoU'(t) + b0u(t) + bjuCt-io) = 0, t>0), (i)>0.

Пусть u(t) - непрерывное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

u(t) = g(t), О С t < со.

Функцию g(t) называют начальной функцией. Обозначим через h(s) характеристическую функцию уравнения, она имеет вид

h (s) = aoS + b0 + fye" Ws.

Функция u = est является решением ДРУ при всех t тогда и только тогда, когда s есть нуль функции h (s). Достаточно полное представление о расположении нулей функции h(s) получено Р. Лангером СИЗ и Д. Диксоном [12]. Известно, что последовательность (!„} образует запаздывающую цепь и что асимптотика членов xT1=c(n+ipn последовательности имеет вид

dn = 1 /coClog Î-bx/ао( - log(2rtn/<o)] + о(1)

рп = 1/ш[2яп + argC-^/ao) ± rt/2] + о(1)

где п -» . Верхние знаки отвечают корням , у которых рп -> , а нижние - корням, у которых рп .

Решению u(t) ДРУ-я сопоставляется экспоненциальный ряд

(ЭР):

u(t) -ERes^ esth_1 (s)[aog(o))e" ws + (aos+b0 ) f g(x)e~sxdx]

11. Langer R. On the zeros of exponential sums and ite-grals // Bull. Amer. Math. Soc. 37,213-239 (1931).

12. Dickson D. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients: Mem. Amer. Math. Soc. 23 (1957).

(см. [4]). Как мы видим, коэффициенты ряда полностью определяются начальной функцией g(t).

В отличие от негармонических рядов Фурье этот ряд конструируется с помощью преобразования Лапласа. Это обстоятельство существенно отличает такие ряды от негармонических рядов Фурье.

Основные результаты о разложении решения дифференциально-разностного уравнения в ряд по экспоненциальным решениям принадлежат С.Верблюнскому. Им установлено: если начальная функция g (t) £ С [0, со], то ЗР сходится при t>w к функции u(t), являющейся непрерывным решением ДРУ, причем сходимость равномерная на любом конечном отрезке [Т0,Т], Т0>со ; если начальная функция g(t)е С1Ю, ш], то ЭР сходится при t>0 к функции u(t), явяющейся непрерывным решением ДРУ, причем сходимость равномерная на любом конечном отрезке [Т0,Т], Т0>0.

В настоящей работе получены промежутки сходимости ЭР при менее ограничительных предположениях относительно начальной функции g(t) . Один из основных методов исследования, используемых в диссертации, был предложен A.M. Седлецким в работах [13]. [14].

ЦЕЛИ РАБОТЫ

Цель настоящей работы состоит в следующем:

1) исследовать ЗР при минимально допустимых ограничениях, накладываемых на начальную функцию g(t), а именно при условии ее интегрируемости по Лебегу;

2) изучить поведение ЭР для различных подклассов функций, которым принадлежит начальная функция g(t)( рассматриваются классы Lip a(0<cKl),CV, V).

Таким образом, основная цель работы заключается в том, чтобы по возможности приблизить теорию экспоненциальных рядов,

13. Седлецкий A.M. Об одном классе биортогональных разложений по показательным функциям // Изв. АН СССР, Сер. матем.41 N.2,393-415 (1977).

.14. Седлецкий A.M. Об одном классе негармонических рядов Фурье // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики. Изд.-во МФТИ, М. (1990).

являющихся разложениями решений дифференциально -разностных уравнений по решениям экспоненциальным, к уровню теории рядов Фурье.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1) Исследовано поведение ЭР и его связь с решением ДРУ при минимально допустимых ограничениях, накладываемых на начальную функцию ( при условии ее интегрируемости по Лебегу ).

2) Получены области сходимости ЭР и установлена, его связь с решением ДРУ для различных подклассов функций, которым принадлежит начальная функция (рассмотрены множества Lip й(0<сК1), CV, V).

3) Получены результаты о возможности почленного дифференцирования ЭР-а и о возможности расширения области сходимости ЭР-а.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциально-разностных-уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Астраханского Государственного Педагогического Университета в апреле 1996 г., апреле 1997 г. и в апреле 1998 г. на 2-ой Казанской летней школе-конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию Б.М. Гагаева в июне 1997 г.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертации изложено в работах автора список которых приведен в конце автореферата. Статей, написанных в соавторстве нет.

- 6 -

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 25 наименований. Общий объем диссертеции составляет 79 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация параграфов в диссертации сквозная; при этом для формул, лемм, теорем используется единая нумерация, состоящая из двух чисел, заключенных в круглые скобки: первое число - номер параграфа, второе число - номер формулы, леммы и т.д. в данном параграфе.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации и основные результаты, полученные диссертантом.

В первой главе устанавливается теорема о разложении решения ДРУ по его экспоненциальным решениям в ЭР в условиях, когда начальная функция принадлежит классу функций L1(0, со) и классу Соболева W?[0, оЛ , то есть классу функций f таких, что f абсолютно непрерывна на [0, ш] и f'el/iO,ш).

Первая глава состоит из четырех параграфов - // 1-4.В ¿1 доказывается существование и единственность непрерывного решения ДРУ, удовлетворяющего начальному условию, в котором начальная функция g(t) с L1 (0, со). Этот результат используется как в первой главе, так и во второй.

Хорошо известно [4], что если gCDtC1 [0, «] (g(t)eC[0, со] ), то решение u(t) уравнения (0.2) может быть записано в виде подходящего преобразования Лапласа соответственно при t>0 и t>ü) .В § 2 этот результат распространяется на более широкие классы функций. Именно, доказано что имеет место следующее представление решения u(t):

cwr

u(t) = lim l/(2rti) Sesth~1(s)p(s)ds , где т-»<*> с~;т

p(s) = aogMe + (aos+bo)Îg(x)e~E*dx и t>0 для gU^w'tO.w],

p(s) = aog(w)e"ws - ь,в" "sFg(x)e-sxdx и t>o> для gitJfiL1 (О,©).

с

§3 посвящен доказательству основной в первой главе диссертации теоремы (3.1) о разложении решения в ряд.

Теорема (3.1). Пусть u(t) есть непрерывное решение ДРУ, удовлетворяющее начальному условию. Тогда:

1) если начальная функция g(t)£l/(0, <о), то ЭР сходится к функции u(t) при t>co , причем сходимость равномерна по t на любом конечном отрезке [T0jT3, Т0 >со ;

2) если начальная функция g(t)£W}[0, w], то ЭР сходится к функции u(t) при t>0 , причем сходимость равномерна по t на любом конечном отрезке [T0,TL Т0>0.

В $4 выводы теоремы (3.1) дополняются следующими результатамш.

Теорема (4.7). Существует функция g(t)£ Lp(0, <о) (р > 1) такая, что ЭР расходится по норме Lp (а, Ы (-°°<а<Ь<ш).

Теорема (4.10). Существует функция g(t)ê Wf[0, о] (р > 1) такая, что ЭР расходится при t=0.

Во второй главе устанавливаются теоремы о поведении ЭР для некоторых подклассов функций, которым принадлежит начальная функция g(t). Получены результаты для множеств Lip et (СКсКЗ), CV, V.

Вторая глава состоит из четырех параграфов - ¿$5-8. В $5 доказываются леммы, дающие некоторые вспомогательные оценки, используемые в последующих параграфах этой главы. В $ 6 изучается поведение ЭР при том условии, что начальная функция g(t)еLIр а(0<сК1).

Теорема (6.1). Пусть u(t) есть непрерывное решение ДРУ, удовлетворяющее начальному условию; пусть начальная функция g(t)eLip а(0,м)(0<сК1). Тогда ЭР сходится к функции аШ при Ь>ю-аа , причем сходимость равномерна по t на любом конечном отрезке [Т0,Т], T0)w-cico.

В §7 получены результаты о сходимости ЭР в условиях, когда начальная функция g(t) принадлежит подклассам CV, и V функций.

Теорема (7.1). Пусть u(t). есть непрерывное решение ДРУ, удовлетворяющее начальному условию; пусть начальная функция g(t)е CVtO, ш]. Тогда ЭР сходится к функции u(t) при t>0 ,

причем сходимость равномерна на любом конечном отрезке [Т0,Т], То>0.

Теорема (7.10). Пусть u(t) есть непрерывное решение ДРУ, удовлетворяющее начальному условию; пусть начальная функция g(t) £ V[0, (о]. Тогда ЭР сходится при t>0 к функции

Íu(t), t - точка непрерывности u(t),

(1/2)tu(t-O)+u(t+0)], t - точка разрыва u(t).

причем сходимость равномерна на любом отрезке, содержащемся внутри интервала непрерывности функции u(t).

В 8 содержатся теоремы, показывающие точность результатов теорем (6.1), (7.1), (7.10). А именно доказывается невозможность расширения промежутка сходимости ЭР в условиях этих теорем.

Теорема (8.10). Для каждого а (0,1) существует функция g(t)£Lip с( такая, что ЭР расходится для t< м-ейо.

Теорема (8.11). Существует функция g(t)eCV такая, что ЭР расходится при t<0.

Третья глава посвящена рассмотрению двух основных вопросов:

- о возможности почленного дифференцирования ЭР;

- о возможности расширения промежутка сходимости ЗР.

Третья глава состоит из двух параграфов - 9-10. В $9

рассматривается проблема почленного дифференцирования ЭР. Один из основных результатов этого параграфа содержится в следующей теореме:

Теорема (9.13). Пусть g(t)eLip ct(0,со) (0<сК1). Тогда п-раз продифференцированный ЭР сходится при t>(n+l)o> - т к функции u(n)(t), являющейся n-ой производной решения ДРУ, удовлетворяющем начальному условию; причем сходимость равномерна на любом конечном отрезке [Т0,Т], где Т0Хп+1)а> - аш. Вне указанного промежутка ЭР расходится.

Соответствующие результаты о поведении продифференцированного ЭР получены в условиях теоремы (7.10).

В $ 10 рассматривается вопрос о возможности распространения сходимости ЭР. Один из основных полученных результатов содержится в следующей тйореме:

Теорема CIO. 7). Пусть gít)eCn [0., со], g(n) (t)eLip cc(o, со) (0<d<l). Тогда ЭР сходится при t>-(n—1)co - око равномерно на-любом конечном отрезке [Т0,Т], T0>-(n-l)w - oto ; причем при t>0 он сходится к функции u(t), удовлетворяющей начальному условию, а также ДРУ при t>-(n-2)(ü - т.

Таким образом, ЭР продолжает решение u(t) ДРУ с полупрямой t>0 на полупрямую t>-ao) до непрерывного решения ДРУ при t >0J—oteo.

В этом же параграфе содержится теорема о распространении сходимости ЗР для случая, когда к начальной функции предъявляется требование g(t)eCn [0, ш], g(n) (t)eCV[0, со].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Анатолию Мечиславовичу СЕДЛЕЦКОМУ за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Байгушева И. А. Нижняя граница промежутка сходимости ряда экспоненциальных решений дифференциально-разностного уравнения // Тезисы докладов итоговой научной конференции АГПИ им. С.М.Кирова. - Астрахань, 1996. - С. 1.

2. Байгушева И. А. Разложение решения дифференциально-разностного уравнения запаздывающего типа, определяемого начальной функцией класса Lip а, в экспоненциальный ряд // Тезисы докладов итоговой научной конференции АГПУ. - Астрахань, 1997.

- С. 36.

3. Байгушева И.А. Разложение решения дифференциально-разностного уравнения запаздывающего типа в экспоненциальный ряд // Алгебра и анализ: Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань, 1997. - С. 27-28.

4. Байгушева И. А. Решение дифференциально- разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа // Интегральные преобразования и специальные функции: Информационный бюллетень. - М.: Изд.-во ВЦ РАН, 1997. - Т.1. - №2- - С„8-10.

5. Байгушева И.А. Распространение сходимости и дифференцирование экспоненциального ряда // Тезисы докладов итоговой научной конференции АГПУ. - Астрахань, 1998. - С.54.

Подписано в печать: 07.05.98 г. Бумага офсетная , Зд^д as-z-tz Формат бумаги 60/90 щб, уч. - изд. л. 0,75. Тираж 100 экз.__

Отпечатано в издательстве МПУ "СигналЪ". 107005. Г. Москва, ул. Радио, д. 10-а, т. 265-41-63