Разностные схемы на адаптивно-временных сетках для краевых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

институт, математического.моделирования»

воссийской; академии, наук

На правах рукописи [ П Д МАТУС ПЕТР ПАВЛОВИЧ I

- Ь 1../.Р '.3 УДК 519.63

разностные схемы на адаптивно-цр1еменных сетках для краевых задач математической физики.

01.01.07 - вычислительная математика

Автор е ф,,е р а т диссертаццм,па соискание ученой степени доктора,ф^тко-матемапщчесхих наук

МОСКВА — 1995

Работа 'выполнена в Институте матейа*Ий1 Академии наук Беларуси

Официальйые оппоненты: доктор'фимко-Матсматичсских наук, профессор 'В^М'.ГоЛОвизлин, доктор '<фиЛико-'Мопил<атпичсских наук, профессор 'А!В.Лтин, доктор физика-М<1ШМати\сских наук, профессор В.Л.'Шкаров

Ведущая организация - Институт прикладной 'МагПсМатики им. М.В.Келдыша 'Российской А'Й

Защита состоится "_"_ 1995 г. в__^мин.

на заседании специализированного совета Д'003191:01 йо защите диссертаций на соискание ученой степени Доктора физико-математических наук в Института математического моделирования Российской Академии наук по адресу: Москва, Миусскал пл., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ 'РАЙ.

Автореферат разослан "НУ" 199 5"г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук В.В.Змитрснко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из актуальных задач современной шчислительной математики является разработка экономичных алгоритмов . позволяющих реально уменьшить время расчетов на ЭВМ. В юследнее время решение этой проблемы связывают не только о улу-шгением разностной аппроксимации дифференциальной задачи я усо-»ершенствованием методов решения сеточлых уравнений, но и с правильным выбором расчетной сетки. В связи с этим к вычислительным >лгоритмаы наряду с традиционными требованиями однородности, еонсервативности предъявляют также и требование адаптивности. * Разработка методов построения адаптивных сеток находится .в :тадии интенсивного развития. Вследствие этого как принципы пос-■роения адаптивных сеток, так н сама терминология в настоящее >ремя не являются до конца установившимися. Общим п неоспоримым греимущяством использования адаптивных (подстраивающихся к особенностям рассчитываемых решений) сеток является существенное tjсличение точности метода при минимальном количестве узлов сет-

31.

В настоящее время могут быть выделены два основных направ-Г0Ш1Я развития метода адаптивных сеток: метод локального уточне-сия прямоугольных сеток в областях иррегулярностей решения и ме-од подвижных соток. Теоретические и практические проблемы при-¡онения адаптивных сеток при численном решении задач математиче-кой физики обсуадаются в монографиях A.A.Самарского, П.Н.Ваби-евича, С.К.Годунова, Г.И.Марчука, В.В.Иайдурова, Е.В.Ворожцова Н.Н.Яненко, а также в работах Н.В.Арделяна, В. М -Головизнина, .А.Дарьина, Л.М.Дегтярева, Р.Д.Лазарева, В.И.Махукина, M.Berger многих других авторов. »•

При математическом моделировании эволюционных задач-с осо-внпостями важную роль играет временной шаг. При i зпользоиашш ычислите ;ьных методов адаптивного типа в нестационарных зада-ах, когда в отдельных подобластях используются свои времепнне етки, основные проблемы возникают при постановка краевых усло-

вий ев внутренних границах. Использующиеся не практике прием вксгропсшяции с нижгппг слоев, либо интерполяции с грубой сетю приводят к ограничениям на шаги сетки (условная устойчивость ил сходимость).

При исследовании вопросов устойчивости вычислительных методов с использованием адаптивных сеток» как праьяло, нарушаете! свойство одиоре юности схемы и получение априорных оценок в каждом конкретном случае сопряжено с большими техническими трудностями. При анализе аналогичных проблем для разностных схем (p.c.! на адаптивно-времевных сетках было установлено, что даже в линейном случае к этим методам непосредственно неприменима обща! теория. Это обусловлено тем, что г.апные методы относятся к схемам с переменными весами. К втим классам вычислительных алгоритмов относятся и другие часто применяемые гибридные p.c. (явьо-неявные схемы, шахматная схема, методы вложенных сеток и др.). I связи с втим в настоящее время несомненный интерес представляю! работы по развитию общей теории устойчивости на случай схем < непостоянными весами. Классическими в втом смысле являются работы А.Л.Самарского и Л.В.Гулиьа.

Центральным вопросом теории p.c. является вопрос о сходимости. Использование адаптивных сеток связало с численным решение» нестационарных задач, имеющих весьма ограниченпуи гладкость исходного решения. Что касается обоснования сходимости p.c., аппроксимирующих нестационарные задачи с негладкими решениями, тс атит вопрос даже в линейном случае изучен недостаточно. При получении априорных оценок точности для p.c. на адаптивных сетка] дополнительные проблемы связаны с разрывностью весовой функции, а для нелинейных задач — с величием нелинейностей неограниченного роста. В связи с втим актуальной является проблема исследования безусловной сходимости решений p.c. для линейных и нелинейных нестационарных уравнение математической физики в равномерно! метрике при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.

P.c. должна отражать основные свойства непрерывной среды.

Поэтому естественно требовать, чтобы в схема прежде всего выполнялись разпостпые аналоги основных законов сохранения (консервативные p.c.)- При конструировании вычислительных методов на адаптивных сетках свойство консервативности моает нарушаться. К сожалению, этот вопрос практически но обсуждается в литературе.

Целью работы является построение теории p.c. на адаптивно-времепдых сетках для краевых задач математической физики.

Оспорнцо результаты работы:

1. Для нестационартю: краевых ваОан лапе^аг^инескоЛ фиата* преОлохсн Ttoö построения p.c. на OwianjHeciatx локально сгуцачэ-сдося сектах по бреленной nepejzeimoü, у0овлепворякп:,г1х слеОующил требовазшял: однородность, кснсервсгпиСностъ, зконоличноапъ, безусловная. усггоОчивосяь и схобилосгъ. Получегм ппрлорппо оценки и сильных нормах как для лтгаойлггг, ток и длл яолинеЕшп: иостоцио ■ парше задач матоматнчосгссЛ флзшгщ. Построены н исследованы итез-рациожшо метода реализации нелинейных разностных схем на адап-тшшо-времоттшгх сотках. Предложены простые критерии оитсмат^чос-кого способа построения областей адаптации. не иснользугс^зе an рнорпую гшформацгяо о приближением реяетга-

2. Для бвухслойних и трехслойных р.о. с оперегкорно-Сесовы-хж ¿Hoziczss.nsu получет* Оосгхгг.очние условия усгюйчивосгям по на-чеиъныл банник и правой части. Исследования проведены в предположении, что восоа.э операторы по обладают свойствами ко»,!мутиру~ ем(. jth и лишпщ-непрерывяоети по переменной t.

3. Предложен Звухэтапний. энергетичестсй летод исследования безусловной cxoöLuzomxu разностных схея в С-порле. С помощью данного метода в сочетании с ^-методом В.Н.Лбрашияа для достаточно широкого класса нелинейных задач математической физики с нели пейпостяыя неограниченного роста подучены новые оценки точности разностны' схем (без соотношений на шаги сетки) при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.

4. Для оОнолерных и лноголерных уравнений гаэобой Оинамшси в перехенмых Лагранха построены и исследованы полностью консервативные p.c., Оля которых выполнены не только разностные анс ю-ей основных законов сохранения (массы, импульса, балансов от-Оальных виОов знергий, полной энергии), но и закон сохранения энтропии.

Научная новизна. Все результаты, сформулированные в виде математических утверждений, численных методов, являются новыми.

ГТрактическое значение. Полученные в роботе результаты могут быть применены при построешш и исследовании эффективных вычислительных методов для численного решения нестационарных задач математической физики с пегладкими решениями.

Апробация работы. Диссортвция доложена на научных семинарах ИЩ.1 РАН, ИМ АН Беларуси. Основные результаты докладавались также на международных конференциях: "Математическое моделирование и прикладная математика" ( Москва-Вильнюс. 1990), "Вторая международная конференция по численному анализу" (Шювдав, 1993); на всесоюзных коцфоренциях и школах молодых ученых: "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск,1934)» "Актуальные проблемы вичислительпоЯ п прикладной математики" (Новосибирск, 1987), "Математическое моделирование з естествознании и технологии" (Владивосток, 1989) и др.; а также па семинарах в И ГШ им. М-В.Колдывга VAU, Ш АН Болгарии, (ЛГУ. Институте математики и кибернетики АН Литвы, Киевском государственном университете.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, че-тнрех глав, списка литературы из 353 наименований.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 29 работах. Работы в соавторстве выполнены при паритетном участии каждого из исполнитол¿й.

с

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении речь идет об актуальности проблематики, перечисляется имеющаяся литература по тоно л кратко характеризуется содержание диссертацш.

В первой главе для достаточно широкого класса оволюциошшх задач математической физики предлагается новый способ построения безусловно устойчивых экономичных неявных (ц тем число и консервативных) p.c. на адаптивных сетках по вромо]пой переменной. Основные проблемы, которые здесь возпикают, обусловлены отсутствием краевых условий на внутренних границах подобластей. Использующиеся на практике прием экстраполяции или интерполяции сеточного решения для получения втжх условий в смысле устойчивости дают ограничения на шаги сетки г и h. Новизна предлагаемых методов и заключается в том, что сохраняется неявпость вычислительного алгоритма и удовлетворяется требование безусловной устойчивости н сходимости. Последнее возможго лголь при строгом пахоздэнии краевых условий на внутренних границах подобластей. В связи с этим и возникает проблема их нахождения таким 067 азом, чтобы, с одной стороны, не вычислять решение вне зон адаптации па мелких времен-пых ыагах, а с другой - показать, что предлагаемые методы безусловно устойчивы.

Эта задача, на наш взгляд, имев'" очень простое;конструктивное решение. Для этого вне зон адаптации необходимо специальным

образом аппроксимировать временную производную при tit s _. j j'р

s t

ы' a=1TP

au uj*ct/p - uj ,..

M ' -arTp--. m

и применить метод встречных прогояок.

Отметим, что возможность использования впутри расчетных иб лэстей различных временных магов по неременной t позволяет вущч-стиепно (в одномерном случае до 50Й) сократить объем нообхс вшислопи^ при математическом моделировании пестационаргттпс иъднч с подвижными и локализовалитп«се особенностями. В нелшгоЯпнх

чах (см. §9) выигрыш мохет быть еще ¿алое значительным, 'е*к. лнч

*4 1

зон адаптации не вычисляются п значения итераций у '*"'', В теоретическом пллне предлагаем,не метода отлаиатс!« к

с.у p.c. с перомегашми (п, к тому же, разрывными) весами, для которых иеприм'.'пима общая теория p.c. В свпзи с этим в даппой главе развивается теория устойчивости и сходимости p.c. с непостоянными весами для конкретных уравнений.

г/г п и пост i > предлагаемых методов демонстрируется прямыми расчетами модельных зодач (511). При этом большчх) внимание уделялось автоматическому способу нахождения областей норсгулпрнос-той решопия.

Идея предлагаемого подхода к построению п реализации Соо.ус-ловпо устойчивых p.c. но временных адоптивных .сотках подробпо иллюстрируется в §.1 на нриморо числоииого решения первой краевой опдочн для одпогиорного линейного уравнения теплопроводности с неромшшнмк коэффициентами. Например, в случае постоянных кооф-фициентов p.c. на аденгипно-.времегшой сетке имеет вид , J

- У

- У - f р . I <« > X * ( « >

(х,t)еы^, у

■ )

У(х.,t

j ♦ « / Р

(?)

«.V )

< о )

icr )

(-,t)eui, у с =

■■о у ( ( 1-сг

с < а ) с

)у

< а-1 ) *

Т =т/р -о

о ^ - область гладкости решопия, и.' - зона адаптации, шаг и области нерегулярности рошошш, о =const>0.

с

Исследование устойчивости п сходимости дчясо в атом простейшем случае оказалось не совсем тривиальной проблемой. Отмотим, что применение принципа максимума при а /1 дает ограничения но

с

шаги сетки типа t-hz. Попытаемся применить общую теорию оперо-торно-разнЬстных схем А.А.Самарского. Используя доказанную в §1 лемму об алгебраической эквивалентности p.c., схему (2) можно пописать в операторном видо

(о )

Ву- 4 Ау, р

t , Cl ( а - 1 )

(x.t)eo

(3)

где

I , а

ус«> y(«-t>

лу

а. щи (x,t)cu

-у-

| о при Iх,t)eui,

с ?,

Для того, чтобн воспользоваться общей теорией p.c., необходимо

«. к-h >0,

D-B+ч R,

о

о -

проверить принадлежность схемы (3) исходному семейству. В частности, необходимо показать, что В>0. Однако, хотя каждый из операторов Е в Л является положительпым и сомосопрякошшм, тем но малое опи поперестаповочпи. Поэтому плчого польз« сказать о знакоопределенности оператора R. Условие В>0 выполняется (опять зхо) лишь при соотношениях па шаги сетки.

В данном параграфе при о г0,5 получепы достаточные условия

о

безусловной устойчивости предлагаемых методов но начальным данным и правой части вида

max II Ay It s c(IIAu II + НИ,). Лу-(ау-) , (5)

• ieu 01 * ^ ^ г

llpll, = max IIipII + max Up- II.

' teü Чей 1

r r

, о

Приведенные в данном параграфе результаты можно трактовать и как развитие принципа регуляризации p.c. А.А.Самарского, где оператор R является не только ответственным за устойчивость, аппроксимацию и экономичность алгоритма, по и позволяет строить вычислительные метода па динамических локально-сгущающихся соткау.

Во втором параграфе исследуются вопроси погрешности аппроксимации и точпости построенных в §1 p.c. Отметим, что хотя схема и безусловно устойчива по начальным данный и правой части, однако в ворме II-II j пот аппроксимации.. Тем но менее удалось доказать,

что при соответствующих предположениях па вес а и достаточно ма~ > *

лом г <т

о о

max Hy(t)-u(t)tl_ - ' s c(h2 t-т )-teü C((V 0

г

Полученные результаты обобщаются и па случай произвольной неравномерной сетки по пространственной переменной.

В §3 аналогичные вопросы рассматриваются и для линейного одномерного гиперСоличоского уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Ситуация здесь как в смысле построения схем, так и получения соответствукжщх априорных оценок несколько усложняется. Это объясняется тем фрктом, что для аппроксимации второй произвотщой по переменкой t требуется уже три слоя. Как и для параболического уравнения, в областях нерегулярности рететтяя используется обычная схома с постс?яшшми весами, з е области

гладкости используется следующая аппроксимация .Y - ( а + 1) у +чу

il^Li--___ii>-= о = 0.5«(а-1). Г)

- т2 <«♦!>

пН II i

<'i'ima (в) позволяет строго находить граничные условия па внутренних границах и при этом но вычислять значения сьточггой функции

у на дробпых лоях в области о*. С помощью доказанной в отом i <* ) 1

леммы об алгебраической вквивалептности р.с. рассматриваемые схемы приводятся к виду

С cr , а )

У- = (Л У+f) , (x,t)£U хц> ,

t L , а Ь т

г.де> у. - 2у 1 у ) /, а зависящие от узла сотки

It,« (а »1 ) ( а > i а - 1 ) О

1Ю[>г:И(;ппно веса a (x,t), ст (x,t) являются разрывными фупкция-iu г я.

ми. При оотоотчончнх предположениях получены слодукщио оцешат скорости безусловной сходимости р.с. на адаптивно-временных сотках

max (Ия--JI 4 Ив- II) s tt(hK-»/r), max Hall- - s r.(h=4-/r).

..Т. X I * К - О ( (i) )

i>i и teu h

b S4 лолучшшыо pariea результаты обобщаются пр двумерные уравнения теплопроводности. Для неявных p.c. с носами рассмотрена ijOöMosuiocTb uj лмошжня как метода встречной матричпой прогон-ich . так и а - ß -кторационного алгоритма В.Н. Чотворушкшш. Привадой., nptv.opn и экономичных p.c. на адаптивных сетках по временно*; иорчмегшо?: к'ътод пиромошшх направлений и локально-одномерная схема (ЛОС). Указывается, что недостатком прямого метода мптрьчной прогонки является большей оо'ъем вычислительной работы. Цолооообраапость же использования а-р-лторацаонного алгоритма обусловлена ьозможностьго ого прпмепепия и для посамосопрякенных пягшостяых задач.

Приводом пример ¡»копош'.чноЯ p.c. па адэнтмшю-проыоппой с« т-пестр: юаноД но оспово применения принципа суммарной апнрокси-\пцкч Л.Л . Счма^ск.ого, для двумерного параболического уравнения

j i + ч v 1 / ^

•s' J . . ..Г»"/я У - У____. Л „j*«+l

" "TäTi П--------- • v *---tstiyt------ 2

(x.t)eu o--0.p-1.

ht 2

----Ajy . ----2

(x.t)eo^, «0,p-1.

С помощью данпой схемы, аппроксимирующей исходную задачу на ж..;и мелкой сетко с шагем т, решение d области гладкости ынхо-

дится лишь па крупной сотке t , t ..... an области особоп-

Jtp J*2p

пости решения wJ — при всех t=t , ос=0,р. При ¡этом строго нахо-

^ J + а

дятся граничные условия на внутренних границах подобластей, и схема является как безусловно устойчивой, так и сходящейся в •мотрико С при произпельпых соотношениях па шаги сетка г и h (h -= .reaxih ,h2>).

посвящен исследованию устойчивости и сходимости численных методов па адаптивных сетках для многомерных параболических уравнений произвольной размерпосал. Для пеявных схем с перемяппыми весами методом энергетических неравенств получены априорныо оценил устойчивости видя (5) и доказана ах безусловная сходимость в норме ¡¡tllzll® t г о [[ Ли tl я J-1 ' 2 со скоростью O(|h|z+ro). Аналогичная одеггка точности на оспоно общего принципа максимума получена и для ЛОС па адантивно-оременпой сетко. Проведен сравнительный ана лиэ количоства арифметических операыр й.

Построенные в §1 безусловно устойчивые p.c. из адпптинно-св,рвменных сотках обеспечивали выполнение сеточных аналогов законов сохранения в каждой расчетной области. Однако для всей сетки узлов свойство консервативности паругпалось. В ?6 для линойзо-пю параболического уравнения строятся и исследуются консерватив-шав ip.с. на адаптивных сетках составного тина

(в ) Со )

Уг = ((ау-) " ) + f " , (x.t)eu ,

t , и Ж Ж hr

irwe переменный вас с^ охгределяется по формуле вида (J). На ос по •вении общьЛ теории устойчивости p.c. A.A.Самарского Быпишем одну из возможных оценок устойчивости в негативной норме по правой че сти

«Ус-,1* * M"*O»A(O,J «"о11 + >" +

« - 1 А ( О > А

+ Y Yv^'^ï П +"¿^0» (А-1^) J lib (7)

J ' -О к » 1 k»0 j,к

Погрешность аппроксимации консервативно« схемы представляете*- в виде

V = 0(bz*xzJ + г) » т) = t (о -0,5)u- - = 0(т ).

0 к 0 oí 0

Так как в точках стикопки сеточнпх областей с различными вреыоп-нчми шагамм с< =0(ii~'), то как локальная аппроксимация в этих

и к

точках, таг: и суммарная в сототггой порно Lz носят лишь условный характер. Казалось, топорь можно воспользоваться оценкой 'стой-чивости в негативной нормо по правоЯ части (7), том более, что i)-0(г). Но оценка (7) требуот дифференцирования по t соточпой

О с*

функции (А~ р), т.о. и падем случьчз вместо rj п оценках аппроксимации в негативной норме будет стоять г/- , но опять ко

t ,п

'!- -0(1), так как в области'гладкости и- =1/г . Следовательно, i , « t, « о

дахо в ногптивпоЙ порно по правей мост!, i ют аппроксимации, к в связи с ьтим неясен вопрос о сходимости. Коночно, можно было бы воспользоваться более слабоД априорной оценкой по правой части в негативной норме, но тробукщеЧ дифференцирования но t. Однако в атом случае оценка скорости сходимости могла бы быть получена лишь в норме L , а в метрике С (которая крайно необходима при исследовании нелинейных задач с ыеограпичонной нелинейностью) она б.удот лииь уловная, тем более, что ми пока рассматриваем гладкие решения. Ценой определенных усилий удалось все-таки покарать, тто

пах »zllrrit á c(h2+/r), te« G(V 0

X

9

которая была доказана без соотношений на шаги сотки.

В данном параграфе также указывается, что скорость сход'лмсс -

ти консервативных методов на адаптивных сотках можно повысить,

сглаживая взеопую функцию а (х,t). Приводятся обобщения и па мпо--

(t

гомерпые задачи.

В §7 полученные в шестом параграфе результаты для уравпепия теплопроводности ч случае первой краевой задачи и достаточной гладкости искомого решения обобщаются па уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. При построении адаптивной

сетки используется уже произвольная неравномерная сетка ь>( . Отдельно рассмотрен случай третьей краевой задачи. Во всех случаях для копсорпптявннх p.c. цолучоны безуслоштыо оцошси скорости сходимости в равномерной мотрике с порядком 00i2f/r^). h--max 1] ( .

В §8 строятся р.с.на пдаптиппо-временянх сетках для волнового уравнения, которые сохраняют свойство консервативности ча всоИ сотке и . Доказывается безусловная сходимость схемы п полунорме

ti TT

W^ также со скоростью 0(h2+/T^).

59 .нссвящон iiocTpooiffiio и исслодовашш двух классов p.c. па адаптивных сетках для квазилинейных параболических уравнений с неограниченной нелинейностью, т.е. когда опроделопиыо свойства, накладываемые! на копффицпенты уравнений, зависящие от искомого решения, выполняются лишь в области значопий точного {ишонгин либо ее малой окрестности. Для педивергептных p.c. с весами доказывается безусловная сходимость в равномерной метрике со скоростью О(h' > г ). В случае консорвв! явных схем получены оцошси точности без соотношений на шаги сотки в с порядком 0(]i2+io), а в

С-нормо - с порядком 0(h3/2fT^'2). В отли'-.ie от линейных урчвно-1ШЙ, здесь возникает ряд дополнительных проблем, связанных как с 1«энотруироьаниом итерационных методов, так и с построением теории p.c. в случае нелинейности неограниченного роста. При этом существенно используются результаты, полу .отпше в третьей главе'.

В 510 рассматриваются вычислительные методы на составных сетках для гиперболических систем первого порядка. Для систем ураппоний акустики и вязкого баротроппого газа в переменных Лаг-ранжа

дп 0v 9v да Зп ч ,,,,

ТГГ = 1)1Г' -гг — тй-' q = u = -Vp-ÖT' р = (в>

предлагаются два класса безусловно устой', ивых p.c. (недивзргонт-ных и консервативных) на составных сетках." Получены оценки точности как в линейном, так и нелинейном случаях. Наприг/ р, для на-дивергевтгых p.c., аппроксимирующих систему (8), при естественных ограничениях па функцию ?(г|) (У (rj)>0 лишь в области значений точного решения D ) для погреише сти метода <5v=v -v, brj-Tj -rj ri К h

при достаточна малых h<h , г <т* имеет место следующая оцопка

точности (без соотношений на шаги г и Ь)

max fl[6v II2 + (S"(ñ). 6ñ_2]l s c(h2+/P)2.

t£Ü * o 1

x

Эффективность предложенных методов иллюстрируется прямыми расчетами модельных задач в 511. Отметим, что при применении вычислительных методов на практике возникает проблома выбора параметра, управляющего поремещепием узлов сетки и построенном соот-botctbj эщой области ядаптация. 11а ее нахождение, естоствошто, потребуется дополнительное» машшшоо время. Кромо того, точт j решений задачи неизвестно. Поитому мотод построения адаптивной сотки, с одной стороны, нежелательно привязывать к какому-то конкретному тину особенности, инпчо теряется его такое важное свойство, как одпородпость (универсальность), о с другой - должен бкть настолько прост, чтобы в совокупности с адаптивным методом получить при-блииониоо роаотшо с яадаггаоЛ точностью с меньшими затратами машинного вромопя, чом по обычно используомым алгоритмом. Для поли-пойпнх задач разумно использовать критерий автоматического сгущо--пня адаптивной сотки, ор/илтиосвйшшй па вадаппоо число итераций. Дойстиитольно, п известных монографиях Л.Л.Самарского проводится качественный шгалио беоиторшргогашх и итерационных методов pamema полпчпйшга задач, причем доказывается преимущество использования аослодтж- Там .ко рекомендуется долить пополам временной mav в случае большого числа итераций (4+6). Такой выбор временного шага лодот к обцой окотюмшт чпела арифметических действий. Но хзодь остри самим oí? с укг.опл простой способ (шгомотичоского пос""-|.ООПИЯ ЬДОНТГОШОЙ сотки по времэнпой по,романной. Во, число ито-р.-щъй рели ко лугли в обллетя порагулярпоотк регаошш и только там нужен болео молкпй иаг по врсы<ши. И к тому жо «тот критерий ло опиаптироипп ш кешкратную особенность. Дагашй мол'од построения ядянтлгиой сотки попользовался при мздолпровошш иаиостной задачи о pacuvpoarpmiOHvcT топтового фронта. При расчетах задач горели« с у,этом концентрация ис-'.цгетва (1л»-0, Ъв-1, Le - число Лыоаса) при мгчщчои еллышк. источников (правая пасть систем уравнений) ч^фок-тайным у^цзплея к способ «ртсмотичеекого поиска области адапта-о:л«в;чть'й в« дгпделкмтп дягп'очпльиото прйоблгг.инпа 'окстсмн трохт^одалх алг-з<1р!>ичос.ки1С урлыюннй а коэффш. олтамп

I л

С =А1+В +1-xf (у). Условие устойчивости метода прогонки С](В( нарушается лишь в зопе горения вещества при крупном шаге г, когда

1-rf (y)sO. При моделировании задач газовой динамики с ударными волнами использовалась логика, которая применяется при обич1шх схемах сквозного счета. А именно, вязкость в схоме (чтобы не испортить точность порядка 0(h?')) предназпачопа работать лишь в зоне ударной волны. Поэтому в вычислительной практике в качестве автоматического "включения" действия вязкост1 используют условие

отрицательности проязводпой от скорости v <0. Но водь отим самим

h ■

и находится (автоматически) область применения адаптивной сетки

у

по лремопи, гдо расчет должен нестись з пределах х-г^. (где т опроделяотся из извостпого критерия устойчивости Куранта xk=li/c, с - скорость звука).

Во второй главе развивается теория устойчивости олераторпо-рпопостных схем Л.А.Самарского на случай cxor.i с опораторпо весовыми млохитолями. Получены дсстаточныэ условия устойчивости по нпчпльнш дашшм и правой части. Праподопн прш.'.оры ■ кот'.ротныч 01см для уравнения теплопроводности п ураг.нонил колебания 'тж в одтюморисм, так и в многсморном случяо.

В S1 для эволюционного урашюпяя первого порядка

iju.-). ли - 1?, 0 < t i 'J, u'0) u (9)

с. линойяым копо'гао-рззясстпи'м оператором A(t)>0 стопится и соот нотстпио разностная задача

yt+ Ау(s 1 - ?>, у(0) - и0, у(С)- Еу + (Е-Пу, где КС t)>0 - линейный оператор, нспвростаноиочпый с Л. При A(t).> >0, E(t)i.0,5E получена следующая априорная сцепка устойчивости по начальным данным и правой части

п-1

ПУ ,1! г Иу.Н +• II (Л"11?) II *■ iä СЛ~1 <р) II ■(• У г-.1(Л-'„) II. (10)

п ♦ 1 О О п t , к

к •()

В случае самосопряженного оператора оцошса (10) имоег место при менее жоских ограничениях E(t)ia Е, aQ=0,5~1/("ЛА11).

В §§2-3 для аппроксимации задачи (9) используется следующий класс p.c.

+ (Ау)tE) = «>, ■ y(0)=uQ.

т.о. взвешивается' на решение у, а АуПри постоянном сч.ормтст»■

А>0 и выполнении неравенства £(t)*0,5E доказана следующая оценка устойчивости по начальным даннным и правой части

п-1

ИАу i * (Ay II + 8<p U+Ilip U + £ тИф, J. (11)

l> ♦ 1 О О n . M_ 1 . k

k«0

При дополнительном условии самосопряженности оператора А оценка (11) имеет место при £(t)i<70E. При и<5следовании скорости сходимости p.c. с переменными весами, для которых !C=rtIag{oi,...},. a(x,t) - разрывная 'функция по t, приведенными оценками нельзя воспользоваться, так как даже на гладких решениях II vt II =0(1) (см. гл. I). Поэтому докг..девается оценка устойчивости по правой 4асти в более слабой норме L?.

Теореме 2.2. Пусть а p.c. (19) А=А*>0 - постоянный оператор и Kit) - самосопряженный оператор, удовлетворяющий одному из неравенств

0,5 (1fe)E £ E(t) iE. Bs П(t) i 0,5(3-e)B, 0<ei1.

Тогда для разностного решения имеет мосто оценка

*»Уо»1+ г I тВ«\,а» -к >0

Аналогичная оценка получена и когда А>0, Ег0,5Е - самосопряженные постоянные операторы. В §3 исследуется случай переменного

оператора А в схеме (19). При A(t)a6E, ll(A(t+r)-A(t))ull£Tc!IAull, «j

K(t)s0,5E, р~<р доказано следующее неравенство

ИАпИУпМ'| & ^"^а11 + Ыг( тах й + "'t к"*'

askin-n osksi. '

В i)4 рассматриваются двухслойные операторно-роэностные схемы специального вида (дивергентные или консервативные)

yt + (p-iSTy)11' - v, У(0)=уо,

где E(t), S(t), Т, Т"- линейные операторы. Для уравнения теплопроводности чекой класс p.c. соответствует взвешиванию не решения (температуры), в потока. При естественных предположениях на операторы доказываотся абсолютная устойчивость схемы и получена априорная оценка в внерх'етической норме .

При исследовании вопросов точности консервативных p.c. с тюременпимк и разрывными весами весьма полезной является следую-оцекко устойчивости

11упи^ 4 Ы2( Ну (О) Н^ + С.т(«5„Яг+ Ж-И,,]!2)). К О к а О 1

полученная при специальном представлетгии правой части <р => 5 + + г,/гТ*г,.

В §5 для эволюционного уравнения второго порядка

—У Аи = р, 0<1;*Т. и(0) - и0, дт(0) = ио (Н

исследуются трехслойные олераторво-разностные схемы со взвешиванием решения

< С >

У11 + у(0) = у0, у^О) - у0. (12)

Схема (12) может быть приведена к каноническому виду

By£t + Byj + Ау « <i(t).

где D=E+0,5r2A(E)(t)+Ez(t)), B=TA(Ei(t)-E2(t)), причем операторы А и пепарестановочны. Дополнительные проблемы здесь возникают при рассмотрении случая, когда операторы (Х=1,Э) не являются липшиц-непрерывными по переменной t. Приведем один из результатов, полученных в данном параграфе.

Теорема 5.2. Пусть в p.cv СГ2)' А=А*>0 - постоянный оператор,

Е (t) = £* (t) * - —1—в»„(tto4 i'Е,,0'в> + 0,5В. (13) z z тгПМН 1 2

Тогда имеет место оценка«

lly(t+r)« * Mr('&y(W»*+» »3^(0)1^,+ ИА",р(0)II) +

+- H'Ä^p.WlH'-H Ii» щах IIA'V(t')B.

OSt'<l

в которой R=A",'+TZ'(B+£'2)V Н ,U,=conat>0.

§6 посвящен получению достаточных условий устойчивости по начальным данным и правой части трехслойных операторно-разност-ных схем со взвешиванием Ау (А=А*>0 - постоянный оператор)

yIt + (АУ) - (P(t). te«t, у(0) = у0. yt(0) - yo.

Получены соответствуюцяо априорные оценки как для липшиц-пепре-

ровного оператора н0,5г ((t)+Ea(t)), так и при обратном

предположении. Априорные оцапки в энергетической норме Ндг в

порвем случав доказаны при выполнении операторного неравенства

(£l iE2)(t)ia£E, Ö£=- -g-

И-Е 2

г IIAtl

а во втором - при условиях (13). Отдельно рассмотрен случай со специальной правой частью v^^ + t 1 /ZP2•

В S7 исследуется устойчивость копсорватшзлых трехслойных p.c. вида

Í с ,1 )

ylt Т*(5Ту> - = р.

При остествешшх предположениях иа операторы S(t), Ek(t),T, Т* получены априорные оцонки устойчивости по начальным данным и írpauoit части в анергетичоской пормз Нд. Приведены примеры применится полученных результатов при исследовании устойчивости и сходимости р.с. с поромеинш.т весами для гиперболических уpanno-üíiíi uvoporu порядка (как одномерных, ток и глпогеморных).

Третья глава посвящена пссдодо»ст::о безусловной сходимости консервативных p.c. с во сами пек для линейных, ток и полпнейяых [гистоционпрпых уршшштй шгоматичоаг.ой ф;тзики с нелинейностью ноограничинаого роста и рагшо.михаюй при пониженных тро-

оопаниях г: гладкости искомого pcuiain:si.

В приводится ряд тоороы пмахешт, лозаоотвдих получать aupiiopuuu оценки реыотш p.c. и мак«шалыю сильной пох>ме (например, мотрнко С) при минимальных требованиях к правой части.

Во второй параграфа предлагается могод исследования безус ловной сходимости p.c. и С-нормо. основашшй на двухотаппои оке-рготичэском подходе с приманенном соотвотомую^их теорем вложения. Хотя кокдый из отапоц позволяет гарантировать лишь условную сходимость избранного сеточного метода в метрике С, однако ггри рассмотрении обоих подходов п совокупности удается сиять ограничения на соотношения между шагами сетки г и h. С помощью предлагаемого метода получьнц новые равномерные оцонки точности решо-пий p.c. и их производных при наличии аппроксимации схемы лишь в норме L

НИ s r(h* + t0 ), \,ß > 1/2 . (14)

Например, для p.c. с постоянными весами

р

yU = (Лу) + Ч>. Лу = I (аа У; )1( .

аа 1 а а

аппроксимирующую пачзльпо-краевую задачу для дпумэрного гипербо-личоского уравнения, при выполнении (14) и atz е2, е£>0, + 1 получена следующая безусловная оцепка точности

-1/2

max llzll s c|h Lei c

(hx-,/2 +T(5-W2 ).

§3 дапной главы посвящен исследованию скорости сходимости одной p.c. для квазилинейного параболического уравнения с неограниченной нелинейностью. Анализ точности p.c. в этом случае существенно усложняется, т.к. задача для погрешности метода является уже пелипейлой. Кроме того, в атом случае пеобходимо показывать принадлежность сеточлого решения у области (либо,ее малой окрестности) значений точного решения, что в свою очередь требует обязательного исслодовапия скорости сходимости яхомы и норме С. Выше ухе отмочплось, что при получении оцепок точпости мотода соток для подобных задач возникают соотношения на иаги сотки ("словпая сходимость), обусловлоипыо че сущоством дола, а избранным способом исследования. При-доказательстве же безусловной сходимости для одноморпых параболических задач ранее предполагалось сущоствоваяио соответствующих производных высокого порядка (u(x,t)c.Cs'л (5 ) )• Цолыо данного параграфа является, с одной стороны, изложить технику доказательства сходимости p.c. для полипойных задач с неогра1П1чошгой полипейпостью, а с другой - в случае слабой зависимости коэффициента теплопроводности от решения (k-k(u)) доказать, что консервативпая p.c. сходится безус-л то к точному реиеттшо дифференциальной задачи даже на обобщенных решениях. В этой связи в данном параграфе для простоты выкладок рассматривается безытерациоппая схема yt= (а(у)^-)^, для

которой при наличии аппроксимации схемы в пормя llv!l( ^ {II rj ] | "*+

.(. ||^!|г J.1 /2= 0(hx+t '), \,/3>1/2, 17 = a(u)u- - (lcu'Hx,^ s,t), *

1 rl+,/"

S - r- | u(x,t)dx-u , t=t , при произвольных соотпоаю-

п j t j+l/2

'l-t/г .

n;mx па шага сотки получопы следуюа'ие сцепки

•¡Itzll2 +T(a(u),z?J^'2s ^(ьЧг"). Hzllc i c2(hl"1/z+vp-,/z).

В 54 исследуется скорость сходимости двух тшюг итерационных мотодо»

< * * + \ ^ * г « ItU в В t В • + 1 -I

|а(у) у^ - -Яу>, Ыу) у I = -i(y) - f'(y)l У - у j,

реализующих p.c. для пэлшюйпого стационарного уравнения теплопроводности. Отпосвтольяо k(u), f(u) предполагаете« выполнение определенных свойств лишь в окрестности значений точного решении. Показано, что сходимость метода итераций зависит не только от его конструктивных особенностей, но также от гладкости решения и вхо-дпых данных исходной дифференциальной задачи. Все это позволяет правильно оцонить ситуацию при использовании конкретных итерационных методов для моделирования прикладных задач с особенностями.

В §5 рассматриваются неявные p.c., аппроксимирующие квазилинейные параболические уравнения с коэффициентом теплопроводности, зависящим по от температуры, а от ее пространственной производной (градиента). Проведено строгое исследование метода Ньютона и доказана его квадратичная сходимость в сильной сеточной норме без соотношений па шаги сетки г и h. Относительно гладкости искомых величин предполагается, что они удовлетворяют требованиям аппроксимации схемы липь в соточпой пормо L^. При доказательство соответствующих результатов используется предложенный в 5 2 метод исследования сходимости p.c. в С-порме. Отметим, что в силу недостаточной гладкости решения дифференциальной задач! , анализ p.c. в сильных нормах существенно усложняется. В нашем случае вто обусловлено также и наличием сильной нелинейности. Так как мы рассматриваем нелинейную задачу с нелинейностями неограниченного роста, а коэффициент теплопроводности зависит от градиента решения, то необходимо дополнительно доказывать безусловную сходимость и погрешности первой производной. Для рассматриваемых классов p.c. при достаточно малых h<b , t<c0 получены следующие оценки

max i/,(hx+ i"), max »z-tn s t> (hx"1/2+ те",/2).

teö 01 teü * С+ 2

' v x

§6 посвящен исследованию безусловной сходимости p.c. с веса-

ми для полинейлых одпомерпых гиперболических уравнений второго порядка с поогроппчопной полипойпостью в равномерной метрике. Как и ргшее, предполагается наличие пппроке имации схемы в пормо о порядком 0(hxbtf'), 0,5<V, ß<1. С вомощьто подхода, изложенного в 52, в сочетании с и-методс.м В.Н.Лброгаияа устраняются традиционные ограничения, пакладт-'папныо па магп сотки типа r-h*. Доказывается безусловная сходимость как рошчптл рпзпостпсй задачи, так и его первых производных у я, уt- Получоны априорные оценки точности. Исследовала и сходимость соответствующих итерационных методов, реализующих неявные схегш.

В 57 отмочаотся, что в работах f1], ГЗ], [5], впорвыо бшю проведепо строгое исслодопапио точности консервативных л полностью копсерватившгх p.c. для одно!,»ерши, краовых задач газозой динамики при наличия слабых и коптактпых разрывов. Ввиду наличия перегулярпостсй решоппя п слояноста организации сплитых норм по-лучошшо оценки скорости сходимости соточлого решения га,юли мос-то при определенных соотношениях на нагл сотки z и Ii (условная сходимость). В данном параграфе устанавливается безусловная сходит,гость решения копсорзотшшых схем Самарского-Попова

с.) _(»г1

"ht = vh. ' Vht= ~ phl 1

аппроксимирующих систему уравпепкй газовой детпаишеи в церемонных Лаграпжа

§2-8- .Ш--Ш- р-'<•»).

в предположении, что функции Oí/дв, df/dt лиштц-пепрернвпы в оо'ласти определения краевой задачи (J = í(о,t) - любой параметр газа). При достаточно малых h<ho, т<го для рассматриваемого класса p.c. получена оцепка скорости сходимости разностного ре-шо1шя в норме С вида

llf)¿ -f/J!lc + i¡/¿ -vJllc á у (/ПК + /~~т ),

В §8 изучается точпость p.c. с весами без соотношений па шаги сетки для многомерного (р=2,3) полинейпого параболического уравнения с неограниченной нелинейностью. Результаты исследований доведены до теоремы о безусловной сходимости решения разпос-

тпой задачи к точному регаошпо дифференциальной, полученной из исходной о помощью замены поремошгнх, ггродложоь 1;.)й Л. А. Самарским, в результате которой исходное уравнение пре' "»разуется к тн'ЛУ с линейным онирятором Лапласа в правой части. , ^юизведонная замен.' перомошшх позволила получить безусловные оценки точности при более естественных 'хробованиях к днффореuu.iiилыпи свойствам решения. Отметим, что в многомерном случае исследование безусловной сходимости p.c. в равномерной метрике значительно усложняется. 1)то объясняется как отсутствием аффективных тоорем вложения, так и недостаточной гладкостью точного решения. В двумерном случае, когда погрешность аппроксимации схемы удовлетворяет условию (14), получот следующая оценка точности

та_х llzll„ s c(h""1/z +

Itu

i

kcjui потрибоиать донолнительную гладкость, то оценка (1t>ü может быть улучшена. Изучению дапного вол^юса и посвящен 59-Здось для симметричной p.c., аштроксимизззнощей смешанную задачу для нелинейного двумерного уравнения теплопроводности получена следующая оценка точности

llz!l0 i c(hP|ln 1Г'||/г+тг.|.1п t'4:l1/z).

К §7 6ii.no нроведопо детальное исследование безусловной сходимости p.c. для простейшей нелинейной системы уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа. При :st«и предполагалось, что перине производные лигшиц-нехгрорыввы в области определения краевой задачи. На практике, конечно, паиболее интеросными являются задачи, которые допускают наличие более существенных особенностей: слабый разрыв рошаши, контактный разрыв, ударцая волна и др. В этом случае ожидать, что p.c. будут обладать свойством безусловной сходимости из приходится, что подтверждается численным моделированием многих реальных задач. В §10 проводишг.я строгое исследование , сходимости p.c. Самарского-Попова, аппроксимирующих систему уравнений газовой динамики с учетом теплопроводности

эу _ö£ Эд аv ас эу _ 3w at de' ät = Оз' WE _p3s Эз*

при наличии как слабых, так и контактных разрывов. Доказывается,

что решение p.c. сходится в норме С со скоростью 0(h2r~1»(г)Г 1 )2)

при rsh , 1<х<2-

В мотпвртой главе па основе использования новостных идоЯ построения КОНСОрВЛТИТШЫХ p.c.. ПОЛНОСТЬЮ КОЯСОрВПТНВНЫХ p.c., ИГ! тогро-ипторполяциоиного метода, усреднения нелинейных кооффицион -тов по Стоююву для тюлипойннх гиперболических уравнений, одномерных и многомерных уравнений газовой динамики в поименных Лагра-нжа строятся новые классы p.c.. Для построенного семейства схем выполнены не только разностные аналоги основных законов сохранения (массы, импульса, полной энергии, балансов отдельных видов япоргии) как для классичоских консервативных и полностью консор-вотгшпых схем, по также ряд дополнительных сеточных соотношений, необходимость выполнения которых диктуется фйничоск^ш! соображениями. В частности, для p.c., аппроксимирующих уравнения газовой динамики, оказывается выполлсшпым и закон сохраноппя оптропяк. Примеры показывают, что прииопоние такпх Схем особенно еффоктияно при использовании "грубых" сеток при моделировании задач с поог-роиичотпшм возрастанием рошонпя (локализация) или при длительных числсппых расчетах. Получены онриорпыо оценки сеточного роионня в пол штейном случае.

В §1 на пример« краевой задачи для простейшего квпоиликойного гиперболического уравнения первого порядка

ЗТ 4 Ix f(u)"0, u(x.O)-uo(x), u(0,t)=/j(t) (16)

излагаются основпыо лри.гсципы построения p.c. повышенной консервативности, для которых выполняются не только апалоги основных законов сохранения (копс.орвативпость), но и ряд дополнительных соотношений, имеющих место для исходной дифференциал!.ной задачи. Например, для уравнения

öu , Зи ¿7Г + и Зх = 0

соответствующая p.c. будет иметь вид

У, + £ (у2,уу * У2); =0 .

§2 посвящен построению для урлвпения (16) p.c. с весами, обладающих свойством повышенной консервативности. Причем изпеши-впппе .юточпой фуятецтпг проподатся пэ по премппи, а по прострап-стпу. Для подобного клпссп схом удчлось подучить по только апри-орушо оценки в нелинейном случае, но и показать, что опл облпда-

л Л

ют минимальной дисперсной н позволяют хорошо расчитывать ударные волны небольшой интенсивности без вводолия искусственной вязкости. Кроме того, в атом случао при расчета ударных г • ни по требуется дополнительное (и неестественное) граничное ус. лзие.

В 53 рассматривается краевая задача для системы уравнений цолитроппого газа, для которой имеет место шгоргетичоское соотношение

E(t) + I(t) - Е(0) .

г г t

E(t) ^ J ( + B(ij)jds . D'=p, I(t) = J [(vp)g>i- (vp)_>0]dt.

о о

В случае диссипотипных граничных условий Кt)г0 имеет место закон невозростания полной энергии B(t)sE(0), а при однородных граничных условиях нолпаг. анергия системы сохраняется E(t)=E(0). Например, в случае уравнения состояния р=сор7, co=conat >0, y>1 выражении Е(t) принимает вид

B(t) - [ ( ^^jj) ds . о

В данном параграф« строятся полностью консервативные p.c.

Г, = v<°'6), V - * , Ф - (В (f)„) - B(n ))/(ft -п ),

hl h« ht 1 It h hh

но порождающие фиктивных источников энергии, и для которых в сеточное-! (шалого выполняется дифференциальный закон сохранения B(-t) +I„(t> - Е (0) . t i м .

h n п г

В §4 для системы уравнений пдоольного газа строятся полностью консервативные p.c., для которых выполнены на только разностные аналоги основных законов сохранения массы, импульса, полной анергии, но также и саточцый аналог закона сохранения энтропии -^-j- ^jНетрудно показать, что для исходной дифференциальной задочи при однородных граничных условиях имеют место следующие законы сохранения

г , г,

li,(t) = Е^О) , E^t) J fc + 5 J de .

о

1 2

Ea(t) =Е2(0) , Bp(t) . J (v+^fi) dß .

0

OA

Не сотке t->hx с целыми и полуцелыми узлами по пространственной переменной строятся p.c., для которых им о ют место соточ-ПиО апалоги дифференциальных законов сохранения

\ = 0 • =Е,к(0) • Вгь<*> = Е2„(0) ' tC », •

гдо

Е,ь = 7 »V* + f'^1.1). B2h- £ .!vhir% ^ [IpJ/lpJ.D-Полученные результаты обобщаются и па уравнения состояния вида е=е(Т), р-р1(р)р?(Т).

В 55 рассматривается двумерная система дифференциальных уравнений газовой дипаиики в логранжовых поромениых с уравнениями состояния политрошюго газа р = ?(п) с начальными и однородпими граничными условиями по v.u. Приводится интегральный закон сохранения полной энергии

гагь г

Щ1) = Е(0), B(t) - m^ u g v ■ +■ В(г))](1а db. B' = p. (17) о о

Используя p.c. Самарского-Попова и усреднснно по нелинейности,

строятся полностью копсорвапшныа схем/, для которых выполняется

разностный аналог закона сохрапопил (17) В (t) -В (О).

h h

Лпалогичпые вопрос» исследуются и в §6 для систомы уравнений идеального газа, для которой имеют место следующие законы сохранения полной оноргии и энтропии

г г

МШ - о, (р/рг) » о. E(t) = |eJb,D(e + db-

о о

Строятся полностью консервативные p.c., для которых справедливы знерготпчоскко соотношении ®ht= О, £ р^/ ^ь)t" Указывается,

что мозшо построить полностью консервативные p.c. и для боле о широкого класса газодинамических моделей без учета аффекта теплопроводности с уравнением состояния р^р1(п)Р2(е)•

В 557-8 для олинойной системы уравнений слабосжимаомой ытд-кости, определенной на конечном связном графе G, предложены два класса безусловно устойчивых, консервативных и монотонных, (при любом "■апрпЕлении скорости) p.c., допускающих распараллеливашю вычислительного процесса. Данные вычислительные алгоритмы исполь-зопались при математическом моделировании физических, процессов,

Oti

происходя орех в сложных разветвленных гндро- и пневмосистемах.

В §9 предетавлопы результаты численных расчичов для Полиной-пого уравнения переноса с начальными данными в виде "размазанной" ступопьки и типа бегущей полны, задачи об пзоантрош. : оком сжатии газа в * дномарпом плоском случае, уравнений слабосжимаемой ходкости на графо с наличием конструктивных ¡элементов (тройник, дроссели и др.), подтверждающих эффективность предложеннше в гл. А вычислительных методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Абрашии В.Н., Матус П.П. О точности разностных схем для одномерных задач газовой динамкки//Диффер'еиц. ур-ния. 1981. Т.17. №7. С.1155-1170.

2. Абр&шин В.Н., Матус П.П. Об устойчивых разностных схемах для задач газоиоМ динамики//Локл. АН БССР. 1981. Т.25. №12. С.1070-1072.

3. Матус Л.П., Шавель А.Н. О сходимости полностью консервативных разностных схем газовой диннлтки//Докл. АН БССР. 1982. Т.26. .N«6. С.485-487.

4. Матус П.П., Шанель А.Н. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих нелинейную систему уравнений газовой динамики с негладкими решениями. - Мн., 1982. - 37с. - (Препринт/АН БССР. Ин-т математики; №3(128)).

!>. Матус II.П., Шавсль А.Н. О сходимости разностных схем для одномерных задач газовой динамики с учетом теплопроводности/ /Днфференц. ур-ния. 1083. Т.19. №7. С.1251-1261.

6. Матус П.П. О безусловной сходимости некоторых разностных схем задач газовой динамики//Дифференд. ур-ния. 1985. Т.21. №7. С.1227-1235.

7. Егоров A.A., Матус П.П. Об одном классе устойчивых разностных схем для двумерных уравнений газовой Д5шаыяки//Весц1 АН БССР. Сер. ф13.-мат. навух. 1988. N«3. С.3-9.

8. Матус П.П. О точности разностных схем в равномерной метри-ке//Докл. АН БССР. 1989. Т.33. №11. С.965-968.

9. Матус П.П. Об одном классе разностных схем для нестационарных краевых задач математической физики. - Мн., 1989. -

■ 30с. - (Препринт/АН БССР. Ин-т математики; Ne23(373)).

10. M «.туе П.П, Об одной классе разностных схем ка составных сетках для нестационарных задач математической физики//Диф-ференц. ур-ния. 1990. T.2S. №7. С.1241-1254.

11. Матус П.П. К вопросу построения разностных схем на составных сетках//Докл. АН ВССР. 1990. Т.34. N«6. С.501-504.

12. Матус П.П. Разностные схемы на составных сетках для нестационарных краевых задач математической физики // Матем. моделирование и прикл. матем. Междунар. конф. М.-Вильнюс, 1990. С.119-120.

13. Матус П.П. О консервативных разностных схемах на составных сетках для параболических уравнений//Дифференц. ур-иия и их применение. Вильнюс, 1991. Вып.46. С.79-82.

14. Матус П.П. К вопросу построения разностных схем для много-мерпых параболических уравнений на адаптивно-временных сог-ках//Дифференц. ур-ния. 1991. Т.27. N«11. С.1961-1971.

15. Матус П.П., Станишевская JI.B. О безусловной сходимости разностных схем для нестационарных квазилинейных уравнений математической физики//Дифференц. ур-ния. 1991. Т.27. №7. С.1203-1219.

16. Матус П.П. Об одном классе консервативных разностных схем на составных сетках//Докл. АН ВССР. 1991. Т.35. №11. С.979-982.

17. Матус П.П., Сташияевскал Л.В. Сходимость разностных схем в равномерной метрике для линейных многомерных нестационарных краевых эадач//Сердика. София, 1991. Т.16. №3-4. С.256-262.

18. Матус П.П. Консервативные разностные схемы на составных сетках для нестационарных задач математической физики. Ми., 1991. - 40с. - (Препринт/АН ВССР. Ин-т математики; №21(471)).

19. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений второго порядка в подоблас-тях//Дифференц. ур-ния. 1993. Т.29. №4. С.700-711.

20. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений в подобластях//Диффереяц. ур-ния. 1993. Т.29. №7. С.1222-1231.

21. Matus Petr. Difference schemes for parabolic and hyperbolic equations with time-adaptive grids//ABSTRACTS of Invited Lectures and Short Communications; Delivered to the Fourth. Int. Colloquium on Differential Equations. Plovdiv, Bulgaria. August 18-23, 1993. P.154.

22. Вабищевич П.Н., Матус П.П. Двухслойные разностные схемы с переменными весамк//Докл. ЛИ Беларуси. 1993. Т.37. №в. С.,5-17.

23. Вабшдевич П.Н., Матус П.П., Щеглик B.C. Разностные схемы с переменными iccuin для еволюционных ypi. ....eimtt второго порядка//Докл. АН Беларуси. 1904. Т.38. №3. С.13-15.

24. Мат ус П.П. Разностные аналоги теорем вложеиг 1 ' их применение х исследованию сходимости разностных ¿хем ^ля диффереи-1 (альиых уравнений с обобщенными решенда1ш//Весц1 АН Беларусь Сер. ф1з.-иат. налук. 1093. N"4. C.lfi-21.

25. Вабищепич П.Н., Матус П.П., Шеглик B.C. Операторно-рааност-ше уравнения дивергентного ткпа//Дифференц. ур-ния. 1994. Т.ЗО. №7. C.H7S-1186.

26. Korvijuk Alexander, Matua Piotr. Conservative difference schemes for parabolic equations with time-adaptive grids//INFORMATICA. Litha-aini&n Acad. Sci. Vilnius, 1093. V.4. №3-4. P.335-350.

27. Matuo P.P., VabishchevicL P.N. Difference schemes on the grid locally refinement in Dpa.ce as well as in time//Advances in Numerical Methods and Applications. Editoro I.I.Dimov, B.L.Sendov, P.S.VasaikvBki. World scientific Singapore, 1894. P.14C-163.

28. Матус П.Г1., МихаМлюк И.А. Разностные схеиы с переменными весаади для систем гиперболических уравнеш!И//Махои. моделирование. 1S93. Т.5. №12. С.35-00.

20. Матус П.Г1. О разностных cxeui к на составных сетках для гиперболических уравие1шЦ//Ж. вигуися, матен. и ыатем. фиэ. 1394. Т.34. №0. С.870-885.