Разложения типа Брюа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукоп

Митрофанов Михаил Юрьевич Разложения типа Брюа

01 01 06 — высшая алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2006

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Вавилов Николай Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гордеев Николай Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор Винберг Эрнест Борисович

Ведущая организация Санкт-Петербургское отделение Математиче-

ского института РАН

Защита состоится 2006 г в *Ь час на заседании дис-

сертационного совета Д 212.232 29 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета- 198504, Санкт-Петербург, Ст Петергоф, Университетский пр., д. 28).

Защита будет проходить по адресу. Санкт-Петербург, наб р. Фонтанки, д 27 (помещение ПОМИ РАН), к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб., д 7/9

Автореферат разослан

2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Нежинский В.М.

¿ообА

Общая характеристика работы Актуальность темы. Разложение Брюа, найденное Гельфандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Шевалле и Титсом (см., например, |1, 11]), является центральным и наиболее важным фактом классической структурной теории алгебраических групп Обычно, рассматривается разложение Брюа по отношению к некоторой фиксированной паре, состоящей из максимального тора рассматриваемой группы и содержащей его борслевской подгруппы. При этом, двойные смежные классы по борелевской подгруппе естественным образом индексируются элементами факторгруппы нормализатора максимального тора но самому максимальному тору Существует также комбинаторный аналог разложения Брюа (см |2|), где роль максимального тора и борелевской под! руины играют произвольные подгруппы, связанные определёнными соотношениями

Тема этой диссертации к>жит на стыке теории разложения Брюа в алгебраических группах и К'ории представлений матроидов, а в самой диссертации рассматривался разложение Брюа в полной линейной группе над почем Первые работы посвященные изучению обобщений разложения Брюа, принадлежат по-видимому, Люстигу ¡10) и Деодхару |7| В >тих работах рассматривались пересечения обычых клеток Брюа, предеывляющих собой ие что иное как двойные смежные классы по борелевской но,ц руине, и клеток Гаусса, отличающихся от клеток Брюа на максимальный элемент группы Вейля Этими авторами были получены первые критерии непуст ты подобных пересечений В частности, было показано, что эти критерии могут быть выражены в терминах комбинаторики группы Вейля, а именно, в терминах порядка Брюа на этой группе (обязательно являющейся группой Кокстера)

В дальнейшем, эти результаты были обобщены Кертисом [б|, который получил критерий нспустоты пересечения клетки Брюа и другой клетки Брюа, сдвинутой на произвольный (не обязательно максимальный) элемент группы Вейля Также следует упомянуть работу Фомина и Зелевин-ского [8|, показавших, в частности, что пересечение клетки Брюа, то есть,

двойного смежного класса по борелевской подгр уЛва^.ЛДНсШШМ'^ИЛЯиого

БИБЛИОТЕКА [ С.Петер£хрг

3 08

класса по противоположной борелевекой подгруппе, всегда непусто

Однако, довольно долго оставался открытым вопрос о строении атомов решетки. порожденной клстками Брюа и их сдвигами при помощи I руины Вейля В случае полной линейной группы этот вопрос эквивален-1сн проблеме зависимости разложения Брюа матрицы от перестановки её строк и столбцов От ист на этот вопрос пал возможен после появления работ Боровика, Гельфанда и Уайта (см., например, (5) или [4|) В этих работах описаны атомы решётки, порождённой клстками Брюа и их односторонними сдвигами при помощи группы Вейля При этом оказыва-еIся, что описать эту решётку чисто комбинаторным образом не удается, её строение сильно зависит от выбора основного поля, причём описание, по-видимому, невозможно даже при конкретном выборе поля (за исключением конечных полей, для некоторых из которых такое описание получено в этой диссертации)

Проблема описания атомов решётки оказывается тесно связанной с проблемой представления матроидов Согласно работе Вамоса [14], не существует конечной формулы определяющей нредетавимые матроиды, или хотя бы матроиды, представимые над некоторым бесконечным полем Эта диссертация, развивающая идеи работ Боровика, Гельфанда и Уайта показывает, что атомы решётки, порожденной как левыми, так и правыми сдвигами клеток Брюа, соответствуют представимым матроидам. удовлетворяющим незначительному дополнительному условию именно, такой матро-ид должен быть объединением двух своих непересекающихся базисов Это позволяет применить результаты Татта [13], Биксби [3] и Сеймура |12] о критериях представимости матроидов над небольшими полями

Цель исследования. Изучение зависимости разложения Брюа матрицы от перестановки её строк и столбцов Доказательство новых теорем о связи между разложением Брюа и теорией матроидов. Выяснение необходимых и достаточных условий существования матрицы, такой, что матрицы, получающиеся из неё перестановками строк и столбцов, принадлежат заданным клеткам Брюа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем Установлена равносильность непустоты мелкой

клетки Брюа и представимости соответствующего ей матроида. Найдены необходимые и достаточные условия существования матрицы над полями Г2 и ¥3-

Методы исследования. В диссертации используются как методы теории матроидов, так и методы структурной теории алгебраических групп; в частности, теория флаговых матроидов и комбинаторная теория разложения Брюа.

Практическая ценность. Работа имеет теоретический характер Результаты могут быть использованы в исследованиях по структурной теории алгебраических групп и теории матроидов

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции имени З.И Борсвича, на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Фаддеева, на алгебраическом семинаре в Центре Математических Наук в Кембридже и на семинаре по А'-теории в университете Билефельда (Германия)

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в двух работах, приведенных в конце автореферата

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы (23 названия) Объем диссертации 131 страница

Краткое содержание работы Во введении кратко излагается история вопроса, введены основные обозначения, а также кратко описаны основные результаты работы и ее структура

В первой главе даётся краткое введение в теорию матроидов и теорию разложения Брюа

Напомним, что матроидом называется конечное множество X, наделенное операцией замыкания с1 на решётке своих подмножеств, удовлетворяющей четырём требованиям:

1. АС с1 А;

2. с1(с1 А) = с1 А,

3. Если А С В, то с1 А С с1 В, и

4 Если а, [1 е X и А С X таковы, что /3 £ сМ, но (1 е с](Л и а), то

а € с1(Л и (1)

Известно, что на матроиды переносятся многие понятия линейной алгебры, такие как система образующих, независимое множество, базис, ранг и т.д Свой« ва э'1 их обобщений во многом аналогичны свойствам соотвег-гтвующих «линейных» понятий.

Наиболее важным для нас является понятие минора матроида Оно соответствует понятию «секции», или «подфактора» векторного пространства Подматроидом (или сужением) матроида X называется множество А С X вместе с операцией замыкания с1л, определенной формулой

с\А В = А П с1 В

Аиало1ично, фактором (или стя1 иванием) Х/А матроида X называется множество ЛДЛ имеете с операцией замыкания с1 \/А, которая определяется как

с\х/АВ = (с\(АиВ))\А

Одной из центральных проблем в теории мафоидов является проблема представимости матроидов заключающаяся в описании класса мат-роидов, для которых существует отображение г/ X —> V в векторное пространство, такое, что с1 А = с/((с/(Л))). Здесь уиювые скобки обозначают линейную оболочку Такое отображение называется представлением матроида X Известно лишь небольшое число критериев представимости Так, в работе [13| Таттом получены два критерия

Теорема (1 16). Матроид X представим над полем ¥2 тогда и только тогда, когда ни один его минор не изоморфен 11(4,2)

Теорема (1 17). Матроид X представим над любым полем тогда и только тогда, когда ни один его минор не изоморфен и(4,2), Г7 или

Здесь и(4,2), Р7 и некоторые широко известные матроиды на 4, 7 и 7 точках (так, Р7, на самом деле, представляет собой проективную плоскость над Рг) Биксби и Сеймуром был одновременно опубликован критерий, полученный (но не опубликованный) Рейдом

Теорема. Матроид X представим над полем Ез тогда и только тогда, когда ни один его минор не изоморфен и(5,2), и(5,3), Ру или Ру

Недавно Джиллен, Жерар и Капур [9] получили аналогичный критерий для поля Этот критерий, однако, слишком сложен для того, чтобы приводить его здесь

Вторым важнейшим для наг понятием является разложение Брюа Следующий результат был получен Кертисом [6) для случая разложения Брюа в ал1 ебраи ческой группе, однако он остается верным в случае про из вольной группы с ВМ-иарой

Предложение (1.20). Пусть т, и>\, ги2 — элементы группы Вейля IV, а и> = в^г-г . в] — приведённое разложение Тогда пересечение «Ди^В П В»2® непусто в том и только в том случае, когда существует последовательность (?/<) = и>1,щ,... ,111 = и;2), такая, что для любого г либо иг = б',и,_1, либо и, = и,-1 и длина ,%и, меньше длины иг.

Пусть / . Ш х IV —> IV некоторая функция Мы называем мелкой клеткой Брюа множество

р] и>[1В/(и1иш2)Ш1И21.

и' 1

Легко видеть, что непустые мелкие клетки Брюа являются атомами решетки, порожденной множествами вида га2)Ши>2 Имеет место

следующее необходимое условие'

Следствие (1 26). Если мелкая клетка Ву непуста, то / удовлетворяет неравенствам

/(адда-^з) > ■ш\/(и>2,У)з) /(гиь?и2и>з) > /(и)ию2)ги3 для любых ?/.•], и>2, и!3 € IV

Функции /, удовлетворяющие неравенствам следствия 1 26, мы называем формальными мелкими клетками Брюа. Иногда удобнее рассматривать формальную мелкую клетку Гаусса определённую формулой

где максимальный элемент группы W Если мелкая клетка Бу в группе GLn(k) непуста, мы говорим, что формальная мелкая клетка / реализуется над полем к

Во второй главе вводится понятие биматроида и показывается, что между биматроидами на множестве из п элементов и формальными мелкими клетками (Брюа) в полной линейной группе ранга п существует естественная биекция Этот результат является сильным обобщением аналогичного результата, полученного Боровиком, Гельфандом и Уайтом [5] для случая пересечений множеств вида г/)Ви/В

Биматроидом на множестве X называется пара семейств матроидов Хд и Хд на множестве X, где А - произвольне подмножество X, таких, что а) Хд (соответственно, Хд ) является геометрическим фактором X¿, (coo'ib , ХА,) (что означает, что любое множество, замкнутое в Хд, замкнуто в Хд,), если А' С А; б) А - базис Хд toi да и только тогда, когда В базис Хд Представлением биматроида называется пара отображений q+,q : X —> V в некоторое векторное пространство таких, что <1+{А) U (/-(В) является базисом V в том и чолько в том случае koiда А базис Xft

Далее, мы определяем правые и левые сдвиги бимагроида X при помощи элементов симметрической группы X В некотором смысле, левые сдвиги действуют только на матроидах Хд, а правые на матроидах X А Э'ю позволяет нам получить следующий результат

Теорема (2 13). Для любой стр\)кт\)ргл биматроида X на множестве [1, п] = {1,2, .., п) существует единственная формальная мелкая клетка ¡х в полной линейной группе ранга п, такая, что для любых w¡, w-¿ G W = Sn и l € [1, гг.] образ fx(wi, Ч - наибольшее множество, сдвиг которого при помощи wJ"1 является базисом матпроида nj

Здесь используется порядок Гейла на подмножествах Х\ см. [5]. Следствие (2 19). Соответствие ХнД является биекцией

Оказывается, однако, что сложная структура биматроида может быть упрощена ценой увеличения множества точек в два раза.

Теорема (2.20). Для любого биматроида X существует, и при том единственная, структура матроида на множестве Х± =1х {+1, —1} такая, что объединение А+ и — Ах {+1} и В х { — 1} является базисом Х± тогда и только тогда, когда А — базис Х^ При этом полояситель-ная (Х+) и отрицательная (X ) части Х± являются базисами лпого матпроида

Теорема (2 24). Для любой структуры матроида на множестве Х± такой, что Х+ и Х- являются ее базисами, существует единственный би-матроид на X, такой, что конструкция теоремы 2 20, примененная к нему, даёт исходный матроид на Х±.

Мы также переносим анажмию между формальными мелкими к утками, биматроидами и матроидами на представления:

Следствие (2 29). Биматроид X представим над полем к тогда и толь ко тогда, когда формальная иечкая клетка /х реализуете я над к

Теорема (2.30). Пара отображений из биматроида X в вектор-

ное пространство V является представлением X тогда и только тогда, когда отображение q±, определенное формулами

<у(а.+1) = q+(a) <?(«,-1) = я-(а) является представлением матроида Х±

Таким образом, проблема нспустоты мелких клеток сводится к проблеме представимости матроидов

В третьей главе, лежащей несколько в стороне от основной цели диссертации, мы приводим две конструкции биматроидов

Теорема (3 5). Пусть X некоторый матроид. а В базис X Тогда существует, и при том единственный, биматроид Х[В] на множестве X, такой, что подмножество А С X является базисом Х^, а равно и Х^, тогда и только тогда, когда множество

{А П В) и {А П С) и (В П С)

является базисом X

Соответствующие -"'положительные» и «отрицательные» матроиды мы обозначаем через и

Теорема (3 6). Биматроид Х[В] представим над полем к тогда и только тогда, когда матроид X представим над к

Эти две теоремы показывают, что проблема представимости биматро-идов, являющаяся, как показано выше, частным случаем проблемы представимости мачроидов, нисколько не проще последней; наоборот, решение одной из них с необходимостью влечет решение другой Как мы видели раньше, проблема представимости биматроидов также эквивалентна проблеме непустоты мелких клеток Поскольку, по существующим представлениям, трудно рассчитывать Fia решение проблемы представимости мат-роидов, получение какого-либо описания непустых мелких клеток также представляется маловероятным

Следующая теорема связывает полученные результаты с результатами Боровика, Гельфанда и Уайта

Теорема (3 19). Пусть (Xo,Xi, ,Х„) последовательность матрон дов на множестве X — [1, тг], такая, что ранг матроида X, равен п — г, н X, является геометрическим фактором Х3 при г > j Тогда существует единственный биматроид на X, такой, что множество А С X являет,ся независимым в тогда и только тогда, когда для любого г = 1,... выполняется неравенство

+ г < ikB(,i А +

При .7ГП0М X, =

Здесь использованы следующие обозначения' число элементов

множества А, £?'г' - г-й элемент множества В С [1, тг] по возрастанию, rk, А — ранг множества А в матроиде X,

Последовательность (Х0,..., Хл), удовлетворяющая условиям теоремы 3 19, называется флаговым магроидом Это понятие было введено Боровиком, Гельфандом и Уайтом [5| ими же определены представления флаговых матроидов. Подобно тому, как биматроиды соответствуют пересечениям множеств вида wiBwffiwj, флаговые матроиды соответствуют пересечениям множеств вида гиВги'В

Следствие (3 21). Предположим, что поле к достаточно велико Флаговый матроид на множестве [1,п] представим над к тогда и только тогда, когда соответствующий ему биматроид представим над к

Более того, внимательный анализ доказательства последнего следствия позволяет также доказать следующее

Следствие. Пусть к бесконечное поле, g • W —> W некоторое отображение (где W = Sn группа Пейля полной линейной группы ранга п), такое, что пересечение

Шч = Р) иГ'В^ш)®

weW

непусто Тогда существует мелкая клетка Б/, всюду плотная в Шч.

Пересечение называется мелкой клеткой Шуберта В четвёртой главе получены критерии реализуемости мелкой клетки Брюа над полями F2 и F3. а также критерий непустоты мелкой клетки Брюа над любым полем (включая, разумеется, поля F2 и F.j) В ->гой главе рассматриваются лишь формальные мелкие клетки Гаусса

Следствие (4 10). Пусть / формальная мелкая клетка / рсамиу< тся над полем F2 тогда и только тогда, когда не существует такт w 1, w2 С W и транспозиции s = (г, г + 1), что

f(u>i,Wi) = f(su>\,Wi) = f(yn,w2s) - f(swuw2s) = е.

Следствие (4.18). Пусть / - формальная мелкая клетка / реали-iyemiя над полем F3 тогда и только тогда, когда

1. Не существует таких w\,w2 £ W и транспотций s, г £ S, таких, что s иг не коммутируют друг с другом и либо равенство

f(uwuw2) = f(uwhw2s) = е,

либо равенство

f(wuw2u) — f{sw\,w2u) = е

выполняется для любого элемента и, принадлежащего подгруппе W, порождённой sur

2 Не существует таких W\,u>2 С W и транспозиций s,r,t £ S, таких, что г не коммутирует ни с s, ни с t, .s ф t, и либо уравнение

либо уравнение

где

f(v '«Л, W-2VU)) = ф(и>),

}{wu '«л,»2«) =

вЬ, если ю £ (г),

з, если ю £ (г, ¿) \ (г),

ф{ш) = < если ш £ (в, г) \ (г),

г, если и; £ {т)в1{г),

е, во всех остальных случаях,

к

выполняется для любыг элементов и> 6 (в, г, Ь), и £ {я, г), и V £

Здесь () означает подгруппу, порожденную некоторым множеством

Теорема (4 19). Пусть / формальная мелкая клетка. / реализуется над всеми полями тогда и только тогда, когда

1 Не сугцествуст такие «л,2 <г И7 и ,ч £ что

/(«Л, ил) = /(аил, Ш2) = /(«»1, »2«) = /(вил,ги2я) = е.

Не существует таьит ЮЬЮ2 6 IV « транспозиций £ тайн, что г не коммутирует ни с в, ни с t, з ф £, и либо уравнение

либо уравнение

f(v lw\,w2vw) = ф{ги),

f(wu 'ил,u>2w) = 0(ги),

где ф — такая же функция, как в следствии 1^.18, выполняется для любых элементов и> £ (в,г,4), и € (в,г), миё (л£)•

Доказательство этих результатов следует следующему плачу критерий представимости матроида над соответствующим полем (полями) переносится на язык биматроидов путём перебора различных вариантов распределения элементов соответствующего минора по положительной и отрицательной частям; затем этот критерий пересказывается на языке формальных мелких клеток При этом в доказательстве каждого из критериев оказывается, что все варианты могут быть сведены к двум из них (а в случае поля F2 — одному).

Эти результаты также показывают, что все «препятствия» к реализуемости некоторой формальной мелкой клетки лежат, в некотором смысле, в подгруппах небольшого ранга Последнее утверждение, по-видимому, эквивалентно знаменитой гипотезе Рота о конечности множества исключительных миноров для каждого конечного поля

Наконец, в приложении частично описана мелкая клетка Брюа, соответствующая некоторому биматроиду F4 Это описание используется в четвертой главе при изучении мелких клеток, соответствующих бнматро-идам, имеющим минор, изоморфный матроиду F7

Литература

[1) Борель, А Линейные Алгебраические Группы / А Бороль - М Мир 1972

|2| Бурваки, Н Группы и Алгебры Ли / Н Бурбаки М Мир. 1972

|3| Bixby, R Е. On Reid's characterization of the ternary matroids / R E Bixby// J. Combin Theory Ser В. - 1979. - Vol 26 - Pp 174 204

|4| Borovik, A V. WP-matroids and thin Schubert cells 011 Tits systems / A V. Borovik, I M. Gelfand // Adv. Math. - 1994. - Vol. 103 - Pp 162 179.

[5| Borovik, A V. Flag Matroids / A. V. Borovik, I M. Gelfand, N White -

Manchester Centre for Pure Mathematics, Preprint, 1997 - Vol 17. -24 pp

[6] Curtis, С W A further refinement of the Bruhat decomposition / С W Curtis // Pror. Amer. Math Soc 1988. Vol. 102. - Pp. 37-42.

[7] Deodhar, V. On some geometric aspects of Bruhat orderings. I. a finer decomposition of Bruhat cells / V. Deodhar // Invent. Math. 1985. Vol 79 Pp 499-511.

|8] Fomin. S Double Bruhat cells and total positivity / S Fomin, A. Zelevin-sky J Amer Math Soc. 1999 - Vol 12, no 2. Pp 335 380.

[9] Geelen, J F. The excluded minors for GF(4)-representable matroids / J F Geelen, АМН Gcrards, A. Kapoor // J Combin. Theory Ser. D. - 2000. Vol 79. - Pp 247-299

|l()| Lusztiq, G Coxetei orbits and eigenspaces of Frobenius / G Lusztig // Invent Math 197G Vol 38 Pp 101 159

[11] Хамфри, Д. Линейные Ajii ебраиче< кие Группы , Д Хамфри - М Наука, 1980.

|12| Seymour, Р D Matioid representation over GF-) / Р D Seymour // J Combm Theori/ Set D 1979 Vol 26 Pp 159 173

[13| Tuttc. W T A homotopy theorem foi matroids I, II / W T. Tutte // Tram Amer Math Soc 1958 Vol 88 Pp 144 174

|14| Varnos P The missing axiom of matroid theory is lost forever / P Vamos J London Math Soc. (2) - 1978 - Vol. 18 - Pp. 403-408.

Публикации по теме диссертации

[1] Вавилов, Н. А. Пересечение двух клеток Брюа / Н. А Вавилов, М. Ю. Митрофанов // Докл. РАН. - 2001 - Т. 377, № 1. - С. 1-4.

[2] Митрофанов, М Ю. Роль матроидов в описании мелких клеток Брюа / М. Ю. Митрофанов // Записки Научных Семинаров ПОМИ. — 2004 - Т 319, № 10 - С. 244-260

l££éJ

ШО

- 428 0

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Теория матроидов.

1.2 Клетки Брюа.

2 Биматроиды

2.1 Определение и основные свойства.

2.2 Биматроиды и мелкие клетки.

2.3 Удвоение биматроида.

3 Конструкции биматроидов

3.1 Вложение матроида в биматроид.

3.2 Флаговый матроид — предварительные замечания.

3.3 Флаговый матроид — вложение в биматроид.

4 Критерии представимости

4.1 Предварительные рассуждения.

4.2 Миноры U(ra,m).

4.3 Миноры F7 и F?

А Один важный биматроид

Одним из наиболее существенных фактов классической структурной теории алгебраических групп является разложение Брюа, открытое Гель-фандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Ше-валле и Титсом (см., например, [3, 15]). В последние годы появилось значительное количество работ, посвящённых, в той или иной мере, изучению связи между различными разложениями вида G = B1WB2 в одной группе G, где В\ и i?2 — борелевские подгруппы G, содержащие некоторый фиксированный максимальный тор Т. Рассмотрение разложений такого вида, с меняющимися В\ и Дг, оказывается полезным в разных областях математики, включал теорию представлений, геометрию, комбинаторику, а также, разумеется, саму структурную теорию.

Первые исследования в этой области были предприняты Люстигом и Деодхаром (см. [9, 14]), которые изучали пересечения клеток Брюа вида B~w\B П B1V2B, где В~ — борелевская подгруппа, противоположная В. В частности, в работе [9] был получен следующий результат: пересечение указанного вида непусто в том и только в том случае, когда W2 ^ w\ в порядке Брюа. Тем самым, уже в этом весьма частном случае была установлена важность порядка Брюа в данной области.

В дальнейшем Ч. Кертис (см. [8]) обобщил этот результат, получив точный критерий непустоты пересечения клеток вида BfwiBOBw2B. Этот критерий, фактически, оказался эквивалентным некоторому частному случаю условий предложения 1.23 ниже. В связи с этим М. Путча, Н.А. Вавилов и автор независимо сформулировали гипотезу, согласно которой условия предложения 1.23 являются как необходимыми, так и достаточными для того, чтобы пересечение клеток вида B'wb'B, где В' пробегает все борелевские подгруппы, содержащие фиксированный максимальный тор, было непусто (см. [18]). Как будет видно из дальнейшего, эти условия на самом деле не являются достаточными.

Следует также упомянуть работу С. Фомина и А. Зелевинского [10], изучавших пересечения вида B~W\B~ П Bw^B. В частности, в этой работе было показано, что такое пересечение всегда непусто.

Вопрос о непустоте пересечения двух клеток Брюа был полностью рассмотрен в работе Н.А. Вавилова и автора ([1]), получивших комбинаторный критерий, являющийся частным случаем приведённых ниже условий предложения 1.25. Этот результат побудил автора высказать гипотезу, аналогичную вышеприведённой, о достаточности условий предложения 1.25 в общем случае. Природа, однако, устроена, в Данном случае, несколько сложнее наших представлений о ней. По-видимому, получить комбинаторный критерий непустоты подобных пересечений хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем невозможно.

Перелом наступил в последнем десятилетии двадцатого века, когда А. Боровик опубликовал серию статей, с различными соавторами, связывающую пересечения «односторонних» клеток Брюа (т.е., клеток вида B'wB при фиксированном В) в группе GLn(fc) с теорией матроидов (см. [6, 7]). В частности, непустота пересечения таких клеток оказалась эквивалентной существованию согласованных представлений некоторой последовательности матроидов (см. теорему 1.32). Используя эти результаты, автору удалось аналогичным образом связать пересечения произвольных клеток Брюа с более сложной комбинаторной структурой — биматроидом1.

Одновременно, удалось показать, что биматроиды являются, на самом деле, лишь частным случаем матроидов (теоремы 2.20 и 2.24). В частности, непустота пересечения оказывается эквивалентной существованию представления соответствующего матроида, что, в сочетании с результатами Татта, Биксби и Сеймура ([22, 5, 20]) позволяет построить комбинаторные критерии непустоты пересечения клеток Брюа в группе GLn(fc), где в качестве поля к выступают поля F2, F3, а также любое из существующих полей (следствия 4.10, 4.12 и теорема 4.19).

Особый интерес также представляет изучение взаимного расположения подобных пересечений, в частности, описание их замыканий. В этом направлении получен результат (следствие 3.22), согласно которому в пересечении односторонних клеток Брюа обязательно содержится открытое плотное подмножество, являющееся пересечением двусторонних клеток.

Везде в дальнейшем символом Ф обозначается число элементов конечного множества (напр. фА — число элементов множества А). Через [n, т] мы будем обозначать множество {г € Z | п ^ г ^ т} — отрезок в множестве Z.

1 Введённое автором попятие биматроида не совпадает с понятием биматроида в смысле [13]. Однако, последнее носит также более удачное название «связывающей системы» ([19]), поэтому термин «биматроид» можно считать незанятым.

1. Вавилов, Н. А. Пересечение двух клеток Брюа / Н. А. Вавилов, М. Ю. Митрофанов // Докл. РАН.- 2001.- Т. 377, № 1.- С. 1-4.

2. Айгнер, М. Комбинаторная Теория / М. Айгнер. — М. Мир, 1982.

3. Борелъ, А. Линейные Алгебраические Группы / А. Борель. — М. Мир, 1972.

4. Бурбаки, Н. Группы и Алгебры Ли / Н. Бурбаки. — М. Мир, 1972.

5. Bixby, R. Е. On Reid's characterization of the ternary matroids / R. E. Bix-by // J. Combin. Theory Ser. B. 1979. - Vol. 26. - Pp. 174-204.

6. Borovik, A. V. WP-matroids and thin Schubert cells on Tits systems / A. V. Borovik, I. M. Gelfand // Adv. Math. 1994. - Vol. 103. - Pp. 162179.

7. Borovik, A. V. Flag Matroids / A. V. Borovik, I. M. Gelfand, N. White. -Manchester Centre for Pure Mathematics, Preprint, 1997.— Vol. 17.— 24 pp.

8. Curtis, C. W. A further refinement of the Bruhat decomposition / C. W. Curtis j j Proc. Amer. Math. Soc. 1988. - Vol. 102. - Pp. 37-42.

9. Deodhar, V. On some geometric aspects of Bruhat orderings. I. a finerdecomposition of Bruhat cells / V. Deodhar j j Invent Math. — 1985. — Vol. 79.-Pp. 499-511.

10. Fomin, S. Double Bruhat cells and total positivity / S. Fomin, A. Zelevin-sky // J. Amer. Math. Soc. 1999. - Vol. 12, no. 2.- Pp. 335-380.

11. Geelen, J. F. The excluded minors for GF(4)-representable matroids / J. F. Geelen, A. M. H. Gerards, A. Kapoor // J. Combin. Theory Ser. B. 2000. - Vol. 79. - Pp. 247-299.

12. Gelfand, I. M. Combinatorial geometries and torus strata on homogeneous compact manifolds / I. M. Gelfand, V. V. Serganova // Russian Math. Surveys. 1987. - Vol. 42. - Pp. 133-168.

13. Kung, J. P. S. Bimatroids and invariants / J. P. S. Kung j j Adv. Math. — 1978. Vol. 30. - Pp. 238-249.

14. Lusztig, G. Coxeter orbits and eigenspaces of Frobenius / G. Lusztig // Invent. Math. 1976. - Vol. 38. - Pp. 101-159.

15. Хамфри, Д. Линейные Алгебраические Группы / Д. Хамфри.— М. Наука, 1980.

16. Oxley, J. G. Matroid Theory / J. G. Oxley. — Oxford: Oxford University Press, 1992.

17. Oxley, J. G. What is a Matroid? / J. G. Oxley. — Department of Mathematics, Louisiana State University, Preprint, 2004.

18. Putcha, M. Fine Bruhat Decomposition of a Reductive Group /M. Putcha. — Department of Mathematics, North Carolina State University, Preprint, 2000.

19. Schrijver, L. Linking systems, matroids and bipartite graphs // Proceedings of Fifth British Combinatorial Conference (Univ. Aberdeen, Aberdeen, 1975).— Vol. 15 of Congressus Numerantiurn. — Winnipeg, Man: Utilitas Math., 1976.-Pp. 541-544.

20. Seymour, P. D. Matroid representation over GF3 / P. D. Seymour / / J. Combin. Theory Ser. B. 1979. - Vol. 26. - Pp. 159-173.

21. Theory of Matroids / Ed. by N. White. — Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

22. Tutte, W. T. A homotopy theorem for matroids: I, II / W. T. Tutte // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. - Vol. 88. - Pp. 144-174.

23. Vamos, P. The missing axiom of matroid theory is lost forever / P. Va-mos // J. London Math. Soc. (2). 1978. - Vol. 18.- Pp. 403-408.Публикации по теме диссертации

24. Митрофанов, M. Ю. Пересечение двух клеток Брюа / Н. А. Вавилов, М. Ю. Митрофанов // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 1. - С. 1-4.

25. Митрофанов, М. Ю. Роль матроидов в описании мелких клеток Брюа / М. Ю. Митрофанов // Записки Научных Семинаров ПОМИ. — 2004. — Т. 319, № 10.-С. 244-260.